ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α - Β) = Ρ (Α) - Ρ (Α Β). Μονάδες 8,5 Α.2. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε καθεµιά από αυτές µε το κατάλληλο σύµβολο, έτσι ώστε να είναι αληθής: α. Ρ (Α )... 1 - Ρ(Α) β. αν Α Β τότε Ρ(Β)... Ρ(Α). Μονάδες 2 Μονάδες 2 Β.1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Τα Α και Β είναι ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω και Α το αντίθετο του ενδεχοµένου Α. α. Αν Α Β τότε Ρ(Α) + Ρ(Β) < 1. β. Αν Ρ(Α) = Ρ(Α ) τότε 2Ρ(Α) = Ρ(Ω). Β.2. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μονάδες 4 Αν Α Β, Ρ(Α) = και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: α. β. γ. δ.. Μονάδες 2,5 Β.3. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Τα Α και Β είναι ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω και ισχύει ότι Ρ(Α) =, Ρ(Β) = και Ρ(Α Β) =. α. Ρ (Α - Β) Στήλη Α Στήλη Β 1.
β. Ρ 2. γ. Ρ 3. 4. 5. ΘΕΜΑ 2ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = συνx + ηµx. A. Να αποδείξετε ότι f(x) + f (x) = 0. Μονάδες 8 Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α (0,1). Μονάδες 8 Γ. Να βρείτε την τιµή λ R για την οποία ισχύει η σχέση: ΘΕΜΑ 3ο Μονάδες 9 Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανοµή των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων του βάρους 80 µαθητών της Γ τάξης ενός Λυκείου. Τα δεδοµένα έχουν οµαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις. Βάρος σε κιλά ( - ) Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i 45-55 0,2 55-65 0,5 65-75 75-85 Α. Αν γνωρίζετε ότι η σχετική συχνότητα της τρίτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της πρώτης κλάσης, να βρείτε τις τιµές της αθροιστικής σχετικής συχνότητας που αντιστοιχούν στην τρίτη και τέταρτη κλάση. Β. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή των παραπάνω δεδοµένων. Μονάδες 8 Μονάδες 9
Γ. Επιλέγουµε τυχαία από το δείγµα των 80 µαθητών ένα µαθητή. α. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει βάρος µικρότερο από 65 κιλά. ΘΕΜΑ 4ο Μονάδες 4 β. Να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής να έχει βάρος µεγαλύτερο ή ίσο των 55 κιλών και µικρότερο των 75 κιλών. Μονάδες 4 Σε έρευνα που έγινε στους µαθητές µιας πόλης, για τον χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των µαθητών χρειάζεται περισσότερο από 12 λεπτά, ενώ το 16% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 10 λεπτά. Υποθέτουµε ότι η κατανοµή του χρόνου της διαδροµής είναι κατά προσέγγιση κανονική. Α. Να βρείτε το µέσο χρόνο διαδροµής των µαθητών και την τυπική απόκλιση του χρόνου διαδροµής τους. Β. Να εξετάσετε, αν το δείγµα είναι οµοιογενές. Γ. Αν οι µαθητές της πόλης είναι 4.000, πόσοι µαθητές θα κάνουν χρόνο διαδροµής από 14 έως 16 λεπτά.. Μια µέρα, λόγω έργων στον κεντρικό δρόµο της πόλης, κάθε µαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρείτε πόσο µεταβάλλεται ο συντελεστής µεταβολής (CV). Μονάδες 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o Α.1 Θεωρία. Σχ.Βιβλίο. Σελ. 152 Α.2 α) P(A ) = 1 - P(A) β) A B Τότε P(B) P(A) B.1 α) (Λ) β) (Σ) Β.2 (β) Β.3 α=2 β=5 γ=3
ΘΕΜΑ 2o Α. f(x) = συνχ +ηµχ f (x) = - ηµχ + συνχ f (x) = - συνχ - ηµχ Εποµένως f(x) + f (x) = (συνχ +ηµχ) +( - συνχ - ηµχ) = (συνχ +ηµχ - συνχ - ηµχ) = 0 Β. Η εφαπτοµένη της καµπύλης της f. στο σηµείο της µε x =0 έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο µε f (0) =1. Εποµένως η εξίσωσή της είναι y = 1x +Β. Επειδή όµως το σηµείο (0, f(0) ) =(0, 1) ανήκει στην εφαπτοµένη, έχουµε : 1 =1 0 +Β Β = 1 Αρα η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y = x +1. Γ. ή λ(-1) - 2 1 = 2 ή - λ = 4 ή λ = - 4 ΘΕΜΑ 3o Βάρος σε κιλά ( - ) Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i Σχετική Συχνότητα f i Κεντρικές τιµές x i x i f i 45-55 0,2 0,2 50 10 55-65 0,5 0,3 60 18 65-75 0,9 0,4 70 28 75-85 1 0,1 80 8 ΣΥΝΟΛΟ - 1 64 Α. Οι σχετικές συχνότητες είναι: f 1 = F 1 = 0,2 f 2 = F 2 - F 1 = 0,5-0,2 = 0,3 f 3 = 2f 1 = 2 0,2 = 0,4 f 4 = 1 - (f 1 + f 2 + f 3 ) = 0,1 B. Γ. α) Η πιθανότητα ενός µαθητή να έχει βάρος µικρότερο από 65 κιλά είναι 0,20 + 0,30 = 0,50.
β) Η πιθανότητα ένας µαθητής να έχει βάρος µεγαλύτερο ή ίσο των 55 κιλών και µικρότερο των 75 κιλών είναι 0,3 + 0,4 = 0,7. ΘΕΜΑ 4o Α. Αφού το 50% περίπου των µαθητών χρειάζεται περισσότερο από 12 λεπτά και η κατανοµή είναι κατά προσέγγιση κανονική, είναι. Αφού το 16% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 10 λεπτά, το 100% - (50% + 16%) = 34% χρειάζεται χρόνο από 10 έως 12 λεπτά. Οπότε έχουµε. Β. Ο συντελεστής µεταβολής είναι:. Επειδή CV>10% το δείγµα είναι ανοµοιογενές. Το ποσοστό των µαθητών µε χρόνο διαδροµής από 14 έως 16 λεπτά είναι. Γ. Οι µαθητές της πόλης που θα κάνουν τη διαδροµή στο συγκεκριµένο χρόνο είναι 4000 0,135 = 540.. Ο συντελεστής µεταβολής που υπολογίσαµε στο β ερώτηµα είναι. Αφού κάθε µαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά η νέα µέση τιµή αυξήθηκε κατά 5 λεπτά. ηλαδή. Η τυπική απόκλιση παραµένει αµετάβλητη. Αρα ο νέος συντελεστής είναι:.
Η µεταβολή του συντελεστή µεταβολής είναι: ή 4,9% περίπου, δηλαδή µειώνεται περίπου 4,9%. Επιµέλεια: Α. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΣ ΒΙ ΑΛΗΣ Ι. ΓΚΟΥΜΑΣ Π. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Α. ΚΟΥΣΗΣ Π. ΜΑΜΑΛΗΣ Π. ΜΑΡΜΟΥΤΖΑΚΗΣ. ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ Σ. ΠΑΡΙΑΝΟΣ Σ. ΤΖΩΡΤΖΙΝΗΣ Ι. ΦΙΛΙΟΓΛΟΥ Β. ΦΩΤΟΥ Φ.