ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι o έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο o κι είνι πργωγίσιμη σ υτό, ν ποδείξετε ότι: f ( ο ) 0. μονάδες 0 Α. Ν νφέρετε τις πιθνές θέσεις των τοπικών κροτάτων μις συνάρτησης f σ έν διάστημ Δ. Ποιες πό υτές λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ; μονάδες 5 Α. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος. i) Η εξίσωση - + λ 0, λ μπορεί ν έχει ρίζες τους μιγδικούς + i κι i. Σ Λ ii) Αν f() e, τότε '( ) lim o + h o e e f o. h 0 h Σ Λ iii) Αν f () ( ), τότε η f έχει σημείο κμπής στο o. Σ Λ iv) Ισχύει: dt ln, > 0. t Σ Λ ln v) Αν f() > 0 κι συνεχής στο, τότε: f ( ) d > 0. Σ Λ ln μονάδες 0 Θ Ε Μ Α Β z i Δίνετι η συνάρτηση f ( z) με z κι z -. z + Β. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης f ( z) z +. μονάδες 8 Β. Ν λύσετε την εξίσωση f(z) +i ως προς z κι στη συνέχει ν υπολογίσετε το μέτρο του z που ρήκτε. μονάδες 8 Β. Αν z + y i ν ρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z ότν είνι f() z. μονάδες 9 - -
γι κάθε 0 < e μονάδες 5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 Θ Ε Μ Α Γ Θεωρούμε τη συνάρτηση f :[ ] f ()<0 γι κάθε [, ]. πργωγίσιμη, με συνεχή πρώτη πράγωγο, f(), 0, 0 κι Γ. Ν ποδείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη. μονάδες f ( ) f tdt f tdt f ( ) Γ. Αν η f - είνι συνεχής κι ισχύει () + () 0 ν ποδείξετε ότι f() κι στη συνέχει ν ρείτε το πεδίο ορισμού της f -. μονάδες Γ. Αν f(), ν ποδείξετε ότι: i) Υπάρχει μονδικό ξ (,) τέτοιο ώστε f(ξ) ξ. ii) Υπάρχουν ξ, ξ (,) τέτοι ώστε f(ξ ) f(ξ ) μονάδες 0 Θ Ε Μ Α Δ Έστω η συνεχής συνάρτηση f γι την οποί ισχύει: ln + ( ), με > 0. t t f dt ln Δ. Ν ποδείξετε ότι: f ( ). Δ. Ν ποδείξετε ότι: e (ln ), γι κάθε > 0. μονάδες 8 μονάδες 6 4 Δ. Βρείτε την εφπτομένη της C f στο σημείο κμπής της κι ν ποδείξετε ότι e ( ln ) 4e Δ4. Βρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση της f,την ευθεί κι τον άξον. μονάδες 6 Κλή επιτυχί - -
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θ Ε Μ Α A Α. Θεωρί. Α. Θεωρί. Α. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Σ v) Λ Θ Ε Μ Α Β Β. z i z i z i f ( z) οπότε z + z + z + i f ( z) z + z + + i + 4 z + 5 Β. z i f ( z) + i + i z i ( z+ )(+ i) z z+ zi+ + i z + 5i i+ 5 5 zi 5i z z z + i i Το μέτρο του z είνι z 5i i + 5 6 Β. z i z i f( z) z i z+ z+ z+ z i z+ ( z i)( z + i) ( z+ )( z + ) zz + zi zi + 4 zz + z + z + ( iz z) + 4 z+ z+ i yi+ 4 + 4y+ 4 + + 4y 0 ( ε ) Άρ ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είνι η ευθεί (ε) - -
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 Θ Ε Μ Α Γ Γ. Είνι f () < 0 γι κάθε [, ], οπότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο [,] επομένως κι - άρ η f είνι ντιστρέψιμη. Γ. Έστω Ι f ( ) f ( ) f () tdt Θέτουμε f ( t) f ( ) t οπότε f ()d dt. Γι tf() έχουμε f - (f()) κι γι tf() έχουμε f - (f()) Επομένως [ ] Ι f ()d f() () f()d f() af() f()d f() f()d () Αλλά f() f (t)dt + f(t)dt 0 f() άρ πό () έχουμε: [ ] f() f()d + f()d 0 f() 0 0 f() 0 f() a Το πεδίο ορισμού της f - είνι το σύνολο τιμών της f. H f είνι συνεχής στο [,] κι γνησίως φθίνουσ στο [,] επομένως το σύνολο τιμών της είνι f([,])[f(), f()] [,] Άρ D f - [,] Γ. i) Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f(), [, ]. H g είνι συνεχής στο [,] ως διφορά συνεχών συνρτήσεων g() f() g() f() - ( ) Οπότε g() g() - ( ) < 0 Επομένως πό το θεώρημ Bolzano υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε g ( ξ ) 0 f ( ξ) ξ. Όμως g ( ) f ( ) < 0 διότι f ( ) < 0. Άρ η g γνησίως φθίνουσ στο [,] επομένως το ξ είνι μονδικό. ii) Γι την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στ διστήμτ [,ξ] κι [ξ,] επομένως υπάρχουν ξ (,ξ) κι ξ (ξ,) τέτοι ώστε: ( i) ( ii) f ( ξ ) f ( ) ξ f ( ) f ( ξ ) ξ ξ f (ξ) κι f (ξ ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Οπότε έχουμε: f (ξ) f (ξ ) ξ ξ - -
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 Θ Ε Μ Α Δ Δ. Θέτουμε t, π όπου: t Είνι d dt dt d Γι t είνι, ενώ γι t είνι Η δοσμένη σχέση γράφετι: ln + ln + f ( ) d f ( ) d, > 0 () Η συνάρτηση f() είνι συνεχής, οπότε το f ( ) d είνι πργωγίσιμη συνάρτηση. Οι συνρτήσεις επίσης ln κι - είνι πργωγίσιμες στο (0,+ ) ως γινόμενο πργωγίσιμων κι πολυωνυμική ντίστοιχ. Πργωγίζοντς λοιπόν τ μέλη της () πίρνουμε: ln + + f ( ) f ( ) ln, με > 0 οπότε είνι: ln f(),> 0 Δ. H f είνι πργωγίσιμη στο (0,+ ) (ως πράξεις πργωγίσιμων) με ( ln ) ( ln )() ln f ( )... 4 f ( ) 0 ln 0 ln e 0 e / + f () - 0 + f() ελάχιστο ln e Γι e η f προυσιάζει ελάχιστο, το f ( e ) e. e ln Επομένως f ( ) f ( e ) γι κάθε > 0 e e (ln ), γι κάθε > 0. - -
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 Δ. Είνι ln 4 ln f ( )... f ( ) 0 4 ln 0 ln e 0 e + f () + 0 - f() Σ.K. Το σημείο κμπής της f είνι το Κ ( e, f ( e )) δηλ. Κ ( e, ) e H εφπτομένη της Cf στο σημείο κμπής Κ έχει εξίσωση: 4 ε : y f( e ) f ( e )( e ) y+ ( e ) y e e e e 4 4 Γι < e η f είνι κυρτή, οπότε η Cf είνι πάνω πό την εφπτομένη ε. Δηλ. ln 4 4 f() y e ( ln) 4e 4 e e ln Δ4. Η εξίσωση f() 0 δίνει 0 ln 0 e Γι e η f είνι γν. φθίνουσ, οπότε: f( e) f( ) f() 0 f( ) Δηλδή f ( ) 0 κι συνεχής στο [, e ]. e e ln ΕΩ ( ) f( ) d d e e e ln d ln d [ ln ] ln e ln e τμ.. 4 8 8 e - 4 -