ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008
Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2
Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία δοκιμών Bernoulli. Σε μια τέτοια, εκτός του αριθμού επιτυχιών σε συγκεκριμένο πλήθος δοκιμών (Διωνυμική κατανομή), ενδιαφέρον παρουσιάζει και η μελέτη της θέσης (δοκιμής) όπου εμφανίζεται η πρώτη επιτυχία (ε) ή γενικότερα της θέσης (δοκιμής) όπου εμφανίζεται η r-οστή επιτυχία (ε) Γεωμετρική κατανομή Αρνητική Διωνυμική κατανομή Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
ΗΓεωμετρική κατανομή ΟΡΙΣΜΟΣ X ~ G( p) 4 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Ησυνάρτηση πιθανότητας της γεωμετρικής κατανομής ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ f ( ) P( X ) f ( ) P( X ) q 1 p, 0,1,... 5 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
f ( ) P( X ) q 1 p, 0,1,... Ησυνάρτηση πιθανότητας της γεωμετρικής κατανομής 6 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Άσκηση 6/Σελίδα 284 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας 7
Θέματα εξετάσεων Θεωρούμε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli με σταθερή πιθανότητα επιτυχίας p. Αν Χ είναι ο αριθμός των δοκιμών μέχρι να εμφανιστεί η πρώτη επιτυχία τότε η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη Διωνυμική κατανομή. Συμπληρώστε Σ ή Λ Λ Θεωρούμε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli με σταθερή πιθανότητα επιτυχίας p. Αν Χ είναι ο αριθμός των δοκιμών μέχρι να εμφανιστεί η πρώτη αποτυχία τότε η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή. Συμπληρώστε Σ ή Λ Σ Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας 8
Ησυνάρτηση κατανομής της γεωμετρικής κατανομής F( k) P( X k) k 1 f ( ) 9 F( k) για για (θετικό) ακέραιο ακέραιο k P( X k) 1 k q για γενικό t Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Μια ιδιότητα της γεωμετρικής κατανομής (έλλειψη μνήμης) 10 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Άσκηση 4/Σελίδα 284 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 11
f ( ) P( X ) q 1 p, 0,1,... Μέση τιμή και διακύμανση της γεωμετρικής κατανομής 12 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Μέση τιμή και διακύμανση της γεωμετρικής κατανομής ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ 13 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Μέση τιμή της γεωμετρικής κατανομής X ~ G( p) E( X ) 1 p 14 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Άσκηση 4/Σελίδα 284 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 15
Μια «άλλη» γεωμετρική κατανομή Χ: αριθμός δοκιμών μέχρι την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας Υ: αριθμός αποτυχιών μέχρι να εμφανιστεί η πρώτη επιτυχία X ~ G( p) 16 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Άσκηση 3/Σελίδα 283 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 17
Άσκηση 15/Σελίδα 285 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 18
Θέμα εξετάσεων Ένας παίκτης που παίζει ρουλέτα στο καζίνο ποντάρει συνέχεια στο μαύρο. Η πιθανότητα να έρθει μαύρο σε ένα οποιοδήποτε γύρισμα της ρουλέτας είναι ίση με 18 / 37. (α) Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει 4 φορές σε 10 γυρίσματα της ρουλέτας; (β) Ποια είναι η πιθανότητα να χρειαστεί να γίνουν περισσότερα από 3 γυρίσματα της ρουλέτας για να χάσει για πρώτη φορά; (γ) Ποιος είναι ο μέσος αριθμός γυρισμάτων της ρουλέτας που αναμένει ο παίκτης για να κερδίσει για δεύτερη φορά; Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 19
Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 20
X ~ Nb( r, p) Αρνητική Διωνυμική κατανομή ΟΡΙΣΜΟΣ Για ν1 παίρνουμε την γεωμετρική κατανομή 1 παίρνουμε γεωμετρική την 21 κατανομή Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας 22 Ησυνάρτηση πιθανότητας της αρνητικής Διωνυμικής κατανομής ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 1,..., 1 1 ) ( ) ( + r r q p r X P f r r ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Θέμα εξετάσεων Ένα αμερόληπτο ζάρι ρίχνεται συνεχώς και συμβολίζουμε με Χ τον αριθμό των δοκιμών μέχρι να εμφανιστεί για τρίτη φορά η ένδειξη 3 ή 4. Τότε 1 α. P(X5) 3 5 1 β. P(X4) 3 4 1 γ. E(X)1 δ. P(X3) 3 3 ε. E ( X ) 1 3 Συμπληρώστε α, β, γ, δ ή ε δ Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 23
Ησυνάρτηση πιθανότητας της αρνητικής Διωνυμικής κατανομής 24 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
f ( ) Μια «άλλη» αρνητική Διωνυμική κατανομή P( X 1 r ) p q r 1 r, r + 1,... r Χ: αριθμός δοκιμών μέχρι την εμφάνιση της r επιτυχίας Υ: αριθμός αποτυχιών μέχρι να εμφανιστεί η r επιτυχία X ~ Nb( r, p) 25 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Ηαρνητική Διωνυμική κατανομή ως άθροισμα γεωμετρικών τ.μ. X ~ Nb( r, p) X 1 ~ G( p) X 2 ~ G( p) X r ~ G( p) 26 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Μέση τιμή και διακύμανση της αρνητικής Διωνυμικής κατανομής ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Βλέπε βιβλίο (σελίδα 278) 27 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Άσκηση 8/Σελίδα 286 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 28
Άσκηση 10/Σελίδα 284 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 29
Άσκηση 11/Σελίδα 284 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 30
Άσκηση 18/Σελίδα 285 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 31
Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας 32 Σχέση της Διωνυμικής κατανομής με την κατανομή Bernoulli ν ν ν 0,1,..., ) ( ) ( q p X P f ν ν ν 0,1,..., ) ( ) ( q p X P f 0,1 1 ) ( ) ( 1 1 q p q p X P f 1 v ) (1, ~ p b ), ( ~ p b ν
Άσκηση 20/Σελίδα 286 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 33