Λογική και Προτασιακός Λογισµός ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµη εισαγωγή στην Λογική και τον Προτασιακό Λογισµό. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1
Κ. Κυρίτσης 2 Λογική Περιεχόµενα 1 Προτάσεις 3 2 Συνδετικά 3 2.1 Σύζευξη.............................. 3 2.2 ιάζευξη.............................. 3 2.3 Άρνηση.............................. 3 3 Λογικές Πράξεις 4 4 Συνεπαγωγή και Αµφίδροµη Συνεπαγωγή 4 5 Επιχειρήµατα 5 6 Λογική Συνεπαγωγή 5
Κ. Κυρίτσης 3 Λογική 1 Προτάσεις Πρόταση είναι µια ϕράση η οποία µπορεί να είναι είτε Αληθής T είτε Ψευδής F, αλλά όχι και τα δύο. Οι περισσότερες είναι σύνθετες, αποτελούµενες από µικρότερες προτάσεις, και συνδετικά. Μια πρόταση είναι απλή εάν δεν είναι σύνθετη. Οι απλές προτάσεις συµβολίζονται συνήθως σαν p, q, r,... 2 Συνδετικά Συνδετικά είναι πράξεις που κάνουµε στις απλές προτάσεις για να πάρουµε πιο σύνθετες. Οι ϐασικές είναι οι ακόλουθες. 2.1 Σύζευξη Πρόκειται για το λογικό ΚΑΙ (AND). Γράφουµε p q. Ο πίνακας αλήθειας είναι 2.2 ιάζευξη p q p q T T T T F F F T F F F F Πρόκειται για το λογικό Η (OR). Γράφουµε p q. Ο πίνακας αλήθειας είναι 2.3 Αρνηση p q p q T T T T F T F T T F F F Πρόκειται για το λογικό ΟΧΙ (NOT). Γράφουµε p. Ο πίνακας αλήθειας είναι p p T F F T
Κ. Κυρίτσης 4 Λογική 3 Λογικές Πράξεις Οι λογικές πράξεις έχουν προτεραιότητα. Οταν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης, χρησιµοποιούµε παρεθνέσεις για την επιθυµητή οµαδοποίση των πράξεών. Η σειρά προτεραιότητας είναι,,. Μία σύνθετη πρόταση λέγεται ταυτολογία αν είναι αληθής για κάθε τιµή των λογικών µεταβλητών της. Θα είναι αντίφαση αν ο πίνακας αλήθειας είναι πάντα ψευδής. ύο σύνθετες λογικές προτάσεις P, Q λέµε ότι είναι λογικά ισοδύναµες (ή ίσες) και γράφουµε P Q αν έχουν ταυτόσηµους πίνακες αλήθειας. Για τις λογικές πράξεις ισχύουν οι παρακάτω νόµοι p p p, p p p, (1) (p q) r p (q r), (p q) r p (q r), (2) p q q p, p q q p, (3) p (q r) (p q) (p r), p (q r) (p q) (p r), (4) p F p, p T T, (5) p T p, p F F, (6) p p T, p p F, (7) T F, F T, (8) p p, (9) (p q) p q, (p q) p q. (10) 4 Συνεπαγωγή και Αµφίδροµη Συνεπαγωγή Η συνεπαγωγή είναι η πρόταση p q που σηµαίνει το p συνεπάγεται το q. Η αµφίδροµη συνεπαγωγή είναι η p q η οποία σηµαίνει το p ισχύει αν και µόνο αν ισχύει το q. Οι πίνακες αλήθειας είναι p q p q T T T T F F F T T F F T και
Κ. Κυρίτσης 5 Λογική 5 Επιχειρήµατα p q p q T T T T F F F T F F F T Επιχειρήµατα είναι ο ισχυρισµός ότι δεδοµένων των προτάσεων P i προκύπτει η πρόταση Q. Το Q λέγεται συµπέρασµα. Συµβολικά P 1, P 2,..., P n Q. (11) Ενα επιχείρηµα λέγεται έγκυρο όταν είναι αληθές όταν όλες οι προϋπο- ϑέσεις του P i είναι αληθείς. Στην αντίθετη περίπτωση είναι παραλογισµός. 6 Λογική Συνεπαγωγή Θα λέµε ότι το επιχείρηµα P(p, q,...) συνεπάγεται το επιχείρηµα Q(p, q,...) και ϑα γράφουµε P Q, (12) αν το Q είναι αληθές όταν το P είναι αληθές.
Κ. Κυρίτσης 6 Λογική ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.
Κ. Κυρίτσης 7 Λογική Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )
Κ. Κυρίτσης 8 Λογική Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ