1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις της S και είναι μια κανονική υποομάδα της ομάδας μεταθέσεων εφόσον είναι πυρήνας ενός επιμορφισμού. Η ομάδα A λέγεται εναλλάσσουσα ομάδα. Είναι προφανές ότι το σύνολο S Ke g περιέχει όλες τις περιττές μεταθέσεις οι οποίες είναι σε πλήθος όσες ακριβώς είναι και οι άρτιες μεταθέσεις. Επομένως για κάθε > η ομάδα S περιέχει την εναλλάσσουσα ομάδα A που είναι μια κανονική υποομάδα της S και για την οποία ισχύουν [S : A ] και [A : ]! όπως προκύπτει από τις σχέσεις [S /A : ] και [S : A ] [A : ] [S : ]!. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α. Είναι προφανές ότι για θα έχουμε S { } οπότε θα ισχύει A {} εφόσον η εναλλάσσουσα ομάδα περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις. Δηλαδή η εναλλάσσουσα ομάδα A είναι η τετριμμένη ομάδα. Επίσης αν τότε θα έχουμε S { } οπότε θα ισχύει A { } εφόσον κάθε άλλο στοιχείο της ομάδας S είναι περιττή μετάθεση. Άρα η εναλλάσσουσα ομάδα A είναι μια κυκλική ομάδα τάξης. Από το προηγούμενο παράδειγμα προκύπτει ότι το ενδιαφέρον για την εναλλάσσουσα ομάδα A επικεντρώνεται κυρίως για τις τιμές >. Σαν πρώτο βήμα θα βρούμε τα στοιχεία που μπορούν να παράγουνε την ομάδα A. Θ ε ώ ρ η μ α. Η εναλλάσσουσα ομάδα A για κάθε παράγεται από όλους τους -κύκλους. Α π ό δ ε ι ξ η. Αν τότε όπως είδαμε ισχύει A δηλαδή η A παράγεται από ένα κύκλο μήκους. Επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι 4. Είναι γνωστό ότι κάθε μετάθεση είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων. Επομένως αν σ A η μετάθεση σ θα είναι μια άρτια μετάθεση οπότε θα είναι γινόμενο αρτίου πλήθους αντιμεταθέσεων εφόσον κάθε αντιμετάθεση είναι περιττή μετάθεση. Το γινόμενο αυτό μπορεί να

χωριστεί σε ζεύγη αντιμεταθέσεων. Κάθε τέτοιο ζεύγος μπορεί να έχει είτε ένα κοινό στοιχείο είτε κανένα εφόσον αντιμεταθέσεις με δύο κοινά στοιχεία ταυτίζονται. Δηλαδή ένα τέτοιο ζεύγος μπορεί να είναι είτε της μορφής a b c d είτε της μορφής a b b c. Επειδή a b c d a c b a c d και a b b c a b c προκύπτει ότι κάθε ζεύγος αντιμεταθέσεων γράφεται σαν γινόμενο κύκλων μήκους ή είναι ένας κύκλος μήκους. Αυτό σημαίνει ότι η μετάθεση σ θα είναι γινόμενο -κύκλων. Άρα η ομάδα A παράγεται από τους -κύκλους. Στο Παράδειγμα. είδαμε ότι η A είναι η τετριμμένη ομάδα ενώ η A είναι κυκλική τάξης άρα δεν περιέχει γνήσιες μη τετριμμένες υποομάδες εφόσον η τάξη της είναι πρώτος αριθμός. Αποδεικνύεται ότι για κάθε 4 η εναλλάσσουσα ομάδα A δεν περιέχει μη τετριμμένη γνήσια κανονική υποομάδα. Δηλαδή η ομάδα A 4 αποτελεί την εξαίρεση. Ας δούμε λοιπόν προσεκτικότερα την εναλλάσσουσα ομάδα A 4. Είναι γνωστό ότι κάθε στοιχείο της S είναι γινόμενο ξένων μεταξύ τους κύκλων. Επομένως ειδικά για την ομάδα S 4 οι κύκλοι αυτοί δεν μπορούν να έχουν μήκος μεγαλύτερο του 4. Άρα τα στοιχεία της S 4 θα είναι κύκλοι ή γινόμενο ξένων κύκλων μήκους το πολύ 4. Όμως οι κύκλοι σε ένα τέτοιο γινόμενο πρέπει να έχουν διαφορετικά στοιχεία οπότε ένα γινόμενο ξένων μεταξύ τους κύκλων στην ομάδα S 4 μπορεί να έχει τη μορφή a b c d ή a b c d. Από όλα τα προηγούμενα προκύπτει ότι η ομάδα S 4 έχει πέντε ειδών στοιχεία: -κύκλους δηλαδή ταυτότητα -κύκλους -κύκλους 4-κύκλους ή γινόμενο δύο ξένων κύκλων a b c d μήκους. Η ομάδα A 4 περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις της S 4. Επειδή οι κύκλοι μήκους και 4 είναι περιττές μεταθέσεις η ομάδα A 4 θα πρέπει να περιέχει εκτός από την ταυτότητα είτε κύκλους μήκους είτε γινόμενο δύο ξένων μεταξύ τους κύκλων μήκους. Αυτό σημαίνει ότι η εναλλάσσουσα ομάδα A 4 περιέχει ακριβώς τα παρακάτω στοιχεία A 4 { 4 4 4 4 4 4 4 4 4 } Παρατηρούμε ότι η A 4 περιέχει πράγματι στοιχεία εκ των οποίων τα έχουν τάξη και τα έχουν τάξη. Θ ε ώ ρ η μ α. Η εναλλάσσουσα ομάδα A 4 δεν περιέχει υποομάδα τάξης 6. Α π ό δ ε ι ξ η. Υποθέτουμε αντίθετα ότι η A 4 έχει μια υποομάδα H τάξης 6. Τότε από το Θεώρημα Lagage προκύπτει ότι [A 4 : H] οπότε η υποομάδα H είναι μια κανονική υποομάδα της A 4. Άρα ορίζεται η ομάδα πηλίκο A 4 /H και προφανώς ισχύει [A 4 /H : ]. Επομένως για κάθε σ A 4 θα έχουμε σh A 4 /H σh H σ H H σ H.

Η εναλλάσσουσα ομάδα Αυτό σημαίνει ότι έχουμε τη σχέση σ A 4 σ H δηλαδή το σύνολο {σ /σ A 4 } πρέπει να είναι υποσύνολο του H. Όμως το σύνολο { σ /σ A 4 } { 4 4 4 4 4 4 } περιέχει 9 στοιχεία επομένως δεν μπορεί να περιέχεται στην υποομάδα H που περιέχει 6 στοιχεία. Άρα η εναλλάσσουσα ομάδα A 4 δεν περιέχει καμιά υποομάδα τάξης 6. Από το Θεώρημα Lagage γνωρίζουμε ότι η τάξη κάθε υποομάδα είναι διαιρέτης της τάξης της ομάδας. Το προηγούμενο αποτέλεσμα δείχνει ότι σε κάθε διαιρέτη της τάξης μιας ομάδας δεν αντιστοιχεί κάποια υποομάδα. Δηλαδή το αντίστροφο του Θεωρήματος Lagage δεν ισχύει. Η απόδειξη του επομένου θεωρήματος θα γίνει κατά τέτοιο τρόπο ώστε ταυτόχρονα να βρεθούν και όλες οι υποομάδες της A 4. Θ ε ώ ρ η μ α.4 Η εναλλάσσουσα ομάδα A 4 περιέχει μια γνήσια μη τετριμμένη κανονική υποομάδα. Α π ό δ ε ι ξ η. Επειδή [A 4 : ] η τάξη κάθε υποομάδας της A 4 θα πρέπει να είναι διαιρέτης του. Άρα οι πιθανές τάξεις των υποομάδων θα είναι 4 6 και. Είναι προφανές ότι η υποομάδα τάξης είναι η τετριμμένη ενώ η υποομάδα τάξης είναι η ίδια η A 4. Επίσης είδαμε ότι η A 4 δεν περιέχει υποομάδα τάξης 6. Άρα οι πιθανές υποομάδες της A 4 πρέπει να έχουν τάξη ή 4. Οι υποομάδες τάξης ή πρέπει να είναι κυκλικές εφόσον οι αριθμοί και είναι πρώτοι και φυσικά θα παράγονται από στοιχεία της A 4 τάξης ή αντίστοιχα. Όπως αναφέραμε η A 4 έχει στοιχεία τάξης και στοιχεία τάξης. Επομένως οι υποομάδες της A 4 τάξης θα είναι Ενώ οι υποομάδες τάξεις θα είναι H 4 { 4} H 4 { 4} και H 4 { 4}. K { } K 4 { 4 4 } K 4 { 4 4 } και K 4 4 { 4 4 }. Αν τώρα N είναι μια υποομάδα της A 4 με τάξη 4 τότε κάθε στοιχείο της N θα πρέπει να έχει τάξη ή 4. Επειδή όμως η A 4 δεν περιέχει στοιχεία τάξης 4 προκύπτει ότι η N θα περιέχει μόνο στοιχεία τάξης. Έτσι αναγκαστικά θα ισχύει N { 4 4 4}.

4 Εύκολα αποδεικνύεται ότι η N είναι υποομάδα της A 4. Ουσιαστικά πρόκειται για την ομάδα Z Z εφόσον κάθε στοιχείο της έχει τάξη. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι η N είναι η μοναδική τάξης 4 υποομάδα της A 4 εφόσον περιέχει όλα τα στοιχεία της A 4 που έχουν τάξη. Είναι όμως γνωστό ότι για κάθε τ A 4 ισχύουν τnτ < A 4 και [ τnτ : ] [N : ] 4. Επομένως θα πρέπει να ισχύει τnτ N για κάθε τ A 4 εφόσον η N είναι η μοναδική υποομάδα της A 4 με τάξη 4. Άρα η υποομάδα N είναι κανονική υποομάδα της A 4. Επειδή το στοιχείο 4 έχει τάξη είναι προφανές ότι το σύνολο N 0 { 4} είναι υποομάδα της N και μάλιστα κανονική εφόσον ο δείκτης της N 0 στην N είναι. Έτσι καταλήγουμε στο παρακάτω σχήμα N 0 N A 4 S 4 δηλαδή έχουμε μια ακολουθία κανονικών υποομάδων της S 4. Η διεδρική ομάδα Η διεδρική ομάδα έχει αναφερθεί μερικές φορές στα προηγούμενα χωρίς όμως να χρησιμοποιηθεί το όνομά της ή να διατυπωθεί ένα ακριβής ορισμός. Ο ρ ι σ μ ό ς. Διεδρική ομάδα βαθμού είναι η ομάδα των συμμετριών του κανονικού πολυγώνου με κορυφές και συμβολίζεται με D. Αρχικά να παρατηρήσουμε ότι η D είναι πράγματι μια ομάδα εφόσον η σύνθεση συμμετριών είναι μια συμμετρία και κάθε συμμετρία έχει αντίστροφο εφόσον πρόκειται για μια αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση. Σαν πρώτο βήμα θα βρούμε το πλήθος των στοιχείων μιας τέτοιας ομάδας. Αν και η μεθοδολογία που θα ακολουθήσουμε αφορά ένα οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο θα θεωρήσουμε ένα κανονικό οκτάγωνο για εποπτικούς λόγους. 7 7 7 4 6 7 4 6 6 5 5 4 6 5 4 5 a b c d Αριθμούμε τις κορυφές του οκταγώνου όπως στην περίπτωση a στο παραπάνω σχήμα. Είναι προφανές ότι οποιαδήποτε συμμετρία και αν εφαρμοστεί οι κορυφές θα παραμείνουν

Η διεδρική ομάδα 5 κορυφές αν και θα αλλάξουν θέση σε σχέση με την αρίθμηση. Για παράδειγμα στην περίπτωση b βλέπουμε τη θέση των κορυφών αν το οκτάγωνο περιστραφεί περί το κέντρο του κατά γωνία π. Φυσικά για να προσδιοριστεί η θέση των κορυφών μετά από οποιαδήποτε συμμετρία είναι αρκετό να προσδιοριστεί η θέση δύο διαδοχικών κορυφών. Αν αφήσουμε το οκτάγωνο να περιστραφεί γύρω από το κέντρο του η κορυφή μπορεί να μετακινηθεί σε διαφορετικές θέσεις όσες ακριβώς είναι και οι κορυφές του πολυγώνου. Δηλαδή έχουμε δυνατότητες για την κορυφή. Όμως η κορυφή έχει ακριβώς δυνατότητες εφόσον μπορεί να βρεθεί είτε αριστερά είτε δεξιά της κορυφής. Έτσι θα έχουμε 6 διαφορετικές συμμετρίες σε ένα κανονικό οκτάγωνο. Γενικότερα αν έχουμε ένα κανονικό πολύγωνο με κορυφές και το αφήσουμε να περιστραφεί περί το κέντρο του κατά γωνία π κάθε φορά τότε η κορυφή θα έχει διαφορετικές δυνατότητες όσες είναι και οι κορυφές του πολυγώνου. Όμως η κορυφή θα εξακολουθήσει να έχει μόνο δύο δυνατότητες εφόσον και πάλι μπορεί να βρεθεί είτε αριστερά είτε δεξιά της κορυφής. Επομένως η διεδρική ομάδα D θα έχει στοιχεία δηλαδή ισχύει [D : ]. Το πλήθος των στοιχείων της διεδρικής ομάδας μπορεί να βρεθεί και με άλλο τρόπο. Ας θεωρήσουμε πάλι το κανονικό οκτάγωνο περίπτωση c. Είναι προφανές ότι μπορούμε να έχουμε περιστροφές κατά γωνία π περί το κέντρο του πολυγώνου όσες ακριβώς και οι κορυφές. Επίσης μπορούμε να έχουμε συμμετρία ως προς τον άξονα που διέρχεται από δύο απέναντι κορυφές και υπάρχουν 4 τέτοιοι άξονες. Τέλος έχουμε συμμετρία ως τον άξονα που διέρχεται από το μέσο δύο απέναντι πλευρών και υπάρχουν επίσης 4 τέτοιοι άξονες. Δηλαδή συνολικά θα έχουμε περιστροφές και συμμετρίες ως προς άξονες. Οι συμμετρίες ως προς άξονα λέγονται και κατοπτρισμοί. Είναι προφανές ότι η περίπτωση ενός κανονικού πολυγώνου με κορυφές θα μας οδηγήσει σε περιστροφές και κατοπτρισμούς. Τέλος πρέπει να αναφέρουμε ότι αν το κανονικό πολύγωνο έχει περιττό αριθμό κορυφών τότε οι άξονες συμμετρίας θα διέρχονται από μια κορυφή και το μέσον της απέναντι πλευράς. Επομένως και πάλι θα έχουμε τόσους κατοπρισμούς όσες και οι κορυφές του πολυγώνου. Όπως είδαμε στο προηγούμενο σχήμα b η περιστροφή περί το κέντρο κατά γωνία π μεταφέρει την κορυφή στην κορυφή την κορυφή στην κορυφή την κορυφή στην κορυφή. Δηλαδή η περιστροφή περί το κέντρο του πολυγώνου κατά γωνία π περιγράφεται από τη μετάθεση 5 6 7 σ 5 6 7. 4 5 6 7 Είναι προφανές ότι αν έχουμε ένα κανονικό πολύγωνο με κορυφές τότε η περιστροφή περί το κέντρο του κατά γωνία π περιγράφεται από τη μετάθεση a. 4

6 Παρατηρούμε ότι αν αφήσουμε το κανονικό οκτάγωνο του παραπάνω σχήματος να περιστραφεί φορές περί το κέντρο του κατά γωνία π κάθε φορά η κορυφή θα επανέλθει στην αρχική της θέση. Αυτό σημαίνει ότι το στοιχείο σ που περιγράφει την περιστροφή είναι ένα στοιχείο τάξης. Άλλωστε είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι ισχύει σ 5 6 7 4 5 6 7 5 6 7 4 5 6 7 5 6 7 4 5 6 7 δηλαδή το τετράγωνο της μετάθεσης σ περιγράφει την περιστροφή φορές περί το κέντρο κατά γωνία π. Με ανάλογο τρόπο ο κύβος της μετάθεσης σ περιγράφει την περιστροφή φορές περί το κέντρο κατά γωνία π ενώ το στοιχείο σ περιγράφει την περιστροφή φορές περί το κέντρο κατά γωνία π οπότε ξαναβρίσκουμε την αρχική θέση του οκταγώνου. Αυτό σημαίνει ότι ισχύει σ e ταυτότητα δηλαδή od σ. Φυσικά στην περίπτωση ενός κανονικού πολυγώνου με κορυφές θα έχουμε od a όπου a είναι η μετάθεση που περιγράφει την περιστροφή περί το κέντρο του πολυγώνου κατά γωνία π. Ας δούμε τώρα την περίπτωση των κατοπτρισμών. Θα ξεκινήσουμε και πάλι από το κανονικό οκτάγωνο. Στο σχήμα d βλέπουμε τον κατοπτρισμό περί τον άξονα που διέρχεται από τις κορυφές και 5. Όπως παρατηρούμε οι κορυφές και 5 παραμένουν σταθερές ενώ εναλλάσσονται οι κορυφές 7 και 4 6. Η συμμετρία αυτή περιγράφεται από τη μετάθεση τ 5 6 7 7 6 5 4 Παρατηρούμε ότι η διάταξη των στοιχείων της δεύτερης γραμμής με εξαίρεση το έχει αντιστραφεί. Ασφαλώς στη γενική περίπτωση ενός κανονικού πολυγώνου με κορυφές η μετάθεση b περιγράφει ένα κατοπτρισμό περί τον άξονα που διέρχεται από την κορυφή και την απέναντι κορυφή αν είναι άρτιος ή το μέσον της απέναντι πλευράς αν ο είναι περιττός. Σε κάθε περίπτωση αν εκτελεστεί ο ίδιος κατοπτρισμός φορές το πολύγωνο επανέρχεται στην αρχική του θέση οπότε θα ισχύει τ e και b e. Δηλαδή θα έχουμε od τ και od b. Οι δύο αυτές μεταθέσεις a περιστροφή περί το κέντρο κατά γωνία π και b κατοπτρισμός περί τον άξονα συμμετρίας που διέρχεται από την κορυφή που περιγράψαμε παραπάνω παίζουν σημαντικό ρόλο στην διεδρική ομάδα διότι προσδιορίζουν κάθε άλλη συμμετρία του κανονικού πολυγώνου με κορυφές. Το γεγονός αυτό θα το δούμε μέσα από δύο συγκεκριμένα παραδείγματα πριν φτάσουμε στη γενική περίπτωση..

Η διεδρική ομάδα 7 Π α ρ ά δ ε ι γ μ α. Η περίπτωση του ισοπλεύρου τριγώνου είναι η απλούστερη εφόσον πρόκειται για το μικρότερο κανονικό πολύγωνο. Η διεδρική ομάδα D έχει 6 στοιχεία και είδαμε ότι ουσιαστικά είναι η ομάδα S. Η ομάδα D συμμετριών του ισοπλεύρου τριγώνου θα περιέχει περιστροφές και κατοπτρισμούς σύμφωνα με όσα αναφέραμε προηγουμένως. Συγκεκριμένα θα έχουμε περιστροφές κατοπτρισμοί οπότε θα είναι D { }. Τα στοιχεία a και b που αναφέραμε παραπάνω είναι a και b για τα οποία ισχύει od a και od b. Παρατηρούμε ότι a ab και a b. Αυτό σημαίνει ότι θα έχουμε D {e a a b ab a b}. Δηλαδή κάθε στοιχείο της D είναι της μορφής a i b j όπου 0 i < και 0 j <. Επομένως η διεδρική ομάδα D παράγεται από τα στοιχεία a και b τα οποία ικανοποιούν τους περιορισμούς που αναφέραμε. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι θα ισχύει D { a i b j /0 i < 0 j < }. Παρατηρούμε ότι ο εκθέτης του a δεν μπορεί να ξεπεράσει την τάξη του στοιχείου a ενώ ο εκθέτης του b δεν είναι μεγαλύτερος της τάξης του b. Επίσης μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ισχύει δηλαδή έχουμε τη σχέση aba b. Επομένως η διεδρική ομάδα D παράγεται από τα στοιχεία a και b τα οποία υπόκεινται στους περιοροσμούς a e b e και aba b. Όλα αυτά εκφράζονται συμβολικά με την παρακάτω ισότητα D a b/a e b e aba b η οποία χρησιμοποιείται συνήθως για την παράσταση της διεδρικής ομάδας.

Το επόμενο παράδειγμα αφορά τις συμμετρίες του τετραγώνου. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α. Αριθμούμε τις κορυφές του τετραγώνου ώστε να έχουμε μια οπτική εικόνα των συμμετριών του. 4 4 Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι υπάρχουν 4 περιστροφές και 4 κατοπτρισμοί ως προς τους άξονες 4 και τους δύο άξονες που ενώνουν τα μέσα των απέναντι πλευρών. Επομένως θα έχουμε 4 4 4 4 4 4 4 περιστροφές κατoπτρισμοί Στην περίπτωση του τετραγώνου τα στοιχεία a και b θα είναι a και b 4 4 για οποία ισχύει od a 4 και od b. Άρα η ομάδα D 4 θα είναι 4 D 4 {e 4 4 4 4 4 } και είναι προφανές ότι δεν ταυτίζεται με την ομάδα S 4 όπως στην περίπτωση του τριγώνου. Μπορούμε και πάλι να παρατηρήσουμε ότι ισχύουν a a 4 4 4 4 4 4 4 4

Η διεδρική ομάδα 9 ab a b a b 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 και 4. Επομένως κάθε στοιχείο της D 4 είναι της μορφής a i b j όπου 0 i < 4 και 0 j <. Δηλαδή και η διεδρική ομάδα D 4 παράγεται από τα στοιχεία a b τα οποία ικανοποιούν τους περιορισμούς που αναφέραμε. Άρα θα είναι D 4 { a i b j /0 i < 4 0 j < } όπου ο εκθέτης του a δεν είναι μεγαλύτερος της od a και ο εκθέτης του b δεν ξεπαρνά την od b. Επίσης μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ισχύει 4 4 4 4 δηλαδή έχουμε τη σχέση aba b. Επομένως η διεδρική ομάδα D 4 παράγεται από τα στοιχεία a και b τα οποία υπόκεινται στους περιοροσμούς a 4 e b e και aba b. Όλα αυτά εκφράζονται συμβολικά με την παρακάτω ισότητα D 4 a b/a 4 e b e aba b η οποία χρησιμοποιείται συνήθως για την παράσταση της διεδρικής ομάδας. Η γενική περίπτωση της διεδρικής ομάδας D δεν διαφέρει από τα δύο προηγούμενα παραδείγματα. Ήδη αναφέραμε ότι η D περιέχει μια περιστροφή a 4 για την οποία ισχύει od a και ένα κατοπτρισμό b για τον οποίο ισχύει od b. Η μοναδική δυσκολία είναι η επαλήθευση της σχέσης aba b ή ισοδύμανα της σχέσης ab ba. Φυσικά αυτό οφείλεται στη δυσκολία παράστασης ενός κανονικού πολυγώνου με κορυφές. Έτσι θα χρησιμοποιήσουμε ένα τμήμα του κανονικού πολυγώνου.

0 a q q j k Στο προηγούμενο σχήμα τα γράμματα q τοποθετήθηκαν για να γίνει κατανοητή η κίνηση του πολυγώνου ενώ οι αριθμοί θα παραμένουν πάντα σταθεροί για να δείχνουν την αρχική θέση του πολυγώνου. Αν λοιπόν στην περίπτωση j εφαρμοστεί το στοιχείο a δηλαδή η περιστροφή περί το κέντρο κατά γωνία π τότε θα προκύψει η περίπτωση k. Με βάση αυτό το επόμενο σχήμα δείχνει την επίδραση του γινομένου ab b ab a στο αρχικό τμήμα του πολυγώνου ενώ το σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζει την επίδραση του γινομένου ba a - - ba - b στο αρχικό τμήμα του πολυγώνου που είναι ίδιο και στις δύο περιπτώσεις. Από το τελικό αποτέλεσμα των δύο περιπτώσεων προκύπτει ότι θα ισχύει η σχέση ab ba ή ισοδύναμα aba b. Επομένως όπως και στα δύο παραδείγματα που αναφέραμε τα στοιχεία a και b της διεδρικής ομάδας D ικανοποιούν ανάλογες σχέσεις δηλαδή a e b e και aba b. Θα δείξουμε τώρα ότι κάθε στοιχείο της D είναι της μορφής a i b j όπου 0 i < και 0 j <. Είναι προφανές ότι κάθε στοιχείο της μορφής a i b j είναι στοχείο της διεδρικής ομάδας D εφόσον a b D. Επίσης αν αφήσουμε τους εκθέτες να πάρουν όλες τις δυνατές τιμές τότε θα προκύψουν σε πλήθος στοιχεία δηλαδή όσα στοιχεία έχει και η D. Επομένως αν δείξουμε ότι όλα αυτά τα στοιχεία είναι διαφορετικά μεταξύ τους τότε η διεδρική ομάδα D θα περιέχει αυτά τα στοιχεία και μόνον.

Η διεδρική ομάδα Έστω λοιπόν ότι ισχύει a p b q a b. Τότε θα έχουμε a p b q a b a p a b b q a a p b b q a p b q. Επειδή το στοιχείο a p είναι μια περιστροφή ενώ στοιχείο b q ένας κατοπτρισμός για να ισχύει η ισότητα a p b q θα πρέπει να είναι a p e και b q e εφόσον καμιά περιστροφή δεν ταυτίζεται με κάποιο κατοπτρισμό. Τότε όμως θα έχουμε a p e a p a και b q e b b q. Επομένως τα γινόμενα a i b j είναι διαφορετικά όταν οι εκθέτες είναι διαφορετικοί οπότε η ομάδα D περιέχει τα στοιχεία a i b j όπου 0 i < και 0 j < και μόνον αυτά. Τα προηγούμενα αποδεικνύουν ουσιαστικά το παρακάτω θεώρημα. Θ ε ώ ρ η μ α.4 Η διεδρική ομάδα D για κάθε θετικό ακέραιο > δηλαδή η ομάδα συμμετριών ενός κανονικού πολυγώνου με κορυφές είναι D { a i b j /0 i < 0 j < } ή D a b/a e b e aba b δηλαδή παράγεται από δύο στοιχεία a και b τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις od a od b και aba b. Το επόμενο θεώρημα δείχνει ότι η διεδρική ομάδα περιέχει κανονικές υποομάδες. Θ ε ώ ρ η μ α.5 Η κυκλική ομάδα H a που παράγεται από την περιστροφή a είναι μια κανονική υποομάδα της D για κάθε >. Α π ό δ ε ι ξ η. Καταρχήν είναι προφανές ότι η κυκλική ομάδα H a { e a a a... a } είναι υποομάδα της D εφόσον ισχύει a D. Επίσης έχουμε [H : ] εφόσον od a οπότε από το Θεώρημα Lagage [D : ] [D : H] [H : ] προκύπτει ότι ο δείκτης [D : H] της H στην D θα είναι δηλαδή η H είναι μια κανονική υποομάδα της D. Είναι γνωστό ότι σε κάθε θετικό διαιρέτη d της τάξης μιας κυκλικής ομάδας G x αντιστοιχεί μια κυκλική υποομάδα της G της οποίας η τάξη είναι d και παράγεται από το στοιχείο x d. Επομένως σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα σε κάθε θετικό διαιρέτη του αντιστοιχεί μια κυκλική υποομάδα της διεδρικής ομάδας D της οποίας η τάξη είναι και παράγεται από το στοιχείο a. Ειδικότερα για τη διεδρική ομάδα D 4 θα έχουμε od a 4 οπότε od a. Επομένως η κυκλική ομάδα N a θα είναι μια κανονική υποομάδα της H a διότι ο δείκτης [H : N] της N στην H είναι. Έτσι καταλήγουμε στο παρακάτω σχήμα N H D 4 δηλαδή έχουμε μια ακολουθία κανονικών υποομάδων της D 4.