ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ & ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ-ΜΕΡΟΣ 7 ΕΛΕΓΧΟΙ. (TEST: Unit Root-Cointegration )

ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ & ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ-ΜΕΡΟΣ 7 ΕΛΕΓΧΟΙ (TEST: Unit Root-Cointegration )

ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η στασιμότητα των δεδομένων (χρονοσειρών) είναι θεωρητική προϋπόθεση για την παλινδρόμηση, δηλ. την εκτίμηση των συντελεστών οποιουδήποτε μοντέλου εφαρμόσουμε στα δεδομένα. Αν έχουμε μη στάσιμα δεδομένα και χρησιμοποιήσουμε την παλινδρόμηση (ελάχιστα τετράγωνα) για να εκτιμήσουμε τους συντελεστές ενός μοντέλου μπορεί φαινομενικά να έχουμε ικανοποιητικά στατιστικά σφάλματος (υψηλή τιμή συντελεστή προσδιορισμού R 2 ), αλλά μη ικανοποιητικό (στατιστικά) μοντέλο. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται φαινομενική παλινδρόμηση (spurious regression) και εμφανίζεται συχνά στην ανάλυση χρονολογικών σειρών. Συνήθως το πρόβλημα οφείλεται στην ύπαρξη τάσης (trend) στα δεδομένα που όπως αναφέραμε κάνει τη χρονοσειρά μη στάσιμη (ολοκληρωμένη). Η λύση για το πρόβλημα της φαινομενικής παλινδρόμησης είναι η χρήση των διαφορών των δεδομένων (χρονοσειράς) ώστε να εφαρμόσουμε το μοντέλο σε στάσιμα δεδομένα. Επειδή η στασιμότητα των δεδομένων ή των διαφορών τους είναι σημαντική προϋπόθεση, υπάρχουν έλεγχοι στασιμότητας χρονοσειρών. 7.2

close ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: Παράδειγμα Αν έχουμε μη στάσιμα δεδομένα και χρησιμοποιήσουμε την παλινδρόμηση (ελάχιστα τετράγωνα) για να εκτιμήσουμε τους συντελεστές ενός μοντέλου μπορεί φαινομενικά να έχουμε ικανοποιητικά στατιστικά σφάλματος (υψηλή τιμή συντελεστή προσδιορισμού R 2 ). Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται φαινομενική παλινδρόμηση (spurious regression). Tο πρόβλημα οφείλεται στην ύπαρξη τάσης (trend) στα δεδομένα. Εφαρμόσαμε το μοντέλο AR(2) με τη μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων (OLS) στα δεδομένα των τιμών κλεισίματος μιας μετοχής. Από τις πληροφορίες της παλινδρόμησης OLS παρατηρούμε ότι το R 2 =0.9927 δηλ. 99.27% της διακύμανσης των τιμών «εξηγείτε» από το μοντέλο (σχεδόν τέλειο!). Στο συντελεστή της 1 ης υστέρησης (Y t-1 ) εκτιμήθηκε close_1 δηλ. a 1 =1.0753, επιβεβαιώνει ότι έχουμε μη στασιμότητα γιατί για στασιμότητα έπρεπε να έχουμε a 1 <1 ΥΠΑΡΧΕΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ 14 12 10 8 Τιμές κλεισίματος μετοχής (ημερήσιες) Model 1: OLS, using observations 3-966 (T = 964) Dependent variable: close Παλινδρόμηση AR(2) Coefficient Std. Error t-ratio p-value const 0.0265017 0.0199146 1.3308 0.1836 close_1 1.0753 0.0321722 33.4233 <0.0001 *** close_2 0.079317 0.0321735 2.4653 0.0139 ** 6 4 2 0 Mean dependent var 6.570654 S.D. depend var 2.963510 Sum squared resid 61.95689 S.E. of regression 0.253912 R-squared 0.992674 Adjusted R-squared 0.992659 F(2, 961) 65110.28 P-value(F) 0.000000 Log-likelihood 44.93428 Akaike criterion 95.86857 Schwarz criterion 110.4818 Hannan-Quinn 101.4325 rho 0.005259 Durbin's h 3.470151 7.3

Έλεγχος Μοναδιαίας Ρίζας-Στασιμότητα Για το έλεγχο στασιμότητας χρονοσειράς είδαμε ότι χρησιμοποιούμε τον έλεγχο των αυτοσυσχετίσεων (αν μειώνονται γρήγορα στο 0). Αν η χρονοσειρά δεν είναι στάσιμη ελέγχουμε τις διαφορές 1 ης, 2 ης, τάξης. Επειδή η μη στασιμότητα των δεδομένων μπορεί να οδηγήσει σε προβληματικά αποτελέσματα (φαινομενική παλινδρόμηση) υπάρχουν ειδικοί έλεγχοι στασιμότητας. Εναλλακτική λύση και πιο αυστηρός έλεγχος για τη στασιμότητα (stationarity) είναι οι έλεγχοι μοναδιαίας ρίζας (Unit Root Test): 1. Dickey-Fuller test 2. (Επαυξημένο) Augmented Dickey-Fuller test 7.4

Έλεγχος Μοναδιαίας Ρίζας-Dickey-Fuller test Αν μια χρονοσειρά ακολουθεί το μοντέλο AR(1): Y t =ay t-1 +ε t Η χρονοσειρά θα είναι στάσιμη αν -1<a<1, ενώ αν a=1 τότε δεν θα είναι στάσιμη. Ο έλεγχος (test) Dickey-Fuller ελέγχει ακριβώς αν στατιστικά η τιμή του a στο παραπάνω AR(1) μοντέλο είναι στατιστικά ίση με 1. Ελέγχουμε αν ισχύει η μηδενική υπόθεση H 0 : a=1 και κάνουμε έλεγχο για την ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας για το a 1, αν υπάρχει μοναδιαία ρίζα τότε η χρονοσειρά δεν είναι στάσιμη. Επειδή αν ισχύει η μηδενική υπόθεση (a=1) τα δεδομένα δεν είναι στάσιμα, η αντίστοιχη παλινδρόμηση είναι «φαινομενική», η εκτίμηση του a δεν ακολουθεί την κατανομή t-student. ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΥΠΑΡΧΕΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ a Οι Dickey-Fuller έδωσαν τη λύση στο πρόβλημα αυτό (το πρόβλημα της φαινομενικής παλινδρόμησης στην εκτίμηση του a), πρότειναν στο μοντέλο: Y t =ay t-1 +ε t => Y t -Y t-1 =ay t-1 -Y t-1 +ε t => ΔY t =(a-1)y t-1 +ε t => ΔY t =βy t-1 +ε t όπου β=a-1 Οπότε για τον αρχικό έλεγχο H 0 : a=1 έχουμε τον ισοδύναμο H 0 : β=0 με μόνη αλλαγή ότι δεν χρησιμοποιούμε τον πίνακα t-student αλλά τον τροποποιημένο πίνακα τ Dickey-Fuller. Επομένως στον έλεγχο μοναδιαίας ρίζας χρησιμοποιούμε το μοντέλο ΔY t =βy t-1 +ε t και ελέγχουμε την υπόθεση H 0 : β=0 χρησιμοποιώντας τις κρίσιμες τιμές από τον πίνακα τ Dickey-Fuller. Επειδή ο έλεγχος έγινε στο μοντέλο Y t =ay t-1 +ε t για a=1, δηλ. Y t =Y t-1 +ε t ελέγχουμε αν η χρονοσειρά είναι τυχαίος περίπατος (random Walk) 7.5

Dickey-Fuller test-παραδειγμα Σε μια χρονοσειρά με 100 δεδομένα για το μοντέλο: ΔY t =βy t-1 +ε t προέκυψε με την γραμμική παλινδρόμηση: ΔY t =-0.520Y t-1, s β =0.288 και τιμή ελέγχου t στα δεδομένα t = β/s β =1.81 Η κρίσιμη τιμή από τον πίνακα τ Dickey-Fuller για a=0.05=5% και Τ=100 είναι τ 0.05 =1.95 οπότε ισχύει: t =1.81< τ 0.05 =1.95 δηλαδή αποδεχόμαστε την μηδενική υπόθεση Η 0 : β=0 που σημαίνει ότι υπάρχει μοναδιαία ρίζα a=1, η χρονοσειρά δεν είναι στάσιμη. ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν κάναμε τον έλεγχο με την κατανομή t-student η κρίσιμη τιμή από τον αντίστοιχο πίνακα t-student a=0.05=5% και Τ=100 είναι t 0.05 =1.645 οπότε ισχύει: t =1.81> t 0.05 =1.645 οπότε απορρίπτουμε την Η 0 : a=1 ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΛΑΘΟΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ αν χρησιμοποιήσουμε πίνακα t-student ΔY t =βy t-1 +ε t 7.6

Διαδικασία Dickey-Fuller test Για τον έλεγχο μοναδιαίας ρίζας με το Dickey-Fuller test ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: ΒΗΜΑ1: Στη χρονοσειρά Y t με Τ δεδομένα εφαρμόζουμε με γραμμική παλινδρόμηση (OLS) το μοντέλο: ΔY t =βy t-1 +ε t Υπολογίζονται (εκτιμώνται) τα β, s β και t = β/s β ΒΗΜΑ2: Για το επίπεδο ελέγχου a και πλήθος δεδομένων T στον πίνακα τ Dickey-Fuller βρίσκουμε την κρίσιμη τιμή ελέγχου τ 0.05 ΒΗΜΑ3: Αν t δεδομένων < τ 0.05 πίνακα => αποδεχόμαστε Η 0 : β=0 υπάρχει μοναδιαία ρίζα, ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΜΗ ΣΤΑΣΙΜΑ ΔY t =βy t-1 +ε t Αν t δεδομένων > τ 0.05 πίνακα => απορρίπτουμε Η 0 : β 0 ΔΕΝ υπάρχει μοναδιαία ρίζα, ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΣΤΑΣΙΜΑ 7.7

Dickey-Fuller test: έλεγχος ΔY t =δ+βy t-1 +ε t Αν στο προηγούμενο μοντέλο Y t =ay t-1 +ε t που ελέγχουμε, προσθέσουμε και τον σταθερό όρο δ γίνεται: Y t =δ+ay t-1 +ε t δηλ. Τυχαίος Περίπατος με Περιπλάνηση Ο μετασχηματισμός που πρότειναν οι Dickey-Fuller γίνεται: Y t =δ+ay t-1 +ε t => ΔY t =δ+βy t-1 +ε t όπου β=a-1 Οπότε για τον αρχικό έλεγχο H 0 : a=1 έχουμε τον ισοδύναμο H 0 : β=0 με μόνη αλλαγή ότι δεν χρησιμοποιούμε τον πίνακα t-student αλλά τον τροποποιημένο πίνακα τ Dickey-Fuller και οι κρίσιμες τιμές του τ από τον πίνακα Dickey-Fuller είναι διαφορετικές και τις συμβολίζουμε με τ 2. Οι κρίσιμες τιμές του τ 2 είναι το MODEL B στον πίνακα Dickey-Fuller της προηγούμενης διαφάνειας. Ο έλεγχος γίνεται με τον ίδιο τρόπο που περιγράψαμε στα προηγούμενα. Κρίσιμες τιμές τ 2 Dickey-Fuller ΔY t =δ+βy t-1 Επειδή ο έλεγχος έγινε στο μοντέλο Y t =δ+ay t-1 +ε t για a=1 δηλ. Y t =δ+y t-1 +ε t ελέγχουμε αν η χρονοσειρά είναι τυχαίος περίπατος με περιπλάνηση (random Walk with Drift) 7.8

Επαυξημένος Έλεγχος Dickey-Fuller test Στα προηγούμενα κάναμε ελέγχους για ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας με τα μοντέλα Y t =ay t-1 +ε t (τυχαίος περίπατος για a=1) και Y t =δ+ay t-1 +ε t (Τυχαίος Περίπατος με Περιπλάνηση για a=1). Μπορούμε να κάνουμε έλεγχο για τη γενική μορφή της διαδικασίας AR(p) με p>1 Τότε ο έλεγχος ονομάζεται επαυξημένος έλεγχος (augmented test) Dickey-Fuller AR(p): Y t =δ+a 1 Y t-1 +a 2 Y t-2 + +a p Y t-p + ε t Με τον μετασχηματισμός που πρότειναν οι Dickey-Fuller γίνεται: ΔY t =δ+βy t-1 +a 1 ΔY t-1 + a 2 ΔY t-2 + + a p 1 ΔY t-p+1 +ε t όπου β=a 1 +a 2 + +a p-1-1 τα a 1, a 2, είναι επίσης συναρτήσεις των a 1,a 2, Οπότε για τον έλεγχο ύπαρξης μοναδιαίας ρίζας (μη στασιμότητα χρονοσειράς) έχουμε τον ισοδύναμο έλεγχο H 0 : β=0 έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης β<0. Για την τιμή του p [τάξη του μοντέλου AR(p)] που πρέπει να υπολογιστεί για τον έλεγχο, κάνουμε δοκιμές για p=1,2,.. έως τα κατάλοιπα του μοντέλου να είναι Λευκός Θόρυβος (έλεγχος αυτοσυσχετίσεων καταλοίπων Q LB ) ή έλεγχο με AIC για το καλύτερο. Αν εκτιμήσουμε το μοντέλο με γραμμική παλινδρόμηση και χωρίς σταθερό όρο δ χρησιμοποιούμε κρίσιμες τιμές από τον πίνακα τ 1 Dickey-Fuller (MODEL A στον πίνακα) Αν εκτιμήσουμε το μοντέλο με γραμμική παλινδρόμηση και με σταθερό όρο δ χρησιμοποιούμε τον πίνακα τ 2 Dickey-Fuller (MODEL Β στον πίνακα) Επειδή ο έλεγχος έγινε με το μοντέλο AR(p) με p>1 ονομάζεται επαυξημένος έλεγχος (augmented test) Dickey-Fuller 7.9

Επαυξημένο Dickey-Fuller test-παραδειγμα Σε χρονοσειρά με Τ=23 δεδομένα προέκυψε η γραμμική παλινδρόμηση: ΔY t =2.8-0.28Y t-1 +0.18ΔY t-1-0.30δy t-2 +ε t Δηλ. για p=2 είχαμε τα κατάλοιπα να είναι Λευκός Θόρυβος Ο συντελεστής β=-0.28 και τιμή ελέγχου t=β/s β =-1.48 Επειδή στο μοντέλο έχουμε και σταθερά δ, η κρίσιμη τιμή από τον πίνακα τ Dickey-Fuller θα είναι από το Model B πίνακα D-F για a=0.05=5% και Τ=23 είναι τ 0.05 =3.00 οπότε ισχύει: t =1.48 < τ 0.05 =3.00 δηλαδή αποδεχόμαστε τη μηδενική υπόθεση Η 0 : β=0 που σημαίνει ότι υπάρχει μοναδιαία ρίζα a=1, η χρονοσειρά δεν είναι στάσιμη. ΠΡΟΣΟΧΗ: Στον πίνακα τ Dickey-Fuller Model A αντιστοιχεί στις περιπτώσεις που δεν έχουμε σταθερό όρο δ στο μοντέλο Model Β αντιστοιχεί στις περιπτώσεις που έχουμε σταθερό όρο δ στο μοντέλο Model C αντιστοιχεί στις περιπτώσεις που έχουμε χρονική τάση ΔY t =βy t-1 +ε t 7.10

Χρονική Τάση και Έλεγχος Μοναδιαίας Ρίζας Επειδή η μη στασιμότητα των δεδομένων μπορεί να οφείλεται στην ύπαρξη τάσης (trend) στη χρονοσειρά,μπορούμε να προσθέσουμε στο μοντέλο και το χρόνο t ως ερμηνευτική μεταβλητή οπότε προκύπτει το μοντέλο: Y t =δ+β 1 Y t-1 +γt+ε t Με τον μετασχηματισμό που πρότειναν οι Dickey-Fuller γίνεται: ΔY t =δ+βy t-1 +γt+ε t β=β 1-1 Αν β=0 και γ=0 τότε η χρονοσειρά έχει στοχαστική τάση, είναι στάσιμη ως προς τις διαφορές. Ο έλεγχος Dickey-Fuller γίνεται με τις κρίσιμες τιμές τ από το τρίτο μέρος του πίνακα (MODEL C) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Σε χρονοσειρά με Τ=100 εκτιμήθηκε: ΔY t =0.352-0.38Y t-1 +0.02t+ε t (και τα κατάλοιπα χωρίς αυτοσυσχετίσεις) β=-0.38 και τιμή ελέγχου t=-2.12 Από πίνακα τ Dickey-Fuller (μέρος Model C) με a=5%, T=100 κρίσιμη τιμή τ 0.05 =-3.45 Επειδή t =2.12< τ 0.05 =3.45 αποδεχόμαστε την μηδενική Η 0 η χρονοσειρά δεν είναι στάσιμη 7.11

close Επαυξημένο Dickey-Fuller test-gretl-1 Στο GRETL αν θέλουμε να εφαρμόσουμε το Dickey Fuller test στα δεδομένα χρονοσειράς επιλέγουμε από το μενού Variable/Unit root tests/augmented Dickey-Fuller test για τα δεδομένα κλεισίματος μετοχής που φαίνονται στο Γράφημα, το αποτέλεσμα του test φαίνεται δεξιά Πραγματοποιούνται 2 τεστ: with constant and trend (υπάρχει και ο χρόνος t στην εξίσωση) Αν η τιμή του p-value είναι μεγαλύτερη από το επιθυμητό Επίπεδο a τότε η χρονοσειρά δεν είναι στάσιμη 14 12 10 8 6 4 2 Τιμές κλεισίματος μετοχής (ημερήσιες) 0 Επειδή η τιμή p-value είναι μεγαλύτερη από όλες τις τιμές a (1%,5%,10%) η χρονοσειρά δεν είναι στάσιμη Επειδή η τιμή p-value είναι μεγαλύτερη από όλες τις τιμές a (1%,5%,10%) η χρονοσειρά δεν είναι στάσιμη Augmented Dickey-Fuller test for close including 4 lags of (1-L)close (max was 21, criterion AIC) sample size 961 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.000 lagged differences: F(4, 955) = 5.622 [0.0002] estimated value of (a - 1): -0.00336774 test statistic: tau_c(1) = -1.22005 asymptotic p-value 0.6681 with constant and trend model: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.000 lagged differences: F(4, 954) = 5.715 [0.0002] estimated value of (a - 1): -0.00243088 test statistic: tau_ct(1) = -0.839728 asymptotic p-value 0.9607 7.12

Επαυξημένο Dickey-Fuller test-gretl-2 Στο GRETL αν θέλουμε να εφαρμόσουμε το Dickey Fuller test στα δεδομένα χρονοσειράς επιλέγουμε από το μενού Variable/Unit root tests/augmented Dickey-Fuller test για τα δεδομένα Πρώτων Διαφορών κλεισ. μετοχής στο Γράφημα, το αποτέλεσμα του test φαίνεται δεξιά Πραγματοποιούνται 2 τεστ: with constant and trend (υπάρχει και ο χρόνος t στην εξίσωση) Αν η τιμή του p-value είναι ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ μεγαλύτερη από το επιθυμητό Επίπεδο a τότε η χρονοσειρά είναι στάσιμη 1 0.5 0-0.5-1 -1.5 Πρώτες Διαφορές Τιμών κλεισίματος μετοχής (ημερήσιες) -2 Επειδή η τιμή p-value ΔΕΝ είναι μεγαλύτερη από όλες τις τιμές a (1%,5%,10%) η χρονοσειρά είναι στάσιμη Επειδή η τιμή p-value ΔΕΝ είναι μεγαλύτερη από όλες τις τιμές a (1%,5%,10%) η χρονοσειρά είναι στάσιμη Augmented Dickey-Fuller test for d_close including 3 lags of (1-L)d_close (max was 21, criterion AIC) sample size 961 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.000 lagged differences: F(3, 956) = 5.677 [0.0007] estimated value of (a - 1): -1.11162 test statistic: tau_c(1) = -17.7324 asymptotic p-value 1.358e-042 with constant and trend model: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.000 lagged differences: F(3, 955) = 5.886 [0.0006] estimated value of (a - 1): -1.11851 test statistic: tau_ct(1) = -17.7955 asymptotic p-value 1.206e-057 7.13

Επαυξημένο Dickey-Fuller test-gretl-σύνοψη Στο GRETL αν θέλουμε να εφαρμόσουμε το Dickey Fuller test στα δεδομένα χρονοσειράς επιλέγουμε από το μενού Variable/Unit root tests/augmented Dickey-Fuller test στο παράθυρο του ADF test έχουμε επιλογές: Lag order for ADF test: τάξη υστέρησης που θα χρησιμοποιηθεί στο AR() μοντέλο Test down from maximum lag order: ελέγχει όλα τα AR() και επιλέγει το καλύτερο criterion: το κριτήριο επιλογής του καλύτερου Παρακάτω ορίζονται οι έλεγχοι που θα γίνουν Test without constant: Έλεγχος χωρίς σταθερά With constant: Έλεγχος με σταθερά With constant and trend: Έλεγχος με σταθερά και τάση With constant, trend and trend squared: Έλεγχος με σταθερά, τάση και τετραγωνική τάση. Use level of variable: χρήση των τιμών της μεταβλητής Use first difference of variable: χρήση 1 ων διαφορών της μεταβλητής Augmented Dickey-Fuller test for d_close including 3 lags of (1-L)d_close (max was 21, criterion AIC) sample size 961 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.000 lagged differences: F(3, 956) = 5.677 [0.0007] estimated value of (a - 1): -1.11162 test statistic: tau_c(1) = -17.7324 asymptotic p-value 1.358e-042 with constant and trend model: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.000 lagged differences: F(3, 955) = 5.886 [0.0006] estimated value of (a - 1): -1.11851 test statistic: tau_ct(1) = -17.7955 asymptotic p-value 1.206e-057 Αν p-value > a υπάρχει μοναδιαία ρίζα, ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑ μη ΣΤΑΣΙΜΗ Αν p-value < a ΔΕΝ υπάρχει μοναδιαία ρίζα, ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑ ΣΤΑΣΙΜΗ 7.14

Συνολοκλήρωση- Πρόβλημα Χρήσης Διαφορών Για να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα της φαινομενικής παλινδρόμησης χρησιμοποιούμε τις διαφορές. Έστω 2 οικονομικές μεταβλητές για τις οποίες ισχύει η σχέση: Y t =β 0 +β 1 Χ t +β 2 Χ t-1 +β 3 Υ t-1 +ε t (δηλ. οι τιμές της Y t εξαρτώνται και από τις τιμές της X t ) Αν οι μεταβλητές Χ, Υ είναι οικονομικές που βρίσκονται σε κατάσταση μακροχρόνιας σταθερής ισορροπίας (steady state equilibrium) και οι τιμές ισορροπίας είναι Y e και Χ e τότε Υ t =Y t-1 =Y e και Χ t =Χ t-1 =Χ e Οπότε Y e =β 0 +β 1 Χ e +β 2 Χ e +γ 1 Υ e => Y e -γ 1 Υ e =β 0 +β 1 Χ e +β 2 Χ e => (1-γ 1 )Y e =β 0 +(β 1 +β 2 )Χ e => Y e =β 0 /(1-γ 1 ) +[(β 1 +β2)/(1-γ 1 )]Χ e Δηλαδή σχέση της μορφής Y e =α 0 +α 1 Χ e που είναι γραμμική (απλή γραμμική παλινδρόμηση) Αν χρησιμοποιήσουμε τις διαφορές ΔΧ, ΔΥ επειδή Υ t =Y t-1 =Y e και Χ t =Χ t-1 =Χ e όλες οι διαφορές θα είναι 0, οπότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις διαφορές, αν οι χρονοσειρές X, Y είναι ολοκληρωμένες (μη στάσιμες). Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε την έννοια της συνολοκλήρωσης (cointegration) Αν χρησιμοποιήσουμε οποιοδήποτε μοντέλο όπως Y e =α 0 +α 1 Χ e (γραμμική παλινδρόμηση) θα έχουμε πρόβλημα «φαινομενικής» παλινδρόμησης αν Χ,Υ μη στάσιμες. 7.15

Συνολοκλήρωση- Μακροχρόνια Ισορροπία Η Συνολοκλήρωση αποτελεί το συνδετικό μεταξύ ολοκληρωμένων (μη στάσιμων) διαδικασιών και της έννοιας μακροχρόνιας ισορροπίας. Αν πάρουμε την απλούστερη μακροχρόνια σχέση μεταξύ 2 μεταβλητών Χ, Υ: Y t =ax t Αν οι μεταβλητές Χ,Υ είναι σε μακροχρόνια ισορροπία τότε θα ισχύει (για κάποια τιμή a): Y t -ax t =0 Η διαφορά δεν θα είναι ακριβώς μηδέν αλλά: Y t -ax t =ε t ε t είναι το σφάλμα ανισορροπίας ή σφάλμα ισορροπίας με μέσο μηδέν Το σφάλμα ε t θα παρουσιάζει συμπεριφορά της μορφής καμπύλης Α (με μέση τιμή 0) Η καμπύλες Β,Γ είναι περιπτώσεις που το ε t αποκλίνει και επομένως δεν υπάρχει ισορροπία. Επομένως αν βρούμε το a που αντιστοιχεί σε ε t που είναι I(0) δηλ. στάσιμη ε t, έχουμε ανακαλύψει τη σχέση μακροχρόνιας ισορροπίας των Χ,Υ που ονομάζουμε συνολοκληρωμένες (cointegrated) 7.16

Συνολοκλήρωση-2 Χρονοσειρές ΟΡΙΣΜΟΣ: Οι χρονοσειρές Χ,Υ ονομάζονται συνολοκληρωμένες (cointegrated) τάξης d, b αν ισχύουν: 1. Oι X,Y είναι ολοκληρωμένες τάξης d 2. Υπάρχει γραμμικός συνδυασμός των X,Y που αποτελεί ολοκληρωμένη χρονοσειρά τάξης (d-b), b>0. Επειδή στις οικονομικές εφαρμογές χρονολογικών σειρών είναι συνηθισμένο τα δεδομένα (χρονοσειρές) να είναι I(1) (τυχαίος περίπατος) απλούστερος ορισμός συνολοκλήρωσης είναι: 2 χρονοσειρές Χ,Υ ολοκληρωμένες τάξης 1 I(1) (μη στάσιμες), είναι συνολοκληρωμένες αν υπάρχουν a, b ώστε ο γραμμικός συνδυασμός τους ax+by που να είναι τάξης 0 Ι(0) (στάσιμος). Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι για να ελέγξουμε αν 2 χρονοσειρές Χ,Υ είναι συνολοκληρωμένες πρέπει να εξετάσουμε τη στασιμότητα του γραμμικού συνδυασμού ax+by, αυτό μπορεί να γίνει με έλεγχο Dickey-Fuller για τα κατάλοιπα της παλινδρόμησης του γραμμικού συνδυασμού τους. Ο έλεγχος αυτός ονομάζεται Engle-Granger Cointegration TEST. 7.17

Συνολοκλήρωση-n Χρονοσειρές ΟΡΙΣΜΟΣ: Η έννοια της συνολοκλήρωσης μπορεί να επεκταθεί σε περισσότερες από 2 χρονοσειρές, π.χ. αν έχουμε 3 χρονοσειρές Χ,Υ,Ζ μπορούμε να έχουμε το γραμμικό συνδυασμό ax+by+cz και γενικότερα n χρονοσειρές Χ 1, Χ 2, Χ n το γραμμικό συνδυασμό b 1 Χ 1 +b 2 Χ 2 + +b n Χ n. Με τον έλεγχο των καταλοίπων της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης μπορούμε να συμπεράνουμε την συνολοκλήρωση περισσότερων από 2 χρονοσειρών (δηλ. ότι βρίσκονται σε μακροχρόνια ισορροπία). Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι για να ελέγξουμε αν n χρονοσειρές Χ 1, Χ 2, Χ n είναι συνολοκληρωμένες πρέπει να εξετάσουμε τη στασιμότητα του γραμμικού συνδυασμού b 1 Χ 1 +b 2 Χ 2 + +b n Χ n, αυτό μπορεί να γίνει με έλεγχο Dickey-Fuller για τα κατάλοιπα της πολλαπλής παλινδρόμησης του γραμμικού συνδυασμού τους. Engle-Granger TEST. Στην περίπτωση συνολοκλήρωσης πολλών χρονοσειρών μπορούμε να εκφράσουμε τις σχέσεις χρησιμοποιώντας πίνακες: b 1 b Π.χ. οι συντελεστές b i της b 1 Χ 1 +b 2 Χ 2 + +b n Χ n είναι σε μορφή πίνακα: 2 b n 7.18

Έλεγχος Συνολοκλήρωσης Έστω ότι έχουμε τις k+1 χρονοσειρές Y, Χ 1, Χ 2, Χ k για τις οποίες ισχύει η μακροχρόνια σχέση (ισορροπία): Y t =b 0 +b 1 Χ 1t +b 2 Χ 2t + +b k Χ kt Αν όλες οι χρονοσειρές είναι Ι(1) δηλ. μη στάσιμες (αλλά με διαφορές 1 ης τάξης στάσιμες) θα είναι συνολοκληρωμένες αν ο γραμμικός συνδυασμός τους: ε t =Y t -b 0 -b 1 Χ 1t -b 2 Χ 2t - -b k Χ kt (ε t είναι τα κατάλοιπα της σχέσης) είναι χρονοσειρά I(0), δηλαδή στάσιμη. Η σχέση για την Y t είναι μια πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση που μπορεί να εκτιμηθεί με ελάχιστα τετράγωνα, ονομάζεται παλινδρόμηση συνολοκλήρωσης (cointegration regression) ή στατική παλινδρόμηση (static regression) γιατί κάνουμε έλεγχο για την στασιμότητα (stationarity) των καταλοίπων της. Ο έλεγχος των καταλοίπων ε t για στασιμότητα, γίνεται με τον έλεγχο Dickey-Fuller ονομάζεται έλεγχος (test) συνολοκλήρωσης Engle-Granger. Αν είχαμε μόνο 2 μεταβλητές X,Y στον έλεγχο θα είχαμε τα κατάλοιπα μιας απλής γραμμικής παλινδρόμησης. Όσες και να είναι οι μεταβλητές που ελέγχουμε για συνολοκλήρωση χρησιμοποιούμε τα κατάλοιπα της γραμμικής παλινδρόμησης (απλής ή πολλαπλής) που είναι 1 χρονοσειρά των καταλοίπων ε t. 7.19

Έλεγχος Συνολοκλήρωσης (Engle-Granger) Από την γραμμική παλινδρόμηση των χρονοσειρών που θέλουμε να ελέγξουμε για συνολοκλήρωση προκύπτουν τα κατάλοιπα ε t, οπότε έχουμε τον έλεγχο στασιμότητας της χρονοσειράς των καταλοίπων ε t. Επομένως έλεγχο Dickey-Fuller: Αν υποθέσουμε ότι τα κατάλοιπα είναι AR(1): ε t =ρε t-1 +e t Αν ρ=1 (μοναδιαία ρίζα) τότε τα κατάλοιπα ε t δεν είναι στάσιμη χρονοσειρά (μη συνολοκληρωμένες) Με τον μετασχηματισμό Dickey-Fuller: Δε t =ρ*ε t-1 +e t όπου ρ*=ρ-1 θα ελέγξουμε την μηδενική υπόθεση: Η 0 : ρ*=0 Αν κατάλοιπα στάσιμα=> χρονοσειρές συνολοκληρωμένες Αν κατάλοιπα ΜΗ στάσιμα=> χρονοσειρές ΜΗ συνολοκληρωμένες Ο πίνακας που θα χρησιμοποιήσουμε είναι ο Τροποποιημένος πίνακας τ Dickey-Fuller που ονομάζεται Πίνακας Engle-Granger Αν δοκιμάσουμε στα κατάλοιπα ε t μοντέλα AR(p) Θα έχουμε έλεγχο επαυξημένο Dickey-Fuller. [ΒΛΕΠΕ ΕΛΕΓΧΟΙ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΡΙΖΑΣ] Πίνακας Engle-Granger Cointegration test 7.20

Έλεγχος Συνολοκλήρωσης Παράδειγμα Στα δεδομένα χρονοσειρών X,Y με Τ=100 προέκυψε η γραμμική παλινδρόμηση συνολοκλήρωσης: Y t =-16.8+0.85Χ t με R 2 =0.991 Για τα κατάλοιπα της προηγούμενης παλινδρόμησης εκτιμήθηκε η παρακάτω παλινδρόμηση: Δε t =-0.72ε t-1 Και η τιμή ελέγχου t=-4.2=b/s b Από τον πίνακα Engle-Granger για α=5%, 2 μεταβλητές και T=100 η κρίσιμη τιμή τ=3.17 Επομένως επειδή t =4.2> τ 3.17 δεν αποδεχόμαστε την H 0 για ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας => Η χρονοσειρά των καταλοίπων είναι στάσιμη => οι χρονοσειρές Χ,Υ είναι συνολοκληρωμένες. Πίνακας Engle-Granger Cointegration test 7.21

closec Έλεγχος Συνολοκλήρωσης GRETL Δ1 Στο GRETL για τον έλεγχο συνολοκλήρωσης η εντολή είναι στο μενού: Model/Time series/cointegration test/engle-granger closea 1400 1300 1200 1100 1000 900 Μετοχή CloseA 800 700 600 500 400 1.6 1.4 1.2 Μετοχή CloseB closeb 1 0.8 0.6 0.4 14 12 10 Μετοχή CloseC 8 6 Τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν είναι τιμές κλεισίματος 3 μετοχών CloseA, CloseB, CloseC 4 2 0 7.22

Έλεγχος Συνολοκλήρωσης GRETL Δ2 Στο GRETL για τον έλεγχο συνολοκλήρωσης η εντολή είναι στο μενού: Model/Time series/cointegration test/engle-granger closea closec Στο παράθυρο Cointegration test επιλέγουμε και ορίζουμε τις τουλάχιστο 2 μεταβλητές (χρονοσειρές) που θα ελεγχθούν (variables to test). Επιλέγουμε και το lag order του ελέγχου. Το αποτέλεσμα του ελέγχου εμφανίζεται σε παράθυρο που ξεκινά με Step1: closeb 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Μετοχή CloseA Μετοχή CloseB 0.6 0.4 14 12 10 Μετοχή CloseC 8 6 4 2 0 7.23

Έλεγχος Συνολοκλήρωσης GRETL Δ3 Τα αποτελέσματα του ελέγχου συνολοκλήρωσης είναι μακροσκελή και έχουν 4 βήματα (step) που παρουσιάζουμε αναλυτικά στις επόμενες διαφάνειες closea 1400 1300 closec 1200 1100 1000 900 Μετοχή CloseA 800 Step 1: testing for a unit root in closea Augmented Dickey-Fuller test for closea including one lag of (1-L)closeA sample size 964 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.002 estimated value of (a - 1): -0.00502852 test statistic: tau_c(1) = -1.61309 asymptotic p-value 0.4758 Step 2: testing for a unit root in closeb Augmented Dickey-Fuller test for closeb including one lag of (1-L)closeB sample size 964 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.000 estimated value of (a - 1): -0.00528052 test statistic: tau_c(1) = -1.57966 asymptotic p-value 0.493 Step 3: cointegrating regression Cointegrating regression - OLS, using observations 1-966 Dependent variable: closea coefficient std. error t-ratio p-value --------------------------------------------------------- const 338.083 8.57508 39.43 3.13e-203 *** closeb 721.051 10.3599 69.60 0.0000 *** Mean dependent var 901.1607 S.D. dependent var 216.7547 Sum squared resid 7524947 S.E. of regression 88.35136 R-squared 0.834026 Adjusted R-squared 0.833854 Log-likelihood 5698.650 Akaike criterion 11401.30 Schwarz criterion 11411.05 Hannan-Quinn 11405.01 rho 0.969959 Durbin-Watson 0.060691 Step 4: testing for a unit root in uhat Augmented Dickey-Fuller test for uhat including one lag of (1-L)uhat sample size 964 model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.003 estimated value of (a - 1): -0.0288843 test statistic: tau_c(2) = -3.63662 asymptotic p-value 0.02208 There is evidence for a cointegrating relationship if: (a) The unit-root hypothesis is not rejected for the individual variables, and (b) the unit-root hypothesis is rejected for the residuals (uhat) from the cointegrating regression. closeb 700 600 500 400 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 14 12 10 8 6 4 2 Μετοχή CloseB Μετοχή CloseC 0 7.24

Έλεγχος Συνολοκλήρωσης GRETL Δ4 Ανάλυση αποτελεσμάτων Συνολοκλήρωσης Βήμα 1-2 Step 1: testing for a unit root in closea Augmented Dickey-Fuller test for closea including one lag of (1-L)closeA sample size 964 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.002 estimated value of (a - 1): -0.00502852 test statistic: tau_c(1) = -1.61309 asymptotic p-value 0.4758 Step 2: testing for a unit root in closeb Augmented Dickey-Fuller test for closeb including one lag of (1-L)closeB sample size 964 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.000 estimated value of (a - 1): -0.00528052 test statistic: tau_c(1) = -1.57966 asymptotic p-value 0.493 STEP 1: Έλεγχος για μοναδιαία ρίζα στη χρονοσειρά closea με το Augmented Dickey-Fuller test (επαυξημένο έλεγχο DF), ορίστηκε έλεγχος με υστέρηση (lag) 1 STEP 1: υπολογίστηκε η τιμή p-value=0.4758 επομένως υπάρχει μοναδιαία ρίζα αφού είναι μεγαλύτερο από a=5%=0.05, η χρονοσειρά CloseA μη στάσιμη STEP 2: Έλεγχος για μοναδιαία ρίζα στη χρονοσειρά closeb με το Augmented Dickey-Fuller test (επαυξημένο έλεγχο DF), ορίστηκε έλεγχος με υστέρηση (lag) 1 STEP 2: υπολογίστηκε η τιμή p-value=0.493 επομένως υπάρχει μοναδιαία ρίζα αφού είναι μεγαλύτερο από a=5%=0.05, η χρονοσειρά CloseB μη στάσιμη 7.25

Έλεγχος Συνολοκλήρωσης GRETL Δ5 Ανάλυση αποτελεσμάτων Συνολοκλήρωσης Βήμα 3 Step 3: cointegrating regression Cointegrating regression - OLS, using observations 1-966 Dependent variable: closea coefficient std. error t-ratio p-value --------------------------------------------------------- const 338.083 8.57508 39.43 3.13e-203 *** closeb 721.051 10.3599 69.60 0.0000 *** Mean dependent var 901.1607 S.D. dependent var 216.7547 Sum squared resid 7524947 S.E. of regression 88.35136 R-squared 0.834026 Adjusted R-squared 0.833854 Log-likelihood 5698.650 Akaike criterion 11401.30 Schwarz criterion 11411.05 Hannan-Quinn 11405.01 rho 0.969959 Durbin-Watson 0.060691 STEP 3: Παλινδρόμηση συνολοκλήρωσης (cointegration regression) με χρήση ελαχίστων τετραγώνων (OLS), τα δεδομένα ήταν T=966, εξαρτημένη μεταβλητή (Dependent) CloseA και ανεξάρτητη μεταβλητή CloseB. Οι τιμές των συντελεστών της παλινδρόμησης είναι στατιστικά σημαντικές (*** σε επίπεδο 1%) Το R 2 =0.834 (υψηλό) Στο βήμα 3 παρουσιάζεται η γραμμική παλινδρόμηση που χρησιμοποιείτε για τον έλεγχο συνολοκλήρωσης. Δεν βγάζουμε κάποιο συμπέρασμα από τις τιμές. 7.26

Έλεγχος Συνολοκλήρωσης GRETL Δ6 Ανάλυση αποτελεσμάτων Συνολοκλήρωσης Βήμα 4 Step 4: testing for a unit root in uhat Augmented Dickey-Fuller test for uhat including one lag of (1-L)uhat sample size 964 model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.003 estimated value of (a - 1): -0.0288843 test statistic: tau_c(2) = -3.63662 asymptotic p-value 0.02208 There is evidence for a cointegrating relationship if: (a) The unit-root hypothesis is not rejected for the individual variables, and (b) the unit-root hypothesis is rejected for the residuals (uhat) from the cointegrating regression. STEP 4: Έλεγχος για μοναδιαία ρίζα στη χρονοσειρά uhat τα κατάλοιπα της παλινδρόμησης στο STEP 3 με το Augmented Dickey-Fuller test (επαυξημένο έλεγχο DF), ορίστηκε έλεγχος με υστέρηση (lag) 1 μέγεθος δείγματος 964 (Sample size 964) Μηδενική υπόθεση μοναδιαίας ρίζας a=1 (unit-root null hypothesis). Εκτίμηση τιμής (a-1) (estimated value of ) τιμή ελέγχου (test statistic) Τιμή p-value (asymptotic p-value) Επειδή το p-value είναι 0.02208=2.208% μικρότερο από a=5% τα κατάλοιπα της παλινδρόμησης συνολοκλήρωσης είναι στάσιμη χρονοσειρά (δεν έχουν μοναδιαία ρίζα), επομένως οι χρονοσειρές είναι συνολοκληρωμένες. 7.27

Έλεγχος Συνολοκλήρωσης GRETL ΣΥΝΟΨΗ Αν κάνουμε έλεγχο συνολοκλήρωσης Engle-Granger με το GRETL έχουμε 4 βήματα: ΒΗΜΑ 1: Ελέγχουμε αν η 1 η χρονοσειρά είναι στάσιμη με τον έλεγχο καταλοίπων ADF (επαυξημένο τεστ Dickey-Fuller) Αν p-value >a=5% ΜΗ ΣΤΑΣΙΜΗ η 1 η χρονοσειρά ΒΗΜΑ 2: Ελέγχουμε αν η 2 η χρονοσειρά είναι στάσιμη με τον έλεγχο καταλοίπων ADF (επαυξημένο τεστ Dickey-Fuller) Αν p-value >a=5% ΜΗ ΣΤΑΣΙΜΗ η 2 η χρονοσειρά ΒΗΜΑ 3: Πραγματοποιούμε τη γραμμική παλινδρόμηση συνολοκλήρωσης γιατί χρειαζόμαστε τα κατάλοιπά της ΒΗΜΑ 4: Ελέγχουμε τα κατάλοιπα της γραμμικής παλινδρόμησης συνολοκλήρωσης αν είναι στάσιμα με τον έλεγχο ADF (επαυξημένο τεστ Dickey-Fuller) ΑΝ ΕΊΝΑΙ ΣΤΑΣΙΜΑ τότε ΟΙ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΕΣ (p-value < a=5%) ΑΝ ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ ΣΤΑΣΙΜΑ τότε ΟΙ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΜΗ ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΕΣ (p-value > a=5%) ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΗ: πρέπει οι 2 χρονοσειρές στο βήμα 1 και 2 να μην είναι στάσιμες 7.28

Έλεγχος Συνολοκλήρωσης GRETL B-C Έλεγχος συνολοκλήρωσης για τις χρονοσειρές CloseΒ και CloseC closea closec Step 1: testing for a unit root in closeb Augmented Dickey-Fuller test for closeb including one lag of (1-L)closeB sample size 964 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.000 estimated value of (a - 1): -0.00528052 test statistic: tau_c(1) = -1.57966 asymptotic p-value 0.493 Step 2: testing for a unit root in closec Augmented Dickey-Fuller test for closec including one lag of (1-L)closeC sample size 964 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.005 estimated value of (a - 1): -0.00401769 test statistic: tau_c(1) = -1.45384 asymptotic p-value 0.5572 Step 3: cointegrating regression Cointegrating regression - OLS, using observations 1-966 Dependent variable: closeb coefficient std. error t-ratio p-value --------------------------------------------------------- const 0.251968 0.0106087 23.75 1.54e-098 *** closec 0.0805722 0.00147302 54.70 8.34e-298 *** Mean dependent var 0.780912 S.D. dependent var 0.274532 Sum squared resid 17.72312 S.E. of regression 0.135591 R-squared 0.756315 Adjusted R-squared 0.756063 Log-likelihood 560.4813 Akaike criterion 1116.963 Schwarz criterion 1107.216 Hannan-Quinn 1113.252 rho 0.978453 Durbin-Watson 0.043152 Step 4: testing for a unit root in uhat Augmented Dickey-Fuller test for uhat including one lag of (1-L)uhat sample size 964 model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.004 estimated value of (a - 1): -0.0198496 test statistic: tau_c(2) = -2.9726 asymptotic p-value 0.1169 closeb 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 14 12 10 8 6 Μετοχή CloseA Μετοχή CloseB Μετοχή CloseC 4 2 0 7.29

closeb closec Έλεγχος Συνολοκλήρωσης GRETL B-C Έλεγχος συνολοκλήρωσης για τις χρονοσειρές CloseΒ και CloseC Step 1: testing for a unit root in closeb Augmented Dickey-Fuller test for closeb including one lag of (1-L)closeB sample size 964 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.000 estimated value of (a - 1): -0.00528052 test statistic: tau_c(1) = -1.57966 asymptotic p-value 0.493 Step 2: testing for a unit root in closec Augmented Dickey-Fuller test for closec including one lag of (1-L)closeC sample size 964 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.005 estimated value of (a - 1): -0.00401769 test statistic: tau_c(1) = -1.45384 asymptotic p-value 0.5572 STEP 1: Έλεγχος για μοναδιαία ρίζα στη χρονοσειρά closeb με το ADF test (επαυξημένο έλεγχο DF), p-value=0.493 (>α=5%) είναι closeb μη στάσιμη STEP 2: Έλεγχος για μοναδιαία ρίζα στη χρονοσειρά closec με το ADF test (επαυξημένο έλεγχο DF), p-value=0.5572 (>α=5%) είναι closec μη στάσιμη 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Μετοχή CloseB 14 12 10 8 6 4 2 Μετοχή CloseC 0.4 0 7.30

closeb closec Έλεγχος Συνολοκλήρωσης GRETL B-C Έλεγχος συνολοκλήρωσης για τις χρονοσειρές CloseΒ και CloseC Step 3: cointegrating regression Cointegrating regression - OLS, using observations 1-966 Dependent variable: closeb coefficient std. error t-ratio p-value --------------------------------------------------------- const 0.251968 0.0106087 23.75 1.54e-098 *** closec 0.0805722 0.00147302 54.70 8.34e-298 *** Mean dependent var 0.780912 S.D. dependent var 0.274532 Sum squared resid 17.72312 S.E. of regression 0.135591 R-squared 0.756315 Adjusted R-squared 0.756063 Log-likelihood 560.4813 Akaike criterion 1116.963 Schwarz criterion 1107.216 Hannan-Quinn 1113.252 rho 0.978453 Durbin-Watson 0.043152 Step 4: testing for a unit root in uhat Augmented Dickey-Fuller test for uhat including one lag of (1-L)uhat sample size 964 model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.004 estimated value of (a - 1): -0.0198496 test statistic: tau_c(2) = -2.9726 asymptotic p-value 0.1169 ΣΥΝΟΛΟΚΗΡΩΜΕΝΕΣ 1.6 Μετοχή 14 CloseB 12 1.4 10 1.2 1 0.8 0.6 0.4 STEP 3: η παλινδρόμηση συνολοκλήρωσης, δεν υπάρχει κάποιο συμπέρασμα (εκτός του R 2 =0.756) STEP 4: Έλεγχος για μοναδιαία ρίζα στη χρονοσειρά καταλοίπων της παλινδρόμησης συνολοκλήρωσης, p-value=0.1169=11.69% (>α=5%) τα κατάλοιπα είναι μη στάσιμα => οι χρονοσειρές CloseB και CloseC ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ 8 6 4 2 0 Μετοχή CloseC 7.31

closea closec Έλεγχος Συνολοκλήρωσης GRETL CloseΑ-C Έλεγχος συνολοκλήρωσης για τις χρονοσειρές CloseΑ και CloseC Step 1: testing for a unit root in closec Augmented Dickey-Fuller test for closec including 4 lags of (1-L)closeC (max was 10, criterion AIC) sample size 955 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.001 lagged differences: F(4, 949) = 5.597 [0.0002] estimated value of (a - 1): -0.00357543 test statistic: tau_c(1) = -1.28793 asymptotic p-value 0.6375 Step 2: testing for a unit root in closea Augmented Dickey-Fuller test for closea including 8 lags of (1-L)closeA (max was 10, criterion AIC) sample size 955 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.001 lagged differences: F(8, 945) = 4.358 [0.0000] estimated value of (a - 1): -0.00488393 test statistic: tau_c(1) = -1.55112 asymptotic p-value 0.5077 Step 3: cointegrating regression Cointegrating regression - OLS, using observations 1-966 Dependent variable: closec coefficient std. error t-ratio p-value ---------------------------------------------------------- const 5.27185 0.113124 46.60 3.77e-249 *** closea 0.0131349 0.000122054 107.6 0.0000 *** Mean dependent var 6.564845 S.D. dependent var 2.963186 Sum squared resid 651.0997 S.E. of regression 0.821836 R-squared 0.923157 Adjusted R-squared 0.923078 Log-likelihood 1180.151 Akaike criterion 2364.301 Schwarz criterion 2374.048 Hannan-Quinn 2368.012 rho 0.977869 Durbin-Watson 0.045304 Step 4: testing for a unit root in uhat Augmented Dickey-Fuller test for uhat including one lag of (1-L)uhat (max was 10, criterion AIC) sample size 964 model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.000 estimated value of (a - 1): -0.0210868 test statistic: tau_c(2) = -3.07392 asymptotic p-value 0.09371 Στην περίπτωση αυτή κάναμε τον έλεγχο πιο γενικό επιλέγοντας lag=10 και test down from maximum lag order (δηλαδή να ελέγξει το GRETL για όλες τις τιμές από lag 10 έως 1). Στα αποτελέσματα η Close A μη στάσιμη με p-value=0.5077 Η CloseC μη στάσιμη με p-value=0.6375 Τα κατάλοιπα επίσης μη στάσιμα με p-value=0.09371>5% ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΕΣ Στο step 1 ελέγχθηκαν 10 lags και επιλέχθηκαν 4 με κριτήριο το minaic Στο step 2 επιλέχθηκαν 8 lags There is evidence for a cointegrating relationship if: (a) The unit-root hypothesis is not rejected for the individual variables, and (b) the unit-root hypothesis is rejected for the residuals (uhat) from the cointegrating regression. 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 14 12 10 8 6 4 2 0 7.32

Υπερσυνέπεια (superconsistancy) Στους ελέγχους για συνολοκλήρωση εξετάζουμε τα κατάλοιπα από τη γραμμική παλινδρόμηση μεταξύ των χρονοσειρών, χωρίς να χρησιμοποιούμε χρονικές υστερήσεις των χρονοσειρών. Οι εκτιμήσεις των συντελεστών της παλινδρόμησης συνολοκλήρωσης, αν οι χρονοσειρές είναι συνολοκληρωμένες παρουσιάζουν την ιδιότητα να συγκλίνουν γρηγορότερα στις πραγματικές τιμές, από το αν είχαμε στάσιμες χρονοσειρές. Το φαινόμενο γρήγορης σύγκλισης των συντελεστών της παλινδρόμησης συνολοκλήρωσης ονομάζεται Υπερσυνέπεια (superconsistancy). Πρακτικά σημαίνει ότι δεν προκύπτει πάντα το πρόβλημα φαινομενικής παλινδρόμησης όταν χρησιμοποιούμε I(1) μεταβλητές (δηλ. μη στάσιμες μεταβλητές). 7.33

Μοντέλα Διόρθωσης Λαθών Έστω η σχέση μακροχρόνιας ισορροπίας 2 μεταβλητών X,Y: Y t =α 0 +α 1 Χ t Όπως αναλύσαμε στα προηγούμενα της ενότητας, στην πράξη παρατηρούμε μια σχέση ανισορροπίας (λόγω τυχαίου σφάλματος) που μπορεί να είναι σχέση της μορφής: Y t =β 0 +β 1 Χ t +β 2 Χ t-1 +γ 1 Υ t-1 +ε t Τη σχέση αυτή με μαθηματικές πράξεις μπορούμε να την μετατρέψουμε στην: ΔY t =β 1 ΔΧ t -(1-γ 1 )(Υ t-1 -a 0 -a 1 Χ t-1 )+ε t όπου a 0 =β 0 /(1-γ 1 ) και a 1 =(β 1 +β 2 )/(1-γ 1 ) Παρατηρούμε ότι οι μεταβολές της Υ, ΔΥ t εξαρτώνται από τις μεταβολές της Χ, ΔΧ και από τον όρο (Υ t-1 -a 0 -a 1 Χ t-1 ) που αναπαριστά το σφάλμα ανισορροπίας της προηγούμενης χρονικής περιόδου πολλαπλασιαζόμενο με (1-γ 1 ) δηλ. το μοντέλο λαμβάνει υπόψη το σφάλμα της προηγούμενης περιόδου («προσπαθεί να το διορθώσει») Επομένως ονομάζεται Μοντέλο Διορθώσεων Λαθών (Error Correction Model). ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΣΗΣ GRANGER (Granger representation theorem) Οι Engle και Granger απέδειξαν ότι: Αν 2 μεταβλητές είναι συνολοκληρωμένες, τότε η μεταξύ τους βραχυχρόνια σχέση ανισορροπίας μπορεί πάντα να διατυπωθεί με ένα μοντέλο διόρθωσης λαθών. 7.34

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Τι εννοούμε με τον όρο φαινομενική παλινδρόμηση και ποια είναι η αιτία? 2. Τι ελέγχουμε στον έλεγχο μοναδιαίας ρίζας? 3. Ποια είναι η χρήση του ελέγχου μοναδιαίας ρίζας στην ανάλυση χρονοσειρών? 4. Τι είναι το Dickey-Fuller test και ποιες είναι οι 3 μορφές του? 5. Γιατί χρησιμοποιούμε την έννοια της συνολοκλήρωσης στις χρονοσειρές. 6. Τι σημαίνει ότι οι χρονοσειρές Χ,Υ είναι συνολοκληρωμένες? 7. Πως κάνουμε τον έλεγχο συνολοκλήρωσης? 8. Τι είναι η παλινδρόμηση συνολοκλήρωσης? 9. Τι είναι η υπερσυνέπεια? 10. Ποιο είναι το θεώρημα Engle-Granger για 2 συνολοκληρωμένες χρονοσειρές. 11. Τι είναι το μοντέλο διόρθωσης λαθών? 7.35

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7.1 Το πλαίσιο παρουσιάζει το αποτέλεσμα ελέγχου ADF για μια χρονοσειρά: A. Ποια είναι η χρονοσειρά και πόσα τα δεδομένα της. B. Ποιο είναι το αποτέλεσμα του ελέγχου. C. Η χρονοσειρά έχει μοναδιαία ρίζα? D. Γιατί χρησιμοποιήθηκε το κριτήριο AIC Augmented Dickey-Fuller test for close including 4 lags of (1-L)close (max was 21, criterion AIC) sample size 961 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.000 lagged differences: F(4, 955) = 5.622 [0.0002] estimated value of (a - 1): -0.00336774 test statistic: tau_c(1) = -1.22005 asymptotic p-value 0.6681 with constant and trend model: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.000 lagged differences: F(4, 954) = 5.715 [0.0002] estimated value of (a - 1): -0.00243088 test statistic: tau_ct(1) = -0.839728 asymptotic p-value 0.9607 7.36

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7.2 Το πλαίσιο παρουσιάζει το αποτέλεσμα ελέγχου ADF για μια χρονοσειρά: A. Ποια είναι η χρονοσειρά και πόσα τα δεδομένα της. B. Ποιο είναι το αποτέλεσμα του ελέγχου. C. Η χρονοσειρά έχει μοναδιαία ρίζα? D. Γιατί χρησιμοποιήθηκε το κριτήριο AIC Augmented Dickey-Fuller test for d_close including 3 lags of (1-L)d_close (max was 21, criterion AIC) sample size 961 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.000 lagged differences: F(3, 956) = 5.677 [0.0007] estimated value of (a - 1): -1.11162 test statistic: tau_c(1) = -17.7324 asymptotic p-value 1.358e-042 with constant and trend model: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.000 lagged differences: F(3, 955) = 5.886 [0.0006] estimated value of (a - 1): -1.11851 test statistic: tau_ct(1) = -17.7955 asymptotic p-value 1.206e-057 7.37

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7.3 Το πλαίσιο παρουσιάζει το αποτέλεσμα ελέγχου ADF για μια χρονοσειρά: A. Ποια είναι η χρονοσειρά και πόσα τα δεδομένα της. B. Ποιο είναι το αποτέλεσμα του ελέγχου. C. Γιατί χρησιμοποιήθηκε το κριτήριο AIC Augmented Dickey-Fuller test for LSL including 2 lags of (1-L)LSL (max was 12, criterion AIC) sample size 112 test without constant model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.004 lagged differences: F(2, 109) = 3.357 [0.0385] estimated value of (a - 1): 0.000335115 test statistic: tau_nc(1) = 0.354854 asymptotic p-value 0.7873 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.009 lagged differences: F(2, 108) = 5.127 [0.0075] estimated value of (a - 1): -0.0743974 test statistic: tau_c(1) = -2.4745 asymptotic p-value 0.1218 with constant and trend model: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.015 lagged differences: F(2, 107) = 6.822 [0.0016] estimated value of (a - 1): -0.139371 test statistic: tau_ct(1) = -3.47255 asymptotic p-value 0.04233 7.38

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7.4 Το πλαίσιο παρουσιάζει το αποτέλεσμα ελέγχου συνολοκλήρωσης (για τα κατάλοιπα παλινδρόμησης) για 2 χρονοσειρές: A. Πόσα τα δεδομένα των χρονοσειρών. B. Ποιο είναι το αποτέλεσμα του ελέγχου. C. Είναι οι χρονοσειρές συνολοκληρωμένες? Step 4: testing for a unit root in uhat Augmented Dickey-Fuller test for uhat including one lag of (1-L)uhat sample size 964 model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.003 estimated value of (a - 1): -0.0288843 test statistic: tau_c(2) = -3.63662 asymptotic p-value 0.02208 7.39

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7.5 Το πλαίσιο παρουσιάζει το αποτέλεσμα ελέγχου συνολοκλήρωσης (3 από τα 4 βήματα) για 2 χρονοσειρές: A. Ποιες και πόσα τα δεδομένα των χρονοσειρών. B. Ποιο είναι το αποτέλεσμα του ελέγχου. C. Είναι οι χρονοσειρές συνολοκληρωμένες? D. Είναι οι χρονοσειρές στάσιμες? E. Γιατί αναφέρεται το AIC (Akaike Information Criterion) Step 1: testing for a unit root in TBN Augmented Dickey-Fuller test for TBN including 0 lags of (1-L)TBN (max was 15, criterion AIC) sample size 99 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.016 estimated value of (a - 1): 0.010551 test statistic: tau_c(1) = 0.50951 p-value 0.9863 Step 2: testing for a unit root in TBR Augmented Dickey-Fuller test for TBR including 0 lags of (1-L)TBR (max was 15, criterion AIC) sample size 99 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.082 estimated value of (a - 1): -0.051386 test statistic: tau_c(1) = -1.63905 p-value 0.459 Step 4: testing for a unit root in uhat Augmented Dickey-Fuller test for uhat including one lag of (1-L)uhat (max was 15, criterion AIC) sample size 113 model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.025 estimated value of (a - 1): -0.00853729 test statistic: tau_c(2) = -0.542491 asymptotic p-value 0.959 7.40

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7.6 Το πλαίσιο παρουσιάζει το αποτέλεσμα ελέγχου συνολοκλήρωσης (3 από τα 4 βήματα) για 2 χρονοσειρές: A. Ποιες οι χρονοσειρές? B. Πόσα τα δεδομένα των χρονοσειρών. C. Ποιο είναι το αποτέλεσμα των ελέγχων. D. Είναι οι χρονοσειρές συνολοκληρωμένες? E. Είναι οι 2 χρονοσειρές στάσιμες? Step 1: testing for a unit root in closec Augmented Dickey-Fuller test for closec including 4 lags of (1-L)closeC (max was 15, criterion AIC) sample size 950 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.001 lagged differences: F(4, 944) = 5.548 [0.0002] estimated value of (a - 1): -0.00352337 test statistic: tau_c(1) = -1.26257 asymptotic p-value 0.6491 Step 2: testing for a unit root in closea Augmented Dickey-Fuller test for closea including 8 lags of (1-L)closeA (max was 15, criterion AIC) sample size 950 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.005 lagged differences: F(8, 940) = 4.439 [0.0000] estimated value of (a - 1): -0.00462753 test statistic: tau_c(1) = -1.46804 asymptotic p-value 0.5501 Step 4: testing for a unit root in uhat Augmented Dickey-Fuller test for uhat including one lag of (1-L)uhat (max was 15, criterion AIC) sample size 964 model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.000 estimated value of (a - 1): -0.022103 test statistic: tau_c(3) = -3.151 asymptotic p-value 0.185 7.41