ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το πρόν τεύχος δημιουργήθηκε γι ν διευκολύνει τους μθητές στην AΜΕΣΗ κτνόηση των πιτήσεων των Πνελληνίων Εξετάσεων. Περιέχει: Στην ρχή κάθε κεφλίου τη θεωρί (με ποδείξεις) τονίζοντς τ θέμτ ΘΕΩΡΙΑΣ που ζητήθηκν στ τελευτί 6 χρόνι των Κνονικών-Επνληπτικών Εξετάσεων. Όλες τις ερωτήσεις ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ Κνονικών-Επνληπτικών Εξετάσεων, νά κεφάλιο (με τις σωστές πντήσεις) γι ν είνι πιο εύκολος ο έλεγχος κι η ξιολόγηση της προσπάθεις του μθητή. ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΜΑΤΑ Β ΘΕΜΑΤΑ Γ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΕΦ ΟΛΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΘΕΜΑΤΑ Δ ΘΕΜΑΤΑ Δ PLUS ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Στ πρπάνω ΘΕΜΑΤΑ Β-Γ-Δ-Δ plus, εμφνίζοντι ΕΚΤΟΣ ΤΩΝ ΑΛΛΩΝ κι τ Θέμτ Πνελληνίων ΠΟΥ ΑΝΑΦΕΡΟΝΤΑΙ ΣΤΗΝ ΦΕΤΙΝΗ ΥΛΗ στο διάστημ -5, Κνονικών - Επνληπτικών - Ομογενών - Εσπερινών κθώς κι Ο.Ε.Φ.Ε - Ε.Μ.Ε - study4eams. ΞΕΚΑΘΑΡΑ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ Με έν ξεφύλισμ έχετε πλήρη εικόν γι τις πιτήσεις των εξετάσεων όσον φορά τη θεωρί. ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗΝ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΚΑΙ ΤΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ ΣΑΣ ΕΠΙΛΕΓΕΤΕ ΤΑ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ KAI ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ 6) ΚΕΦ. o ΌΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σελ.5-4. Πργμτικοί Αριθμοί. Συνρτήσεις.3 Μονότονες συνρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση.4 Όριο συνάρτησης στο R.5 Ιδιότητες των ορίων, χωρίς τις ποδείξεις της υποπργράφου «Τριγωνομετρικά όρι».6 Μη πεπερσμένο όριο στο R.7 Όριο συνάρτησης στο άπειρο.8 Συνέχει συνάρτησης ΘΕΜΑΤΑ Β σελ. 5 ΘΕΜΑΤΑ Γ σελ. 9 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ σελ. 37 ΚΕΦ. o ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ σελ. 57-86. Η έννοι της πργώγου, χωρίς την υποπράγρφο «Κτκόρυφη εφπτομένη». Πργωγίσιμες συνρτήσεις- Πράγωγος συνάρτηση. Χωρίς τις ποδείξεις των τύπων (ημ) = συν κι (συν) = -ημ.3 Κνόνες πργώγισης. Χωρίς την πόδειξη του θεωρήμτος που νφέρετι στη πράγωγο γινομένου συνρτήσεων.4 Ρυθμός μετολής..5 Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού..6 Συνέπειες του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής..7 Τοπικά κρόττ συνάρτησης. Χωρίς το θεώρημ της σελ. 64 σχολ. ιλίου (ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ης ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ).8 Κυρτότητ - Σημεί κμπής συνάρτησης. (Θ μελετηθούν μόνο οι συνρτήσεις που είνι δύο, τουλάχιστον, φορές πργωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους)..9 Ασύμπτωτες - Κνόνες De l Hospital.. Μελέτη κι χάρξη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης. ΘΕΜΑΤΑ Β σελ. 87 ΘΕΜΑΤΑ Γ σελ. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ σελ. 5
ΚΕΦ. 3o OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ σελ. 57-66 3. Αρχική συνάρτηση-πράγουσ 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμ 3.5 * Η συνάρτηση F() = Υπόδειξη-Οδηγί* á (t)dt «Αν : Δ R όπου Δ διάστημ, είνι μι συνεχής συνάρτηση, τότε γι κάθε á Δ η συνάρτηση F() = (t)dt είνι μι πράγουσ της» κι με τη οήθει υτής ποδεικνύετι το Θεμελιώδες Θεώρημ της Ανάλυσης. Η εισγωγή της συνάρτησης F() = γίνετι γι ν ποδειχθεί το Θεμελιώδες Θεώρημ του Ολοκληρωτικού λογισμού κι ν νδειχθεί η σύνδεση του Διφορικού με τον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Γι το λόγο υτό δεν θ διδχθούν σκήσεις που νφέροντι στην πργώγιση της συνάρτησης F() = á á á (t)dt (t)dt κι γενικότερ της συνάρτησης F() = g() á?!?? (t)dt 3.7 Εμδόν επιπέδου χωρίου χωρίς την εφρμογή 3 της σελίδς 348 σχολ. ιλίου ΘΕΜΑΤΑ Β σελ. 67 ΘΕΜΑΤΑ Γ σελ. 75 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ σελ. 97 ΘΕΜΑΤΑ Δ σελ. 9 ΘΕΜΑΤΑ Δ PLUS σελ. 33 ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ σελ. 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΕΦ ΟΛΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ σελ. 43
Κλή επιτυχί! Mην εξντλείστε στο ν κάνετε τ πράγμτ σωστά λλά προσπθείτε ν κάνετε τ σωστά πράγμτ. Οι έξυπνοι άνθρωποι συνεργάζοντι δεν διπληκτίζοντι. Κνένς στόχος δεν μπορεί ν επιτευχθεί χωρίς τη σωστή στρτηγική. Η στρτηγική είνι η λεωφόρος που οδηγεί στην επίτευξη. Οι νικητές διθέτουν δύο πράγμτ. Ξεκάθρους στόχους κι επιθυμί ν πετύχουν. Ν θυμάστε πάντ ότι ο χρόνος σς είνι το πιο πολύτιμο, το πιο τομικό, το πιο πεπερσμένο γθό.
5 Η έννοι της πργμτικής συνάρτησης ΟΡΙΜΟ Έζηω Α έλ ππνζύλνιν ηνπ. Ολνκάδνπκε πξγκηηθή ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α κη δηδηθζί (θλόλ), κε ηελ νπνί θάζε ζηνηρείν A ληηζηνηρίδεηη ζε έλ κόλν πξγκηηθό ξηζκό y. Τν y νλνκάδεηη ηηκή ηεο ζην θη ζπκνιίδεηη κε (). ο Όριο-συνέχει συνάρτησης Ισότητ συνρτήσεων O ΡΙΜΟ Γύν ζπλξηήζεηο θη g ιέγνληη ίζεο όηλ: έρνπλ ην ίδην πεδίν νξηζκνύ Α θη γη θάζε A ηζρύεη () = g(). 7 - ΕΠ. Σύνθεση συνρτήσεων ΟΡΙΜΟ Αλ, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδίν νξηζκνύ Α, Β ληηζηνίρωο, ηόηε νλνκάδνπκε ζύλζεζε ηεο κε ηελ g, θη ηε ζπκνιίδνπκε κε go, ηε ζπλάξηεζε κε ηύπν (go)() = g(()).
R Όπωο ζηελ πεξίπηωζε ηωλ πεπεξζκέλωλ νξίωλ έηζη θη γη η άπεηξ όξη ζπλξηήζεωλ, πνπ νξίδνληη ζε έλ ζύλνιν ηεο κνξθήο (, ) (,), ηζρύνπλ νη πξθάηω ηζνδπλκίεο: lim () lim () lim () lim () = lim () = lim () = - + R Με ηε νήζεη ηνπ νξηζκνύ πνδεηθλύνληη νη πξθάηω ηδηόηεηεο: Αλ lim () = +, ηόηε () θνληά ζην -Λ Aλ lim () =, ηόηε () θνληά ζην. Αλ lim () = +, ηόηε lim( ()) =, ελώ -Λ ΕΠ.3 Aλ lim () =, ηόηε lim( ()) = +. Αλ lim () = + ή, ηόηε lim = () -Λ ΕΠ. Αλ lim () = θη ()> θνληά ζην, ηόηε -Λ 5-ΕΠ. lim = + () Aλ lim () = θη ()< θνληά ζην, ηόηε -Λ ΕΠ.9 lim =. () Αλ lim () = + ή, ηόηε lim (). Αλ lim () = +, ηόηε lim k () = +.
7 Αλ κη ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Γ θη δε κεδελίδεηη ζ πηό, ηόηε πηή ή είλη ζεηηθή γη θάζε Γ ή είλη ξλεηηθή γη θάζε Γ, δειδή δηηεξεί πξόζεκν ζην δηάζηεκ Γ. -Λ 8-3 Μη ζπλερήο ζπλάξηεζε δηηεξεί πξόζεκν ζε θζέλ πό ην δηζηήκη ζη νπνί νη δηδνρηθέο ξίδεο ηεο ρωξίδνπλ ην πεδίν νξηζκνύ ηεο. Απηό κο δηεπθνιύλεη ζηνλ πξνζδηνξηζκό ηνπ πξνζήκνπ ηεο γη ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ. πγθεθξηκέλ, ν πξνζδηνξηζκόο πηόο γίλεηη ωο εμήο:. Βξίζθνπκε ηηο ξίδεο ηεο.. Σε θζέλ πό η ππνδηζηήκη πνπ νξίδνπλ νη δηδνρηθέο ξίδεο, επηιέγνπκε έλλ ξηζκό θη ξίζθνπκε ην πξόζεκν ηεο ζηνλ ξηζκό πηό. Τν πξόζεκν πηό είλη θη ην πξόζεκν ηεο ζην ληίζηνηρν δηάζηεκ. ο Όριο-συνέχει συνάρτησης Θεώρημ ενδιάμεσων τιμών Τν επόκελν ζεώξεκ πνηειεί γελίθεπζε ηνπ ζεωξήκηνο ηνπ Bolzano θη είλη γλωζηό ωο ζεώξεκ ελδηάκεζωλ ηηκώλ. ΘΕΩΡΗΜΑ 5 Έζηω κη ζπλάξηεζε, ε νπνί είλη νξηζκέλε ζε έλ θιεηζηό δηάζηεκ [,]. Αλ: ε είλη ζπλερήο ζην [, ] θη () () ηόηε, γη θάζε ξηζκό ε κεημύ ηωλ () θη () ππάξρεη έλο, ηνπιάρηζηνλ (,) ηέηνηνο, ώζηε ΑΠΟΓΔΙΞΗ Αο ππνζέζνπκε όηη () (). Τόηε ζ ηζρύεη () ε (). Αλ ζεωξήζνπκε ηε ζπλάξηεζε πξηεξνύκε όηη: g() () ε, [,], ε g είλη ζπλερήο ζην [,] θη g()g(), ( ) = ε
9 -Λ ΕΠ.7 Ά λ κη ζπλάξηεζε είλη γλεζίωο ύμνπζ θη ζπλερήο ζε έλ λνηθηό δηάζηεκ (,), ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζην δηάζηεκ πηό είλη ην δηάζηεκ (Α,Β), όπνπ lim () θη B lim (). -Λ Αλ, όκωο, ε είλη γλεζίωο θζίλνπζ θη ζπλερήο ζην (,), ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζην δηάζηεκ πηό είλη ην δηάζηεκ (B,A). ο Όριο-συνέχει συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ. 7-ΕΠ. Πόηε δύν ζπλξηήζεηο, g ιέγνληη ίζεο;. Έζηω ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ Α. Πόηε ιέκε όηη ε πξνπζηάδεη ζην A ηνπηθό κέγηζην; 3. -8 Πόηε ιέκε όηη κί ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζε έλ θιεηζηό δηάζηεκ [, ]; 4. 5 Έζηω κη ζπλάξηεζε, ε νπνί είλη νξηζκέλε ζε έλ θιεηζηό δηάζηεκ [, ]. Αλ ε είλη ζπλερήο ζην [, ] () () θη δείμηε όηη γη θάζε ξηζκό ε κεημύ ηωλ () θη () ππάξρεη έλο, ηνπιάρηζηνλ (, ) ηέηνηνο, ώζηε ( )=ε 5. ΕΠ.5 Πόηε κη ζπλάξηεζε : A R ιέγεηη - ; 6. ΕΠ. Πόηε ιέκε όηη κη ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ Α πξνπζηάδεη ζην A (νιηθό) κέγηζην, ην ( );
7. ΕΠ. 9 Έζηω κη ζπλάξηεζε θη έλ ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο. Πόηε ζ ιέκε όηη ε είλη ζπλερήο ζην ; 8. ΕΠ. 4 Ν νξίζεηε πόηε ιέκε όηη κη ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζε έλ λνηθηό δηάζηεκ (, ) θη πόηε ζε έλ θιεηζηό δηάζηεκ [, ]. ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟ- ΛΑΘΟ 9. 5 Αλ γη δύν ζπλξηήζεηο, g νξίδνληη νη og θη go, ηόηε ηζρύεη πάληνηε og=go. Μη ζπλάξηεζε :A R ιέγεηη ζπλάξηεζε, όηλ γη νπνηδήπνηε, A ηζρύεη ε ζπλεπγωγή λ, ηόηε. Κάζε ζπλάξηεζε, πνπ είλη - ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο, είλη γλεζίωο κνλόηνλε.. -ΕΠ. 6 Μη ζπλάξηεζε είλη -, λ θη κόλν λ γη θάζε ζηνηρείν y ηνπ ζπλόινπ ηηκώλ ηεο ε εμίζωζε y έρεη θξηώο κί ιύζε ωο πξνο. 3. 8 Αλ κη ζπλάξηεζε :A IR είλη, ηόηε γη ηελ ληίζηξνθε ζπλάξηεζε ηζρύεη:, A θη y y, y A 4. 5 Αλ ε έρεη ληίζηξνθε ζπλάξηεζε θη ε γξθηθή πξάζηζε ηεο έρεη θνηλό ζεκείν Α κε ηελ επζεί y=, ηόηε ην ζεκείν Α λήθεη θη ζηε γξθηθή πξάζηζε ηεο. 5. -ΕΠ. 4 Οη γξθηθέο πξζηάζεηο C θη C ηωλ ζπλξηήζεωλ θη είλη ζπκκεηξηθέο ωο πξνο ηελ επζεί y= πνπ δηρνηνκεί ηηο γωλίεο Oy θη Oy
3 36. ΕΠ. Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο είλη ζπκκεηξηθή, ωο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο. 37. ΕΠ. -ΕΠ. 4 Αλ, g είλη δύν ζπλξηήζεηο µε πεδίν νξηζκνύ R θη νξίδνληη νη ζπλζέζεηο og θη go, ηόηε πηέο νη ζπλζέζεηο είλη ππνρξεωηηθά ίζεο. 38. ΕΠ. 5 Αλ γη δύν ζπλξηήζεηο, g νξίδνληη νη og θη go, ηόηε είλη ππνρξεωηηθά og go 39. ΕΠ. 3 Μί ζπλάξηεζε :ΑΙR είλη ζπλάξηεζε, λ θη κόλν λ γη νπνηδήπνηε, A ηζρύεη ε ζπλεπγωγή: λ =, ηόηε ( )=( ). ο Όριο-συνέχει συνάρτησης 4. ΕΠ. 8 Υπάξρνπλ ζπλξηήζεηο πνπ είλη, ιιά δελ είλη γλεζίωο κνλόηνλεο. 4. ΕΠ. Αλ κη ζπλάξηεζε είλη γλεζίωο κνλόηνλε ζε έλ δηάζηεκ Γ, ηόηε είλη θη - ζην δηάζηεκ πηό. 4. ΕΠ. 3 Αλ κη ζπλάξηεζε είλη ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο, ηόηε ππάξρνπλ ζεκεί ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο κε ηελ ίδη ηεηγκέλε. 43. ΕΠ. 9 Η ζπλάξηεζε είλη, λ θη κόλν λ θάζε νξηδόληη επζεί ηέκλεη ηε γξθηθή πξάζηζε ηεο ην πνιύ ζε έλ ζεκείν. 44. ΕΠ. 7 Αλ κη ζπλάξηεζε είλη γλεζίωο ύμνπζ θη ζπλερήο ζε έλ λνηθηό δηάζηεκ (, ), ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζην δηάζηεκ πηό είλη ην δηάζηεκ (Α,Β) όπνπ lim θη lim + 4 5. ΕΠ. 8 Έζηω κη ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζ έλ ζύλνιν ηεο κνξθήο (, ) (, ) θη έλο πξγκηηθόο ξηζκόο. Τόηε ηζρύεη ε ηζνδπλκί: lim () = l lim(() l ) =
5. ΘΕΜΑ B Ο.Ε.Φ.Ε.6 3 3 Δίλεηη ε ζπλάξηεζε () e. Β. N εμεηάζεηε ηελ ωο πξνο ηελ κνλνηνλί θη λ ξείηε ηηο ξίδεο θη ην πξόζεκό ηεο. () Β. Ν εμεηάζεηε λ ππάξρεη ην όξην lim. () Β3.. Ν πνδείμεηε όηη ε ληηζηξέθεηη θη λ ξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ληίζηξνθήο ηεο. e. Ν πνδείμεηε όηη ε εμίζωζε e 5, έρεη κνλδηθή ξίδ. Β4. Αλ γη ηε ζπλάξηεζε g :(, ) ηζρύεη : 3 3 3g() 3 3 6 3 e g () e (ln ), γη θάζε >, λ πνδείμεηε όηη ν ηύπνο ηεο g είλη g() ln θη λ ξεζεί ε ληίζηξνθή ηεο. Μνλάδεο [ 6+4+(5+3)+7]=5 Θέμτ B. ΘΕΜΑ B Η γξθηθή πξάζηζε κηο γλεζίωο κνλόηνλεο ζπλάξηεζεο : δηέξρεηη πό η ζεκεί A3, θη Β 5,9. Β. Ν ξείηε ην είδνο ηεο κνλνηνλίο ηεο. Β. Ν εμεηάζεηε λ νξίδεηη ε. Β3. Ν ιύζεηε ηελ εμίζωζε: Β4. Ν ιύζεηε ηελ λίζωζε: 9,. 8. Μνλάδεο (4+3+9+9)=5 3. ΘΕΜΑ B Δίλεηη ε ζπλάξηεζε, ζπλερήο ζην, έηζη ώζηε γη θάζε λ ηζρύεη: 3 4 εκζπ λ Β. Ν ξείηε η όξη: lim, lim. Β. Ν ξείηε ηελ ηηκή. Β3. Ν δείμεηε όηη ε εμίζωζε έρεη ηνπιάρηζηνλ κί ιύζε ζην ζύλνιν ηωλ πξγκηηθώλ ξηζκώλ. Μνλάδεο ( + 5 + ) =5
9 4. ΘΕΜΑ Γ study4eams Δίλεηη ε ζπλάξηεζε : γη ηελ νπνί ηζρύεη ε ζρέζε: 3 3 3 γη θάζε. Γ. Ν πνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζην. Γ. Αλ ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλη ην, λ πνδείμεηε όηη ε ληηζηξέθεηη θη λ ξείηε ηελ. Γ3. Ν ιύζεηε ηελ εμίζωζε. Γ4. Ν ξείηε η θνηλά ζεκεί ηωλ γξθηθώλ πξζηάζεωλ ηωλ ζπλξηήζεωλ θη. Μνλάδεο ( 8+8+4+5)=5 ο Όριο-συνέχει συνάρτησης 5. ΘΕΜΑ Γ study4eams Δίλεηη ε ζπλερήο ζπλάξηεζε : γη ηελ νπνί ηζρύεη: * γη θάζε,. Γ. Ν πνδείμεηε όηη ε δηηεξεί ζηζεξό πξόζεκν ζην. Γ. Αλ λ ξείηε ηνλ ηύπν ηεο. 3 Γ3. Ν ππνινγίζεηε ην όξην: lim, <. 3 + 4 3 3 Γ4. Ν ππνινγίζεηε ην όξην: lim, 3 3 4. 3 Μνλάδεο (4+5+8+8)=5 6. ΘΕΜΑ Γ Δίλεηη ε ζπλερήο ζην ζπλάξηεζε : γη ηελ νπνί ηζρύνπλ Ν πνδείμεηε όηη: Γ. Γ. γη θάζε Γ3. γη θάζε γη θάζε, γη θάζε θη
36 Γ5. Ν ξείηε η θνηλά ζεκεί ηωλ γξθηθώλ πξζηάζεωλ ηωλ ζπλξηήζεωλ θη. Μνλάδεο (4+4+5+6+6)=5 34. ΘΕΜΑ Γ Ο.Ε.Φ.Ε 6 π Έζηω κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζην δηάζηεκ,, γη ηελ νπνί ηζρύεη: π ζπλ, γη θάζε,, κε π π 6 6 π εκ,,. π,, g, κε θ. εκθ, Ν ξείηε ηελ πξάκεηξν θ, ώζηε ε g λ είλη ζπλερήο ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο. Γ. Ν δείμεηε όηη Γ. Δίλεηη ε ζπλάξηεζε Γ3. Γη θ, λ πνδείμεηε όηη ε εμίζωζε g έρεη κί ηνπιάρηζηνλ ιύ- π ζε ζην δηάζηεκ,. Γ4. Γη θ, λ δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g δελ είλη. Μνλάδεο (8+6+6+5)=5 35. ΘΕΜΑ Γ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ Γη ηε ζπλάξηεζε Γ. Ν ξείηε ην θη λ δεηρζεί όηη Γ. Αλ ε εμίζωζε Γ3. Αλ γη θάζε * : ηζρύεη: y y 6 y 6 γη θάζε,y,. y 6 έρεη κνλδηθή ιύζε, λ δεηρζεί όηη ε είλη ληη- ζηξέςηκε θη ηζρύεη y 6 y ηζρύεη 6,. Ν δεηρζεί όηη ε είλη γλεζίσο ύμνπζ ζην,.. Ν ιπζεί ε λίζωζε 6 6. * γη θάζε,y. Γ4. Αλ ε είλη ζπλερήο ζην, λ δεηρζεί όηη ε είλη ζπλερήο ζην, Γ5. Αλ ε είλη πξγσγίζηκε ζην,, λ ξεζεί ν ηύπνο ηεο. Μνλάδεο [ 4+5 + ( 4+4)+4+4] =5
37 ΘΕΜΑ A Α. Πόηε δπν ζπλξηήζεηο θη g ιέγνληη ίζεο; Μνλάδεο 5 Α. Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέγεηη γλεζίσο ύμνπζ θη πόηε γλεζίσο θζίλνπζ ζ έλ δ η ά ζ η ε κ Γ ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ; Α3. Έζηω κη ζπλάξηεζε :A. Πόηε ε πξνπζηάδεη : i. ζην A κέγηζην ην ii. ζην A ειάρηζην ην ; Μνλάδεο 5 Μνλάδεο (,5+,5)=5 Α4. Ν ρξθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ θνινπζνύλ, γξάθνληο ζην ηεηξάδηό ζο δίπι ζην γξάκκ πνπ ληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηζε ηε ιέμε Σσζηό, λ ε πξόηζε είλη ζσζηή ή Λάζνο, λ ε πξόηζε είλη ιλζζκέλε.. Μη ζπλάξηεζε :A είλη ζπλάξηεζε, λ θη κόλν λ γη νπνηδήπνηε,. Αλ ηζρύεη ίζν κε ην Μ. A ηζρύεη ε ζπλεπγωγή λ, ηόηε. Μ γη θάζε D, ηόηε ε πξνπζηάδεη νιηθό κέγηζην γ. Kάζε νξηδόληη επζεί ηέκλεη ηε γξθηθή πξάζηζε κηο, ζπλάξηεζεο ην πνιύ ζ έλ ζεκείν. δ. Αλ, g, h είλη ηξεηο ζπλξηήζεηο θη νξίδεηη ε h g, ηόηε νξίδεηη πάλη θη ε h g θη ηζρύεη h g h g. ε. Γη νπνηδήπνηε ζπλάξηεζε :A ηζρύεη : γη θάζε A. Μνλάδεο 5=
38 ΘΕΜΑ Β Δίλεηη ε ζπλάξηεζε κε ηύπν () ln. Β. Ν ξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο. Β. Ν πνδείμεηε όηη ε ληηζηξέθεηη θη ε ληίζηξνθή ηεο είλη ε Β3. Ν πνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε Β4. Αλ g ζπλάξηεζε κε ηύπν g () e e,. είλη πεξηηηή. ln λ ξείηε ηε ζύλζεζε θη γη πνηεο ηηκέο ηνπ ε γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο ξίζθεηη θάησ πό ηνλ άμνλ '. ΘΕΜΑ Γ Μνλάδεο (5+7+6+7)=5 g g ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ Έζηω ε γλεζίωο ύμνπζ ζπλάξηεζε :, γη ηελ νπνί ηζρύεη: t, γη θάζε, lim t t 4 t Γ. Ν δείμεηε όηη t lim t t 4 t. Γ. Ν δείμεηε όηη,. Γ3. Ν ξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο. Ν ξεζεί ε ληίζηξνθε ζπλάξηεζε ηεο... Μνλάδεο ( 5 + 7 + 5 + 8 ) =5 ΘΕΜΑ Δ Έζηω νη ζπλξηήζεηο, g: κε g νη νπνίεο ηθλνπνηνύλ ηε ζρέζε : e, y y g gy e e 3 γη θάζε,y Γ. Ν πνδείμεηε όηη : e e θη g e e Γ. Ν κειεηήζεηε ωο πξνο ηε κνλνηνλί ηηο ζπλξηήζεηο, g θη g Γ3. Ν ιύζεηε ηελ λίζωζε : 3 4e 4e 3e 3e
Γ4. Ν πνδείμεηε όηη : Γ5. Ν ξείηε ηo όξηo : 4 ln, lim g Γ6. N πνδείμεηε όηη ππάξρεη έλ ηνπιάρηζηνλ μ (, ) ηέηνην ώζηε g(μ) ζπλ4μ (μ) Μνλάδεο ( 3+4+5+4+4 + 5)=5 ΘΕΜΑ Δ Έζηω κη ζπλερήο ζπλάξηεζε :, γη ηελ νπνί ηζρύνπλ ln ln, γη θάζε, e 3 lim 5 6 Γ. N πνδείμεηε όηη ln,,. Γ. N πνδείμεηε όηη ε ληηζηξέθεηη θη όηη ε δηάζηεκ,. Γ3. Ν ξείηε ηε κηθξόηεξε ηεο πξκέηξνπ ι ώζηε ε εμίζωζε ι ln ι e λ έρεη ιύζε ζην δηάζηεκ,. Γ4. Ν ξείηε ην όξην: lim e Γ5. Ν ιύζεηε ηελ εμίζωζε : ζπλ έρεη πεδίν νξηζκνύ ην (Μνλάδεο (5+5+5+5+5) =5 ΘΕΜΑ A ΣΑΡΑΦΗΣ Α. Έζηω δύν πξγκηηθέο ζπλξηήζεηο θη g. Ν δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο ζύλζεζεο ηεο κε ηε g. Α. Πόηε ιέκε όηη κη ζπλάξηεζε είλη ζπλάξηεζε ; Μνλάδεο 5 Μνλάδεο 5
57 Πρόλημ εφπτομένης ΟΡΙΜΟ Έζηω κη ζπλάξηεζε θη A(,( )) έλ ζεκείν ηεο C. () ( ) Αλ ππάξρεη ην θη είλη έλο πξγκηηθόο ξηζκόο ι, lim ηόηε νξίδνπκε ωο εθπηνκέλε ηεο C ζην ζεκείν ηεο Α, ηελ επζεί ε πνπ δηέξρεηη πό ην Α θη έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ι. Δπνκέλωο, ε εμίζωζε ηεο εθπηνκέλεο ζην ζεκείν A(,( )) είλη y ( ) = ι( ), όπνπ () ( ) ι = lim. Ορισμός πργώγου συνάρτησης σε σημείο ΟΡΙΜΟ 4-9 Μη ζπλάξηεζε ιέκε όηη είλη πξγσγίζηκε ζ έλ ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, λ ππάξρεη ην () ( ) lim θη είλη πξγκηηθόο ξηζκόο. Τν όξην πηό νλνκάδεηη πξάγσγνο ηεο ζην θη ζπκνιίδεηη κε ( ). Γειδή:
Πράγωγος κι συνέχει 59 ΘΕΩΡΗΜΑ -3-ΕΠ.7-ΕΠ.3 Αλ κη ζπλάξηεζε είλη πξγσγίζηκε ζ έλ ζεκείν, ηόηε είλη θη ζπλερήο ζην ζεκείν πηό. ΑΠΟΓΔΙΞΗ Γη έρνπκε νπόηε -Λ -9-ΕΠ.4-ΕΠ.-ΕΠ. () ( ) () ( ) ( ), () ( ) lim[() ( )] lim ( ) () ( ) lim lim ( ) θνύ ε είλη πξγωγίζηκε ζην. Δπνκέλωο, lim () ( ), δειδή ε είλη ζπλερήο ζην. = ( ) =, ΣΧΟΛΙΟ Αλ κη ζπλάξηεζε δελ είλη ζπλερήο ζ έλ ζεκείν, ηόηε, ζύκθωλ κε ην πξνεγνύκελν ζεώξεκ, δελ κπνξεί λ είλη πξγσγίζηκε ζην. Έζηω κη ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ έλ ζύλνιν Α. Θ ιέκε όηη: H είλη πξγσγίζηκε ζην Α ή, πιά, πξγσγίζηκε, όηλ είλη πξγωγίζηκε ζε θάζε ζεκείν A.
68 ΘΕΩΡΗΜΑ ( Rolle) ΕΠΑΝ. Αλ κη ζπλάξηεζε είλη: ζπλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκ [,] πξγσγίζηκε ζην λνηθηό δηάζηεκ (,) θη () = () ηόηε ππάξρεη έλ, ηνπιάρηζηνλ, μ (,) ηέηνην, ώζηε: (μ) ' = ΕΠ. 7 Γεσκεηξηθά, πηό ζεκίλεη όηη ππάξρεη έλ, ηνπιάρηζηνλ, μ (,) ηέηνην, ώζηε ε εθπηνκέλε ηεο πξάιιειε ζηνλ άμνλ ηωλ. C ζην M(μ,(μ)) λ είλη ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Σιμής Διφορικού Λογισμού Θ.Μ.Σ.) 3 Αλ κη ζπλάξηεζε είλη: ζπλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκ [, ] θη πξγσγίζηκε ζην λνηθηό δηάζηεκ (, ) ηόηε ππάξρεη έλ, ηνπιάρηζηνλ, μ (,) ηέηνην, ώζηε: () () '(μ) = 3-ΕΠ.8 Γεσκεηξηθά, πηό ζεκίλεη όηη ππάξρεη έλ, ηνπιάρηζηνλ, μ (,) ηέηνην, ώζηε ε εθπηνκέλε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο ζην ζεκείν M(μ,(μ)) λ είλη πξάιιειε ηεο επζείο ΑΒ.
77 ΘΕΩΡΗΜΑ Αλ ην A(,( )) είλη ζεκείν θκπήο ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο θη ε είλη δπν θνξέο πξγωγίζηκε, ηόηε ''( ). Οη πηζλέο ζέζεηο ζεκείσλ θκπήο κηο ζπλάξηεζεο ζ έλ δηάζηεκ Γ είλη: i. η εζσηεξηθά ζεκεί ηνπ Γ ζη νπνί ε κεδελίδεηη, θη ii. η εζσηεξηθά ζεκεί ηνπ Γ ζη νπνί δελ ππάξρεη ε. Έζηω κη ζπλάξηεζε oξηζκέλε ζ έλ δηάζηεκ (,) θη ε ιιάδεη πξόζεκν εθηέξωζελ ηνπ θη νξίδεηη εθπηνκέλε ηεο C ζην A(,( )), ηόηε ην A(,( )) είλη ζεκείν θκπήο. (,). Αλ ΟΡΙΜΟ - ΕΠ. 3 Αλ έλ ηνπιάρηζηνλ πό η όξη lim (), lim () είλη ή, ηόηε ε επζεί ιέγεηη θηθόξπθε ζύκπησηε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο. ΟΡΙΜΟ 7 Αλ lim () (ληηζηνίρωο lim () ), ηόηε ε επζεί y ιέγεηη νξηδόληη ζύκπησηε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο ζην ζην ). (ληηζηνίρωο ΟΡΙΜΟ 5- Ζ επζεί y ι ιέγεηη ζύκπησηε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο ζην, ληηζηνίρωο ζην, λ lim[() (ι+)]=, ληηζηνίρωο lim[() (ι+)]=.
ά ξ η η, ηόηε ε π ε ξ η η η ή, ε 8 C έρεη άμνλ ζπκκεηξίο ηνλ άμνλ yy, ελώ λ είλη C έρεη θέληξν ζπκκεηξίο ηελ ξρή ησλ μόλσλ Ο. Δπνκέλωο, γη ηε κειέηε κηο ηέηνηο ζπλάξηεζεο κπνξνύκε λ πεξηνξηζηνύκε ζη A, κε.. Αλ κη ζπλάξηεζε είλη π ε ξ η ν δ η θ ή κε πεξίνδν Τ, ηόηε πεξηνξίδνπκε ηε κειέηε ηεο C ζ έλ δηάζηεκ πιάηνπο Τ. ΘΕΩΡΙΑ. 9-4 Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέκε όηη είλη πξγσγίζηκε ζε έλ ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο;. 3-ΕΠ. Πόηε ιέκε όηη κη ζπλάξηεζε είλη πξγσγίζηκε ζε έλ θιεηζηό δηάζηεκ [, ] ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο; 3. Aλ ε ζπλάξηεζε είλη πξγσγίζηκε ζ' έλ ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, λ γξθεί ε εμίζσζε ηεο εθπηνκέλεο ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο ζην ζεκείν Α (, ( )). 4. 3--ΕΠ. 3-ΕΠ.7 Ν πνδείμεηε όηη, λ κί ζπλάξηεζε είλη πξγσγίζηκε ζ έλ ζεκείν, ηόηε είλη θη ζπλερήο ζην ζεκείν πηό. 5. 8 Ν πνδεηρζεί όηη ε ζπλάξηεζε () = ln, IR* είλη πξγσγίζηκε ζην IR* θη ηζρύεη: ln ' =
8 Πόηε ιέκε όηη ε ζηξέθεη η θνίι πξνο η θάησ ή είλη θνίιε ζην ; 4. -5 ίλεηη ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην R. Πόηε ε επζεί y=ι+ ιέγεηη ζύκπησηε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο ζην + ; 5. -ΕΠ. 3 Πόηε ε επζεί = ιέγεηη θηθόξπθε ζύκπησηε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο κηο ζπλάξηεζεο ; 6. 7 Πόηε ε επζεί y=l ιέγεηη νξηδόληη ζύκπηωηε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο ζην + ; 7. ΕΠ. 9-ΕΠ. 5 Έζηω ε ζπλάξηεζε ()= (, + ) θη ηζρύεη: () =. Ν πνδείμεηε όηη ε είλη πξγσγίζηκε ζην 8. ΕΠ. Ν δηηππώζεηε ην ζεώξεκ Rolle. 9. ΕΠ. 7 Τη ζεκίλεη γεσκεηξηθά ην Θεώξεκ Rolle ηνπ Γηθνξηθνύ Λνγηζκνύ;. ΕΠ. Έζηω κη ζπλάξηεζε, ε νπνί είλη ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Γ. Αλ () ζε θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ, ηη ζπκπεξίλεηε γη ηε κνλνηνλί ηεο ζπλάξηεζεο ;. ΕΠ. 3 Ν δηηππώζεηε ην ζεώξεκ ηνπ Fermat.. ΕΠ. 3 Έζηω ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ Γ. Πνη ζεκεί ιέγνληη θξίζηκ ζεκεί ηεο ;
83 3. ΕΠ. Έζηω κη ζπλάξηεζε πξγωγίζηκε ζε έλ δηάζηεκ (, ), κε εμίξεζε ίζωο έλ ζεκείν ηνπ, ζην νπνίν όκωο ε είλη ζπλερήο. Αλ ()> ζην (, ) θη ()< ζην (, ), ηόηε λ πνδείμεηε όηη ην ( ) είλη ηνπηθό κέγηζην ηεο. ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟ- ΛΑΘΟ. 9-ΕΠ. -ΕΠ. 4 Κάζε ζπλάξηεζε ζπλερήο ζε έλ ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο είλη θη πξγωγίζηκε ζην ζεκείν πηό.. Αλ ε δελ είλη ζπλερήο ζην,ηόηε ε είλη πξγωγίζηκε ζην. 3. 4 Αλ νη ζπλξηήζεηο, g είλη πξγωγίζηκεο ζην,ηόηε ε ζπλάξηεζε g είλη πξγωγίζηκε ζην θη ηζρύεη:( g) ( ) = ( ) g ( ) 4. -5 (ζπλ) = εκ, 5. -ΕΠ. 9 Γη θάζε R = R { ζπλ =} ηζρύεη : (εθ) = ζπλ 6. Ηζρύεη ν ηύπνο (ζθ)', R { εκ=} εκ 7. 6 Ηζρύεη ν ηύπνο 3 3, γη θάζε R.
87 36. ΘΕΜΑ B 4 Δίλεηη ε ζπλάξηεζε µε ηύπν ln. B. Ν ξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο, λ κειεηήζεηε ηελ κνλνηνλί ηεο θη λ ξείηε η θξόηη. B. Ν κειεηήζεηε ηελ ωο πξνο ηελ θπξηόηεη θη λ ξείηε η ζεκεί θ - κπήο. B3. Ν ξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο. Μνλάδεο (+8+7)=5 37. ΘΕΜΑ Β study4eams Β. Ν κειεηήζεηε ωο πξνο ηε κνλνηνλί, η θξόηη θη λ ξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο g Β. Ν ξείηε ηηο ζύκπηωηεο ηεο ln. = e ln Β3. Ν κειεηήζεηε ηελ ωο πξνο ηε κνλνηνλί θη λ ξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο. Μνλάδεο (8+8 +9) =5 38. ΘΕΜΑ Β ΕΠΑΝ. ΕΠ. Δίλεηη ε ζπλάξηεζε 3 9 B. Ν ξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο. B. Ν ξείηε ηελ πξάγωγν ηεο :. ζην λνηθηό δηάζηεκ 3,3. ζην ζεκείν 3 B3. Ν ξείηε η δηζηήκη κνλνηνλίο ηεο. B4. Ν ξείηε η θξόηη ηεο. Μνλάδεο [4+(3+3)+9+6]=5 39. ΘΕΜΑ Β study4eams Δίλεηη ε ζπλάξηεζε ln Β. Ν δείμεηε όηη ε είλη γλεζίωο ύμνπζ ζην. Β. Ν ιύζεηε ηελ εμίζωζε: 4 ln7 ln Β3. Ν ιύζεηε ηελ λίζωζε: 4 3 ln 6 Μνλάδεο (8+8+9)=5
76. ΘΕΜΑ Γ 8 ln, Δίλεηη ε ζπλάξηεζε, Γ. Ν πνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζην. Γ. Ν κειεηήζεηε σο πξνο ηε κνλνηνλί ηε ζπλάξηεζε θη λ ξείηε ην ζ ύ- λνιν ηηκώλ ηεο. Γ3. Ν ξείηε ην πιήζνο ησλ δηθνξεηηθώλ ζεηηθώλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο γη όιεο ηηο πξγκηηθέο ηηκέο ηνπ. e Γ4. Ν πνδείμεηε όηη ηζρύεη, γη θάζε. Μνλάδεο (3+9+6+7)=5 ο Διφορικός λογισμός 77. ΘΕΜΑ Γ ίλεηη ε ζπλάξηεζε :, δύν θνξέο πξγσγίζηκε ζην, κε, ε νπνί ηθλνπνηεί ηε ζρέζε: e + = + Γ. Ν πνδείμεηε όηη: = lne γη θάζε.,. Γ. Ν κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζε σο πξνο ηε κνλνηνλί θη η θξόηη. Γ3. Ν πνδείμεηε όηη ε γξθηθή πξάζηζε ηεο έρεη θξηώο δύν ζεκεί θκπήο. Γ4. Ν πνδείμεηε όηη ε εμίζσζε lne = ζπλ έρεη θξηώο κί ιύ- π ζε ζην δηάζηεκ,. Μνλάδεο (8+3+7+7)=5 78. ΘΕΜΑ Γ 6 Δίλεηη ε ζπλάξηεζε ln. Γ. Ν ξείηε ην πεδίν νξηζκνύ θη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο. Γ. Ν πνδείμεηε όηη ε εμίζσζε έρεη θξηώο ξίδεο ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο.
Ν πνδείμεηε όηη: Γ. Η ζπλάξηεζε είλη γλεζίωο ύμνπζ. Γ. Η ζπλάξηεζε g είλη γλεζίωο ύμνπζ θη όηη. Γ3. Η εμίζσζε έρεη κη θξηώο ιύζε ζην, Γ4. Υπάξρνπλ,, 3 ηέηνη, ώζηε λ ηζρύεη 4. 3. Μνλάδεο (6+6+6+7)=5 99. ΘΕΜΑ Γ 3 Έζησ κη ζπλάξηεζε ζπλερήο ζ έλ δηάζηεκ, πνπ έρεη ζπλερή δεύηεξε πξάγωγν ζην,. Αλ ηζρύεη θη ππάξρνπλ ξηζκνί έηζη ώζηε γ δ, λ πνδείμεηε όηη: γ,, δ,, Γ. Υπάξρεη κί ηνπιάρηζηνλ ξίδ ηεο εμίζσζεο ζην δηάζηεκ,. Γ. Υπάξρνπλ ζεκεί μ, μ, ηέηνη ώζηε μ θη μ. Γ3. Υπάξρεη έλ ηνπιάρηζηνλ ζεκείν θκπήο ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο. Μνλάδεο (8+ 9+8)=5. ΘΕΜΑ Γ ΖΑΝΣΑΡΙΔΗ Γη ηελ δύν θνξέο πξγσγίζηκε ζπλάξηεζε : ηζρύεη γη θάζε θη Γ. Ν δεηρζεί όηη ε είλη γλεζίωο ύμνπζ ζην.. Γ. Ν ιπζεί ε εμίζσζε 3 4 6. Γ3. Ν δείμεηε όηη γη θάζε. Γ4. Ν δεηρζεί όηη ππάξρνπλ,, κε ηέηνη, ώζηε 3. Γ5. Αλ επηπιένλ ηζρύεη γη θάζε, λ δείμεηε όηη,. Μνλάδεο (5+6+4+5+5)=5
5 ο Διφορικός λογισμός Α. Ν πνδείμεηε όηη : ΘΕΜΑ A Aλ νη ζπλξηήζεηο, g είλη πξγωγίζηκεο ζην, ηόηε ε ζπλάξηεζε +g είλη πξγωγίζηκε ζην θη ηζρύεη : g '( ) '( ) g'( ) Μνλάδεο Α. Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέκε όηη είλη πξγωγίζηκε ζε έλ ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ; Μνλάδεο 5 Α3. Ν ρξθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ θνινπζνύλ, γξάθνληο ζην ηεηξάδηό ζο δίπι ζην γξάκκ πνπ ληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηζε ηε ιέμε Σωζηό, λ ε πξόηζε είλη ζωζηή ή Λάζνο, λ ε πξόηζε είλη ιλζζκέλε. () ( ). Αλ ηζρύεη lim ή, ηόηε ε δελ είλη πξγωγίζη- κε ζην o.. Αλ ε ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζην IR ηόηε ηζρύεη: ( h) ( ) ( h) ( ) lim lim. h h h h γ. Αλ κη ζπλάξηεζε δελ είλη ζπλερήο ζην o, ηόηε δελ είλη πξγωγίζηκε ζην o. δ. Αλ ε ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζην ζεκείν, ηόηε ηζρύεη : () (). ε. Γύν ίζεο θη πξγωγίζηκεο ζπλξηήζεηο έρνπλ ίζεο πξγώγνπο Μνλάδεο 5=
35 δ. Αλ () 6 γη θάζε,, ηόηε ηζρύεη: () () 6( ) ε. Η ζπλάξηεζε () ηθλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ζεωξήκηνο κέζεο ηηκήο ζην δηάζηεκ [, ]. Μνλάδεο 5= ) ΘΕΜΑ Β Γίλεηη πξγωγίζηκε ζπλάξηεζε : [, ] IR γη ηελ νπνί ε είλη γλεζίωο θζίλνπζ ζην [, ]. Δπίζεο ηζρύεη '() θη ε εθπηνκέλε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο ζην ζεκείν ηεο A, () έρεη εμίζωζε y = +. Β. N ξείηε ηηο ηηκέο () θη (). Β. N πνδείμεηε όηη <()<3. Β3. N πνδείμεηε όηη ππάξρεη έλ ηνπιάρηζηνλ μ,, ώζηε: 3μ (μ) ( μ) 4μ Μνλάδεο (8+9+8)=5 ο Διφορικός λογισμός Θ ΕΜΑ Γ Γίλεηη ε πξγωγίζηκε ζπλάξηεζε : ΙR IR κε ( ) () N πνδείμεηε όηη : Γ. H εμίζωζε '() () έρεη κη ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην δηάζηεκ,. Γ. Υπάξρνπλ,, δηθνξεηηθά κεημύ ηνπο, ώζηε ( ) ( ) Γ3. Υπάξρεη μ,, ώζηε (μ) (). Υπάξρνπλ μ, μ, δηθνξεηηθά κεημύ ηνπο, ώζηε (μ ) (μ ) Μνλάδεο (6+6+6+7)=5 ΘΕΜΑ Δ Έζηω πξγωγίζηκε ζπλάξηεζε ζην IR κε γλεζίωο ύμνπζ πξάγωγν. () Γ. Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε g(),. Αλ ()= λ πνδείμεηε όηη g () γη θάζε.
49 ΘΕΜΑ Δ Γη ηελ πξγωγίζηκε ζπλάξηεζε : ηζρύεη: 3 e, Γ. Ν δείμεηε όηη e. Γ. Ν κειεηεζεί ε ωο πξνο ηε κνλνηνλί. Γ3. Ν κειεηεζεί ε ωο πξνο ηε κνλνηνλί. γη θάζε. Γ4. Ν δείμεηε όηη e γη θάζε. Ν δείμεηε όηη Ν ξεζεί ην lim γη θάζε.. ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ Μνλάδεο (5+4+3+5+6+)=5 ο Διφορικός λογισμός ΘΕΜΑ A A. Έζηω κη ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ. Αλ ε είλη ζπλερήο ζην θη () = γη θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ, ηόηε λ πνδείμεηε όηη ε είλη ζηζεξή ζε όιν ην δηάζηεκ. Μνλάδεο Α. Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέκε όηη είλη πξγωγίζηκε ζε έλ ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο; Μνλάδεο 5 Α3. Ν ρξθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ θνινπζνύλ, γξάθνληο ζην ηεηξάδηό ζο δίπι ζην γξάκκ πνπ ληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηζε ηε ιέμε Σωζηό, λ ε πξόηζε είλη ζωζηή ή Λάζνο, λ ε πξόηζε είλη ιλζζκέλε.. Αλ νη ζπλξηήζεηο, g είλη πξγωγίζηκεο ζην ν θη g( ν ), ηόηε ε ζπλάξηεζε g είλη πξγωγίζηκε ζην ν θη ηζρύεη: ( o)g ( o) ( o)g( o) o. g g( o ). Αλ ε δελ είλη ζπλερήο ζην,ηόηε ε είλη πξγωγίζηκε ζην. γ. Τ εζωηεξηθά ζεκεί ηνπ δηζηήκηνο Γ, ζη νπνί ε δελ πξγωγίδεηη ή ε πξάγωγόο ηεο είλη ίζε κε ην, ιέγνληη θξίζηκ ζεκεί ηεο ζην δηάζηεκ Γ.
5 δ. Έζηω ζπλάξηεζε νξηζκέλε θη πξγωγίζηκε ζην δηάζηεκ [, ] θη ζεκείν [, ] ζην νπνίν ε πξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην. Τόηε πάλη ηζρύεη όηη ( )=. ε. Γη δύν νπνηεζδήπνηε ζπλξηήζεηο, g πξγωγίζηκεο ζην ηζρύεη: ( g) ( )= ( )g( ) ( )g ( ) ΘΕΜΑ Β Γη ηελ πξγωγίζηκε ζπλάξηεζε :, ηζρύεη ln γη θάζε Β. Ν δείμεηε όηη ln,. θη Μνλάδεο. Β. Ν κειεηεζεί ε ωο πξνο ηε κνλνηνλί θη η ηνπηθά θξόηη. Β3. Ν ξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο. Β4. Ν ξεζεί ην lim εκ ln. ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ Μνλάδεο (+5+6+4)=5 ΘΕΜΑ Γ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ Έζηω ε πξγωγίζηκε ζπλάξηεζε : γη ηελ νπνί ηζρύνπλ: γη θάζε Γ. Ν δείμεηε όηη γη θάζε. Ν δείμεηε όηη,. Ν ιπζεί ζην ε εμίζωζε 5 6 Γ4. Ν ξείηε ηελ ζύκπηωηε ηεο C ζην. π lim εκ Ν ξεζεί ην όξην ΘΕΜΑ Δ Μνλάδεο (5+8+7+5)=5 ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ Γη ηελ πξγωγίζηκε θη θπξηή ζπλάξηεζε :, ηζρύνπλ: lim Γ. Ν ξείηε η όξη : lim 6.
57 ΟΡΙΜΟ ΕΠ. 6 ΕΠ. -4 Έζηω κη ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ Δ. Απσική ζςνάπηηζη ή ππάγοςζ ηηρ ζηο Δ νλνκάδεηη θάζε ζπλάξηεζε F πνπ είλη ππγωγίζιμη ζην Δ θη ηζρύεη F () (), γη θάζε Δ. 3ο Ολοκληρωτικός λογισμός ΘΕΩΡΗΜΑ - ΕΠ. - ΕΠ. 3 Έζηω κη ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ Δ. Αλ F είλη κη ππάγοςζ ηεο ζην Δ, ηόηε όιεο νη ζπλξηήζεηο ηεο κνξθήο G() = F() + c, cr, είλη ππάγοςζερ ηεο ζην Δ θη θάζε άλλη ππάγοςζ G ηεο ζην Δ πίξλεη ηε κνξθή G() F() c, cr. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Κάζε ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο G() = F() + c, όπνπ cr, είλη κη ππάγοςζ ηεο ζην Δ, θνύ G () = (F() + c) = F () = (), γη θάζε Δ. Έζηω G είλη κη άλλη ππάγοςζ ηεο ζην Δ. Τόηε γη θάζε Δ ηζρύνπλ F '() = () θη G '() = (), νπόηε
58 G '() = F '(), γη θάζε Δ. Άξ, (ζύκθωλ κε πόξηζκ), ππάξρεη ζηζεξά c ηέηνη, ώζηε G() = F() + c, γη θάζε Δ. Πράγουσες σικών συνρτήσεων Α/Α Σςνάπηηζη Ππάγοςζερ = 3 4 = 5 6 G = c, c R G c, c R G ln c, c R + G = + c, c R + ζςν G ημ c, c R ημ G ζςν c, c R 7 = ζπλ G =εθ + c, c R ημ 8 9 e G ζθ c, c R G e c, c R G c, c R ln ()d lim (ξ ) ()d ()d ()d ν κ ν κ Από ηνπο νξηζκνύο ηνπ εκδνύ θη ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξώκηνο πξνθύπηεη όηη:
6 F() = (t)dt ΘΕΩΡΗΜΑ* -Λ 5-ΕΠ.7 Αλ είλη κη ζςνεσήρ ζπλάξηεζε ζε έλ δηάζηεκ Δ θη είλη έλ ζεκείν ηνπ Δ, ηόηε ε ζπλάξηεζε είλη κη ππάγοςζ ηεο ζην Δ. Δειδή ηζρύεη: F() = (t)dt, Δ, (t)dt = (), γη θάζε Δ. Από ην πξπάλω ζεώξεκ θη ην ζεώξεκ πξγώγηζεο ζύλζεηεο ζπλάξηεζεο πξνθύπηεη όηη: -Λ 7* g() (t)dt = (g()) g () κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη η ρξεζηκνπνηνύκελ ζύκνι έρνπλ λόεκ. ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμ. θεώρ. του ολοκληρ.λογ) -3-ΕΠ. 8 Έζηω κη ζςνεσήρ ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ [, ]. Αλ G είλη κη ππάγοςζ ηεο ζην [, ], ηόηε ΑΠΟΔΕΙΞΗ (t)dt = G() G() Σύκθωλ κε ην πξνεγνύκελν ζεώξεκ, ε ζπλάξηεζε είλη κη ππάγοςζ ηεο ζην [, ]. F() = (t)dt -Λ 4-ΕΠ.6-ΕΠ. Επεηδή θη ε G είλη κη πξάγνπζ ηεο ζην [, ], ζ ππάξρεη cr ηέηνην, ώζηε Από ηελ (), γη =, έρνπκε G() = F() + c. ()
6 Aλ κη ζπλάξηεζε είλη ζςνεσήρ ζε έλ δηάζηεκ [,] θη () γη θάζε [,], ηόηε ην εμδόν ηνπ ρωξίνπ Ω πνπ νξίδεηη πό ηε γξθηθή πξάζηζε ηεο, ηηο επζείεο =, = θη ηνλ άμνλ είλη E(Ω) = ()d Έζηω, ηώξ, δπν ζπλξηήζεηο θη g, ζπλερείο ζην δηάζηεκ [,] κε Ω ην ρωξίν πνπ πεξηθιείεηη πό Επνκέλωο () g() γη θάζε [,] θη ηηο γξθηθέο πξζηάζεηο ηωλ,g θη ηηο επζείεο =, =. E(Ω) = (() g())d Με ηε νήζεη ηνπ πξνεγνύκελνπ ηύπνπ κπνξνύκε λ ππνινγίζνπκε ην εκδόλ ηνπ ρωξίνπ Ω πνπ πεξηθιείεηη πό ηνλ άμνλ, ηε γξθηθή πξάζηζε κηο ζπλάξηεζεο g, κε g() γη θάζε [,] θη ηηο επζείεο = θη =. Πξάγκηη, επεηδή ν άμνλο πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο () =, έρνπκε είλη ε γξθηθή. E(Ω) = (() g())d = [ g()]d = g()d Επνκέλωο, λ γη κη ζπλάξηεζε g ηζρύεη g() γη θάζε [,], ηόηε E(Ω) = g()d -Λ 9
64 ΘΕΩΡΙΑ. -ΕΠ. 3-ΕΠ. Έζηω κη ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ Δ. Αλ F είλη κη ππάγοςζ ηεο ζην Δ, ηόηε λ πνδείμεηε όηη: όιεο νη ζπλξηήζεηο ηεο κνξθήο είλη ππάγοςζερ ηεο ζην Δ θη G()=F()+c, cιr θάζε άλλη ππάγοςζ G ηεο ζην Δ πίξλεη ηε κνξθή: G()=F()+c, c ΙR. 3--ΕΠ. 8 Έζηω κί ζςνεσήρ ζπλάξηεζε ζε έλ δηάζηεκ [, ]. Αλ G είλη κη ππάγοςζ ηεο ζην [, ], ηόηε λ πνδείμεηε όηη: (t)dt = G() G() 3. -ΕΠ. 6 Έζηω κί ζπλάξηεζε, νξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ. Ν δηηππώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο πσικήρ ζςνάπηηζηρ ή ππάγοςζρ ηεο ζην. ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟ- ΛΑΘΟ Ν σπκηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ πος κολοςθούν, γπάθονηρ ζηο ηεηπάδιό ζρ δίπλ ζηο γπάμμ πος νηιζηοισεί ζε κάθε ππόηζη ηη λέξη Σωστό, ν η ππόηζη είνι ζωζηή, ή Λάθος, ν η ππόηζη είνι λνθζμένη. 4. 8-4 Αλ ε είλη ζςνεσήρ ζε δηάζηεκ Δ θη,,γ Δ ηόηε ηζρύεη γ γ ()d = ()d + ()d
65 5. 7 Αλ ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην δηάζηεκ [, ] θη γη θάζε [, ] ηζρύεη () ηόηε ()d 6. 5 Έζηω κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ [, ]. Αλ ηζρύεη όηη () γη θάζε [, ] θη ε ζπλάξηεζε δεν είνι πνηού μηδέν ζην δηάζηεκ πηό, ηόηε ()d 3ο Ολοκληρωτικός λογισμός 7. 6 Ιζρύεη ε ζρέζε ()g ()d ()g() ()g()d, όπνπ,g είλη ζςνεσείρ ζπλξηήζεηο ζην [, ]. 8. ()g ()d ()g() ()g()d, όπνπ,g είλη ζπλερείο ζπλξηήζεηο ζην [,] 9. 4 Έζηω κη ζςνεσήρ ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ [,]. Αλ G είλη κη ππάγοςζ ηεο ζην [, ], ηόηε (t)dt = G() G(). 9 Αλ κί ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ [, ] θη ηζρύεη ()< γη θάζε [, ], ηόηε ην εκδόλ ηνπ ρωξίνπ Ω πνπ νξίδεηη πό ηε γξθηθή πξάζηζε ηεο, ηηο επζείεο =, = θη ηνλ άμνλ είλη Ε(Ω) = ()d. ΕΠ. Αλ κη ζπλάξηεζε είλη ζςνεσήρ ζην θιεηζηό δηάζηεκ [,] θη ηζρύεη () γη θάζε [,], ηόηε
67 38. ΘΕΜΑ Β Δίλεηη ε ζπλάξηεζε ln. B. Ν κειεηήζεηε ηελ κολοηολί ηεο θη λ ξείηε η θρόηηά ηεο. B. Ν δείμεηε όηη γη θάζε, e, κε ηζρύεη. B3. Υπνινγίζηε ην εκδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηη κεημύ ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο, ηνλ άμνλ θη ηηο επζείεο θη e e. Μνλάδεο (9+6+)=5 3ο Ολοκληρωτικός λογισμός 39. ΘΕΜΑ Β Έζηω νη ζπλξηήζεηο 3 () θη g() 3 3 θη έζηω C, C νη γξθηθέο ηνπο πξζηάζεηο ληίζηνηρ. B. Δείμηε όηη νη θκπύιεο C, C ηέκλοληη ζε ζεκείν ηνπ άμνλ. B. Δείμηε θόκε όηη κολδηθό δεύηερο ζεκείν πνπ νη θκπύιεο ηέκλοληη είλη ην,9 θη όηη ζην ζεκείν πηό ππάξρεη θοηλή εθπηοκέλε. B3. Σηε ζπλέρεη λ ξείηε ην εκδόλ ηεο πεξηνρήο πνπ πεξηθιείεηη πό ηηο C, C. Μνλάδεο (8+8+9)=5 4. ΘΕΜΑ Β Δίλεηη ε ζπλάξηεζε () ( ) ( ),,. Β. Ν δείμεηε όηη ε πξνπζηάδεη έλ θρόηηο, γη θάζε. Β. Αλ ην θρόηηο πηό είλη ρλεηηθός ξηζκόο, λ δείμεηε όηη ε C ηέκλεη ηνλ άμνλ ζε έλ ηοσιάτηζηολ ζεκείν,. Β3. Ν ππνινγηζηεί ν ώζηε: ()d 5. Μνλάδεο (9+8+8)=5
75 63. ΘΕΜΑ Γ Γίλεηη ε πνιπσλπκηθή ζπλάξηεζε. Έζησ I ()3 d ln3 I ()3 d Ν δεηρζεί όηη: B. Η εμίζσζε ()() έρεη κη ηνπιάρηζηνλ πξγκηηθή ξίδ μ, ηόζν λ Ι, όζν θη λ Ι B. Αλ θόκε κε ηόηε ε εμίζσζε έρεη ηνπιάρηζηνλ κη πξγκηηθή ξίδ. ()() () Μνλάδεο (3+)=5 3ο Ολοκληρωτικός λογισμός 64. ΘΕΜΑ Γ Γίλεηη ε ζπλερήο θη γλεζίσο κνλόηνλε ζπλάξηεζε : κε ηελ ηδηόηεη: () 4e 4 e (), Γ. Ν ξείηε ηνλ ηύπν ηεο. Γ. Ν πνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε είλη ληηζηξέςηκε θη λ ξείηε ηελ ληίζηξνθε ηεο. () Γ3. Ν ξείηε ην όξην: lim Γ4. Ν ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκ: I = ()d. Μνλάδεο (7+6+5+7)=5 65. ΘΕΜΑ Γ Θεσξνύκε ζπλάξηεζε ληηζηξέςηκε θη κε ζπλερή πξάγσγν ζην δηάζηεκ,. Ν δείμεηε όηη: Γ. Γ. () ()d = ()d () () ()d + ()d = () () ()
97 ΘΕΜΑ A Α. Αλ ε ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζην, θη G είλη κη ππάγοςζ ηεο ζην,, λ δείμεηε όηη t dt G G. Μνλάδεο Α. Έζηω κί ζπλάξηεζε, νξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ. Ν δηηππώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο πσικήρ ζςνάπηηζηρ ή ππάγοςζρ ηεο ζην. Μνλάδεο 5 Α3. Ν σπκηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ πος κολοςθούν, γπάθονηρ ζηο ηεηπάδιό ζρ δίπλ ζηο γπάμμ πος νηιζηοισεί ζε κάθε ππόηζη ηη λέξη Σωζηό, ν η ππόηζη είνι ζωζηή, ή Λάθορ, ν η ππόηζη είνι λνθζμένη. 3ο Ολοκληρωτικός λογισμός. Αλ κη ζπλάξηεζε είλη ζςνεσήρ ζην δηάζηεκ Δ, ηόηε ε έρεη πσική ζςνάπηηζη ζην Δ.. Αλ κη ζπλάξηεζε είλη νξηζκέλε ζ έλ δηάζηεκ Δ θη ε έρεη πξάγνπζ ζην Δ, ηόηε ε είλη θη λάγθε ζπλερήο ζην Δ. γ. Αλ ε ζπλάξηεζε είλη ππγωγίζιμη ζην, θη ε είλη ζςνεσήρ ζην,, ηόηε θη λάγθε είλη d. δ. Αλ ε ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζην, κε θη είλη d, ηόηε θη λάγθε είλη γη θάζε, γη θάζε,. ε. Αλ νη ζπλξηήζεηο,g έρνπλ ζςνεσείρ πξγώγνπο ζην,, ηόηε ηζρύεη g d g d g g Μνλάδεο
98 ΘΕΜΑ Β ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ Έζηω ε ζπλάξηεζε :, ζπλερήο ζην, γη ηελ νπνί ηζρύεη t dt,. Β. Ν δείμεηε όηη,. Β. Ν ξείηε ην εμδόν ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηη πό ηε C θη ηελ επζεί ε :y 9. Β3. Ν ξείηε γη πνη ηηκή ηνπ δύο ιζεμδικά ρωξί. Β4. Ν ξεζεί ην όξην 3 ε επζεί lim ημ ΘΕΜΑ Γ Γη ηε ζπλερή ζπλάξηεζε : ηζρύεη: γη θάζε,y κε y θη είλη δ :y ρωξίδεη ην ρωξίν ζε 5 3 5 y 3 y,. Μνλάδεο (7+5+6+7)=5 Γ. Ν δείμεηε όηη ε είλη γνηζίωρ ύξοςζ ζην θη λ ξεζνύλ η όξη lim θη Γ. Έζηω H κη πξάγνπζ ηεο ζην. lim H H, Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε: g, i. Ν δείμεηε όηη ε g είλη γνηζίωρ ύξοςζ ζην. ν ν ii. Ν δείμεηε όηη tdt tdt γη θάζε iii. Αλ επηπιένλ ε ξείηε ην όξην ν. * ν κε ν. C έρεη ζην ζύμπηωηη ηελ επζεί ε : y t lim dt. ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ, λ Μνλάδεο (6+7+7+5)=5
9 3. ΘΕΜΑ Δ study4eams Δίλεηη ε ζπλάξηεζε κε () 3ln(e ),. Γ. Ν κειεηήζεηε ηελ σο πξνο ηε μονοηονί θη η κπόηη. Γ. Ν ξείηε ην ζύνολο ηιμών ηεο. Γ3. Ν ξείηε ην πλήθορ ηων λύζεων ηεο εμίζσζεο 3 5. Γ4. Ν ππνινγίζεηε ην εμδόν ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηη πό ηε C, ηνλ άμνλ θη ηηο επζείεο θη. Μνλάδεο (6+6+6+7)=5 Θέμτ Δ εφ όλης της ύλης 4. ΘΕΜΑ Δ Γ. Έζησ δύν ζπλξηήζεηο h, g ζςνεσείρ ζην,. Ν πνδείμεηε όηη λ h() g() γη θάζε,, ηόηε θη h()d > g()d Γ. Δίλεηη ε ππγωγίζιμη ζην Ι ζπλάξηεζε, πνπ ηθλνπνηεί ηηο ζρέζεηο: () () e, θη (). i. Ν εθθξζηεί ε σο ζςνάπηηζη ηεο. ii. Ν δείμεηε όηη () (), γη θάζε. iii. Αλ Δ είλη ην εμδόν ηνπ ρσξίνπ Ω πνπ νξίδεηη πό ηε γξθηθή πξάζηζε ηεο, ηηο επζείεο, θη ηνλ άμνλ, λ δείμεηε όηη E (). 4 Μνλάδεο [+(5++6]=5
ο Διφορικός λογισμός 3ο Ολοκληρωτικός λογισμός 33. ΘΕΜΑ Δ Ε.Μ.Ε Έζησ ε πξγσγίζηκε ζπλάξηεζε :, πνπ έρεη ζεκείν θκπήο ην Διγωνίσμτ εφ όλης της ύλης O, θη ηεο νπνίο ε γξθηθή πξάζηζε θίλεηη ζην δηπιλό ζρήκ. y Θέμτ Γ 3 - θ ι - - -3 Γ. Ν ξείηε ην πεδίο οπιζμού ηεο ζπλάξηεζεο g(). () Γ. Με δεδνκέλν όηη ε γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο g έρεη ζύμπηωηερ, λ ηηο ξείηε. Γ3. Ν κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζε g σο πξνο ηε μονοηονί, η κπόηη. Γ4. Αλ ε ζπλάξηεζε είλη πνιπσλπκηθή 3 νπ ζκνύ, ηόηε: i. Ν ξείηε ηνπο πξγκηηθνύο ξηζκνύο κ, λ θη ηνλ ηύπν ηεο. ii. Ν ξείηε ην εμδόν ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηη πό ηε γξθηθή πξάζηζε ηεο θη ηνλ άμνλ. Μνλάδεο [3+7+5+(6+4)]=5 Διγωνίσμτ νά ενότητες Θέμτ B Θέμτ Δ εφ όλης της ύλης 34. ΘΕΜΑ Δ Ε.Μ.Ε Έζησ ε πξγσγίζηκε ζπλάξηεζε : κε ζπλερή πξάγσγν, πνπ ηθλνπνηεί ηηο ζρέζεηο: () () + =, γη θάζε () + () (3) Γ. Ν πνδείμεηε όηη (),.
33 53. ΘΕΜΑ Δ PLUS ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ Δ. Ν δείμεηε όηη εκ εκ γη θάζε,. 4 Δ.Ν ξείηε ην lim εκ εκ Δ3. Γη ηελ ζπλάξηεζε : ηζρύεη εκ, γη θάζε. i. Ν δείμεηε όηη y y, γη θάζε,y. ii. Ν δείμεηε όηη είλη ζπλερήο ζην. iii. Ν ξεζεί ην όξην lim iv. Ν δείμεηε όηη :. ε είλη -.. ε είλη γλεζίωο ύμνπζ ζην. v. Ν ιπζεί ε λίζωζε: tdt t dt,. Μνλάδεο { 3+3+[ 4+3+4+(3+)] +3} =5 Θέμτ Δ plus εφ όλης της ύλης 54. ΘΕΜΑ Δ PLUS ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ Η ζπλάξηεζε : είλη πξγωγίζηκε ζην θη F είλη κί πξάγνπζ ηεο γη ηελ νπνί ηζρύεη F lim F θη 4F 3e γη θάζε. Αθόκε δίλεηη όηη. Δ. Ν δείμεηε όηη: i. F ii. Δ. Αλ, λ δείμεηε όηη: i. θνληά ζην. ii. 3 4 iii. e e e lim
34 Δ3. Ν δείμεηε όηη ππάξρνπλ,,3 κε ώζηε Δ4. Ν δείμεηε όηη ππάξρνπλ,,,3 3 κε 3 ώζηε 3. 3 Δ5. Αλ ε είλη θπξηή ζην, λ δείμεηε όηη θη. Δ6. Ν ξεζεί ην lim t dt Δ7. Ν δείμεηε όηη ππάξρεη μ,3 ώζηε. μ 3 3 t dt t dt t dt t dt t dt θη 3. Μνλάδεο [ (++)+(+)+3+3+3+3+3] =5 55. ΘΕΜΑ Δ PLUS ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ Γη ηελ δύν θνξέο πξγωγίζηκε ζπλάξηεζε :R R ηζρύεη:.. Δ. Ν δείμεηε όηη (), γη θάζε () 6 (), γη θάζε. 3. (). i. (). ii. (),. Δ. Ν ξείηε ην ζεκείν ηεο C πνπ πέρεη ηελ κηθξόηεξε πόζηζε πό ην O(,) θη ηελ πόζηζε πηή. Δ3. Ν ξείηε ην όξην : Δ4. Θεωξνύκε ηηο επζείεο ε :y,ε :y 3 3. lim εκ ( ), όπνπ,,. κε 344. Ν ξείηε ην εκδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηη πό ηελ C θη ηηο επζείεο ε θη ε. Μνλάδεο [(4+5)+5+5+6]=5
4 ο. ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΜΑ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ Έζηω η ππγωγίζιμη ζςνάπηηζη : γι ηην οποί ιζσύει: e, γι κάθε. Ν δεισθεί όηι η ζςνάπηηζη είνι. Ν μελεηηθεί η ωρ ππορ ηη μονοηονί κι η ηοπικά κπόηη. κι ν πείηε ηο ππόζημο ηηρ 3. Ν δεισθεί όηι 4. Ν πείηε ηο ζύνολο ηιμών ηηρ 5. Ν πείηε η όπι: lim, lim 6. Ν οπιζηεί η 7. Ν δεισθεί όηι: e γι κάθε 8. Ν μελεηηθεί η ωρ ππορ ηην κςπηόηηη κι η ζημεί κμπήρ. 9. Ν λςθεί η νίζωζη:. Ν πείηε ηο lim κι ηο lim. Ν δεισθεί όηι ςπάπσει μονδική εθπηομένη ηηρ C η οποί διέπσεηι πό ηην πσή ηων ξόνων κι ζηην ζςνέσει ν πεθεί η εξίζωζή ηηρ.. Ν δεισθεί όηι:. t dt, γι κάθε 3. Ν δεισθεί όηι:, γι κάθε, 4. Ν πείηε ηην εξίζωζη ηηρ εθπηομένηρ η ηηρ C η οποί είνι ππάλληλη ππορ ηην εςθεί δ : y 6 5. Ν εξεηζηεί ν ςπάπσοςν ζύμπηυηερ ηηρ C ζηο ή ζηο. 6. Ν γίνει ππόσειπη γπθική ππάζηζη ηηρ. 7. Ν πεθεί ηο d ζςνπηήζει ηος. 8. Ν πείηε ηο εμδόν ηος σωπίος πος πεπικλείεηι πό ηην C, ηην ζύμπηωηη ηηρ C ζηο κι ηιρ εςθείερ κι e Γενικά θέμτ
43 Α. Ν πνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε, θη ηζρύεη ΘΕΜΑ A ΣΗΛΕΓΡΑΥΟ - ΠΑΝΣΟΤΛΑ, είλη πξγωγίζηκε ζην Μνλάδεο Α. Ν δηηππώζεηε θη λ δώζεηε ηε γεσκεηξηθή εξκελεί ηνπ ζεσξήκηνο Bolzano. Μνλάδεο 5 Α3. Ν ρξθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ θνινπζνύλ, γξάθνληο ζην ηεηξάδηό ζο δίπι ζην γξάκκ πνπ ληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηζε ηε ιέμε Σσζηό, λ ε πξόηζε είλη ζσζηή, ή Λάζνο, λ ε πξόηζε είλη ιλζζκέλε. θη γλεζίσο. Αλ ε ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζην, µε µνλόηνλε ζ πηό, ηόηε ε πίξλεη ζην [, ] µόλν ηηο ελδηάµεζεο. ηηµέο µεημύ ηωλ θη θη ηηο ηηκέο θη. Κάζε γλεζίσο θζίλνπζ ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην, πξνπζηάδεη ζην (, ] ειάρηζην. γ. Αλ ε είλη πξγωγίζηµε ζην δηάζηεµ Δ, θη ην Δ είλη µη ιύζε ηεο εμίζωζεο, ηόηε ζην ζεκείν (, ( )) ε εθπηόµελε ηεο C είλη πξάιιειε πξνο ηε δηρνηόµν y ηεο εο θη 3 εο γωλίο ηωλ μόλωλ. δ. Αλ µί επζεί είλη ζύµπηωηε ηνπ δηγξάµµηνο ηεο, ηόηε δελ µπνξεί λ έρεη θνηλά ζεµεί µε ηε γξθηθή πξάζηζε ηεο. ε. Έζηω κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζην,. Αλ d, ηόηε λγθί ππάξρεη,, ηέηνην ώζηε. Μνλάδεο Διγωνίσμτ εφ όλης της ύλης
44 ΘΕΜΑ Β Δίλεηη ε πεξηηηή ζπλάξηεζε κε Β. Ν δείμεηε όηη 3 εκ :, γη θάζε. 3 εκ,., Β. Ν δείμεηε όηη ε είλη ζπλερήο ζην. ΣΗΛΕΓΡΑΥΟ - ΠΑΝΣΟΤΛΑ Β3. Ν ξείηε ηεο ζύκπησηεο ηεο C θη λ δείμεηε όηη ηέκλνπλ ηε γξθηθή πξάζηζε. Ν κειεηήζεηε ηελ g, π,,π, ωο πξνο ηε κνλνηνλί θη η θξόηη. ΘΕΜΑ Γ Μνλάδεο ( 6 + 4 + 7 + 8 )=5 ΣΗΛΕΓΡΑΥΟ - ΠΑΝΣΟΤΛΑ Δίλεηη ε δπν θνξέο πξγωγίζηκε ζπλάξηεζε :, κε θη ηζρύνπλ ln Γ. N δείμεηε όηη e γη θάζε., θη ln ln e,, Γ. N ηελ κειεηήζεηε ωο πξνο ηε κνλνηνλί θη λ ξείηε η όξη lim, lim Ν νξίζεηε ηελ ληίζηξνθή ηεο, εθόζνλ νξίδεηη. Ν ξείηε η ζεκεί ηνκήο ηωλ C, C. Μνλάδεο ( 7+6 + 6 + 6 )=5 ΘΕΜΑ Δ ΣΗΛΕΓΡΑΥΟ - ΠΑΝΣΟΤΛΑ Δίλεηη ε ζπλερήο ζπλάξηεζε : θη ε ζπλάξηεζε g t t dt.
65 ΘΕΜΑ Δ ΖΑΝΣΑΡΙΔΗ-ΣΗΛΕΓΡΑΥΟ-ΠΑΝΣΟΤΛΑ Δίλεηη ε πξγωγίζηκε ζπλάξηεζε :,, e θη t k e dt, γη θάζε όπνπ k ζηζεξό. Γ. Ν δείμεηε όηη ππάξρεη,e Γ. Ν δείμεηε όηη k e θη όηη ηέηνην ώζηε. ln. Γ3. Ν ξεζεί ην εκδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηη πό ηε γξθηθή πξάζηζε ηεο ln, ηνλ άμνλ ηωλ θη ηελ εθπηνκέλε ηεο C ζην ζεκείν ηεο Ae,. Γ4. Ν ξείηε ην όξην 6. lim e e Γ5. Δίλεηη ε ζπλάξηεζε g :,e πξγωγίζηκε κε ηθλνπνηεί ηε ζρέζε,e i. Ν δείμεηε g ln ln. ii. Ν ξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο g. g g. κε g θη γη θάζε iii. Ν ξείηε ηελ ηηκή ηνπ γη ηελ νπνί ν ξπζκόο κεηνιήο ηεο ωο πξνο γίλεηη ειάρηζηνο. g Μνλάδεο [ 3 + 4 + 4+3+(5+3+3)]=5 Διγωνίσμτ εφ όλης της ύλης
7 Β3. Ν ππνινγίζεηε ην 3 3 εκ lim εκ6 Μνλάδεο ( 8 + 9 + 8) =5 ΘΕΜΑ Γ ΑΡΑΥΗ Δίλεηη ζπλάξηεζε πξγωγίζηκε ζην, κε ζύλνιν ηηκώλ επίζεο ην, γη ηελ νπνί ηζρύεη όηη e e γη θάζε. Γ. Ν πνδείμεηε όηη ε είλη γλεζίσο ύμνπζ θη όηη. Γ. Ν πνδείμεηε όηη γη θάζε. Γ3. Ν πνδείμεηε όηη ε ληίζηξνθε ηεο έρεη ηύπν ln e. Γ4. Ν κειεηήζεηε ηε κνλνηνλί ηεο Γ5. Ν ππνινγίζεηε ην. lim t dt. Μνλάδεο ( 6+4+5+4+ 6 ) =5 ΘΕΜΑ Δ ΑΡΑΥΗ Έζηω ζπλάξηεζε :, ε νπνί είλη δύν θνξέο πξγωγίζηκε θη ηζρύεη. Γ. Ν ξείηε ηνλ ηύπν ηεο λ ηζρύνπλ: e e e e e e tdt γη θάζε > () Γ. Αλ ε είλη θπξηή,λ πνδείμεηε όηη: i. γη θάζε e ii. Η ζπλάξηεζε g,, iii. 4 g t dt gtdt γη θάζε 3 είλη γλεζίσο ύμνπζ. Μνλάδεο( 8 + 6+5 + 6 ) =5
73 ΘΕΜΑ A A. Έζηω κη ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ Δ. Αλ F είλη κη πξάγνπζ ηεο ζην Δ, ηόηε λ πνδείμεηε όηη: όιεο νη ζπλξηήζεηο ηεο κνξθήο G() F()+c, cιr είλη πξάγνπζεο ηεο ζην Δ θη θάζε άιιε πξάγνπζ G ηεο ζην Δ πίξλεη ηε κνξθή: G() F()+c, c ΙR Μνλάδεο Α. Έζηω κη ζπλάξηεζε ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ θη πξγσγίζηκε ζην εζωηεξηθό ηνπ. Πόηε ιέκε όηη ε ζηξέθεη η θνίι πξνο η θάησ ή είλη θνίιε ζην ; Μνλάδεο 5 Α3. Ν ρξθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ θνινπζνύλ, γξάθνληο ζην ηεηξάδηό ζο δίπι ζην γξάκκ πνπ ληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηζε ηε ιέμε Σσζηό, λ ε πξόηζε είλη ζσζηή ή Λάζνο, λ ε πξόηζε είλη ιλζζκέλε.. Κάζε ζπλάξηεζε, πνπ είλη -, είλη γλεζίωο κνλόηνλε.. Έζηω ζπλάξηεζε ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ θη πξγσγίζηκε ζην εζωηεξηθό ηνπ. Αλ ε είλη γλεζίσο ύμνπζ ζην, ηόηε ε πξάγωγόο ηεο δελ είλη ππνρξεσηηθά ζεηηθή ζην εζωηεξηθό ηνπ. γ. Αλ ε ζπλάξηεζε είλη πξγσγίζηκε ζην IR. θη δελ είλη ληηζηξέςηκε, ηόηε ππάξρεη θιεηζηό δηάζηεκ [, ], ζην νπνίν ε ηθλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ζεσξήκηνο Rolle. δ. Αλ ()=, R (>), ηόηε ηζρύεη () ε. Αλ ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην δηάζηεκ [, ] θη γη θάζε [, ] ηζρύεη (), ηόηε είλη θη λάγθε ()d Μνλάδεο Διγωνίσμτ εφ όλης της ύλης ΘΕΜΑ Β Γη ηε ζπλάξηεζε : ηζρύεη γη θάζε θη 4 Β. Ν δείμεηε όηη ε είλη ζπλάξηεζε.. ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ
74 Β. Αλ ε είλη γλεζίσο κνλόηνλε ζην, λ δείμεηε όηη ε είλη γλεζίσο θζίλνπζ ζην. Β3. Αλ ε είλη ζπλερήο ζην, λ δείμεηε όηη i. ππάξρεη, ηέηνηνο, ώζηε ii. Β4. Αλ ε είλη πξγωγίζηκε κε ζπλερή πξάγωγν λ ξείηε ην εκδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηη πό ηελ C, ηνλ άμνλ θη ηηο επζείεο θη. ΘΕΜΑ Γ ln Δίλεηη ε ζπλάξηεζε,. M νλάδεο [6 + 5+(4+3)+7]=5 Γ. Ν κειεηεζεί ε ωο πξνο ηε κνλνηνλί θη η θξόηη. Γ. Ν ξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο. Γ3. Ν ξεζεί ε κηθξόηεξε ηηκή ηνπ θ R, γη ηελ νπνί ηζρύεη Γ4. Αλ γη ηνπο,, γ θ e γη θάζε. ηζρύεη γ γη θάζε, λ δείμεηε όηη : γ e. 3 e γ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ M νλάδεο (6+6+6+7)=5 ΘΕΜΑ Δ Γη ηε ζπλερή ζπλάξηεζε :, ηζρύεη: Ν δείμεηε όηη: i. t e dt, γη θάζε e γη θάζε. ε είλη γλεζίσο ύμνπζ ζην,., Γ. Ν ξεζνύλ η όξη : lim θη lim Γ3. Ν ξεζεί ε ληίζηξνθε ζπλάξηεζε ηεο... ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ