Α4. α. Λάθος, Σχόλιο σχολικού βιβλίου σελίδα 134 β. Λάθος, Σχόλιο 3ο (σχήμα 39β) σχολικού βιβλίου σελίδα 41 Αντιπαράδειγμα σελίδα 71 = = +,

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α Α. α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα 5 β. (i, ii) Σχολικό σελίδες 5,6 A. Θεώρημα σχολικού βιβλίου σελίδα 4 Α. Θεώρημα σχολικού βιβλίου σελίδα 5 Α4. α. Λάθος, Σχόλιο σχολικού βιβλίου σελίδα 4 β. Λάθος, Σχόλιο ο (σχήμα 9β) σχολικού βιβλίου σελίδα 4 Αντιπαράδειγμα σελίδα 7 Α5. γ. 4 Βάση του σχόλιου σχολικού βιβλίου (σελίδα 8), δ α ΘΕΜΑ Β f(x)dx = E(Ω ) E(Ω ) + E(Ω ) = + = 4 Β. Αφού η y= είναι οριζόντια ασύμπτωτη, lim f(x) = x + x + x + lim f(x) = lim + λ = λ, συνεπώς λ =. Συνεπώς f(x) = +. Β. Θεωρώ συνάρτηση (x) f(x) x x = = +, (x) = f(x) x = + x = x. '(x) = H είναι συνεχής στο [,] (ως άθροισμα συνεχών) () = + = () () () = = x, : (x ) =, το οποίο Από θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα είναι μοναδικό λόγω μονοτονίας. Β. Έστω x,x με f(x ) = f(x ). + = + = x = x = x. Άρα η f είναι -. x ""

2 β τρόπος: f '(x) = για κάθε x f γνησίως φθίνουσα. Άρα η f είναι -. x x ( ) ( ) lim f(x) = lim + = + lim f(x) = lim + = x + x + Η f είναι γνησίως φθίνουσα γιατί f =, + A =, + f f '(x) =. f(x) = y + = y = y x = ln(y ) x = ln(y ) y f (x) = ln(x ),x u= x Β4. lim f (x) lim ( ln(x ) ) lim ( lnu ) = = = + x x u Άρα η x = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. ΘΕΜΑ Γ Γ. Αφού η f είναι παραγωγίσιμη είναι και συνεχής. Θα πρέπει f() = lim f(x) = lim f(x). x + x x f() = + α lim f(x) = + β = + β + β = + α α = β lim f(x) = + α + x

3 f(x) f() f(x) f() Επίσης, θα πρέπει lim = lim + x x x x f(x) f() x + α α ( x )( x + ) lim = lim = lim = lim ( x + ) = x x x x x x x x x f(x) f() + βx β x lim = lim = lim + β = x x x x x x x x lim + β = + β, διότι x x x x lim = lim = x x x DLH f(x) f() Οπότε lim = + β. x x Άρα, + β = β = Άρα α = β =. Γ. Η f είναι συνεχής στο x =. x x x Για x (,) : f '(x) = ( x )' + x' = + + για κάθε x Για Οπότε x, + : f '(x) = x + ' = x x = x = (απορρίπτεται) x + x x + x f '(x) f(x) Άρα f γνησίως αύξουσα στο f(δ) = lim f(x), lim f(x) = x x + x lim f(x) lim ( x ) x ( lim f(x) lim x ) + x + x x = + = = + = + Γ. i) Αν f (x) = x + x + = αδύνατη. και x f (x) = + x για x= : f () = + = για x =: f ( ) = = Οπότε από θεώρημα Bolzano έχουμε ότι: f () f ( ) άρα υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) και μοναδική λόγω μονοτονίας.,.

4 β τρόπος: f(x) = x + = Αδύνατη x f (x) = + x =, x x x x lim f (x) = lim + x = x f ((,]) = (, ] x lim f (x) = lim ( + x) = = f ((,) ) υπάρχει ( ) μονοτονίας = x, τέτοιο ώστε f(x ) = και είναι μοναδικό λόγω ii) f (x) x f(x) f(x) ( f(x) x ) f(x) = ( ) ή f(x) x ( ) = για f x x f(x) f(x ) = άρα η () είναι αδύνατη, αφού f(x) και η () είναι αδύνατη, αφού f(x) ενώ x. x t =,y t =,x' t = μον. / sc με y = x +,x Γ4. Είναι ΟΚ ΚΜ xy x + E= = = x Et x ( t) x' ( t) + x' ( t) E' ( t) = για = άρα t t E' ( t ) + x t x t = τότε 9 + = = 8τ.μ. / sc 4

5 ΘΕΜΑ Δ Δ. Πρέπει f() = α + β = και f '() = (x ) Όμως f '(x) = ln(x x + ) + (x ) + α x x + Άρα f '() = + + α α = και β=-α β = Δ. Ε= f(x) + x dx = (x ) ln(x x + )dx Είναι x x και ln x x + = (x ) + ln(x x + ) Άρα (x) ln(x x + ) στο [,]. Οπότε Ε = (x) ln(x x + )dx = (x ) ln(x x + )dx = = (x x + ) ln(x x + ) (x x + ) = = (ln ) (ln ) = ln + = ln τ.μ β τρόπος: Θέτω u = x x +... (x ) Δ. i) f '(x) = ln(x x + ) + (x ) x x + (x ) Αρκεί ln(x x + ) +,ισχύει αφού: x x + ln(x x + ) από ερώτημα (Δ) (x) x x + Άρα f '(x). β τρόπος: Μελέτη της f' με f '' με πίνακα προσήμου. Βρίσκω τοπικό ελάχιστο της f' στο σημείο για x= το f '() =. ii) + + f(λ ) λ (λ )ln(λ λ + ) + 5

6 f(λ + ) (λ )ln(λ λ + ) λ + + f(λ + ) f(λ) f(λ + ) f(λ). Η f είναι συνεχής στο [λ, + λ] για λ. Επίσης είναι παραγωγίσιμη στο (λ, + λ). Άρα από ΘΜΤ υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (λ, + λ) τέτοιο ώστε f(λ + ) f(λ) = f '(ξ). λ+ λ Όμως από ερώτημα Δ ισχύει ότι f '(x) άρα και f '(ξ). f(λ + ) f(λ) f(λ + ) f(λ) f(x ) f(λ + ) f(λ). Δ4. α τρόπος : Έστω ότι C και f Γ(x,f(x )) πρέπει = Όμως, C έχουν κοινή εφαπτομένη, με σημεία επαφής Β(x,f(x )) και f '(x ) '(x ) (*) f '(x ) και '(x ) = x Επομένως η (*) ισχύει μόνο εφόσον f '(x ) = και '(x ) = x = Η C στο Γ(,) έχει εφαπτομένη την y = (x ) y = x + για την οποία ήδη γνωρίζουμε ότι εφάπτεται της C f στο Α(,). Άρα μοναδική κοινή εφαπτομένη η y = x +. β τρόπος : Έστω τα σημεία επαφής για τις συναρτήσεις ΑC f και ΒC Αρκεί f '(α) = '(β) και f(α) αf '(α) = (β) β'(β) ( ) x α f '(x) = ln x x + + f '(α) = ln α α α α + '(x) = x '(β) = β άρα x x ( ) α f '(α) = '(β) ln α α + + = β α α + Όμως από Δ i έχουμε ( ) α ln α α + + α α + () 6

7 άρα και β β β = β = Μοναδικό άρα για β = η () ( ) α ln α α + + = α α + ln α α + = α α + = α α + = α = α = ( α ) = α = α α + Οπότε σημεία επαφής Α(, f()), δηλαδή A(,) και B(, ()) δηλαδή Β(,). Άρα η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο Α(,) y f() = f '()(x ) y = (x ) y = x + y = x + Άρα η εξίσωση εφαπτομένης της y () = '()(x ) y = (x ) y = y = x + C στο B(,) 7