Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική Ολοκλήρωση Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές 6 Aρµονικές συναρτήσεις και προβλήµατα αρχικών συνθηκών Συµβολισµοί είναι το σύνολο των φυσικών αριθµών είναι το σύνολο των ακεραίων αριθµών είναι το σύνολο των ρητών αριθµών είναι το σύνολο των πραγµατικών αριθµών = { ( xy, ): xy, } είναι ο συνήθης ευκλείδιος χώρος όλων των διατεταγµένων ζευγών πραγµατικών αριθµών είναι το σύνολο των µιγαδικών αριθµών Bιβλιογραφία Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρµογές R Churchill-J Brow Mετάφραση: Καραγιαννάκης, ΠΕΚ (993) Βασική Μιγαδική Ανάλυση Jerrold Mardse, Michael Hofma Mετάφραση: Λ Παπαλουκάς Εκδόσεις Συµµετρία 3 Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρµογές Ε Γ Γαλανής Εκδόσεις Συµεών (994) 4 Τheory ad problems of complex Variables M Spiegel, McGraw-Hill

Εισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Ορισµός Το σύνολο {( x, y) : x, y } όλων των διατεταγµένων ζευγών πραγµατικών αριθµών στο οποίο έχουν ορισθεί οι πράξεις ( x, y ) + ( x, y ) = ( x + x, y + y ), k ( x, y ) = ( k x, k y ), k, ( x, y ) ( x, y ) = ( x x y y, x y + x y ), καλείται σύνολο των µιγαδικών αριθµών και συµβολίζεται µε Τα στοιχεία του καλούνται µιγαδικοί αριθµοί, συµβολικά = ( x, y) Ορισµός ύο µιγαδικοί αριθµοί = ( x, y) και = ( x, y) καλούνται ίσοι, συµβολικά = αν και µόνον αν x = x και y = y Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι το σύνολο διατηρεί τη δοµή του ως διανυσµατικού χώρου, παράλληλα όµως µέσω της νέας πράξης του γινοµένου µιγαδικών αριθµών γίνεται και σώµα Πράγµατι, η πράξη της πρόσθεσης στο ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: + = + ( + ) + = + ( + ) 3 3 Για κάθε υπάρχει µοναδικός µιγαδικός αριθµός ο (,) έτσι ώστε + (,) = Για κάθε υπάρχει µοναδικός µιγαδικός αριθµός ο αντίθετος του, συµβολικά = ( x, y), έτσι ώστε + ( ) = (,) Γεωµετρικά το άθροισµα δύο µιγαδικών αριθµών = ( x, y ) και = ( x, y ) αντιστοιχεί στο άθροισµα των αντιστοίχων διανυσµάτων µε καρτεσιανές, x, y συντεταγµένες ( x y ) και ( ) Η πράξη του πολλαπλασιασµού πραγµατικού αριθµού k µε µιγαδικό αριθµό = x, y ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: ( ) 3

( k λ ) k ( λ ) = k + k + λ ( λ ) = k + = k + k ( ) Γεωµετρικά το γινόµενο k αντιστοιχεί στο γινόµενο πραγµατικού αριθµού k x, y µε διάνυσµα που έχει καρτεσιανές συντεταγµένες ( ) Τέλος η πράξη του πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: = ( ) ( ) = 3 3 Για κάθε υπάρχει µοναδικός µιγαδικός αριθµός ο (,) έτσι ώστε (,) = Για κάθε {(,)} υπάρχει µοναδικός µιγαδικός αριθµός ο αντίστροφος του, συµβολικά ή, έτσι ώστε = (,) Η απόδειξη των παραπάνω είναι απλή εφαρµογή του ορισµού της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών Ορισµός 3 Ορίζουµε ως αφαίρεση του µιγαδικού αριθµού από το µιγαδικό αριθµό να είναι η πρόσθεση του µε τον αντίθετο του, δηλαδή ( ) = + Aν = ( x, y ) (,) και ( x, y ) = τότε ορίζουµε τη διαίρεση γινόµενο του µε τον αντίστροφο του Με άλλα λόγια ως το = 4

Σηµείωση: Eίναι εύκολο να δείξουµε ότι xx + yy xy xy =, x + y x + y Θεώρηµα Για κάθε x, y ισχύουν οι σχέσεις: ( x, ) ( y, ) ( x y,) + = + ( x, ) ( y, ) ( x y,) = ( x, ) x =,, y ( y,) y Απόδειξη Η απόδειξη είναι άµεση (βλέπε ορισµό πρόσθεσης και πολ/σµού) Από το Θεώρηµα βλέπουµε ότι οι πράξεις όσον αφορά όλους τους µιγαδικούς αριθµούς της µορφής ( x, ), ( x ) είναι ακριβώς όπως στους πραγµατικούς αριθµούς Αν λοιπόν ορίσουµε το σύνολο {( ) } A= x, : x, τότε προφανώς ισχύει A, το A είναι κλειστό ώς προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού, το A περιέχει τους αριθµούς (,) και (,) και υπάρχει µία αντιστοιχία µεταξύ των στοιχείων του A και του µέσω της ισοδυναµίας x ( x,) Εφόσον οι πράξεις στο A είναι ακριβώς όπως στο στο εξής θα ταυτίζουµε το σύνολο A µε το Mε τον τρόπο αυτό επεκτείνουµε το σώµα των πραγµατικών αριθµών στο σώµα των µιγαδικών αριθµών Μέσω αυτής της επέκτασης ταυτίζουµε το µιγαδικό αριθµό ( x,) µε τον πραγµατικό αριθµό x και γράφουµε x = ( x,) Ετσι το µηδέν γράφεται ως = (,) και το ένα γράφεται ως = (,) Αναφέρουµε όµως ότι η έννοια της συνήθους διάταξης των πραγµατικών αριθµών δεν µπορεί να επεκταθεί στους µιγαδικούς αριθµούς Έτσι µια έκφραση της µορφής < έχει νόηµα µόνο όταν, Απ την άλλη µεριά εφόσον κάθε µιγαδικός αριθµός αναπαρίσταται από ένα διατεταγµένο ζεύγος πραγµατικών αριθµών ως = ( x, y) προφανώς υπάρχει µια απεικόνιση του επί του θεωρώντας ότι κάθε µιγαδικός αριθµός 5

έχει καρτεσιανές συντεταγµένες x και y αντιστοίχως Εφόσον κάθε µιγαδικός x παριστάνει έναν πραγµατικό αριθµό x, ο οριζόντιος άξονας x x στη γεωµετρική παράσταση του παριστάνει την πραγµατική ευθεία Tι µπορούµε να πούµε για τον άξονα yy που παράγεται από το της µορφής (,) µοναδιαίο διάνυσµα (, ); Kατ αρχήν παρατηρούµε ότι (,) (,) = (,) = Ορισµός 4 Ο µιγαδικός αριθµός ( ), συµβολίζεται µε i, καλείται φανταστική µονάδα και ο άξονας yy καλείται φανταστικός άξονας Κάθε µιγαδικός αριθµός της µορφής (, y) = y (,) = y i καλείται φανταστικός αριθµός Προφανώς ισχύει η σχέση i = Με βάση τα παραπάνω κάθε µιγαδικός αριθµός = ( x, y) µπορεί να γραφεί ως = ( x, y) = ( x,) + (, y) = x (,) + y (,) = x + y i= x+ iy Η = x+ iy καλείται κανονική ή αλγεβρική γραφή του, η τετµηµένη x καλείται πραγµατικό µέρος του και συµβολίζεται µε Re( ), η τεταγµένη y καλείται φανταστικό µέρος του και συµβολίζεται µε Im( ) και το επίπεδο της γεωµετρικής αναπαράστασης του καλείται µιγαδικό επίπεδο Ορισµός 5 Εστω = x+ iy είναι µιγαδικός αριθµός Τότε ο µιγαδικός αριθµός = x iy καλείται συζυγής του Eίναι εύκολο να αποδειχθούν οι ιδιότητες: (α) Re( ) = ( + ), (β) Im( ) ( ) =, i (γ) =, (δ) ± ± = ± ±, (ε) =, (στ) πραγµατικος =, (ζ) φανταστικος = 6

Ορισµός 6 Καλούµε µέτρο του µιγαδικού αριθµού = x+ iy τo µη αρνητικό αριθµό = x + y Γεωµετρικά ο αριθµός παριστάνει την απόσταση του = ( x, y) ως σηµείου του µιγαδικού επιπέδου από την αρχή των αξόνων και συµπίπτει µε τη συνήθη απόλυτη τιµή όταν y = Με ανάλογο τρόπο ο αριθµός ισούται µε την απόσταση µεταξύ των µιγαδικών = x+ iy και = x + iy θεωρούµενων ως σηµείων του µιγαδικού επιπέδου Θεώρηµα Ισχύουν οι σχέσεις: (α) = (β) = (γ) Re( ) Re( ) (δ) Im( ) Im ( ) (ε) ± + (τριγωνική ανισότητα) Απόδειξη Οι (α)-(δ) είναι εύκολες Θα δείξουµε την (ε) όσον αφορά το + Η απόδειξη είναι όµοια για το Θα αποδείξουµε πρώτα το δεύτερο σκέλος της τριγωνικής ανισότητας Εχουµε: ( )( ) ( )( ) + = + + = + + = + + + = + + + ( ) ( ) = + + Re + + Re ( ) + + = + Άρα + + Στη συνέχεια θα αποδείξουµε το πρώτο σκέλος της ανισότητας Εστω Τότε 7

οπότε: = ( + ) + ( ) + + ( ), + + Οµοίως αν, τότε οπότε: = ( + ) + ( ) + + ( ), + Αρα σε κάθε περίπτωση έχουµε: + Tο σύνολο των µιγαδικών αριθµών µπορεί να επεκταθεί εισάγοντας το σύµβολο στο µιγαδικό επίπεδο Τότε ορίζουµε το επεκτεταµένο µιγαδικό επίπεδο = { } έτσι ώστε: + = ( ) και =, = για κάθε και = = για κάθε Ως γεωµετρικό µοντέλο για το χρησιµοποιούµε τη µοναδιαία σφαίρα (σφαίρα του Riema) Πράγµατι αν θεωρήσουµε την ευθεία που ενώνει το σηµείο N = (,,) µε οποιοδήποτε σηµείο P N της σφαίρας τότε η ευθεία αυτή τέµνει το επίπεδο Oxy σε µοναδικό σηµείο P ορίζοντας µία αντιστοιχία µεταξύ των σηµείων της µοναδιαίας σφαίρας και των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου Aυτή η απεικόνιση καλείται στερεογραφική προβολή Αν συµπεριλάβουµε και το σηµείο N παρατηρούµε ότι όταν ένα σηµείο P της σφαίρας πλησιάζει το σηµείο N, τότε η ευθεία που διέρχεται από τα δύο αυτά 8

σηµεία τείνει να γίνει παράλληλη προς το µιγαδικό επίπεδο και συνεπώς το σηµείο P τείνει να γίνει το κατ εκδοχήν ή επ άπειρο σηµείο του µιγαδικού επιπέδου Oxy Aν P = ( xyc,, ) είναι οι καρτεσιανές συντ/νες οποιουδήποτε σηµείου της µοναδιαίας σφαίρας (εκτός του N ) τότε οι συντ/νες του σηµείου P = ( x, y,) δίνονται από τις σχέσεις x y x =, y = c c x y (ή σε µιγαδική µορφή = + i) c c Aντιστρόφως, αν τότε αποδεικνύεται ότι οι συντ/νες σηµείου P της σφαίρας Riema µέσω της στερεογραφικής προβολής είναι + x=, y=, c= + i( + ) + Eίναι εύκολο να δει κανείς ότι µέσω της στερεογραφικής προβολής το άνω ηµισφαίριο της σφαίρας του Riema απεικονίζεται στο εξωτερικό του µοναδιαίου δίσκου { : >} ενώ το κάτω ηµισφαίριο απεικονίζεται στο εσωτερικό του µοναδιαίου δίσκου { : <} Πολική ή Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού ρ > και θ είναι οι πολικές συντεταγµένες σηµείου A ( xy, ) Έστω = του (µιγαδικού) επιπέδου που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό = x+ iy Επειδή x = ρσυνθ και y = ρηµθ, ο µιγαδικός µπορεί να γραφεί ως ( ) = x+ iy= ρ συνθ + iηµθ Είναι γνωστό ότι x y = ρ = + Τότε ( συνθ ηµθ ) = + i και έτσι παίρνουµε την πολική ή τριγωνοµετρική µορφή του Λαµβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα των συναρτήσεων ηµ x και συν x η παραπάνω ισότητα παίρνει τη µορφή ( συν θ π ηµ θ π ) = ( + k ) + i ( + k ), k 9

Για δοθέν θ τέτοιο ώστε = ( συνθ + i ηµθ ), τo σύνολο των γωνιών ( ) { θ + kπ k } arg = : arg Ορισµα δεν ορίζεται για το µιγαδικό αριθµό = Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων και A είναι εκείνο το σηµείο στο µιγαδικό επίπεδο που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό, γεωµετρικά το arg( ) είναι κάθε γωνία σε ακτίνια την οποία σχηµατίζει ο θετικός ηµιάξονας των πραγµατικών αριθµών µε το τµήµα OA καλείται όρισµα του, συµβολικά ( ) Σηµείωση: Στο εξής θα λέµε ότι η γωνία θ διαγράφεται µε τη θετική φορά αν η γωνία θ διαγράφεται από το θετικό ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών προς την ηµιευθεία OA αντιωρολογιακά Αν η φορά διαγραφής από το θετικό ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών προς την ηµιευθεία OA είναι η ωρολογιακή, γράφουµε θ Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι το arg( ) παίρνει άπειρες τιµές που όµως διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του π Μεταξύ των επιµέρους στοιχείων του συνόλου arg( ) υπάρχει ακριβώς ένα στοιχείο που ανήκει στο διάστηµα ( π, π ] (ή στο [,π ) ) Αυτό το στοιχείο καλείται πρωτεύουσα τιµή του ορίσµατος ή πρωτεύον όρισµα και συµβολίζεται µε Arg( ) Εστω = x+ iy είναι ένας µη µηδενικός αριθµός Ενας τρόπος υπολογισµού του πρωτεύοντος ορίσµατος είναι ο εξής: Eστω ότι Arg( ) [,π ) τότε: και = x+ iy Αν A θ y = τοξεφ, x, x θ αν τεταρτηµοριο o o π θ αν τεταρτηµοριο rg ( ) =, αν 3 o π + θ τεταρτηµοριο o π θ αν 4 τεταρτηµοριο Αν θεωρήσουµε ότι Arg ( ) ( π, π ] και θ είναι όπως παραπάνω, τότε

A θ αν τεταρτηµοριο o o π θ αν τεταρτηµοριο rg ( ) =, αν 3 o π + θ τεταρτηµοριο o θ αν 4 τεταρτηµοριο Θεώρηµα 3 Εστω j j ( συνφ j ηµφ j) = + i, j =, είναι δύο µη µηδενικοί µιγαδικοί αριθµοί Τότε: (α) = = και φ = φ kπ (β) ( συν ( φ ) i ηµ ( φ )) = + +, ( ) k Με άλλα λόγια ο συζυγής = x iy ενός µιγαδικού αριθµού = x+ iy παριστάνεται στο µιγαδικό επίπεδο ως το συµµετρικό του σηµείου = ( x, y) ως προς τον πραγµατικό άξονα (γ) ( συν( φ φ ) i ηµ ( φ φ )) = + + + Με άλλα λόγια το γινόµενο δύο µιγαδικών αριθµών, είναι ένας νέος µιγαδικός αριθµός µε µέτρο ίσο µε το γινόµενο των µέτρων των, και arg = arg + arg όρισµα ( ) ( ) ( ) = + (δ) ( συν ( φ φ ) i ηµ ( φ φ )) Με άλλα λόγια το πηλίκο δύο µιγαδικών αριθµών, είναι ένας νέος µιγαδικός αριθµός µε µέτρο ίσο µε το πηλίκο των µέτρων των, και όρισµα arg / = arg arg ( ) ( ) ( ) Απόδειξη Oι (α) και (β) είναι προφανείς Ενδεκτικά θα δείξουµε τη (γ) Εστω =, όπου = ( συνϕ + i ηµϕ ), ϕ Από την πολική µορφή των µιγαδικών, έχουµε (( συνφ συνφ ηµφηµφ ) ( ηµφ συνφ ηµφ συνφ )) = = + i +

( συν( φ φ ) i ηµ ( φ φ )) = + + + Από την (α) έχουµε = = και k ϕ φ φ π = + +, ( ) ( ) + ( ) = { φ + kπ k } + { φ + λπ λ } arg arg : : { φ φ ( k λ) π : k, λ } { φ φ π: } arg( ) = + + + = + + = k Αρα Προσοχή: Iσχύει Πράγµατι arg + arg arg ( ) + ( ) = { ϕ + π } + { ϕ + λπ λ } arg arg : : αλλά { ϕ ϕ ( λ) π :, λ } { ϕ πk: k } = + + + = +, ( ) = { ϕ + kπ k } = { ϕ + kπ k } arg : 4 : Είναι προφανές ότι { ϕ + 4 kπ : k } { ϕ + kπ : k } Κατ επέκταση ισχύει: ( ) arg = arg + + arg arg, Προσοχή: Οσον αφορά τις πρωτεύουσες τιµές των ορισµάτων ισχύει Arg = Arg + Arg + λ π για κάποιο ακέραιο λ ( ) ( ) ( ) Οµοίως: rg = rg rg + λπ A A ( ) A ( ) Σηµείωση: Συµβολίζουµε µε arg ( ) για κάποιο ακέραιο λ θ το συγκεκριµένο στοιχείο του συνόλου

arg( ) που ικανοποιεί την ( ) Ορισµός 7 Για κάθε (µε εκθέτη ακέραιο) ως εξής: θ arg < θ + π θ * και { } ορίζουµε τη δύναµη µιγαδικού (α) = (β) =, -φορές (γ) = ( ) Aν = ( συνφ i ηµφ ) + είναι ένας µη µηδενικός µιγαδικός αριθµός τότε από το Θεώρηµα 3 και τον ορισµό 7 προκύπτει άµεσα ο τύπος του Moivre: Ο τύπος του Euler ( συν ( φ ) ηµ ( φ )) = + i, () x x x x Είναι γνωστό ότι e = + + + + + Αν δεχθούµε ότι η παραπάνω!!! ισχύει για x = iy, y, όπου i είναι η φανταστική µονάδα, τότε έχουµε: 3 4 iy iy ( iy) ( iy) e =+ + + + + =+ iy y i y + y +!!!! 3! 4! 4 6 3 5 7 y y y y y y = + i y! 4! 6! + + + 3! 5! 7! = συν y+ i ηµ y, όπου τα δεξιά µέλη της προτελευταίας ισότητας είναι τα αναπτύγµατα McLauri των συναρτήσεων συνy και ηµy αντίστοιχα Οδηγούµαστε λοιπόν στον εξής ορισµό (τύπος Euler): ( ) iy e = συν y+ i ηµ y, y () 3

iy Προφανώς e = y Η γεωµετρική ερµηνεία του iy e είναι προφανής: Αν το y [,π ) τότε η iy e διαγράφει το µοναδιαίο κύκλο µε κέντρο το (,) στο µιγαδικό επίπεδο κατά τη θετική φορά Για µοναδιαίο κύκλο άπειρες φορές y επαναδιαγράφουµε το Από τον ορισµό () γίνεται σαφές ότι κάθε µιγαδικός αριθµός = ( συνφ + i ηµφ) µπορεί να γραφεί ως Επίσης ο τύπος De Moivre γίνεται: i Αν = e θ, θ, τότε: Νιοστές ρίζες i = e φ (3) iφ = e, (4) iθ ( ) ( συνθ ηµθ ) συν ( θ ) ηµ ( θ ), e = + i = + i Ορισµός 8 Εστω a { } και { } συµβολικά a (ή a / ) κάθε ρίζα της εξίσωσης Καλούµε νιοστή ρίζα του α, = a i Αν λοιπόν = e φ i είναι ένας τυχαίος µιγαδικός αριθµός και a= a e θ, τότε από την εξίσωση = a σε συνδυασµό µε τον τύπο του De Moivre παίρνουµε iφ iθ = a e = a e = a και φ = θ + kπ Kατά συνέπεια λύνοντας ως προς και φ παίρνουµε θ+ λπ i a = a e, λ και θέτοντας λ = l + k, l, k =,, παρατηρούµε λόγω περιοδικότητας των συνx και ηµx, ότι έχουµε ακριβώς διαφορετικές µεταξύ τους ρίζες της εξίσωσης = a, τις 4

θ+ kπ i a = a e, k =,, είξαµε λοιπόν το Θεώρηµα 4 Εστω a { } i : a a e θ, θ νιοστές ρίζες του a είναι οι µιγαδικοί αριθµοί = και { } Oι θ+ kπ i a = a e, k =,, (5) Σηµείωση: (α) Γεωµετρικά οι νιοστές ρίζες του a αναπαρίστανται στο µιγαδικό επίπεδο ως κορυφές ενός κανονικού -γώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο κέντρου (,) και ακτίνας a (β) Αν θ =Α rg ( ), παίρνουµε τον ισοδύναµο τύπο της (5): ( ) + Arg a i kπ a = a e, k =,, Ορισµός 9 Εστω a { }, { } µ a µ a µ a και µ Tότε oρίζουµε ( ) = = Σηµείωση: Aπό τον παραπάνω ορισµό παίρνουµε άµεσα ότι µ ( ) µ Arg a + kπ i µ a = a e, k =,, Παρατήρηση: Eίναι χρήσιµο να παρατηρήσουµε ότι µ µ ( a ) ( a ) εκτός εάν οι µ και είναι πρώτοι µεταξύ τους (δηλ έχουν µέγιστο κοινό διαιρέτη τη µονάδα), δηλαδή (, )= µ 5

Λυµένες ασκήσεις είξτε ότι + + + 3 i i i i, + + + = Λύση Από την ιδιότητα i = έχουµε i 3 = i i= i, άρα ( ) i i i i i i i i + + + = + + + ( ) + + + 3 3 είξτε ότι αν, Λύση Εχουµε = i + i i =, w, τότε w w = ( w ) + + + + w + w = ( + w)( + w) + ( w)( w) = ( + w)( + w) + ( w)( w) = + w+ w + ww+ w w + ww =( w ) + 3 Υπολογίστε τις παραστάσεις: 4 8 8 ( i), ( i 3 ), ( i 3) ( i 3) + + + + Λύση (i) Γράφουµε το µιγαδικό αριθµό = + i σε πολικές συντεταγµένες π Εχουµε = + = και θ = τοξεφ = Εφ οσον ο αντιστοιχεί 4 σε σηµείο του µιγαδικού επιπέδου στο ο τεταρτηµόριο προκύπτει άµεσα ότι πi π 4 Arg ( ) = θ = και συνεπώς + i= e Χρησιµοποιώντας τον τύπο του 4 De Moivre (4) παίρνουµε πi 4 4 6 3πi πi ( ) ( ) + i = e = e = e = 64 6

(ii) Οµοια ο µιγαδικός αριθµός w=+ i 3 γράφεται σε πολικές συντεταγµένες πi 3 ως + i 3= e και από τον τύπο του De Moivre έχουµε ( ) πi 4 4πi 4πi 4 4 4 4 3 3 3 π π + i 3 = e = e = 6e = 6 συν + iηµ 3 3 3 = 6 i = 8 8 3 i (iii) Παρατηρούµε ότι ο µιγαδικός 3 i είναι συζυγής του + 3 3 i= e (βλέπε (ii)) Τότε ( ) ( ) π i 8 i 8 8 i 8 i π π π 3 3 8 3 8 3 8 8 + i 3 + i 3 = e + e = e + e 8πi 8πi 8 3 3 8 8π 8 = e + e = συν = = 56 3 πi 4 Υπολογίστε τις κυβικές ρίζες της µονάδας Λύση Από την (5) έχουµε + λπ i 3 3 3 = = e, λ =,,, άρα: πi 4πi + i 3 i 3 3 3 =, = e =, 3 = e = 5 Να βρεθούν οι κυβικές ρίζες του = + i και να γραφούν σε καρτεσιανή και πολική µορφή π Λύση Επειδή = 4+ 4 = 8, θ = τοξεφ = και ο = + i 4 π 3π βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο έχουµε Arg ( ) = π θ = π =, συνεπώς 4 4 3 /4 = + i= 8 e πi Τότε από την (5) έχουµε 7

Αρα 3 3 3 π /4+ λπ 3 + i = + i e i, λ =,, πi πi 9πi 4 =, =, = e e e και µετατρέποντας αυτές σε καρτεσιανές συντεταγµένες έχουµε 3 3 3 3 = + i, = + i, = i +, 3 ( π π π + π π π 3 συν = συν =, ηµ = ηµ = ) 3 4 3 4 6 Αν να επιλυθεί στο η εξίσωση + = ( ) ( ) Λύση Προφανώς η ισότητα δεν ικανοποείται για = Για κάθε έχουµε ( ) ( ) + + = =, άρα από την (5) παίρνουµε ως προς και έχουµε π+ λπ + i = = e λ =,,, Λύνουµε e = e (λ+ ) πi (λ+ ) πi (λ + ) π (λ + ) π συν i + ηµ = (λ + ) π (λ + ) π + συν + iηµ + = (λ + ) π (λ + ) π ηµ + iηµ 4 (λ + ) π (λ + ) π συν + iηµ 4 8

= (λ + ) π (λ + ) π (λ + ) π ηµ + iηµ συν 4 4 4 (λ + ) π (λ + ) π (λ + ) π συν + iηµ συν 4 4 4 (λ + ) π (λ + ) π ηµ iσυν (λ ) π + + 4 4 = εφ 4 (λ + ) π (λ + ) π συν + iηµ 4 4 (λ + ) π = i εφ, λ =,, 4 7 Υπολογίστε την i πi π /+ kπ i 4 e, k = = = = 3πi 4 e, k = Λύση Από την (5) έχουµε i e ( k,) πi η 4 περίπτωση: i = e Tότε: η περίπτωση: πi πi π /4+ λπ i 8 e, λ 4 = i = e = e ( λ =,) = 7πi 8 e, λ = i = e 3π i 4 Tότε: Tελικά 3πi 3πi 3 π /4+ λπ i 8 e, λ 4 = i = e = e ( λ =,) = π i 8 e, λ = πi 7πi 3πi πi 8 8 8 8 i = e, e, e, e Σηµείωση: Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε αν θεωρήσουµε / (( ) ) ( ) / /4 4 i = i = i = i 9

και υπολογίσουµε την 4 η ρίζα του i µέσω της (5) Αν και µπορούµε να / / m m δείξουµε ότι ισχύει ( a ) = a, m,, η ισότητα ( ) w w a = a δεν ισχύει εν γένει για δυνάµεις w, kπi k i/ 8 είξτε ότι = e : k =,, Επιπλέον αν wk = e π, k =,,, δείξτε ότι οι νιοστές ρίζες της µονάδας ικανοποιούν τη σχέση + w + + = w Λύση Από την (5) παίρνουµε + kπ i kπi ( ) = e = e, k =,, Tο άθροισµα + w+ + w είναι άθροισµα -όρων γεωµετρικής προόδου µε / λόγο, άρα από την ισότητα λ = e πi λ λ + + + = + λ+ + λ =, ( w w πi / πi e e έχουµε + w+ + w = = = πi/ πi/ e e 9 Εστω, θ { kπ : k } είξτε ότι / λ = e πi ) ( + ) θ ηµ + συνθ + συν ( θ ) + + συν ( θ ) = + θ ηµ Λύση Εστω w = i e θ θ Τότε παρατηρούµε ότι ( θ θ θ ) συνθ συν ( θ ) συν ( θ ) Re + w + w + + w = + + + + (α) Απ την άλλη µεριά υπολογίζουµε:

( + ) θ ( + ) θ ( + ) θ ( + ) θ ( + ) θ + i i / i / i / i / wθ e e e e e θ θ θ iθ iθ / iθ / iθ / iθ / wθ e e e e e + w + w + + w = = = ( ) ( + ) ( + ) ( + ) i θ / i θ / i θ / e e e = e e e ( ) iθ / iθ / iθ / = e ( ) θ / ( + ) i + θ iηµ iθ / θ e iηµ ( + ) θ ( + ) θ ( + ) iθ / θ θ θ e ηµ συν ηµ ηµ ηµ = = + i θ θ θ ηµ ηµ ηµ Άρα θ ( + ) θ συν ηµ Re( + wθ + wθ + + w θ ) =, οπότε συνδυάζοντας µε θ ηµ την (α) παίρνουµε ( + ) θ θ συν ηµ + συνθ + συν ( θ ) + + συν ( θ ) = θ ηµ Χρησιµοποιώντας την ισότητα ζητούµενο ( a+ b) + ( a b) ηµ ηµ ηµ aσυν b= προκύπτει το Ερµηνεύστε γεωµετρικά τά κάτωθι σύνολα του µιγαδικού επιπέδου: D : r, r θετική σταθερά (α) r ( ) = { < } { :, } E = = + t t (β) ( )

δοθέντες µιγαδικοί και (, ) E : a,, (γ) = { = } Λύση Εστω = x+ iy, = x + iy και = x + iy Τότε: (α) ( ) ( ) ( ) ( ) a + < r x x + y y < r x x + y y < r Αρα το σύνολο ( ) r D είναι το εσωτερικό κύκλου κέντρου και ακτίνας r (β) ( ) ( ) ( ) ( ( )) = + t x+ iy= x + t x x + i y + t y y ( ) ( ) x= x + t x x y = y + t y y, t Οι παραπάνω είναι οι παραµετρικές εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από το σηµείο και είναι παράλληλη στο διάνυσµα που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό (γ) a ( x x ) ( y y ) a ( x x ) ( y y ) = + = + Υψώνοντας στο τετράγωνο (και µετά από στοιχειώδεις πράξεις) παίρνουµε: ( a ) x + ( a x ) ( ) ( ) ( ) ( x x+ a y + a y y y= a x + y x + y) ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις: a Tότε διαιρώντας και τα δύο µέλη της παραπάνω ισότητας µε παίρνουµε (µε συµπλήρωση τετραγώνων): a y ax x x ay y + + + = a a ( + ) ( + ) a x y x y ax x ay y = + +, a a a R

δηλαδή έχουµε κύκλο κέντρου ax x, ay y και ακτίνας R (R a a είναι όπως παραπάνω) υπό την προϋπόθεση ότι R > (αλλιώς έχουµε σηµείο ή αδύνατη) a = Τότε έχουµε ( x x) x ( y y) y ( x y ) ( x y) + = + +, δηλαδή έχουµε µια ευθεία (η οποία είναι η µεσοκάθετος του ευθύγραµµου τµήµατος µε άκρα τα, ) είξτε την ισότητα ( ) 5 3 συν 5θ = 6συν θ συν θ + 5συνθ Λύση Θα χρησιµοποιήσουµε τον τύπο του Euler σε συνδυασµό µε το διωνυµικό ανάπτυγµα του Newto k k! a+ b = a b,, a, b, k= k k = k! ( k)! ( ) Λαµβάνοντας υπόψην ότι! = (εξ ορισµού) και k! = k έχουµε 5 + = k= k 5 k 5 5 k ( συνθ iηµθ ) συν θ ( iηµθ ) 5 5 5 = συν θ ηµθ συν θ ηµθ συν θ ηµθ + + ( i ) ( i ) ( i ) 5 4 3 5 5 5 + συν θ ηµθ συνθ ηµθ συν θ ηµθ 3 + + 4 5 ( i ) ( i ) ( i ) 3 4 5 = + 5 4 3 συν θ 5iσυν θηµθ συν θηµ θ 3 4 5 iσυν θηµ θ + 5συνθηµ θ iηµ θ (α) Απ την άλλη µεριά από τον τύπο De Moivre έχουµε 3

5 ( συνθ iηµθ ) συν ( 5θ ) iηµ ( 5θ ) + = + (β) Εξισώνοντας τα πραγµατικά µέρη των (α) και (β) και χρησιµοποιώντας την ηµ θ= συνθ µετά από στοιχειώδεις πράξεις παίρνουµε το ζητούµενο είξτε ότι ηµ θ ηµθ ηµ ( 3θ) θ Λύση Εφόσον ηµθ Im( e ) 3 3 = 4 4 iθ iθ i e e = = έχουµε i 3 ηµ θ iθ iθ 3 3iθ iθ iθ iθ iθ 3iθ e e e 3e e + 3e e e = = 3 i 8i 3iθ iθ iθ 3iθ iθ iθ 3iθ 3iθ e 3e + 3e e 3 e e e e 3 = =+ = ηµθ ηµ θ 8i 4 i 4 i 4 4 3 (α) είξτε ότι κάθε δευτεροβάθµια εξίσωση a + b + c =, a, b, c, b+ b 4ac a έχει δύο ακριβώς λύσεις τις, = (η ρίζα είναι µιγαδική) a (β) Επιλύστε την εξίσωση ( i) i ( i) + + 3 = ( 3 ) Λύση (α) + + = b b b + + + c = a a a a a b c b b 4ac + = a 4a ( ) a + b = b 4ac, b+ b 4ac = (η ρίζα θεωρείται µιγαδική) a (β) Μετά από στοιχειώδεις πράξεις παίρνουµε 4

θ+ kπ i iθ 4 ( ) b 4ac = 6 i = 6 i e, k =, =± 37 e, όπου θ θ =± συν + ηµ 4 37 i, 6 συνθ =, ηµθ = (οι πολικές συντεταγµένες του 6 i ) 37 37 θ θ + συνθ συν θ = συν συν =± και εφόσον από τις παραπάνω τιµές του ηµθ και συνθ προκύπτει ότι η γωνία θ ανήκει στο 3 ο τεταρτηµόριο αναγκαστικά η γωνία θ/ ανήκει στο ο τεταρτηµόριο εποµένως Αλλά ( ) 6 θ + συνθ 37 37 6 συν = = = 37 Με την ίδια λογική βρίσκουµε Αρα θ ηµθ 37 37 + ηµ = = = 37 ( ) 4 37 θ θ =± + =± 37 6 + 37 + 4 b c συν iηµ i οπότε οι λύσεις της δευτεροβάθµιας εξίσωσης είναι, ( i ) i± 37 6 + 37 + = ( + i) 5

Αλυτες ασκήσεις Υπολογίστε τις ποσότητες: i i + i (α) ( 3+ i)( i), (β) ( ) i 4 + Απάντ (α) 8 + i, (b) 9/+ i 33/ Aν = i, = + i, 3 = 3 i υπολογίστε τις ποσότητες + + + i, +, Im 3, Re( 3 53) + Απάντ (α), (b) 6, (γ) 3 3, (δ) 7 7 3 Εκφράστε τους κάτωθι µιγαδικούς αριθµούς σε πολική µορφή (α) i, (β) 3 i, (γ) 3 3 i Απάντ (α) e 3πi, (b) 4e 7πi 6, (γ) 3e 5πi 3 4 είξτε ότι: (α) = = ή = (β) = = (γ) Αν A = ( x, y ) και B ( x, y ) = είναι σηµεία του µιγαδικού επιπέδου που αντιστοιχούν στους µιγαδικούς αριθµούς και αντιστοίχως δείξτε ότι ( ) OA OB = Re όπου OA OB είναι το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων OA, OB 6

(δ) Εάν είναι µιγαδικός αριθµός δείξτε ότι Re( ) = +, Im( ) = i (ε) Εάν είναι ρίζα της πολυωνυµικής εξίσωσης a + a + + a =, ai δείξτε ότι και ο είναι επίσης ρίζα αυτής (στ) είξτε ότι arg( ) arg( ) w ισχύει w w ( )( w ) 5 είξτε ότι για κάθε, = w Στη συνέχεια δείξτε ότι αν, w < τότε < w 6 Εστω µιγαδικός έτσι ώστε Im( ) και ± i είξτε ότι + = 7 είξτε ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα που ενώνουν τα σηµεία, και τα σηµεία 3, 4 είναι κάθετα αν και µόνον αν Re = 3 4 8 Βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου που ικανοποιούν την εξίσωση a c c b, ab,, c + + + = ( { } γνωστοί) Απάντ Αν a = ευθεία Αν a και c > ab κύκλος 9 Βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου που ικανοποιούν τις εξισώσεις: (α) ( i) + =, (β) + + 3i = 6, (γ) + =, (δ) Im( ) 3 =, (ε) ( ) Im 4 =, (στ) ( ) + = 3 7

Απάντ (α) κύκλος κέντρου + i και ακτίνας (β) έλλειψη µε εστίες τα σηµεία - και 3i (γ) υπερβολή µε εστίες τα σηµεία και - (δ) ευθεία παράλληλη µε τον πραγµατικό άξονα που διέρχεται από το 3i (ε) υπερβολή (στ) κύκλος Υπολογίστε την ποσότητα 3i + 3i Απάντ +i 3 είξτε ότι: (α) ( 4 ) ηµ θ ηµθ συν θ συνθηµ θ θ π ( k k ) 3 = 4 4,, ( ) ( ) 4 συν 4θ συν θ 3 (β) συν θ = + + 8 8 Υπόδ (α) Oπως η λυµένη άσκ (β) Oπως η λυµένη άσκ Εστω, θ { kπ : k } είξτε ότι ( + ) θ θ συν συν + ηµθ + ηµ ( θ ) + + ηµ ( θ ) = θ ηµ Υπόδ (α) Εργασθείτε όπως στη λυµένη άσκ 9 π 4π ( ) π 3 είξτε ότι: (α) συν + συν + + συν = π 4π ( ) π (β) ηµ + ηµ + + ηµ = Υπόδ Υπολογίστε το άθροισµα των νιοστών ριζών της µονάδας 4 Υπολογίστε και σχεδιάστε στο µιγαδικό επίπεδο τις τέταρτες ρίζες του 6 Απάντ {, i,, i}, τετράγωνο µε κορυφές τα σηµεία αυτά 8

5 Αν a { } δείξτε ότι m a = m a 6 Να επιλυθούν οι εξισώσεις (α) ( ) (γ) + i = 3+ i, (β) 4 = 3 i, (δ) 5 4 3 + 6 4=, + = Απάντ (α) + i, i (β),,, ± i (σχήµα Horer) (γ) πi 5πi πi 7πi e, e, e, e (δ) ( i 3 ), ( i 3) ± ± 9