Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8)

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 1 / 24

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Σκοπός αυτού εργαστηρίου είναι η γνωριμία του φοιτητή με την έννοια της αριθμητικής παραγώγισης και τις διάφορες μεθόδους υλοποίησής της μέσα από το M Ειδικότερα, ο φοιτητής θα ασχοληθεί με τα παρακάτω αντικείμενα 1 Αριθμητική Παραγώγιση Διαφορές Πρώτη παράγωγος με προς τα εμπρός διαφορές Πρώτη παράγωγος με προς τα πίσω διαφορές Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 2 / 24

Αριθμητική Παραγώγιση Υπολογισμός Αριθμητικής τιμής της Παραγώγου σε σημείο x 0 Είσοδος τα δοθέντα σημεία Έξοδος η αριθμητική τιμή της παραγώγου στο σημείο x0 Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 3 / 24

Διαφορές Δίνεται ο πίνακας τιμών x 0 1 2 3 4 y 3 2 3 6 17 Έχουμε 5 σημεία αρά θα υπολογίσουμε διαφορές μέχρι τέταρτης τάξης Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 4 / 24

Διαφορές Δημιουργούμε πίνακα τιμών των διαφορών x i f i 1 ης τάξης 2 ης τάξης 3 ης τάξης 4 ης τάξης 0 3 5 1 2 4 1 6 2 3 2 0 3 6 3 6 8 11 4 17 Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 5 / 24

Διαφορές Υπολογισμός των διαφορών, σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 6 / 24

Διαφορές Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 7 / 24

Πρώτη παράγωγος ( NG) Για s = 0 υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο στο x = x 0 Επομένως, με βάση το n έχουμε Για n = 1 f (x 0 ) 1 h f 0 Για n = 2 [ f 0 12 2 f 0 ] f (x 0 ) 1 h Για n = 3 [ f 0 12 2 f 0 + 13 3 f 0 ] f (x 0 ) 1 h Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 8 / 24

Πρώτη παράγωγος ( NG) Για n = k, με k περιττό f (x 0 ) 1 [ f 0 12 h 2 f 0 + 13 3 f 0 + 1k ] k f 0 ή ισοδύναμα, με k άρτιο f (x 0 ) 1 [ f 0 12 h 2 f 0 + 13 3 f 0 1k ] k f 0 Η αριθμητική παραγώγιση με το πολυώνυμο NG χρησιμοποιείται στα αρχικά σημεία παρεμβολής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 9 / 24

Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Με το πολυώνυμο NG έχουμε Για x 0 = 0 έχουμε μέχρι 4 διαφορές, άρα f (0) 1 h [ f 0 12 2 f 0 + 13 3 f 0 14 4 f 0 ] = 5 1 2 ( 4) + 1 3 6 1 4 0 = 9 σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 10 / 24

Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 11 / 24

Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x 0 = 1 έχουμε μέχρι 3 διαφορές, άρα f (1) 1 [ f 0 12 h 2 f 0 + 13 ] 3 f 0 = 1 1 2 2 + 1 3 6 = 2 σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 12 / 24

Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x 0 = 2 έχουμε μέχρι 2 διαφορές, άρα f (2) 1 [ f 0 12 ] h 2 f 0 = 3 1 2 8 = 1 σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 13 / 24

Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x 0 = 3 έχουμε μέχρι 1 διαφορές, άρα f (3) 1 h f 0 = 11 σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 14 / 24

Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x 0 = 4 δεν έχουμε προς τα εμπρός διαφορές και δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγο Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 15 / 24

Πρώτη παράγωγος ( NG) Για s = 0 υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο στο x = x n Επομένως, με βάση το n έχουμε Για n = 1 f (x n ) 1 h f n Για n = 2 [ f n + 12 2 f n ] f (x n ) 1 h Για n = 3 [ f n + 12 2 f n + 13 3 f n ] f (x n ) 1 h Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 16 / 24

Πρώτη παράγωγος ( NG) Για n = k f (x n ) 1 h [ f n + 12 2 f n + 13 3 f n + + 1k k f n ] Η αριθμητική παραγώγιση με το πολυώνυμο NG χρησιμοποιείται στα τελευταία σημεία παρεμβολής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 17 / 24

Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Με το πολυώνυμο NG έχουμε Για x n = 0 δεν έχουμε προς τα πίσω διαφορές και δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγο Για x n = 1 έχουμε μέχρι 1 διαφορές, άρα f (1) 1 h f n = 5 σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 18 / 24

Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x n = 2 έχουμε μέχρι 2 διαφορές, άρα f (2) 1 [ f n + 12 ] h 2 f n = 1 + 1 ( 4) = 1 2 σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 19 / 24

Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x n = 3 έχουμε μέχρι 3 διαφορές, άρα f (3) 1 [ f n + 12 h 2 f n + 13 ] 3 f n = 3 + 1 2 2 + 1 3 6 = 6 Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 20 / 24

Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 21 / 24

Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x n = 4 έχουμε μέχρι 4 διαφορές, άρα f (4) 1 [ f n + 12 h 2 f n + 13 3 f n + 14 ] 4 f n σε M θα έχουμε = 11 + 1 2 8 + 1 3 6 + 1 4 0 = 17 Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 22 / 24

Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 23 / 24

Άσκηση Δίνεται ο πίνακας τιμών x 0 2 4 6 8 10 y 3 1 3 5 7 9 Να υπολογιστούν οι τιμές f (2), f (4), f (6), f (8) Απάντηση: f (2) =, f (4) =, f (6) =, f (8) = Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 24 / 24