ΤΙΤΛΟΣ Ακρότατα και φράγµατα στα µέτρα µιγαδικών ΣΧΟΛΙΟ ΣΕ: Πάµπολλες είναι οι ασκήσεις όπου ζητείται το µέγιστο ή το ελάχιστο του µέτρου κάποιου µιγαδικού. Με το άρθρο του συναδέλφου µας Λεωνίδα Θαρραλίδη που ακολουθεί, αποσαφηνίζονται µε τον καλύτερο τρόπο τα διάφορα σχετικά ερωτήµατα. Όπως προκύπτει από το άρθρο, συνηθισµένες είναι οι ελλιπείς ή και λάθος λύσεις στα θέµατα αυτού του είδους.. Εισαγωγή Στο ο θέµα των µαθηµατικών θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του 006, δίνονταν τρεις µιγαδικοί µε = = = και + + = 0 και, µεταξύ άλλων, ζητούνταν να αποδειχθούν οι ανισότητες: 4 και Re( ). Ωστόσο, µε τα δεδοµένα του προβλήµατος, µπορούσε να αποδειχθεί ότι = ενώ Re( ) = ( ες σχετικά και στο τέλος του άρθρου). Αυτό, φυσικά, δεν αναδεικνύει λανθασµένο το θέµα, αλλά εγείρει το ερώτη- µα κατά πόσο είναι νόµιµο από τη µεριά της «µαθηµατικής ηθικής» να ζητούµε από µαθητές να αποδείξουν την ύπαρξη φράγµατος σε µία σταθερή ποσότητα: τον αριθµό 4 ως άνω φράγµα του φράγµα του Re( ). και τον αριθµό ως κάτω Όταν είδα το θέµα, θυµήθηκα µία άσκηση (από τις «Γενικές» µάλιστα) του χαριτωµένου και αλησµόνητου βιβλίου µαθηµατικών τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου (Α Έκδοση 999). Στην άσκηση 5 της σελίδας 5 δίνονταν οι µιγαδικοί = i και = + i και ζητούνταν η µέγιστη και ελάχιστη τιµή της παράστασης +, δηλαδή η µεγαλύτερη και µικρότερη τιµή που µπορεί να πάρει ο αριθµός: ( i) + (+ i) = 4+ i= 7!!!
ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο Πόσο µεγάλο µπορεί άραγε να γίνει το 7 ; (Παρεπιµπτόντως, στο βιβλίο αυτό, σε µερικές ασκήσεις -σε µερικές άλλες, πάλι, όχι!- όταν λέγαµε «µιγαδικός» εννοούσαµε «µη πραγµατικός µιγαδικός»).. Φράγµα - Ακρότατο Έστω Α µία παράσταση που περιέχει µεταβλητές (τουλάχιστον µία) και η αριθµητική της τιµή µεταβάλλεται. Άνω φράγµα της Α λέγεται κάθε α- ριθµός α για τον οποίο ισχύει A α, για οποιαδήποτε τιµή των µεταβλητών της παράστασης A. Είναι φανερό ότι, τότε, και κάθε αριθµός β µε β> α, είναι επίσης ένα άνω φράγµα της A. Για παράδειγµα, αν A= ηµx+ 4συνx, τότε το 7 είναι ένα άνω φράγµα της A, αφού: ηµx+ 4συνx + 4 = 7. Αλλά φυσικά ισχύουν και A 0, A 500 κλπ. Ανάλογα: κάτω φράγµα της A, είναι κάθε αριθµός κ, µε A κ. Αλλά και οποιοσδήποτε αριθµός λ µε λ κ, είναι επίσης κάτω φράγµα της A. Ακρότατα της A είναι το µέγιστο και το ελάχιστο της A : Μέγιστη Τιµή της A είναι ο αριθµός Μ, όταν είναι ο µεγαλύτερος από τις δυνατές τιµές που παίρνει η παράσταση Α. Ελάχιστη Τιµή της A είναι ο αριθµός m, που είναι η ελάχιστη από τις τιµές που µπορεί να λάβει η παράσταση. Έτσι, για την A= ηµx+ 4συνx, η οποία µετασχηµατίζεται (Άλγεβρα Β Λυκείου, σελίδα 46) στη µορφή A= 5ηµ(x+ φ), όπου µέγιστη τιµή είναι M= 5 ενώ η ελάχιστη m= 5. 4 ηµφ =,συνφ=, η 5 5 Μπορούµε να δώσουµε και µία διαφορετική απόδειξη, µέσω διανυσµάτων: Αν θέσουµε α = (,4) και β = (ηµx,συνx) τότε είναι α= 5,β= και Α= α β. Όµως ισχύει α β α β α β ακραίες τιµές να είναι πραγµατοποιήσιµες όταν α // β. δηλαδή 5 Α 5, µε τις
ΤΙΤΛΟΣ εν υποχρεούται κάθε παράσταση να εµφανίζει φράγµατα ή ακρότατα. Για παράδειγµα η A= x +,x 0 δεν έχει ούτε φράγµατα ούτε ακρότατα. Η x B= x +,x> έχει κάτω φράγµα κάθε αριθµό κ µε κ αλλά δεν έχει x ακρότατο. Τέλος, η παράσταση Γ= x +,x έχει κάτω φράγµα κάθε α- x ριθµό κ µε κ και ελάχιστη τιµή το. (Είναι εύκολο να αποδείξουµε ότι x+, x R µε την ισότητα να ισχύει για x= ). Πάντως, όταν µία x παράσταση έχει ελάχιστη τιµή, αυτή είναι το µέγιστο κάτω φράγµα της. Οι διαφορές µεταξύ άνω φράγµατος και µέγιστης τιµής (όταν υπάρχουν) είναι:. Η µέγιστη τιµή είναι µοναδική ενώ τα άνω φράγµατα άπειρα σε πλήθος. εν θα ήταν παράλογο να ζητηθεί στο ο θέµα του 006 ότι π.χ. 006!!. Η µέγιστη τιµή είναι αριθµός που λαµβάνει η παράσταση για προσδιορίσιµες τιµές των µεταβλητών που περιέχει. Ανάλογης ποιότητας διαφορές µπορούµε να εντοπίσουµε και µεταξύ των ακόλουθων µαθηµατικών εννοιών:. Μεταξύ συνόλου αφίξεως B συνάρτησης f : A B και συνόλου τιµών f(a) : Το B είναι υπερσύνολο του f(a), περιέχει όλες τις τιµές f(x) των στοιχείων x του A, αλλά ενδεχοµένως και αριθµούς που δεν είναι τιµές της συνάρτησης. Για παράδειγµα, αν f : R [,0] µε f(x) = ηµx τότε B= [,0] ενώ προφανώς f(a) [,] =.. Μεταξύ της περιβάλλουσας γραµµής και του γεωµετρικού τόπου µεταβλητού σηµείου M. Η περιβάλλουσα είναι «η γραµµή στην οποία κινείται το M», άσχετα µε το αν τελικά το M δεν µπορεί να βρεθεί σε όλες τις θέσεις της. Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε µεταβλητό σηµείο M(ηµθ,συνθ) µε π θ 0, τότε x M + ym =, άρα το M κινείται στο µοναδιαίο κύκλο (0,).
4 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο π Αφού όµως θ 0,, συµπεραίνουµε ότι x M,yM 0. Έτσι ο γεωµετρικός τόπος του M είναι το τεταρτοκύκλιο του παραπάνω κύκλου που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο. Ο προσδιορισµός Ακροτάτων Παράστασης, Συνόλου Τιµών, Γεωµετρικού Τόπου είναι σαφώς δυσχερέστερος από τον υπολογισµό φραγµάτων ή συνόλου αφίξεως ή περιβάλλουσας, εφόσον απαιτεί έλεγχο των αποτελεσµάτων ως προς τη δυνατότητα πραγµατοποίησής τους.. Ασκήσεις µε Ακρότατα Μέτρου Μιγαδικών Στη συνέχεια θα δούµε µερικές ασκήσεις, στις οποίες ο βιαστικός εντοπισµός «ακροτάτων» αποδεικνύεται παραπλανητικός. Σε κάθε περίπτωση ακολουθεί η αποκατάσταση της αλήθειας. Άσκηση Λύση ίνονται οι µιγαδικοί, w µε w= + + 4i και 7 + = i. Α. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας K(). Β. Να βρείτε το ελάχιστο δυνατό µέτρο του w. Α. Το K() βρίσκεται στη µεσοκάθετο του AB όπου A( 7,0) και B(,), η οποία είναι ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος. Αν θέσουµε = x+ yi, βρίσκουµε την εξίσωση η οποία είναι της µεσοκαθέτου (ε) του AB. x+ 4y= Β. Με = x+ yi, είναι w = (x+ ) + (y+ 4)i. Έτσι: w = (x+ ) + (y+ 4) = x + y + 6x+ 8y+ 5 και αφού 6x+ 8y= (x+ 4y) = 4 : δηλαδή w 7. Έτσι w = 7. min w= x + y + 49 49= 7 ΣΧΟΛΙΟ: Σύµφωνα µε τον τρόπο λύσης στο (Β), το ελάχιστο µέτρο του w επι-
5 ΤΙΤΛΟΣ Άσκηση Λύση τυγχάνεται όταν x + y = 0 x= y= 0. Όµως η εικόνα του αριθµού 0 δεν βρίσκεται στην x+ 4y=!! ιαφορετικά: Ο µιγαδικός = 0+ 0i δεν έχει την ιδιότητα 7 + = i. Κατά συνέπεια, το 7 δεν είναι η ελάχιστη τιµή του µέτρου του w, αλλά ένα κάτω φράγµα. Το λάθος διορθώνεται ως εξής: Είναι w = (KA), όπου K(), A(, 4). Έτσι, έχουµε: ( ) + 4( 4) 7 = d(a,ε) = = > 7. min + 4 5 Με το γεωµετρικό αυτό τρόπο, είναι δυνατό να προσδιορισθεί και ο µιγαδικός w µε το ελάχιστο δυνατό µέτρο. Α. Να λύσετε την εξίσωση: 6συνθ + 5συν θ+ 4= 0, όπου θ R. Β. Να βρείτε τη γραµµή στην οποία κινούνται οι εικόνες των ριζών της παραπάνω εξίσωσης, για τις διάφορες τιµές του θ. Γ. Να βρείτε τη µέγιστη δυνατή τιµή του µέτρου για τις ρίζες αυτές. Α. Είναι = ( 6συνθ) 4( 5συνθ+ 4) = 6συν θ 6= ( 4ηµθ) άρα, = συνθ± ηµθ i. Β. Αν Μ, οι εικόνες των, τότε x, Έτσι: = συνθ ενώ y, =± ηµθ. x, y, = συνθ, =± ηµθ οπότε τα σηµεία Μ, βρίσκονται στην έλλει- ψη µε εξίσωση x y + =. 9 4 Γ. Είναι = (MM ) και η µέγιστη τιµή προκύπτει όταν το τµήµα MM γίνει ο µεγάλος άξονας της έλλειψης. Είναι α = 9 άρα α= και α= 6. Έτσι: = 6.
6 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο ΣΧΟΛΙΑ: Οι µιγαδικοί είναι συζυγείς εποµένως οι εικόνες τους είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον άξονα x x. Έτσι, η χορδή MM της έλλειψης είναι κάθετη στον x x άρα η µέγιστη τιµή της είναι ο µικρός άξονάς της, δηλαδή: = β= = 4. Στο ίδιο συµπέρασµα θα καταλήγαµε και ως εξής: Είναι = = Im( ) i= ηµθ= 4 ηµθ άρα = 4, όταν ηµθ= κλπ. Με το δεύτερο αυτόν τρόπο, µπορεί να απαντηθεί και η επόµενη π παραλλαγή της άσκησης: Να δοθεί ότι θ 0, αντί για θ R. 4 Σ αυτή την περίπτωση η µέγιστη τιµή του αντιστοιχεί στη µέγιστη τιµή του ηµθ µε Θα βρίσκαµε =. π θ 0, 4, δηλαδή στο π ηµ =. 4 Αν θέλει κανείς να περιπλέξει ακόµη περισσότερο την κατάσταση, µπορεί να δώσει διαφορετικό διάστηµα για το θ, π.χ. το [ 7π / 6,4π / ]. Άσκηση ίνεται η εξίσωση συνθ + (5 4ηµθ) = 0, όπου θ [0,π]. Α. Να βρείτε τις ρίζες της, και τη γραµµή στην οποία κινούνται οι εικόνες τους. Β. Να υπολογίσετε τη µέγιστη δυνατή τιµή του µέτρου. Λύση Α. Είναι = 4συν θ 0+ 6ηµθ= 4( ηµ θ) 0+ 6ηµθ= = 4(ηµθ 4ηµθ+ 4) = [(ηµθ )] άρα,= συνθ ± (ηµθ )i. Αν Μ (συνθ,ηµθ ) η εικόνα του = συνθ + (ηµθ )i,
7 ΤΙΤΛΟΣ τότε ισχύει M M x + (y + ) =, οπότε το M κινείται στον κύκλο µε κέντρο το K(0, ) και ακτίνα. Όµοια, η εικόνα M (συνθ, ηµθ) βρίσκεται στον κύκλο µε κέντρο Λ(0,) και ακτίνα. Β. Είναι = (MM ). Με ένα πρόχειρο σχήµα καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι το µέγιστου µήκους τµήµα MM προκύπτει όταν το M βρεθεί στη θέση (0, ) ενώ το M στη θέση (0,). Έτσι: = 6. ΣΧΟΛΙΑ: Είναι = = Im( ) = ηµθ = 4 ηµθ. Στο [0,π], η ελάχιστη τιµή του ηµθ είναι η ηµ0= ηµπ= 0 άρα = 4. Προκύπτει όταν Μ (, ) και Μ (,) (για θ= 0 ) ή Μ (, ) και Μ (,) (για θ= π ) Αν στο ερώτηµα (Α) είχε ζητηθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων, τότε τα πράγµατα θα ήταν ευκολότερα στο (Β), αλλά δυσκολότερα στο (Α): ουδέν καλόν αµιγές κακού! Αφού θ [0,π], θα έχουµε συνθ [,] ενώ ηµθ [0,] άρα (ηµθ ) [, ] δηλαδή ηµθ και ηµθ. Έτσι, για το Μ (x, y) ισχύουν: x, y και για το Μ : x, y. Τελικά, ο γεωµετρικός τόπος του Μ είναι το πάνω ηµικύκλιο του πρώτου κύκλου ενώ του Μ το κάτω ηµικύκλιο του δεύτερου κύκλου. Άσκηση 4 y Έστω = x+ yi µε x, y πραγµατικούς και x + =, όπου ηµθ π θ 0,. Α. Αποδείξτε ότι: + συν θ = + ηµθ.
8 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο Β. Αν η εικόνα του αξόνων και το σηµείο A(,0) :. Να βρείτε την τιµή του βρίσκεται σε έλλειψη µε εστίες την αρχή των π θ 0,.. Υπολογίστε το µιγαδικό µε =.. Ποια είναι η µέγιστη δυνατή τιµή του µέτρου του ; Λύση Α. Η εικόνα M() βρίσκεται στην έλλειψη µε άρα γ = α β = συν θ. Έτσι γ= συνθ> 0 αφού Ε(συνθ,0). π θ 0, α =, β = ηµθ και οι εστίες είναι Ε ( συνθ,0), Θα ισχύει, λοιπόν: (ME ) + (ME) = α + συνθ+ συνθ=, οπότε ( + συνθ+ συνθ ) = 4 + συνθ + + συνθ συνθ+ συνθ = 4 και µετά τις πράξεις: + συν θ+ συν θ= 4 από όπου τελικά έχουµε το ζητούµενο. Β.. Αφού 0+ συν θ ηµθ = +, η εικόνα του κινείται, για κάθε τιµή του θ, σε έλλειψη µε εστίες Ο(0,0) και Συµπεραίνουµε ότι άρα. Αφού Ακόµη: συν θ= συνθ= και τελικά θ= π 4. ηµθ=, θα είναι: = x + y =. 4 (συν θ,0). y x + = x + y =. Από το σύστηµα, βρίσκουµε: οπότε =± ± i. x =±,y±
9 ΤΙΤΛΟΣ. Αντικαθιστώντας στη σχέση του (Α): άρα: =. Έτσι: + = 6 = = =. ΣΧΟΛΙΑ: Είναι x + y = και = x + y = x + y y = y άρα = = Αυτό συµβαίνει όταν y= 0. Τότε x = x=±, δηλαδή όταν =± + 0i =±. 6 Η λανθασµένη τιµή =, είναι απλώς ένα άνω φράγµα για το µέτρο του. Το λάθος στον υπολογισµό ήταν ότι θεωρήθηκε εφικτό να έχουµε = 0 =, που φυσικά αντιφάσκει µε το =! 4. Η Αφορµή Από τα παραπάνω θα έγινε αντιληπτό ότι, για να βεβαιωθούµε αν ένας αριθµός είναι ακρότατο κι όχι κάποιο φράγµα για την µεταβλητή παράσταση που µας απασχολεί, ο ασφαλής τρόπος είναι να ελέγχουµε για ποιες τιµές των-της µεταβλητής επιτυγχάνεται ο αριθµός αυτός. Αφορµή για το άρθρο αυτό, αποτέλεσε µία παραλλαγή άσκησης του σχολικού βιβλίου (που βρήκα σε φροντιστηριακό) όπου, επιπλέον, ζητούνταν η µέγιστη τιµή ενός µέτρου, χωρίς όµως να εξετάζεται αν αυτή µπορεί να πραγµατοποιηθεί. Στη συνέχεια, µεταφέρω την αρχική ά- σκηση (του σχολικού βιβλίου), το ερώτηµα για το µέγιστο µέτρο και ένα δικό µου, που αφορά τη δυνατότητα επίτευξής του : Άσκηση 5 ίνονται οι µιγαδικοί, w µε w i = i +.
0 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο Λύση Α. Αποδείξτε ότι: αν η εικόνα του ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ=, τότε το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του µιγαδικού w. Β. Να υπολογίσετε τη µέγιστη δυνατή τιµή του µέτρου w. Γ. Για ποια τιµή του προκύπτει η παραπάνω µέγιστη τιµή; Α. Θα δείξουµε ότι: αν = τότε w=. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι, για παράδειγµα: i i i i i w= = = = = =, i+ i+ i + i i + αφού =. Β. Αν Μ(), K(w) οι εικόνες των, w τότε w = (MK). Τα M, K βρίσκονται σε κύκλο ακτίνας ρ= οπότε η µέγιστη τιµή του (MK) προκύπτει όταν η χορδή MK γίνει διάµετρος. Συµπεραίνουµε ότι: w =. Γ. Τα σηµεία M, K είναι αντιδιαµετρικά όταν είναι συµµετρικά ως προς το κέντρο Ο του κύκλου. Τούτο συµβαίνει όταν οι, w είναι αντίθετοι, δηλαδή όταν: Έχουµε: άρα, i i+ + w= 0 + = 0... 4i = 0 = ( 4i) 4( ) = < 0 4i± i = = (± )i.. ΣΧΟΛΙΑ: Στο (Γ) ερώτηµα χρησιµοποιήσαµε τύπο διακρίνουσας µε µη πραγµατικό αριθµό. Τα αποτελέσµατα είναι φυσικά έγκυρα, ωστόσο αυτή η περίπτωση δεν περιλαµβάνεται στο σχολικό βιβλίο. Τελικά, η παρτίδα σώθηκε! Με την έννοια ότι είχαµε όντως µέγιστη τιµή (και όχι φράγµα) το. Ωστόσο, το πρόβληµα είναι γενικότερο: όταν δύο µεταβλητοί µιγαδικοί, w αλληλεξαρτώνται και γνωρίζουµε τις γραµµές κίνησης των εικόνων τους, τότε δεν είναι σίγουρο ότι αυτό που «νοµίζουµε» ως ακρότατη τιµή του w µπορεί να επιτευχθεί. Κι αυτό γιατί, ενδέχεται οι «ιδανικές» θέσεις των εικόνων
ΤΙΤΛΟΣ τους να µην επιτυγχάνονται ταυτόχρονα, εφόσον η οποιαδήποτε θέση της µίας εικόνας καθορίζει αυτόµατα και τη θέση της άλλης, µέσω της σταθερής σχέσης που συνδέει τους δύο µιγαδικούς. Αν, για παράδειγµα i w= και =, εύκολα βρίσκουµε ότι i+ και w=. Θα περίµενε κανείς ότι η µέγιστη τιµή του µέτρου w είναι. Αλλά αυτό συµβαίνει όταν: i + w= 0 + = 0... i+ i = 0 ( i) = 0 = i, τιµή που όµως απορρίπτεται αφού µηδενίζει τον παρονοµαστή του w! Βέβαια, ο παρατηρητικός λύτης ίσως πρόσεχε ότι: i( i) i( i) = = δηλαδή ότι w= + i ( i) i!!! i( i) w= = i(i + ) Με άλλα λόγια, ο w είναι σταθερός µιγαδικός. Τώρα είναι: w= + i = (MA) όπου Α(0,) ενώ το Μ() βρίσκεται στον κύκλο (O,). Το µήκος (MA) δε µεγιστοποιείται, αφού το M δε µπορεί να βρεθεί στη θέση (0,), εξαιτίας του ότι i+ 0 i. 5. ιερεύνηση Θα εξετάσουµε τώρα τις συνθήκες κάτω από τις οποίες δύο συνδεόµενοι µιγαδικοί, w του ίδιου µέτρου δε δίνουν µέγιστη τιµή στο µέτρο w. Ταυτόχρονα, στην πορεία της διερεύνησης, θα προκύψει κι ένας µηχανισµός παραγωγής «σωστών» εκφωνήσεων, ο οποίος δίνει ανεξάντλητο πλήθος ασκήσεων, παρόµοιας -δυστυχώς- µορφής. Έστω, λοιπόν, οι µιγαδικοί, w µε + αi w=, όπου α,β,γ R και βi + γ = c> 0. Απαιτούµε και w= c, ώστε οι εικόνες των, w να βρίσκονται στον ίδιο κύκλο (O,c). Αυτό συµβαίνει όταν: + αi= c βi+ γ (+ αi)( αi) = c (βi+ γ)( βi+ γ) και, µετά τις πράξεις: 4 c + α α( )i= c β + c γ + c βγ( )i, για κά-
ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο θε µε = c. Συµπεραίνουµε ότι: α= cβγ 4 και c + α = c β + c γ (). Λόγω της πρώτης σχέσης: ενώ w= βi+ γ 4 4 () c + c β γ = c β + c γ, c βγi σχέση που οδηγεί στην: ( cβ) = ή γ =. Με τις παραπάνω συνθήκες, η µέγιστη τιµή του µέτρου w είναι c, όσο η διάµετρος του κύκλου στον οποίο βρίσκονται οι δύο εικόνες. Αυτό είναι πραγµατοποιήσιµο µόνον όταν: + w= 0 + = 0, βi+ γ c βγi που οδηγεί στην εξίσωση: β (γ+ )i c βγ= 0 (). Είναι, εποµένως, δυνατό να µην προκύψει το αναµενόµενο µέγιστο µέτρο για το w ; Ναι! Μόνον όταν η () έχει διπλή ρίζα την τιµή του που γ γ απαγορεύει την ύπαρξη του w, δηλαδή την i βi = β. Έστω, λοιπόν, ότι: = 0 () γi γi και β (γ+ ) c βγ= 0 β β (4). Η () οδηγεί στην ( γ+ ) = 4β c γ. Η (4) στην ( ) γ cβ = 0 από όπου: γ= 0 ή cβ =. Συνοπτικά: Μία άσκηση που ζητά προσδιορισµό µέγιστης τιµής για το w είναι προβληµατική, όταν ικανοποιείται το σύστηµα συνθηκών: (Σ ): γ = ή cβ = (Σ ): ( γ+ ) = 4β c γ (Σ ): γ= 0 ή ( cβ) = ιερευνούµε µε βάση τις τελευταίες συνθήκες:
ΤΙΤΛΟΣ Αν γ= 0 η (Σ ) δίνει = 0. Έτσι, πρέπει ( cβ) = οπότε ικανοποιείται η (Σ ) ενώ η (Σ ) δίνει ( γ ) Τελικά: γ= και ( cβ) =, οπότε ο w γίνεται: + = 4γ, άρα γ=. β i i c βi β β β i w= = = = βi+ βi+ βi+ β(βi+ ). Συµπέρασµα: Αν = c και τότε w β i w= β(βi + όπου β 0, ) = c αλλά το µέτρο w δεν έχει µέγιστη τιµή το c. Ωστόσο ο w είναι τότε σταθερός µιγαδικός, αφού: i(β i) βi+ w= = = = i. iβ(βi+ ) iβ(βi+ ) βi β Ποιος είναι ο µηχανισµός παραγωγής «σωστών ασκήσεων», ο οποίος θα αναδεικνυόταν στην πορεία της διερεύνησης; Από τις αρχικές συνθήκες (Σ ) που εγγυώνται ότι w ( cβ) =, τότε ο w δε µεταβάλλεται. Πράγµατι, τότε είναι άρα: c β= β, γi β β γi β γi w= = = = i. βi+ γ β(βi+ γ) βi(β γi) β Η συνθήκη γ =, δίνει, µε γ= είτε γ=, µεταβλητούς w. Αν, π.χ. γ=, β= και c=, τότε παράγεται η παρακάτω = c, αν ισχύει η Άσκηση 6 ίνονται οι µιγαδικοί, w µε Α. Αποδείξτε ότι και w =. Β. Βρείτε τη µέγιστη τιµή του w. + 9i w= i και =. Γ. Για ποια τιµή του το παραπάνω µέτρο γίνεται µέγιστο; [Απάντηση: w = 6, όταν =± i ]
4 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο 6. Εφιαλτικός Επίλογος Γιατί περιοριστήκαµε σε µιγαδικούς και w = f() µε = w ; Ας δούµε και µία περίπτωση στην οποία οι, w να έχουν διαφορετικά µέτρα: Άσκηση 7 ίνονται οι µιγαδικοί, w µε + i w=. Η εικόνα του βρίσκεται i+ 6 στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα. Α. Αποδείξτε ότι: η εικόνα του w βρίσκεται σε οµόκεντρο κύκλο α- κτίνας. Β. Υπολογίστε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του µέτρου w. Λύση όθηκε ότι = άρα οπότε Α. Είναι: 4 =. = = = 4 + i + i + i w= = = = = =. 4i 6+ 4i + i + 6 Β. Είναι w = (MK), όπου M(), K(w). Με ένα πρόχειρο σχήµα καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι: ενώ w =. w = min ΣΧΟΛΙΑ: Είναι + i i + 6 i + i w= = = = i+ 6 i+ 6 i+ 6 = w=! δηλαδή w =σταθερό οπότε w = w =!! min ιαφορετικά: Θέτοντας = x+ yi έχουµε x + y = 4
5 ΤΙΤΛΟΣ οπότε: (x+ yi) + i w = =... = i(x yi) + 6 x(y+ 0) y x + 0y+ i = + x + (y+ 6) x + (y+ 6) Όµως ισχύει και x + (y+ 6) = x + y + y+ 6= 40+ y= 4(y+ 0) αφού Ακόµη: x + y = 4. y x + 0y+ = y (4 y ) + 0y+ = = 6y + 0y= y(y+ 0) = y(y+ 0). Τελικά, η αλγεβρική µορφή του w γίνεται: x y x y w= + i w= + i 4 4 οπότε (ή και: x y x + y w= + i= = = σταθερό 4 4 = =, + i + i (+ i) x y άρα w= = = = = + i κ.λπ). i+ 6 4 (+ i) i + 6 Γεωµετρικά, είναι εντυπωσιακό: Η εικόνα K(x,y ) του w είναι το σηµείο όπου η ακτίνα OM [ M(x,y) είναι η εικόνα του ] τέµνει τον κύκλο (O,). Φανταστείτε µία περιστρεφόµενη ακτίνα OM: τα σηµεία O, K, M είναι πάντα συνευθειακά!. 7. Παράρτηµα: Το ο Θέµα του 006 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί µε = = = και + + = 0. α. Να αποδείξετε ότι: i) = = ιι) 4 και Re( ) β. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των στο µιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχη- µατίζουν.
6 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο η Λύση για το (α) Είναι + = = άρα + = από όπου παίρνουµε διαδοχικά: + + + = Re( ) = Re( ) =. Έτσι: = ( )( ) = Re( ) + = άρα = 4. Τέλος = και όµοια = =, οπότε αποδείχτηκε και το ερώτηµα (i). η Λύση για το (α) Θέτοντας k= xk+ yki έχουµε k k x + y = µε k=,,. Η σχέση + + = 0 δίνει x+ x+ x= 0 και y+ y+ y= 0. Έτσι: x+ x= x και y+ y= y. Θα είναι, λοιπόν, και: (x + x ) + (y + y ) = ( x ) + ( y ) και µετά τις πράξεις: xx+ yy=. Τώρα: ( (x x ) ) (y y ) = + = = x + x + y + y (x x + y y ) =, άρα = και = 4. Τέλος = (x+ yi)(x yi) = (xx+ yy ) + (yx xy )i άρα Re( ) =. Και ένα σχόλιο για το (β) Αφού = = = είναι προφανές ότι οι εικόνες A( ), B( ) και Γ( ) βρίσκονται στο µοναδιαίο κύκλο. Αυτό όµως καθόλου δε σηµαίνει ότι «ο γεωµετρικός τόπος των A, B, Γ είναι ο κύκλος (O,)». Κι αυτό επειδή οι είναι επιφορτισµένοι και µε την ιδιότητα + + = 0, η οποία σε συνδυασµό µε την = = =, συνεπάγεται την = =, η οποία εγγυάται ότι το ABΓ είναι ισόπλευρο τρίγωνο.
7 ΤΙΤΛΟΣ εδοµένης, λοιπόν, της συγκεκριµένης διατύπωσης περί γεωµετρικού τόπου, η σωστή απάντηση είναι: «Ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων A, B, Γ είναι οι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραµµένου στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα». η Λύση για το (α) Θέτοντας k= xk+ yki έχουµε k k x + y = µε k=,,. Η σχέση + + = 0 δίνει x+ x+ x= 0 και y+ y+ y= 0. Έτσι: x+ x= x και y+ y= y. Θα είναι, λοιπόν, και: (x + x ) + (y + y ) = ( x ) + ( y ) και µετά τις πράξεις: xx+ yy=. Τώρα: ( (x x ) ) (y y ) = + = = x + x + y + y (x x + y y ) =, άρα = και = 4. Τέλος = (x+ yi)(x yi) = (xx+ yy ) + (yx xy )i άρα Re( ) =. Και ένα σχόλιο για το (β) Αφού = = = είναι προφανές ότι οι εικόνες A( ), B( ) και Γ( ) βρίσκονται στο µοναδιαίο κύκλο. Αυτό όµως καθόλου δε σηµαίνει ότι «ο γεωµετρικός τόπος των A, B, Γ είναι ο κύκλος (O,)». Κι αυτό επειδή οι είναι επιφορτισµένοι και µε την ιδιότητα + + = 0, η οποία σε συνδυασµό µε την = = =, συνεπάγεται την = =, η οποία εγγυάται ότι το ABΓ είναι ισόπλευρο τρίγωνο. εδοµένης, λοιπόν, της συγκεκριµένης διατύπωσης περί γεωµετρικού τόπου, η σωστή απάντηση είναι: «Ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων A, B, Γ είναι οι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραµµένου στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα».
8 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο 8. Παράρτηµα ΙΙ: Ασκήσεις µε Ακρότατα Ακολουθούν τρία θέµατα µε ακρότατα µέτρων µιγαδικών σε συνδυασµό µε µελέτη µονοτονίας συνάρτησης. ο Θέµα ίνονται οι µιγαδικοί, w µε w+ i= w (). Α. Αν, αποδείξτε ότι: i( ) w= Β. Αν =, αποδείξτε ότι: = και υπολογίστε τις τιµές των και w. Γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των α- ξόνων και ακτίνα, αποδείξτε ότι: w. Λύση Α. Από την () έχουµε w i= w (w+ i) i= w w+ i i= w άρα ( )w= i( ) (). Για, θα είναι w= Β. Όταν =, η () γίνεται βρίσκουµε οπότε = ή i( ). = 0 = και αφού = = ( )( + + ) = 0 ± i =. Για =, η () δίνει άρα Για w= x i, x R w w= i Im(w) = = i και w= x+ yi όπου x,y R =,
9 ΤΙΤΛΟΣ i x yi i i + + + = x yi η () γράφεται ( ) και µετά τις πράξεις βρίσκουµε y= x +. Έτσι: w= x + (x + )i, x R. Όµοια, αν = + i, παίρνουµε w= x + ( x )i, x R. Γ. Θεωρώντας τις αλγεβρικές µορφές = α+ bi και w= x+ yi, είναι α + b = 4. Συµπεραίνουµε ότι άρα α [,]. Έτσι: b = 4 α 0 i( ) = i[α+ bi (α bi) ] =... = b(α+ ) + (α α + b )i και αφού b = 4 α, παίρνουµε τελικά: Η ισότητα και w= i( ) = b(α+ ) + (α α + 4)i. i( ) α α + 4 y=. δίνει τώρα: b x = (α+ ) Υψώνουµε στο τετράγωνο και προσθέτουµε: + = + + + + = = 9 x y [(4 α )(4α 4α ) (α α 4) ]... ( 8α 4α 0) = + +. 9 Έτσι: α [,]. w = x + y = f(α) όπου θέσαµε 9 f(α) = 8α + 4α+ 0 µε Εύκολα βρίσκουµε ότι η f παρουσιάζει µέγιστη τιµή f( ) = f() = 6 και ελάχιστη f( ) = f() = 4. Συµπεραίνουµε ότι Έτσι w =, w w = 6= 4 και 9 min 4 w min= 4=. 9 9 = και συνεπώς: w. ο Θέµα ίνεται η εξίσωση: λ(λ+ )+ λ (λ+ ) = 0, ()
0 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο όπου λ (,0). Α. Να βρείτε τη γραµµή στην οποία κινούνται οι εικόνες των ριζών της. Β. Αποδείξτε ότι οι εικόνες των αριθµών 0 σχηµατίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. Γ. Έστω f(x) = x + x όπου x (,0). Βρείτε το σύνολο τιµών της f.. Να βρείτε τη µέγιστη τιµή του όπου οι ρίζες της () και να αποδείξετε ότι το δεν έχει ελάχιστη τιµή. Λύση Α. Είναι =... = [λ(λ+ )] < 0 αφού λ(λ+ ) 0. Έτσι οι ρίζες της () είναι,= λ(λ+ ) ± λ(λ+ )i. Το σηµείο M ( λ(λ ),λ(λ ) ) = + + κινείται στην ευθεία y= x, ενώ το M ( λ(λ ), λ(λ ) ) = + + στην y= x. Β. Αφού =, τα σηµεία M και M είναι συµµετρικά ως προς τον x x άρα το τρίγωνο OMM είναι ισοσκελές. Το διάνυσµα OM σχηµατίζει γωνία 5 µε τον x x, ενώ το OM γωνία 5, αφού λ(λ+ ) < 0. Έτσι MOM= 5 5 = 90, άρα το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο. Γ. Είναι f (x) = x+, µε ρίζα το. Είναι f (, ] και f [,0) µε άρα f ((,0) ) = [,0).. Είναι: lim f(x) = lim f(x) = 0 και f( ) = x x 0 Im( ) λ λ f(λ) = = = + =. Όµως, λόγω του (Γ) ερωτήµατος, το σύνολο τιµών της συνάρτησης g(x) = f(x) είναι το διάστηµα (0,]. Έτσι: =. Επίσης το σύνολο (0,] είναι ανοικτό αριστερά, οπότε το µέτρο δεν παρουσιάζει ελάχιστη τιµή.
ΤΙΤΛΟΣ ο Θέµα Λύση Α. Η εξίσωση α+ β= 0, όπου α,β R δεν έχει πραγµατικές ρίζες. Αποδείξτε ότι: β> 0 και το µέτρο των ριζών της είναι β. 5 Β. ίνεται η εξίσωση (λ 5λ) + 4= 0 όπου λ (,) i) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f(x) = x 5 5x µε x (,). ii) Αποδείξτε ότι η εξίσωση έχει δύο µη πραγµατικές ρίζες. iii) Αποδείξτε ότι οι εικόνες των βρίσκονται στον ίδιο κύκλο. iv) Αποδείξτε ότι 4 v) Να βρείτε την τιµή του λ (,) για την οποία το µέτρο γίνεται µέγιστο, καθώς και τους σε αυτή την περίπτωση. Α. Προφανώς < 0 άρα α α 4β< 0 β> 0 οπότε β> 0. 4 Ακόµη για τις ρίζες της εξίσωσης από τους τύπους του Vieta θα έ- χουµε άρα Β. i) Είναι = β = β= β = β = β = β f (x) = 5(x + )(x ) < 0 αφού x (,). Έτσι f (,) και εύκολα βρίσκουµε ότι το σύνολο τιµών της είναι το ( 4,4). ii) Έχουµε 5 = (λ 5λ) 6= f (λ) 6 = (f(λ) 4)(f(λ) + 4) < 0 αφού 4< f(λ) < 4, σύµφωνα µε το προηγούµενο ερώτηµα. iii) Από το (Α) ερώτηµα συµπεραίνουµε ότι = = 4=, εποµένως οι εικόνες M και M των µιγαδικών βρίσκονται στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα. iv) Είναι = (MM ) και το µήκος της χορδής MM δεν υπερβαίνει τη διάµετρο του κύκλου. Έτσι 4. v) Το µέτρο µπορεί να γίνει µέγιστο και ίσο µε 4, όταν τα M και M είναι αντιδιαµετρικά σηµεία του κύκλου.
ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο 5 Τούτο συµβαίνει µόνον όταν: + = 0 λ 5λ= 0, από τους τύπους του Vieta στην (). Συµπεραίνουµε ότι: Όµως 4 4 λ(λ 5) = 0 λ= 0,λ=± 5. ± 4 5 (,) εποµένως λ= 0. Η εξίσωση () δίνει τώρα: + 4= 0 = (i) =± i, που είναι οι ζητούµενες ρίζες.