ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΠΙΒΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΙΣΛΑΝΔΙΑΣ

Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 21 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2008), σελ 213-222 ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΠΙΒΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΙΣΛΑΝΔΙΑΣ Γεώργιος Ματαλλιωτάκης Πολυτεχνείο Κρήτης, 73100 Χανιά matalliotakis@mycosmos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στο άρθρο αυτό εφαρμόζεται μία μεθοδολογία στοχαστικών διαδικασιών για την ανάλυση των δεδομένων επιβίωσης του πληθυσμού διαφόρων χωρών της Ευρωπαϊκής Ένωσης και στην συγκεκριμένη εργασία για τα δεδομένα επιβίωσης της Ισλανδίας. Γίνεται μια σχετική αναφορά και εκτιμάται η συνάρτηση κατάστασης υγείας πληθυσμού. Εξάγονται σημαντικά συμπεράσματα για τα διαφορετικά χαρακτηριστικά που παρουσιάζει η θνησιμότητα των δυο φύλλων ανάμεσα στον ανδρικό και το γυναικείο πληθυσμό της Ισλανδίας, και δείκτες που αφορούν την αύξηση του μέσου όρου ζωής. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν συγκρίνονται και συσχετίζονται με τα δεδομένα που αφορούν ειδικές περιπτώσεις καταχώρησης γεννήσεων στα σχετικά αρχεία ή καταχώρησης πληθυσμών στα δημοτολόγια των χωρών μετά από πολέμους και σημαντικές μετακινήσεις πληθυσμών ή άλλων ιστορικών γεγονότων που έλαβαν χώρα εκείνη την περίοδο. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Διάφορες προσπάθειες έχουν πραγματοποιηθεί κατά τη διάρκεια των τελευταίων αιώνων για να μοντελοποιήσουν δεδομένα επιβίωσης και την αναπόφευκτη διαδικασία της φθίνουσας πορείας ενός αρχικού πληθυσμού κατά τη διάρκεια του χρόνου. Το παρόν κείμενο μπορεί να θεωρηθεί ως μέρος του ευρύτερου αντικειμένου της μελέτης που αναλύει τα ανάλογα δεδομένα και τις μεθόδους για διάφορες χώρες που οδηγούν σε σημαντικά συμπεράσματα για την διακύμανση των δεδομένων επιβίωσης σε όλη τη γη. Σημαντικά μοντέλα για τη μελέτη αυτού του θέματος είναι τα μοντέλα που προτείνονται από τον Gompertz για να εκφράσουν το νόμο της ανθρώπινης θνησιμότητας και το μοντέλο Weibull ως μοντέλο για να εκφράσει την αποτυχία των στοιχείων σε ένα σύνολο προϊόντων. Ο στόχος αυτής της μελέτης είναι να γίνει αναφορά σε ένα μοντέλο τριών παραμέτρων που να μπορεί να εφαρμοστεί στα δεδομένα επιβίωσης, βασισμένο σε μια στοχαστική θεωρία που παρουσιάζεται σε προηγούμενες μελέτες. Αυτό το άρθρο αποτελείται από τρία μέρη. Αρχικά γίνεται μια σχετική αναφορά και εκτίμηση της συνάρτησης κατάστασης υγείας πληθυσμού. Επιπλέον, θα εξηγηθεί το μοντέλο που εισήχθη από τον Weibull το 1951, και ακολουθεί το τελευταίο - 213 -

μοντέλο, το οποίο στις εργασίες μας το ονομάζουμε «S model» που παρουσιάζεται σε αυτό το άρθρο και έχει προταθεί από τον Χρήστο Σκιαδά. Στο δεύτερο μέρος του άρθρου, το μοντέλο του Weibull και το «S model» θα προσαρμοστούν για τις γυναίκες και το «S model» για τους άνδρες, για τα έτη 1981-2006. Τα αποτελέσματα θα παρουσιαστούν σε πίνακες και γραφικές παραστάσεις. 2. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΥΓΕΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΕΠΙΒΙΩΣΗΣ 2.1 Η Συνάρτηση Κατάστασης Υγείας Εισάγουμε τώρα την βασική έννοια της κατάστασης υγείας στο χρόνο t. Η κατάσταση υγείας είναι μια τυχαία μεταβλητή, S(t), που εκφράζει την υγεία ενός ανθρώπου στο χρόνο t έτσι ώστε εάν έχει μια πάρα πολύ χαμηλή τιμή, εμφανίζεται το γεγονός θάνατος. Για περισσότερη ακρίβεια το γεγονός " θάνατος " ορίζεται ως ο χρόνος στον οποίο η κατάσταση υγείας (S = S(t), t 0) προσεγγίζει για πρώτη φορά ένα ελάχιστο επίπεδο υγείας αποκαλούμενο α, που είναι ένας αυστηρά θετικός πραγματικός αριθμός και αποκαλείται τιμή φράγματος. Η διαδικασία S(t) δέχεται θετικές και αρνητικές τιμές, είναι αύξουσα και φθίνουσα, αλλά ως αποδεκτές τιμές είναι μόνο οι θετικές και μάλιστα εκείνες που είναι μεγαλύτερες από μια χαρακτηριστική ελάχιστη τιμή α που μένει να καθοριστεί. Σε πολλές εφαρμογές μπορεί να ληφθεί η τιμή α=0 ως το ελάχιστο επίπεδο επιβίωσης. Όταν το άτομο (άνθρωπος) γεννιέται, ξεκινά με μια αρχική τιμή S(0) φυσικά, όσο μεγαλύτερη η τιμή του S, καλύτερα είναι για αυτό το άτομο. Το μοντέλο που έχει προταθεί σε προηγούμενες εργασίες (Janssen and Skiadas, 1995), είναι ένα στοχαστικό μοντέλο συνεχούς χρόνου με την κατάσταση υγείας S(t) να δίνεται από την παρακάτω στοχαστική διαφορική εξίσωση: ds(t) = μ(t) dt + σ dw(t) Όπου S(t) είναι μια στοχαστική μεταβλητή που αντιπροσωπεύει την κατάσταση της υγείας ενός ατόμου, μ(t) μια συνάρτηση του χρόνου που εκφράζει την απειροελάχιστη μέση μεταβολή της κατάστασης της ανθρώπινης υγείας, ο όρος σ είναι η απειροελάχιστη τυπική απόκλιση της κατάστασης υγείας και W(t) η διαδικασία Wiener. Λαμβάνουμε την S(t) εύκολα με άμεση ολοκλήρωση της ανωτέρω στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης. Κατόπιν η S(t) δίνεται από: t S t S (s)ds [W(t) W ] 0 0 t0 όπου S(0) είναι η τιμή της S(t) στο χρόνο t = 0. Θεωρούμε ότι η μέση τιμή της S(t) είναι μια συνάρτηση H = H(t) που παρέχεται από: - 214 -

t H(t)=E{S(t)}=S 0+ μ(t)ds Η συνάρτηση μ(t) σχετίζεται με την H(t) από τον τύπο: μ(t)=dh(t)/dt. Η μέση τιμή H(t) ή η μέση κατάσταση της συνάρτησης υγείας κατά τη διάρκεια της ζωής είναι αναμενόμενο να ακολουθεί μια πορεία της γενικής μορφής που απεικονίζεται στο Σχήμα 1. Συμβαίνει μια γρήγορη βελτίωση της κατάστασης της ανθρώπινης υγείας μετά από τη γέννηση του ατόμου όταν η H είναι κοντά σε μια χαμηλή τιμή που παρουσιάζεται από το μηδέν στη γραφική παράσταση και έπειτα ακολουθεί μια περίοδος αργής βελτίωσης και πτώσης. Η συνάρτηση μ(t) ως παράγωγος της H(t) πρέπει να ξεκινάει από πολύ υψηλές τιμές στην αρχή της διάρκειας ζωής για το χρόνο t κοντά στο μηδέν και να μειώνεται συνεχώς φθάνοντας στο μηδέν, όταν η H είναι στο μέγιστο και μετά παίρνει αρνητικές τιμές. Αυτή η συνάρτηση, δεδομένου ότι πρέπει να έχει αρνητική παράγωγο (dμ / dt < 0), εκφράζει την αναπόφευκτη πτώση για την απειροελάχιστη μέση μεταβολή της κατάστασης της ανθρώπινης υγείας και έχει προταθεί από τους Janssen και Skiadas (1995) να καλείται συνάρτηση θνησιμότητας. Η βασική υπόθεση σχετικά με τη συνάρτηση μ(t) είναι ότι η μ(t) μπορεί να εκφράσει δύο ευδιάκριτες χρόνο-διαδικασίες που έχουν σχέση με την κατάσταση της ανθρώπινης υγείας. Η μία διαδικασία αφορά στην πρώτη περίοδο διάρκειας ζωής που μοντελοποιείται από μια συνάρτηση u = u(1/sqr(t)) που πρέπει να μειώνεται γρήγορα με το χρόνο και να εκφράζει τη γρήγορη βελτίωση της κατάστασης της ανθρώπινης υγείας κατά τη διάρκεια των πρώτων ετών μετά από τη γέννηση. Η άλλη διαδικασία είναι μια συνάρτηση v = v(t) (Janssen and Skiadas, 1995), που εκφράζει τη βαθμιαία αύξηση και έπειτα μείωση της κατάστασης της υγείας κατά τη διάρκεια της συνολικής περιόδου της διάρκειας ζωής. Ο παρακάτω τύπος αποδίδει τη συνάρτηση μ(t): μ t=u( 1 t t0 )+vt Σχήμα 1. Συνάρτηση Υγείας H(t) και Συνάρτηση Θνησιμότητας Health State Function H(t), and Deterioration Function μ(t)=dh(t)/dt 30 0-30 μ(t) H(t) Years 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110-215 -

2.2 Μοντέλα Μελέτης Δεδομένων Επιβίωσης Το μοντέλο του Weibull. Η κατανομή Weibull είναι ένα στατιστικό εργαλείο που χρησιμοποιείται συχνά για την επεξεργασία δεδομένων θνησιμότητας εξαιτίας της ευελιξίας της να μιμείται άλλες κατανομές όπως η εκθετική και η κανονική. Ο Weibull μελέτησε την αποτυχία των τεχνικών συστημάτων λόγω χρήσης και φθοράς του χρόνου, η οποία υπονοεί ότι η θνησιμότητα είναι ανάλογη με την ηλικία. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής Weibull είναι: και έχει τη μορφή: g(t; c, B, k) = c(tb) k-1 exp(-tb) k ) k t f(, t k, ) k 1 e k (/ t ) όπου k>0 είναι παράμετρος του σχήματος της κατανομής και λ>0 είναι η παράμετρος κλίμακας. Συνήθως αυτό θεωρείται ως μοντέλο 2-παραμέτρων. Εντούτοις, κατά την εφαρμογή του μοντέλου στα δεδομένα όπως συμβαίνει σε αυτήν την μελέτη εισάγεται μια πρόσθετη παράμετρος c = k/l. Κατόπιν το μοντέλο παίρνει την ακόλουθη μορφή 3- παραμέτρων: k 1 t f(, t k, ) c e k (/ t ) όπου η παράμετρος c θα καθοριστεί όταν γίνει προσαρμογή του μοντέλου στα δεδομένα. Η Weibull παράμετρος k του σχήματος, δείχνει εάν το ποσοστό αποτυχίας αυξάνεται, σταθερά ή μειούμενα. Αν k <1,0 η κατανομή δείχνει ότι το προϊόν έχει ένα μειούμενο ποσοστό αποτυχίας. Αν k=1,0 η κατανομή δείχνει ένα σταθερό ποσοστό αποτυχίας. Αν k >1,0 δείχνει ένα αυξανόμενο ποσοστό αποτυχίας. Όταν k=3,4 η κατανομή Weibull εμφανίζεται παρόμοια με την κανονική κατανομή. Τέλος όταν k=1, τότε η κατανομή Weibull καταλήγει στην εκθετική κατανομή. Το προτεινόμενο μοντέλο «S model». Σε προηγούμενες μελέτες προτάθηκε ένα γενικό μοντέλο, βασισμένο στη θεωρία του hitting time μιας στοχαστικής διαδικασίας σε ένα εμπόδιο που βρίσκεται σε μια απόσταση α από τον οριζόντιο άξονα που εκφράζει την ηλικία του ατόμου (Janssen and Skiadas, 1995; Skiadas, 2006). Η στοχαστική μεταβλητή S(t) εκφράζει την κατάσταση υγείας του ατόμου ενώ, η μέση τιμή της διαδικασίας αυτής Η(t) εκφράζει την κατάσταση υγείας του πληθυσμού. Αυτό το μοντέλο, για την περίπτωση της κατάστασης της ανθρώπινης υγείας, έχει την ακόλουθη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (Skiadas, 2006):, - 216 -

* a * 2 * (a H(t)) g(t ) k exp 3 2 2t 2 t (1) όπου α* = α-η(0) και k* είναι μια σταθερά κανονικοποίησης που καθορίζεται από τον τύπο: g(t )dt 1, όπου H(t) είναι η μέση τιμή της S(t) και σ η τυπική απόκλιση. 0 Αυτό το μοντέλο εφαρμόστηκε επιτυχώς σε δεδομένα επιβίωσης. Μια σημαντική διαφορά του μοντέλου «S model» από τα υπόλοιπα απλούστερα μοντέλα είναι ότι μοντελοποιεί τη συνολική περίοδο ζωής συμπεριλαμβανομένων των πρώτων σταδίων της ανθρώπινης ζωής. Η εφαρμογή αυτού του μοντέλου δείχνει ότι η μορφή της συνάρτησης κατάστασης υγείας για πολύ καιρό είναι κυρίως οριζόντια και αργά μειούμενη. Πρέπει να υπογραμμίσουμε τη σημασία του γεγονότος ότι όταν αναπτύξουμε την άγνωστη συνάρτηση κατάστασης υγείας H(t) σε μια σειρά Taylor, το γρήγορα μειούμενο μέρος της συνάρτησης θα μπορούσε να εκφραστεί απλά από έναν όρο που έχει έναν μεγάλο εκθέτη. Αυτό σημαίνει ότι μια συνάρτηση της ακόλουθης μορφής θα μπορούσε να αποτελεί απλή αλλά αρκετά καλή προσέγγιση της πραγματικότητας: όπου c, l και b είναι θετικές παράμετροι. Ht () c ( lt) b, Για b > 0 βλέπουμε ότι η H(t) είναι μια φθίνουσα συνάρτηση. Ειδικά για b >> 1, τότε H(t) είναι μια γρήγορα μειούμενη συνάρτηση. Η εξίσωση (1) παίρνει την ακόλουθη μορφή εάν αντικαταστήσουμε την παραπάνω έκφραση της H(t): g(t;k,l,a,b ) k(lt ) exp b 2 3/2 (a (lt) ) όπου a = a* + c, k είναι η νέα σταθερά ολοκλήρωσης και η σ συμπεριλαμβάνεται στις παραμέτρους k, a και l. Χωρίς απώλεια γενικότητας, σε πολλές εφαρμογές θα μπορούσε να υποτεθεί ότι σ = 1. 3.ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ «S MODEL» ΚΑΙ «WEIBULL MODEL» ΣΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΠΙΒΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΙΣΛΑΝΔΙΑΣ. Προκειμένου να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας για τα δεδομένα επιβίωσης της Ισλανδίας (http://www.mortality.org), χρησιμοποιούμε το πρόγραμμα R που που μπορεί να προσαρμόζει τα δυναμικά μοντέλα «S model» και το μοντέλο του Weibull, για τους άνδρες και τις γυναίκες, κατά τη διάρκεια των τελευταίων δεκατριών - 217-2t

περίπου ετών (1981-2006) πραγματοποιώντας μη γραμμική παλινδρόμηση. Τα δεδομένα επιβίωσης (raw data) που χρησιμοποιούνται για την προσαρμογή είναι εκείνα που εκφράζουν το στιγμιαίο ποσοστό θνησιμότητας d(x). Αναλόγως, εάν τα δεδομένα επιβίωσης που εξετάζουμε είναι για τους ανδρικούς ή γυναικείους πληθυσμούς επιλέγεται να χρησιμοποιηθεί μια διαφορετική τιμή του b (b = 4 για άνδρες και b=5 σε γυναίκες, Skiadas και Skiadas, 2006). Πινακας 1. Αποτελέσματα του «S model» του Weibull για τις γυναίκες Πινακας 2. Αποτελέσματα του και «S model» για τους άνδρες Model '' S '' Model '' S '' Year k l α μέσο τετραγωνικό σφάλμα 1981 0,09 0,026 22,228 656,281 1982 0,075 0,025 20,491 994,704 1983 0,085 0,025 21,491 1032,696 1984 0,074 0,025 19,35 872,835 1985 0,085 0,025 21,214 777,228 1986 0,079 0,025 21,15 1092,835 1987 0,083 0,025 20,53 1295,873 1988 0,092 0,025 21,122 882,811 1989 0,087 0,025 20,863 924,579 1990 0,076 0,024 19,436 936,348 1991 0,085 0,025 21,104 862,088 1992 0,093 0,025 21,333 928,121 1994 0,086 0,025 20,743 739,988 1996 0,098 0,025 21,476 1163,894 1997 0,098 0,025 21,977 951,225 1999 0,119 0,025 23,665 1361,511 2000 0,103 0,025 21,525 1044,373 2001 0,09 0,025 21,88 953,072 2006 0,012 0,025 22,785 1295,8 W eibull Year c k Β μέσο τετραγων ικό σ φ άλμ α 1981 77 9,454 0,012 672,983 1992 81 8,860 0,012 971,173 2006 96 9,744 0,011 1333,359 μέσο τετραγωνικό σφάλμα Year k l α 1981 0,074 0,025 17,005 1.448,035 1982 0,069 0,025 16,983 1.013,746 1983 0,078 0,025 17,036 1.161,510 1984 0,07 0,025 17,025 1.005,021 1985 0,079 0,025 18,310 728,587 1986 0,071 0,025 17,248 1.095,956 1987 0,088 0,025 19,098 1.105,140 1988 0,081 0,025 17,488 1.173,654 1989 0,086 0,025 19,102 865,800 1990 0,08 0,025 18,116 1.178,339 1992 0,078 0,025 18,169 1.061,425 1993 0,084 0,025 18,865 1.057,921 1994 0,089 0,025 19,548 914,199 1995 0,093 0,025 18,925 1.033,763 1996 0,1 0,025 19,632 1.235,308 1997 0,091 0,025 18,329 1.376,606 1998 0,1 0,025 20,184 713,914 1999 0,093 0,025 19,217 731,598 2000 0,079 0,025 18,344 1.201,993 2001 0,09 0,025 19,337 1.416,443 2002 0,101 0,025 20,638 850,963 2003 0,096 0,025 20,359 824,525-218 -

Από τους ανωτέρω πίνακες είναι σαφές ότι σε όλες τις εφαρμογές η προσαρμογή των δεδομένων ήταν αρκετά καλή δεδομένου ότι οι συντελεστές προσδιορισμού R 2 είναι από 99,7% έως 99,8%. Υπάρχει μια βελτίωση στα εκτιμηθέντα μέσα τετραγωνικά σφάλματα, στην Ισλανδία για τους άνδρες και τις γυναίκες, όσο περνά ο χρόνος. Επίσης δεν υπάρχουν σημαντικές διαφορές στις εκτιμήσεις λάθους μεταξύ των ανδρών και των γυναικών και των χρονικών περιόδων. Από την άλλη πλευρά υπάρχουν σαφείς διαφορές στις κατ' εκτίμηση παραμέτρους μεταξύ των ανδρών και των γυναικών. Η παράμετρος k είναι χαμηλότερη για τους άνδρες απ' ό,τι για τις γυναίκες ενώ η παράμετρος α παρουσιάζει πάρα πολύ υψηλότερες απόλυτες τιμές για τις γυναίκες σε σύγκριση με τους άνδρες. Αυτό σημαίνει ότι το ποσοστό θνησιμότητας για τους άνδρες και τις γυναίκες ακολουθεί διαφορετικές γραφικές παραστάσεις. Το μοντέλο S παρουσιάζει καλύτερη συμπεριφορά εφαρμογών έναντι του Weibull model για όλα τα έτη που μελετώνται. Ένα άλλο ενδιαφέρον σημείο είναι να ανακαλύψουμε πότε η τιμή της συνάρτησης κατάστασης υγείας H(t) γίνεται μηδέν, τη χρονική στιγμή αυτή την ονομάζουμε T. Αυτό επιτυγχάνεται όταν Τ = α 1/b /l. Δεδομένου ότι έχουμε υπολογίσει τις παραμέτρους του μοντέλου, είναι εύκολο να κατασκευάσουμε τις γραφικές παραστάσεις και να υπολογίσουμε τον χρόνο στον οποίο επιτυγχάνεται η μέγιστη κατάσταση υγείας. Η μέγιστη κατάσταση υγείας H max επιτυγχάνεται στο χρόνο T m, όταν μ(t) = 0. Το ακόλουθο διάγραμμα επεξηγεί τα μη επεξεργασμένα δεδομένα για την Ισλανδία για το έτος 2006, το οποίο είναι το πιο πρόσφατο έτος στην ανάλυσή μας, και περιλαμβάνει τα δύο μοντέλα για τις γυναίκες, μαζί με τις καμπύλες που εκφράζουν το S model και το Weibull model: Σχήμα 2. Συγκριτικό διάγραμμα του S model και του Weibull model για τις γυναίκες της Ισλανδίας για το έτος 2006 females of Iceland 2006 50 45 40 35 30 25 20 15 females 2006 OurPrediction W eib ullp redictio n 10 5 0 1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 ages - 219 -

Για τους άνδρες ο κύριος λόγος του σφάλματος οφείλεται στις διακυμάνσεις γύρω από το σημείο μέγιστου ποσοστού θανάτου, καθώς επίσης και στους θανάτους στις ηλικίες 18-28 έτη, οι οποίοι οφείλονται συνήθως στα ατυχήματα και άλλους λόγους. Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε, και τα δύο μοντέλα κάνουν τις ίδιες προβλέψεις για τις γυναίκες και προσεγγίζουν τους θανάτους τους κατάλληλα. Ακόμα κι αν τα δύο μοντέλα φθάνουν πολύ κοντά στην πραγματικότητα, η πρόβλεψή μας ήταν πάλι καλύτερη για αρκετό διάστημα 33-73 έτη. Πίνακας 3. Κρίσιμη ηλικία T Συνάρτηση Κατάστασης Υγείας = 0 2006 Άνδρες 82 Γυναίκες 89 Τελικά, ο μέγιστος ρυθμός θανάτων για τους άνδρες είναι 80 έτη, ενώ των γυναικών είναι 85 έτη. Για τις γυναίκες η πρόβλεψή μας για το μέγιστο ρυθμό θανάτων είναι τα 89 έτη και από τα δύο μοντέλα. Κατά συνέπεια, ο μέγιστος ρυθμός θανάτων εμφανίζεται σε μεγαλύτερες ηλικίες στις γυναίκες από τους άνδρες και όπως και στην κρίσιμη ηλικία T. 5.ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ο στόχος αυτού του άρθρου ήταν να αναλυθούν οι πίνακες δεδομένων επιβίωσης της Ισλανδίας από 1855 έως το 2006, προκειμένου να εξαχθούν χρήσιμα συμπεράσματα. Τα μοντέλα που εφαρμόζονται έχουν παρόμοιες ιδιότητες που τα καθιστούν χρήσιμα για την μελέτη δεδομένων επιβίωσης και αύξησης του μέσου όρου ζωής. Εξετάσαμε και συγκρίναμε το μοντέλο S και το μοντέλο του Weibull. Πρέπει να επισημάνουμε ότι όλα τα μοντέλα δείχνουν τη βαθμιαία αύξηση του μέσου όρου ζωής και για τους άνδρες και για τις γυναίκες κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα. Επιπλέον, αποτελεί σημαντικό επίτευγμα η βελτίωση της υγείας των πληθυσμών και η μείωση της θνησιμότητας των νηπίων. ABSTRACT In this study, a methodology of stochastic processes for life data table analysis of European Union population is applied, focusing in life data table of Iceland. In a detailed report, the ''health state function'' is evaluated. Significant conclusions about different characteristics in mortality between males and females in Iceland are recorded and some indexes related to the average rate of life are proposed. Data extracted are correlated and compared to them from special cases of birth records in life data tables or population records in countries after wars, major population shifts or other important historical events which took place during that period - 220 -

ΑΝΑΦΟΡΕΣ Janssen J. and Skiadas C. H. (1995). Dynamic modelling of life-table data. Applied Stochastic Models and Data Analysis, 11(1), 35 49. Skiadas, C., Matalliotakis G. and Skiadas C.H. (2007). An extended quadratic health state function and the related density function for life table data. Recent advances in stochastic modelling and data analysis. World Scientific, 360-369. Skiadas, C.H. (2006). The Development of the Expected Life Time in Greece During Last Decades: An Application of a Dynamic Model of Life Table Data. 4th Conference in Actuarial Science & Finance on Samos, September 14-17. Skiadas, C.H. (2006). Stochastic modelling of Greek life table data. Communications in Dependability and Quality Management, 9(3), 14 21. Skiadas, C.H. (1985). Two generalized rational models for forecasting innovation diffusion. Technological Forecasting. & Social Change, 27, 39 61. Skiadas, C.H. and Skiadas, C. (2007). A Modelling Approach to Life Table Data Sets. Recent advances in stochastic modelling and data analysis. World Scientific, 350-359. - 221 -