of 56 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A Aν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α ( 0, f( 0 )) Mονάδες 4 Α Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Μονάδες 8,5 Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο 0 β Αν η f δεν είναι συνεχής στο 0,τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 γ Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο 0,τότε η f είναι συνεχής στο 0 Μονάδες 4,5 Β Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο 0 Στήλη Α Στήλη Β συναρτήσεις εφαπτόμενες α f()=3 3, 0 = y=-+π β f()=ημ, 0 = π y= 4 + γ f()=3, 0 =0 3 y=9-6 δ f()=, 0 =4 4 y=-9+5 ΘΕΜΑ ο 5 δεν υπάρχει Μονάδες 8 + i Δίνεται η συνάρτηση f()=, C με -i, i όπου o συζυγής του α Να βρείτε την τριγωνομετρική μορφή των μιγαδικών αριθμών: w =f(9-5i) Μονάδες 6 004 w = f(9 5i) 3 Moνάδες 6
of 56 β Θεωρούμε τον πίνακα M = w 3 0 0 w όπου w το μέτρο του μιγαδικού αριθμού w του ερωτήματος α Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή πρόταση Ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ με πίνακα Μ είναι: Α στροφή με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο π και γωνία θ = 4 Β συμμετρία ως προς τον άξονα Γ συμμετρία ως προς τον άξονα y y Δ συμμετρία ως προς την ευθεία y= Ε ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο λ = 3 Μονάδες 5 γ Αν Μ ο πίνακας του ερωτήματος β, τότε να βρεθεί ο πίνακας Χ ώστε να ισχύει: ΜΧ=Κ όπου Κ είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στο γραμμικό μετασχηματισμό στροφής με κέντρο π την αρχή των αξόνων Ο και γωνία θ = Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3ο Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [0,] και ισχύει f ()>0 για κάθε (0,) Aν f(0)= και f()=4, να δείξετε ότι: α η ευθεία y=3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη 0 (0,) Μονάδες 7 β υπάρχει (0,), τέτοιο ώστε f( )= f (/ 5) + f(/ 5) + f(3/ 5) + f(4/ 5) 4 Μονάδες γ υπάρχει (0,), ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(,f( )) να είναι παράλληλη στην ευθεία y=+000 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 4ο Τη χρονική στιγμή t=0 χορηγείται σ' έναν ασθενή ένα φάρμακο Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση αt f(t)=,t 0 t + β όπου α και β είναι σταθεροί θετικοί πραγματικοί αριθμοί και ο χρόνος t μετράται σε ώρες Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 5 μονάδες και
3 of 56 επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου α Να βρείτε τις τιμές των σταθερών α και β Μονάδες 5 β Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά Μονάδες 0 ΘΕΜΑ ο ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α α Αν Α είναι ένας αντιστρέψιμος πίνακας, να δείξετε ότι ισχύει η ισοδυναμία: ΑΧ=Β - X = A Β Μονάδες 6,5 β Στις επόμενες δύο ερωτήσεις να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης (Αβ και Αβ) και δίπλα ακριβώς, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Ο πίνακας α β είναι αντιστρέψιμος αν και γ δ μόνο αν α β α γ Α = 0 Β β=δ=0 Γ = 0 γ δ β δ α β Δ 0 Ε α=γ=0 γ δ Μονάδες 3
4 of 56 Έστω ο πίνακας α β D = γ δ α β A = με ορίζουσα γ δ Ο αντίστροφος του πίνακα Α, αν υπάρχει, δίνεται από τον τύπο: Α Γ Ε δ - β A - = Β D - γ α δ - β A - = D - γ α Δ δ β A - = γ α Β Δίνονται οι πίνακες δ - β A - = - γ α δ β A - = D γ α Μονάδες 3 A = 3 και B = - 4 0 α Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος του πίνακα Α είναι ο πίνακας 3 A = β Να λύσετε την εξίσωση Α Χ=Β Μονάδες 6 Μονάδες 6,5 α Να υπολογίσετε το μιγαδικό αριθμό Μονάδες 8 β Να υπολογίσετε το μιγαδικό αριθμό Μονάδες 8 γ Αν = να γράψετε το μιγαδικό αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή και στη συνέχεια να υπολογίσετε τον αριθμό 4 ΘΕΜΑ 3ο Μονάδες 9 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο:, < f() = α α + 3, α Να βρείτε την τιμή του α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο 0 = Μονάδες 3 β Να υπολογίσετε τα όρια lim f(), lim f() Μονάδες ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί =7+8i και =4-5i
5 of 56 ΘΕΜΑ 4ο Η κατανάλωση σε λίτρα ανά 00 χιλιόμετρα ενός κινητήρα, όταν αυτός λειτουργεί με χιλιάδες στροφές ανά λεπτό, δίνεται από τη συνάρτηση 3 f() = + 0, < < 5 9 3 α Να βρείτε την τιμή του για την οποία έχουμε τη μικρότερη κατανάλωση, καθώς επίσης και πόση είναι η κατανάλωση αυτή Μονάδες 3 β Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της κατανάλωσης του αυτοκινήτου για = και για = 4 (δηλαδή για 000 στροφές ανά λεπτό και 4000 στροφές ανά λεπτό αντίστοιχα) Μονάδες 00 : : (4) o A μ μ, : = 7,5, μμ μ μ : - i 5 3 4i - 3 i, μ μ μμ,
3 6 of 56 4 3 5 4 5 5 i 5 0 7,5 μ μ, f μ μ μ :, 3 f() -3 - e, 3 3 5 f, = /9 9 μ C f f μ (4, f(4)) 7 μ f, = = 9 3 μ f, μ μ μ R, : f 3 () + f () + f() = 3 + 6, μ μ μ < 3 R, f 0 f 8 μ f() = 0 μ (0,) 7 4 μ μ f, μ μ R, o : i) f() 0, R ii) f() = - t f (t) dt, R 0 μ g g() -, R f() 3
4 f() - f () 0 g 4 f : f() 4 lim ( f() μ) 7 ( μ) μ (μμ,, μ μμ) μ μ μ μ, μ μ μ μμ μ μ μ μ μ μ, μ 3 μ 4 μ μμ 5 : (3) μ μ 6 : () μ μ K 7 of 56 5 00 : : (3) ) = ( +iμ ) = ( +iμ ) μ μ μ μ, : = [ ( + )+i μ( + )] 6,5 ) = + i μ, R, μ μ, μμ μ, μμ μ A Re() Im() - - - i - i 3 + 4 5 6 + 7 6 4
3 8 of 56 μ μ =+i =i ) μ μ 8 ) μ μ μ 4,5 f() = - 4 + 3, R ) μ μ f μ yy 7 ) μ f μ (3, f(3)) 9 ) μ μ f 9 3 f: RR, - 4 f() + 4, R : ) f(0) = 6 ) H f μ 0 = 0 9 ) f μ μ 0 = 0 0 4 65 km μ km μ μ μ 90 km μ 60 μ, 5,5 00 μ 000 μ ) () μ : K () 800000 500, 0 90 ) μ 3 ( ) μ (μμ,, μ μμ) μ - μμ μ μ μ μ μ μ μ 3 μ 4 μ μμ 5 : (3) μ μ 6 : () μ μ K 3
9 of 56 30 00 : : (4) o A f μ ' μ [, ] G μ f [, ], f(t) dt G() G() f() = μ f μ R f() = 8, μμ f μ [,] (,], f [,] μ μ μ f 0 lim f() 0, 0 lim 0 f() 0 f μ R, f()d f() f()d lim f() 0, f() > 0 0 μ μ f() = i, f(3) + f(8) + f(3) + f(8) = 0 = Arg() =, f(3) = iμ 0 IN* 7 8 = Arg() = 3, μ, - μ, μ μ μ μ μ μ 0, f(3) 0
3 0 of 56 3 f, g μ μ R fog - g - 7 : g(f() + 3 - ) = g(f() + -) μ 8 4 h, g [, ] h() > g() [, ], h()d g()d μ R f, : f() e f (), R f(0) = 0 ) f f 5 ) f() f(), > 0 ) μ f, = 0, =, E f() 4 6 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο Α Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο o, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο o και ισχύει: (f+g) ( o ) = f ( o )+g ( o ) Μονάδες 9 Β Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη Σ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λ, αν αυτή είναι λανθασμένη Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο o, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Μονάδες Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα σημείο o, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό Μονάδες 3 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Μονάδες 4 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει f () > 0 σε κάθε εσωτερικό 3
of 56 σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Μονάδες 5 Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο o, τότε ισχύει: lim o ( f ( ) + g( ) ) = lim f ( ) + lim g( ) o Μονάδες 6 Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο o, τότε ισχύει: lim o ( f ( ) g( ) ) = lim f ( ) lim g( ) o Μονάδες 7 Για κάθε μιγαδικό αριθμό = α + βi ισχύει : = α + β Μονάδες 8 Για το μιγαδικό αριθμό i ισχύει : i 4 = Μονάδες ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = -+i, = 3-4i α Να υπολογίσετε το μιγαδικό αριθμό +5 Μονάδες 6 β Να υπολογίσετε το μιγαδικό αριθμό o o Μονάδες 6 γ Να αποδείξετε ότι το πρωτεύον όρισμα του 3π μιγαδικού αριθμού είναι: Αrg( ) = 4 δ Να υπολογίσετε το μιγαδικό αριθμό 8 Μονάδες 6 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f() = 3-6 +9- α Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα Μονάδες 0 β Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(, f ( ) ) Μονάδες 5 γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (0, ) Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4o Δίνεται η συνάρτηση: όπου k Να βρείτε : 3 4 f ( ) = + k, αν <, αν α το k, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο 0 =, β το όριο lim f(), Μονάδες 7
Μονάδες 5 γ το ρυθμό μεταβολής της f στο 0 = 4 και Μονάδες 5 δ την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης f ( ) της συνάρτησης g( ) = στο + 3 Μονάδες 8 7 00 : A ( ) : (3) of 56 ) μ f μ μ, μ 8,5 ) μ μ μ f μ (, f( o )) 4 B ) =+yi 0, μ, μ = ( + iμ) 8,5 ) = ( + iμ ), = ( + iμ ) μ μ μ, =, ) = + =0 ) + =0 = +k, k Z 3) = =k, k Z 4) =0 + =k, k Z μ 4
μ μ i =3+4i ) yi,,yir, = y= Συγκέντρωση Θεμάτων : Γιώργος Χρ Μακρής 8 ) μ ++=0,, IR,, μ 8 ) μ μ μ 9 3 f() = + 4 + 4 ) μ f μ μ yy 7 ) μ f 9 ) μ f, =0, = 9 3 4 μ f : 0, IR f() = 0 f() f() =, (0, ) f() ) h() ( 0, ) 7 ) f ) lim (ln ) f(t) dt 3 3 of 56 8 0 ( μ) μ (μμ, μ μμ) μ μ μμ μ μ μ μ μ μ μ 3 μ 4 μ μμ 5 : (3) μ μ 6 : () μ μ K
4 of 56 9 003 : : o A, μ f μ μ 0, μ 8 μ μ μ μ μ; 7, μμ _ μ μ, μ f μ μ f()>0 μ, f f, μ μ, f ()d f() c, c IR μ f μ, μ f μ μ f μ μ 0 μ f μ 0 f( 0 )=0, f 0 μ μ =+i,,ir w=3 i _ +4, _ Re(w)=3 +4 m(w)=3 6, w μ μ y=, μ y= 9
3 4 5 of 56 μ μ, μ y=, μ 3 f() = 5 + 3 + 0 μ f μ f f(e )f(+) IR 6 6 μ f μ (0,0) μμ f f 5 μ f, μ =3 8 4 μ f μ [,] (,) f() = f() = 0 μ (,), (,), f() f()<0, : μ f()=0 μ (,) 8 μ, (,) f( )<0 f( )>0 9 μ μ f 8 ( μ) μ (μμ,, μ μμ) μ μμ μ μ μ μ μ μ μ 3 μ 4 μ μμ 5 : (3) μ μ 6 : 030 K 3 4
6 of 56 o 8 003 : : (4) A f μ μ μ F μ f, : μ G() = F() c, c R f G f μ G() = F() c, c R 0, μμ, μ μ, μ f μ ' μ (, ), μ μ 0, μ f f () > 0 (, 0 ) f () < 0 ( 0, ), f ( 0 ) f f : R, μ, A : =, f( ) = f( ) f, g μ, : f() g () d f() g() f () g() d μ = 0 μ μ f ; 7 μ () μ μ : m () 0, μ μ (), μ 4 μ w μμ μμ 3
3 7 of 56 3 f() lim f() 0 5 μ f, f () f() 0 d ln 0 6 6 8 4 μ f μ IR μ, : f() = f( ) f () 0 IR f μ 8 f() = 0 μ g() f() f () 8 μ g μ μ, μ μ 45 9 4 003 : : (4) f() = f μ R = IR { = 0} f() = 0 μ μ,, (),, (), μ μ μ μ = + yi,, y μ μ, y μ μ, y μ y = f(), f μ μ 0, μμ μ μ y μ 0 f( 0 ) 3
3 8 of 56 3 μ f μ μ (, ), μ μ 0, μ f f() > 0 (, 0 ) f() < 0 ( 0, ), f( 0 ) f 4 μ μ = + yi,, y μ μ, μ _ = + yi 5 f g 0, lim 0 f() g() lim f( ) 0, lim g() 0 lim g( ) 0 0-3 f(), IR {} - f() lim 0 5 7 y = μ f + 8 f (, +) 0 3 μ 0 = 5, f() 0-5, 5 5 f 0 = 5 5 f 0 = 5 f(5) 8 μ f μ (5, f(5)) 4 f 4o 8 μ μ = + yi,, y i (i ) μ μ w μ i i : - - y i (y ) (y ), w 8 3
4 w μ μ, (0, 0) = 8 μ μ, w (0, 0) = 9 9 of 56 6 003 : A ( ) : (3) ) IR μ f : A RI, μ μ f -; 5 ( ) μ (μμ,, μ μμ) μ - μμ μ μ μ μ μ μ μ 3 μ 4 μ μμ 5 : (3) μ μ 6 : () μ μ K ) μ f μ μ f f()=0 μ, f μ ) μ,, 3, 4 μ μ (),, (), μ = = 3 4 =+i = +i μ μ 8 4
3 f(),, 4 3 4 3 4 ) f 0 = 3 5 4 ) f μ 0 = 3 0 4 ), f() 3 f() + f() = 0 3 i f μ f() =, μ μ 0 ) f μ f, o μ μ ), 6 f μ μ 9 ) Re () f, μ μ, 0 4 3 f μ IR, μ f(0)=0 f μ 0, : ) >0 (0, ) f() = f() 6 f() ) h() e, >0 - μ ( 0, ) 0 5 ) h() e, μ e I f( ) d 0 of 56 9 ( μ) μ (μμ, μ μμ) μ μ μμ μ μ μ μ μ μ μ 3 μ 4 μ μμ 5 : (3) μ μ 6 : () μ μ K Συγκέντρωση Θεμάτων : Γιώργος Χρ Μακρής 3
of 56 7 004 : : TE (4) o A μ f μ ' μ 0 μ f 0 μ μ, f( 0 )=0 0 μ f μ μ μ 0 μ 5 μμ μ μ μ μ μ μ lim f(), μ lim f() lim f() 0 0 0 f, g μ 0, fg μ 0 : (fg)( 0 ) = f( 0 ) g( 0 ) μ f, μ f()0 μ, f f μ μ [,] G μ f [,], f(t)dt G() G() f μ f()= ln μ f, μ μ 0 μ f μ μ 8 μ f 7 3 g()=e f(), f μ IR f(0)=f( 3 )=0 (0, 3 ) f()=f() 8
3 of 56 f()= 3, μ 0 I () = g() d, IR lim I() - 8 9 4 f: IR IR f()= IR, 3 g()= f(t)dt 3 ( ) 0, =+ic, μ, IR *, : g μ IR g 5 N 8 5 004 : : (4) o A μ f μ μ f f() = 0 μ, f μ 9, μμ μ f μ 0 μ, μ μ μ μ Re( ) = 6 μ μ μ A f()=>0, f(3)= >, 0 (,3) f( 0 )=0 6 f, g μ μ IR fog gof, 3
3 3 of 56 C C f f μμ y = μ Oy Oy f 0, lim 0 k f() lim k 0 f() 0, μ k k, f() 0 μ μ f μ (, ) μ [, ] 6 μ f: IR IR μ f() = + m 4 5, m IR, m > 0 m f() 0 IR 3 m = 0, μ f, = 0 = 3 μ f: [, ] IR μ [, ] μ f() 0 [, ] μ μ μ Re() 0, m() 0 Re() >Im() = f() = f () < f () = f (), : 5 3 f() + f() = 0 μ μ (, ) 9 4 f [0, +) IR, f() f(t) dt 0 f μ (0, +) f() = e ( + ) 7 7 f() μ [0, +) lim f() lim f() 5 6 3
4 of 56 4 004 : : (4) + i, +i μ μ,,,, IR +i 0, : i i i 9, μ μ μ μ μ ( μ ) i B i i 3 i 4 i + 3 i 4 5 0 6 4 μμ μμ μ, μ 4 μ,,, μμ,, (),, (), μ f, g μ μ f, g f() = g() μ, c, : f() = g() + c 3 f μ μ,, μ < : f( ) < f( ) 3 f() H f μ (0,+) f () 3,, μ μ ( 0, f( 0 )), C f μ f, μ μ 0 μ = f( 0 ), 4 3, f() 6 k, 3, k IR μ k, f 0 = 0
3 4 5 of 56 μ f μ (, f( )) 8 μ μ μ, : μ f( 5) + f(5) + 34 = 0 3 7 3 f() = 3 3 + 6 +, IR, μ μ f μ 0 = f( ) = 98 = 6 = 54 6 μ f μ 9 f 4 f() = 0 μ μ (, ) 6 4o μ μ μ = + yi,, y μ μ, IR : : i i i Im() = 0, = = 0, + = 0 μ μ : 0 4 5 5 7 μ μ μ, 8 μ (μμ,, μ μμ) μ μμ μ μ μ μ μ μ 3 μ 4 μ μμ 5 : (3) μ μ 6 : μ () μ μ K
6 of 56 7 004 : : (4) = i = i,,,, IR, μ μ, : 0 μ μ,,,, μμ,, (), (), μ (, ) (, ) i i μ, μ μ i i μ 3 μ μ = i,, IR, = i 3 f() =, IR H f μ f() = μ 3 μ f μ μ f f() = 0 μ, f μ 3 μ f, μ f() < 0 μ, f : f()= 4, IR ) : f() i) lim, 0 ii) f (0)= f (0) ) : lim f() 3 0 5 0 3 3 f() =, IR {},, μ μ C f f μ (,4) f(3) 3 f() = 0 ) = = 0 9
) ) 3 μ f μ (,4) 8 y = μ f 8 7 of 56 6 004 : ( ) : (4) 4o μ μ μ = yi,, y μ μ, k IR : = 3k y = k : ) 3 Re() 4 Im() = 3, k = ) 5, 0 ) 9 0 μ μ μ, 6 μ (μμ,, μ μμ) μ μμ μ μ μ 3 f μ μ μ F μ f, : μ G() = F() + c, c R, f G f μ G() = F() + c, cr 0 B R, f μ μ μ 0 A μ f 0 () μ, f( 0 ); 5 μ,,, μμ,,,,, μ μ μ μ μ μ
μ f μ μ 0 μ, μ μd c 3 ii) : lim f() f(), lim f() f() 8 of 56 8 μ f μ μ μ : f, f μ - f C, C f f - μ C C f f - μμ y= f() =, 0, 0 ln,, R ) f μ 8 ), μ μ, : = =0, : i) lim f() 9 3 μ μ, μ i w ) w μ, μ 0 ), μ μ, 3 3 0 ), μ (), μ : ( 3 ) i = 4 ( ) 5 4 f μ μ μ = (0, + ) : f() = + ) f() f(t)dt, 3 3
4 ) f() = 3 ) f 0 6 ) μ f, = =4 6 μ (μμ, μ μμ) μ μ μμ μ μ μ μ μ μ, μ 3 μ 4 μμ 5 : (3) μ μ 6 : () μ μ 9 of 56 3 005 : : (4) o A f, [, ] f [, ] f() f() f() f(), 0 (, ), f( 0 ) = 9 y = + f +; 4 B, f [, ] f() < 0 (, ) f() = 0, f() > 0 lim f() g() lim 0 0 f(), lim 0 g() 4
3 30 of 56 f f f y =, f lim 0 Συγκέντρωση Θεμάτων : Γιώργος Χρ Μακρής lim f() 0 f() > 0 0, 0 f() f, f(t)dt f() - f() f,,,, 3 = = 3 = 3 : 9 7 9 : + + 3 = + 3 + 3 3 9 3 f f() = e, > 0 f 3 3 f,, y = e 7 (), f, yy, e - () = 4 lim () 8 7 f IR, f() = e f() IR f(0) = 0 : N : e f() ln lim 0 0 f( - t) dt 6 6
4 3 of 56 : h() = 005 t f(t)dt g() = 007 007 h() = g() IR (0, ) 7 005 t f(t)dt 008 ( ) 6 (,, ),, 3 4 5 : (3) 6 : 0:30 K 6 005 : : (4) o A f f() f (0,+) : f() 9 f:a IR - ; 4 B,, f 0, f f (,) o f (, o ) ( o,),,f( ) o o f Συγκέντρωση Θεμάτων : Γιώργος 4 Χρ Μακρής
3 3 of 56 f,g fog gof, fog gof, f IR *, : f ()d f() d, + =4+4i 5 5i,, 0 A,w 3i w 3 i : i, w, =w 0 ii w 5 3 f, IR f()0 IR f - 7 C f f (,005) (-,), f 004 f( 8) 9 C f, C f (): y 005 668 9 4 f: IR IR, : i f(0)=0 ii f(0)= f() lim 005 0 4 4 Συγκέντρωση Θεμάτων : Γιώργος Χρ Μακρής 3
4 IR, : f() lim 0 f() 3 7 f IR f()>f() IR, : i f()>0 0 ii f()d f() 0 ( ) 6 4 (,, ),, 3 4 5 : (3) 6 : 030 K 8 005 : : (4) 33 of 56, f, (,y) = +yi ; 3 (),, (), f : R -,, :, f( ) f ( ) M f o A (), f( ), f() < f ( ) A Συγκέντρωση Θεμάτων : Γιώργος 4 Χρ Μακρής
3 34 of 56 3 f, g o f() g (), lim o f() > lim g() o 4, 5 f [,] (,),, (,), : f() f() f() = : = - + (3-)i, R w = k+4i, k > 0, w : Re() + Im() = 0 w = 5 = -+i 8 k = 3 8 R, 3i - w 9 3 f() = 3 +k +3-, R, k R, (,) : k = - 5 f 0 f() = 0 (0, ) 0 4o ( ) k f(), k R 3-3 y = f +, = k = 3 0 (, ), f 8 f = 7 3
35 of 56 8 005 : : (4) f f f() = 0, f R ; 3 (),, (), = +yi,, y R, : = +i, :,, R 3 0, lim 0 4 f() = f R = R { = 0} : f () 5 f 0 R, lim k f() k lim f() :, k R 0 0 3i, R i, 0 = 6, 6 = 4, 9 3 3, f() 4, f 6
3 f 0, f Rolle [,] 9 4o k f(), R, 4 (0,0) = k = 4 7 f, 8 (,4), f, (, f()) (4, f(4)) 0 (,, ) 3 3 005 :A : (4) ) f 0, 0 ) (, y) =+yi ; 5 ),, 3, 4 5 (),, (),, f 0, lim 0 f() lim f() 0 3 () = 36 of 56
4 e d e c, c IR 5 f [,], f [,] m = 3+i = -3i ) i ) 0 006 006 ) k i w, k IR { } k i = 0 8 8 k IR { } m(w) = 3 e, 0 f()= IR ln, 0 9 A) f 0 =0 B) = : M 0 3 i) f 0 =0 ii) f 5 5 iii) f, = =e 4 f() = ln + e, (, + ) 5 ) f (, + ) 6 ) ln e lim, lim, lim f() 6 ) N f()=005 (, +) 6 e f(e) f ()d f() ln ) f() d 37 of 56 7 Συγκέντρωση Θεμάτων : Γιώργος Χρ Μακρής 3
38 of 56 7 006 : : (4) o A f, : f()>0, f f()<0, f 0 f f ; 5 B, lim f() 0, 0 () 0 0 f H f() f - ( 3 ) 3, IR f ()g()d=[f()g()] f [,] f() =+(-) f - ()g()d, f,g 6 f - f 8 i f f - y= 4 ii f f - 7 Συγκέντρωση Θεμάτων : Γιώργος Χρ Μακρής
3 3,,3 3 0 3 : i 3 3 ( ii 4 Re ) 9 8,, 3, 8 4 f()= ln f 8 N f()=0 5 g()=ln (,ln) >0 h()=e (,e ) IR, f()=0 9 g h 3 5 006 : : (4) o A : ()=, IR 0 f f ; 5 B,,, : f, g o g( o )0, g f o : f f( ) g ( ) f ( ) g( ) ( ) o o o o o g g( ) 0 n o 39 of 56 Συγκέντρωση Θεμάτων : Γιώργος 3 Χρ Μακρής
f: IR, y f()=y f [,] G f [,], f(t)dt G() G() 3 40 of 56 () f = yy y o = 3, i () 9 ii f, (), 3 5 9 e f(), IR e f IR 9 d f() <0 : f(5 )+f(7 )<f(6 )+f(8 ) 9 7 3, (4 ) 0 = 0 f f() = ++, IR = 7 4 f() = n( ) ( ) n >0 i : n( ) n, 0 ii f (0,+) lim n( ) 5 (0,+) (+) = + 8 Συγκέντρωση Θεμάτων : Γιώργος Χρ Μακρής 3
4 of 56 3 MA 006 : : (4),, : 7,,, f f()0 lim f() o lim o f() 3, (,) (, ) =+i i 3 3 f, 3 4 f() = [0, +), f () (0, +) 3 5 lim f(), lim o f() o +, = f 3 6 f, g f, g f() = g(), c, : f() = g() + c 3 4 + 3 = 0 () () 9, (), 006 A 3 i 9
3 4 4 of 56 = +3i, : 3 5 7 3, f() 4 R 8 4, 4 R f = 0 =0 f R 7 f + 4o k R 3 f() k 0, R 8 k R f (, f()) k = 3 f 8 f (, 0] 5 ( 4,5) f() = 5 (0,) 7 (,, ) 3 4 5 : (3) 6 : () 5 3 4
006 : A : (4) ) f( ) f (0,+) f ( ) 0 ) f 0 f 0 ; 5 ),, 3, 4 5 (),, (),,, : f() f R R 0 f () 3 lim f( ) 0 0 4 d c, f( ) 0 0 5 f, [,] f( ) 0,, f()d 0 : 5 5 5 5 ) 5 5 ) : 43 of 56 5 0 ) w 5, (w) 0 Συγκέντρωση Θεμάτων : Γιώργος Χρ Μακρής
3 44 of 56 3 ln 5 f ) f; Συγκέντρωση Θεμάτων : Γιώργος 3 Χρ Μακρής M 6 ) f ) f ) 7 6 f()=006 f 4 f, f 3 ftdt, R ) ) f 0 3e f e 6 5 5 ) N () f, =0, = >0 0 ) lim 0 5 4 007 : : (5) o A,, : f, g ; 8 4 3 y = f +; 3 B,,,,, f [,] [, ] f() 0 f() d 0 f f f() > 0
3 45 of 56 f 0 g 0, gof 0 f, g() f(t) dt f g() g () > lim 0 i IR i (0,0) = 9, i i = 0 = i 8 ii 3 : ( ) ( : f() = 3 3 IR +, Z ) 8 f, 7 f() = 0 8, 3 f, (, f( )), B(, f( )) ( 3, f( 3 )) y = 3 f y = 7 3
4 46 of 56 4 f [0, ] f(0) > 0 g [0, ] g() > 0 [0, ] : F() = f(t) g(t) dt, [0, ], 0 G() = g(t) dt, [0, ] 0 F() > 0 (0, ] N : f()g() > F() (0, ] N : F() F() G() G() (0, ] : lim 0 0 f(t) g(t) dt 0 0 g(t) dt t 4 5 dt 8 6 4 7 3 007 : : (4) o A f 0, 0 Rolle ; 5 B,,,,, f() f f, g, g [,], f ()g()d f ()d g () d f, f (t)dt f()
3 47 of 56 f (,), (,) = lim f () = lim f () f, g f, g f() = g(), f() = g() 3, f (), lim f () 3 0 0 0 8 f f 0 =0, = = 3 9 = = 3, f ()d 0 8 3 f() = e e ln, > 0 f() (, +) f() e > 0 4 3 f (t)dt f (t)dt f (t)dt (0, +) 4 = +i, IR 0 IR 0 7 8, = 9 6 >0, 0 0 ( i) ( i) 0 0 3
48 of 56 30 MA 007 : : (4) 4 A f [,], f [,] m 5 f()=, f ()=, f (), {0,} f f () 0 N f 5,,, f -, ( ) 3 f 0 lim f () 0, f()<0 0 0 =(-)+i,, Re 3 i) lim Im()0, f() f () 4 f (), >0 ii) ( ) 9 7 9 f () lim 8 N f (0,0) 9
3 49 of 56 N f, y=-+6 4o 8 f, A 0 f()=+, : f(0) f()<3 0, 7 0 f()=, 8 (,, ) 3 3 4 007 : : (3) : f,g 0, f+g 0 : (f+g) ( 0 ) = f( 0 ) + g( 0 ) f g ; 5,,, +i +i f,, f 3 f, g, h ho(gof), (hog)of ho(gof) = (hog)of
3 50 of 56 4 i i i) M 0 ii) (0,0) 5 Re()=0, = i 3, 8 f() 5 6, ( ) 0 5 f 0 = f (0,f(0)) 6 y f + 4o 7 f,, 3 3 f () f() 8 8, f - 8 f()=0 (0, ) 9 g: f g() 3 f ( ),, 0 g 8 (,, ) 3 4 5 : (3) 6 : () 3
4 008 : : (5) o A f() = ln * : ln, * 0 f [,]; 5 B,,,,, f:a, f : f ( f ( ) ), A f ( f ( y )) y, y f ( A ) f f 5 5 of 56 ++=0,, 0, f, f( ) > 0 A f,, f()d f()d f()d w : ( i ) 6 w ( i) w (3 3i) 6 w w w 5 7 6 6
3 4 5 of 56 3 f() ln, 0, 0 0 f 0 3 f 9 e 6 g g () g ( h) g() lim h0 h 4 f () g () g( h) g() g( h) lim f() 45 h0 h g(0)=g(0)=, f(+)>f(+)f(), i g()= 5 + 3 ++ 0 > 0 7 ii g 3 4 f f() (0 3 3) 0 f(t)dt 45 f()=0 3 +645 8 ( ) (,, ), 3 3 5 4 5
3 008 : : (4) o A [, ] G f [, ], f (t)dt G( ) G( ) 0 ; 5,,,,, f, f, 53 of 56,, : +i=0 =0 =0 (, )(, ) : lim f() lim (f() ) 0 o o i 3 ++=0, = = 9 3 8 w, : w 8 f ()d 4 4
3 3 f() ln, 0 : f() >0 6 f g() ln f () k,, 0 0 6 i k g 6 ii k, g,, (0, e) 7 4 f [0, +) f() > 0 0 : F() = 0 f(t) dt, [0, +), F() h(), ( 0, + ) t f (t) dt 3 4 0 4 e [f (t) F(t)]dt F() t 0 6 h (0, +) h()=, : i f(t) dt 0 ii F(t) dt F( ) 0 0 tf(t)dt 8 6 5 (,, ), 3 4, 5 6 : (3) 7 : 000 K 4 4 54 of 56
55 of 56 8 MA 008 : : (4) = + i = + i, 7 f 0 f 0 ; 6,,,,, : 3 4 f [, ] (, ) f() = f(),, (, ), : f () = 0 3 3 + + = 0,, = + i, = 6, = 6 : 0 008 008 005 4 6 5 : () = 3 3 f,, 4 3 3 f f () ( ) A f : 0 = 4,, 8
3 56 of 56 0 = 0 N f (, ) 7 4o k f f(), k f 3 f (, f()), k 8 k =, f 8 f [, +) 6 (,, ) 3 4