ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Μονάδες 7 Α. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Μονάδες 4 Α3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0 A τοπικό μέγιστο; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα β) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς. γ) Αν είναι lim f() =, τότε f()<0 κοντά στο 0 0
δ) ( ), 0 ε) β α f()g ()d = [f()g()] β α β α f ()g()d, όπου f,g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] Μονάδες 0 Απάντηση Α. Θεώρημα μονοτονίας Α. Ορισμός Α3. Ορισμός Α4. α)σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z z 4 () w 5w () Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = Β. Αν z, z είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με z z, τότε να βρείτε το z z. Μονάδες 7 Β3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη
y με εξίσωση και στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη 9 4 και την ελάχιστη τιμή του w. Β4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: z w 4 Απάντηση Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η ισότητα: απόδειξη). z z z z z z (σ) (θέλει Β. Έχουμε ( ) z z 4 z 4 z. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z είναι κύκλος με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ=. ή Αν Μ η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο και Α(,0), Β(-,0) τότε η () είναι ισοδύναμη με την ΜΑ +ΜΒ =ΑΒ. Το ΑΒ φαίνεται από το Μ υπό ορθή γωνία οπότε ο γεωμετρικός τόπος των Μ είναι κύκλος με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ=. Β. Από την ( ) έχουμε: z z z z z z z z z z ή Αφού οι z, z κινούνται στον παραπάνω κύκλο και z z το τρίγωνο με ΟΑΒ με Α την εικόνα του z και Β την εικόνα του z είναι ορθογώνιο στο Ο. Άρα z z OA OB OM. w yi w 5w yi 5 5yi 4 6yi 3y 6 Β3. Έχουμε y 4 9y 6 4 9y 36 () 9 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w είναι έλλειψη με μήκη αξόνων α=6, β=4 3
Είναι w 5w και w 5w w 5w 6 w Άρα 6 w w. Αν w yi w y 4 y 4 και από τη () έχουμε 0 δηλαδή η ελάχιστη τιμή του w είναι το.. Άρα w iή w i Είναι w 5w και w 5w w 5w 4 w Άρα 4 w w 3 Αν w yi w 3 y 9 9 y και από τη () έχουμε 0 έτσι η μέγιστη τιμή του w είναι το 3. y.άρα w 3ή w 3 και ή Οι εικόνες των w απέχουν από το κέντρο της έλλειψης περισσότερο απ ότι οι κορυφές της Β(0,) και Β (0,-) και λιγότερο απ ότι οι κορυφές της Α(3,0) και Α (-3,0). Συνεπώς το ελάχιστο του w είναι και συμβαίνει όταν w iή w i και το μέγιστο του w είναι 3 και συμβαίνει όταν w 3ή w 3. ή 36 4 36 4 y y y 9 9 w yi 9 4, 3,3 36 4 36 5 w y w w f ( ) 9 3 Μελετώντας την μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f προκύπτει το μέγιστο και το ελάχιστο του w Β4. Είναι w 3 3 w και z άρα 3 z w z w z w και εφόσον z w z w θα είναι: z w. Ακόμα z w z w 3 4. Άρα z w 4 4
ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f() = ( - ) ln -, >0 Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ =(0,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ =[,+ ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ακριβώς δύο θετικές ρίζες. - 03, >0 έχει Γ3. Αν, με < είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 (, ) τέτοιο, ώστε f ( 0 ) + f( 0 ) = 0 Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = f() + με >0, τον άξονα και την ευθεία =. Μονάδες 7 Απάντηση Γ. Είναι f ( ) ln ln, 0. Για 0 είναι ln 0, 0 και συνεπώς f ( ) 0 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,. Για είναι ln 0, 0 και συνεπώς f ( ) 0 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο 0, και έτσι το σύνολο τιμών της στο 0, είναι το f 0, f (), lim f ( ), 0 5
Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο, και έτσι το σύνολο τιμών της στο, είναι το f, f (), lim f ( ), Τελικά f 0,, Γ. Είναι 03 03 f f, 0 ln ln ( ) ln 03 ( ) 03 ( ) 0 Η εξίσωση f( ) 0 έχει μία μοναδική ρίζα στο 0,, διότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και το σύνολο τιμών της είναι το f 0, f (), lim f ( ),. 0 Η εξίσωση f( ) 0 έχει μία μοναδική ρίζα στο,, διότι η f είναι γνησίως αύξουσα και το σύνολο τιμών της είναι το f, f (), lim f ( ),. Γ3. Έστω η συνάρτηση h( ) f ( ) f ( ) 0,, η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Είναι h( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) 0, διότι η f είναι αρνητική στο 0, όπου βρίσκεται η. Είναι h( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) 0 διότι η f είναι θετική στο, όπου βρίσκεται η Από θεώρημα Bolzano έπεται το ζητούμενο. ή εφαρμόζουμε το θεώρημα Roll στο διάστημα, για τη συνάρτηση h( ) f ( ) 0 Γ4. Είναι g( ) f ( ) ( )ln 0, 0,, αφού ( ), ln είναι ομόσημοι αριθμοί για κάθε 0, και το ίσον ισχύει μόνο για Έτσι, το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι: E( ) ( )ln d ( ) ln d ln ln d 3 ( ) d.. 4 4 4 4 6
ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+ ) R, η οποία για κάθε >0 ικανοποιεί τις σχέσεις: f() 0 -+ f(t)dt nt t n = dt f(t) f(t) Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Μονάδες 0 Αν είναι f() = - (ln - ), >0, τότε: Δ. Να υπολογίσετε το όριο: lim f() ημ f() 0 f() Μονάδες 5 Δ3. Με τη βοήθεια της ανισότητας ln -, που ισχύει για κάθε >0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F() f(t)dt, >0 α όπου α>0, είναι κυρτή (μονάδες ). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F() + F(3) > F(), για κάθε >0 (μονάδες 4). Δ4. Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β>0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (β,β) τέτοιο ώστε: F(β) + F(3β) = F(ξ) Μονάδες 4 7
Απάντηση Δ. Έστω h( ) f ( t) dt, 0, Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων και h ( ) f ( )( ), 0, Από την δοσμένη ανισότητα προκύπτει ότι: h( ) h(), 0,, δηλαδή η συνάρτηση παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο οπότε από Frmat ισχύει: h () 0 f () Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, και f ( ) 0, 0, Έτσι, θα πρέπει να διατηρεί σταθερό πρόσημο στο 0,. Όμως f () και συνεπώς f ( ) 0, 0, ή για το πρόσημο της συνάρτησης f μπορούμε να ακολουθήσουμε και την εξής διαδικασία: Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, και f ( ) 0, 0, Έτσι, θα πρέπει να διατηρεί σταθερό πρόσημο στο 0,. Έστω ότι f ( ) 0, 0, Από την ανισότητα -+ f(t)dt και για προκύπτει ότι 3 f(t)dt 4 4 το οποίο είναι άτοπο διότι η f είναι θετική στο διάστημα f(t)dt 0. Άρα πρέπει f ( ) 0, 0, 3 4 3, 4 και έτσι θα έπρεπε 8
Έστω ln t t g( ) dt, 0, f() t. Ισχύει: ln g( ). f ( ), 0, (). Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη και g( ) 0, 0,, αφού το πρώτο μέλος της ισότητας () είναι αρνητικό: ln, 0, Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Για την g έχουμε: () ln g ( ) g( ) g( ) c, 0, f( ) Όμως g() οπότε g( ), 0, και f ( ) (ln ), 0 Δ. Έστω f( ) y, 0 Είναι y 0 και lim y lim lim 0 f ( ) ln 0 0 0 αφού lim ln 0, lim 0 0 Το ζητούμενο όριο γίνεται:. y y y 0/0 y y y lim lim lim lim 0 0 y y y y y y 0 y 0 y 0 y 0 Δ3. Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο 0, με F ( ) f ( ), 0 και F ( ) f ( ) ln ln 0, 0, διότι ln 0, 0, 0. Άρα η F είναι κυρτή στο 0, Για κάθε 0 από Θ.Μ.Τ. υπάρχουν (, ), (,3 ) τέτοια ώστε: F ( ) F( ) F( ) και F ( ) F(3 ) F( ). Όμως η F είναι γνησίως αύξουσα στο 0,, F( ) F( ) F(3 ) F( ) οπότε F ( ) F ( ) F( ) F(3 ) F( ) 9
Δ4. Έστω G( ) F( ) F(3 ) F( ),, Για την G ισχύουν οι προϋποθέσεις του θ. Bolzano αφού είναι συνεχής και G( ) F( ) F (3 ) 0, αφού η F είναι γνησίως φθίνουσα και G( ) F( ) F(3 ) F ( ) 0 από το Δ3. Άρα θα υπάρχει, τέτοιο ώστε: G( ) 0 F( ) F(3 ) F ( ) Το είναι μοναδικό αφού η G είναι γνησίως φθίνουσα. G ( ) F ( ) f ( ) 0,, 0