v 0x = v 0 > 0, v 0y = 0.

Εθνικό Κποδιστρικό Πνεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμ Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχνική Ι, Τμήμ Κ Τσίγκνου & Ν Βλχάκη, 4 Ινουρίου 07 Διάρκει εξέτσης 3 ώρες, Κλή επιτυχί bonus ερωτήμτ) Ονομτεπώνυμο:, ΑΜ: Ν ληφθεί υπόψη η πρόοδος της 5ης Δεκεμβρίου 06: ΝΑΙ ΟΧΙ ν ΝΑΙ μην πντήσετε τ θέμτ Εχω πρδώσει εργσίες: ΝΑΙ ΟΧΙ Θέμ ο : Εστω ιδνικό εκκρεμές, δηλ σημεικό σώμ μάζς m δεμένο σε βρές, μη εκττό νήμ μήκους R το άλλο άκρο του οποίου είνι στθερό Στο σώμ εκτός του βάρους mg της τάσης του νήμτος σκείτι ντίστση έρ νάλογη του τετργώνου της τχύτητς, δηλ F a mλ R v, όπου λ στθερά Το σώμ ξεκινά πό το κτώτερο σημείο με οριζόντι τχύτητ v 0 ) Γράψτε το νόμο Νεύτων νλύστε τον σε πολικές συντετγμένες γι ν βρείτε την διφορική εξίσωση που ικνοποιεί η fφ), θεωρούμενη gr συνάρτηση της γωνίς φ που διγράφει το νήμ β) Ποι η τχύτητ σε κάθε θέση όσο το σώμ νεβίνει; γ) Ποι πρέπει ν είνι η v 0 ώστε το σώμ ν φτάσει στο νώτερο σημείο χωρίς ν χλρώσει το νήμ; Δίνετι ότι η γενική λύση της dy + λy sin x dx είνι η y De λx cos x λ sin x + + λ Επίσης δίνετι η μορφή της επιτάχυνσης σε πολικές συντετγμένες a ϖ ϖ φ ) ˆϖ + ϖ φ + ϖ φ) ˆφ Θέμ ο : Σώμ μάζς m φορτίου q κινείτι σε μγνητικό πεδίο B xẑ σε κτάλληλες μονάδες) Αρχικά γι t 0) βρίσκετι στη θέση r 0 x 0ˆx + y 0 ŷ έχει τχύτητ v 0 v 0xˆx + v 0y ŷ ) Δείξτε ότι οι συνιστώσες του νόμου Νεύτων m a q v B συνεπάγοντι τ κόλουθ: ) Η κίνηση γίνετι στο επίπεδο z 0 ) Η v y μπορεί ν εκφρστεί σν v y x) δηλ σν συνάρτηση της συντετγμένης x, την οποί ν βρείτε) 3 ) Η κίνηση νάγετι σε μονοδιάσττη ẍ F x) βρείτε την «δύνμη» F x)) β) Δείξτε ότι το ντίστοιχο ολοκλήρωμ ενέργεις ẋ v + V x) E είνι ισοδύνμο με v στθερά, δηλ η «δυνμική ενέργει» είνι η V x) [v yx)] Δείξτε επίσης ότι η V x), νάλογ με τις ρχικές συνθήκες, έχει τη μορφή μίς πό τις κμπύλες του κόλουθου σχήμτος 0 Vx) γ) Εστω οι ρχικές συνθήκες είνι x 0, y 0 0, v 0x v 0 > 0, v 0y 0 γ ) Δείξτε ότι στην περίπτωση υτή η «δυνμική ενέργει» είνι V x) x ) Ποι πό τις κμπύλες του πρπάνω σχήμτος ντιστοιχεί σε υτή την V x); γ ) Περιγράψτε την κίνηση στην x κτεύθυνση νάλογ με την τιμή της ρχικής τχύτητς γ 3 ) Γι μικρές τιμές της ρχικής τχύτητς v 0 βρείτε την xt) στη συνέχει την yt) Θέμ 3 ο : ) Δείξτε ότι η εξίσωση μις έλλειψης με μικρό ημιάξον b, εκκεντρότητ e, κέντρο συμμετρίς Ο στην ρχή του συστήμτος Oxy μεγάλο ημιάξον πάνω στον άξον Ox είνι : ρ b cos θ, όπου ρ είνι η πόστση τυχόντος σημείου Σx, y) της έλλειψης πό το κέντρο Ο θ η γωνί του άξον Οx με το ΟΣρ β) Θεωρείστε ότι η ελλειπτική υτή τροχιά διγράφετι πό έν σωμτίδιο μάζς m σε έν πεδίο κεντρικών δυνάμεων με κέντρο το Ο Δείξτε ότι η δύνμη που σκείτι στο σωμτίδιο είνι ελκτική νάλογη της πόστσης ρ πό το κέντρο Ο, F ρ) kρ Υπολογίστε τη στθερά k γι δεδομένη στροφορμή L γ) Δείξτε ότι η ολική ενέργει του σωμτιδίου είνι : E k e ), x

όπου ο μεγάλος ημιάξονς της ελλειπτικής τροχιάς δ) Δείξτε ότι ν ρχικά ρ t0 θ t0 0 οι χρονικές εξρτήσεις της γωνίς θt) της πόστσης ρt) δίδοντι πό τις σχέσεις : tan θ tanωt), ρ sin ωt), με ω k/m Θ χρειστείτε έν πό τ κόλουθ ολοκληρώμτ: θ 0 cos θ arctan tan θ, dz cz + bz + a cz + b arccos c b 4ac +στθερά Θέμ 4 ο : Εν κοντινό στέρι έχει πράλλξη φ o 05, δλδ, η γωνί υπό την οποί φίνετι πό το άστρο η τροχιά της Γης πόστσης γύρω πό τον Ηλιο είνι μισό δευτερόλεπτο τόξου, λλιώς, κθώς η Γη περιστρέφετι γύρω πό τον Ηλιο το άστρο φίνετι ν μετκινείτι στον ουρνό κτά γωνί φ o ΑΣΤΡΟ φ o D ΓΗ o ΗΛΙΟΣ ΓΗ Επιπρόσθετ όμως, πρτηρείτι ότι η θέση του άστρου στον ουρνό εκτελεί μι μικρή τλάντωση με γωνικό πλάτος φ 00 περίοδο T Υποθέτουμε ότι η μικρή υτή τλάντωση της θέσης του άστρου οφείλετι στην ύπρξη κάποιου πλνήτη, ο οποίος περιφέρετι σε κυκλική τροχιά κτίνς γύρω πο τον στέρ Κτά τ γνωστά, το άστρο μάζς m ο πλνήτης μάζς m κινούντι γύρω πό το κοινό κέντρο μάζς τους με κτίνες της τροχιάς τους, ντίστοιχ ΑΣΤΡΟ m ) ΚΜ ΠΛΑΝΗΤΗΣ m ) D φ ΗΛΙΟΣ ) Δείξτε ότι η μάζ m του πλνήτη ως προς τη μάζ του Ηλιου δίδετι πό τη σχέση : m φ ) /3 To φ o T όπου m +m είνι η συνολική μάζ του στέρ του πλνήτη, έτος T η περίοδος της κίνησης του κάθε σώμτος γύρω πό το κοινό κέντρο μάζς Υπόδειξη: Δείξτε πρώτ ότι φ /φ o a /a o β) Ν υπολογισθεί η μάζ του πλνήτη m ν χρησιμοποιηθούν τ εξής πρτηρησικά δεδομέν, 05, T 6 έτη γ) Αν δεν είχμε υποθέσει ότι η τροχιά του πλνήτη είνι κυκλικ τι μπορούμε ν συμπεράνουμε γι τη μάζ του πλνήτη σε σχέση με τον προηγούμενο υπολογισμό ;

ΛΥΣΕΙΣ: Θέμ ο : ) Νόμος Νεύτων : m a m g + T v F a v Σε πολικές συντετγμένες στο σύστημ με άξον x κτκόρυφο προς τ κάτω y οριζόντιο προς την ρχική φορά κίνησης, γράφετι mr φ ˆφ m φ R ˆϖ mg cos φ ˆϖ mg sin φ ˆφ T ˆϖ mλ v v, v R φ ˆφ R Με φ d φ dφ φ d φ dφ dv R dφ, όπου φ v /R στο νέβσμ είνι φ > 0), η ˆφ συνιστώσ δίνει df + λf sin φ dφ β) Η γενική λύση της πρπάνω εξίσωσης δίνετι f De λφ cos φ λ sin φ + + λ f φ0 v 0 gr οπότε D v 0 gr + λ v v σε κάθε θέση gr 0 gr ) e λφ + + λ cos φ λ sin φ + λ γ) Η κτινική συνιστώσ του νόμου Νεύτων δίνει σε κάθε θέση T mv + mg cos φ Οσο το σώμ R νεβίνει τόσο η τχύτητ όσο το cos φ ελττώνοντι, οπότε προφνώς κτά το νέβσμ η τάση πίρνει την ελάχιστη τιμή της στο νώτερο σημείο Αυτό φίνετι ) πό την πράγωγο της τάσης d T d df f + cos φ) dφ mg dφ dφ sin φ λf 3 sin φ η οποί είνι < 0 γι φ [0, π] Ορικά λοιπόν στο νώτερο σημείο είνι T 0, οπότε μόνο το βάρος πίζει το ρόλο της κεντρομόλου, δηλ mg f φπ mv φπ R v 0 gr ) e λπ + λ + λ v 0 gr + λ + + ) e λπ Αυτή είνι η + λ ελάχιστη τιμή της v 0 γι ν μην χλρώσει το νήμ στο νέβσμ Θέμ ο : ) Οι συνιστώσες της a x v ẑ είνι ẍ xẏ, ÿ xẋ, z 0 ) Η ẑ συνιστώσ δίνει z z 0 + v 0z t με τις στθερές ολοκλήρωσης z 0 v 0z ν μηδενίζοντι πό τις ρχικές συνθήκες z t0 0, ż t0 0 Άρ z 0 ) Η ŷ συνιστώσ ολοκληρώνετι σε ẏ+x C στθερά Η τιμή της στθεράς βρίσκετι πό τις ρχικές συνθήκες Άρ v y x) C x με C v 0y + x 0 3 ) Η ˆx συνιστώσ, ντικθιστώντς την v y x), γράφετι ẍ F x) με F x) xx C) β) Η εξίσωση κίνησης ẍ F x) είνι ισοδύνμη με ολοκλήρωμ ενέργεις + V x) E, όπου V F x)dx x C) μηδενίζοντς την υθίρετη προσθετική στθερά) Το ολοκλήρωμ είνι ισοδύνμο με τη διτήρηση της κινητικής ενέργεις η οποί ισχύει φού το έργο της δύνμης πό το μγνητικό πεδίο η οποί είνι κάθετη στην κίνηση είνι μηδενικό), φού v x + vy + vz ẋ + x C) E στθερά Το γράφημ της δυνμικής ενέργεις εξρτάτι πό την τιμή της πρμέτρου C Είνι V x C), V xx C), V 6x C Αν C > 0 υπάρχουν τρί τοπικά κρόττ, τ ελάχιστ x ± C στ οποί V min 0 το τοπικό μέγιστο x 0 στο οποίο V max C / Η V x) είνι άρτι συνάρτηση οπότε ρκεί η μελέτη στ θετικά x Είνι φθίνουσ στο 0 < x < C ύξουσ στο C < x < + με lim ẋ V x) + Το γράφημ της V x) ντιστοιχεί στην κόκκινη δικεκομμένη) κμπύλη Αν C 0 υπάρχει έν ελάχιστο το x 0 στο οποίο V min 0 Η V x) είνι ύξουσ στο 0 < x < + με lim V x) + Το γράφημ της V x) ντιστοιχεί στην πράσινη συνεχή) κμπύλη Αν C < 0 υπάρχει έν ελάχιστο το x 0 στο οποίο V min C / Η V x) είνι ύξουσ στο 0 < x < + με lim V x) + Το γράφημ της V x) ντιστοιχεί στην μπλε στικτή) κμπύλη γ ) Γι τις δοσμένες ρχικές συνθήκες C v 0y + x 0 άρ η δυνμική ενέργει είνι V x ) Το γράφημ της δυνμικής ενέργεις ντιστοιχεί στην κόκκινη δικεκομμένη) κμπύλη Υπάρχουν τρί τοπικά κρόττ, τ ελάχιστ x ± στ οποί V min 0 το τοπικό μέγιστο x 0 στο οποίο V max / γ ) Η ενέργει είνι E v0/ Αν E < V max v 0 < το σώμ εκτελεί τλάντωση μετξύ των δύο θετικών ριζών της V x) E, δηλ v 0 x

+ v0 Αν E > V max v 0 > το σώμ εκτελεί τλάντωση μετξύ των δύο ριζών της V x) E, δηλ + v 0 x + v 0 Στην ορική περίπτωση E V max v 0 το σώμ φού νκλστεί στο σημείο x όπου V x) E) θ προσεγγίζει επ άπειρον το τοπικό μέγιστο x 0 γ 3 ) Γι μικρές τιμές της ρχικής τχύτητς το σώμ θ μείνει στη γειτονιά του τοπικού ελχίστου x Με x + ɛ είνι F V + ɛ) V )ɛ 4ɛ οπότε ɛ + 4ɛ 0 με λύση ɛ C sint) + C cost) Άρ x + C sint) + C cost), ẋ C cost) C sint) Από τις ρχικές συνθήκες βρίσκουμε τελικά x + v 0 sint) Γι την yt) είνι ẏ C x με C, δηλ ẏ x ẏ v 0 sint) γνοώντς όρους Oɛ ) που έχουμε γνοήσει στη λύση xt) Ολοκληρώνοντς βρίσκουμε y v 0 + v 0 cost) Είνι x ) + y + v 0 /) v 0 /), δηλ βρήκμε την νμενόμενη κυκλική κίνηση γύρω πό το τοπικά ομογενές) μγνητικό πεδίο Θέμ 3 ο : ) Οι συντετγμένες x, y) τυχόντος σημείου Σ της έλλειψης, με την ρχή Ο στο κέντρο της έλλειψης, είνι : x ρ cos θ, y ρ sin θ Από την εξίσωση της έλλειψης σε κρτεσινές συντετγμένες, x + y b έχουμε ρ ρ cos θ b sin θ + b cos θ b ) έχουμε ρ + sin θ b ) Αντικθιστώντς b cos θ β) u ρ e cos θ b u e cos θ sin θ b cos θ, u e cos θ sin θ e cos 4 θ, b cos θ) 3/ cos θ ρ b sin θ ρ e ρ + b οπότε ρ e ρ e μετ πό ντικτάστση στην προηγούμενη έχουμε u ρ4 e ρ 4 b 4, u + u )ρ 3 b 4 ρ b 4 F ρ) L mρ u + u) L ρ kρ με m b 4 k L m b 4 γ) Η δυνμική ενέργει του τλντωτή είνι V kρ Η ολική ενέργει Ε υπολογισμένη στο περίκεντρο της έλλειψης ρ όπου ρ 0 είνι : E L m + k Αλλά k L L m b 4 m b, οπότε L mk b Ετσι έχουμε: L m kb E k + b ) k e ) δ) Υπολογισμός της θt) Χρησιμοποιώντς την προηγούμενη έκφρση της στροφορμής, L mk b : L k m m b ω ρ θ, έχουμε : θ 0 cos θ ωt Χρησιμοποιώντς το δεδομένο ολοκλήρωμ έχουμε, θ 0 cos θ arctan tan θ Επομένως τελικά, tan θ tanωt) Υπολογισμός της ρt) Πργωγίζοντς ως προς το χρόνο το προηγούμενο ωt ποτέλεσμ tan θ tanωt) έχουμε, θ cos θ ω cos ωt θ + tan θ) θ[ + ) tan ωt] ω cos ωt, οπότε θ ω sin ωt Χρησιμοποιώντς την προηγούμενη έκφρση ω ρ θ λύνοντς ως προς ρ έχουμε ρ a sin ωt) Β τρόπος: Στην ρ b cos θ ντικθιστούμε cos θ + tan θ + ) tan ωt) cos ωt) sin ωt), οπότε ρ b e sin ωt) δλδ η ζητούμενη Γ τρόπος: Η ρt) μπορεί ν βρεθεί άμεσ, μέσω του ολοκληρώμτος ενέργεις m ρ + L mρ + kρ E Αντικθιστώντς E k e ), L mk b, b ) k mω προκύπτει ρ ±ω e ) ρ 4 ) ρ ρdρ ±ωt e ) ρ ρ 4 4 ) Θέτοντς z ρ / χρησιμοποιώντς το δεύτερο δεδομένο ολοκλήρωμ προκύπτει

dz z + e )z + e z + e arccos e ±ωt ±ωt ± C, όπου C στ- z + e θερά Άρ cosωt + C) Από e ρχικές συνθήκες z t0 βρίσκουμε C π, z + e οπότε cosωt) sin ωt) e πό την οποί προκύπτει η ζητούμενη Θέμ 4 ο : ) Από τη γεωμετρί των σχημάτων έχουμε, sin φ o D, ή φού η γωνί είνι μικρή φ o D Dφ o όμοι Dφ, οπότε, φ φ o η προς πόδειξη σχέση γίνετι, ) 3 ) 3 ) ) m To T ) T ) T m ) T ) 3 ) 3 ) ) ) 3 ) m ) 3 ) 3 επειδή m Η τελευτί όμως σχέση είνι ο γνωστός νόμος του Κεπλερ β) Αντικθιστώντς 05, T 6 yrs, m φ o 05, φ 00 προκύπτει, ) /3 05 ) /3 ) /3 50 6 50 64 50 4 3 Δλδ, ο εξωπλνήτης έχει 800 φορές μικρότερη μάζ πό τον Ηλιο, δηλ, είνι της τάξεως της 800 μάζς του Δί γ) Ας υποθέσουμε ότι οι ληθινές τροχιές των δύο σωμάτων δεν είνι κυκλικές λλά ελλειπτικές Σε υτή την περίπτωση, η πργμτική μάζ του πλνήτη θ ήτν μεγλύτερη πό υτή που υπολογίσμε υποθέτοντς κυκλικές τροχιές Γι ν το κτνοήσουμε υτό, ς υποθέσουμε ότι ο μικρός ημιάξονς της τροχιάς b είνι πολύ μικρότερος του μεγάλου ημιάξον της τροχιάς Εστω, γι πράδειγμ, ότι έχουμε ελλειπτική τροχιά της οποίς ο μεγάλος άξονς είνι στη διεύθυνση που πρτηρούμε τον στέρ ο μικρός ημιάξονς b κάθετος στη διεύθυνση που πρτηρούμε τον στέρ Τότε το πργμτικό θ ήτν πολύ μεγλύτερο υτού που χρησιμοποιήσμε με την υπόθεση της κυκλικής τροχιάς το οποίο ισούτι με το b της ελλειπτικής τροχιάς Αυτό έχει σν ποτέλεσμ, το ληθινό m που είνι νάλογο του ληθινού ν είνι μεγλύτερο υτού που υπολογίσμε