ΑΣΚΗΣΗ 8 ΕΟΜΕΝΑ: Για το φορέα του σχήματος να μορφωθούν τα διαγράμματα, Q, N για ομοιόμορφο φορτίο και θερμοκρασιακή φόρτιση. ίνονται: 50 KNm I/ A 0, T T 5 C 0 h 0,5m 5 C l l 0m T a t 5 C / C ΕΠΙΛΥΣΗ: Εύρεση στατικής αοριστίας Βαθμός στατικής αοριστίας: n a z -p, όπου a 9 (αριθμός των αντιδράσεων) z (δυνάμεις μεταβιβάσεως - για κάθε εσωτερική άρθρωση) και p (αριθμός δίσκων) n φορές στατικώς αόριστο Ο φορέας είναι τέσσερις φορές υπερστατικός. Επιλέγοντας ως υπερστατικά μεγέθη τις αξονικές δυνάμεις των ελκυστήρων και την κατακόρυφη και οριζόντια αντίδραση της μιας άρθρωσης, καταλήγουμε στον εξής θεμελιώδη φορέα: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkum
{ } X { } X { } X { } X ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkum
Επίλυση του φορέα μόνο με εξωτερικά φορτία (Χ X Χ Χ 0) x y 0 H 0 V 0 V 5,5 7,5KN 0 (5,5) (7,5 0) V Μόρφωση διαγραμμάτων 0,Q0, N0,5 0 V 5,5KN V -5KN [Μ 0 [Q 0 [N 0 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkum
Επίλυση του φορέα χωρίς εξωτερικά φορτία και για Χ x y 0 H 0 V V 0 V 0,5,5 0 V Μόρφωση διαγραμμάτων, Q, N KN V ΚΝ [ [ Q [ N ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkum
Επίλυση του φορέα χωρίς εξωτερικά φορτία και για Χ x y 0 H 0 V V 0 V 0,5 7,5 0 V Μόρφωση διαγραμμάτων, Q, N 0,6KN V,6ΚΝ [ [ Q [ N ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkum 5
Επίλυση του φορέα χωρίς εξωτερικά φορτία και για Χ x y 0 H 0 V V 0 V 0 H 0,5 0 V KN 0 V 0 Μόρφωση διαγραμμάτων, Q, N [ [ Q [ N ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkum 6
Επίλυση του φορέα χωρίς εξωτερικά φορτία και για Χ x y 0 H 0 V 0 V 0 5 V 0,5 0 V -0,6KN V -0,KN Μόρφωση διαγραμμάτων, Q, N [ [ Q [ N ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkum 7
Με τη μέθοδο του μοναδιαίου φορτίου υπολογίζουμε για κάθε περίπτωση φόρτισης τις (s) μετατοπίσεις του θεμελιώδους φορέα που αντιστοιχούν στα υπερστατικά μεγέθη που επιλέξαμε. Η διαφορά της θερμοκρασίας (εσωτερικής και εξωτερικής) και η μεταβολή αυτής στον άξονα των μελών του φορέα είναι: για τις ράβδους -, -, -, -7: για τις ράβδους -5, 5-6 και τους ελκυστήρες: δτ Τ Τ T δτ Τ Τ T Τ Τ Τ Τ 5 5 0 C ο 5 5 Τ 0 ο 5 5 0 C Τ ο ο ο C 5 5 0 ο C ~ δ R ~ s (L t ) X X X X (s) () a/a Πραγματική φόρτιση υνατή φόρτιση L L X X X X X X X X X t X X t L N ατdx 5 5 όπου 0 0 0 N N dx dx P P0f P 0 α h EA δτdx 0 0,5 { 5 0 0 (,789 5,59)0 0} 0,0655 C P f και C φ 0, εφόσον δεν υπάρχουν ελατήρια. NN 5 L dx { ( 5) ( 70, 8,5)} EA 6 Άρα 0 5,59 ( 0) ( 0),5 5 0,0859 Oμοίως 5 0 N 5 0 5,59 dx dx { ( 5) ( 5)} ( 0) ( 0) 5 5 EA { } 0, 0008 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkum 8 φ
NN 0 0 dx dx ( 0) ( 5 5) ( 0) ( 6) EA 6 5,59 5 0,06 5,59 dx 5 5 0,0009 0 5,59 dx ( 0) ( ) 5 (,5) 0,0087 R ~ (s) ~ δ s 0, αφού δεν υπάρχουν αρχικές μετατοπίσεις ή στροφές στηρίξεων. ~ δ R ~ s ( L t ) X X X X (s) () a/a Πραγματική φόρτιση υνατή φόρτιση L L X X X X X X X X X t X X α t N ατdx δτdx h 0 0 0 0 6 0 0,0999 0,5 L {(, 5,59) 0 0 ( 5) 0 0} 0 dx ( 0) ( 5 8,5) 6,5 0,5668 5,59 Oμοίως 5 0 { } 0, 00967 0 ( 6) ( 0) N 0 0 5,59 dx dx { ( 0) ( 0)} ( 6) ( 6) EA 5,59 dx 5 0,00075 0 5,59 dx ( 6) ( ) (,5) ~ δ R ~ s 0 (s) 0,0076 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkum 9
~ δ R ~ s ( L t ) X X X X (s) () a/a Πραγματική φόρτιση υνατή φόρτιση L L X X X X X X X X X t X X t L α N ατdx δτdx { 0,7 5,59} 0 h 5,59 dx 5,5 0,06 5,59 Oμοίως dx 5 5 0, 0086 5,59 5,59 dx 5 (,5) 5,5 (s) ~ δ R ~ s 0 0 0 0,000997 0,00086 ~ δ R ~ s ( L t ) X X X X (s) () a/a Πραγματική φόρτιση υνατή φόρτιση L L X X X X X X X X X t X X ( 0 ) 0 t L N ατdx 0 0,5 α δτdx (0,57 5,59 0,89 5,59) 0 h 0,008996 0 5,59 0 dx (,5),5 ( ) ( 0) 0,066 Oμοίως 0 5,59 5,59 dx ( ) ( ) (,5) (,5),5,5 (s) ~ δ R ~ s 0 0,008 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkum 0
Από (), (), ()και (), έχουμε: 0,0655 0,0859 0,0008X 0,0999 0,5668 0,06X 0,000997 0,06 0,0009X 0,008996 0,066 0,0087X 0,06X 0,0076X 0,00967X 0,00075X 0,0009X 0,00086X 0,00075X 0,0086X 0,0087X 0,0076X 0,00086X 0,008X Τελικά: X,56 KN, X 6,5 KN, X, 6 KN, X 6,5KN Υπολογισμός εντατικών μεγεθών σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας: Ροπές Κάμψης Μ Μ Μ 0 0X 0X 0X 0X 0 5 6 7,5 5X 0X 0X 0X,5 5,56,5KNm Μ 8,5 Χ 0Χ 0X 0X 8,5 5,56 0 6,5,5ΚΝm αρ. Μ 0 0Χ 6Χ 0Χ Χ 50 0,56 6 6,5 6,5 67,ΚΝm δεξ. Μ,5 5Χ Χ 5Χ,5Χ,5,56 6,5 κάτω/ αρ. 5,6,5 6,5 60,ΚΝm Μ 0 0Χ 0Χ 5Χ,5Χ 5, 6,5 6,5 5,05ΚΝm κάτω/ δεξ. Τέμνουσες υνάμεις Q Q 0 0X 0X 0X 0X 0 αρ. Q 0 Χ 0X 0X 0X,56KN δεξ Q,5 Χ 0X 0X 0X,5,56 0,9KN αρ. Q,5 Χ X 0X 0X,5,56 6, 5 7,9ΚΝ δεξ Q 7,5 X X 0X 0X 7,5,56 6,5 6,9ΚΝ αρ. Q 5 Χ 0,6X 0X 0, X 5,56 0,6 6, 5 0, 6,5 6,7ΚΝ Q δεξ 7 Q,5 0,9X 0,7X 0,9X 0, 68X,5 0,9,56 0,7 6, 5 κάτω/ αρ. 0,9, 6 0,68 6,5 6,9ΚΝ Q κάτω/ δεξ. 5 Q 0 0X 0X 0,9X 0,7X 0,9, 6 0, 7 6,5 0,9ΚΝ Q 6 Αξονικές υνάμεις & υνάμεις Ελκυστήρα αρ. δεξ. αρ. δεξ. αρ. δεξ. N Ν Ν N Ν N Ν N 0 7 Ν 6,96,789Χ, X 0, 7X 0,57X 6,96,789,56 κάτω/ αρ., 6, 5 0, 7,6 0,57 6,5 8,6ΚΝ N X X X κάτω/ δεξ. Ν 0 0Χ 0 0, 7 0,89 0, 6 S S,56KN 6,5KN 5 7,6 0,89 6,5 7,7ΚΝ N ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkum
Μόρφωση τελικών διαγραμμάτων,q,n [Μ [Q [N ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkum