Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης (Λύσεις Άσκηση 1: Μία έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξονα 5m και µικρό 3m έχει κέντρο την αρχή των αξόνων. Να υπολογισθούν τα ακρότατα στην απόσταση των σηµείων της έλλειψης από την αρχή των αξόνων αναλυτικά και να επαληθευθεί ότι είναι ίσα µε τους δύο ηµιάξονες της έλλειψης. Λύση : Ηαπόστασητωνσηµείωντηςπεριµέτρουτηςέλλειψηςαπότοκέντροτης(0, 0 ϑα είναι D 2 = x 2 + y 2 (x (1 όπου το y(x ϑα ορίζεται από τη σχέση Για να υπολογίσουµε τα ακρότατα στην απόσταση ϑα έχουµε ή 9x 2 +25(y(x 2 =225 (2 2x +2yy (x =0 y (x = x y και από την εξίσωση 2 ϑα έχουµε αν παραγωγίσουµε ως προς x 18x +50yy (x =0 ή ( 18x +50y x =0 y 18x 50x =0 x =0 και επιστρέφοντας στην 2 ϑα έχουµε y = ±3. Αν επαναλάβουµε την άσκηση υποθέτοντας ότι x(y, ϑακαταλήξουµεσταάλλαδύοσηµεία (±5, 0. Συµπερασµατικάυπολογίζουµετουςηµιάξονες(a =3,b=5. 1
Άσκηση 2: Μια κηλίδα λαδιού απλώνεται κυκλικά µέσα στο τηγάνι και η ακτίνα της είναι ανάλογη του t 1/2, όπου t είναι ο χρόνος από τη στιγµή που η κηλίδα έσταξε στο τηγάνι. Να ϐρεθεί ο ϱυθµός µεταβολής του πάχους της κηλίδας. Λύση : Αν υποθέσουµε ότι r = t 1/2 και ο όγκος της κηλίδας ϑα είναι V = πr 2 T ϑα έχουµε άρα (r 2 T =0 2r dr dt T + r2 dt dt =0 dt dt = 2r r T = T/t Άσκηση 3: Να µελετηθούν αναλυτικά και στη συνέχεια να σχεδιαστούν οι καµπύλες (α y =5x 2/3 2x 5/3, (ϐ y = x 3 e x Λύση : (α Από τη σχέση y =5x 2/3 2x 5/3 ϑα έχουµε y = 10 3 x 1/3 10 3 x2/3 = 10 3 x 1/3 (1 x. Άρα y > 0 για (0, 1 και y < 0 για τις περιοχές (, 0 και (1, Σχήµα 1: y = 10 9 x 4/3 20 9 x 1/3 = 20 9 x 4/3 (x +1/2. Η δεύτερη παράγωγος y > 0 για (, 1/2 και y < 0 για ( 1/2, 0 και (0,. Με ϐάση τα παραπάνω υπολογίζουµε ότι τα σηµαντικά σηµεία ϑα είναι (0, 0 τοπικό ελάχιστο (1, 3 τοπικό µέγιστο ( 1/2, 3 3 2 σηµείο καµπής Στο σηµείο x =0ησυνάρτηση y x 0 + = 2
y x 0 = άρα στο σηµείο (0, 0 υπάρχει ασυνέχεια ( ακίδα ΗκαµπύλητέµνειτονάξοναOy στα σηµεία x =0και x =5/2. (ΒλέπεΣχ.2 (ϐ 1. Πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το διάστηµα <x<+. 2. Συµµετρία και περιοδικότητα δεν έχουµε. 3. Το µοναδικό σηµείο τοµής µε τους άξονες είναι η αρχή των αξόνων O(0, 0. 4. Κατακόρυφη ασύµπτωτη δεν υπάρχει. Εξετάζουµε τώρα το f(x x + x = x + x2 e 2 =+ άρα δεν υπάρχει πλάγια ασύµπτωτη της καµπύλης προς τα δεξιά. f(x x = x2 e x =( 0 = = 3x 2 ( e = = x 6x ( e = = x x 3 ( e = = x 6 =0 e x άρα δεν υπάρχει πλάγια ούτε προς τα αριστερά, αφού a =0.Αλλά y = x3 e x =( 0 = x 3 ( e = = x 3x 2 ( e = = x 6x ( = e = 6 = =0 x e x η y =0είναι οριζόντια ασύµπτωτη προς τα αριστερά και µάλιστα η καµπύλη την πλησιάζει ασυµπτωτικά προς τα αριστερά και από κάτω. Επειδή y x + = x 3 e x x + =+ δεν υπάρχει οριζόντια ασύµπτωτη προς τα δεξιά. 5. Βρίσκουµε την πρώτη παράγωγο y =3x 2 e x + x 3 e x = x 2 (3 + xe x y = 0 x = 0 και x = 3. Η συνάρτηση είναι ϕθίνουσα στο διάστηµα (, 3 και αύξουσα στα διαστήµατα ( 3, 0 και (0, +. 3
Εποµένως για x = 3 έχουµε ελάχιστο και µάλιστα ενώ για x =0δεν έχουµε άκρα τιµή. 6. Βρίσκουµε τη δεύτερη παράγωγο y min = 27 e 3 y =(6x +3x 2 e x +(3x 2 + x 3 e x = e x x(x 2 +6x +6 y =0 x 1 =0και x 2,3 = 3 ± 3 Άρα η καµπύλη στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στα διαστήµατα (, 3 3 και ( 3+ 3, 0, ενώστρέφειτακοίλαπροςταπάνωσταδιαστήµατα( 3 3, 3+ 3 και (0, +. Εποµένως τα σηµεία x = 3 3,x= 3+ 3 και x =0είναι σηµεία καµπής. Σχήµα 2: Άσκηση 4: Να µετασχηµατίσετε σε Καρτεσιανίες συντεταγµένες τις κάτωθι, και ερµηνεύστε τι αντιπροσωπεύει κάθε µια : 1. r =1 cos(θ 2. r 3 =4r 2 sin(θ 3. r =csc(θe r cos(θ Λύση : 1. Χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό από πολικές σε Καρτεσιανές συντεταγµένες, δηλαδή x = r cos(θ, y = r sin(θ: x2 + y 2 =1 x x2 + y = x2 + y 2 x = 2 x2 + y 2 4
( x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 x = (x 2 + y 2 x 2 = x 2 + y 2 = x 4 + y 4 +2x 2 y 2 2x 3 2xy 2 y 2 =0 ΗκαµπύληαυτήείναιηΚαρδιοειδής. 2. Εχουµε : r 3 =4r 2 sin(θ = r 2 =4r sin(θ = x 2 + y 2 =4y = x 2 + y 2 4y +4=4= x 2 +(y 2 2 =2 2 Άρα είναι κύκλος ακτίνας 2 και κέντρου (0,2. 3. Εχουµε : r =csc(θe r cos(θ = Ηεκθετικήσυνάρτηση. r csc(θ = er cos(θ = r sin(θ =e r cos(θ = y = e x Άσκηση 5: Υπολογίστε τις διαστάσεις (ύψους h και ακτίνας r κυλινδρικούδοχείουα- λουµινίου χωρητικότητας 2500cm 3 ώστε να ελαχιστοποιήσετε το κόστος µιας και τα αποκόµµατα αλουµούνιο δεν ξαναχρησιµοποιούνται. Θεωρήστε ξεχωριστά κοµµάτια για το πλευρικό τοίχωµα και για τις 2 ϐάσεις, ακτίνας r (οι ϐάσεις ϑα κοπούν από τετράγωνα ϕύλλα αλουµινίου. Βρείτε ποια η συνολική ποσότητα (ελαχίστου κόστους αλουµινίου που ϑα χρειαστεί για την κατασκευή. Λύση : Τα πλευρικά κυλινδρικά τοιχώµατα µπορούν να κοπούν χωρίς απώλειες και ϑα έχουν επιφάνεια 2πrh, ενώτακυκλικάαπότετράγωναϕύλλαεπιφάνειαςτοκάθεένα:(2r 2 Άρα η συνολική επιφάνεια αλουµινίου που χρειαζόµαστε αρχικά, και που ϑέλουµε να ελαχιστοποιήσουµε, είναι : A =2πrh +8r 2 Χρειαζόµαστε να απαλείψουµε τον άγνωστο h. Τοπρόβληµαµαςδίδειτονόγκο: V =2500= πr 2 h =2500 οπότε h =2500/(πr 2.Άρα A = 5000 +8r 2 (1 r Παραγωγίζουµε και µηδενίζουµε για να ϐρούµε κρίσιµα σηµεία : da dr = 5000 r 2 +16r =0= r 3 =312.5 = r =6.79. 5
Εποµένως το r =6.79 είναι κρίσιµο σηµείο και αφού η δεύτερη παράγωγος του A είναι ϑετική (d 2 A/ 2 =16+10000/r 3 > 0 σεόλοτοπεδίοορισµού,σηµαίνειότιστοr =6.79 έχουµε ολικό ελάχιστο και εποµένως η αντίστοιχη ελάχιστη ποσότητα αλουµινίου που ϑα χρειαστούµε ϐρίσκεται από την (1 και είναι : A 1106. Ηάλληδιάστασητουκυλίνδρου(ύψοςγιατηνοποίαέχουµετοελάχιστοκόστοςκατασκευής ϐρίσκεται από την : h =2500/(πr 2 =17.28. Άσκηση 6: Παραγωγίστε τις παρακάτω : 1. y =(4x 2 1 ln(2xcsch(ln(2x 2. y = ln(x+ 1 4x 2 sech 1 (2x 3. y =csch 1 4 x Λύση : 1. Εξ ορισµού έχουµε ότι : 2. Εχουµε ότι : csch(ln(2x = 2 e ln(2x e ln(2x = 2x 4x 2 1 = = d 4x (4x2 1 ln(2x 4x 2 1 = d [2x ln(2x] = 4(1 + ln(2x = d ln(x +sech 1 (2x d 1 4x 2 + 1 4x 2 dsech 1 (2x = 1 4x x +sech 1 (2x + 2 1 4x 2 1 4x 2 2x 1 4x = 2 = 4sech 1 (2x 1 4x 2. = 3. Εχουµε ότι : = dcsch 1 4 x = d(4x / ln 4 4 x = 1+42x 1+16 x 6