Μαθηματικά Β Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Διανύσματα Ευθεία Κύκλος Ημερομηνία: /3/5 Θέμα Α Α. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 73. Α.. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 84. Α 3. i --> Σ, ii --> Σ, iii --> Λ, iv --> Λ, v --> Σ Θέμα Β Β. x + y 4λx + λy =. () i. Για να παριστάνει κύκλο η παραπάνω εξίσωση θα πρέπει: Α + Β 4Γ > Α + Β 4Γ = 6λ + 4λ = λ Οπότε η παραπάνω εξίσωση θα παριστάνει κύκλο για κάθε λ R, με κέντρο 4,, και ακτίνα 5 Έστω K(x,y). Θα έχουμε: x y y Οπότε ο γεωμετρικό τόπος των εικόνων του κεντρών είναι η ευθεία x + y = i x + y 4λx + λy = x + y + λ( 4x + y) =. Για να προσδιορίσουμε το σταθερό σημείο το οποίο διέρχονται όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (), αρκεί να λύσουμε το παρακάτω σύστημα: x y y 4x 4x y y x y x y Άρα όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την () διέρχονται από το σταθερό σημείο Ο(,) iv.. ΑΟ Β = 9 ο οπότε η εγγεγραμένη γωνία ΑΟ Β βαίνει σε ημικύκλιο. Άρα το ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου και το κέντρο Κ θα διέρχεται από την ευθεία ε. λ = 6λ λ = 7 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
Β. Η ζητούμενη ευθεία θα πρέπει να μην είναι παράλληλη προς τους άξονες και να μην διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Αφού διέρχεται από το σημείο Μ(,), έπεται ότι θα έχει την μορφή: ε: y = λ(x + ) y = λx + λ +, Τα σημεία τομής της ε με τους άξονες προκύπτουν: Για x = : y = λ + και για y = : x. Άρα η ε τέμνει τους άξονες στα Α(,) και Β(, λ + ). (ΟΑ) = και (ΟΒ) =. Οπότε: 4 4 ή 4 (λ + ) = 4λ λ + 4 =, αδύνατη (λ + ) = 4λ λ = 4 ± 3 Άρα οι ζητούμενες ευθείες είναι y = ( 4 + 3)x 3 ή y = ( 4 3)x 3 Θέμα Γ Γ. 6x y = xy () i. 6x yx y = Δ = y + 4y = 5y y 5y y 5y x ή x x y ή 3x y Οπότε η () ορίζει δύο ευθείες τις ε : x y = και ε : 3x + y = Έστω α διάνυσμα παράλληλο στην ε με α = (, ) και β διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία ε με β = (, 3). Για το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζουν τα δύο διανύσματα έχουμε: Οπότε (ε, ) = 45 ο 6, 5 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
Έστω Μ(x,y) σημείο της διχοτόμου των δύο ευθειών, τότε θα ισχύει ότι: x y 3x y 5, d M, d M x y 3x y x y 3x y ή x y 3x y 3 x y ή 3 x y Οπότε οι εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών των δύο ευθειών είναι: δ : 3 x y και δ : x 3 y i Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Μ(,) θα είναι είτε της μορφής: y = λ(x ) λx y + = είτε η κάθετη στον x x ευθεία x =. Αν η ευθεία ε είναι: ε: x = o Για τον προσδιορισμό του σημείου Α αρκεί να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων ε και ε. y A, o Για τον προσδιορισμό του σημείου Β αρκεί να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων ε και ε. 3x y B, Άρα Α Β οπότε η ευθεία x = δεν μπορεί να είναι λύση του προβλήματος. Αν η ευθεία ε είναι: ε: λx y + = o Για τον προσδιορισμό του σημείου Α αρκεί να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων ε και ε. x y A, y y o Για τον προσδιορισμό του σημείου Β αρκεί να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων ε και ε. x 3x y 3 3, y 3 3 3 y 3 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 3
Αφού το Μ(,) είναι μέσο του ΑΒ θα ισχύει: xa xb 3 xm 3 3 ya yb 3 ym ή Οπότε λ = /. Άρα η ευθεία ε είναι: y + x = Γ. i. Οι εξισώσεις γράφονται στη μορφή Αx+By+Γ=, δηλαδή ( ) x y και ( 5) x y. Στην πρώτη οι συντελεστές των x,y δηλαδή τα λ+ και λ μηδενίζονται για λ=-, λ= αντίστοιχα, άρα όχι ταυτόχρονα. Επομένως, η η παριστάνει ευθεία ( ) Στην δεύτερη ο συντελεστής του y είναι το άρα πάλι παριστάνει ευθεία ( ) Για να τέμνονται οι δύο ευθείες αρκεί D i D 5 Άρα θα πρέπει λ 4 και λ. D x 4 5 3 4 ( 4)( ) ( ) D y 4 5 5 x D x ( ) D ( 4)( ) 4 Άρα οι ευθείες τέμνονται στο έ και y Dy D, 4 4 x 4 x x y x y 4 y 4 ( 4)( ) 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής των δύο ευθειών είναι η ευθεία x y = Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 4
Θέμα Δ. Η (ε) δεν παριστάνει ευθεία όταν 4, οπότε παριστάνει ευθεία. 6. Όμως,, συνεπώς. Αν οπότε η () γίνεται 4 y y άρα η (ε) είναι ο άξονας x x. 3. Η ευθεία διέρχεται από το σημείο Α(,-) οπότε οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση, άρα: 6 4 4 4 a. 4. i. Η ευθεία διέρχεται από το σημείο B(3,) οπότε οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση, άρα: 8 8 6 8 Συνεπώς (, ), άρα, 3 4 4 4 4 8 8,,,, (4 και η εξίσωση () γίνεται 6 x 4 y 3x 4y 34 4( ) 5 dm (, ) 3 3 ( 4) 5 Τις απαντήσεις επιμελήθηκαν οι καθηγητές: Γασπαράτος Ανδρέας Ίμπος Χρήστος Παπαθανασίου Νίκος Παύλου Νίκος Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 5