Σήματα και Συστήματα ΗΜΥ0 //006 Επανάληψη Μιγαδικών Αριμών Δημήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy Που χρησιμεύει: Από τη εωρία των Σειρών Fourier, γνωρίζουμε πως οποιοδήποτε περιοδικό σήμα ανεξαρτήτως πολυπλοκότητας, μπορεί να προσεγγιστεί ως ένα άροισμα από απλούστερα σήματα (ημίτονα και συνημίτονα). Η σχέση του Euler (748), e cos sin( ), που προκύπτει από τη εωρία Μιγαδικών Αριμών και των σειρών Taylor, χρησιμοποιείται στην επίλυση αυτού του προβλήματος. Ακόμη, οι μηχανικοί χρησιμοποιούν τη εωρία του Μετασχηματισμού Fourier, οποίος μετατρέπει ένα σήμα από το πεδίο του χρόνου f(t) στο πεδίο της συχνότητας F(ω), και αντίστροφα. Αυτό γίνεται για να απλοποιήσουν τη μαηματική ανάλυση των σημάτων και συστημάτων. Κι εδώ χρησιμοποιείται η εωρία των Μιγαδικών Αριμών. Τέλος ο Μετασχηματισμός Laplace ο οποίος ανάμεσα σε άλλα χρησιμεύει στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων, χρησιμοποιεί ως εμελιώδη βάση του τους μιγαδικούς αριμούς. Τα πιο πάνω βρίσκουν ευρεία και πρακτική χρήση ανάμεσα σε άλλα στα: Πολυμέσα και επεξεργασία ψηφιακή εικόνας και βίντεο Δημιουργία, μετάδοση, συμπίεση και αναπαραγωγή ψηφιακών ήχων μουσικής (Synthesizers, MP3) Ανάλυση τάσεων και ρευμάτων σε κυκλώματα Ρομποτική Αυτόματο έλεγχο (βιομηχανία, αεροπλάνα κλπ) Συστήματα Παραγωγής Ηλεκτρικής Ενέργειας (λχ. πρόβλεψη κατανάλωσης) Ιατρική παρακολούηση ασενούς Ηλεκτρονική και Κυκλώματα Τηλεπικοινωνίες και Δίκτυα Ραδιοφωνία ΑΜ, FM
Σήματα και Συστήματα ΗΜΥ0 //006 Α. Ορισμός Ένας μιγαδικός αριμός μπορεί να ορισεί ως το διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριμών a και b, ώστε: z( a, b ) () Οι πραγματικοί αριμοί a και b καλούνται το Πραγματικό και Φανταστικό μέρος του z, και γράφονται ως εξής: (z) a (z) b () (3) Το σύνολο των μιγαδικών αριμών, ορίζεται από την ευρύτερα γνωστή μορφή: C { z a ib / a,b R } (4) Όπου το i αντιστοιχεί στο φανταστικό αποτέλεσμα της. Στην Ηλεκτρολογική Μηχανική, επειδή το σύμβολο i χρησιμοποιείται κατά κύριο λόγο στην ανάλυση Κυκλωμάτων ως το σύμβολο της έντασης, επικράτησε στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων να χρησιμοποιείται ένα άλλο σύμβολο που να υποδηλώνει το φανταστικό αριμό, το. Δηλαδή, z i3 3. Β. Ιδιότητες Δυο μιγαδικοί αριμοί είναι ίσοι iff (if and only if ) τα πραγματικά τους μέρη είναι ίσα, καώς και τα φανταστικά τους μέρη είναι ίσα. Δηλαδή αν z a b και z cd, τότε, z z iff ac και bd. Ακόμη, zab0 iff a0 και b0. Εάν zab, ο συζυγής-conugate μιγαδικός αριμός του ορίζεται ως z*a-b. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού κάποιου μιγαδικού αριμού με τον συζυγή του, είναι ένας πραγματικός αριμός: (ab)(a-b)a b Ισχύουν οι ακόλουες σχέσεις: ( 4 ) - 6-3 ( )- 7-4 ( ) 8 «εάν, και μόνο εάν». Στην ελληνική βιβλιογραφία μπορεί να εμφανιστεί ως «ανν»
Σήματα και Συστήματα ΗΜΥ0 //006 Ακόμη το αντίστροφο του είναι, αφού: Παραδείγματα Βασικών Πράξεων Δίνονται οι μιγαδικοί αριμοί: z 4, z 6-3, z 3 4 z z z 3 46-34 (464) (4-3) 4 4 z z 4 6 3 (4 (6 )(6 3)(6 3) 3) (4 ) (30 ) 36 9 zz3 (4 )(4 ) (6 8)(6 3) (36 84) (8 68) 6 86 z 6 3 (6 3)(6 3) 36 9 4 4 z 3 4 (4 4 )(4 ) 4 6 4 0 Γ. Γραφική Παράσταση των Μιγαδικών Αριμών Είναι δυνατό να απεικονίσουμε τον μιγαδικό αριμό στον χώρο δύο διαστάσεων, αντιστοιχώντας τον πραγματικό αριμό στον άξονα των x και το φανταστικό αριμό στον άξονα των y. Τα αποτελέσματα των πράξεων της πρόσεσης και της αφαίρεσης μπορούν να λυούν διανυσματικά, όπως στο σχήμα: z 4 z -z z z 3 z z -z z Δ. Σχέση του Euler Η σχέση του Euler ορίζει πως: e cos( ) sin( ) ()* Δίδεται η απόδειξη: Είναι γνωστό από τις σειρές Taylor, ο τύπος του Maclaurin: n z z z ( n) f ( z) f (0) f '(0) f ''(0)... f (0)...! n! Θυμόμαστε τα αναπτύγματα που προκύπτουν: 3 x x e x x... (6)! 3! 3
Σήματα και Συστήματα ΗΜΥ0 //006 cos( x) 4 6 x x x... *! 4! 6! (7) sin( x) x 3 7 x x x... * 3!! 7! (8) *To x είναι σε ακτίνια (radians) Αν αντί για x στην (6) χρησιμοποιήσουμε x, ισχύει: 3 ( x) ( x) e x ( x)...! 3! 3 4 x x x x x...! 3! 4!! 4 3 x x x x... x! 4! 3!!... (9) Συγκεντρώνοντας τους πραγματικούς και τους φανταστικούς όρους της εξίσωσης (9), παρατηρούμε πως οι μεν πραγματικοί αποτελούν το δεξί μέρος της εξίσωσης (7), και οι φανταστικοί το δεξί μέρος της εξίσωσης (8). Άρα, ισχύει η εξίσωση (), η σχέση του Euler. Ακόμη ισχύει: e cos( ) sin( ) (0)* Από την () και (0) προκύπτουν οι πολύ χρήσιμες για τη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων εξισώσεις: cos( ) e e ()* sin( ) e e ()* Οι εξισώσεις (), (0), () και () είναι πολύ σημαντικές. Γενικά οποιοσδήποτε μιγαδικός αριμός μπορεί να εκφραστεί ως ένας πραγματικός αριμός πολλαπλασιασμένος με μια εκετική συνάρτηση. Μπορεί να εωρηεί ως μετατροπή μεταξύ καρτεσιανών και πολικών συντεταγμένων (Α ακτίνα, γωνία με τον πραγματικό άξονα). Ae Acos( ) Asin( ) a b Για a Acos( ), b Asin( ) s (3) Ο μιγαδικός αριμός, πέραν από την εκετική μορφή, μπορεί να εμφανιστεί στη βιβλιογραφία ως A< που ισοδυναμεί με το Ae. 4
Σήματα και Συστήματα ΗΜΥ0 //006 b Α sαb α Εάν έλουμε να εκφράσουμε ένα μιγαδικό αριμό στην εκετική μορφή, λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση (3), ισχύουν για το πλάτος (Α) και φάση (): A ( a b ) (( s) ( s) ) (4) b ( s) arctan arctan () a ( s) Παράδειγμα : Επαλήευση στο MATLAB >> *exp(*pi/6) ans 4.330.000i π 6 o o e < π cos(30 ) sin(30 ) 4.33.0 6 Παράδειγμα : Να μετατραπεί ο z στην εκετική μιγαδική α μορφή. Από τον τύπο (4): Α A ( ) ( ) b Από τον τύπο (): arctan arctan() π 4 Παρατηρούμε πως η φάση βρίσκεται σε άλλο τεταρτημόριο από αυτή που βρίσκεται το διάνυσμα του μιγαδικού αριμού. Η σωστή φάση που βρίσκεται ο μιγαδικός αριμός είναι: π π π 4 4 (ή π π 3π 4 4 ) Άρα: z 4 e π