Διδάσκων: Κίρτας Εμμανουήλ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΕ ΗΥ Ενότητα 1: Προσομοίωση φορέα με χρήση πεπερασμένων στοιχείων Διδάσκων: Κίρτας Εμμανουήλ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Κεντρικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Ενότητα 1 ΑΝΑΛΥςΗ ΚΑΤΑςΚΕΥΩΝ ςε ΗΥ Διδάσκων: Κίρτας Εμμανουήλ

Περιεχόμενα ενότητας 1. Προσομοίωση φορέα με χρήση πεπερασμένων στοιχείων

Σκοποί ενότητας

Προσομοίωση Η αναπαραγωγή της συμπεριφοράς ενός φορέα υπό δεδομένα φορτία Προσομοίωση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Η περιγραφή ενός «άπειρου» προβλήματος με διαχωρισμό του σε πεπερασμένο αριθμό υποπεριοχών και περιγραφή της συμπεριφοράς τους με προσεγγιστικές εκφράσεις L i x P x P L L 7

Προσομοίωση Η αναπαραγωγή της συμπεριφοράς ενός φορέα υπό δεδομένα φορτία Προσομοίωση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Η περιγραφή ενός «άπειρου» προβλήματος με διαχωρισμό του σε πεπερασμένο αριθμό υποπεριοχών και περιγραφή της συμπεριφοράς τους με προσεγγιστικές εκφράσεις Προσομοίωση γεωμετρίας του φορέα Προσομοίωση ιδιοτήτων των μελών του φορέα Προσομοίωση φορτίων Εξαγωγή αποτελεσμάτων (εντατικών μεγεθών, παραμόρφωσης κτλ) Χρήση των αποτελεσμάτων για την διαστασιολόγηση των δομικών μελών του φορέα (υπολογισμός διαστάσεων διατομών, οπλισμού, αρμών κτλ) 8

Στάδια προσομοίωσης 3 (α) Διακριτοποίηση 2 1 2 2 (β) Θεώρηση επιμέρους στοιχείων 1 4 p p 1 1 2 2 3 1 3 F 2 2 2 2 1 1 22 2 2 3 3 2 1 1 1 3 3 1 3 1 3 (α) Διακριτοποίηση (α) Διακριτοποίηση (β) Θεώρηση επιμέρους στοιχείων 1 4 1 4 (β) Θεώρηση επιμέρους στοιχείων (β) Θεώρηση επιμέρους στοιχείων 2 p F (γ) Σύνθεση 2 2 3 F 1 3 p p F2 2 3 2 2 3 4 1 1 3 (γ) Σύνθεση 1 3 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΕ ΗΥ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ 1 ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 9 (γ) Σύνθεση 4

Στάδια προσομοίωσης 4 3 p p 1 1 2 2 3 1 3 F 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 3 2 1 1 (α) Διακριτοποίηση 2 1 3 3 1 3 1 3 (γ) Σύνθεση (α) Διακριτοποίηση (α) Διακριτοποίηση F 1 1 2 (β) Θεώρηση επιμέρους στοιχείων 4 4 p F 1 3 2 2 2 3 (γ) Σύνθεση 1 (β) Θεώρηση επιμέρους στοιχείων 1 (β) Θεώρηση επιμέρους στοιχείων (β) Θεώρηση επιμέρους στοιχείων Μεγάλο p υπολογιστικό κόστος p F2 2 3 1 3 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΕ ΗΥ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ 1 ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 10 (γ) Σύνθεση 4 1 Χρήση μητρώων για την περιγραφή των ιδιοτήτων και της φόρτισης του φορέα Χρήση Η/Υ Αριθμητική προσομοίωση 2 2 3 4 1 3 2

Φορέας οπλισμένου σκυροδέματος Προσομοίωμα με γραμμικά στοιχεία Τρισδιάστατη απεικόνιση προσομοιώματος 11

Πλεονεκτήματα αριθμητικής προσομοίωσης Δύσκολη η μελέτη με απλές μεθόδους ή αναλυτικές σχέσεις σε σύνθετα προβλήματα - Πολύπλοκη γεωμετρία - Μεγάλος αριθμός δομικών μελών με διαφορετικές ιδιότητες - Απλές και σύνθετες φορτίσεις (κατακόρυφα, σεισμός...) Δυνατότητα παραμετρικών αναλύσεων Ικανοποιητική ακρίβεια αποτελεσμάτων σε προβλήματα μηχανικού Πως γινόταν οι αναλύσεις πριν τη διάδοση των Η/Υ??? 12

Μειονεκτήματα αριθμητικής προσομοίωσης Αριθμητικές αστάθειες - Αλγόριθμος επίλυσης - Ανακριβής διακριτοποίηση Συχνά δεν είναι εμφανείς οι αδυναμίες και απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή Επιρροή πολλών παραμέτρων στην ακρίβεια της προσομοίωσης Υπερβολές στην προσομοίωση Αντιμετώπιση προγραμμάτων ως «μαύρο κουτί» από μη έμπειρο χρήστη Garbage in Garbage out 13

Λειτουργία της μεθόδου: Μια περιοχή δίδεται ως σύνολο υποπεριοχών (πεπερασμένων στοιχείων) Σε κάθε στοιχείο καθορίζονται οι κόμβοι και ο τρόπος παραμόρφωσης του στοιχείου Άγνωστα επικόμβια μεγέθη 14

Λειτουργία της μεθόδου: Μόρφωση μαθηματικής εξίσωσης σε κάθε στοιχείο Συνένωση των εξισώσεων όλων των στοιχείων (μητρώα) Επιβολή συνοριακών συνθηκών Επίλυση των εξισώσεων επικόμβιες τιμές Υπολογισμός εντατικών μεγεθών - παραμορφώσεων 15

Επιλογές και σφάλματα προσομοίωσης Αρχικός φορέας F1 Πυκνότερη διακριτοποίηση δεν σημαίνει πάντα και πιο σωστή F1 F1 F2 F2 F2 Λάθος θέση πύκνωσης Σωστή θέση πύκνωσης 16

Επιλογές και σφάλματα προσομοίωσης Αρχικός φορέας Προσομοίωμα Α Καλύτερη προσέγγιση γεωμετρίας Καταρτισμός εξισώσεων? Συμπεριφορά στοιχείων μη κανονικού σχήματος? Προσομοίωμα Β Ανεπαρκής προσέγγιση γεωμετρίας? Καταρτισμός εξισώσεων? Ικανοποιητική συμπεριφορά ομοιόμορφων στοιχείων κανονικού σχήματος 17

Παράδειγμα: υπολογισμός εμβαδού κύκλου Εμβαδόν κύκλου Ε = π R² Υπολογισμός μέσω διακριτοποίησης σε Ν τρίγωνα R R θi Rsinθ Εμβαδόν τριγώνου: 1 1 2π 2 2 Ν 2 E R R sinθ R sin i θi Ei Εμβαδόν κύκλου: 1 2π 2 Ν 2 E Ν E Ν R sin i 18

Παράδειγμα: υπολογισμός εμβαδού κύκλου Εμβαδόν κύκλου Ε = π R² Υπολογισμός μέσω διακριτοποίησης σε Ν τρίγωνα R θi Ei Εμβαδόν κύκλου Αριθμός τριγώνων Ν Εμβαδόν από τρίγωνα Ποσοστιαία απόκλιση 3.14 R² 8 2.828 R² 9.97% 3.14 R² 10 2.939 R² 6.45% 3.14 R² 16 3.061 R² 2.55% 3.14 R² 20 3.090 R² 1.64% Στην συγκεκριμένη περίπτωση η πυκνότερη διακριτοποίηση δίνει ακριβέστερα αποτελέσματα. Ποιος είναι ο βέλτιστος αριθμός τριγώνων που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε προκειμένου η ακρίβεια να μην οδηγεί σε σημαντική αύξηση του υπολογιστικού κόστους? 19

Επιλογή λεπτομέρειας και ακρίβειας προσομοίωσης Απαίτηση για χονδροειδή (ή και καθόλου) προσομοίωση Απαίτηση για προσομοίωση μεγάλης ακρίβειας Και να πέσει το μπουφάν κάτω δεν πειράζει Αυτό να μην πέσει όμως... 20

Τύποι πεπερασμένων στοιχείων Διαστάσεις στοιχείου Γραμμικά 2 διαστάσεων (2D) 3 διαστάσεων (3D) (επιφανειακά) (χωρικά) 21

Τύποι πεπερασμένων στοιχείων Αριθμός κόμβων στοιχείου 2-3 κόμβων 3-4-6-8-9 κόμβων 4-6-8-10-20 κόμβων (επιφανειακά) (χωρικά) 22

Τύποι πεπερασμένων στοιχείων Βαθμοί ελευθερίας των κόμβων Μεταφορικοί βαθμοί ελευθερίας Μεταφορικοί και στροφικοί βαθμοί ελευθερίας 23

Τύποι πεπερασμένων στοιχείων Περιγραφή συμπεριφοράς στοιχείου Η παραμόρφωση συνάρτηση 1 ου βαθμού Η παραμόρφωση συνάρτηση 2 ου βαθμού 24

Τύποι πεπερασμένων στοιχείων Περιγραφή συμπεριφοράς τοιχώματος με το στοιχείο 1 ου βαθμού Προσομοίωμα Α Προσομοίωμα Β 25

Παράδειγμα προσομοίωσης με γραμμικά στοιχεία Λευκάδα (σεισμός 14-08-2003) Sextos et al (2005) 26

Παράδειγμα προσομοίωσης με επιφανειακά και χωρικά στοιχεία (2D-3D) Β Α Ρόδος (φρούριο Αγ. Νικολάου, πύργος Zacosta) Πιτιλάκης, Σεξτος και Κίρτας (2003) 27

Παράδειγμα προσομοίωσης με επιφανειακά στοιχεία (2D) Ρόδος (φάρος στον πύργο Zacosta) 28

1,20 6,75 3,50 Προσομοίωση φορέα με χρήση πεπερασμένων στοιχείων ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΤΟΜΗ ΦΑΡΟΥ Παράδειγμα προσομοίωσης με επιφανειακά στοιχεία (2D) 14 ΒΛΗΤΡΑ Φ 14 ΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΑ, L=60cm, ΠΑΚΤΩΣΗ ΜΕ ΚΟΝΙΑ ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ ΑΠΟ Ο/Σ 60 x25cm (C16/20, S400) ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΚΤΩΣΗ ΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΤΟΥ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΟΥ 0,60 1,50 0,60 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟΣ ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ ΔΙΑΜΕΤΡΟΥ 1.50m ΑΝΑ 2.00m. Πρόσφυση µε τη λιθοδοµή µέσω εποξειδικού ρητινοκονιάµατος και περιµετρικών βλήτρων Πάκτωση µέσω 14 βλήτρων (νευρώδης χάλυβας S400) διαµέτρου Φ14 εντός διατορήµατος Φ16 πληρωµένου µε κονία Λιθοδοµή: Καλής ποιότητας λαξευµένοι λίθοι µε κονίαµα υψηλής αντοχής (Μ10-Μ20). Πλέξιµο των λίθων. Ιδιαίτερη µέριµνα στην περιοχή της κρίσιµης διατοµής (στάθµη +0.50). 1,50 10 ΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΑ ΑΓΚΥΡΙΑ ΔΙΑΜΕΤΡΟΥ Φ 20 ΕΝΙΣΧΥΣΗΣ ΤΗΣ ΚΡΙΣΙΜΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΜΗΚΟΥΣ L=0.90m. Τοποθέτηση εκατέρωθεν της κρίσιµης διατοµής (+0.50 m) Ρόδος (φάρος στον πύργο Zacosta) +0.00 Α 3,10 0,80 Α 5,00 29

Παράδειγμα προσομοίωσης με χωρικά στοιχεία (3D) Ρόδος (φρούριο Αγ. Νικολάου, πύργος Zacosta) 30

Παράδειγμα προσομοίωσης με χωρικά στοιχεία (3D) Ρόδος (φρούριο Αγ. Νικολάου, πύργος Zacosta) 31

Με τι διαστάσεων στοιχεία μπορεί να προσομοιωθεί ο παρακάτω φορέας? 32

Με τι διαστάσεων στοιχεία μπορεί να προσομοιωθεί ο παρακάτω φορέας? Ρόδος (οπλοθήκη De Milly) Πιτιλάκης, Σέξτος και Γαλαζούλα (2002) 34

Με τι διαστάσεων στοιχεία μπορεί να προσομοιωθεί ο παρακάτω φορέας? Ρόδος (οπλοθήκη De Milly) 35

Με τι διαστάσεων στοιχεία μπορεί να προσομοιωθεί ο παρακάτω φορέας? Ρόδος (οπλοθήκη De Milly) 36

Με τι διαστάσεων στοιχεία μπορεί να προσομοιωθεί ο παρακάτω φορέας? Κτίριο ΤΑΧΤΑ (Αθήνα) Πιτιλάκης και Κίρτας (2004) 37

Βασικές έννοιες στατικής Πεπερασμένα στοιχεία Διακριτοποίηση 41

Βασικές έννοιες στατικής Βαθμοί ελευθερίας κόμβου Στο επίπεδο Z Στο χώρο Z RZ RY κόμβος X Χ κόμβος RΧ RY Y 42

Βασικές έννοιες στατικής Βαθμοί ελευθερίας κόμβου X 1 Z RZ Y 2 Z 3 Χ κόμβος RΧ RY Y 43

Βασικές έννοιες στατικής Βαθμοί ελευθερίας κόμβου X 1 3 Y 2 1 Z 3 2 44

Βασικές έννοιες στατικής Βαθμοί ελευθερίας κόμβου X 1 2 Y 2 1 Z 3 3 45

Ιδιότητες υλικού Μέτρο ελαστικότητας E (KN/m²) Συνδέει τις ορθές τάσεις με τις αναπτυσσόμενες αξονικές παραμορφώσεις σ σ Ε ε ε du dx dx du 46

Ιδιότητες υλικού Μέτρο διάτμησης G (KN/m²) Συνδέει τις διατμητικές τάσεις με τις αναπτυσσόμενες διατμητικές παραμορφώσεις τ τ G γ dx dy γ dy dx 47

Ιδιότητες υλικού Λόγος Poisson v o Λόγος της παραμόρφωσης σε διεύθυνση κάθετη στη δύναμη προς την παραμόρφωση παράλληλα στη δύναμη Poisson's ratio v W W L L O O L W O O o Poisson's ratio v W W L L O 48 W O

Ιδιότητες υλικού Πυκνότητα ρ (t/m³) Ορίζεται ως η μάζα του υλικού στη μονάδα του όγκου ρ m V Ειδικό βάρος γ (ΚΝ/m³) Ορίζεται ως το βάρος του υλικού στη μονάδα του όγκου γ B V Προκύπτει: γ ρ g 49

Ιδιότητες υλικού Η συμπεριφορά των υλικών κατά την ανάλυση λαμβάνεται γραμμική και ελαστική Η πραγματικότητα είναι διαφορετική (μη γραμμική ανελαστική συμπεριφορά) F u δύναμη F e πραγματική συμπεριφορά (ανελαστική συμπεριφορά) u e u Παραμένουσα μετατόπιση μετατόπιση 50

Ιδιότητες υλικού Πως λαμβάνεται υπόψη η πραγματική συμπεριφορά υλικού κατά την ανάλυση? Φορτίο σεισμού για ελαστική συμπεριφορά φορέα R d έως την μετακίνηση u* e ΕΑΚ 2000 γραμμική ανάλυση με μικρότερη δύναμη R d /q (q συντ. συμπεριφοράς) R d : Σεισμική δύναμη αν ο φορέας συμπεριφερόταν ελαστικά Η παραλαβή της υπόλοιπης δύναμης και η ανάπτυξη των τελικών μετακινήσεων γίνεται με ανελαστική παραμόρφωση του φορέα δύναμη με την οποία γίνεται η ανάλυση R d F y R d q ελαστική συμπεριφορά πραγματική συμπεριφορά (ανελαστική συμπεριφορά) Η δυνατότητα σημαντικής ανελαστικής παραμόρφωσης κατά την πραγματική u e u* e απόκριση του φορέα εξασφαλίζεται με κατάλληλη διαστασιολόγηση (τοποθέτηση κατάλληλων οπλισμών και συνδετήρων σε κρίσιμες περιοχές, στατικό σύστημα, πλαστικές αρθρώσεις κτλ) μετατόπιση 51

Αναπτυσσόμενα μεγέθη και ιδιότητες διατομής Μεγέθη μετακίνησης δομικού στοιχείου r z u z z y x u y r y u x r x 52

Αναπτυσσόμενα μεγέθη και ιδιότητες διατομής Μεγέθη έντασης δομικού στοιχείου M z M y V y N M T V z MA A B MB NA NA VA VB 53

Αναπτυσσόμενα μεγέθη και ιδιότητες διατομής Εσωτερικές παραμορφώσεις δομικού στοιχείου Καμπτική ροπή M(x) dx Καμπυλότητα κ=dφ/dx dφ Συσχέτιση μεγεθών έντασης-παραμόρφωσης κ Μ ΕΙ 54

Αναπτυσσόμενα μεγέθη και ιδιότητες διατομής Εσωτερικές παραμορφώσεις δομικού στοιχείου Ορθή (αξονική) δύναμη Ν(x) dx Αξονική παραμόρφωση ε=du/dx du Συσχέτιση μεγεθών έντασης-παραμόρφωσης ε Ν ΕΑ 55

Αναπτυσσόμενα μεγέθη και ιδιότητες διατομής Εσωτερικές παραμορφώσεις δομικού στοιχείου Τέμνουσα δύναμη V(x) dx Ολίσθηση γ=dy/dx dy Συσχέτιση μεγεθών έντασης-παραμόρφωσης γ V GΑ 56

Αναπτυσσόμενα μεγέθη και ιδιότητες διατομής Εσωτερικές παραμορφώσεις δομικού στοιχείου Στρεπτική ροπή Μ Τ (x) dx Συστροφή θ =dθ/dx dθ Συσχέτιση μεγεθών έντασης-παραμόρφωσης ΜΤ θ GJ Τ 57

Αναπτυσσόμενα μεγέθη και ιδιότητες διατομής Εσωτερικές παραμορφώσεις δομικού στοιχείου Καμπτική ροπή M(x) dx Καμπυλότητα κ=dφ/dx dφ Συσχέτιση μεγεθών έντασης-παραμόρφωσης κ Μ ΕΙ Ορθή (αξονική) δύναμη Ν(x) Αξονική παραμόρφωση ε=du/dx dx du ε Ν ΕΑ Τέμνουσα δύναμη V(x) Ολίσθηση γ=dy/dx dy γ V GΑ dx Στρεπτική ροπή Μ Τ (x) Συστροφή θ =dθ/dx dθ θ Μ Τ GJ Τ dx 58

Ιδιότητες αντίστασης διατομής όρος δυσκαμψίας (ΕΙ) Καμπτική ροπή M(x) Καμπυλότητα κ=dφ/dx dφ Συσχέτιση μεγεθών έντασης-παραμόρφωσης κ Μ ΕΙ dx Ορθή (αξονική) δύναμη Ν(x) Αξονική παραμόρφωση ε=du/dx όρος δυστένειας (ΕΑ) ε Ν ΕΑ dx du Τέμνουσα δύναμη V(x) Ολίσθηση γ=dy/dx όρος δυστμησίας (GΑ ) dy γ V GΑ dx Στρεπτική ροπή Μ Τ (x) Συστροφή θ =dθ/dx όρος δυστρεψίας (GJ T ) dθ θ Μ Τ GJ Τ dx 59

Παραδείγματα προσομοιώσεων με πεπερασμένα στοιχεία 60

Παραδείγματα προσομοιώσεων με πεπερασμένα στοιχεία Δοκιμή διάτμησης εδαφικού υλικού 63

Παραδείγματα προσομοιώσεων με πεπερασμένα στοιχεία Προσομοίωση τουρμπίνας 64

Παραδείγματα προσομοιώσεων με πεπερασμένα στοιχεία Προσομοίωση συμπεριφοράς μυών στο λαιμό σε στραγγαλισμό Προσομοίωση κυκλοφορίας του αίματος (καρωτίδα) 69

Τέλος Ενότητας 70