ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43 wwwstoosomlosgr

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΡΙΝΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ Έαρξη µαθηµάτω ευτέρα Ιουίου Λήξη µαθηµάτω Παρασκευή 5 Ιουλίου ΧΕΙΜΕΡΙΝΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ Έαρξη µαθηµάτω Τρίτη Σεπτεµβρίου ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ Έαρξη µαθηµάτω ευτέρα 4 Σεπτεµβρίου Τµήµατα ολιγοµελή και οµοιογεή Στα τµήµατα τω αποφοίτω πραγµατοποιούται επιπλέο ώρες του καοικού προγράµµατος Οι µαθητές που έχου κεά ή απορίες καλύπτοται µε δωρεά ώρες εισχυτικής διδασκαλίας Προγραµµατισµέα τεστ στο τέλος κάθε εότητας Προγραµµατισµέα 3ωρα διαγωίσµατα κάθε δεύτερη Κυριακή Ειδική εηµέρωση για συµπλήρωση Μηχαογραφικού Στις τελευταίες σελίδες υπάρχει ααλυτικά το πρόγραµµα τω θεριώ τµηµάτω

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΘΕΡΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ 3 ΣΥΝΟΛΟ 5 ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ 4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΥΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 4 ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ 4 Στο φροτιστήριο στόος ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΧΑΙΑ 6 ΛΑΤΙΝΙΚΑ 3 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ 3 ΣΥΝΟΛΟ 4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΟΡΓ & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΡΟΓΡ - ΛΕΙΤΟΥΡ ΣΥΝΟΛΟ 4 Οι µαθητές που παρακολουθού τη θεριή προετοιµασία: δε αγχώοται ως προς τη κάλυψη της ύλης εξασφαλίζου υψηλή βαθµολογία στις προφορικές και γραπτές εξετάσεις Λειτουργού ολιγοµελή οµοιογεή τµήµατα, τα οποία λόγω άµιλας, αταλλαγής απόψεω και κάλυψης όλω τω αποριώ υπερτερού από τα ιδιαίτερα µαθήµατα ιδάσκου έµπειροι καθηγητές, ειδικευµέοι αά µάθηµα Ο προγραµµατισµός της ύλης και η υπεύθυη εφαρµογή του επιτρέπει πολλές επααλήψεις µέχρι τη έαρξη τω εξετάσεω Τα προγραµµατισµέα διαγωίσµατα προσφέρου εµπειρία και αυτοπεποίθηση στους µαθητές µας Το φροτιστήριο µας είαι δίπλα στους µαθητές του µέχρι και τη τελευταία ηµέρα τω εξετάσεω, µε προγραµµατισµέα µαθήµατα για τις τελευταίες υποδείξεις και τη κατάλληλη υποστήριξη Παρέχοται βιβλία και σηµειώσεις τω καθηγητώ µας σε κάθε µάθηµα, σύµφωα µε το πρόγραµµα σπουδώ του Ειαίου Λυκείου Η εηµέρωση τω γοέω είαι άµεση, διαρκής και ειλικριής Οι επιδόσεις και η συολική εικόα του µαθητή καταγράφοται στο ηλεκτροικό υπολογιστή Η τακτική εηµέρωση τω γοέω γίεται: τη τελευταία εβδοµάδα της θεριής περιόδου το πρώτο δεκαήµερο του εκεµβρίου το πρώτο δεκαήµερο του Απριλίου Τα µαθήµατα γίοται σε σύγχροες και άετες κλιµατιζόµεες αίθουσες Θεριή Προετοιµασία στα φροτιστήρια στόος = % Επιτυχία

w w w s t o o s o m l o s g r Κετρικά γραφεία Αϊστάι 3 Αµφιάλη Τηλ: 4389 Fa: 43 Αϊστάι 3 Αµφιάλη - 4389 wwwstoosomlosgr Π Τσαλδάρη 6 Αµφιάλη - 43477 wwwstoosnetgr Π Τσαλδάρη 6 Αµφιάλη - 43477 wwwaleanderedugr Αϊστάι 3 Αµφιάλη - 4389 wwwstoosnetgr Π Τσαλδάρη 6 Αµφιάλη - 43477-47938

ΜΕΡΟΣ Ο Ερωτήσεις Θεωρίας µε απατήσεις - αποδείξεις Στα Μαθηµατικά Κατεύθυσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 4 ΜΕΡΟΣ Ο ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΧΡΥΣΑΦΙ 8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 3 ΜΕΡΟΣ 3 3 Ο Ερωτήσεις Θεωρίας µε απατήσεις - αποδείξεις στα Μαθηµατικά Γεικής Παιδείας ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 43 ΜΕΡΟΣ 4 Ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 46 Φροτιστήρια στόoς Αϊστάι 3 Αµφιάλη

Ερωτήσεις Θεωρίας µε απατήσεις - αποδείξεις Στα Μαθηµατικά Κατεύθυσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πότε δύο µιγαδικοί αριθµοί α+ β και γ + δ είαι ίσοι; Ισχύει α+ β= γ + δ α = γ και β= δ Και επειδή =, έχουµε α+ β= α = και β = + Να αποδείξετε ότι η διαυσµατική ακτία του αθροίσµατος τω µιγαδικώ α+ β και γ + δ είαι το άθροισµα τω διαυσµατικώ ακτιώ τους Α Μ (α, β) και Μ (γ, δ) είαι οι εικόες τω α+ β και γ + δ ατιστοίχως στο µιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισµα ( α+ β) + ( γ + δ) = ( α+ γ) + ( β+ δ) παριστάεται µε το uuuur uuuur uuuuur σηµείο Μ (α + γ, β + δ) Εποµέως OM = OM+ OM y Μ (α,β) Μ(α+γ, β+δ) Μ (γ,δ) 3 Να αποδείξετε ότι η διαυσµατική ακτία διαφοράς τω µιγαδικώ α+ β και γ + δ είαι η διαφορά τω διαυσµατικώ ακτιώ τους y Μ (γ,δ) Μ (α,β) Η διαφορά ( α+ β ) ( γ + δ ) = ( α γ) + ( β δ) παριστάεται µε το σηµείο Μ (α γ, β δ) uuur uuuur uuuuur Εποµέως ON = OM OM Μ 3 ( γ, δ) N(α γ, β δ) 4 Να αποδείξετε ότι: ( α+ β ) + ( γ + δ ) = ( αγ + βδ) + ( αδ + βγ) α β γ δ αγ βδ αδ βγ = αγ + αδ+ βγ+ β δ = Έχουµε: ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) ( )( ) = αγ + αδ+ βγ βδ = ( αγ βδ) + ( αδ + βγ) 5 Τι οοµάζεται συζυγής του α+ β ; Ο αριθµός α+ β που συµβολίζεται µε α+ β Επειδή είαι και α β= α+ β, οι α + β, α β λέγοται συζυγείς µιγαδικοί 6 Να ααφέρετε τις ιδιότητες τω συζυγώ z + z = z + z z z = z z 3 z z= z z 4 z z z = z Φροτιστήρια στόoς Αϊστάι 3 Αµφιάλη

Επίσης για δύο συζυγείς µιγαδικούς αριθµούς z= α+ β και z = α β µπορούµε εύκολα, µε εκτέλεση τω πράξεω, α διαπιστώσουµε ότι: z+ z = α z z = β Οι παραπάω ιδιότητες και 3 ισχύου και για περισσότερους από δυο µιγαδικούς αριθµούς Είαι δηλαδή: z + z + + z = z + z + L+ z z L z z = z z z 7 Να αποδείξετε ότι z+ z = z+ z z z = ( α+ β) + ( γ+ δ) = ( α+ γ) + ( β δ) + + = ( α + γ) ( β+ δ) = ( α β) + ( γ δ) = z+ z α+ β 8 Να εκφράσετε το πηλίκο, όπου γ + δ στη µορφή κ + λ γ + δ Πολλαπλασιάζουµε τους όρους του κλάσµατος µε το συζυγή του παροοµαστή και έχουµε: α+ β ( α+ β)( γ δ) ( αγ + βδ) + ( βγ αδ) αγ + βδ βγ αδ = = = = + γ + δ γ + δ γ δ γ + δ γ + δ γ + δ ( )( ) α+ β αγ + βδ βγ αδ ηλαδή = + γ + δ γ + δ γ + δ 9 Ποιες είαι οι δυατές δυάµεις του ; Οι δυάµεις εός µιγαδικού αριθµού z µε εκθέτη ακέραιο ορίζοται ακριβώς όπως και στους πραγµατικούς Ιδιαίτερα για τις δυάµεις του έχουµε:: =, =, =, 3 = = και γεικά α = 4ρ + υ, όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης του µε το 4 τότε:, α υ=, 4 4 4 ρ α υ ρ+ υ ρ υ υ ρ υ υ = = = = ( ) = = =, α υ =, α υ = 3 Να λύσετε τη εξίσωση αz + βz + γ =, µε α, β, γ R, α και < Εργαζόµαστε όπως στη ατίστοιχη περίπτωση στο R και τη µετασχηµατίζουµε, µε τη µέθοδο β συµπλήρωσης τετραγώω, στη µορφή: z+ = α 4α όπου = β 4αγ η διακρίουσα της εξίσωσης Επειδή ( )( ) ( ) 4 4 β = = = α α ( α) α, η εξίσωση γράφεται: z+ = α α β ± Άρα οι λύσεις της είαι z, =, οι οποίες είαι συζυγείς µιγαδικοί αριθµοί α Φροτιστήρια στόoς 3 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Παρατηρούµε ότι και εδώ ισχύου οι σχέσεις: β z + z = και α γ z z = α Τι οοµάζεται µέτρα του µιγαδικού z= + y ; Ορίζουµε ως µέτρο του z τη απόσταση του Μ από τη αρχή Ο, δηλαδή το αριθµό uuuur z = OM = + y Να ααφέρετε τις ιδιότητες του µέτρου µιγαδικού αριθµού: z = z = z z = z z z z = z z z z = z z 3 Να αποδείξετε ότι z z = z z = = ( z z)( z z) z z z z z z z z z z z z = z z z z = z z z z Γεικά, αποδεικύεται ότι z z z z z z και ειδικότερα z = z 4 Μέτρο και Γεωµετρικοί Τόποι = α) Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικώ είαι ίσο µε τη απόσταση τω εικόω τους ηλαδή: ( MM ) = z z β) Η εξίσωση z z = ρ, ρ> παριστάει το κύκλο µε κέτρο το σηµείο K( z ) και ακτία ρ γ) η εξίσωση z z = z παριστάει τη µεσοκάθετο του τµήµατος µε άκρα τα σηµεία A( z ) και B( z ) z Ολοκληρωµέη εκπαίδευση Οργάωση - Προγραµµατισµός Φροτιστήρια στόoς = % Επιτυχία Φροτιστήρια στόoς 4 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α έα µη κεό υποσύολο του R Τι οοµάζεται πραγµατική συάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α και ποια η τιµή της f στο A ; Μια διαδικασία (καόα) µε τη οποία κάθε στοιχείο A ατιστοιχίζεται σε έα µόο πραγµατικό αριθµό y Το y οοµάζεται τιµή της f στο και συµβολίζεται µε f ( ) Τι οοµάζεται σύολο τιµώ µιας συάρτησης f : A R ; f ( A) = y y= f ( ) για κάποιο A που έχει για στοιχεία του τις τιµές της f σε Το σύολο { } όλα τα A 3 Τι οοµάζεται γραφική παράσταση µιας συάρτησης f : A R ; Το σύολο C f τω σηµείω Μ (, y) για τα οποία ισχύει y = f(), δηλαδή το σύολο τω σηµείω Μ (, f()), A 4 Πότε δύο συαρτήσεις λέγοται ίσες; ύο συαρτήσεις f και g λέγοται ίσες ότα: έχου το ίδιο πεδίο ορισµού Α και για κάθε A ισχύει f ( ) = g( ) Για α δηλώσουµε ότι δύο συαρτήσεις f και g είαι ίσες γράφουµε f = g 5 Α f, g είαι δύο συαρτήσεις α ορίσετε τις συαρτήσεις f + g, f g, fg και f g Ορίζουµε τα: άθροισµα f + g, διαφορά f g, γιόµεο fg και πηλίκο f g τω f, g τις συαρτήσεις µε τύπους ατιστοίχως τους: ( f + g)( ) = f ( ) + g( ), ( f g)( ) = f ( ) g( ), f f ( ) ( fg)( ) = f ( ) g( ), ( ) = g g( ) Το πεδίο ορισµού τω f + g, f g και fg είαι η τοµή A B τω πεδίω ορισµού Α και Β τω συαρτήσεω f και g ατιστοίχως, εώ το πεδίο ορισµού της f είαι το A g B, εξαιρουµέω τω τιµώ του που µηδείζου το παροοµαστή g(), δηλαδή το σύολο A και B, µε g( ) { } 6 Α f, g είαι δύο συαρτήσεις α ορίσετε τη σύθεση gof της f µε τη g Είαι µια συάρτηση µε τύπο ( gof )( ) = g( f ( ) ) και πεδίο ορισµού το σύολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισµού της f για τα οποία το f() αήκει στο πεδίο ορισµού της g ηλαδή είαι το σύολο A{ A f B} ( ) Φροτιστήρια στόoς 5 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

ΣΧΟΛΙΑ Στη παραπάω εφαρµογή παρατηρούµε ότι gof fog Γεικά, α f, g είαι δύο συαρτήσεις και ορίζοται οι gof και fog, τότε αυτές δ ε ε ί α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Α f, g, h είαι τρεις συαρτήσεις και ορίζεται η ho( gof ), τότε ορίζεται και η ( hog) of και ισχύει ho( gof ) = ( hog) of Τη συάρτηση αυτή τη λέµε σύθεση τω f, g και h και τη συµβολίζουµε µε hogof Η σύθεση συαρτήσεω γεικεύεται και για περισσότερες από τρεις συαρτήσεις 7 Έστω f µια συάρτηση και έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της Πότε η f οοµάζεται γησίως αύξουσα, γησίως φθίουσα, αύξουσα, φθίουσα στο ; Η f λέγεται: Γησίως αύξουσα στο ότα για οποιαδήποτε, Γησίως φθίουσα στο ότα για οποιαδήποτε, Αύξουσα στο ότα για οποιαδήποτε, Φθίουσα στο ότα για οποιαδήποτε, µε < ισχύει f ( ) < f ( ) µε < ισχύει f ( ) > f ( ) µε < ισχύει f ( ) f ( ) µε < ισχύει f ( ) f ( ) 8 Πότε µια συάρτηση f παρουσιάζει µέγιστο ή ελάχιστο στο σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μια συάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι: Παρουσιάζει στο A Παρουσιάζει στο 9 Τι είαι τα ολικά ακρότατα µιας συάρτησης f; (ολικό) µέγιστο, το f ( ), ότα f ( ) f ( ) A (ολικό) ελάχιστο, το f ( ), ότα f ( ) f ( ) για κάθε A για κάθε A Το (ολικό) µέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο της f (εφόσο υπάρχου) λέγοται (ολικά) ακρότατα της f Πότε µια συάρτηση λέγεται ; Μια συάρτηση f : A R συεπαγωγή α λέγεται συάρτηση, ότα για οποιαδήποτε,, τότε f ( ) f ( ) Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικύεται ότι: Μια συάρτηση f : A R είαι συάρτηση συεπαγωγή: α f ( ) = f ( ), τότε =, α και µόο α για οποιαδήποτε, A ισχύει η A ισχύει ΣΧΟΛΙΑ Από το παραπάω ορισµό προκύπτει ότι µια συάρτηση f είαι, α και µόο α: α)για κάθε στοιχείο y του συόλου τιµώ της η εξίσωση f ( ) = y έχει ακριβώς µια λύση ως προς β) ε υπάρχου σηµεία της γραφικής της παράστασης µε τη ίδια τεταγµέη Αυτό σηµαίει ότι κάθε οριζότια ευθεία τέµει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε έα σηµείο γ) Α µια συάρτηση είαι γησίως µοότοη, τότε προφαώς, είαι συάρτηση " " Φροτιστήρια στόoς 6 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f ( ) = a + β, µε α είαι συάρτηση Α υποθέσουµε ότι f ( ) = f ( ), τότε έχουµε διαδοχικά: a + β = a + β a = a = Πώς ορίζεται η ατίστροφη µιας συάρτησης; Έστω µια συάρτηση f : A R Τότε για κάθε στοιχείο y του συόλου τιµώ, f(a), της f υπάρχει µοαδικό στοιχείο του πεδίου ορισµού της Α για το οποίο ισχύει f() = y και εποµέως ορίζεται µια συάρτηση g : ( A) R µε τη οποία κάθε y f ( A ) ατιστοιχίζεται στο µοαδικό A για το οποίο ισχύει f ( ) = y Η g λέγεται ατίστροφη συάρτηση της f και συµβολίζεται µε f Εποµέως έχουµε f ( ) = y f ( y ) = f ( f ( )) =, A οπότε και f ( f ( y )) = y, y f ( A) 3 Τι γωρίζετε για τις γραφικές παραστάσεις C και C τω συαρτήσεω f και f Οι γραφικές παραστάσεις C και C τω συαρτήσεω f και f είαι συµµετρικές ως προς τη ευθεία y = που διχοτοµεί τις γωίες Oy και Oy ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ;; Φροτιστήρια στόoς 7 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

Πότε υπάρχει το lm f ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α µια συάρτηση f είαι ορισµέη σε έα σύολο της µορφής ( α, ) (, β), τότε ισχύει η ισοδυαµία lm f ( ) =l, α και µόο α lm f ( ) = lm f ( ) =l + Συέπεια του παραπάω ορισµού είαι οι ακόλουθες ισοδυαµίες: (α) lm f ( ) = l lm ( f ( ) l) = (β) lm f ( ) = l lm f ( + h) = l h Τι γωρίζετε για το όριο και τη διάταξη : Για το όριο και τη διάταξη αποδεικύεται ότι ισχύου τα παρακάτω θεωρήµατα Α Α ΘΕΩΡΗΜΑ ο lm f ( ) >, τότε f ( ) > κοτά στο lm f ( ) <, τότε f ( ) < κοτά στο ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α οι συαρτήσεις f, g έχου όριο στο και ισχύει f ( ) g( ) κοτά στο, τότε lm f ( ) lm g( ) 3 Να ααφέρετε τις ιδιότητες τω ορίω Τα δύο βασικά όρια υπολογισµό τω ορίω ΘΕΩΡΗΜΑ lm =, lm c= c και το θεώρηµα που ακολουθεί διευκολύου το Α υπάρχου τα όρια τω συαρτήσεω f και g στο, τότε: 3 4 5 6 lm( f ( ) + g( )) = lm f ( ) + lm g( ) lm( κf ( )) = κ lm f ( ), για κάθε σταθερά κ lm( f ( ) g( )) = lm f ( ) lm g( ) f ( ) lm f ( ) =, εφόσο lm g( ) lm g ( ) lm g ( ) lm f ( ) = lm f ( ) k k lm f ( ) = lm f ( ), εφόσο f ( ) κοτά στο Φροτιστήρια στόoς 8 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

Οι ιδιότητες και 3 του θεωρήµατος ισχύου και για περισσότερες από δυο συαρτήσεις Άµεση συέπεια αυτού είαι: lm[ f ( )] = lm f ( ), * 4 Να αποδείξετε ότι για κάθε ρητή συάρτηση lm Q ( ) ( ) ( ) P( ) P = Q P( ) f ( ) = και κάθε Q( ) R µε Q( ) ισχύει P( ) Έστω η ρητή συάρτηση f ( ) =, όπου P( ), Q( ) πολυώυµα του και R µε Q( ) P( ) lm P( ) P( ) Q( ) Τότε lm f ( ) = lm = = Q ( ) lm Q ( ) Q ( ) 5 Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεµβολής Έστω οι συαρτήσεις f, g, h Α h( ) f ( ) g( ) κοτά στο και lm h( ) = lm g( ) =l, τότε lm f ( ) =l 6 Να ααφέρετε τα βασικά τριγωοµετρικά όρια lm συ= συ lm ηµ = ηµ συ ηµ lm = lm = 7 Τι γωρίζετε για το όριο σύθετης συάρτησης Α θέλουµε α υπολογίσουµε το lm f ( g( )), της σύθετης συάρτησης f o g στο σηµείο, αποδεικύεται ότι, α g( ) u κοτά στο, τότε το ζητούµεο όριο είαι ίσο µε l, δηλαδή ισχύει: 8 Τι γωρίζετε για το µη πεπερασµέο όριο lm f ( g( )) = lm f ( u) u u Για τα όρια που ορίζοται σε έα σύολο της µορφής ( α, ) (, β ), ισχύου οι παρακάτω ισοδυαµίες: lm f ( ) =+ lm f ( ) = lm f ( ) =+ + lm f ( ) = lm f ( ) = lm f ( ) = + Με τη βοήθεια του ορισµού αποδεικύοται οι παρακάτω ιδιότητες: Φροτιστήρια στόoς 9 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

Α α lm f ( ) lm f ( ) =+, τότε f ( ) > κοτά στο, εώ =, τότε f ( ) < κοτά στο Α lm f ( ) =+, τότε lm( f ( )) =, εώ α lm f ( ) =, τότε lm( f ( )) =+ Α lm f ( ) =+ ή, τότε lm = ( ) f Α lm f ( ) = και f ( ) > κοτά στο, τότε f ( ) < κοτά στο, τότε lm f ( ) = lm f ( ) =+, εώ α lm f ( ) = και Α lm f ( ) =+ ή, τότε lm f ( ) =+ Α lm f ( ) =+, τότε lm k f ( ) =+ 9 Τι γωρίζετε όρια αθροίσµατος και γιοµέου δύο συαρτήσεω Για τα όρια αθροίσµατος και γιοµέου δύο συαρτήσεω αποδεικύοται τα παρακάτω θεωρήµατα: ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο αθροίσµατος) Α στο το όριο της f είαι: α α + - + - και το όριο της g είαι: + - + - - + τότε το όριο της f + g είαι: + - + - ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο γιοµέου) Α στο, το όριο της f είαι: και το όριο της g είαι: τότε το όριο της fg είαι: α> α< α> α< + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + Να ααφέρετε τις απροσδιόριστες µορφές ( + ) + ( ), (± ), ( + ) ( + ), ( ) ( ), ±, ± Τι γωρίζετε για το όριο συάρτησης στο άπειρο Για το υπολογισµό του ορίου στο + ή εός µεγάλου αριθµού συαρτήσεω ισχύου τα παρακάτω βασικά όρια: Φροτιστήρια στόoς Αϊστάι 3 Αµφιάλη

lm =+ και lm =, + + lm +, = -, α άρτιος α περιττός και lm =, * * Για τη ρητή συάρτηση α + α + L+ α + α f ( ) = κ β + β + + β + β κ κ κ L, α, β ισχύει: κ α lm f ( ) = lm + + κ βκ α και lm f ( ) = lm κ βκ Τι γωρίζετε για το όριο εκθετικής λογαριθµικής συάρτησης y Αποδεικύεται ότι: y=a Α α >, τότε lm α =, lm α + =+ O y=log a lm log α =, lm log + α =+ y=a y Α < α < τότε lm α =+, lm α = + O lm log α =+, lm log + α = y=log a 3 Πότε µια συάρτηση f θα είαι συεχής σε έα σηµείο του πεδίου ορισµού της; Ότα ισχύει lm f ( ) f ( ) = 4 Πότε µια συάρτηση f δε είαι συεχής σε έα σηµείο του πεδίου ορισµού της; Ότα: α) ε υπάρχει το όριό της στο ή β) Υπάρχει το όριό της στο σηµείο f, στο, αλλά είαι διαφορετικό από τη τιµή της, ( ) Φροτιστήρια στόoς Αϊστάι 3 Αµφιάλη

5 ιατυπώστε το θεώρηµα για τη συέχεια σύθετης συάρτησης Α η συάρτηση f είαι συεχής στο και η συάρτηση g είαι συεχής στο f ( ), τότε η σύθεσή τους gof είαι συεχής στο 6 Τι εοούµε ότα λέµε ότι µια συάρτηση f είαι συεχής σ έα διάστηµα Μια συάρτηση f θα λέµε ότι είαι συεχής σε έα αοικτό διάστηµα ( α, β ), ότα είαι συεχής σε κάθε σηµείο του ( α, β ) Μια συάρτηση f θα λέµε ότι είαι συεχής σε έα κλειστό διάστηµα [ α, β ], ότα είαι συεχής σε κάθε σηµείο του ( α, β ) και επιπλέο lm f ( ) = f ( α ) και lm f ( ) = f ( β ) + α β Αάλογοι ορισµοί διατυπώοται για διαστήµατα της µορφής ( α, β ], [ α, β ) 7 Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Bolzano Έστω µια συάρτηση f, ορισµέη σε έα κλειστό διάστηµα [α, β] Α: η f είαι συεχής στο [α, β] και επιπλέο ισχύει f ( a) f ( β ) <, τότε υπάρχει έα, τουλάχιστο [ a, β] τέτοιο ώστε ( ) τουλάχιστο, ρίζα της εξίσωσης f ( ) = στο αοικτό διάστηµα (α, β) ΣΧΟΛΙΑ f = ( ηλαδή, υπάρχει µια, Από το θεώρηµα του Bolzano προκύπτει ότι: Α µια συάρτηση f είαι συεχής σε έα διάστηµα και δε µηδείζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είαι θετική για κάθε ή είαι αρητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα Μια συεχής συάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθέα από το διαστήµατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζου το πεδίο ορισµού της 8 Να διατυπώσετε και α αποδείξετε το θεώρηµα εδιάµεσω τιµώ ΙΑΤΥΠΩΣΗ: Έστω µια συάρτηση f, η οποία είαι ορισµέη σε έα κλειστό διάστηµα [α, β] Α: η f είαι συεχής στο [α, β] και f ( a) f ( β ) τότε για κάθε αριθµό η µεταξύ τω f ( a ) και f ( β ) υπάρχει έας, τουλάχιστο ( a β) ΑΠΟ ΕΙΞΗ: τέτοιος ώστε: ( ), f = η Ας υποθέσουµε ότι f ( a) < f ( β ) Τότε ισχύει f ( a) < η< f ( β ) Α θεωρήσουµε τη συάρτηση g( ) f ( ) η = [ a, β], παρατηρούµε ότι: η g είαι συεχής στο [α, β] και g( a) g( β ) <, αφού g( a) = f ( a) η< και g( β ) = f ( β ) η > Εποµέως, σύµφωα µε το θεώρηµα του Bolzano, υπάρχει ( a, β) τέτοιο, ώστε g( ) = f ( ) η=, οπότε ( ) f(β) η f(α) α β 3 f = η Φροτιστήρια στόoς Αϊστάι 3 Αµφιάλη

9 Τι γωρίζετε για τη εικόα διαστήµατος µέσω συεχούς συάρτησης Η εικόα f ( ) εός διαστήµατος µέσω µιας συεχούς και µη σταθερής συάρτησης f είαι διάστηµα Να διατυπώσετε το θεώρηµα µέγιστης και ελάχιστης τιµής Α f είαι συεχής συάρτηση στο [α, β], τότε η f παίρει στο [α, β] µια µέγιστη τιµή Μ και µια ελάχιστη τιµή m ηλαδή, υπάρχου, [ a, β] τέτοια, ώστε, α m= f ( ) και M f ( ), για κάθε [ a, β] ισχύει m f ( ) M =, α ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάω θεώρηµα και το θεώρηµα εδιάµεσω τιµώ προκύπτει συεχούς συάρτησης το σύολο τιµώ µιας Ποιο είαι το σύολο τιµώ µιας γησίως αύξουσας (ατιστοίχως φθίουσα) και συεχούς συάρτησης ορισµέης σε έα αοικτό διάστηµα (α, β); Το διάστηµα (Α, Β) (ατιστοίχως (Β, Α)) όπου A = lm f ( ) και B= lm f ( ) + a β ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΜΕΝΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΑ ΣΥΓΡΑΜΜΑΤΑ Φροτιιστήριια στόoς = % Επιιτυχίία ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ Τµήµατα ολιγοµελή και οµοιογεή Στα τµήµατα τω αποφοίτω πραγµατοποιούται επιπλέο ώρες του καοικού προγράµµατος Οι µαθητές που έχου κεά ή απορίες καλύπτοται µε δωρεά ώρες εισχυτικής διδασκαλίας Προγραµµατισµέα τεστ στο τέλος κάθε εότητας Προγραµµατισµέα 3ωρα διαγωίσµατα κάθε δεύτερη Κυριακή Ειδική εηµέρωση για συµπλήρωση Μηχαογραφικού Φροτιστήρια στόoς 3 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πώς ορίζεται η εφαπτοµέη της C f στο σηµείο της Α; ( ) Έστω f µια συάρτηση και, ( ) A f έα σηµείο της C f Α υπάρχει το lm είαι έας πραγµατικός αριθµός λ, τότε ορίζουµε ως εφαπτοµέη της ευθεία ε: y f ( ) λ( ) f ( ) f ( ) f και C στο σηµείο της Α, τη = που διέρχεται από το Α και έχει συτελεστή διεύθυσης λ Πότε µια συάρτηση f είαι παραγωγίσιµη σε έα σηµείο του πεδίου ορισµού της; Α υπάρχει το ( ) f ( ) f lm και είαι πραγµατικός αριθµός Το όριο αυτό οοµάζεται παράγωγος της f στο f ( ) f ( ) ηλαδή f '( ) = lm f ( ) f ( ) Α, τώρα, στη ισότητα f ( ) = lm f ( f ( + h) f ( ) ) = lm h h και συµβολίζεται µε '( ) θέσουµε f = + h, τότε έχουµε 3 Τι οοµάζεται κλίση της f ' ( ) C στο, ( ) Η κλίση f ( ) της εφαπτοµέης ε στο, ( ) A f ή κλίση της f στο ; ( ) A f 4 Να αποδείξετε ότι α µια συάρτηση f είαι παραγωγίσιµη σ έα σηµείο, τότε είαι και συεχής στο σηµείο αυτό Για έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f f f = ( ) ( ) f ( ) f οπότε: lm f ( ) f ( ) lm = = f '( ) = αφού η f είαι παραγωγίσιµη στο Εποµέως, lm f ( ) = f ( ), δηλαδή η f είαι συεχής στο ΣΧΟΛΙΟ Α µια συάρτηση f δε είαι συεχής σ έα σηµείο, τότε, σύµφωα µε το προηγούµεο θεώρηµα, δε µπορεί α είαι παραγωγίσιµη στο Φροτιστήρια στόoς 4 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

5 Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f ( ) αυτό = α και συεχής στο =, δε είαι παραγωγίσιµη σε Έστω η συάρτηση f ( ) = Η f είαι συεχής στο =, αλλά δε είαι παραγωγίσιµη σ αυτό, αφού f ( ) f () lm = lm =, εώ + f ( ) f () lm = lm = 6 Πότε λέµε ότι µια συάρτηση f µε πεδίο ορισµού έα σύολο Α: - Η f είαι παραγωγίσιµη στο Α - Η f είαι παραγωγίσιµη σε έα αοικτό διάστηµα (α, β) του πεδίου ορισµού της - Η f είαι παραγωγίσιµη σε έα κλειστό διάστηµα [α, β] του πεδίου ορισµού της; - Η f είαι παραγωγίσιµη στο Α ότα είαι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο A - Η f είαι παραγωγίσιµη σε έα αοικτό διάστηµα (α, β) του πεδίου ορισµού της, ότα είαι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο ( a β), - Η f είαι παραγωγίσιµη σε έα κλειστό διάστηµα [α, β] του πεδίου ορισµού της, ότα είαι παραγωγίσιµη στο (α, β) και επιπλέο ισχύει f ( ) f ( a) f ( ) f ( β ) lm R και lm R + a a β β 7 Τι οοµάζεται παράγωγος µιας συάρτησης f µε πεδίο ορισµού Α; Έστω Α το σύολο τω σηµείω του Α στα οποία αυτή είαι παραγωγίσιµη Ατιστοιχίζοτας κάθε A στο f '( ), ορίζουµε τη συάρτηση: f ': A R, µε f '( ) η οποία οοµάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f 8 Να αποδείξετε ότι η σταθερή συάρτηση f ( ) = c, c R είαι παραγωγίσιµη στο και ισχύει f '( ) = Α είαι έα σηµείο του, τότε για ισχύει: Εποµέως ( ) f ( ) f lm =, δηλαδή ( c ) ' = ( ) f ( ) f c c = = 9 Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f ( ) Α είαι έα σηµείο του R, τότε για ισχύει: Εποµέως ( ) f ( ) f lm = lm = = είαι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) =, δηλαδή ( ) ' = ( ) f ( ) f = = Φροτιστήρια στόoς 5 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f ( ) = είαι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει Α είαι έα σηµείο του R, τότε για ισχύει: ( ) f ( ) f + + + + = = = + + + Οπότε f ( ) f ( ) lm = lm ( + + + ) ( )( ) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f ( ) f '( ) = = + + + = δηλαδή ( ) ' = = είαι παραγωγίσιµη στο (,+ ) και ισχύει f '( ) = Ακόµη α αποδείξετε ότι α και συεχής στο δε είαι παραγωγίσιµη σ αυτό Α είαι έα σηµείο του ( ) ( ) f ( ) f = = οπότε ( ),+, τότε για ισχύει: f ( ) f lm = lm = + ( )( + ) = ( )( + ) ( )( + ) = +, δηλαδή ( ) ' = f ( ) f () Τέλος lm = lm = lm =+ και εποµέως η συάρτηση δε παραγωγίζεται στο Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f ( ) = ηµ είαι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει '( ) f = συ f ( + h) f ( ) ηµ ( + h) ηµ Για κάθε και h ισχύει: = = h h ηµ συ h+ συ ηµ h ηµ ( συ h ) ηµ = ηµ + συ h h h ηµ h συ h f ( + h) f ( ) Επειδή lm = και lm =, έχουµε lm = ηµ + συ = συ h h h h h h ηλαδή, ( ηµ ) ' = συ 3 Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f ( ) = συ είαι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = ηµ f ( + h) f ( ) συ ( + h) συ Για κάθε και h ισχύει: = = h h συ συ h ηµ ηµ h συ συ h ηµ h = = συ ηµ, οπότε h h h f ( + h) f ( ) συ h ηµ h lm = lm lm h συ ηµ = συ ηµ = ηµ h h h h h Φροτιστήρια στόoς 6 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

4 Να αποδείξετε ότι α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιµες στο, τότε η συάρτηση f + g είαι παραγωγίσιµη στο και ισχύει: ( f + g) '( ) = f '( ) + g '( ) Για, ισχύει: ( f + g)( ) ( f + g) ( ) f ( ) + g( ) f ( ) g( ) = = ( ) ( ) f ( ) f g( ) g + Επειδή οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιµες στο, έχουµε: ( f + g)( ) ( f + g) ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lm = lm + lm = f '( ) + g '( ) δηλαδή ( f + g)'( ) = f '( ) + g '( ) Το παραπάω θεώρηµα ισχύει και για περισσότερες από δύο συαρτήσεις ηλαδή, α f, f,, f k, είαι παραγωγίσιµες στο, τότε ( f+ f+ L+ f ) ( ) = f ( ) + f ( ) + L + f ( ) k k 5 Να αποδείξετε ότι α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιµες στο, τότε η συάρτηση f g είαι παραγωγίσιµη στο Για ισχύει: ( f g)( ) ( f g)( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) = f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g = g + f g Επειδή οι f, g είαι παραγωγίσιµες, άρα και συεχείς στο, έχουµε: f ( ) g( ) f ( ) g( ) + f ( ) g( ) f ( ) g( ) = ( f g)( ) ( f g)( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lm = lm lm g( ) + f ( ) lm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = f ( ) g( ) + f ( ) g ( ), δηλαδή f g = f g + f g 6 Να διατυπώσετε το Θεώρηµα σύθετης παραγώγου Α η συάρτηση g είαι παραγωγίσιµη στο συάρτηση f o g είαι παραγωγίσιµη στο και ισχύει και η f είαι παραγωγίσιµη στο g ), τότε η ( f o g) ( ) = f ( g( )) g ( ) Γεικά, α µια συάρτηση g είαι παραγωγίσιµη σε έα διάστηµα και η f είαι παραγωγίσιµη στο g( ) f o g, τότε η συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο και ισχύει ηλαδή, α u= g(), τότε ( f ( u)) = f ( u) u ( f ( g( ))) = f ( g( )) g ( ) Με το συµβολισµό του Lebnz, α y = f( u ) και u = g ( ), έχουµε το τύπο ( Φροτιστήρια στόoς 7 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

που είαι γωστός ως καόας της αλυσίδας dy d = dy du du d 7 Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f ( ) f ( ) = Για κάθε N * έχουµε: ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ' ' = = = = =, R * είαι παραγωγίσιµη στο * και ισχύει 8 Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f ( ) ισχύει f '( ) = συ Για κάθε R έχουµε: ' ( εφ ) ' ' ' ( ηµ ) συ ηµ ( συ ) = εφ είαι παραγωγίσιµη στο R = R { συ = } και ηµ συ συ + ηµ ηµ συ + ηµ = = = = = = συ συ συ συ συ a 9 Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f ( ) =, α R R f '( ) a a = ln Α y= a = e a και θέσουµε u= a ln, τότε έχουµε: y u u aln a a a y ' = ( e )' = e u ' = e a = = a είαι παραγωγίσιµη στο ( ) u = e Εποµέως,+ και ισχύει Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f ( ) = a, α > είαι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = a ln a ln Α y= a = e a και θέσουµε u= ln a, τότε έχουµε y ( ) ln u u a y ' = e ' = e u ' = e ln a= a ln a Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f ( ) = ln, ( ln ) ' = α >, τότε ( ) ( ) α <, τότε ( ) Εποµέως, ( ) u = e Εποµέως: * R είαι παραγωγίσιµη στο * R και ισχύει ln ' = ln ' =, εώ ln ' = ln( ), οπότε, α θέσουµε y= ln( ) και u=, έχουµε y= ln u y ' = ln u ' = u ' = ( ) = u και άρα ( ln ) ' = Φροτιστήρια στόoς 8 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

Τι οοµάζεται ρυθµός µεταβολής του y= f ( ) ως προς ; Ρυθµός µεταβολής του y ως προς το στο σηµείο είαι η παράγωγος '( ) f 3 Να διατυπώσετε το θεώρηµα Rolle και α δώσετε τη γεωµετρική του ερµηεία Α µια συάρτηση f είαι: συεχής στο κλειστό διάστηµα [α, β] παραγωγίσιµη στο αοικτό διάστηµα (α, β) και f ( a) = f ( β ) τότε υπάρχει έα, τουλάχιστο, ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: f '( ξ ) = Γεωµετρικά, αυτό σηµαίει ότι υπάρχει έα, τουλάχιστο, ξ (α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτοµέη της M ξ, f ( ξ ) α είαι παράλληλη στο άξοα τω C στο ( ) f 4 Να διατυπώσετε το θεώρηµα µέσης τιµής διαφορετικού λογισµού και α δώσετε τη γεωµετρική ερµηεία του Α µια συάρτηση f είαι: συεχής στο κλειστό διάστηµα [α, β] παραγωγίσιµη στο αοικτό διάστηµα (α, β) τότε υπάρχει έα, τουλάχιστο, ξ (α, β) τέτοιο, f ( β ) f ( a) ώστε: f '( ξ ) = β a Γεωµετρικά, αυτό σηµαίει ότι υπάρχει έα, τουλάχιστο, ξ (α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτοµέη της γραφικής παράστασης f στο M (, f ( )) ξ ξ α είαι παράλληλη της ευθείας ΑΒ 5 Θεώρηµα: Να αποδείξετε ότι α f είαι µια συάρτηση ορισµέη σε έα διάστηµα και η f είαι συεχής στο και f '( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είαι σταθερή σε όλο το διάστηµα Αρκεί α αποδείξουµε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει f ( ) = f ( ) Πράγµατι Α,, τότε προφαώς f ( ) = f ( ) Α <, τότε το διάστηµα [, ] η f ικαοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής, τέτοιο ώστε Εποµέως, υπάρχει ξ ( ) f ( ) f ( ) f '( ξ ) = () Επειδή το ξ είαι εσωτερικό σηµείο του, ισχύει f '( ξ ) =, οπότε, λόγω της (), είαι f ( ) = f ( ) Α <, τότε οµοίως αποδεικύεται ότι f ( ) = f ( ) Σε όλες λοιπό τις περιπτώσεις είαι f ( ) = f ( ) Φροτιστήρια στόoς 9 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

6 Πόρισµα: Να αποδείξετε ότι α δυο συαρτήσεις f, g ορισµέες σε έα διάστηµα και οι f, g είαι συεχείς στο και f '( ) = g '( ) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε ισχύει: f ( ) = g( ) + c Η συάρτηση f g είαι συεχής στο και για κάθε εσωτερικό σηµείο ισχύει ( f g) '( ) = f '( ) g '( ) = Εποµέως, σύµφωα µε το παραπάω θεώρηµα, η συάρτηση f g είαι σταθερή στο Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε α ισχύει f ( ) g( ) = c, οπότε: f ( ) = g( ) + c ΣΧΟΛΙΟ Το παραπάω θεώρηµα καθώς και το πόρισµά του ισχύου σε διάστηµα και όχι σε έωση διαστηµάτω 7 Έστω µια συάρτηση f η οποία είαι συεχής σε έα διάστηµα Να αποδείξετε ότι: Α f '( ) > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είαι γ αύξουσα σε όλο το Α f '( ) < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είαι γ φθίουσα σε όλο το Αποδεικύουµε το θεώρηµα στη περίπτωση που είαι f '( ) > < Θα δείξουµε ότι f ( ) < f ( ) Πράγµατι, στο διάστηµα [, ] f ( ) f ( ) Εποµέως υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f '( ξ ) = Έστω, µε η f ικαοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής οπότε έχουµε f ( ) f ( ) = f '( ξ) ( ) Επειδή f '( ξ ) > και >, έχουµε f ( ) f ( ) >, οπότε f ( ) f ( ) Στη περίπτωση που είαι f '( ) < εργαζόµαστε ααλόγως < ΣΧΟΛΙΟ Το ατίστροφο του παραπάω θεωρήµατος δε ισχύει ηλαδή, α η f είαι γησίως αύξουσα (ατιστοίχως γησίως φθίουσα) στο, η παράγωγός της δε είαι υποχρεωτικά θετική (ατιστοίχως αρητική) στο εσωτερικό του 8 Πως ορίζεται η θέση τοπικού µέγιστου και τοπικού ελάχιστου µιας συάρτησης f Μια συάρτηση f, µε πεδίο ορισµού Α, θα λέµε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό µέγιστο f ( ) f (ατιστοίχως (ατιστοίχως: τοπικό ελάχιστο), ότα υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε ( ) f ( ) f ( ) ) για κάθε A ( δ, δ) το f ( ) τοπικό µέγιστο (ατιστοίχως τοπικό ελάχιστο) της f + Το λέγεται θέση ή σηµείο τοπικού µέγιστου, εώ ΣΧΟΛΙΑ ) Έα τοπικό µέγιστο µπορεί α είαι µικρότερο από έα τοπικό ελάχιστο Φροτιστήρια στόoς Αϊστάι 3 Αµφιάλη

) Α µια συάρτηση f παρουσιάζει µέγιστο, τότε αυτό θα είαι το µεγαλύτερο από τα τοπικά µέγιστα, εώ α παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είαι το µικρότερο από τα τοπικά ελάχιστατο µεγαλύτερο όµως από τα τοπικά µέγιστα µίας συάρτησης δε είαι πάτοτε µέγιστο αυτής Επίσης το µικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα µίας συάρτησης δε είαι πάτοτε ελάχιστο της συάρτησης 9 Να αποδείξετε το θεώρηµα του Fermat: Έστω µια συάρτηση f ορισµέη σ έα διάστηµα και έα εσωτερικό σηµείο του Α η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είαι f ' = παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, τότε ( ) Ας υποθέσουµε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό µέγιστο Επειδή το είαι εσωτερικό σηµείο του και η f παρουσιάζει σε αυτό τοπικό µέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε: δ, + δ και ( ) f f ( ) για κάθε ( δ + δ) ( ), () Επειδή, επιπλέο, η f είαι παραγωγίσιµη στο, ισχύει: ( ) ( ) f ( ) f f ( ) f f '( ) = lm = lm + - Α ( δ, ) - Α (, δ), τότε, λόγω της (), θα είαι f ( ) Εποµέως: ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ' = lm + +, τότε, λόγω της (), θα είαι f ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ' = lm + f ' = Έτσι, από τις () και (3) έχουµε ( ) Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είαι αάλογη f( o ) o - δ, οπότε θα έχουµε: (), οπότε θα έχουµε: (3) o o + δ 3 Να ααφέρετε τις πιθαές θέσεις ακροτάτω Σύµφωα µε το θεώρηµα Fermat, τα εσωτερικά σηµεία του, στα οποία η f είαι διαφορετική από το µηδέ, δε είαι θέσεις τοπικώ ακροτάτω Εποµέως, όπως φαίεται και στα σχήµατα 9 και 3, οι π ι θ α έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ α κ ρ ο τ ά τ ω µιας συάρτησης f σ έα διάστηµα είαι: Τα εσωτερικά σηµεία του στα οποία η παράγωγος της f µηδείζεται Τα εσωτερικά σηµεία του στα οποία η f δε παραγωγίζεται 3 Τα άκρα του (α αήκου στο πεδίο ορισµού της) Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σηµεία του στα οποία η f δε παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είαι ίση µε το µηδέ, λέγοται κρίσιµα σηµεία της f στο διάστηµα Φροτιστήρια στόoς Αϊστάι 3 Αµφιάλη

3 Να διατυπώσετε το θεώρηµα για τα τοπικά ακρότατα Έστω µια συάρτηση f παραγωγίσιµη σ έα διάστηµα ( α, β ), µε εξαίρεση ίσως έα σηµείο του στο οποίο όµως η f είαι συεχής ) Α f ( ) > στο ( α, ) και f ( ) < στο (, β ), τότε το f ( ) είαι τοπικό µέγιστο της f ) Α f ( ) < στο ( α, ) και f ( ) > στο (, β ), τότε το f ( ) είαι τοπικό ελάχιστο της f ) A η f ( ) διατηρεί πρόσηµο στο ( α, ) (, β ), τότε το f ( ) δε είαι τοπικό ακρότατο και η f είαι γησίως µοότοη στο ( α, β ) 3 Πότε µια συάρτηση f θα λέγεται κυρτή (ατιστοίχως κοίλη) σε έα διάστηµα ; Έστω µία συάρτηση f σ υ ε χ ή ς σ έα διάστηµα και π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Θα λέµε ότι: Η συάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άω ή είαι κυρτή στο, α η f είαι γησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Η συάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είαι κοίλη στο, α η f είαι γησίως φθίουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικύεται ότι, α µια συάρτηση f είαι κυρτή (ατιστοίχως κοίλη) σ έα διάστηµα, τότε η εφαπτοµέη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του βρίσκεται κάτω (ατιστοίχως πάω ) από τη γραφική της παράσταση (Σχ 39), µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους 33 Να διατυπώσετε το θεώρηµα για κυρτές και κοίλες σθαρτήσεις Εστω µια συάρτηση f σ υ ε χ ή ς σ έα διάστηµα και δυο φορές παραγωγίσιµη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Α f ( ) > για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η f είαι κυρτή στο Α f ( ) < για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η f είαι κοίλη στο ΣΧΟΛΙΟ Το ατίστροφο του θεωρήµατος δε ισχύει 34 Έστω µια συάρτηση f παραγωγίσιµη σε έα διάστηµα (α, β), µε εξίσωση ίσως έα σηµείο του ( ) Πότε τότε το σηµείο, ( ) Α ισχύει: A f οοµάζεται σ καµπής της γραφικής παράστασης της f ; Η f είαι κυρτή στο ( a, ) και κοίλη στο (, β ) ή ατιστρόφως και C έχει εφαπτοµέη στο σηµείο A, f ( ), τότε το σηµείο, ( ) Η f σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f ( ) ( ), A f οοµάζεται 35 Να διατυπώσετε το θεώρηµα για τα σηµεία καµπής : Α το A(, f ( )) είαι σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f και η f είαι δυο φορές παραγωγίσιµη, τότε f ( ) = Όλα τα πράγµατα είαι δύσκολα, προτού γίου εύκολα Thomas Fuller,68-66, Άγγλος στοχαστής Φροτιστήρια στόoς Αϊστάι 3 Αµφιάλη

36 Να ααφέρετε τις π ι θ α έ ς θ έ σ ε ι ς σ η µ ε ί ω κ α µ π ή ς µιας συάρτησης f σ έα διάστηµα Ο ι π ι θ α έ ς θ έ σ ε ι ς σ η µ ε ί ω κ α µ π ή ς µιας συάρτησης f σ έα διάστηµα είαι: ) τα εσωτερικά σηµεία του στα οποία η f µηδείζεται, και ) τα εσωτερικά σηµεία του στα οποία δε υπάρχει η f 37 Πότε η ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f ; Α έα τουλάχιστο από τα όρια lm f ( ), + lm f ( ) είαι + ή, τότε η ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f 38 Πότε η ευθεία y=l λέγεται οριζότια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + (ατιστοίχως στο ); : Α ισχύει lm f ( ) =l (ατιστοίχως lm f ( ) =l) + 39 Πότε η ευθεία y = λ + β λέγεται οριζότια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + (ατιστοίχως στο ); : Α ισχύει lm f ( ) ( λ+ β) =, (ατιστοίχως f ( λ β) + lm ( ) + = ) 4 Α ευθεία y = λ + β είαι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +, ατιστοίχως στο ποιες σχέσεις µας δίου τα λ, β; f ( ) lm = λ και lm [ f ( ) λ] = β + + f ( ) lm = λ και lm [ f ( ) λ] = β ατιστοίχως 4 Να διατυπώσετε τους καόες του de l Hosptal: Μορφή Α lm f ( ) =, lm g( ) (πεπερασµέο ή άπειρο), τότε: =, { + } και υπάρχει το, f ( ) f '( ) lm = lm g( ) g '( ) f '( ) lm g '( ) Μορφή + + Α lm f ( ) =+, lm g( ) (πεπερασµέο ή άπειρο), τότε: και υπάρχει το =+, { + }, f ( ) f '( ) lm = lm g( ) g '( ) f '( ) lm g '( ) Τα φροτιστήρια στόος µπορού και στηρίζου τη προσπάθεια σας και σας εγγυώται τη ΕΠΙΤΥΧΙΑ Φροτιστήρια στόoς 3 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έστω f µια συάρτηση ορισµέη σε έα διάστηµα Τι οοµάζεται παράγουσα ή αρχική της f στο ; Οοµάζεται κάθε συάρτηση F που είαι παραγωγίσιµη στο και ισχύει F '( ) = f ( ) για κάθε Έστω f µια συάρτηση ορισµέη σε έα διάστηµα Να αποδείξετε ότι α F είαι µια παράγουσα της f στο, τότε: Όλες οι συαρτήσεις της µορφής: G( ) = F( ) + c, c R είαι παράγουσες της f στο και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο παίρει τη µορφή G( ) = F( ) + c, c R Κάθε συάρτηση της µορφής G( ) = F( ) + c, όπου c είαι µια παράγουσα της f στο G '( ) = F( ) + c ' = F '( ) = f ( ) για κάθε αφού ( ) Έστω G είαι µια άλλη παράγουσα της f στο Τότε για κάθε ισχύου F '( ) = f ( ) και G '( ) = f ( ), οπότε G '( ) = F '( ), για κάθε Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G( ) = F( ) + c, για κάθε 3 Τι οοµάζεται αόριστο ολοκλήρωµα της f στο ; Οοµάζεται το σύολο όλω τω παραγουσώ µιας συάρτησης f σε έα διάστηµα και συµβολίζεται f ( ) d Σχόλιο Για κάθε συάρτηση f, παραγωγίσιµη σε έα διάστηµα, ισχύει f ( ) d= f ( ) + c, 4 Να ααφέρετε τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώµατος Α οι συαρτήσεις f και g έχου παράγουσα σ έα διάστηµα, τότε, λ f ( ) d= λ f ( ) d * λ R ( f ( ) + g( )) d= f ( ) d+ g( ) d 5 Να ααφέρετε τις µεθόδους ολοκλήρωσης στο αόριστο ολοκλήρωµα Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοτες Η µέθοδος αυτή εκφράζεται µε το τύπο: ( ) g ( ) d= f ( ) g( ) f f ( ) g( ) d που είαι συέπεια του καόα παραγώγισης του γιοµέου δύο παραγωγίσιµω συαρτήσεω, f g σε έα διάστηµα Φροτιστήρια στόoς 4 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

Απόδειξη Για κάθε, έχουµε ( f ( ) g( )) = f ( ) g( ) + f ( ) g ( ),οπότε f ( ) g ( ) = ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) Εποµέως f ( ) g ( ) d= ( f ( ) g( )) d f ( ) g( ) d ή, ισοδύαµα, f ( ) g ( ) d= f ( ) g( ) + c f ( ) g( ) d Ολοκλήρωση µε ατικατάσταση Η µέθοδος ολοκλήρωσης µε ατικατάσταση εκφράζεται µε το ακόλουθο τύπο: Απόδειξη f ( g ( )) g ( ) d = f ( u ) du, όπου u= g( ) και du= g ( ) d Α F είαι µια παράγουσα της f, τότε F ( u) = f ( u), () οπότε F ( g( )) = f ( g( )) και άρα f ( g( )) g ( ) d= F ( g( )) g ( ) d = ( F( g( ))) d (αφού ( F( g( )) F ( g( )) g ( ) = F( g( )) + c = F( u) + c, (όπου u= g( ) ) = f ( u) du (λόγω της ()) = ) 6 Να ααφέρετε τις ιδιότητες του ορισµέου ολοκληρώµατος α) Συέπεια του ορισµού α β f ) d= f ( ) d α ( f ( ) d= β α α β) Έστω f, g σ υ ε χ ε ί ς συαρτήσεις στο [ α, β ] και λ, µ R Τότε ισχύου β β α α λ f ( ) d= λ f ( ) d β β β [ f ( ) + g( )] d= f ( ) d+ g( ) d α α α β β β [ λ f ( ) + µ g( )] d= λ f ( ) d+ µ g( ) d α α α γ) Α η f είαι σ υ ε χ ή ς σε διάστηµα και α, β, γ, τότε ισχύει β γ β f ( ) d= f ( ) d+ f ( ) d α α γ 7 Τι γωρίζετε για τη διάταξη και το ορισµέο ολοκλήρωµα β α) Α f ( ), τότε f ( ) d α β) Έστω f µια σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έα διάστηµα [ α, β ] Α f ( ) για κάθε [ α, β ] β α και η συάρτηση f δε είαι πατού µηδέ στο διάστηµα αυτό, τότε f ( ) d> Φροτιστήρια στόoς 5 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

8 Να διατυπώσετε το θεώρηµα το οποίο µας εξασφαλίζει τη ύπαρξη παράγουσας µιας συεχούς συάρτησης f σε έα διάστηµα Α f είαι µια συεχής συάρτηση σε έα διάστηµα και α είαι έα σηµείο του, τότε η συάρτηση F( ) = f ( t) dt,, είαι µια παράγουσα της f στο ηλαδή ισχύει: ( ) f ( t) dt = f ( ), για κάθε a α Σχόλιο Από το παραπάω θεώρηµα και το θεώρηµα παραγώγισης σύθετης συάρτησης προκύπτει g( ) f ( t) dt = f ( g( )) g ( ), ότι: ( α ) 9 Έστω f µια συεχής συάρτηση σε έα διάστηµα [α, β] και G µια παράγουσα της f στο [α, β] Να αποδείξετε ότι: f ( t) dt= G( β ) G( a) β a Η συάρτηση F( ) = f ( t) dt είαι µια παράγουσα της f στο [α, β] Επειδή και η G είαι µια a παράγουσα της f στο [α, β] θα υπάρχει c τέτοιο, ώστε G( ) = F( ) + c () a Από τη (), για = α, έχουµε G( a) = F( a) + c= f ( t) dt+ c= c Εποµέως, G( ) F( ) G( a) = +, οπότε για = β, έχουµε, οπότε c G( a) a β β G( β ) = F( β) + G( a) = f ( t) dt+ G( a) και άρα f ( t) dt G( ) G( a) a = β a Να ααφέρετε τις µεθόδους ολοκλήρωσης στο ορισµέο ολοκλήρωµα = Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοτες β β β f ( ) g ( ) d= [ f ( ) g( )] α f ( ) g( ) d α, όπου f, g είαι συεχείς συαρτήσεις στο [ α, β ] α Ολοκλήρωση µε ατικατάσταση β ( ( )) ( ) u = ( ) u f g g d f u du α, όπου f, g είαι συεχείς συαρτήσεις, u= g( ), du= g ( ) d και u = g( α), u = g( β ) ιογέης: Η παιδεία είαι για τους έους σωφροσύη, για τους γέροτες παρηγοριά, για τους φτωχούς πλούτος, και για τους πλούσιους στολίδι Φροτιστήρια στόoς 6 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΧΡΥΣΑΦΙ Όσες προτάσεις φέρου αστερίσκο πρέπει, ότα χρησιµοποιούται, α αποδεικύοται * Έας µιγαδικός είαι πραγµατικός α και µόο α είαι ίσος µε το συζυγή του ΑΠΟ ΕΙΞΗ Α z= a+ β, α, β R τότε z z= β και εποµέως z R β = z z= z= z * Α η f είαι γησίως αύξουσα τότε τα κοιά σηµεία τω γραφικώ παραστάσεω της f και της ατίστροφής της ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω Μ (α, β) έα σηµείο που αήκει και στη f, εφόσο υπάρχου, αήκου στη ευθεία y = C και C Θα ισχύει f ( a) = β και f ( β ) = α Θα δείξουµε ότι το Μ αήκει και στη y = δηλαδή ότι α = β Α είαι α β τότε ή θα είαι α < β είτε β < α Στη πρώτη περίπτωση, θα έχουµε f ( a) < f ( β ) δηλαδή β < α (άτοπο) Στη δεύτερη περίπτωση έχουµε f ( β ) < f ( a) δηλαδή α < β (άτοπο) Άρα αποκλείεται α είαι a β και αποµέει ότι α = β 3 * Α µια συεχής συάρτηση ορισµέη σε έα αοικτό διάστηµα (σ, σ ) έχει τη ιδιότητα lm f ( ) =, lm f ( ) =+ τότε το σύολο τιµώ της είαι το R σ σ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αρκεί α δείξουµε ότι κάθε πραγµατικός αριθµός y είαι τιµή της f Αφού f f lm f ( ) = η f θα παίρει και τιµές µικρότερες του y δηλαδή θα υπάρχει ( σ, σ ) ώστε f ( ) < y Αφού lm f ( ) = + η f θα παίρει και τιµές µεγαλύτερες του y δηλαδή θα υπάρχει ( σ, σ ) σ ώστε ( ) σ y= f Προφαώς και από το θεώρηµα εδιάµεσω τιµώ θα υπάρχει στο διάστηµα µε άκρα τα, τέτοιο ώστε f ( ) = y Εποµέως ο y είαι τιµή της f 4 Για κάθε > είαι l n και το = ισχύει µόο για = ΑΠΟ ΕΙΞΗ Εφαρµογή του σχολικού βιβλίου 5 * Για κάθε είαι e + και το = ισχύει µόο για = ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για όλους τους θετικούς αριθµούς ισχύει ισχύει l n και το = ισχύει µόο για = Εποµέως και για το θετικό e ισχύει l ne e και το = ισχύει µόο για e = ηλαδή = Εποµέως e και το = ισχύει µόο για = Άρα e + και το = ισχύει µόο για = Φροτιστήρια στόoς 7 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

6 *Α :[, ] f a β R συεχής και f ( a) f ( β ) τότε η f έχει µια τουλάχιστο ρίζα στο [α, β] ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού f ( a) f ( β ) ή θα είαι f ( a) f ( β ) < είτε f ( a) f ( β ) = Α f ( a) f ( β ) < τότε από το θεώρηµα του Bolzano η f έχει µια τουλάχιστο ρίζα στο (α, β) και εποµέως στο [α, β] Α f ( a) f ( β ) = τότε ή f(a) = είτε f(β) = Άρα η f έχει µια τουλάχιστο ρίζα στο {α, β} και εποµέως στο [α, β] Σε κάθε περίπτωση η f έχει µια τουλάχιστο ρίζα στο [α, β] 7 * Η συάρτηση l n είαι µια παράγουσα της l n ΑΠΟ ΕΙΞΗ ln ' = ln ' ' = ' ln+ ln ' ' = ln+ = l n Προφαώς ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) εφ ' = + εφ 8 * ( ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Είαι ( εφ) ' = και από γωστή σχέση της τριγωοµετρίας είαι = + εφ συ συ Προσοχή: + = = + ( εφ )d (εφ)'d εφ c 9 * Με z ισχύει z = z α και µόο α z ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω z a β z = z α + β = α+ β α + β = α β + αβ = + Είαι ( ) ( ) ( ) α + β = α β και αβ = β = και αβ = β = z * Α για τις συαρτήσεις f, g που είαι ορισµέες και συεχείς στο διάστηµα [α, β] ισχύει β β a a f ( ) g( ) για όλα τα και f g τότε f ( ) d> g( ) d ΑΠΟ ΕΙΞΗ β Για τη συάρτηση h= f g ισχύει h( ) για όλα τα και h Εποµέως h ( ) d > από a β τη οποία έχουµε ( ) προκύπτει f ( ) d> g( ) d f ( ) g( ) d> άρα και f ( ) d g( ) d> a a a β β a a β β από τη οποία * Α µια συάρτηση f είαι παραγωγίσιµη στο διάστηµα τότε µεταξύ δύο οποιωδήποτε διαφορετικώ ριζώ της f βρίσκεται µια τουλάχιστο ρίζα της παραγώγου της f ' ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω ρ < ρ δύο ρίζες της f στο Η f είαι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [ρ, ρ ] και ισχύει f ( ρ ) f ( ρ ) = = Ικαοποιούται εποµέως οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle άρα θα υπάρξει ξ µε ρ < ξ < ρ τέτοιο ώστε f '( ξ ) = Φροτιστήρια στόoς 8 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

* Α η f είαι γησίως αύξουσα και f ( ) f ( ) < τότε είαι < ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για τους, υπάρχου τα εδεχόµεα =, > και < Το πρώτο µας οδηγεί στο f = f Το δεύτερο, σε συδυασµό µε το ότι η f είαι γησίως άτοπο συµπέρασµα ( ) ( ) αύξουσα µας οδηγεί στο επίσης άτοπο συµπέρασµα f ( ) f ( ) < 3 * Μια γησίως µοότοη συάρτηση έχει το πολύ µια ρίζα > Άρα ααγκαστικά θα ισχύει ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω f µια γησίως µοότοη συάρτηση Τότε η f είαι γησίως αύξουσα ή γησίως φθίουσα και σε κάθε περίπτωση είαι f ρ f ρ f ρ = f ρ Α ρ, ρ είαι ρίζες της f τότε ( ) = ( ) = και από τη σχέση ( ) ( ) συάγουµε ότι ρ = ρ Εποµέως f έχει το πολύ µια ρίζα 4 * Α η f είαι γησίως αύξουσα τότε και η f είαι γησίως αύξουσα ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω y, y τέτοια ώστε y < y Θα δείξουµε ότι f ( y ) f ( y ) D f < Θα υπάρχου, D f τέτοια ώστε f ( ) = y και f ( ) = y θα είαι δε f ( y ) = και f ( y ) = Ξέρουµε ότι f ( ) < f ( ) και θέλουµε < Η απόδειξη συµπληρώεται επιχειρηµατολογώτας όπως ακριβώς στο (4) 5 * Α z = ρ τότε ρ z= z ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού z είαι και z Έχουµε τώρα ρ z = ρ z = ρ z z= ρ z= z 6 * Α z µε z τότε 3 3 z = z + z+ = z= ± ΑΠΟ ΕΙΞΗ 3 3 3 3 z = z = z = z z + z+ = ( )( ) 3 z z + z+ = ( ΕΠΙΛΥΟΥΜΕ) z= ± 7 Οι παραγωγίσιµες συαρτήσεις f : µε τη ιδιότητα f ' = f είαι ακριβώς εκείες της µορφής f ( ) = ce όπου c σταθερά ΑΠΟ ΕΙΞΗ Εφαρµογή του σχολικού βιβλίου Φροτιστήρια στόoς 9 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

8 * Α lm f ( ) = τότε lm f ( ) = σ σ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Από τη αισότητα A A A έχουµε ότι για κάθε ισχύει Είαι f ( f ) f ( ) f ( ) f ( ) lm ( ) = lm ( ) = και από το κριτήριο της παρεµβολής έχουµε ότι lm f ( ) = σ σ 9 * Α για µια παραγωγίσιµη συάρτηση f ισχύει f '( ) για κάθε εσωτερικό σηµείο τότε η f είαι αύξουσα στο ΑΠΟ ΕΙΞΗ Είαι όµοια µε τη αάλογη απόδειξη του σχολικού βιβλίου για τη περίπτωση όπου η παράγωγος είαι θετική Το µόο που αλλάζει είαι η τελευταία γραµµή: Επειδή f '( ξ ) και f f f f * Έστω f :[ a, a] (α ) >, έχουµε ( ) ( ) οπότε ( ) ( ) συεχής Α η f είαι άρτια τότε a a a f ( ) d= f ( ) d a (β ) Α η f είαι περιττή τότε f ( ) d= a ΑΠΟ ΕΙΞΗ Είαι: a a a a a f ( ) d= f ( ) d+ f ( ) d= ( u) du+ f ( ) d= f ( ) d+ f ( ) d a a u= a Ότα η f είαι άρτια τότε f ( ) = f ( ) και a a a a a f ( ) d+ f ( ) d= f ( ) d+ f ( ) d= f ( ) d σ Ότα η f είαι περιττή τότε a a a a ( ) ( ) ( ) ( ) f d+ f d f d f d = + = * Μια γησίως µοότοη συάρτηση f ορισµέη σε έα αοικτό διάστηµα δε έχει ακρότατα ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ας υποθέσουµε ότι η f είαι γησίως αύξουσα (η περίπτωση όπου η f είαι γησίως φθίουσα ατιµετωπίζεται ααλόγως) Ας πάρουµε έα οποιοδήποτε σηµείο δ, + δ περιέχει έα τουλάχιστο < και έα Για κάθε δ > το σύολο ( ) τουλάχιστο > Λόγω της µοοτοίας θα είαι f ( ) < f ( ) < f ( ) Άρα δε υπάρχει δ > ώστε για όλα τα ( δ, + δ) α ισχύει f ( ) f ( ) Άρα καέα δε µπορεί α είαι θέση τοπικού ακρότατου Φροτιστήρια στόoς 3 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

Απατήσεις στις ερωτήσεις καταόησης του σχολικού βιβλίου Μιγαδικοί Αριθµοί (σελ 4) Γ Α, Β, 3 Α ε, Β β, Γ γ, γ Όρια Συέχεια συάρτησης (σελ ) α Ψ, β Α, Α 3 Ψ, 4 Ψ 5 α Α, β Ψ, 6 Α 7 Ψ, 8 Ψ 9 Ψ, Α, Α Α I B E, 3 E, 4 II IIΙ Γ Α, Γ, Ε 3 E, 3 ιαφορικός λογισµός (σελ 95) Α, Α 3 Α, 4 α Ψ β Α 5 α Α, β Ψ, 6 Α 7 Ψ, 8 Α 9 α Ψ β Α, Ψ, Ψ Ψ v A α Ψ β Α, γ Ψ, Α I B Γ, 3 E, 4 Γ, 5 Γ 6 Γ 7 Ε 8 Γ II IIΙ α Ε, β Α, γ Β, δ,, Γ, 3 Α Φροτιστήρια στόoς 3 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

4 Ολοκληρωτικός λογισµός (σελ 354) Α, Ψ 3 Α, 4 Ψ 5 α Α 6 Ψ 7 Α, 8 Α 9 Α A Α Α 3 Α 4 Ψ I II, 3, 4 Α, 5 Γ 6 Β 7 8 Β 9 Γ Γ, Β, Ζ IIΙ 3 Να ετοπίσετε το λάθος Α F µια παράγουσα της f() = η σχέση d= + d γράφεται F() + c = + F() + c οπότε έχουµε c = + c και όχι = 4 Να ετοπίσετε το λάθος Επειδή το [,], παίρει και τη τιµή Άρα δε µπορούµε α θέσουµε γιατί u = u 5 F(c) =, F() =, F(3) = 4, F(4) = 6, F(6) = ρόµος δε υπάρχει έτοιµος Το φτιάχουµε εµείς προχωρώτας Φροτιστήρια στόoς 3 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηµατικά Γεικής Παιδείας ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οοµάζουµε συάρτηση και τι πραγµατική συάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α (πεδίο ορισµού) ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β Μια συάρτηση της οποίας το σύολο Α είαι υποσύολο του συόλου τω πραγµατικώ αριθµώ, εώ το Β συµπίπτει µε το R Τι λέγεται τιµή µιας συάρτησης f στο ; Ο αριθµός y= f ( ) στο οποίο ατιστοιχίζεται το A 3 Έστω µια συάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α Τι οοµάζεται εξαρτηµέη και τι αεξάρτητη µεταβλητή της f ; Το γράµµα, που συµβολίζει οποιοδήποτε στοιχείο του Α, οοµάζεται αεξάρτητη µεταβλητή, εώ το y= f ( ), που παριστάει τη τιµή της συάρτησης στο και εξαρτάται από τη τιµή του, λέγεται εξαρτηµέη µεταβλητή 4 Έστω οι συαρτήσεις f, g που ορίζοται σε έα σύολο Α Πώς ορίζοται: I Το άθροισµα S = f + g; II Η διαφορά D = f g; III Το γιόµεο P = f g; IV f Το πηλίκο R= ; g I S( ) = f ( ) + g( ), A II D( ) = f ( ) g( ), A III P( ) = f ( ) g( ), A f ( ) IV R( ) =, όπου A και g( ) g( ) 5 Έστω µια συάρτηση f µε πεδίο ορισµού έα σύολο A Τι οοµάζεται γραφική παράσταση ή καµπύλη της f σε έα καρτεσιαό σύστηµα συτεταγµέω Oy; Το σύολο τω σηµείω (, ( )) M f για όλα τα A 6 Πότε έα σηµείο Μ(, y) του επιπέδου τω αξόω αήκει στη καµπύλη της συάρτησης f ; Ότα y= f ( ) Φροτιστήρια στόoς 33 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

7 Τι οοµάζεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της συάρτησης f ; Η εξίσωση y= f ( ) 8 Πότε µια συάρτηση f λέγεται γησίως αύξουσα και πότε γησίως φθίουσα σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της; Γησίως αύξουσα: ότα για οποιαδήποτε σηµεία, µε Γησίως φθίουσα: ότα για οποιαδήποτε σηµεία, µε < ισχύει f ( ) < f ( ) < ισχύει f ( ) f ( ) > 9 Πότε µια συάρτηση f λέγεται γησίως µοότοη σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της; Ότα είαι γησίως αύξουσα στο ή ότα είαι γησίως φθίουσα στο Τι οοµάζουµε περιοχή του ; Κάθε αοικτό διάστηµα το οποίο περιέχει το I Πότε µια συάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο A ; II Πότε µια συάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο A ; I Ότα ισχύει f ( ) f ( ) II Ότα ισχύει f ( ) f ( ) Τι οοµάζουµε ακρότατα µιας συάρτησης; για κάθε σε µια περιοχή του για κάθε σε µια περιοχή του Τα µέγιστα και τα ελάχιστα της συάρτησης (τοπικά ή ολικά) 3 Α οι συαρτήσεις f και g έχου στο όρια πραγµατικούς αριθµούς, δηλαδή α lm f ( ) =l και lm g( ) =l όπου l και l πραγµατικοί αριθµοί ποια είαι τα όρια ( f + g ), lm ( f ( ) g( ) ) lm ( ) ( ) ( f g ) lm ( ) + ( ) = + lm f ( ) = l, f ( ), lm ( ( ) ) lm g ( ) l l, lm ( f ( ) g( ) ) = l l, f, lm f ( ) ; f ( ) = l lm g ( ) 4 Πότε µια συάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συεχής; Α για κάθε A ισχύει lm f ( ) = f ( ) l, lm ( ( ) ) f = l, Φροτιστήρια στόoς 34 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

( ) 5 Έστω f µια συάρτηση και A, f ( ) y έα σηµείο της γραφικής της παράστασης C f ( h) Ποιος είαι ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτοµέης της C στο Α; f ( ) f ( + h) f ( ) εφω + Μ = lm +h h Ισχύει ότι λ= εφω = '( ) h f = ρυθµό µεταβολής 6 Τι οοµάζεται παράγωγος της f στο ; Το όριο f '( ) ( + ) ( ) f h f = lm h h 7 Τι οοµάζεται ρυθµός µεταβολής του y= f ( ) ως προς το, ότα = ; Η παράγωγος '( ) f της f στο 8 Τι οοµάζεται παράγωγος µιας συάρτησης f µε πεδίο ορισµού το Α; Έστω Β το σύολο τω A στα οποία η f είαι παραγωγίσιµη Παράγωγος της f οοµάζεται η συάρτηση f µε τη οποία κάθε B ατιστοιχίζεται στο 9 Τι οοµάζεται δεύτερη παράγωγος µιας συάρτησης f ; Η παράγωγος f '' ( f ) = ' ' της συάρτησης f ( ) f + h f ( ) f ' = lm h h Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συάρτησης f ( ) = c είαι δηλαδή ότι ( c )' = Έχουµε f ( + h) f ( ) = c c= και για h, f ( + h) f ( ) lm = Άρα (c) = h h Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συάρτ f ( ) ε ( + ) ( ) f h f h =, οπότε = είαι δηλαδή () = Έχουµε f ( + h) f ( ) = ( + h) = h και για h, f ( + h) f ( ) lm = lm= Άρα () = h h h ( + ) ( ) f h f h = = Εποµέως h h Φροτιστήρια στόoς 35 Αϊστάι 3 Αµφιάλη

Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ) Έχουµε ( ) ( ) ( ) ( ) f ( + h) f ( ) ( + h) h f ( + h) f ( ) ( ) h ' = = είαι δηλαδή ότι ( ) ' = f + h f = + h = + h+ h = + h h, και για h, = = + h Εποµέως h ( ) lm = lm + h = Άρα h h h 3 Να αποδείξετε ότι: I = ' I ( ) ' ' ΙΙ ' = 3 = = = = ' 3 3 = = = = ' II ( ) III ( ) ' ' = = = = ΙΙΙ ( ) ' = 4 Ποιες είαι οι παράγωγοι τω συαρτήσεω ηµ, συ, e, ln; Ισχύει (ηµ) = συ, (συ) = ηµ, ( e ) ' 5 Να αποδείξετε ότι ( ) ' Έστω F ( ) = cf ( ) Έχουµε: c f ( ) = c f '( ) = e, ( ln ) ( ) ' = F( + h) F( ) = cf ( + h) cf ( ) = c f ( + h) f ( ) και για h ( ( + ) ( )) F( + h) F( ) c f h f f ( + h) f ( ) = = c Εποµέως h h h F( + h) F( ) f ( + h) f ( ) lm = lm c cf '( ) h h h = h Άρα ( c f ( ) ) ' = c f '( ) 6 Να αποδείξετε ότι ( ) Έστω F( ) = f ( ) + g( ) Έχουµε f ( ) + g( ) ' = f '( ) + g '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F( + h) F( ) = f ( + h) + g( + h) f ( ) + g( ) = f ( + h) f ( ) + g( + h) g( ) και F( + h) F( ) f ( + h) f ( ) g( + h) g( ) για h, = + h h h F( + h) F( ) f ( + h) f ( ) g( + h) g( ) Εποµέως lm = lm = lm = f '( ) + g '( ) h h h h h h f ( ) + g( ) ' = f '( ) + g '( ) Άρα: ( ) Φροτιστήρια στόoς 36 Αϊστάι 3 Αµφιάλη