Einföld sveifluhreyfin Nour valin atriði úr aflfræði Soðum raftajöfnuna fyrir orm með ormstuðul sem má rita á eftirfarandi formi: mẍ = x sem er óhliðruð. stis diffurjafna. Umritum hana yfir á eftirfarandi form: ẍ + m x = 0 Til að leysa óhliðraðar línulear afleiðujöfnur sem oma víða fyrir í eðlisfræði þá næir að soða tilheyrandi ennijöfnu: t + m = 0 sem hefur lausn: t = ±i m. Lausn diffurjöfnunnar er því línule samantet á forminu: xt) = Ae r1t + Be rt þar sem r 1 o r eru rætur ennimarliðunnar í þessu tilvii: xt) = Ae i + Be i En þetta form er fremur óhentut til reinina etur þó reynst anlet). Það er hinsvear auðvelt að finna annað jafnilt form með því að nota jöfnu Eulers: sem efur our því að: xt) = A cos e iθ = cos θ + i sin θ ) )) ) )) + i sin + B cos + i sin notum síðan að ósínus er jafnstætt fall þ.e. cos x) = cosx) o sínus er oddstætt fall þ.e. sin x) = sinx) o fáum að: ) ) xt) = A + B) cos + ia B) sin því etum við alve eins valið fasta A = A + B) o B = ia B) o því: ) ) xt) = A cos + B sin til hentuleia er oft ritað ω = m. Við sejum að ω sé hornhraðinn o sveiflutíminn er ávarðaður út frá: π = ωt = T = π ω Til þess að ávarða fastana A o B þá þurfum við upphafssilyrði sem oftast eru látin vera staða o hraði við tímann t = 0 í eðlisfræði þ.e.a.s. x0) o ẋ0). Annað dæmi um einfalda sveifluhreyfinu er jafnan fyrir pendúl: θ + l θ = 0 1
Krossfeldi Látum a = a 1, a, a 3 ) o b = b 1, b, b 3 ) þá er: î ĵ ˆ a b = a 1 a a 3 b 1 b b 3 = î a a 3 b b 3 ĵ a 1 a 3 b 1 b 3 + ˆ a 1 a a b 3 a 3 b b 1 b = a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b a b 1 Hornið milli virana er fundið með því að reina: Hérna höfum við: ) a b a b = a b cos θ = θ = arccos a b a b = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 o a = a 1 + a + a3, b = b 1 + b + b 3 Höfum því: ) a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 θ = arccos a 1 + a + a 3 b 1 + b + b 3 Getum lía reinað rossfeldið með: a b = a b sin θ
Dæmi 1) a) Lítum á pendúl af lend l sem í er festur massinn m. Sýnið með því að finna raftvæisjöfnu að: θ = l sin θ b) Sýnið með því að leysa diffurjöfnuna í a) að fyrir litlar sveiflur sin θ θ) er sveiflutími pendúlsins l T = π. ) Teyjustövari fellur úr yrrstöðu fram af hárri brú en sellur ei á vatnsfletinum fyrir neðan si. Óstret lend teyjunnar er l. Gera má ráð fyrir að teyjan heði sér lít o ormur með ormstuðul ; teyjustövarinn hafi massann m; massi teyjunnar sé hverfandi í samanburði við m; hunsa mei loftmótsstöðu. Finnið eftirfarandi: a) Vealendina y seeyjustövarinn ferðast áður en hann stöðvar um stund) í fyrsta sipti. b) Hámarshraðann u seeyjustövarinn verður fyrir í falli sínu. c) Tímann t sem líður frá því að hann byrjar að falla o þar til hann stöðvast aftur fyrst. 3) a) Látum ön með massa m verða fyrir rafti F sem er fasti. Finnið hraða, vt), o stöðu, xt), anarinnar sem fall af F, m, v 0 o x 0. b) Husum our nú að við viljum mæla dýpt Gvendarbrunns. Við sleppum stein niður í brunninn o mæluímann sem það teur steininn að lenda á botni brunnsins o our að heyra sellinn). Finnið dýpt brunnsins D sem fall af, t o v s þar sem v s er hraði hljóðsins í lofti með a)-lið. 4) Keðja af lend l hanir fram af borði þanni að x 0 metrar hennar hana fram af borðinu en afanurinn liur beinn á borðinu. Borðið er núninslaust o eðjunni er sleppt úr yrrstöðu. Finnið hreyfijöfnu eðjunnar þ.e. finnið xt). 5) Stii af lend l með massa m stendur upp að ve o myndar horn α miðað við lárétt. Það er eninn núninur milli stians o vesins eða ólfsins. Stiinn byrjar að renna niður úr yrrstöðu. Látum θt) vera hornið sem stiinn myndar miðað við lárétt eftir að hann byrjar að renna o látum xt), yt)) vera staðsetninu massamiðju stians. Látum stöðuoruna vera 0 í y = 0. a) Hver er heildarora stians í upphafi sem fall af α? b) Hver er stöðuora stians sem fall af θt)? c) Hver er heildar hreyfioran sem fall af ẋt), ẏt), θt) þear stiinn rennur. Ábendin: Hverfitreða stanar með lend l o massa m um ás um massamiðju stanarinnar o hornrétt á lend hennar er I = 1 3 ml ) d) Finnið jöfnu sem lýsir annarsvear sambandinu milli xt) o θt) o hinsvear milli yt) o θt) sem ildir eins leni o stiinn snertir veinn. e) Ritið heildaroru stians einönu sem fall af θt) o θt) með því að nota niðurstöðuna úr liðnum á undan. f) Finnið sambandið milli θt) o θt). ) Finnið hornið θ c þar sem stiinn losnar frá venum. 6) Lítil arða með massa m er omið fyrrir á innra borði hols sívalins með eisla R o massa M. Til að byrja með stendur sívalinurinn yrr á láréttum fleti o arðan er staðsett í hæð R yfir fletinum. Finnið snertiraftinn F milli örðunnar o sívalinsins á aunabliinu sem arðan fer um læsta punt ferilsins. Gerið ráð fyrir að það sé eninn núninur milli örðunnar o innra borðs sívalinsins o að sívalinurinn rúlli á lárétta fletinum án þess að renna. 3
7) Burj Khalifa turninn er risavaxinn sýjaljúfur í Dúbæ í Sameinuðu arabísu furstadæmunum. Turninn er hæsta mannviri heims, 88 m hár. Turninn er svo hár að hæt er að horfa á tvö sólsetur sama da. a) Hver er tímamismunurinn τ milli sólsetra við botn turnsins o við topp hans? Notið að eisli jarðarinnar er R E = 6400 m o fjarlæðin milli sólarinnar o jarðarinnar er 1AU = 1.5 10 11 m. Silið svarinu í mínútum. b) Burj Khalifa turninn hefur einni þriðju fljótustu lyftu heims sem hefur hraðann v = 10 m/s. Túristi sem ber sólsetrið auum á jörðinni steur samstundis inn í lyftuna um leið o lyftan fer af stað með hraðanum v á uppleið. Þear hann emst í stjörnuathuunarstöðina sem er í 45 m hæð sér hann að sólin hefur risið. Finnið hornið milli sjóndeildarhrinsins o sólarinnar. Gefið svarið í ráðum. 4
Lausnir 1) a) Kraftvæisjafnan fæst með því að nota Iα = I θ = τ = r F = r F sin θ þar sem θ er hornið milli viranna r o F. Hér fáum við: Iα = ml θ svo r F = l ) sin θ ml θ = l sin θ = θ = l sin θ með því að nota að fyrir litlar sveiflur ildir að sin θ θ fáum við að: sem má rita θ = l θ θ + l θ = 0 En þetta er sveiflujafnan sem við þejum sjá umfjöllun um einfalda sveifluhreyfinu) o því hefur þessi diffurjafna lausn af erðinni: θt) = A cosωt) + B sinωt) þar sem ω = l. Ávarða má jöfnuna nánar með því að beita upphafssilyrðunum að θ0) = θ 0 o θ0) = 0 sem efur að A = θ 0 o B = 0 svo b) Fáum: θt) = θ 0 cosωt) T = π ω = π l ) a) Við látum núllpuntinn vera við botn ánnar þá er stöðuoran til að byrja með U fyrir = h þar sem h er hæðin yfir vatnsfletinum. Hreyfioran er K fyrir = 0. Eftir að hann hefur fallið o stöðvast aftur er stöðuoran orðin U eftir = h l + x)) + 1 x þar sem að x er sú vealend sem að teyjan hefur viið frá jafnvæisstöðu sinni. Fyrri liðurinn er framla stöðuorunnar vena hæðar stövarans o seinni liðurinn er framlaið frá stöðuoru ormsins. Höfum einni að K eftir = 0 Við fáum því samvæmt oruvarðveislu: U fyrir + K fyrir = U eftir + K eftir = 1 x x l = 0 sem efur því að x = ± 1 + l við veljum svo + í jöfnunni fyrir ofan þar sem x er jávæð stærð ef við myndum velja mínus fenum við neivæða stærð). Því er vealendin seeyjustövarinn ferðast y = l + x þ.e. y = l + + 1 + l 5
b) Fyrst fellur hann í frjálsu falli vealendina l með hröðun. Því næst fellur hann restina með hröðun mx) þar sem að ormurinn reynir að ýta honuil baa. Hámarshraðinn verður þear hröðunin er 0 þ.e. ef x 0 er sá puntur þar sem hröðunin er núll o þá jafnframt sá puntur þar sem að hraðinn er mestur þá ildir að = x 0 þ.e. x 0 =. Við fáum að: Athuum nú að ẍ = d x dt sem efur að: mẍ = m m x) = ẍ + m x = = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx vx=x0) vx=0) notum svo að vx = 0) = l o x 0 = vdv = sem efur því að: x0 0 m x + )dx 1 v max v x = 0) ) = m x 0 + x 0 o fáum að: v max = l + c) Getum reinað tímann þar til hann er omin niður í l: o öllum þann tíma τ 1 þ.a. τ 1 = l = 1 t = t = l. l Þurfum nú að finna τ þ.e. tímann sem það teur hann að stöðvast í sveifluhreyfinunni. Höfum: ẍ + m x = sem er. stis diffurjafna sem hefur óhliðraða lausn: ) ) x ó t) = A cos + B sin Gisum á lausn af erðinni ft) = D þar sem D er fasti o höfum að ft) = 0 o 0 + m D = sem efur our að D = sé lausn á diffurjöfnunni. Fullomin lausn er því: ) ) xt) = x ó t) + = A cos + B sin + Höfum upphafssilyrðin: x0) = 0 o ẋ0) = l en þau efa our að A = l, B =. Höfum því að: ) xt) = ) l cos + sin +. 6
Við viljum finna hvenær xτ ) = y l. Fáum því: ) ) l cos m τ + sin m τ + = + 1 + l sem efur ) cos m τ + ) l sin m τ = 1 + l Við notum síðan: o fáum að: 1 cosθ) = 1 e i m τ + e i ) m τ i e iθ + e iθ), sinθ) = 1 i l sem efur með því að marfalda í en með e i m τ ) 1 i l lausn. stis jöfnu efur þá að: en það efur einmitt að e i m τ o því τ = τ 1 + τ = τ 1 = e i m τ = 1 + i 1 + l τ = 1 l + 1 m arctan e iθ e iθ) e i m τ e i ) m τ = 1 + l að: 1 + l ei m τ + l 1 + l 1 + i = e i arctan ) m arctan l l ) l ) l ) = 0 3) a) Hröðunin a = F m er föst svo að við fáum: o vt) = v 0 + at = v 0 + F xt) = x 0 + v 0 t + 1 at = x 0 + v 0 t + F b) Látu 1 tána tímann sem það teur að detta niður en t tímann sem það teur að heyra hljóðið. Þá ildir að: D = 1 D t 1 = t 1 = en hinsvear að v s t = D = t = D v s 7
D heildartíminn er því t = t 1 + t = + D v s. Setjum u = D o fáum: u + v s u v st = 0 sem efur því að sem efur að u = 1 v s ± v s 1 + t D = v s 1 + 1 + t ) v s v s 4) Fáum: mẍ = m l x + x 0) = ẍ l x = l x 0 Fáum þá að ennijafnan fyrir óhliðruðu jöfnuna verður t l = 0 sem efur að t = ± l svo x ó t) = Ae l t + Be l t Gisum á lausn á sama formi o hliðrunin þ.e. ft) = D fáum með því að stina f inn í diffurjöfnuna að: svo að lausnin er 0 l D = l x 0 = D = x 0 xt) = x ó t) + D = Ae l t + Be l t x 0 Höfum upphafssilyrðin x0) = 0 o ẋ0) = 0 sem efa að x0) = 0 = A + B x 0 = 0 sem efur að A = 1 x 0 svo ẋ0) = 0 = A B = 0 = A = B xt) = x 0 e l t + e t) l x 0 sem má einni rita með því að nota coshx) = 1 ex + e x) svo að ) ) xt) = x 0 cosh l t 1 5) Sjá lausn hér dæmi 3): http://hpho.phys.ust.h/archive_016/panpearl/panpearl017_solutions1. pdf 6) Sjá lausn á IPhO 014 dæmi 1 hluti A sem má nálast hér: https://notendur.hi.is/mbh6/ipho/ Kazahstan%0014/Solution%0to%0Theory%0Problem%0%31.pdf 7) Sjá lausn hér dæmi 1): http://hpho.phys.ust.h/archive_016/panpearl/panpearl014_solutions. pdf 8