Συστήματα αρίθμησης
Σύστημα αρίθμησης Τρόπος αναπαράστασης αριθμών Κάθε σύστημα αρίθμησης έχει μία βάση R Η βάση δείχνει πόσες μονάδες μιας τάξης φτιάχνουν μια μονάδα της επόμενης τάξης Μπορεί να είναι R = 2, 3,, 8,, 10, 16, κοκ
Δυαδικό Σύστημα αρίθμησης και ηλεκτρονικοί υπολογιστές Περνάει ρεύμα (1) Δεν περνάει ρεύμα (0) {0,1} Bits Οκταδικό 8 bits = 1 Byte Δεκαεξαδικό 1 δεκαεξαδικό ψηφίο = 2 Bytes
Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης R = 10 1 εκατοντάδα 10 δεκάδες 1 δεκάδα 10 μονάδες
Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης R = 10 10 3 10 2 10 1 10 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 χιλιάδα 10 εκατοντάδες
Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης R = 10 Χρησιμοποιούνται 10 ψηφία Από 0 έως 9 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) ο αριθμός μεγαλώνει 1568 10 οι θέσεις αριθμούνται ξεκινώντας από το 0 Κάθε θέση k εκφράζει πλήθος 10 k -άδων 1*10 3 5*10 2 6*10 1 8*10 0
Δυαδικό σύστημα αρίθμησης R = 2 1 τετράδα 2 δυάδες 1 δυάδα 2 μονάδες
Δυαδικό σύστημα αρίθμησης R = 2 2 3 2 2 2 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 οκτάδα 2 τετράδες
Δυαδικό σύστημα αρίθμησης R = 2 Χρησιμοποιούνται 2 ψηφία Από 0 έως 1 (0,1) ο αριθμός μεγαλώνει 1101 2 οι θέσεις αριθμούνται ξεκινώντας από το 0 Κάθε θέση k εκφράζει πλήθος 2 k -άδων 1*2 3 1*2 2 0*2 1 1*2 0
Οκταδικό σύστημα αρίθμησης R = 8 1 εξηντατετράδα 8 οκτάδες 1 οκτάδα 8 μονάδες
Οκταδικό σύστημα αρίθμησης R = 8 8 3 8 2 8 1 8 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 πεντακοσιοδωδεκάδα 8 εξηντατετράδες
Οκταδικό σύστημα αρίθμησης R = 8 Χρησιμοποιούνται 8 ψηφία Από 0 έως 7 (0,1,2,3,4,5,6,7) ο αριθμός μεγαλώνει 1567 8 οι θέσεις αριθμούνται ξεκινώντας από το 0 Κάθε θέση k εκφράζει πλήθος 8 k -άδων 1*8 3 5*8 2 6*8 1 7*8 0
Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης R = 16 1 διακοσιοπενηνταεξάδα 16 δεκαεξάδες 1 δεκαεξάδα 16 μονάδες
Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης R = 16 16 3 16 2 16 1 16 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4096 -άδα 16 Διακοσιοπενηντα εξάδες
Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης R = 16 Χρησιμοποιούνται 16 ψηφία Από 0 έως Ε (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,Α,Β,C,D,E) ο αριθμός μεγαλώνει 1567 16 οι θέσεις αριθμούνται ξεκινώντας από το 0 Κάθε θέση k εκφράζει πλήθος 16 k -άδων 1*16 3 5*16 2 6*16 1 7*16 0
Μετατροπές Από Δυαδικό Οκταδικό Δεκαεξαδικό Σε δεκαδικό Από δεκαδικό Σε Δυαδικό Οκταδικό Δεκαεξαδικό
Από δυαδικό σε δεκαδικό Αλγόριθμος: Αριθμούμε τις θέσεις του δοσμένου αριθμού από αριστερά προς τα δεξιά ξεκινώντας από το 0 Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο σε κάθε θέση k με το 2 k Το ζητούμενο προκύπτει αθροίζοντας τα γινόμενα Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα
Από δυαδικό σε δεκαδικό Θέση 5 Θέση 4 Θέση 3 Θέση 2 Θέση 1 Θέση 0 1 0 1 0 0 1 x 2 5 x 2 4 x 2 3 x 2 2 x 2 1 x 2 0 32 0 8 0 0 1 32+0+8+0+0+1=41 101001 2 =41 10
Από οκταδικό σε δεκαδικό Αλγόριθμος: Αριθμούμε τις θέσεις του δοσμένου αριθμού από αριστερά προς τα δεξιά ξεκινώντας από το 0 Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο σε κάθε θέση k με το 8 k Το ζητούμενο προκύπτει αθροίζοντας τα γινόμενα Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα
Από οκταδικό σε δεκαδικό Θέση 5 Θέση 4 Θέση 3 Θέση 2 Θέση 1 Θέση 0 1 2 1 4 0 3 x 8 5 x 8 4 x 8 3 x 8 2 x 8 1 x 8 0 32768 8192 512 256 0 3 32768+8192+512+256+0+3=41731 121403 8 =41731 10
Από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό Αλγόριθμος: Αριθμούμε τις θέσεις του δοσμένου αριθμού από αριστερά προς τα δεξιά ξεκινώντας από το 0 Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο σε κάθε θέση k με το 16 k Το ζητούμενο προκύπτει αθροίζοντας τα γινόμενα Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα
Από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό Θέση 5 Θέση 4 Θέση 3 Θέση 2 Θέση 1 Θέση 0 1 1 1 Β C A x 16 5 x 16 4 x 16 3 x 16 2 x 16 1 x 16 0 1048576 65536 4096 2816 192 10 1048576+65536+4096+2816+192+10=1121226 111BCA 16 =1121116 10
Διαίρεση Διαιρετέος (αυτός που πρέπει να διαιρεθεί) 15 4 Διαιρέτης 3 Υπόλοιπο 3 Πηλίκο
Από δεκαδικό σε δυαδικό Αλγόριθμος: Διαιρούμε τον αριθμό με 2 και κρατάμε τα υπόλοιπα μέχρι το πηλίκο να γίνει 0 Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα υπόλοιπα από το τέλος στην αρχή Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα
Από δεκαδικό σε δυαδικό 155 10 = 10011011 2 155: 2 = 77 και υπόλοιπο 1 77: 2 = 38 και υπόλοιπο 1 38: 2 = 19 και υπόλοιπο 0 19: 2 = 9 και υπόλοιπο 1 9: 2 = 4 και υπόλοιπο 1 4: 2 = 2 και υπόλοιπο 0 2: 2 = 1 και υπόλοιπο 0 1: 2 = 0 και υπόλοιπο 1 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ
Από δεκαδικό σε οκταδικό Αλγόριθμος: Διαιρούμε τον αριθμό με 8 και κρατάμε τα υπόλοιπα μέχρι το πηλίκο να γίνει 0 Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα υπόλοιπα από το τέλος στην αρχή Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα
Από δεκαδικό σε οκταδικό 155 10 = 233 8 155: 8 = 19 και υπόλοιπο 3 19: 8 = 2 και υπόλοιπο 3 2: 8 = 0 και υπόλοιπο 2 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ
Από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό Αλγόριθμος: Διαιρούμε τον αριθμό με 16 και κρατάμε τα υπόλοιπα μέχρι το πηλίκο να γίνει 0 Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα υπόλοιπα από το τέλος στην αρχή Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα
Από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό 155 10 = 9Β 16 155: 16 = 9 και υπόλοιπο 11 (= Β) 9: 16 = 0 και υπόλοιπο 9 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ
Από δεκαδικό σε δυαδικό & υπάρχει και κλασματικό μέρος Αλγόριθμος: Για το ακέραιο μέρος (ό,τι και πριν) Διαιρούμε τον αριθμό με 2 και κρατάμε τα υπόλοιπα μέχρι το πηλίκο να γίνει 0 Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα υπόλοιπα από το τέλος στην αρχή Για το κλασματικό μέρος Πολλαπλασιάζουμε το κλασματικό μέρος με 2 και από το γινόμενο κρατάμε το ακέραιο μέρος (απομακρύνοντάς το) μέχρι το κλασματικό μέρος να γίνει 0 για όσα ψηφία μας επιτρέπεται Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα ακέραια μέρη από την αρχή στο τέλος Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα
Από δεκαδικό σε δυαδικό & υπάρχει και κλασματικό μέρος 155,16 10 = 10011011,001010001 2 155: 2 = 77 και υπόλοιπο 1 77: 2 = 38 και υπόλοιπο 1 38: 2 = 19 και υπόλοιπο 0 19: 2 = 9 και υπόλοιπο 1 9: 2 = 4 και υπόλοιπο 1 4: 2 = 2 και υπόλοιπο 0 2: 2 = 1 και υπόλοιπο 0 1: 2 = 0 και υπόλοιπο 1 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ 155 10 =10011011 2 0,16 * 2 = 0,32 ακέραιο μέρος 0 0,32 * 2 = 0,64 ακέραιο μέρος 0 0,64 * 2 = 1,28 ακέραιο μέρος 1 0,28 * 2 = 0,56 ακέραιο μέρος 0 0,56 * 2 = 1,12 ακέραιο μέρος 1 0,12 * 2 = 0,24 ακέραιο μέρος 0 0,24 * 2 = 0,48 ακέραιο μέρος 0 0,48 * 2 = 0,96 ακέραιο μέρος 0 0,96 * 2 = 1,92 ακέραιο μέρος 1 0,16 10 =0,001010001 2
Από δεκαδικό σε οκταδικό & υπάρχει και κλασματικό μέρος Αλγόριθμος: Για το ακέραιο μέρος (ό,τι και πριν) Διαιρούμε τον αριθμό με 8 και κρατάμε τα υπόλοιπα μέχρι το πηλίκο να γίνει 0 Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα υπόλοιπα από το τέλος στην αρχή Για το κλασματικό μέρος Πολλαπλασιάζουμε το κλασματικό μέρος με 8 και από το γινόμενο κρατάμε το ακέραιο μέρος (απομακρύνοντάς το) μέχρι το κλασματικό μέρος να γίνει 0 για όσα ψηφία μας επιτρέπεται Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα ακέραια μέρη από την αρχή στο τέλος Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα
Από δεκαδικό σε οκταδικό & υπάρχει και κλασματικό μέρος 155,16 10 = 233,001217270 8 155: 8 = 19 και υπόλοιπο 3 19: 8 = 2 και υπόλοιπο 3 2: 8 = 0 και υπόλοιπο 2 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ 155 10 =233 8 0,16 * 8 = 0,02 ακέραιο μέρος 0 0,02 * 8 = 0,16 ακέραιο μέρος 0 0,16 * 8 = 1,28 ακέραιο μέρος 1 0,28 * 8 = 2,24 ακέραιο μέρος 2 0,24 * 8 = 1,92 ακέραιο μέρος 1 0,92 * 8 = 7,36 ακέραιο μέρος 7 0,36 * 8 = 2,88 ακέραιο μέρος 2 0,88 * 8 = 7,04 ακέραιο μέρος 7 0,04 * 8 = 0,32 ακέραιο μέρος 0 0,16 10 =0,001217270 8
Από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό & υπάρχει και κλασματικό μέρος Αλγόριθμος: Για το ακέραιο μέρος (ό,τι και πριν) Διαιρούμε τον αριθμό με 16 και κρατάμε τα υπόλοιπα μέχρι το πηλίκο να γίνει 0 Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα υπόλοιπα από το τέλος στην αρχή Για το κλασματικό μέρος Πολλαπλασιάζουμε το κλασματικό μέρος με 16 και από το γινόμενο κρατάμε το ακέραιο μέρος (απομακρύνοντάς το) μέχρι το κλασματικό μέρος να γίνει 0 για όσα ψηφία μας επιτρέπεται Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα ακέραια μέρη από την αρχή στο τέλος Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα
Από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό & υπάρχει και κλασματικό μέρος 155,16 10 = 9Β,28E5C28E5C 16 155: 16 = 9 και υπόλοιπο 11 (= Β) 9: 16 = 0 και υπόλοιπο 9 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ 155 10 =9Β 16 0,16 * 16 = 2,56 ακέραιο μέρος 2 0,56 * 16 = 8,96 ακέραιο μέρος 8 0,96 * 16 = 15,36 ακέραιο μέρος 15 = Ε 0,36 * 16 = 5,76 ακέραιο μέρος 5 0,76 * 16 = 12,16 ακέραιο μέρος 12 = C 0,16 * 16 = 2,56 ακέραιο μέρος 2 0,56 * 16 = 8,96 ακέραιο μέρος 8 0,96 * 16 = 15,36 ακέραιο μέρος 15 = Ε 0,36 * 16 = 5,76 ακέραιο μέρος 5 0,76 * 16 = 12,16 ακέραιο μέρος 12 = C 0,16 10 =0,28E5C28E5C 16