Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Transcript

1 Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

2 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Α.. Εστω f μια συναρτηση ορισμενη σε ενα διαστημα Δ. Αν F ειναι μια παραγουσα της f στο Δ, να αποδειξετε οτι : ολες οι συναρτησεις της μορφης G() = F() + c, c R ειναι παραγουσες της f στο Δ και καθε αλλη παραγουσα G της f στο Δ παιρνει τη μορφη G() = F() + c, c R. Μοναδες 6,5 Α.. Να συμπληρωσετε στο τετραδιο σας τις παρακατω σχεσεις ωστε να προκυψουν γνωστες ιδιοτητες του ορισμενου ολοκληρωματος. α. λf()d =... β. (f() + g())d =... γ. [λf() + μg()]d =... οπου λ, μ R και f, g συνεχεις συναρτησεις στο [α, β]. Μοναδες 6 Β.. Να βρειτε τη συναρτηση f, για την οποια ισχυει f () = 6 + 4, R και η γραφικη της παρασταση στο σημειο της Α(, 3) εχει κλιση. Μοναδες 6,5 Β.. Να υπολογισετε τα παρακατω ολοκληρωματα α. β. γ. (e + )d 4 3 d (ημ + 3συν)d Μοναδες Μοναδες Μοναδες

3 o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Α Καθε συναρτηση της μορφης G() = F() + c, oπου c R, ειναι μια παραγουσα της f στο Δ, αφου G () = (F() + c) = F () = f(), για καθε Δ. Εστω G ειναι μια αλλη παραγουσα της f στο Δ. Τοτε για καθε Δ ισχυουν F () = f() και G () = f(), οποτε G () = F (), για καθε Δ. Αρα, συμφωνα με το πορισμα Εστω δυο συναρτησεις f, g ορισμενες σε ενα διάστημα Δ. Αν οι f, g ειναι συνεχεις στο Δ και f () = g () για καθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ο σημειο του Δ, τοτε υπαρχει σταθερα c τετοια, ωστε για καθε Δ να ισχυει: f() = g() + c υπαρχει σταθερα c τετοια, ωστε : G() = F() + c, για καθε Δ. Α α. β. γ. Β β λf()d = λ α β α f()d β β β (f() + g())d = f()d + g()d α α α β β β [λf() +μg()]d = λ f()d = μ g()d α α α =, f'() = c = f'() = (6 + 4)d c =, f() = f() = ( )d c c = 3 Βα (e + )d [e + ] e + ( ) e - Βα d 3 d 'd 'd [ ]

4 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 3 α. Να βρειτε τον γεωμετρικο τοπο των εικονων των μιγαδικων z για τους οποιους ισχυει: / z +6 / = 4 / z +/ Μοναδες 9 β. Να βρειτε τον γεωμετρικο τοπο των εικονων των μιγαδικων z για τους οποιους ισχυει: / z - / = / z - i / γ. Να τρεψετε σε τριγωνομετρικη μορφη τους μιγαδικους που επαληθευουν συγχρονως τις σχεσεις των ερωτηματων (α) και (β). Μοναδες 9 Μοναδες 7

5 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 4 o ΛΥΣΗ α. Ειναι z + 6 = 4 z + z + 6 = 6 z + (z + 6)( z + 6) = 6(z + )( z + ) z z + 6z + 6 z + 56 = 6z z + 6z + 6 z + 6 z z = 6 z = 6 / z / = 4 Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι κυκλος με κεντρο το Ο(, ) και ακτινα ρ = 4. Β. β. z - = z - i z - ( + i) = z - ( + i) Δηλαδη ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι τα σημεια της μεσοκαθετου ΑΒ (Α(, ) και Β(, ), που δεν ειναι αλλα απ τα σημεια της διχοτομου της γωνιας Oy, δηλαδη της ευθειας (ε) : y =. γ. Οι ζητουμενοι μιγδικοι που επαληθευουν συγχρονως τις σχεσεις των ερωτηματων (α) και (β), δηλαδη τις εξισωσεις + y = 6 και y =, προκυπτουν απ τη λυση του συστηματος : + y = 6 = 6 = 8 = =, y = = y = y = y = y = -, y = - Eτσι π π z i = 4 i 4 συν + ημ i 3π 3π z - - i = i 4 συν + ημ i

6 3o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 5 Δινεται η συναρτηση +α, f() = ( - e -+ ) ln( - ),, ( ] οπου α R e α. Να υπολογισετε το οριο lim. - Μοναδες 7 β. Να βρειτε το α R ωστε η συναρτηση f να ειναι συνεχης στο o =. Μοναδες γ. Για α = - να δειξετε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον ξ (, ) τετοιο, ωστε η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της f στο Α(ξ, f(ξ)) να ειναι παραλληλη προς τον αξονα. Μοναδες 7

7 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 6 3o ΛΥΣΗ α e e e lim = lim Ειναι - DLH β. -+ lim f() = lim( - e ) ln( - ) lim lim f() = lim( + α) = + α - - f() = + α - ln( - ) + = = DLH -+ - e Η f ειναι συνεχης στο αν e - e lim f() = lim f() = f() - lim - lim lim e - - e δηλαδη -+ (- e ) +α = α = - - γ. f συνεχης στο [, ] υπαρχει ενα τουλαχιστον ξ (, ) : f παραγωγισιμη στο (, ) f '(ξ) = Rolle (γινομενο παραγωγισιμων) που σημαινει οτι η εφαπτομενη της C f f() = + α = στο σημειο Α(ξ, f(ξ)) ειναι παραλληλη f() = f() - f() = (- e )ln = στον αξονα '.

8 4o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 7 Εστω μια πραγματικη συναρτηση f, συνεχης στο (, + ) για την οποια ισχυει : tf(t) f() = + dt με > α. Να δειξετε οτι η f ειναι παραγωγισιμη στο (, + ). Μοναδες 3 β. Να δειξετε οτι ο τυπος της συναρτησης f ειναι : f() = + ln, > Μοναδες 7 γ. Να βρειτε το συνολο τιμων της f. Μοναδες 6 δ. Να βρειτε τις ασυμπτωτες της γραφικης παραστασης της f. Μοναδες 4 ε. Να υπολογισετε το εμβαδον του χωριου που περικλειεται απο τη γραφικη παρασταση της συναρτησης f, τον αξονα και τις ευθειες =, = e. Μοναδες 5

9 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 8 4o ΛΥΣΗ α. tf(t) f() = + dt = + tf(t) dt με > () f ειναι παραγωγισιμη στο (, + ) σαν πραξεις των παραγωγισιμων συναρτησεων :, και tf(t) dt. β. f παραγωγισιμη f() = + tf(t) dt f() = + tf(t) dt [ f()]' = ( + tf(t) dt)' [ f()]' = ( + tf(t) dt)' f() + f'() = + f() f() + f'() = f() + f'() = 'f() + f'() = [f()]' = [ln]' f() = ln + c > f() = ln + + ln f() =, > δια Για = f() = ln+ c c = γ. + ln ( + ln)' - ( + ln)' - - ln - ln f'() = ' + f () + - ln+ f() Ολικο μεγιστο : f() = + ln lim f() = lim lim lim( + ln) - f(a) = (-, + ) + + ln + lim f() = lim = lim + + DLH δ. lim f() = - : κατακορυφη ασυμπτωτη η = (y'y) lim f() = : οριζοντια ασυμπτωτη η + y = (') ε. f() > στο [, e}, oποτε u = ln, du = d e e + ln u 3 Ε = f()d = d = ( + u)du u + - τ.μ. = u = = e u =

10 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 9 A. Αν z = ρ(συνθ + iημθ) και z = ρ(συνθ + iημθ) ειναι δυο μιγαδικοι σε τριγωνομετρικη μορφη, τοτε να αποδειξετε οτι : z z = ρρ [συν(θ + θ) + iημ(θ + θ)]. Μοναδες 5 Β. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν, γραφοντας στο τετραδιο σας την λεξη Σωστο η Λαθος διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση. α. Αν α β f()d, τοτε κατ αναγκη θα ειναι f() για καθε [α, β]. Μοναδες β. Η εικονα f(δ) ενος διαστηματος Δ μεσω μιας συνεχους και μη σταθερης συναρτησης f ειναι διαστημα. Μοναδες γ. Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο R και δεν ειναι αντιστρεψιμη, τοτε υπαρχει κλειστο διαστημα [α, β], στο οποιο η f ικανοποιει τις προυποθεσεις του θεωρηματος Rolle. Μοναδες δ. Εστω συναρτηση f ορισμενη και παραγωγισιμη στο διαστημα [α, β] και σημειο [α, β] στο οποιο η f παρουσιαζει τοπικο μεγιστο. Τοτε παντα ισχυει οτι f () =. Μοναδες ε. Αν η συναρτηση f ειναι συνεχης στο διαστημα [α, β] και υπαρχει (α, β) τετοιο ωστε f() =, τοτε κατ αναγκη θα ισχυει f(α) f(β). Μοναδες

11 o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Α Αν z =ρ (συνθ + i ημθ ) και z =ρ (συνθ + i ημθ ) ειναι οι τριγωνομετρικες μορφες δυο μιγαδικων αριθμων z και z, τοτε για το γινομενο τους εχου- με : z z = ρ (συνθ + i ημθ ) ρ (συνθ + i ημθ ) = ρ ρ [(συνθ + i ημθ ) (συνθ + i ημθ )] = ρ ρ [(συνθ συνθ - ημθ ημθ ) + i(ημθ συνθ + συνθ ημθ )] = ρ ρ [συν(θ +θ ) + iημ(θ +θ )] Β α. Λαθος β. Σωστο γ. Σωστο δ. Λαθος ε. Λαθος

12 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Δινεται η συναρτηση f() = e - e +,. α. Να δειξετε οτι η f αντιστρεφεται και να βρειτε την αντιστροφη συναρτηση f -. Μοναδες β. Να δειξετε οτι η εξισωση f - () = εχει μοναδικη ριζα το μηδεν. Μοναδες 5 γ. Να υπολογιστει το ολοκληρωμα - f ()d - Μοναδες

13 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) o ΛΥΣΗ α. e - (e - )'(e + ) - (e - )(e + )' e (e + ) - (e - )e f '() = ' e + (e + ) (e + ) e (e + - e + ) e > για καθε. (e + ) (e + ) Δηλαδη η f ειναι γνησιως αυξουσα στο, αρα και -, που σημαινει οτι αντι - στρεφεται. Για y e - y + y = ye + y = e - e - ye = y + e (- y) = y + e = e Β. + - y = ln, (αφου - y y y f - y + y + - < y < < - < y < ) - y - y y + (y) = ln, - < y < - y - + Οποτε, f () = ln, - < < - β. Ειναι = f () = ln = ln = ln = + - γ. Ειναι + - u + f ()d ln d - ln du - + u u = -, du = - d = u = - = - u = u + u + u + I = - - ln du I = ln du I = - ln du I = - I I = - u - u - u I =

14 3o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 3 Δινεται η συναρτηση f, ορισμενη στο R, με τυπο / - z / - / + z / f() = + /z / οπου z συγκεκριμενος μιγαδικος αριθμος z = α + βi, α,β R, με α. α. Να βρειτε τα ορια lim f(), lim f(). + - β. Να βρειτε τα ακροτατα της συναρτησης f, εαν /z +/ > /z - /. γ. Να βρειτε το συνολο τιμων και το πληθος των ριζων της f. Μοναδες 8 Μοναδες 9 Μοναδες 8

15 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 4 3o ΛΥΣΗ α. Ειναι z+z = Re(z) = α - z - + z ( - z)( - z) - ( + z)( + z) - (z + z) - 4α f() = = = Ετσι + z + z + z z = α +β + α + β - 4α - 4α - 4α lim f() = lim = lim = lim +α + β - 4α - 4α - 4α lim f() = lim = lim = lim +α + β β. z + > z - z + > z - (z + )(z + ) (z - )(z - ) zz α > α > '( + α + β ) - ( + α + β )' - (α + β ) - 4α f'() = ( )' - 4α 4α +α + β ( + α + β ) ( + α + β ) Η f στα (-, - α + β ] [ α + β, + ) f'() = = α + β Η f στο [- α + β, α + β ] f'() < - α + β α + β α f'() > < - α + β η α + β Τ.Μ. : f(- α + β ) = α + β Τ.Ε. : f( α + β ) = - α α + β γ. Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο R, οποτε το συνολο τιμων της ειναι : - α α f(a) = [f (), f ()] =, min ma α + β α + β f() = = μοναδικη ριζα στο, αφου - α α -, και, + α + β α + β - α α, α + β α + β.

16 4o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 5 Εστω η συναρτηση f, ορισμενη στο R με δευτερη συνεχη παραγωγο, που ικανοποιει τις σχεσεις: f ()f() + (f ( )) = f()f (), R και f() = f () =. α. Να προσδιορισετε τη συναρτηση f. Μοναδες β. Αν g ειναι συνεχης συναρτηση με πεδιο ορισμου και συνολο τιμων το διαστημα [, ], να δειξετε οτι η εξισωση gt () - dt f ( t) εχει μια μοναδικη λυση στο διαστημα [, ]. Μοναδες 3

17 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 6 4o ΛΥΣΗ α. Ειναι εφαρμογη για = f"()f() + (f'()) = f()f'() [f()f'()]' = f()f'() f()f'() ce βιβλιου f()f'() ce c = συνεπειες f()f'() e f()f'() e [f ()]' (e )' f () e c' Θ.Μ.Τ. f αν f() = e = ατοπο αρα διατηρει προσημο στο f () e f() e f() f() > f() = e για = () e c' c' = β. Θεωρουμε τη συναρτηση h() = - - g(t) + f (t) H h ειναι συνεχης στο [, ] (πραξεις συνεχων) h() = - < g(t) h() h() < h() = - dt > (*) t + e (*) dt Bolzano υπαρχει μια τουλαχιστον ριζα της h() = στο (, ) t t Α [, ] g t e e e e e g(α) [, ] g(t) g(t) g(t) g(t) g(t) g(t) t e e - - t t t e e dt e g(t) g(t) g(t) g(t) dt - dt - dt - dt - t t t e e e g(t) - dt - h() t e Ακομη g() e g(t) g() h'() = - - dt ' = - t + e + e Αρα η h ειναι γνησιως αυξουσα στο [, ]. Τελικα, η εξισωση g(t) g(t) h() = - - dt - dt + f (t) + f (t) εχει μοναδικη λυση στο [, ].

18 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 3 ) 7 Α. Εστω f μια συναρτηση ορισμενη σε ενα διαστημα Δ. Αν F ειναι μια παραγουσα της f στο Δ, να αποδειξετε οτι : α. ολες οι συναρτησεις της μορφης G() = F() + c, c R ειναι παραγουσες της f στο Δ και β. καθε αλλη παραγουσα G της f στο Δ παιρνει τη μορφη G() = F() + c, c R. Μοναδες Β. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν γραφοντας στο τετραδιο σας την ενδειξη Σωστο ή Λαθος διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση. α. Αν z, z ειναι μιγαδικοι αριθμοι, τοτε ισχυει παντα z - z z + z z + z. Μοναδες β. Εστω μια συναρτηση f παραγωγισιμη σ' ενα διαστημα (α, β), με εξαιρεση ισως ενα σημειο του, στο οποιο ομως η f ειναι συνεχης. Αν f () > στο (α, ) και f () < στο (, β), τοτε το f () ειναι τοπικο ελαχιστο της f. Μοναδες γ. Μια συναρτηση f : Α ΙR ειναι συναρτηση -, αν και μονο αν για οποιαδηποτε, A ισχυει η συνεπαγωγη: αν =, τοτε f() = f(). Μοναδες δ. Αν f, g ειναι δυο συναρτησεις με συνεχη πρωτη παραγωγο, τοτε ισχυει: f() g () d = f() g() - f () g() d. Μοναδες Γ. Ποτε μια ευθεια = λεγεται κατακορυφη ασυμπτωτη της γραφικης παραστασης μιας συναρτησης f ; Μοναδες 7

19 o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 3 ) 8 Αα. Καθε συναρτηση της μορφης G() = F() + c, oπου c R, ειναι μια παρα- γουσα της f στο Δ, αφου G () = (F() + c) = F () = f(), για καθε Δ. Αβ. Εστω G ειναι μια αλλη παραγουσα της f στο Δ. Τοτε για καθε Δ ισχυουν F () = f() και G () = f(), οποτε G () = F (), για καθε Δ. Αρα, συμφωνα με το πορισμα Εστω δυο συναρτησεις f, g ορισμενες σε ενα διάστημα Δ. Αν οι f, g ειναι συνεχεις στο Δ και f () = g () για καθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ο σημειο του Δ, τοτε υπαρχει σταθερα c τετοια, ωστε για καθε Δ να ισχυει: f() = g() + c υπαρχει σταθερα c τετοια, ωστε : G() = F() + c, για καθε Δ. Β. α. Σωστο β. Λαθος γ. Λαθος δ. Σωστο Γ. Η ευθεια = ₀, με ₀ R, λεγεται κ α τ α κ ο ρ υ φ η α σ υ μ π τ ω τ η της γραφικης παραστασης της f, οταν ισχυει τουλαχιστον ενα απο τα : lim f() = ± lim f() = ± + -

20 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 3 ) 9 α. Να περιγραψετε γεωμετρικα το συνολο (Σ) των εικονων των μιγαδικων αριθμων z που ικανοποιουν τις σχεσεις: z = και Ιm (z). Μονaδες β. Να αποδειξετε οτι, αν η εικονα του μιγαδικου αριθμου z κινειται στο 4 συνολο (Σ), τοτε η εικονα του μιγαδικου αριθμου w = z + z κι- νειται σε ευθυγραμμο τμημα το οποιο βρισκεται στον αξονα. Μοναδες 3

21 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 3 ) o ΛΥΣΗ α. z = Ο γεωμετρικος τοπος των εικονων των μιγαδικων z που ικανοποιουν την παραπανω εξισωση ειναι κυκλος με κεντρο Ο(, ) και ακτινα ρ =. Im(z) (αν z = + yi τοτε y ) y Ο γεωμετρικος τοπος των εικονων των μιγαδικων z που ικανοποιουν την πα - ραπανω σχεση ειναι τα σημεια που βρισκοντα Β. πανω απ'τον αξονα ' Α Β καθως και τα σημεια του αξονα αυτου. - Σε συνδυασμο των δυο παραπανω, ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι το ημικυκλιο που βρισκεται πανω απ'τον αξονα ' και τα σημεια τομης του κυκλου με τον αξονα ', τα Α και Β. β. z = z = zz = 4 z = () Ετσι 4 z () 4 w = z + = (z + z) Re(z) = Re(z) z Το πραγματικο μερος του μιγαδικου αριθμου z (καθως και οι εικονες του μιγαδικου αριθμου w) κινειται στο ευθυγραμμο τμημα ΑΒ (σχημα) που ειναι τμημα του αξονα '.

22 3o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 3 ) Δινεται η συναρτηση α. Να αποδειξετε οτι f() = + -. lim f() = +. Μοναδες 5 β. Να βρειτε την πλαγια ασυμπτωτη της γραφικης παραστασης της f, οταν το τεινει στο -. Μοναδες 6 γ. Να αποδειξετε οτι δ. Να αποδειξετε οτι f () + + f() =. d = ln( + ). + Μοναδες 6 Μοναδες 8

23 3o ΛΥΣΗ α. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 3 ) lim f() ( + - )( + + ) > = lim = lim lim lim lim β < f() + - λ = lim lim lim = lim = lim ( + - ) = lim = lim = = lim ( + + ) = - β = lim [f() - λ] lim [ ] lim [ + + ] lim ( + + )( + - ) lim f < = lim lim lim lim Δηλαδη η πλαγια ασυμπτωτη της C στο -, ειναι η y= -.. γ. ( + )' - + f'() = ( + - )' = f '() + + f() = δ f'() f() (γ) f() = - = - d = - [lnf()]'d = -[lnf()] = - lnf() + lnf() = f() = + - d + - = - ln( - ) + ln = ln( - ) = ln = ln + = ln - ln( + ) + - ( - )( + )

24 4o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 3 ) 3 Δινεται μια συναρτηση f ορισμενη στο R με συνεχη πρωτη παραγωγο, για την οποια ισχυουν οι σχεσεις: f() = - f( - ) και f () για καθε R. α. Να αποδειξετε οτι η f ειναι γνησιως μονοτονη. Μοναδες 8 β. Να αποδειξετε οτι η εξισωση f() = εχει μοναδικη ριζα. Μοναδες 8 f() γ. Εστω η συναρτηση g() =. f () Να αποδειξετε οτι η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της g στο σημειο στο οποιο αυτη τεμνει τον αξονα, σχηματιζει με αυτον γωνια 45 ο. Μοναδες 9

25 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 3 ) 4 4o ΛΥΣΗ α. η f' συνεχης στο συνεπειες f' διατηρει προσημο στο. f'(), για καθε θ.bolzano Συνεπως, η συναρτηση f ειναι γνησιως μονοτονη στο. β. Ειναι, f() = - f( - ), για καθε (). Για =, η () δινει : f() = - f( - ) f() = - f( ) f() = f() = Δηλαδη ειναι ριζα της εξισωσης f() =, που ειναι μοναδικη, αφου η συναρτησ η f ειναι γνησιως μονοτονη. γ. Για να τεμνει η C τον αξονα ', εστω στο σημειο Α(, ), πρεπει g f( ) g( ) = = f( ) = = και Α(, ). f '( ) (β) f '( ) Δηλαδη g() = Ετσι f() - g() - g() f '() f() f() g'() = lim = lim = lim = lim lim - - f '()( - ) - f '() f'() = lim lim lim f'() lim f'() εφ45 ( - )' f '() f '() f '() Οποτε f() =, DLH η εφαπτομενη της C στο σημειο Α(, ), σχηματιζει με τον αξονα ' γωνια 45. g

26 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 4 ) 5 A. Εστω μια συναρτηση f ορισμενη σε ενα διαστημα. Αν η f ειναι συνεχης στο και f () = για καθε εσωτερικο σημειο του, τοτε να αποδειξετε οτι η f ειναι σταθερη σε ολο το διαστημα. Μοναδες 9 Β. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν, γραφοντας στο τετραδιο σας τη λεξη Σωστο η Λαθος διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση. α. Αν μια συναρτηση f ειναι συνεχης σ ενα σημειο του πεδιου ορισμου της, τοτε ειναι και παραγωγισιμη στο σημειο αυτο. Μοναδες β. Το μετρο της διαφορας δυο μιγαδικων ειναι ισο με την αποσταση των εικονων τους. Μοναδες γ. Αν f, g ειναι δυο συναρτησεις με πεδιο ορισμου R και οριζονται οι συνθεσεις fog και gof, τοτε αυτες οι συνθεσεις ειναι υποχρεωτικα ισες. Μοναδες δ. Οι γραφικες παραστασεις C και C των συναρτησεων f και f ειναι συμμετρικες ως προς την ευθεια y = που διχοτομει τις γωνιες Oy και Oy. Μοναδες ε. Αν υπαρχει το οριο της f στο, τοτε lim k f() = k lim f() εφοσον f() κοντα στο, με k N και k. Μοναδες Γ. Να ορισετε ποτε λεμε οτι μια συναρτηση f ειναι συνεχης σε ενα α- νοικτο διαστημα (α, β) και ποτε σε ενα κλειστο διαστημα [α, β]. Μοναδες 6,

27 o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 4 ) 6 Α. Αρκει να αποδειξουμε οτι για οποιαδηποτε, Δ ισχυει f( ) = f( ). Πραγματι Αν =, τοτε προφανως f( ) = f( ). Αν <, τοτε στο διαστημα [, ] η f ικανοποιει τις υποθεσεις του θεωρηματος μεσης τιμης. Επομενως, υπαρχει ξ (, ) τετοιο, ωστε f( ) - f( ) f(ξ) = -. () Επειδη το ξ ειναι εσωτερικο σημειο του Δ, ισχυει f(ξ) =, οποτε, λογω της (), ειναι f( ) = f( ). Αν <, τοτε ομοιως αποδεικνυεται οτι f( ) = f( ). Σε ολες, λοιπον, τις περιπτωσεις ειναι f( ) = f( ). Β. α. Λαθος β. Σωστο γ. Λαθος δ. Σωστο ε. Σωστο Γ. Μια συναρτηση f θα λεμε οτι ειναι συνεχης σε ενα ανοικτο διαστημα (α, β), οταν ειναι συνεχης σε καθε σημειο του (α, β). Μια συναρτηση f θα λεμε οτι ειναι συνεχης σε ενα κλειστο διαστημα [α, β], οταν ειναι συνεχης σε καθε σημειο του α, β) και επιπλεον lim f() = f(α) και lim f() = f(β). + α β -

28 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 4 ) 7 Θεωρουμε τη συναρτηση f : R R με f() = + m 4 5, οπου m R, m >. α. Να βρειτε τον m ωστε f() για καθε R. Μοναδες 3 β. Αν m =, να υπολογισθει το εμβαδον του χωριου που περικλειεται απο τη γραφικη παρασταση της f, τον αξονα και τις ευθειες = και =. Μοναδες

29 o ΛΥΣΗ α. Ειναι Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 4 ) 8 f() f() f(), η f παρουσιαζει ελαχιστο στη θεση. H f ειναι παραγωγισιμη στο (αρα και στη θεση ) με f'() = ( m )' ln m lnm - 4 ln4-5 ln 5 To ειναι εσωτερικο του. Ετσι, απο θεωρημα Fermat, ειναι f'() = ln m lnm - 4 ln4-5 ln 5 = ln lnm - ln4 - ln 5 = mβ. m m ln = ln = ln = m = 4 5 β. Για m = ειναι : f() = - 4-5, με f(). Ετσι 4 5 Ε = f() d = ( ) d = - - ' d = ln ln ln 4 ln = ln ln ln 4 ln 5 ln ln ln = τ.μ. ln ln ln4 ln ln 5 ln ln ln 4 ln 5

30 3o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 4 ) 9 Δινεται μια συναρτηση f: [α, β] R συνεχης στο διαστημα [α, β] με f() για καθε [α, β] και μιγαδικος αριθμος z με Re(z), Ιm(z) και Re(z) > Im(z). Αν z + = f(α) και z + = f (β), να αποδειξετε οτι: z z α. z = Μοναδες β. f (β) < f (α) Μοναδες 5 γ. η εξισωση 3 f(α) + f(β) = εχει τουλαχιστον μια ριζα στο διαστημα (, ). Μοναδες 9

31 3o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 4 ) 3 α. Eιναι z + = f(α), οποτε z z + = z + zz z z z z zz z - z z - z zz(z - z) - (z - z) z z zz - zz = z = / z / = (zz - )(z - z) η η η η z - z z = z z z β. Eιναι z + = f (β) z z + = f(α) z + = f (α) z + + = f (α) f (β) + = f (α) z z z f (β) - f (α) = - < f (β) < f (α) γ. Θεωρουμε τη συναρτηση h() = 3 f(α) + f(β) h ειναι συνεχης στο [-, ] (πολυωνυμικη) h(-) = - f(α) + f(β) h() = f(α) + f(β) (β) h(-)h(-) = f( β) - f (α) < Bolzano H εξισωση h() = εχει μια τουλαχιστον ριζα στο διαστημα (-, )

32 4o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 4 ) 3 Εστω συναρτηση f συνεχης στο [, + ) R τετοια, ωστε f() = + f(t)dt. α. Να αποδειξετε οτι η f ειναι παραγωγισιμη στο (, + ). β. Να αποδειξετε οτι f() = e ( + ). γ. Να αποδειξετε οτι η f() εχει μοναδικη ριζα στο [, + ). Μοναδες 7 Μοναδες 7 Μοναδες 5 δ. Να βρειτε τα ορια lim f() + και lim f() -. Μοναδες 6

33 4o ΛΥΣΗ α. Ειναι Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 4 ) 3 u = t, du = dt f() = + f(t)dt + f(u)du t = u = t = u = Η f() = + f(u)d f συνεχης, αρα f(u)du παραγωγισιμη στο (, + ) u παραγωγισιμη παραγωγισιμη στο (, + ) στο (, + ) β. Ειναι e f'() = + f(u)du ' f'() + f() f'() - f() f'()e - f()e e [f()e ]' e f()e e d f()e (- e )'d f()e - e - e d f()e - f() e γ. δ. f() = e - ( + ) e Για = - - e - e + c f() ce f() - + c c = f'() = [e - ( + )]' = e -, oποτε η f ειναι γνησιως αυξουσα στο [, + ). f() = e - ( + ) = - = Αρα η = ειναι ριζα της f() =, που ειναι μοναδικη αφου η f ειναι γνησιως αυξουσα στο [, + ) lim f() = lim [e - ( + )] = lim e - lim e lim - = DLH e e = lim e lim - = + (- ) = + e Α = [, + ), οποτε το lim f() ειναι κακως ορισμενο, αφου δεν υπαρχει δια - f στημα (-, κ), κ, που να οριζεται η συναρτηση f (κοντα στο - ).

34 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 5 ) 33 Α. Εστω η συναρτηση f με f() =. Να αποδειξετε οτι η f ειναι παραγωγι- σιμη στο (, + ) και ισχυει: f () = Α. Ποτε μια συναρτηση f : A R λεγεται - ; Μοναδες 9 Μοναδες 4 Β. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν, γραφοντας στο τετραδιο σας τη λεξη Σωστο η Λαθος διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση. α. Τα εσωτερικα σημεια του διαστηματος Δ, στα οποια η f δεν παραγωγιζεται η η παραγωγος της ειναι ιση με το, λεγονται κρισιμα σημεια της f στο διαστημα Δ. Μοναδες β. Εστω μια συναρτηση f παραγωγισιμη σ ενα διαστημα (α,β) με ε- ξαιρεση ισως ενα σημειο του o. Αν η f ειναι κυρτη στο (α,o) και κοιλη στο (o,β) η αντιστροφως, τοτε το σημειο Α(o f(o)) ειναι υποχρεωτικα σημειο καμπης της γραφικης παραστασης της f. Μοναδες γ. Το μετρο της διαφορας δυο μιγαδικων αριθμων ειναι ισο με την αποσταση των εικονων τους. Μοναδες δ. Αν για δυο συναρτησεις f,g οριζονται οι fog και gof, τοτε ειναι υ- ποχρεωτικα fog gof. Μοναδες ε. Οι εικονες δυο συζυγων μιγαδικων αριθμων z, z ειναι σημεια συμμετρικα ως προς τον αξονα. Μοναδες στ. Αν η συναρτηση f εχει παραγουσα σε ενα διαστημα Δ και λ R *, τοτε ισχυει: λf()d = λ f()d Μοναδες

35 o ΛΥΣΗ Α. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 5 ) 34 Αν ειναι ενα σημειο του (, + ), τοτε για ισχυει: f() - f( ) - οποτε - + ( - ) + ( - ) = = = = - + lim = lim = - + δηλαδη f() - f( ) ( )' =., Α. Mια συναρτηση λεγεται ( ε ν α π ρ ο ς ε ν α ) στο πεδιο ορισμου της αν για οποιoδηποτε ₁, ₂ του πεδιου ορισμου ισχυει : Aν ₁ ₂ τοτε f(₁) f(₂). Β. α) Σωστο β) Λαθος γ) Σωστο δ) Λαθος ε) Σωστο στ) Σωστο Η f() = δεν ειναι παραγωγισιμη στο,

36 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 5 ) 35 α. Αν z, z ειναι μιγαδικοι αριθμοι για τους οποιους ισχυει z + z = 4 + 4i και z - z = 5 + 5i, να βρειτε τους z, z. Μοναδες β. Αν για τους μιγαδικους αριθμους z, w ισχυουν / z 3i / και / w 3 i / : i. να δειξετε οτι υπαρχουν μοναδικοι μιγαδικοι αριθμοι z, w ετσι, ωστε z = w και Μοναδες ii. να βρειτε τη μεγιστη τιμη του / z w /. Μοναδες 5

37 o ΛΥΣΗ α. Εστω Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 5 ) 36 ( ) z = + yi z + z = ( + α) + (y + β)i α = 4 - z =α + βi ( + α) + (y + β)i = 4 4i β = 4 - y z + z = 4 4i z - z = 5 5i ( - α) + (y + β)i = 5 5i ( ) + (y y)i = 5 5i = 3 α = (3-4) + (y + 4)i = 5 5i y y = β = 3 Β. Eτσι z = 3 + i και z = + 3i βi. Η εικoνα του μιγαδικου z βρισκεται στον κυκλικο δισκο με κεντρο Κ (, 3) και ακτι- να ρ = Η εικoνα του μιγαδικου w βρισκεται στον κυκλικο δισκο με κεντρο Λ (3, ) και ακτι- να R = Ετσι, ( ) (3 -) + (- 3) 8 ρ + R που σημαινει οτι οι κυκλικοι δισκοι εφαπτονται εξωτερικα, οποτε υπαρχουν μοναδικοι μιγαδικοι σριθμοι z, w τε-τοιοι ωστε z = w. βii. Aπ το σχημα προκυπτει : z - w ( ) ρ + R = = 4 ma y Α Ο Κ Λ Β

38 3o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 5 ) 37 Δινεται η συναρτηση f, η οποια ειναι παραγωγισιμη στο R με f () για καθε R. α. Να δειξετε οτι η f ειναι -. Μοναδες 7 β. Αν η γραφικη παρασταση Cf της f διερχεται απο τα σημεια Α(, 5) και Β(-, ), να λυσετε την εξισωση - f (- 4 + f( - 8)) = -. γ. Να δειξετε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα σημειο Μ της C f, στο οποιο η εφαπτομενη της Cf ειναι καθετη στην ευθεια (ε) : y = Μοναδες 9 Μοναδες 9

39 3o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 5 ) 38 α. Εστω οτι η συναρτηση f δ ε ν ειναι -. Τοτε, υπαρχουν α, β, με α < β και f(α) = f(β). Ετσι f συνεχης στο [α, β] Rolle υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ (α, β) : f παραγωγισιμη στο (α, β) f f(α) = f(β) '(ξ) = ατοπο, αφου f'(), Δηλαδη, η συναρτηση f ε ι ν α ι -. β. (,5) C f() = 5 f () B(-,) C f(- ) = f Eτσι () - - f (- 4 + f( - 8)) = - f(f (- 4 + f( - 8))) = f(- ) f( - 8) () (f : -) f( - 8) 5f( - 8) f() = ± 3 γ. υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ (-, ) : f συνεχης στο [-, ] Θ.Μ.Τ. () f() - f(- ) 5-4 f παραγωγισιμη στο (-, ) f'(ξ ) = = = = Δηλαδη, υπαρχει τουλαχιστον ενα σημειο Α(ξ, f(ξ )) της C που η εφαπτο - μενη (δ) της C ειναι καθετη στη ευθεια (ε). f Πραγματι λ λ = = - (δ) (ε) ε δ 668 f

40 4o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 5 ) 39 Δινεται η συνεχης συναρτηση f : R R,για την οποια ισχυει f() - lim = 5. α. Να δειξετε οτι: i. f() = ii. f () =. β. Να βρειτε το λ R ετσι, ωστε: +λ f() lim = 3 + f(). Μοναδες 4 Μοναδες 4 Μοναδες 7 γ. Αν επιπλεον η f ειναι παραγωγισιμη με συνεχη παραγωγο στο R και f () > f() για καθε R, να δειξετε οτι: i. f() > για καθε. Μοναδες 6 ii. f()d < f(). Μοναδες 4

41 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 5 ) 4 4o ΛΥΣΗ f() - Εστω η συναρτηση g, με g() =, οποτε limg() = 5 () αi. f() - g() = f() = g() + f συνεχης = lim f() lim( g() + ) = στο f() αii. f() - f() f '() = lim = lim - β. f() +λlim lim = f'( =3 f() + lim g() + = lim( g() + ) = 5 f() + λ f() +λ +λ f() lim = 3 lim = 3 lim = 3 + f() f() f() + + γi. f() Εστω συναρτηση h, με h() = f() e ) = +λ = 3 + λ = 9 λ = 8 + f'() > f() - - h'() = f'() e - f() e - e (f'() - f()) >, για καθε - e > Δηλαδη η h ειναι γνησιως αυξουσα στο. g e - < g() < g() f() e - - > f() f() g - f() > e > - > g() > g() f() e f() f() γii. Για καθε : f'() > f() f'() - f() > [f'() - f()]d > f'()d - f()d > [f()] f()d f() - f() f()d f() = f()d < f()

42 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 6 ) 4 A. Να αποδειξετε οτι : (συν) = ημ, R. Μοναδες Α. Εστω f μια συναρτηση ορισμενη σε ενα διαστημα Δ. Τι ονομαζουμε αρχικη συναρτηση η παραγουσα της f στο Δ; Μοναδες 5 B. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν, γραφοντας στο τετραδιο σας τη λεξη Σωστο η Λαθος διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση. α. Αν z, z ειναι μιγαδικοι αριθμοι, τοτε ισχυει: z - z z + z Μονάδες β. Αν οι συναρτησεις f, g ειναι παραγωγισιμες στο ο και g(ο), τοτε η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο ο και ισχυει: g f ' f( )g ( ) - f ( )g( ) o o o o =. g g( ) o o Μοναδες γ. Για καθε ισχυει [ln / /]' = Μοναδες δ. Μια συναρτηση f : Α R ειναι, αν και μονο αν για καθε στοιχειο y του συνολου τιμων της η εξισωση f()=y εχει ακριβως μια λυση ως προς. Μοναδες ε. Εστω f μια συνεχης συναρτηση σε ενα διαστημα [α, β]. Αν G ειναι μια παραγουσα της f στο [α, β], τοτε β α f(t)dt = G(α) - G(β) Μοναδες

43 o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 6 ) 4 Α. Για καθε R και h ισχυει: f( + h) - f() συν( + h) - συν συνσυνh - ημημh - συν = = h h h συνh - ημh = συν - ημ h h. Επειδη f( + h) - f() συνh - ημh lim = lim συν - lim ημ h h h h = συν - ημ = - ημ h h. Δηλαδη, (συν) = - ημ. Α. Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο διαστημα Δ. Ονομαζουμε α ρ χ ι κ η η π α ρ α γ ο υ σ α της f στο Δ, καθε συναρτηση F που ειναι παραγωγισιμη στο Δ και ισχυει : F () = f(), για καθε Δ. Β. α) Σωστο β) Λαθος γ) Σωστο δ) Σωστο ε) Λαθος

44 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 6 ) 43 Δινεται η συναρτηση + e f() =, R. + e + α. Να μελετησετε τη συναρτηση f ως προς τη μονοτονια της στο R. β. Να υπολογισετε το ολοκληρωμα γ. Για καθε < να αποδειξετε οτι: f(5 ) + f(7 ) < f(6 ) + f(8 ). d. f() Μοναδες 9 Μοναδες 9 Μοναδες 7

45 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 6 ) 44 o ΛΥΣΗ α. συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο (πραξεις παραγωγισιμων) με + e (+ e )'(+ e ) - (+ e )(+ e )' e (+ e ) - (+ e )e f'() = + ' = = e (+ e ) (+ e ) < + e < e e - e < e + e - e - e e - e = = (+ e ) (+ e ) (+e ) > Δηλαδη η συναρτηση f ειναι γ ν η σ ι ω ς φ θ ι ν ο υ σ α στο Β. β. Ειναι + + e + e - e + e e + e e d = d = d = (e -) d = f() + e + e + e + e e = d + (e - ) d = 'd + (e - ) [ln(+ e )]'d = + e = +(e - )ln( + e ) + c, c γ. 5 7 Ειναι < < και < < 6 8 Οποτε για < ειναι f ( ) f(5 ) < f(6 ) f(5 ) + f(7 ) < f(6 ) + f(8 ) f(7 ) f(8 ) 8 8 8

46 3o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 6 ) 45 Εστω οι μιγαδικοι αριθμοι z, που ικανοποιουν την ισοτητα (4 z) = z και η συναρτηση f με τυπο f() = + + α, α R. α. Να αποδειξετε οτι οι εικονες των μιγαδικων z ανηκουν στην ευθεια =. Μοναδες 7 β. Αν η εφαπτομενη (ε) της γραφικης παραστασης της συναρτησης f στο σημειο τομης της με την ευθεια = τεμνει τον αξονα y y στο yο = 3, τοτε i. να βρειτε το α και την εξισωση της εφαπτομενης (ε). Μοναδες 9 ii. να υπολογισετε το εμβαδον του χωριου που περικλειεται μεταξυ της γραφικης παραστασης της συναρτησης f, της εφαπτομενης (ε), 3 του αξονα και της ευθειας =. 5 Μοναδες 9

47 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 6 ) 46 3o ΛΥΣΗ α. Εστω z = + yi 5 5 (4 - z) z (4 - z) z ( 4 - z ) ( z ) 4 - z z (4 - z)(4 - z) zz 6-4z - 4z zz zz z z 4 Re(z) = 4 Re(z) = = Δηλαδη οι εικονες των μιγαδικων αριθμων z κινουνται στην ευθεια =. βi. Eιναι f'() = +. f( ) f() 6 α (ε) : y - (6 α) = 5( - ) (ε) : y = α f'( ) f'() 5 (ε) : y = (ε) : y = 5-3 βii. Eιναι A(, -3) ( ε) f - 3 = α α = f'() = + και f''() = >, που σημαινει οτι ειναι κυρτη και η εφαπτομενη (ε) ειναι κατω απ'τη C. Δηλαδη, f() - (5-3) και το ζητουμενο εμβαδον ειναι : Ε = 3[f() - (5-3)]d 3( )d ( - ) (- ) - ( - ) = ( )d ( - ) d 343 τ.μ. 375

48 4o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 6 ) 47 Δινεται η συναρτηση f() = ln( +) - ( +)ln με >. α. i. Να αποδειξετε οτι: ln( +) - ln <, >. ii. Να αποδειξετε οτι η f ειναι γνησιως φθινουσα στο διαστημα (, + ). Μοναδες β. Να υπολογισετε το lim ln(+ ). + Μοναδες 5 γ. Να αποδειξετε οτι υπαρχει μοναδικος αριθμος α (, + ) τετοιος ωστε (α + ) α = α α +. Μοναδες 8

49 4o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 6 ) 48 αi) Εστω η συναρτηση g, με g() = ln, > με g'() =, >. Απ'το Θ.Μ.Τ. για την g στο διαστημα [, + ] : Υπαρχει τουλαχιστον ενα (, + ) τετοιο ωστε f( + ) - f() g'( ) = = ln( + ) - ln() = + - < αρα < ln( + )-ln() <. αii) + f'() = [ln( + ) - ( + )ln()]' = ln( + ) - ln() - = + + = ln( + ) - ln() - - ln( + ) - ln() < αφου > + = ln( + ) - ln() ln(+) - ln() < απο (αi) Δηλαδη η συναρτηση f ειναι γ ν η σ ι ω ς φ θ ι ν ο υ σ α στο (, + ). β) lim ln( + ) + γ) - ln + ln + ' + = lim = lim lim DLH ' - lim. + + (+ ). α α+ α α+ (α + ) = α ln(α + ) = lnα ln(α + ) - (α + )lnα = f(α) = Συνολο τιμων : lim f() = lim (ln( + ) - ( + )ln()) = - (- ) = + lim f() = lim (ln( + ) - ( + )ln()) = lim (ln( + ) - ln() - ln()) = (β) + f(a) = = lim (ln - ln()) = lim ln + - ln() = - (+ ) = - f γνησιως φθινουσα στο (, + ) To f(a) και αφου η f γνησιως φθινουσα στο (, + ), υπαρχει μοναδικη ριζα α α+ της f(α) = η (α + ) = α στο (, + ).

50 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 7 ) 49 A. Να αποδειξετε οτι αν μια συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη σ ενα σημειο, τοτε ειναι και συνεχης στο σημειο αυτο. Μοναδες Α. Τι σημαινει γεωμετρικα το θεωρημα Rolle του Διαφορικου Λογισμου; Μοναδες 5 Β. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν, γραφοντας στο τετραδιο σας τη λεξη Σωστο η Λαθος διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση. α. Η εικονα f(δ) ενος διαστηματος Δ μεσω μιας συνεχους συναρτησης f ειναι διαστημα. Μοναδες β. Αν f, g, g ειναι συνεχεις συναρτησεις στο διαστημα [α, β], τοτε β β β f()g'()d = f()d g'()d α α α Μοναδες γ. Αν f ειναι μια συνεχης συναρτηση σε ενα διαστημα Δ και α ειναι ' ενα σημειο του Δ, τοτε f(t)dt = f() για καθε Δ. α Μοναδες δ. Αν μια συναρτηση f ειναι γνησιως αυξουσα και συνεχης σε ενα ανοικτο διαστημα (α,β), τοτε το συνολο τιμων της στο διαστημα αυτο ειναι το διαστημα (Α, Β) οπου Α= lim f () και Β= lim f() Μοναδες ε. Εστω δυο συναρτησεις f, g ορισμενες σε ενα διαστημα Δ. Αν οι f, g ειναι συνεχεις στο Δ και f () = g () για καθε εσωτερικο σημειο του Δ, τοτε ισχυει f() = g() για καθε Δ. Μοναδες

51 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 7 ) 5 o ΛΥΣΗ Α. f() - f( ) Για εχουμε: f() - f( ) = ( - ), - οποτε f() - f( ) f() - f( ) lim[f() - f( )] = lim ( - ) = lim lim - ) = f'( ) = - - αφου η f ειναι παραγωγισιμη στο. Επομενως, lim ) = f( ), δηλαδη η f ειναι συνεχης στο. Α. Εστω C η γραφικη παρασταση της f στο [α,β] και τα σημεια Α,Β με τετμημενες α,β αντιστοιχα. Αν ισχυουν οι προυποθεσεις του θεωρηματος Rolle: Ειναι συνεχης στο κλειστο διαστημα [α, β]. Ειναι παραγωγισιμη στο ανοικτο διαστημα (α, β). (η C ειναι συνεχης καμπυλη και δεχεται εφαπτομενη σε καθε σημειο της) f(α) = f(β) (η χορδη ΑΒ ειναι οριζοντια) υπαρχει ενα τουλαχιστον ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε f'(ξ) =, σημαινει oτι υπαρχει ενα τουλαχιστον ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε η εφαπτομενη της C στο σημειο Κ(ξ,f(ξ)) να ειναι παραλληλη στον αξονα. Β. α) Σωστο β) Λαθος γ) Σωστο δ) Σωστο ε) Λαθος

52 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 7 ) 5 ημ3, < Δινεται η συναρτηση f() = +α + βσυν, α. Να αποδειχθει οτι lim f() = 3 - π β. Αν f ' = π και η συναρτηση f ειναι συνεχης στο σημειο =, να αποδειχθει οτι α = β = 3. γ. Αν α = β = 3, να υπολογισθει το ολοκληρωμα π f()d. Μοναδες 8 Μοναδες 9 Μοναδες 8

53 o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 7 ) 5 α. u = 3 ημ3 ημ3 ημu lim f() = lim = 3 lim = 3 lim u τοτε u u β. H f συνεχης στο γ. Β., οποτε (α) lim f() = lim f() lim( α + βσυν) = 3 - f'() = ( α + βσυν)' = α -βημ, >. π π f' = π π β = 3 π α -βημ = π β = 3 α - 3 = α = 3 3 π 3 π 3π f()d ( 3 + 3συν)d + 3ημ π 3

54 3o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 7 ) 53 Δινεται η συναρτηση f() = e e ln, >. α. Να αποδειχθει οτι η συναρτηση f() ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα (, + ). β. Να αποδειχθει οτι ισχυει f() e για καθε >. γ. Να αποδειχθει οτι η εξισωση f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt + +3 εχει ακριβως μια ριζα στο διαστημα (, + ). Μοναδες Μοναδες 7 Μοναδες 8

55 3o ΛΥΣΗ α. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 7 ) 54 e f'() = (e - e ln)' = e -, > f' γνησιως αυξουσα στο (, + ) e e f''() = e - ' = e +, > Ετσι, για e f'() = e - = > f'() f'() f'(), δηλαδη η f ειναι γ ν η σ ι ω ς α υ ξ ο υ σ α στο (, + ). β. f'() = Για < < f'() f'() f'(), δηλαδη η f ειναι γ ν η σ ι ω ς φ θ ι ν ο υ σ α στο (, + ). Για > η f ειναι γ ν η σ ι ω ς α υ ξ ο υ σ α στο (, + ) (ερωτημα (α)). Οποτε η f παρουσιαζει ολικο ελαχιστο στη θεση =, το f() = e. Ετσι f() f() f() e, για καθε. γ. Θεωρουμε τη συναρτηση, με > : g() = f(t)dt - f(t)dt - f(t)dt f(t)dt + f(t)dt - f(t)dt f(t)dt - f(t)dt g() = f(t)dt - f(t)dt, = ριζα της g() g'() = f(t)dt - f(t)dt ' f(t)dt ' f( + 3) - f( H f ειναι συνεχης για >, οποτε η f(t)dt παραγωγισιμη και g παραγωγι - σιμη με : + > [f( + 3) - f( + )] > f +3 > + f( +3) > f( +) ) = Δηλαδη η g ειναι γνησιως αυξουσα για >. Ετσι η ριζα της g(), =, ειναι μοναδικη..

56 4o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 7 ) 55 - z Δινονται οι μιγαδικοι αριθμοι z = α + βi και z = οπου α, β R με β. + z Δινεται επισης οτι z z R. α. Να αποδειχθει οτι z z =. β. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z στο μιγαδικο επιπεδο. γ. Αν ο αριθμος z ειναι φανταστικος και αβ >, να υπολογισθει ο z και να δειχθει οτι (z + + i) - (z + - i) = Μοναδες 9 Μοναδες 6 Μοναδες

57 4o ΛΥΣΗ α. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 7 ) 56 Εστω z - z = κ () και z - α -βi = κ z = κ + α + βi - z -α + βi + z +α-βi z = κ + α + βi = (κ + α + βi)( + α -βi) = - α + βi κ + α + βi + ακ + α +αβi (κ + 3α + ακ + α + β - ) + (β - κβ)i = - κβi-αβi + β = - α + βi κ = β(- κ) = β =, απορριπτεται (β ) Ετσι, z - z = β. () δινει για κ = : β - κβ = κ + 3α + ακ + α + β - () + 3α + α + α + β - 4α + α + β 4α + α β 4 (α + ) + β = Οποτε, ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του μιγαδικου αριθμου z = α + βi κινειται σε κυκλο με κεντρο Κ(-, ) και ακτινα ρ =, εξαιρουμενων των ση - μειων (- 4, ) και (, ) γιατι β. γ. z = (α + βi) = α -β + αβi αβ > α + β =, αδυνατη z Re(z ) = α -β = α = β α -β = αβ > (α + ) + β = 4 α + 4α α = 4 α + α = α(α + ) = Ετσι, z = - - i Toτε (z + + i) = (- - i + + i) = (- - i) = [(- - i) ] = (i) (z + - i) = (- + i + - i) = (- + i) = [(- + i) ] = (- i) = ( i) Τελικα (z + + i) - (z + - i) = (i) - (i) α = -

58 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 8 ) 57 A. Εστω μια συνεχης συναρτηση σ ενα διαστημα [α, β]. Αν G ειναι μια παραγουσα της f στο [α, β], τοτε να αποδειξετε οτι β α f(t)dt = G(β) - G(α) Μοναδες Β. Τι σημαινει γεωμετρικα το Θεωρημα Μεσης Τιμης του Διαφορικου Λογισμου; Μοναδες 5 Γ. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν, γραφοντας στο τετραδιο σας διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση τη λεξη Σωστο, αν η προταση ειναι σωστη, η Λαθος, αν η προταση ειναι λανθασμενη. α. Υπαρχουν συναρτησεις που ειναι, αλλα δεν ειναι γνησιως μονοτονες. Μονάδες β. Αν μια συναρτηση f ειναι κοιλη σ ενα διαστημα Δ, τοτε η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της f σε καθε σημειο του Δ βρισκεται κατω απο τη γραφικη της παρασταση, με εξαιρεση το σημειο επαφης τους. Μοναδες β γ. Το ολοκληρωμα f()d ειναι ισο με το αθροισμα των εμβαδων α των χωριων που βρισκονται πανω απο τον αξονα μειον το α- θροισμα των εμβαδων των χωριων που βρισκονται κατω απο τον αξονα. Μοναδες δ. Αν α, β πραγματικοι αριθμοι, τοτε: α + βi = α = η β = Μοναδες ε. Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ενα συνολο της μορφης (α, ) (, β) και l ενας πραγματικος αριθμος. Τοτε ισχυει η ισοδυναμια : lim(f()) = l lim(f() - l) = Μοναδες

59 o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 8 ) 58 Α. Συμφωνα με το θεωρημα, Αν f ειναι μια συνεχης συναρτηση σε ενα διαστημα Δ και α ειναι ενα σημειο του Δ, τοτε η συναρτηση Δηλαδη ισχυει: η συναρτηση a F() = f(t) dt, Δ, ειναι μια παραγουσα της f στο Δ. ( f(t) dt)' = f(), για καθε Δ. F() = α α f(t) dt ειναι μια παραγουσα της f στο [α, β]. Επειδη και η G ειναι μια παραγουσα της f στο [α, β], θα υπαρχει c R τετοιο, ωστε G() = F() + c () Απο την (), για = α, εχουμε G(α) = F(α) + c = α f(t)dt + c = c, οποτε c = G(α). α Β. Εστω C η γραφικη παρασταση της f στο [α, β] και τα σημεια Α,Β με τετμημενες α, β αντιστοιχα. Αν ισχυουν οι προυποθεσεις του Θ.Μ.Τ., δηλαδη : Ειναι συνεχης στο κλειστο διαστημα [α, β]. Ειναι παραγωγισιμη στο ανοικτο διαστημα (α, β). (η C ειναι συνεχης καμπυλη και δεχεται εφαπτομενη σε καθε σημειο της) Ομως η παρασταση f(β) - f(α) β - α ισουται με τον συντελεστη διευθυνσης της f(β) - f(α) χορδης ΑΒ, ενω f'(ξ) = ειναι ο συντελεστη διευθυνσης της εφαπτο- β - α μενης της C στο Κ(ξ, f(ξ)). Αρα το Θ.Μ.Τ. εκφραζει οτι: Yπαρχει ενα τουλαχιστον ξ στο (α, β) τετοιο ωστε η εφαπτομενη της C στο σημειο Κ(ξ, f(ξ)) να ειναι παραλληλη στη χορδη ΑΒ. Γ. α) Σωστο β) Λαθος γ) Σωστο δ) Λαθος ε) Σωστο

60 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 8 ) 59 + i 3 Δινεται οτι ο μιγαδικος αριθμος z = ειναι ριζα της εξισωσης z + βz + γ =, οπου β και γ πραγματικοι αριθμοι. α. Να αποδειξετε οτι β = και γ =. Μοναδες 9 3 β. Να αποδειξετε οτι z = -. Μοναδες 8 γ. Να βρειτε τον γεωμετρικο τοπο των εικονων του μιγαδικου αριθμου w, για τον οποιο ισχυει: / w / = / z - z / Μοναδες 8

61 o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 8 ) 6 α. + i 3 - i 3 Αφου, z = ριζα της z βz + γ =, τοτε η αλλη ειναι z =. Απ'τους τυπους του Vieta : + i 3 - i 3 z + z = - β + = - β = - β β = - z z = γ i 3 - i 3 = γ = γ γ = 4 Β. β. Αφου, z ριζα της z - z + =, τοτε z - z = - z (z -) = - 3 z - z + = z z = - z = - z = z - z = z - γ. Ειναι 3 w = z - z w = Ιm(z ) i w = i w = 3 i w = 3 Δηλαδη ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του μιγαδικου αριθμου w, ειναι κυκλος κεντρου Ο(, ) και ακτινας ρ = 3.

62 3o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 8 ) 6 Δινεται η συναρτηση f() = ln, >. α. Να αποδειξετε οτι ισχυει : f() για καθε >. Μοναδες 6 β. Να βρειτε τις ασυμπτωτες της γραφικης παραστασης της συναρτησης f. Μοναδες 6 γ. Εστω η συναρτηση ln, > g() = f() k, = i. Να βρειτε την τιμη του k ετσι ωστε η g να ειναι συνεχης. Μοναδες 6 ii. Αν k = -, τοτε να αποδειξετε οτι η g εχει μια, τουλαχιστον, ριζα στο διαστημα (, e). Μοναδες 7

63 3o ΛΥΣΗ α. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 8 ) 6 f'() = ( - ln)' = -, > > f'() = - = - = = H f παρουσιαζει ολικο ελαχι - > f'() > - > - > > > f'() < - < - < < στο στηθεση =, το f() = δηλαδη f() f() f(), > β. lim f() = lim( - ln) H ευθεια = (y'y) ειναι κατακορυφη ασυμπτωτη της C. + + f() - ln ln lim = lim = lim - lim = lim - lim - Δηλαδη, η C δεν εχει οριζοντιες η πλαγιες ασυμπτωτες. DLH f γi. + ln + lim g() = lim = lim lim lim - DLH f() f'() - - k = - g() = k f συνεχης στο, αρα lim g() = g() γii. H g συνεχης στο [, e] Bolzano g() = - υπαρχει μια τουλαχιστον ριζα g()g(e) της g() = στο (, e) lne g(e) = = f(e) e - f

64 4o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 8 ) 63 Εστω f μια συνεχης συναρτηση στο διαστημα [, + ) για την οποια ισχυει f() > για καθε. Οριζουμε τις συναρτησεις: F() F() = f(t)dt, [, + ), h() =, (, + ). tf(t)dt α. Να αποδειξετε οτι e t- [f(t) + F(t)]dt = F() β. Να αποδειξετε οτι η συναρτηση h ειναι γνησιως φθινουσα στο διαστημα (, + ). γ. Αν h() =, τοτε: i. Να αποδειξετε οτι ii. Να αποδειξετε οτι f(t)dt < t f(t)dt F(t)dt = F() Μοναδες 6 Μοναδες 8 Μοναδες 6 Μοναδες 5

65 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 8 ) 64 4o ΛΥΣΗ α. F'() = f(t)dt '= f() t- t- t- e [F'(t) + F(t)]dt [e F'(t) + e F(t)]dt t- e [f(t) + F(t)]dt F() t- t- - - = [e F(t)]'dt [e F(t)] e F() - e F() = - = e F() - e F() β. h'() = = H f ειναι συνεχης στο (, + ) αρα η tf(t)dt παραγωγισιμη και αφου η F παρα - γωγισιμη (παραγουσα της f) η h ειναι παραγωγισιμη στο (, + ) με ' F() F'() tf(t)dt - F()( tf(t)dt )' f() tf(t)dt - F() f() = tf(t)dt ( tf(t)dt) ( tf(t)dt) f() tf(t)dt - f(t)dt f() f() ( tf(t)dt - f(t)dt) = ( tf(t)dt) ( tf(t)dt) f() ( (t - )f(t)dt) ( tf(t) dt) t (, ) t - < (t-)f(t)dt < f() >, ( tf(t)dt) > Δηλαδη η συναρτηση h ειναι γ ν η σ ι ω ς φ θ ι ν ο υ σ α στο (, + ). γ. h F() f(t)dt h() < h() < < tf(t)dt tf(t)dt f(t)dt tf(t)dt < tf(t)dt f(t)dt < tf(t)dt tf(t)dt > αφου f() > tf(t)dt δ. F() F() h() = = tf(t)dt = () tf(t)dt () F() F(t)dt t'f(t)dt [tf(t)] - tf'(t)dt F() - tf(t)dt F() - F()

66 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 9 ) 65 A. Εστω η συναρτηση f() =. Να αποδειξετε οτι η f ειναι παραγωγισιμη στο (, + ) και ισχυει: f () = Μοναδες 9 B. Εστω μια συναρτηση f και o ενα σημειο του πεδιου ορισμου της. Ποτε θα λεμε οτι η f ειναι συνεχης στο o ; Μοναδες 6 Γ. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν, γραφοντας στο τετραδιο σας διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση τη λεξη Σωστο, αν η προταση ειναι σωστη, η Λαθος, αν η προταση ειναι λανθασμενη. α. Αν z ειναι ενας μιγαδικος αριθμος τοτε για καθε θετικο ακεραιο ν ν ισχυει z = z ν β. Η συναρτηση f ειναι -, αν και μονο αν καθε οριζοντια ευθεια τεμνει τη γραφικη παρασταση της f το πολυ σε ενα σημειο. γ. Αν lim f() = και f() < κοντα στο o τοτε lim = + f() Μοναδες Μοναδες Μοναδες δ. Εστω η συναρτηση f() = εφ. H συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο = - / συν = και ισχυει f () = - συν Μοναδες ε. Για καθε συναρτηση f, παραγωγισιμη σε ενα διαστημα, ισχυει f ()d = f() + c, οπου c ειναι μια πραγματικη σταθερα. Μοναδες

67 o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 9 ) 66 Α. Αν ειναι ενα σημειο του (, + ), τοτε για ισχυει: f() - f( ) ( - ) + ( - ) = = = = - + οποτε f() - f( ) lim = lim = - + δηλαδη ( )' =. Β. Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο Δ και ₀ ειναι ενα σημειο του Δ. Θα λεμε οτι η f ειναι σ υ ν ε χ η ς στο ₀ οταν και μονο οταν: lim f() = f( ) Γ. α) Σωστο β) Σωστο γ) Λαθος δ) Λαθος ε) Σωστο., Η f() = δεν ειναι παραγωγισιμη στο,

68 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 9 ) 67 Θεωρουμε τους μιγαδικους αριθμους z για τους οποιους ισχυει: (- i)z +(- i)z - 8 = α. Nα βρειτε τον γεωμετρικο τοπο των εικονων των μιγαδικων αριθμων z = + yi οι οποιοι ικανοποιουν την παραπανω εξισωση. Μοναδες β. Nα βρειτε τον μοναδικο πραγματικο αριθμο z και τον μοναδικο φανταστικο αριθμο z οι οποιοι ικανοποιουν την παραπανω εξι- σωση. γ. Για τους αριθμους που βρεθηκαν στο προηγουμενο ερωτημα να αποδειξετε οτι z + z + z - z = 4 Μοναδες 8 Μοναδες 7

69 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 9 ) 68 o ΛΥΣΗ α. Ειναι z = + yi ( - i)z + ( - i)z - 8 = ( - i)( + yi) + ( - i)( - yi) - 8 = z = - yi + yi - i + y + - yi + i + y - 8 = 4 + y - 8 = y = Δηλαδη οι εικονες του μιγαδικου z κινουνται στην ευθεια ε : y = β. Oι z, z ικανοποιουν την εξισωση : y = (). Β. γ. () () z Ιm(z ) = y = = = z = z Re(z ) = = y = + 4 y = 4 z = 4i z + z + z - z = + 4i + - 4i = ( 4 ) ( (- 4) )

70 3o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 9 ) 69 ινεται η συναρτηση f() = ln[(λ + ) + + ] - ln( + ), > - οπου λ ενας πραγματικος αριθμος με λ - Α. Να προσδιορισετε την τιμη του λ, ωστε να υπαρχει το οριο lim f() και να ειναι πραγματικος αριθμος. Μοναδες 5 Β. Εστω οτι λ = - α. Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια τη συναρτηση f και να βρειτε το συνολο τιμων της. Μοναδες β. Να βρειτε τις ασυμπτωτες της γραφικης παραστασης της συναρτησης f. Μοναδες 6 γ. Να αποδειξετε οτι η εξισωση f() + α = εχει μοναδικη λυση για καθε πραγματικο αριθμο α με α. Μοναδες 4

71 3o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 9 ) 7 Α. Εστω lim f() = k Β. f() f() + + lim f() e = lim lim (λ + ) + + f() = ln[(λ + ) + + ]- ln( + ) f() = ln + (λ + ) + + (λ + ) + + e = lim e = lim (λ + ) + + (λ + ) + + k e + + (λ + ) + + (λ + ) Aν λ + τοτε lim lim lim (λ + ), + (λ + ) + + k ατοπο αφου lim e + (λ+ ) Aρα λ + λ = - ( lim lim lim lim ) Αν λ = - : f() = ln[(- + ) + + ]- ln( + ) = ln( + ) - ln( + ) = ln, > - + α f'() = ln ' ' ( + ) ( + )( + ) Aρα η f ειναι γνησιως αυξουσα στο (-, + ). + lim f() lim ln - + ( ) + + lim f() lim ln ln lim ln f(a) = (-, ) > - β. γ. lim f() -, αρα η C εχει κατακορυφη ασυμπτωτη την ευθεια = -. - f f lim f(), αρα η C εχει οριζοντια ασυμπτωτη την ευθεια y = ('). f() + α f() = - α f γν.αυξουσα στο (-, + ) (Βα)... η εξισωση f() = - α εχει μοναδικη - α f(a) (Βα) λυση για α

72 4o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 9 ) 7 ινεται μια συναρτηση f : [, ] R η οποια ειναι δυο φορες παραγωγισιμη και ικανοποιει τις συνθηκες f () - 4f () + 4f() = ke,, f () = f(), f() = f() + e 4, f() = e οπου k ενας πραγματικος αριθμος. α. Να αποδειξετε οτι η συναρτηση f () - f() g() = 3 -, e ικανοποιει τις υποθεσεις του θεωρηματος του Rolle στο διαστημα [, ]. β. Να αποδειξετε οτι υπαρχει ξ (,) τετοιο, ωστε να ισχυει f (ξ) + 4f(ξ) = 6 ξ e ξ + 4 γ. Να αποδειξετε οτι k = 6 και οτι ισχυει g() = για καθε [, ]. δ. Να αποδειξετε οτι 3 f() = e, ε. Να υπολογισετε το ολοκληρωμα f() d Μοναδες 4 Μοναδες 6 Μοναδες 6 Μοναδες 5 Μοναδες 4

73 4o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 9 ) 7 α. Η g ειναι συνεχης στο [, ], αφου f'(), f(), e συνεχεις (f δυο φορες παραγωγισιμη) Η g ειναι παραγωγισμη στο (, ), αφου f'(), f(), e παραγωγισιμες (f δυο φορες παραγωγισιμη) με [f"() - f'()]e -[f'() - f()]e f"() - f'() - f'() + 4f() g'() = 6 - = 6 - e υποθεση f"() - 4f'() + 4f() ke = (6 - k) e e f'() - f() f() - f() g() = = e 4 4 f'() - f() f() + e - f() e g( ) = - = e e e Δηλαδη η g ικανοποιει τις υποθεσεις του θ. Rolle. 4 e g() = g() Απ'το θ. Rolle, για τη g στο (, ), υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ (, ) : β. ξ g'(ξ) = 6ξ- = 6ξe - f"(ξ) + 4f'(ξ) - 4f(ξ) = ξ f"(ξ γ. f"(ξ) - 4f'(ξ) + 4f(ξ) e ξ ) + 4f(ξ) = 6ξe + 4f'(ξ) ξ > g'(ξ) = (6 - k)ξ = 6 - k = k = 6 Για k = 6 : g'() =, για καθε [,] που σημαινει οτι η g ειναι σταθερη στο [,] και επειδη g() =, τοτε g() =, για καθε [,]. δ. Για καθε [,] : Συνεπειες f () - f() f () - f() f () 3 g() = 3 - = = 3 ' = ( )' e e e... Για = f () 3 3 = + c f () = ( + c)e f ( ) = 3 e,. e f () = ( + c)e e = ( + c)e c = ε. 3 e e e e e e 4 e e 4 e e e 3e - e f() = d = e d = 'd = - ' d = d = e - - d = e - - = e - -

74 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 73 A. Να αποδειξετε οτι η συναρτηση f() = ημ, R, ειναι παραγωγισιμη στο R και ισχυει (ημ) = συν. Μοναδες 8 A. Ποτε λεμε οτι μια συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη σε ενα κλειστο διαστημα [α, β] του πεδιου ορισμου της; Μοναδες 4 A3. Ποτε λεμε οτι μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α παρουσιαζει στο A (ολικο) μεγιστο, το f(); Μοναδες 3 Α4. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν, γραφοντας στο τετραδιο σας διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση τη λεξη Σωστο, αν η προταση ειναι σωστη, η Λαθος, αν η προταση ειναι λανθασμενη. α) Αν f() = α, α >, τοτε ισχυει (α ) = α β) Αν οριζονται οι συναρτησεις f o g και g o f, τοτε παντοτε ισχυει f o g = g o f γ) Αν lim f() = + η, τοτε lim = f() δ) Αν μια συναρτηση f ειναι συνεχης στο κλειστο διαστημα [α,β] και ισχυει f() για καθε [α, β], τοτε ε) Για καθε z C ισχυει z = z z β α f()d Μοναδες

75 o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 74 Α. Για καθε R και h ισχυει : f( + h) - f() ημ( + h) - ημ ημ συνh + συν ημh - ημ = = h h h (συνh -) ημh = ημ + συν h h. Επειδη ημh συνh - lim = και lim =, h h h h εχουμε f( + h) - f() lim = ημ + συν = συν. h h Δηλαδη, (ημ) = συν. Α. Η f ειναι παραγωγισιμη σε ενα κλειστο διαστημα [α, β] του πεδίου ορισμου της, οταν ειναι παραγωγισιμη στο (α, β) και επιπλεον ισχυει f() - f(α) f() - f(β) lim και lim. + α -α - β -β Α3. Μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α, θα λεμε οτι παρουσιαζει στο ₀ A Ο λ ι κ ο Μ ε γ ι σ τ ο η απλα Μεγιστο στο f(₀), αν για καθε A, f ( ) f ( ₀ ). A4. α) Λαθος β) Λαθος γ) Σωστο δ) Σωστο ε) Σωστο

76 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 75 Εστω οτι οι μιγαδικοι αριθμοι z, z ειναι οι ριζες εξισωσης δευτερου βαθμου με πραγματικους συντελεστες για τις οποιες ισχυουν z + z = και z z = 5 B. Να βρειτε τους μιγαδικους αριθμους z, z. Μοναδες 5 B. Αν για τους μιγαδικους αριθμους w ισχυει η σχεση w z + w z = z z να αποδειξετε οτι ο γεωμετρικος τοπος των εικονων των w στο μιγαδικο επιπεδο ειναι ο κυκλος με εξισωση ( + ) + y = 4. Μοναδες 8 B3. Απο τους μιγαδικους αριθμους w του ερωτηματος Β να βρειτε εκεινους για τους οποιους ισχυει : Re(w) + Im(w) =. Μοναδες 6 B4. Αν w, w ειναι δυο απο τους μιγαδικους w του ερωτηματος Β με την ιδιοτητα w w = 4, να αποδειξετε οτι w + w =. Μοναδες 6

77 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 76 o ΛΥΣΗ B. Δ = 4 - = -6 z + z = - Vieta z = - + i z z 5 : - ± 4i z z = 5 z = - ± i z = - - i B. Ειναι w = +yi w - z w - z = z - z + yi Β. + - i + yi + + i = - + i + + i ( + ) + (y - )i ( + ) + (y - ) ( + ) + (y + ) = 4 ( + ) + y -y ( + ) + y = ( + ) + (y + )i = 4i y +y + 4 = 6 Δηλαδη, οι εικονες του μιγαδικου αριθμου w, κινουνται σε κυκλο με κεντρο Κ(-, ) και ακτινα ρ =. B3. Re(w) + Im(w) = + y = y = - () B4. () ( + ) + y = = = = - y = w = - + i = y = w = - i 5 5 Eστω Α, Β οι εικονες των μιγαδικων αριθμων w, w αντιστοιχα και ρ = η ακτινα του κυκλου (Κ(-, )) του ερωτηματος (Β). w - w = 4 ΟΑ - ΟΒ = 4 ρ, αντιδιαμετρικα. Ετσι / w + w / = ΟΑ + ΟΒ = (- - ) + ( - )

78 3o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 77 Δινεται η συναρτηση f() = ( )ln + 3, > Γ. Να βρειτε τις ασυμπτωτες της γραφικης παραστασης της συναρτησης f. Μοναδες 5 Γ. Να αποδειξετε οτι η συναρτηση f ειναι γνησιως φθινουσα στο διαστημα (, ] και γνησιως αυξουσα στο διαστημα [, + ). Μοναδες 5 Γ3. Να αποδειξετε οτι η εξισωση f() = εχει δυο ακριβως θετικες ριζες. Μοναδες 6 Γ4. Αν, ειναι οι ριζες του ερωτηματος Γ3 με <, να αποδειξετε οτι υπαρχει μοναδικος αριθμος ξ(, ) τετοιος, ωστε ξ f (ξ) f(ξ) = και οτι η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης f στο σημειο Μ(ξ, f(ξ)) διερχεται απο την αρχη των α- ξονων. Μοναδες 9

79 3o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 78 Γ. lim f() = lim[( - )ln + - 3] = + H C εχει κ α τ α κ ο ρ υ φ η ασυμπτωτη, την = (y'y). f lim f() = lim [( - )ln + - 3] = + f H C δ ε ν εχει οριζοντιες ασυμπτωτες. f() ( - )ln lim = lim = lim ln + - = (+ ) - = + H C δ ε ν εχει πλαγιες ασυμπτωτες. f Γ. Για καθε > - f'() = [( - )ln + - 3]' ( - )'ln + ( - )(ln)' + ln + + ln - + f'() = ln- + f''() = ln - + ' +, και f' γν.αυξουσα στο (, + ). Για < < : f'( ) < f'() f'() < f γν. φθινουσα στο (, ). Για > : f'() > f'() f'() > f γν. αυξουσα στο (, + ). Γ3. Στο Α = (, ) η f ειναι συνεχης και γνησιως φθινουσα. - lim f() = +... f(α ) η εξισωση f() = f συνεχης f(α ) = (-, + ) : f lim f() = f() = - εχει ακριβως μια λυση στο Α. Στο Α = [, + ) η f ειναι συνεχης και γνησιως αυξουσα.... f() = - f(α ) η εξισωση f() = f(α ) = [-, + ) : lim f() + μια λυση στο Α. f εχει ακριβως Τελικα, η εξισωση f() = εχει ακριβως δυο θετικες λυσεις ( > ). Γ4. f() Θεωρουμε τη συναρτηση h, με h() =, >. H h ειναι συνεχης στο [, ] (, + ) (πραξεις συνεχων) H h ειναι παραγωγισιμη στο (, ) (, + ) (πραξεις παραγωγισιμων) με f'() - f() h'() =

80 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 79 3o ΛΥΣΗ ριζα f( ) h( ) = = f( ) = ριζα f( ) h( ) = = f( ) = h( ) = h( ) Ετσι, απ'το θεωρημα Rolle, υπαρχει ξ (, ) τετοιο ωστε : ξ f'(ξ) - f(ξ) h'(ξ) = = ξ f'( ξ) - f(ξ) = ξ f'(ξ) = f(ξ) () ξ Η εφαπτομενη της C στο σημειο Μ(ξ, f(ξ)) εχει εξισωση : f y - f(ξ) f'(ξ)( - ξ) y -f(ξ) f'(ξ) -ξ f'(ξ ) y f'(ξ) Δηλαδη, η φαπτομενη της C στο σημειο Μ(ξ, f(ξ)) διερχεται απ'την αρχη των αξονων (εχει εξισωση της μορφης : y = α ) f ()

81 4o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 8 Εστω συναρτηση f : R R η οποια ειναι παραγωγισιμη και κυρτη στο R με f() = και f () =. Δ. Να αποδειξετε οτι f() για καθε R Μοναδες 4 Δ. Να αποδειξετε οτι f(t)dt + lim = + 3 ημ Αν επιπλεον δινεται οτι f () + = (f() + ), R, τοτε : Δ3. Να αποδειξετε οτι f() = e -, R Δ4. Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια τη συναρτηση + h() = f(t)dt,, και να λυσετε στο R την ανισωση f(t)dt + f(t)dt < Μοναδες 6 Μοναδες 8 Μοναδες 7

82 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 8 4o ΛΥΣΗ Δ. Η f ειναι παραγωγισιμη και κυρτη στο, οποτε η f' ειναι γνησιως αυξουσα στο. f'() = < f'() < f'() f'() <, η f γνησιως φθινουσα στο (-, ). f'() = > f'() > f'() f'() >, η f γνησιω ς αυξουσα στο (, + ). Η f παρουσιαζει ολικο ελαχιστο στη θεση =, το f() =. Ετσι, f(), για καθε. Δ. lim f(t)dt + 3 ημ Δ3. Η δοσμενη σχεση : 3 f(t)dt u = t, du = dt 3 f(u)du + + = lim = lim 3 t = u = 3 ημ t = u = ημ 3 f(u)du lim + 3 f() lim + = 3 = lim f() lim + = 3 DLH ημ 3 lim = f() ( ) + = ( ) + = + e 3 3 f'() + = [f() + ] f'() + = f() + f'() - f() = - + f'() e - f() e = - e + e συνεπειες f'() e + f() (e )' = (- )' e + (- ) (e )' (f() e )' = (- e )' Θ.Μ.Τ. Για = e f() e = - e c f() e = - e f() = - f() = c c = + e - Δ4. Eιναι + h'() = f(t)dt ' = f( + ) - f(), h'() > f'() = e - = (e -) αρα, h γν.αυξουσα αρα, f γν.αυξουσα στο [, + ) και + > f( + ) > f() f( + ) - f() στο [, + )

83 4o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 8 H δοσμενη ανισωση δινει f(t)dt + f(t)dt < f(t)dt - f(t)dt < f(t)dt < f(t)dt f(t)dt < f(t)dt h( + + ) < h(4) h[( + ) + 4 h ] < h(4) Δ = 6 ( + ) < < =, = < <

84 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 83 Α. Να αποδειξετε οτι η συναρτηση f() = συν ειναι παραγωγισιμη στο R και για καθε R ισχυει ( συν) = - ημ Μοναδες Α. Εστω μια συναρτηση f, ορισμενη σε ενα διαστημα. Να διατυπωσετε τον ορισμο της αρχικης συναρτησης η παραγουσας της f στο. Μοναδες 5 Α3. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν, γραφοντας στο τετραδιο σας διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση τη λεξη Σωστο, αν η προταση ειναι σωστη, η Λαθος, αν η προταση ειναι λανθασμενη. α) Για καθε μιγαδικο αριθμο z = α - βi, α, β R ισχυει z - z = β β) Μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α θα λεμε οτι παρουσιαζει στο A (ολικο) μεγιστο το f(), οταν f() f() για καθε A. γ) Αν μια συναρτηση f ειναι γνησιως μονοτονη σε ενα διαστημα Δ, τοτε ειναι και - στο διαστημα αυτο. δ) Αν lim f() = και f()> κοντα στο, τοτε lim = + f() ε) Καθε συναρτηση f που ειναι συνεχης σε ενα σημειο του πεδιου ορισμου της ειναι και παραγωγισιμη στο σημειο αυτο. Μοναδες

85 o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 84 Α. Για καθε R και h ισχυει: f( + h) - f() συν( + h) - συν συνσυνh - ημημh - συν = = h h h συνh - ημh = συν - ημ h h. Επειδη f( + h) - f() συνh - ημh lim = lim συν - lim ημ = συν - ημ = - ημ h h h h. h h Δηλαδη, (συν) = - ημ. Α. Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο διαστημα Δ. Ονομαζουμε α ρ χ ι κ η η π α ρ α γ ο υ σ α της f στο Δ, καθε συναρτηση F που ειναι παραγωγισιμη στο Δ και ισχυει : F () = f(), για καθε Δ. Β. α) Λαθος β) Σωστο γ) Σωστο δ) Σωστο ε) Λαθος

86 o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 85 Εστω οι μιγαδικοι αριθμοι z, w, οι οποιοι ικανοποιουν τις σχεσεις: z - i = + Ιm(z) () και ww + 3i = i3w + i () Β. Να αποδειξετε οτι ο γεωμετρικος τοπος των εικονων των μιγαδι- κων αριθμων z ειναι η παραβολη με εξισωση y =. 4 Μοναδες 7 Β. Να αποδειξετε οτι ο γεωμετρικος τοπος των εικονων των μιγαδικων αριθμων w ειναι ο κυκλος με κεντρο το σημειο Κ(, 3) και α- κτινα ρ =. Μοναδες 7 Β3. Να βρειτε τα σημεια Α και Β του μιγαδικου επιπεδου, τα οποια ειναι εικονες των μιγαδικων αριθμων z, w με z = w. Μοναδες 5 Β4. Nα αποδειξετε οτι το τριγωνο ΚΑΒ ειναι ορθογωνιο και ισοσκελες και, στη συνεχεια, να βρειτε τον μιγαδικο αριθμο u με εικονα στο μιγαδικο επιπεδο το σημειο Λ, ετσι ωστε το τετραπλευρο με κορυφες τα σημεια Κ, Α, Λ, Β να ειναι τετραγωνο. Μοναδες 6

87 Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 86 o ΛΥΣΗ B. Ειναι z = +yi y > - z - i = + Ιm(z) + yi - i = + y + (y - )i = + y + (y - ) = + y + (y - ) = (+ y) + y - y + = y + y + y = 4 Δηλαδη, ο γεωμετρικος τοπος των εικονων των μιγαδικων αριθμων z ειναι η παραβολη με εξισωση y =. 4 Β. B. Ειναι w(w + 3i) = i(3w + i) ww + 3wi = 3wi - ww + 3(w - w)i = - w = +yi w +3(Im(w)i)i = - + y - 6y + 9 = (y - 3) = ( ) Δηλαδη, ο γεωμετρικος τοπος των εικονων των μιγαδικων αριθμων w ειναι ο κυκλος με κεντρο το σημειο Κ(, 3) και ακτινα ρ =. B3. Τα κοινα σημεια των δυο γεωμετρικων τοπων, προκυπτουν απ'τη λυση του συστηματος των εξισωσεων τους. Ετσι y = 4y = 4y = 4y = 4 + y - 6y + = 4y + y - 6y + = y - y + = + (y - 3) = 8 4y = 4 = = A(, ) (y - ) = y = y = B(-, ) B4. (ΚΑ) = (ΚΒ) = ρ = (το τριγωνο ΚΑΒ ισοσκελες) (ΑΒ) = ( + ) - (- ) = 6 (το τριγωνο ΚΑΒ ορθογωνιο) (ΚΑ) + (ΚΒ) 8 8 = Μ μεσο του ΑΒ : Μ, (, ). Oμως, Μ μεσο του ΚΛ, οποτε : Λ + Λ 3+Λ y Λ, (, ) (, - ) u = - i 3+Λ Λ - y y

88 3o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 87 Ενα κινητο Μ κινειται κατα μηκος της καμπυλης y =,. Ενας παρατηρητης βρισκεται στη θεση Π(, ) ενος συστηματος συντεταγμενων Οy και παρατηρει το κινητο απο την αρχη Ο, οπως φαινεται στο παρακατω σχημα. Δινεται οτι ο ρυθμος μεταβολης της τετμημενης του κινητου για καθε χρονικη στιγμη t, t ειναι (t) =6m/min. Γ. Να αποδειξετε οτι η τετμημενη του κινητου, για καθε χρονικη στιγμη t, t δινεται απο τον τυπο: (t) = 6t. Μοναδες 5 Γ. Να αποδειξετε οτι το σημειο της καμπυλης μεχρι το οποιο ο παρατηρητης εχει οπτικη επαφη με το κινητο ειναι το Α(4, ) και, στη συνεχεια, να υπολογισετε ποσο χρονο διαρκει η οπτικη επαφη. Μοναδες 6 Γ3. Να υπολογισετε το εμβαδον του χωριου Ω που διαγραφει η οπτικη ακτινα ΠΜ του παρατηρητη απο το σημειο Ο μεχρι το σημειο Α. Μοναδες 6 Γ4. Να αποδειξετε οτι υπαρχει χρονικη στιγμη t, 4 κατα την ο- ποια η αποσταση d = (ΠΜ) του παρατηρητη απο το κινητο γινεται ελαχιστη. Μοναδες 8 Να θεωρησετε οτι το κινητο Μ και ο παρατηρητης Π ειναι σημεια του συστηματος συντεταγμενων Οy.