Matematinis modeliavimas

ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006

2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas 10 13 Variacinio skai iavimo elementai 18 14 Variaciniu principu taikymas 26 15 Keli papras iausi netiesiniu procesu modeliai 35 16 Stygos svyravimu lygtis 41 17 Membranos svyravimas ir pusiausvyra 44 18 ilumos laidumas ir duju difuzija 47 19 Ekologiniai modeliai 51 2 SKYRIUS PIRMOS EIL ES DIFERENCIALIN ES LYGTYS 65 21 Pirmosios eiles paprastosios diferencialines lygtys i²reik²tos i²vestines atºvilgiu 65 22 Sprendiniu egzistavimas, vienatis, prat simas 69 23 Lygtys su atskiriamais kintamaisiais 73 24 Tiesines pirmos eiles lygtys 78 25 Pirmos eiles diferencialiniu lyg iu simetrine forma 84 26 Pirmos eiles diferencialines lygtys nei²reik²tos i²vestines atºvilgiu 87 3 SKYRIUS AUK TESN ES EIL ES PAPRASTOSIOS DIFERENCIALIN ES LYGTYS 90 31 Papras iausios auk²tesnes eiles diferencialines lygtys, kuriu eil galima sumaºinti 90 32 Tiesines homogenines antros eiles lygtys 93 33 Konstantu varijavimo metodas 97 34 Tiesnes antros eiles lygtys su pastoviais realiais koecientais 102 4 SKYRIUS DIFERENCIALINIU LYGƒIU SISTEMOS 109 41 Bendros s vokos 109 42 Tiesines homogeniniu diferencialiniu lyg iu sistemos 113 43 Nehomogenines tiesiniu diferencialiniu lyg iu sistemos 117 44 Tiesiniu diferencialiniu lyg iu sistemos su pastoviais realiais koecientais 119 45 Kanoniniu sistemu plok²tumoje faziniai portretai 126

3 5 SKYRIUS AUTONOMIN ES SISTEMOS 133 51 Autonomines lygtys tieseje 133 52 Autonomines sistemos plok²tumoje 137 53 Autonominiu sistemu trajektorijos 146 54 Autonominiu sistemu plok²tumoje pusiausvyros ta²kai 149 6 SKYRIUS DALINIU I VESTINIU LYGTYS 157 61 Tiesiniu antros eiles lyg iu su dviem nepriklausomais kintamaisiais suvedimas i kanonini pavidal 157 62 Pagrindiniai uºdaviniai 162 63 Charakteristiku metodas 164 64 Furje arba kintamuju atskyrimo metodas 168 65 Integraliniu Furje transformaciju metodas 175 7 SKYRIUS SKAITINIAI DIFERENCIALINIU LYGƒIU SPRENDIMO METODAI 181 71 Runge Kuto metodas pirmos eiles paprastajai diferencialinei lyg iai 181 72 Runge Kuto metodas pirmos eiles diferencialiniu lyg iu sistemai 185 73 Runge Kuto metodas auk²tesnes eiles paprastajai diferencialinei lyg iai 187 74 Baigtiniu skirtimu metodas elipsines lygties atveju 189 75 Baigtiniu skirtimu metodas parabolines lygties atveju 196 76 Baigtiniu skirtimu metodas hiperbolines lygties atveju 201 Literat ura 204

1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 11 PAGRINDIN ES S VOKOS Sprendºiant gamtos ir technikos mokslu uºdavinius naudojami iviair us matematiniai modeliai Konstruojant kokio nors uºdavinio matematini modeli visu pirma stebimi ji apra²antys dydºiai Tokie dydºiai gali b uti temperat ura, greitis, slegis ir tt Po to atliekami ivair us bandymai Remiantis atliktais bandymais yra atmetami neesminiai faktoriai, kurie maºai itakoja nagrinejamos sistemos b usen Apibendrinant esminius faktorius, veikian ius sistem, formuluojama viena arba kelios hipotezes (fundamental us gamtos desniai) Ju pagalba parodoma, kad apra²antys nagrinejam proces dydºiai turi tenkinti vien ar kelias lygtis ios lygtys daºniausiai yra diferencialines (ty sieja nepriklausomus kintamuosius, ie²kom j funkcij ir jos i²vestines) Surad ²iu lyg iu sprendinius, i²skiriame i² ju tuos, kurie tenkina tam tikras papildomas s lygas Paprastai ²itos s lygos yra apibreºiamos srities, kurioje ie²komas sprendinys, kra²tiniuose ta²kuose Todel jos yra vadinamos kra²tinemis s lygomis, o nagrinejami uºdaviniai kra²tinais uºdaviniais Tuo atveju, kai kuris nors vienas i² kintamuju, pavyzdºiui, laikas, yra i²skiriamas i² kitu ir ²i kintam ji atitinkan ios papildomos s lygos apibreºia ie²komos funkcijos bei jos i²vestiniu reik²mes pradiniu laiko momentu, ji atitinkan ios s lygos yra vadinamos pradinemis arba Ko²i s lygomis Uºdavinys tik su pradinemis s lygomis yra vadinamas pradiniu arba Ko²i uºdaviniu Jeigu uºdavinyje, be pradiniu s lygu, yra ir kitos kra²tines s lygos, tai toks uºdavinys vadinamas mi²riuoju uºdaviniu Jeigu diferencialineje lygtyje yra tik vienas nepriklausomas kintamasis, tai toki lygti vadiname paprast ja diferencialine lygtimi Prie²ingu atveju diferencialine lygtis vadinama daliniu i²vestiniu lygtimi Lygtis vadinama k-osios eiles lygtimi, jeigu i j ieina ie²komos funkcijos k-osios eiles i²vestine ir neieina auk²tesniu eiliu i²vestines Pavyzdºiui lygtis y = y 2, ie²komos funkcijos y = y(x), x (a, b) R atºvilgiu, yra pirmoios eiles paprastoji diferencialine lygtis Lygtis y + 3y + y = 0, ie²komos funkcijos y = y(x), x (a, b) R atºvilgiu, yra antrosios eiles paprastoji diferencialine lygtis, o lygtis xux + yu y + zu z = 0,

11 PAGRINDIN ES S VOKOS 5 ie²komos funkcijos u = u(x, y, z), (x, y, z) G R 3 atºvilgiu, yra pirmosios eiles daliniu i²vestiniu lygtis Bendruoju atveju k-osios eiles paprast j diferencialin lygti galima uºra²yti taip: F ( x, y, y,, y (k)) = 0; (11) ia F ºinoma funcija, apibreºta kokioje nors srityje D R k+2, y = y(x) ie²koma funkcija Tokia lygtis dar gali priklausyti nuo papildomu kintamuju λ, µ, iuo atveju sakoma, kad ie²komoji funkcija y priklauso nuo kintamuju λ, µ, kaip nuo parametru Kartais (11) lygti galima i²spr sti auk² iausios i²vestines atºvilgiu ir uºra²yti pavidalu y (k) = f ( x, y, y,, y (k 1)) (12) Tada tokia lygtis vadinama normali ja lygtimi Tarkime, f yra tolydi funkcija, apibreºta kokioje nors srityje G R k+1 A p i b r e º i m a s Sakysime, funkcija ϕ : a, b R 1, apibreºta kokiame nors intervale a, b, yra (12) lygties sprendinys, jeigu: 1 ϕ yra k kartu diferencijuojama intervale a, b 2 Ta²kas ( x, ϕ(x), ϕ (x),, ϕ (k 1) (x) ) G, x a, b 3 ϕ (k) (x) = f ( x, ϕ(x), ϕ (x),, ϕ (k 1) (x) ), x a, b Sprendinio apibreºimas bendresnei (11) lyg iai yra analogi²kas P a s t a b a I² funkcijos f tolydumo bei sprendinio ϕ apibreºimo i²plaukia, kad i²vestine ϕ (k) yra tolydi intervale a, b funkcija Be to, sprendinio apibre- ºimo sritis yra jungioji aibe, ty intervalas a, b Tegu (11) lygtyje funkcija F yra tiesine ie²komos funkcijos ir visu jos i²vestiniu atºvilgiu Tada tokia lygtis vadinama tiesine k-osios eiles lygtimi J galima uºra²yti taip: y (k) + a 1 (x)y (k 1) + a 2 (x)y (k 2) + + a k 1 (x)y + a k (x)y = f(x) (13) Nagrinejant tiesin k-osios eiles lygti patogu lygiagre iai nagrineti tiesin homogenin k-osios eiles lygti y (k) + a 1 (x)y (k 1) + a 2 (x)y (k 2) + + a k 1 (x)y + a k (x)y = 0 (14) Kai (13) arba (14) lygtyje koecientai a i, i = 1, 2,, n yra pastov us, tai tokios lygtys yra vadinamos tiesinemis k-osios eiles lygtimis su pastoviais koecientais Tarkime, (11), (12), (13) ir (14) lygtyse k = 1 Tada pastarosios lygtys yra pirmosios eiles paprastosios diferencialines lygtys ir jas galima uºra²yti taip: F (x, y, y ) = 0, y = f(x, y), y + p(x)y = f(x), y + p(x)y = 0

6 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI Paprastuju diferencialiniu lyg iu teorijoje nagrinejama ne tik viena lygtis, bet ir lyg iu sistemos Pavyzdºiui, pirmosios eiles n lyg iu sistem, i²reik²t i²vestiniu atºvilgiu, galima uºra²yti taip: y 1 = f 1 (x, y 1,, y n ), y n = f n (x, y 1,, y n ) (15) Tokia sistema vadinama normaline Atkreipsime demesi i tai, kad tokioje sistemoje ie²komu funkciju y 1,, y n skai ius lygus lyg iu skai iui n Paºymej y = colon(y 1,, y n ), f = colon(f 1,, f n ) pastar j sistem galima uºra²yti vektorineje formoje y = f(x, y) (16) P a s t a b a Daugeliu atveju ivairias auk²tesnes eiles sistemas ir lygtis galima suvesti i pirmos eiles normali j lyg iu sistem Pavyzdºiui, antros eiles n lyg iu sistem y = f(x, y, y ), y = colon(y 1,, y n ) keitiniu y = w, w = colon(w 1,, w n ) galima suvesti i pirmos eiles normali j 2n lyg iu sistem { w = f(x, y, w), y = w Tre ios eiles lygti y = f(x, y, y, y ) keitiniu y = u, u = v galima suvesti i pirmos eiles normali j 3 lyg iu sistem v = f(x, y, u, v), y = u, u = v Jeigu (15) sistemoje funkcijos f 1,, f n yra tiesines kintamuju y 1,, y n at- ºvilgiu, tai tokia sistema vadinama pirmosios eiles tiesiniu diferencialiniu lyg iu sistema Bendruoju atveju pirmosios eiles tiesiniu diferencialiniu lyg iu sistem galima uºra²yti taip: y 1 + a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n = f 1 (x), y n + a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n = f n (x) arba matriciniu pavidalu y + A(x)y = f(x);

11 PAGRINDIN ES S VOKOS 7 ia y = colon(y 1,, y n ), f = colon(f 1,, f n ) vektoriai stulpeliai, o A = {a ij } n n eiles matrica Tarkime, f yra tolydi funkcija, apibreºta kokioje nors srityje G R n+1 A p i b r e º i m a s Sakysime, funkcija ϕ : a, b R n yra (16) sistemos sprendinys, jeigu: 1 Ji yra diferencijuojama intervale a, b 2 Ta²kas (x, ϕ(x)) G, x a, b 3 Teisinga tapatybe ϕ (x) = f(x, ϕ(x)), x a, b Tegu Ω R n apreºta sritis, u = u(x) ie²koma funkcija, apibreºta srityje Ω, u x1,, u xn funkcijos u pirmos eiles dalines i²vestines, u xix j, i, j = 1, 2, n funkcijos u antros eiles dalines i²vestines Lygtis, kuri sieja nepriklausomus kintamuosius x, ie²kom j funkcij u ir jos pirmos bei nors vien antros eiles dalines i²vestines vadinama antrosios eiles daliniu i²vestiniu lygtimi Bedruoju atveju antosios eiles daliniu i²vestiniu lygti galima uºra²yti taip: F (x, u, u x1,, u xn, u x1x 1,, u xix j,, u xnx n ) = 0; (17) ia F - ºinoma savo argumentu funkcija, tenkinanti s lyg n 2 ( F (x, t, p, q) ) 2 0, x Ω, t R, p R n, q R n 2 \ 0 q i i=1 Jeigu funkcija F yra tiesine ie²komos funkcijos u ir visu jos daliniu i²vestiniu atºvilgiu, tai (17) lygtis vadinama tiesine lygtimi Tiksliau, lygtis n a ij (x)u xix j + i,j=1 n a i (x)u xi + a(x)u = f(x), (18) i=1 kurioje bent vienas i² koecientu a ij 0, vadinama tiesine antrosios eiles daliniu i²vestiniu lygtimi Jeigu koecientai a ij, a i ir a nepriklauso nuo kintamojo x, tai (18) lygtis vadinama tiesine antrosios eiles daliniu i²vestiniu lygtimi su pastoviais koecientais Tarkime, (18) lygtyje funkcijos u antros eiles i²vestines yra tolydºios Tada j galima suvesti i lygti, kurios koecientai prie antros eiles i²vestiniu tenkina s lyg a ij (x) = a ji (x), i, j = 1,, n Norint tuo isitikinti, pakanka pastebeti, kad (18) lygtyje koecientus a ij galima pakeisti koecientais ã ij (x) = 1 2 (a ij(x) + a ji (x)) Todel toliau nagrinedami tiesines antros eiles lygtis, matric, sudaryt i² koecientu prie antros eiles i²vestiniu, laikysime simetrine Jeigu (18) lygtyje funkcija f 0, tai tokia lygtis vadinama homogenine lygtimi

8 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI P a s t a b a Nagrinejant antrosios eiles daliniu i²vestiniu lygtis kartais patogu i²skirti koki nors nepriklausom kintam ji (pavyzdºiui, laik arba temperat ur ) Toki kintam ji ºymesime raide t, o ie²komos funkcijos u = u(x, t) i²vestines kintamojo t atºvilgiu u t ir u tt Daugelis zikos ir mechanikos uºdaviniu apra²omi daliniu i²vestiniu lygtimis Daºnai tai tiesines antros eiles daliniu i²vestiniu lygtys Papras iausios i² ju yra Puasono (Laplaso) u = f(x), ( u = 0), ²ilumos laidumo ir bangavimo lygtys ƒia u t a 2 u = f(x, t) u tt a 2 u = f(x, t) u = n i=1 u xix i yra n-matis Laplaso operatorius Norint i²skirti konkretu diferencialines lygties sprendini reikalaujame, kad jis tenkintu tam tikras papildomas s lygas Pavyzdºiui, uºdavinys, kai reikia rasti funkcij y, kuri tenkintu lygti ir papildom s lyg y + p(x)y = q(x), x (0, 1) y x=0 = y 0 yra pradinis arba Ko²i uºdavinys Uºdavinys, kai reikia rasti funkcij y, kuri tenkintu lygti y + p(x)y = q(x), x (0, 1) ir papildomas s lygas y x=0 = y 0, y x=1 = y 1 yra kra²tinis uºdavinys Keliu nepriklausomu kintamuju atveju uºdavinys, kai reikia rasti funkcij u, kuri srityje Ω R 2 tenkintu lygti u xx + u yy = 0, o kont uro l = Ω ta²kuose kra²tin s lyg u l = ϕ(x, y), yra kra²tinis uºdavinys Uºdavinys, kai ie²koma fuunkcija u, kuri pusplok²tumeje {(t, x) : t > 0} tenkintu lygti u tt a 2 u xx = 0, a = const

11 PAGRINDIN ES S VOKOS 9 o tieseje t = 0 pradines s lygas u t=0 = ϕ(x), u t t=0 = ψ(x), x R 1 yra pradinis (Ko²i) uºdavinys Uºdavinys, kai ie²koma funkcija u, kuri juostoje {(t, x) : t > 0, x (0, l)} tenkintu lygti u t a 2 u xx = 0, a = const, intervalo (0, l) kra²tiniuose ta²kuose s lygas o segmente x [0, l] pradin s lyg u x=0 = 0, u x=l = 0, u t=0 = ϕ(x) yra mi²rusis uºdavinys Norint isitikinti ar sukonstruotas matematinis modelis yra geras reikia rastus sprendinius palyginti su eksperimentu rezultatais Jeigu skirtumas yra didelis, tai matematinis modelis yra blogas ir ji reikia arba atmesti, arba modikuoti

10 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 12 FUNDAMENTALIU GAMTOS D ESNIU TAIKYMAS Vienas i² daºniausiai naudojamu matematiniu modeliu konstravimo metodu yra fundamentaliu gamtos desniu taikymas konkre iu atveju Pateiksime kelis pavyzdºius 1 E n e r g i j o s t v e r m e s d e s n i s Rasime kulkos, i²²autos i² revolverio, greiti Tuo atveju, kai eksperimentatorius neturi ²iuolaikines laboratorijos, galima pasinaudoti s lyginai paprastu prietaisu ²vytuokle Tegu k unas, mases M, yra pakabintas ant standaus lengvo strypo, kuris gali laisvai suktis (ºr 11 pav) ir pradiniu laiko momentu nejuda α m v M 11 pav Kulka mases m, istrigusi k une, perduoda jam savo kinetin energij Pagal energijos tvermes desni mv 2 = 2 (M + m) V 2 (α) + (M + m)gl(1 cos α); 2 ia v kulkos greitis, V (α) sistemos "k unas+kulka" greitis, g laisvojo kritimo pagreitis, l strypo ilgis, α strypo nuokrypio kampas Tegu α yra maksimalus strypo nuokrypio kampas nuo pradines padeties Tada greitis V (α ) = 0 ir ²iuo momentu sistemos "k uno + kulkos" kinetine energija pereina i potencin Taigi mv 2 2 I² ia randame kulkos greiti = (M + m)gl(1 cos α ) (19) 2(M + m)gl(1 cos α ) v = m i formule yra pakankamai tiksli, jeigu energijos nuostolis del ²ilumos i²siskyrimo bei energijos nuostolis del oro pasiprie²inimo yra maºas Prie²ingu atveju (19) formules taikyti negalima Energijos tvermes desnis teigia, kad nekinta pilna sistemos energija, o ne mechanine energija 2 M a s e s t v e r m e s d e s n i s Nagrinesime radioaktyvios medºiagos skilimo proces Tarkime "maºas" radioaktyvios medºiagos (pavyzdºiui, urano) kiekis yra patalpintas "dideliame" kiekyje kitos medºiagos (pavyzdºiui, ²vino) Sakydami ºodi "maºas", turime omenyje tai, kad visi skilimo produktai, nesusidurdami su kitais atomais, laisvai palieka uºimam sriti, o sakydami ºodi

12 FUNDAMENTALIU GAMTOS D ESNIU TAIKYMAS 11 "didelis" turime omenyje tai, kad visi skilimo produktai absorbuojasi radioaktyvi medºiag supan ioje srityje Tegu m(t) ir M(t) yra atitinkamai radioaktyvios, ir j supan ios medºiagos mase laiko momentu t Tada pagal mases tvermes desni m(0) + M(0) = m(t) + M(t) Radioaktyvios medºiagos skilimo greiti charakterizuoja suskilusiu atomu skai- ius per laiko vienet Eksperimentai rodo, kad ²is skai ius yra tiesiog proporcingas bendram radioaktyvios medºiagos atomu skai iui tuo laiko momentu Kadangi radioaktyvios medºiagos mase yra tiesiog proporcinga jos atomu skai- iui, tai radioaktyvios medºiagos mases kitimo greitis yra tiesiog proporcingas jos masei tuo laiko momentu, ty m (t) = km(t), k > 0 Proporcingumo koecientas k kiekvienai konkre iai radioaktyviai medºiagai nustatomas eksperimento pagalba I² pastarosios formules matome, kad radioaktyvios medºiagos mase tenkina pirmos eiles tiesin homogenin lygti Tiesiogiai galima patikrinti, kad funkcija m(t) = m(0)e kt yra ²ios lygties sprendinys Be to, kai t +, radioaktyvios medºiagos mase nyksta eksponenti²kai ir arteja prie nulio Kadangi bendra medºiagos mase nekinta, tai M(t) = M(0) + m(0) ( 1 e kt) Be to, kai t +, M(t) M(0) + m(0) ir visa radioaktyvioji medºiaga pereina i j supan i medºiag 3 I m p u l s o t v e r m e s d e s n i s is desnis teigia, kad pilnas sistemos impulsas nekinta, jeigu sistemos neveikia i²orines jegos Gyvenime su ²iuo principu susiduriama gana daºnai Pavyzdºiui, jeigu stovin ioje valtyje ºmogus ºengia ºingsni i kuri nors pus, tai valtis pasislenka i prie²ing pus io principo pagrindu veikia ivair us technikos prietaisai I²nagrinesime tiesiaeigio raketos judejimo matematini modeli, kai jos neveikia oro pasiprie²inimo bei gravitacijos jegos Tegu u yra i²metamo sudegusio raketos kuro greitis (²iuolaikiniam kurui ²is greitis kinta nuo 3 iki 5 km/s) raketos korpuso atºvilgiu, o v(t) raketos greitis laiko momentu t šemes atºvilgiu Laikotarpiu t dalis kuro sudega ir raketos mase m(t) sumaºeja dydºiu m = m(t + t) m(t) Kadangi pilnas sistemos impulsas nekinta, tai m(t)v(t) = m(t + t)v(t + t) v 1 (t + t) m; ia v 1 (t + t) degimo produktu i²metimo greitis šemes atºvilgiu, o m < 0 Pastar j lygyb patogu perra²yti taip: m(t + t)v(t + t) m(t)v(t) t = m(t + t) m(t) v 1 (t + t) t

12 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI Artindami ia t 0, gausime diferencialin lygti ( m(t)v(t) ) = m (t)v 1 (t) m(t)v (t) = m (t) ( v 1 (t) v(t) ) Ta iau v 1 (t) v(t) = u, ty degimo produktu greitis atºvilgiu raketos korpuso Todel pastar j lygti galime perra²yti taip: m(t) dv(t) dt = u dm(t) dt dv(t) dt Integruodami abi pastarosios lygties puses randame = u d ln m(t) dt ( m(0) ) v(t) = v(0) + u ln (110) m(t) Jeigu v(0) = 0, tai maksimalus raketos greitis pasiekiamas, kai kuras pilnai sudega ir lygus ( m(0) ) v max = u ln ; m + m s ia m mase objekto, kuri reikia i²kelti i orbit (pavyzdºiui, palydovo mase), o m s strukt urine raketos konstrukcijos mase Imdami m = 0, m(0)/m s = 10, u = 3km/s gauname, kad maksimalus raketos greitis v max = u ln 10 69km/s < 7km/s I² ²ios formules matome, kad netgi idealiu atveju, kai gravitacijos jegos lygios nuliui, nera oro pasiprie²inimo bei raketos naudinga mase (pavyzdºiui, palydovo) lygi nuliui, maksimalus raketos greitis yra maºesnis uº pirm ji kosmini greiti v 791km/s Del ²ios prieºasties kosmonautikoje buvo pradetos naudoti daugiapakopes raketos Konkretumo delei nagrinekime raket su trimis pakopomis Jos pradine mase m(0) := m 0 = m + m 1 + m 2 + m 3 ; ia m k, k = 1, 2, 3 yra k-osios pakopos bendra mase Be to, tegu m k, k = 1, 2, 3 yra k-osios pakopos kuro mase ir skai ius λ = (m k m k )/m k bei i²metamo sudegusio kuro greitis u yra vienodas visoms trims pakopoms Tarkime, momentu t 1 yra sudegintas visas pirmosios pakopos kuras Tada raketos mase lygi m(t 1 ) = m + (m 1 m 1) + m 2 + m 3 Remiantis (110) formule laiko momentu t 1 raketa pasiekia greiti ( m0 ) v 1 = u ln m(t 1 ) iuo momentu strukt urine pirmosios pakopos mase m 1 m 1 atmetama ir isijungia antroji pakopa Raketos mase ²iuo momentu lygi m + m 2 + m 3 Tarkime,

12 FUNDAMENTALIU GAMTOS D ESNIU TAIKYMAS 13 laiko momentu t 2 yra sudeginamas visas antrosios pakopos kuras Remiantis (110) formule raketos greitis momentu t 2 lygus ( m + m 2 + m ) 3 v 2 = v 1 + u ln m + (m 2 m 2 ) + m 3 Analogi²kai samprotaudami gauname, kad sudegus tre iosios pakopos kurui raketa pasiekia greiti ( m + m ) 3 v 3 = v 2 + u ln m + (m 3 m 3 ) Paºymekime Tada α 1 = m 0 m + m 2 + m 3, α 2 = m + m 2 + m 3 m + m 3, α 3 = m + m 3 m ( α 1 v 3 = u ln 1 + λ(α 1 1) )( α 2 1 + λ(α 2 1) )( α ) 3 1 + λ(α 3 1) Rei²kinys de²ineje gautos lygybes puseje yra simetrinis dydºiu α 1, α 2, α 3 atºvilgiu Galima irodyti, kad didºiausi reik²m jis igyja, kai α 1 = α 2 = α 3 = α iuo atveju Be to, sandauga ( α ) v 3 = 3u ln 1 + λ(α 1) α = α 1 α 2 α 3 = m 0 = α 3 m0, α = m 3 m 1 λ e v3/3u λ P a s t a b a Pastar sias formules galima apibendrinti bet kokiam baigtiniam raketos pakopu skai iui Tiksliau galima irodyti, kad k pakopu raketa gali pasiekti greiti ( α ) 1 λ v k = ku ln α = 1 + λ(α 1) e v k/ku λ, o santykis m(0) m = α 1 α 2 α k = α k Tegu λ = 01 Pareikalav, kad dvieju pakopu raketa pasiektu greiti v 2 = 105km/s gausime, kad m(0)/m = 149 Taigi norint dvieju pakopu raketai pakelti i orbit vienos tonos krovini reikia apytiksliai 149 tonu kuro 1 Triju pakopu raketa pasieks greiti v 3 = 105km/s, kai m(0)/m = 77 Taigi triju pakopu raketai i²kelti i orbit vien ton krovinio reikia beveik du kartus maºiau kuro negu dvieju pakopu raketai Galima parodyti, kad keturiu pakopu raketos atveju, lyginant su triju pakopu raketos atveju, kuro sanaudos sumaºeja neºymiai 1 Laikome, kad didºi j dali raketos mases sudaro k uro mase

14 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 A r c h i m e d o d e s n i s Tarkime, povandeninis laivas plaukia pastoviu grei iu v gylyje h Laiko momentu t = 0 gautas isakymas i²kilti i pavir²iu Reikia rasti povandeninio laivo i²kilimo i vandenino pavir²iu trajektorij Pagal Archimedo desni laivo keliamoji jega (laivo i²stumto vandens svoris) F = ρv g; ia ρ vidutinis laivo tankis, V laivo t uris, g laisvojo kritimo pagreitis Tarkime, laikas, per kuri i² laivo talpu yra i²stumiamas vanduo yra maºas lyginant su laivo i²kilimo i pavir²iu laiku I²stumus i² laivo talpu vandeni jo svoris P 0 = ρ 0 V g; ia ρ 0 vidutinis laivo tankis be vandens Iveskime ortogonali koordina iu sistem Oxy taip, kaip pavaizduota 12 paveikslelyje ir tarkime, povandeninio laivo i²kilimo i vandenyno pavir²iu trajektorij galima apibreºti lygtimi y = y(x), x [0, l] y - - - - - - - - - - - - - h - - - - - - - - - - - - - - - F 0 P l x 12 pav Veikianti laiv vertikali sumine jega F P suteikia laivui pagreiti a Pagal antr ji Niutono desni (nepaisome vandens pasiprie²inimo jegos) ρ 0 V a = F P ρ 0 V d2 y dt 2 = gv (ρ ρ 0) Be to, x a²ies kryptimi laivas plaukia pastoviu grei iu Suintegrav ²ias lygtis randame v = dx dt y(t) = g ρ ρ 0 2ρ 0 t 2, x(t) = vt Eliminav i² ²iu lyg iu parametr t gauname, kad laivo i vandenyno pavir²iu i²kilimo trajektorija yra parabole y = g ρ ρ 0 2ρ 0 v 2 x2

12 FUNDAMENTALIU GAMTOS D ESNIU TAIKYMAS 15 Laikas T, per kuri laivas pasiekia vandenyno pavir²iu, randamas i² lygties g ρ ρ 0 2ρ 0 T 2 = h, o atstumas, kuri jis nuplaukia x a²ies kryptimi, lygus ( 2ρ0 h ) 1/2 l = vt = v g(ρ ρ 0 ) A n t r a s i s N i u t o n o d e s n i s Nagrinesime rutuliuk mases m, kuris yra pritvirtintas prie spyruokles (ºr 13 pav) 0 x 13 pav I²ved rutuliuk i² pusiausvyros padeties, kuri yra ta²ke x = 0, suteikiame jam pradini nuokrypi x 0 ir pradini greiti v 0 Tegu x = x(t) yra rutuliuko nuokrypis nuo pusiausvyros padeties laiko momentu t Tada laiko momentu t = 0 yra ºinomas rutuliuko pradinis nuokrypis x(0) = x 0 ir pradinis greitis x (0) = v 0 Be to, tegu a = a(t) yra rutuliuko pagreitis laiko momentu t Nagrinedami ²i proces laikysime, kad tiese, kuria svyruoja rutuliukas, yra ideali (ty rutuliuko svyravimas vyksta be trinties), oro pasiprie²inimo jega lygi nuliui ir sunkio jega yra statmena judejimo kryp iai Tada vienintele jega, veikianti rutuliuk, yra spyruokles stangrumo jega F Pagal antr ji Niutono desni F = ma = m d2 x dt 2 Ta iau spyruokl veikianti jega (Huko desnis) yra proporcinga spyruokles ilgio poky iui, ty F = kx Taigi funkcija x, apibreºianti spyruokles svyravim, turi tenkinti antros eiles diferencialin lygti m d2 x = kx, dt2 t > 0 (111) Lengvai galima isitikinti, kad funkcija x = c 1 sin ωt + c 2 cos ωt, k ω = m yra ²ios lygties sprendinys Laisvas konstantas c 1 ir c 2 randame i² s lygu x(0) = x 0, x (0) = v 0

16 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI P a s t a b a Matematinis modelis i²vestas remiantis vienais gamtos desniais neturi prie²tarauti kitiems gamtos desniams Be to, vien ir t pati modeli galima sudaryti remiantis skirtingais gamtos desniais Pavyzdºiui, ka tik i²vest rutuliuko svyravimo matematini modeli galima apibreºti naudojant ne antr ji Niutono desni, o energijos tvermes desni I² tikruju, kadangi spyruokle yra pritvirtinta prie rutuliuko ir sieneles, be to rutuliuko svyravimas vyksta be trinties, oro pasiprie²inimo jega lygi nuliui ir sunkio jega yra statmena judejimo kryp iai, tai sistemos "spyruokle-rutuliukas" mechanine energija yra pastovi, ty E = T + P = const; ia kinetine energija o potencine energija Taigi sumine energija Jos i²vestine P = T = mv2 2 x 0 F ds = = 1 ( dx ) 2 2 m dt x 0 ks ds = 1 2 kx2 E = T + P = 1 ( dx ) 2 2 m 1 + dt 2 kx2 = const d dt E = mdx d 2 x dt dt 2 + kxdx dt = dx ( m d2 x ) dt dt 2 + kx = 0 I² ²ios formules matome, kad funkcija x turi tenkinti t pa i lygti m d2 x + kx = 0, t > 0 dt2 Jeigu spyruokl veikia i²orine jega ˆF, kuri priklauso nuo laiko, rutuliuko padeties ir grei io ty ˆF = ˆF (t, x, x ), tai vietoje (111) lygties gauname lygti Tuo atveju, kai jega ˆF yra pastovi, ty keitini x = x ˆF 0 /k gausime lygti m d2 x dt 2 = kx + ˆF (t, x, x ), t > 0 (112) m d2 x + k x = 0, t > 0 dt2 ˆF (t, x, x ) = ˆF 0 = const, tai padar iuo atveju matome, kad pastovi jega rutuliuko svyravimo i² esmes nekei ia Tik jos koordinate pasislenka dydºiu ˆF 0 /k Sudetingesnis atvejis gaunamas, kai

12 FUNDAMENTALIU GAMTOS D ESNIU TAIKYMAS 17 spyruokl veikianti jega ˆF priklauso nuo laiko t Pavyzdºiui, tegu ˆF (t, x, x ) = ˆF 0 sin ωt Tada pastarosios lygties sprendinys x = c 1 sin ωt + c 2 cos ωt + ˆF 0 m(ω 2 ω 2 sin ωt, ) kai ω ω I² ²ios formules matome, kad sprendinyje ne tik atsiranda papildomas narys su amplitude ω, bet ir rezonansas, ty sprendinio svyravimo amplitude neapreºtai auga, kai ω ω Dar sudetingesni modeli gausime, jeigu rutuliuk veikia trinties jega, atsirandanti del aplinkos, kurioje juda rutuliukas, pasiprie²inimo iuo atveju jega ˆF priklauso nuo rutuliuko judejimo grei io i priklausomybe apibreºiama formule ˆF (t, x, x ) = µx ƒia koecientas µ > 0 priklauso nuo rutuliuko skerspi uvio statmeno grei iui ploto, aplinkos tankio bei jos klampumo Rutuliuko svyravimas tokioje aplinkoje apibreºiamas lygtimi m d2 x dt 2 = kx µdx dt, t > 0 Padar keitini x(t) = x(t)e αt, α = µ/2m gausime lygti m d2 x dt 2 = k 1 x, k 1 = k µ2 4m i lygtis i² esmes skiriasi nuo (111) lygties tuo, kad koeciento k 1 prie ie²komos funkcijos ºenklas priklauso nuo parametru k, µ ir m reik²miu Jeigu aplinkos klampumas nera didelis, ty kai k 1 = k µ 2 /(4m) > 0, rutuliuko svyravim galima (ºr 32 skyreli) apibreºti formule x(t) = x(t)e αt = (c 1 sin ωt + c 2 cos ωt)e tµ/2m, ω = k1 m iuo atveju svyravimo daºnis yra ω ir didejant laikui svyravimai g sta Jeigu k 1 = 0, tai rutuliuko judejim galima apibreºti formule x(t) = (c 1 t + c 2 )e tµ/2m iuo atveju del didelies trinties svyravimu nera Tegu k 1 < 0 iuo atveju trinties jegos yra tiek dideles, kad rutuliukas tiesiog istringa ji supan ioje aplinkoje Galima irodyti, kad rutuliukas nepereina per ta²k x = 0 ir tik arteja prie jo, kai t +

18 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 13 VARIACINIO SKAIƒIAVIMO ELEMENTAI Vienas i² pirmuju variacinio skai iavimo uºdaviniu yra 1696 m J Bernulio suformuluotas uºdavinys apie brachistochron : 1 u º d a v i n y s Vertikalioje plok²tumoje Oxy yra du ta²kai, nesantys vienoje vertikalioje tieseje Tegu x 1, y 1 ir x 2, y 2 yra ²iu ta²ku koordinates I² ta²ko (x 1, y 1 ) i ta²k (x 2, y 2 ) kreive l be trinties juda materialus ta²kas Pradiniu laiko momentu jo greitis v lygus nuliui Aibeje tokiu kreiviu reikia rasti t, kuria judedamas materialus ta²kas pasiektu ta²k (x 2, y 2 ) per trumpiausi laik Ie²komoji kreive l yra vadinama brachistochrone Tarkime, koordina iu a²ys x, y parinktos taip, kaip nurodyta 14 paveikslelyje, o kreive l apibreºta lygtimi y 1 y 2 l y x 1 x 2 14 pav x Tada Pagal energijos tvermes desni y = y(x), x [x 1, x 2 ] (113) y(x 1 ) = y 1, y(x 2 ) = y 2 (114) mv 2 = mg(y y 1 ); 2 ia: m judan io ta²ko mase, g laisvojo kritimo pagreitis Kadangi v = dl dt = 1 + y 2 dx dt, tai dt = 1 + y 2 2g(y y1 ) dx Suintegrav ²i lygyb nuo x 1 iki x 2, gausime T I (y) = x 2 x 1 1 + y 2 dx; (115) 2g(y y1 ) ia T laikas, kuri sugai²ta materialus ta²kas, judedamas kreive l i² ta²ko (x 1, y 1 ) i ta²k (x 2, y 2 ) Taigi nagrinejamas uºdavinys susiveda i toki variacini

13 VARIACINIO SKAIƒIAVIMO ELEMENTAI 19 uºdavini Tegu y : (a, b) R 1 yra diferencijuojama argumento x funkcija, tenkinanti (114) s lyg Aibeje tokiu funkciju reikia rasti t, kuriai (115) integralas igyja maºiausi reik²m 2 u º d a v i n y s Tegu v = v(x, y, z) yra ²viesos sklidimo nehomogenineje medºiagoje greitis Rasti ²viesos sklidimo trajektorij l, jungian i ta²kus (x 1, y 1, z 1 ) ir (x 2, y 2, z 2 ) Tarkime, ²viesos sklidimo trajektorija yra apibreºiama lygtimis: y = y(x), z = z(x), x [x 1, x 2 ] (116) Tada y(x 1 ) = y 1, y(x 2 ) = y 2, z(x 1 ) = z 1, z(x 2 ) = z 2 (117) Kadangi v = dl dt = 1 + y 2 + z 2 dx dt, tai ²viesos spindulys, i²einantis i² ta²ko (x 1, y 1, z 1 ), pasieks ta²k (x 2, y 2, z 2 ) per laik T I (y, z) = x 2 x 1 1 + y 2 + z 2 dx (118) v(x, y, z) Pagal Ferma desni ²viesa sklinda ta trajektorija, kuria judant laikas T yra minimalus Todel nagrinejamas uºdavinys susiveda i toki variacini uºdavini Tegu y, z : (x 1, x 2 ) R 1 yra diferencijuojamos argumento x funkcijos, tenkinan ios (117) s lygas Tokiu funkciju aibeje reikia rasti tas, kurioms (118) integralas igyja maºiausi reik²m 3 u º d a v i n y s Tegu l yra uºdaras kont uras erdveje R 3, o S pavir²ius, uºtemptas ant kont uro l Tokiu pavir²iu aibeje reikia rasti t, kurio plotas yra maºiausias Tarkime, ortogonalioje koordina iu sistemoje Oxyz pavir²ius S apibreºiamas lygtimi z = u(x, y), x, y Ω, Ω kont uro l projekcija i plok²tum Oxy (ºr 15 pav) z l x Ω S Ω y 15 pav

20 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI Tada pavir²iaus S plotas S I(z) = Ω 1 + u 2 x + u 2 y dxdy (119) Jeigu ta²kas (x, y) Ω, tai ta²kas (x, y, u(x, y)) l Tai rei²kia, kad funkcija u(x, y) ta²kuose (x, y) Ω igyja ºinom reik²m i s lyg galima uºra²yti taip: u Ω = ϕ(x, y); (120) ia ϕ ºinoma funkcija Taigi gavome toki variacini uºdavini Tegu z = u(x, y) yra diferencijuojama srityje Ω funkcija, tenkinanti (120) s lyg Tokiu funkciju aibeje reikia rasti t, kuriai (119) integralas igyja maºiausi reik²m 4 u º d a v i n y s Plok²tumoje Oxy yra du ta²kai, sujungti atkarpa ir kreive l, kurios ilgis a Tokiu kreiviu aibeje reikia rasti t, kuri kartu su atkarpa apriboja didºiausio ploto g ur Tarkime, kad tie ta²kai yra x a²yje ir turi koordinates (x 1, 0), (x 2, 0), o kreiv l galima apibreºti lygtimi y = y(x), x [x 1, x 2 ] Tada y(x 1 ) = 0, y(x 2 ) = 0 (121) Fig uros, apribotos kreive l ir atkarpa [x 1, x 2 ], plotas lygus S = I(y) = x 2 x 1 y dx (122) Kreives l ilgis l = G(y) = x 2 1 + y 2 dx (123) x 1 Taigi gavome toki variacini uºdavini Tegu y : (x 1, x 2 ) R 1, yra diferencijuojama argumento x funkcija, tenkinanti (121) s lyg Tokiu funkciju aibeje reikia rasti t, kuriai (122) integralas igyja maºiausi reik²m, o (123) integralas igyja reik²m a Visuose ²iuose uºdaviniuose ie²kome funkcijos (arba keliu funkciju), kuri tenkina tam tikras papildomas s lygas ir suteikia nagrinejamam integralui ekstremali, ty minimali arba maksimali, reik²m Tiesa, 4 uºdavinyje ie²komoji funkcija kartu su (121) turi tenkinti dar ir (123) s lyg, kuri yra visai kitokio pob udºio Apibendrindami ²iuos uºdavinius sakysime, kad pagrindinis variacinio skai iavimo uºdavinys yra rasti toki funkcij, kuriai nagrinejamas funkcionalas igyja ekstremali reik²m is uºdavinys yra analogi²kas elementariems analizes uºdaviniams, kai yra ie²komi vienos arba keliu kintamuju funkcijos ekstremumo ta²kai Vieno kintamojo diferencijuojamos funkcijos f atveju

13 VARIACINIO SKAIƒIAVIMO ELEMENTAI 21 s lyga f (x) = 0 yra b utina lokalaus ekstremumo egzistavimo s lyga Nagrinejamu atveju taip pat yra i²vedama b utina ekstremumo egzistavimo s - lyga Daºniausiai tai yra paprastoji arba daliniu i²vestiniu lygtis J turi tenkinti ie²komoji funkcija, jeigu tik ji egzistuoja I²vedant b utin ekstremumo egzistavimo s lyg, naudojami keli teiginiai Jie yra vadinami pagrindinemis variacinio skai iavimo lemomis 11 lema Tegu f yra tolydi segmente [a, b] funkcija ir 1 b Tada f(x) 0, x [a, b] a f(x)η(x) dx = 0, η C 0 (a, b) Tarkime prie²ingai, kad lemos s lygos yra patenkintos, ta iau funkcija f(x) 0 Tada egzistuoja ta²kas x 0 [a, b] : f(x 0 ) 0 Tegu f(x 0 ) > 0 Kadangi funkcija f yra tolydi, tai egzistuoja ta²ko x 0 aplinka (x 0 ε, x 0 + ε) tokia, kad f(x) > 0, x (x 0 ε, x 0 + ε) Jeigu ta²kas x 0 yra segmento [a, b] kra²tinis ta²kas, pavyzdºiui, x 0 = b, tai reikia imti vienpus ²io ta²ko aplink Aibeje C 0 (a, b) imkime koki nors funkcij η, kuri yra teigiama x (x 0 ε, x 0 + ε) ir lygi nuliui, kai x [a, b] \ [x 0 ε, x 0 + ε] Tada 0 = b a f(x)η(x) dx = x+ε x ε f(x)η(x) dx > 0 Gauta prie²tara irodo, kad padaryta prielaida yra neteisinga Taigi f(x) = 0, x [a, b] Atvejis, kai f(x 0 ) < 0, nagrinejamas analogi²kai Toks pats teiginys yra teisingas dvilypiu, trilypiu ir apskritai n-lypiu integralu atveju 12 lema Tegu Ω yra apreºta erdveje R n sritis, f C(Ω) ir Ω Tada f(x) 0, x Ω f(x)η(x) dx = 0, η C 0 (Ω) P a s t a b a ios lemos irodymas yra analogi²kas 11 lemos irodymui Be to, 12 lema i²lieka teisinga ir tuo atveju, jeigu joje sriti Ω pakeisime glodºiu n-ma iu pavir²iumi S 1 Tolydºiu funkciju intervale (a, b) aib ºymesime C(a, b) Aib funkciju, kurios intervale (a, b) turi tolydºias i²vestines iki k-tos eiles imtinai, ºymesime C k (a, b) Jeigu, be to jos intervale (a, b) yra ni ios, tai toki aib ºymesime C k 0 (a, b) Kai k = aibe C 0 (a, b) yra be galo diferencijuojamu ni iu intervale (a, b) funkciju aibe

22 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 13 lema Tegu f yra tolydi segmente [a, b] funkcija ir b a Tada funkcija f yra konstanta Tada Tegu Paºymekime f(x)η (x) dx = 0, η C 1 (a, b), η(a) = η(b) = 0 1 b f(x) dx = C b a a b a η(x) = (f(x) C) dx = 0 (124) x a (f(t) C) dt Akivaizdu, kad taip apibreºta funkcija η tenkina lemos s lygas, o jos i²vestine η (x) = f(x) C Todel b a (f(x) C)f(x) dx = 0 (125) Padaugin (124) lygyb i² C ir pridej prie (125), rezultat uºra²ysime taip: b a (f(x) C) 2 dx = 0 Ta iau ²i lygybe yra galima tik tuo atveju, kai f(x) = C, x [a, b] 14 lema Tegu f ir g yra tolydºios segmente [a, b] funkcijos ir b a (g(x)η(x) + f(x)η (x)) dx = 0, η C 1 (a, b), η(a) = η(b) = 0 (126) Tada f C 1 (a, b) ir f (x) = g(x), x [a, b] Tegu x w(x) = g(t) dt a

13 VARIACINIO SKAIƒIAVIMO ELEMENTAI 23 Tada b a b w(x)η (x) dx = ir (126) tapatyb galime perra²yti taip: b a a g(x)η(x) dx (f(x) w(x))η (x) dx = 0, η C 1 (a, b), η(a) = η(b) = 0 Funkcija f w tenkina 13 lemos s lygas Todel ji yra konstanta, ty f(x) = x a g(t) dt + C Akivaizdu, kad taip apibreºta funkcija yra tolydi ir turi tolydºi i²vestin f = g Tegu Ω R 2, F C(Ω R); l glodi kreive, gulinti srityje Ω ir jungianti du ta²kus Tarkime, kreiv l galima apibreºti lygtimi y = y(x), x [a, b] ir y(a) = α, y(b) = β Tada x [a, b] ta²kas (x, y(x)) Ω Aib diferencijuojamu funkciju, tenkinan iu ²ias s lygas, paºymekime raide M Apibreºkime integral I(y) = b a F (x, y, y ) dx, y M (127) Tada pagrindinis variacinio skai iavimo uºdavinys formuluojamas taip: rasti funkcij y M toki, kad integralas I igytu ekstremali, ty minimali arba maksimali, reik²m ƒia yra kalbama apie absoliutuji ekstremum, ty ie²koma funkcija turi b uti tokia, kad I(y) I(ỹ), ỹ M arba I(y) I(ỹ), ỹ M Norint apibreºti lokalaus ekstremumo s vok, reikia apibreºti funkcijos (kreives) aplinkos s vok Tegu ε > 0 yra ksuotas skai ius ir y M Funkcijos y nulines eiles (arba stipri ja) ε aplinka vadinsime aib M 0 = {ỹ M : max ỹ(x) y(x) ε} x [a,b] Funkcijos y pirmosios eiles (arba silpn ja) ε aplinka vadinsime aib M 1 = {ỹ M : max ỹ(x) y(x) + max ỹ (x) y (x) ε} x [a,b] x [a,b]

24 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI A p i b r e º i m a s Sakysime, funkcija y M suteikia funkcionalui I stipruji (silpn ji) lokalu ekstremum, jeigu kokioje nors stipriojoje ε aplinkoje M 0 (silpnojoje ε aplinkoje M 1 ) arba I(y) I(ỹ), ỹ M 0 ( ỹ M 1 ) I(y) I(ỹ ), ỹ M 0 ( ỹ M 1 ) Jeigu kokia nors funkcija y suteikia funkcionalui I absoliutuji ekstremum, tai ji suteikia ir stipruji lokalu ekstremum, tuo labiau ir silpn ji lokalu ekstremum Todel, jeigu kokia nors s lyga yra b utina tam, kad funkcija y suteiktu funkcionalui I silpn ji lokalu ekstremum, tai ²i s lyga yra b utina ir tam, kad funkcija y suteiktu funkcionalui I stipruji lokalu ekstremum, tuo labiau ir absoliutuji ekstremum Taigi i²vedant b utin ekstremumo s lyg reikia i²nagrineti silpnojo lokalaus ekstremumo atveji Toliau vietoje nat uralios tolydumo s lygos reikalausime, kad funkcija F turetu tolydºias dalines i²vestines iki antrosios eiles imtinai pagal visus savo argumentus Atkreipsime demesi i tai, kad, irodant kai kuriuos teiginius, pakanka reikalauti tik pirmuju i²vestiniu tolydumo Tarkime, funkcija y M suteikia (127) funkcionalui silpn ji lokalu ekstremum, o funkcija η C 1 0(a, b) Funkcija y + εη priklauso kokiai nors silpnai funkcijos y aplinkai, jeigu skai iaus ε modulis yra pakankamai maºas Todel tokioms ε reik²mems yra teisinga viena i² nelygybiu I(y) I(y + εη) arba I(y) I(y + εη) Tegu Φ(ε) = I(y + εη) Pagal apibreºim Φ I(y + εη) I(y) (0) = lim = ε 0 ε b a [ ] F y (x, y, y )η(x) + F y (x, y, y )η (x) dx Ta²kas ε = 0 yra funkcijos Φ lokalaus ekstremumo ta²kas Todel Φ (0) = 0 i s lyg galima perra²yti taip: b a [ ] F y (x, y, y )η(x) + F y (x, y, y )η (x) dx = 0, η C 1 0(a, b) (128) Taigi funkcija y turi tenkinti (128) integralin tapatyb Atvirk²tinis teiginys yra neteisingas Jeigu funkcija y M tenkina (128) integralin tapatyb, tai neb utinai ji suteikia integralui I silpn ji lokalu ekstremum iuo atveju sakysime, kad integralas I igyja stacionari j reik²m, o funkcija y yra stacionarusis integralo I ta²kas Panaudoj integravimo dalimis formul, perra²ysime (128) integralin tapatyb taip: b a [ F y (x, y, y ) x a ] F y (t, y(t), y (t)) dt η (x) dx = 0, η C 1 0(a, b)

13 VARIACINIO SKAIƒIAVIMO ELEMENTAI 25 Pagal 13 lem funkcija y turi tenkinti lygti F y (x, y, y ) x a F y (t, y(t), y (t)) dt = C (129) i lygtis yra vadinama Oilerio lygtimi uºra²yta integraline forma Irodyt teigini galima suformuluoti taip: jeigu funkcija y M suteikia integralui I silpn ji lokalu ekstremum, tai egzistuoja konstanta C tokia, kad funkcija y yra (129) integrodiferencialines lygties sprendinys P a s t a b a I²vesdami (129) lygti, nesinaudojome tuo, kad funkcija F turi tolydºi i²vestin F x Galima irodyti (ºr [2]), kad funkcija y tenkina taip pat integralin lygti F (x, y, y ) y F y (x, y, y ) x a F x (t, y(t), y (t)) dt = C, x [a, b] (130) Griºkime dabar prie (128) integralines tapatybes Pagal 14 lem koecientas prie η turi tolydºi kintamojo x atºvilgiu i²vestin Todel (128) integralin tapatyb galima perra²yti taip: F y (x, y, y )η x=b x=a η C 1 0(a, b) Kadangi η(a) = η(b) = 0, tai b a + b a [ F y (x, y, y ) d ( Fy (x, y, y ) )] η(x) dx = 0, dx [ F y (x, y, y ) d ( Fy (x, y, y ) )] η(x) dx = 0, η C 1 dx 0(a, b) ioje integralineje tapatybeje rei²kinys, esantis lauºtiniuose skliaustuose, tenkina 11 lemos s lygas Todel funkcija y yra diferencialines lygties F y (x, y, y ) d ( Fy (x, y, y ) ) = 0 (131) dx sprendinys i lygtis yra vadinama Oilerio lygtimi uºra²yta diferencialine forma Padaugin Oilerio lygti i² y, j perra²ome taip: d ( F (x, y, y ) y F y (x, y, y ) ) F x (x, y, y ) = 0 (132) dx Suformuluosime irodyt teigini Jeigu funkcija y M suteikia integralui I silpn ji lokalu ekstremum, tai ji turi tenkinti (131) ir (132) lygtis P a s t a b a Jeigu (127) integrale skaliarin funkcij y pakeisime i vektorin funkcij y =: (y 1, y 2,, y n ), tai vietoje vienos Oilerio lygties gausime n Oilerio lyg iu sistem Pavyzdºiui, vietoje (131) lygties gausime n lyg iu sistem F yi (x, y, y ) d ( Fy i dx (x, y, y ) ) = 0, i = 1, 2, n (133)

26 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 14 VARIACINIU PRINCIPU TAIKYMAS Kitas daºnai naudojamas matematiniu modeliu konstravimo metodas yra "variaciniu principu" taikymo metodas Vieno i² tokiu principu esme yra ta, kad tam tikras dydis, apra²antis nagrinejamos sistemos perejim i² vienos padeties i kit, perejimo metu igyj ekstremali reik²m Pavyzdºiui, pagal Ferma desni ²viesos spindulys, paleistas i² ta²ko A i ta²k B, juda ta trajektorija, kuriai ²viesos sklidimo laikas yra minimalus Remiantis ²iuo principu galima i²vesti visus pagrindinius geometrines optikos desnius I²nagrinesime papras iausi pavyzdi 1 v i e s o s l u º i m a s Tarkime, dvi skitingu savybiu homogenines terpes skiria tiese Paºymekime j raide x Tegu ²viesos spindulys, i²einantis i² ta²ko A, kerta ties x kampu α ir β(α) yra kampas tarp x a²ies ir spindulio kitoje terpeje (ºr 16 pav) Be to, tegu pirmoje terpeje ²viesos sklidimo greitis lygus v a, o antroje v b Rasime β(α) A b B β(α) l b c 16 pav l a α a x Tada ²viesos spindulys, i²einantis i² ta²ko A, pasieks ta²k B per laik t(α) = l a v a + l b v b = a v a sin α + is laikas bus trumpiausias, kai t (α) = 0, ty kai Kadangi tai b v b sin β(α) a cos α v a sin 2 α b cos β v b sin 2 β(α) β (α) = 0 a tg α + b tg β(α) = c, a sin 2 α b sin 2 β(α) β (α) = 0 Eliminav i² pastaruju dvieju lyg iu β (α), gausime ºinom ²viesos l uºimo formul cos α cos β(α) = v a v b

14 VARIACINIU PRINCIPU TAIKYMAS 27 Sudarant zikos ir mechanikos rei²kiniu matematinius modelius daºnai nauduojamas Hamiltono principas Jo esme yra tokia Tarkime, laiko momentu t 1 nagrinejamas k unas yra I padetyje, o laiko momentu t 2 II padetyje Ai²ku, kad perejimas i² I padeties i II galimas skirtingais keliais (ºr 17 pav) II t 2 t 1 I 17 pav Paºymesime raidemis T ir P k uno kinetin ir potencin energijas Tada Hamiltono principas tvirtina, kad realiame procese, veikiant potencinems jegoms k unas juda ta trajektorija, kurioje integralas I = t 2 t 1 (T P ) dt igyja stacionari reik²m Kartais stacionari reik²me yra maºiausia integralo reik²me Todel Hamiltono principas dar yra vadinamas maºiausio veiksmo principu I²nagrinesime kelis pavyzdºius 1 M a t e r i a l a u s t a ² k o t r a j e k t o r i j a I² pradºiu i²nagrinesime papras iausi atveji, kai materialus ta²kas mestas vertikaliai auk²tyn juda vakume veikiamas pastovios sunkio jegos Tegul yra ºinoma ta²ko koordinate ir greitis pradiniu laiko momentu Tarkime, ta²ko trajektorij galima apibreºti lygtimi y = y(t) Be to, tegu pradiniu laiko momentu t = 0 auk²tis y(0) = 0, o greitis v = c Ta²ko kinetine energija Ta²ko potencine energija T = mv2 2 = mẏ2 2, ẏ = dy dt P = mgy Remdamiesi Hamiltono principu, sudarome integral I(y) = i integral atitinka Oilerio lygtis Jos sprendinys t 2 t 1 ( mẏ 2 2 ) mgy dt d (mẏ) + mg = 0 dt y = 1 2 gt2 + C 1 t + C 2

28 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI Pagal prielaid y(0) = 0, ẏ(0) = c Todel C 2 = 0, o C 1 = c Vadinasi, vertikaliai auk²tyn mesto materialaus ta²ko judejimas yra apra²oma lygtimi y = 1 2 gt2 + ct Tarkime dabar, kad materialus ta²kas metamas i² koordina iu pradºios kampu α (ºr 18 pav) pradiniu grei iu c Rasime ²io ta²ko trajektorij y c α o 18 pav x Bendru atveju j galima apibreºti lygtimis y = y(t), x = x(t) Tada ta²ko kinetine energija o potencine energija T = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 ), P = mgy ẋ = dx dt, ẏ = dy dt, Remdamiesi Hamiltono principu, sudarome integral I(x, y) = t 2 t 1 ( m 2 (ẋ2 + ẏ 2 ) mgy) dt i integral atitinka Oilerio lygtys: Perra²ysime jas taip: iu lyg iu sprendiniai: d d (mẋ) = 0, dt ẍ = 0, (mẏ) + mg = 0 dt ÿ = g x = C 1 t + C 2, y = g 2 t2 + C 3 t + C 4 Pagal prielaid x(0) = 0, y(0) = 0 Todel C 2 = C 4 = 0 Be to, ẋ(0) = c cos α, ẏ(0) = c sin α, c = c

14 VARIACINIU PRINCIPU TAIKYMAS 29 Todel C 1 = c cos α, C 2 = c sin α Taigi nagrinejamojo ta²ko trajektorij galima apra²yti parametrinemis lygtimis: x = ct cos α, y = g 2 t2 + ct sin α, i² kuriu gauname y = gx2 2c 2 cos 2 + x tan α α 3 P l a n e t u j u d e j i m o d e s n i a i Tarkime M yra Saules mase, o m planetos mase Pagal visuotini traukos desni (ºr 19 pav) m r r 0 r 0 M 19 pav abi mases veikia viena kit jega Veikiant ²iai jegai, potencine energija P = r F = γ Mm r 2 r 0, r 0 = 1 1 Mm F d r = γmm dr = γ r2 r Paºymekime γm = k Tada P = km Tarkime planetos judejim galima r apibreºti parametrinemis lygtimis 1 x = x(t), y = y(t) Tada Planetos kinetine energija T = m 2 v2 = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 ) Nagrinejant ²i uºdavini, patogu ivesti polines koordinates: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ r Polinese koordinatese T = m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) 1 Pagal antr ji Niutono desni m r = F Todel r m r = r F = 0 Pastar j lygyb galima perra²yti taip ( r m r ) = 0 Integruodami j randame r m r = c, c vektorine konstanta Padaugin skaliari²kai abi ²ios lygybes puses i² r turime c r = 0 Tai yra vektorine plok²tumos lygtis Todel galime tvirtinti, kad planetos skriejimo apie saul trajektorija yra plok² ia

30 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI Remdamiesi Hamiltono principu, sudarome integral I(r, ϕ) = t 2 [ m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) + km r ] dt t 1 i integral atitinka Oilerio lygtys: d km (mṙ) + dt r 2 mr ϕ2 = 0, Antrosios Oilerio lygties sprendinys d dt (mr2 ϕ) = 0 r 2 ϕ = C, C = const > 0 (134) Padaugin pirm j lygti i² ṙ, o antr j i² ϕ, perra²ysime jas taip: r r rṙ ϕ 2 + k r 2 ṙ = 0 Sudej ²ias lygtis gausime 2rṙ ϕ 2 + r 2 ϕ ϕ = 0 ṙ r + rṙ ϕ 2 + r 2 ϕ ϕ + k r 2 ṙ = 0 Pastebesime, kad kairioji pastarosios lygties puse yra pilnasis diferencialas Todel j galima perra²yti taip: d 1 dt[ 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) k ] = 0 1 r 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) k r = C 1 (135) Suintegrav (134)lygti nuo t 1 iki t 2, gausime t 2 t 2 1 r 2 1 ϕ dt = r 2 1 dϕ = 2 2 2 C(t 2 t 1 ) t 1 t 1 Tai yra antrasis Keplerio desnis 1 Jis teigia, kad planetos skrieja aplink Saul taip, kad planetos spindulys vektorius per vienod laiko tarp apibreºi vienod plot I²rei²k i² (134) i²vestin ϕ ir istat i (135), gausime 1 ) (ṙ 2 + C2 2 r 2 k r = C dr 1 ± 2C 1 + 2k r r 2 = dt = C dϕ C2 r 2 1 iuolaikineje literat uroje Keplerio desniu numeracija skiriasi nuo originalios, suformuluotos Keplerio Keplerio formuluoteje tai yra pirmasis Keplerio desnis

14 VARIACINIU PRINCIPU TAIKYMAS 31 Integruodami ²i lygti randame { C 2 kr } arccos r = ϕ C k 2 + 2C 1 C 2 2 arba r = C 2 k + k 2 + 2C 1 C 2 cos(ϕ C 2 ) Tai yra elipses lygtis polinese koordinatese Kai C 2 = 0, gausime, kad elipses a²is yra tieseje ϕ = 0 Paºymekime p = C2 k, Tada elipses lygti galima uºra²yti taip: r = ε = 1 + 2 C1C2 k 2 p 1 + ε cos ϕ Tai yra pirmasis Keplerio desnis 1 Jis teigia, kad planeta skrieja aplink Saul elipse, kurios viename i² ºidiniu yra Saule Elipses pusa²es a = p 1 ε 2 = k, C 1 < 0, b = C pa = 2C 1 2C1 Tegu T yra laikas, per kuri planeta apskrieja aplink Saul Tada elipses ribojamos g uros plotas πab = 1 2 CT I² ²iu formuliu lengvai galima i²vesti, kad T 2 = 4π 2 a 3 1 k Tai yra tre iasis Keplerio desnis Jis teigia, kad laiko kvadratas, per kuri planeta apskrieja aplink Saul, yra proporcingas didºiosios pusa²es kubui 4 R u t u l i u k o s v y r a v i m u l y g t i s Rutuliuko, pritvirtinto prie spyruokles, svyravimu matematini modeli dviem skirtingais metodais sudareme 12 skyrelyje Parodysime, kad taikant Hamiltono princip yra gaunama ta pati rutuliuko svyravim apra²anti lygtis Priminsime, kad mases m rutuliuko kinetine ir potencine energija lygi T = 1 2 mv2 = 1 2 m ( dx dt Remiantis Hamiltono principu sudarome integral I(x) = t 2 t 1 (T P ) dt = t 2 t 1 ) 2, P = 1 2 kx2 ( 1 2 m ( dx dt 1 Keplerio formuluoteje tai yra antrasis Keplerio desnis ) 2 1 2 kx2) dt (136)

32 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI Ji atitinka Oilerio lygtis m d2 x + kx = 0 dt2 5 L e k t u v o t r a j e k t o r i j a Kokia uºdara plok² ia kreive l turi skristi lektuvas, kad per laik T apskrietu didºiausio ploto g ur, jeigu lektuvo greitis, kai nera vejo, lygus v 0, o vejo greitis a yra pastovus ir turi pastovi krypti Tarkime, vejo kryptis yra nukreipta x a²ies kryptimi ir lektuvo mases centro padeti laiko momentu t galima apibreºti lygtimis: x = x(t), y = y(t) Be to, tegu α = α(t) yra kampas tarp x a²ies ir lektuvo krypties Lektuvo grei io vektorius Antra vertus, ²is grei io vektorius Sulygin ²ias reik²mes gausime v(t) = (x (t), y (t)) v(t) = (v 0 cos α + a, v 0 sin α) x = v 0 cos α + a, y = v 0 sin α (137) Plotas g uros, kurios kont uru skrenda lektuvas, i²rei²kiamas integralu I(l) = 1 2 T 0 (xy yx ) dt Taigi reikia rasti kamp α ir kreiv l : x = x(t), y = y(t), kurie tenkintu (137) s lygas ir suteiktu funkcionalui I(l) didºiausi reik²m Tai yra s lyginio ekstremumo uºdavinys Funkciju trejetas α, x ir y yra ²io uºdavinio sprendinys, jeigu prie tam tikru Lagranºo daugikliu λ 1 = λ 1 (t), λ 2 = λ 2 (t) jos yra funkcionalo I (l) = T 0 [xy yx λ 1 (x v 0 cos α a) λ 2 (y a sin α)] dt ekstremales i funkcional atitinka trys Oilerio lygtys: d dt (F x ) F x = 0 d dt ( y λ 1) y = 0, d dt (F y ) F y = 0 d dt (x λ 2) + x = 0, d dt (F α ) F α = 0 λ 1 sin α + λ 2 cos α = 0

14 VARIACINIU PRINCIPU TAIKYMAS 33 I² pirmuju dvieju lyg iu randame Apibreºkime polines koordinates Tada 2x + c 2 = λ 2, 2y + c 1 = λ 1 x + c 2 /2 = r cos ϕ, y + c 1 /2 = r sin ϕ tg ϕ = 2y + c 1 2x + c 2 = λ 1 λ 2 I² tre iosios Oilerio lygties gauname, kad λ 1 λ 2 = ctg α Todel yra teisiga formule I² jos randame tg ϕ = ctg α α = ϕ + π/2 Kartu galime tvirtinti, kad kiekvienu laiko momentu t kampas tarp lektuvo krypties ir padeties vektoriu yra status Istat rast α reik²m i (137) formules, gausime sistem x = v 0 sin ϕ + a, y = v 0 cos ϕ Padaugin pirm j lygti i² x, antr j i² y, ir abi gautas lygtis sudej, gausime Pastar j lygti galima perra²yti taip: Kadangi sin α = y /v 0, tai Suintegrav pastar j lygti, gausime xx + yy = ax = ar cos ϕ = ar sin α r dr dt = ar sin α, r = x 2 + y 2 dr dt = a v 0 dy dt r = a v 0 y + C Pagal uºdavinio prasm skai ius e := a/v 0 < 1 Todel pastaroji lygtis apibreºia elips, kurios ekscentricitetas yra e ir vienas i² ºidiniu yra koordina iu pradºios

34 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI ta²ke, o elipses didºioji a²is nukreipta y a²ies kryptimi a r 110 pav Taigi didºiausio ploto g ura, kuri apibreºia skrisdamas lektuvas grei iu didesniu uº vejo greiti, yra elipse ios elipses didºioji a²is yra nukreipta statmenai vejo kryp iai Be to, lektuvo a²ies kryptis kiekvienu laiko momentu yra ortogonali lektuvo masiu centro radiuso vektoriui (ºr 110 pav)

15 KELI PAPRASƒIAUSI NETIESINIU PROCESU MODELIAI 35 15 KELI PAPRASƒIAUSI NETIESINIU PROCESU MODELIAI Tiesiniai procesai pasiºymi viena svarbia savybe Bet kokiu juos apra²an iu sprendiniu tiesinis darinys taip pat yra sprendinys Netiesiniai procesai ²ia savybe nepasiºymi šinant kelis netiesini proces apra²an ius sprendinius ju tiesinis darinys neb utinai bus sprendinys Be to, jeigu koki nors netiesini proces apra²anti parametr pakeisime neºymiai, tai t proces apra²antys dydºiai gali pasikeisti i² esmes Daugumas netiesiniu procesu ir juos apra²an iu matematiniu modeliu yra netiesiniai Tiesiniai modeliai daºniausiai yra netiesiniu modeliu pirmieji artiniai Pateiksime kelis papras iausius netiesiniu modeliu atvejus 1 v y t u o k l e s s v y r a v i m a s Tarkime, vienas strypo galas yra pritvirtintas prie sijos, o prie kito strypo galo pritvirtintas k unas mases m Be to, tegu strypo mase yra pakankamai maºa lyginant su k uno mase, o strypas itvirtinimo vietoje gali laisvai, be trinties, suktis (ºr 111 pav) l α - - - - - h - - - - v g 111 pav Nagrinesime plok² i ²vytuokles svyravim ir laikysime, kad oro pasiprie²inimo galime nepaisyti Kokiu nors b udu ²vytuokl i²veskime i² pusiausvyros padeties Paºymekime raide α ²vytuokles nuokrypio kamp nuo pusiausvyros padeties Tada nagrinejamos sistemos kinetine energija T = 1 2 mv2 = 1 ( 2 m l dα ) 2, dt o potencine energija P = mgh = mg(l l cos α); ia l strypo ilgis, g laisvo kritimo pagreitis, h 0 ²vytuokles nuokrypis nuo ºemiausios padeties Remiantis Hamiltono principu sudarome integral I(α) = t 2 t 1 (T P ) dt = t 2 t 1 [ 1 2 m ( l dα dt ) 2 mg(l l cos α) ] dt Tegu funkcija α = α(t) apra²o realu ²vytuokles svyravim Tada ji turi tenkinti Oilerio lygti l d2 α + g sin α = 0 dt2 Pastaroji lygtis yra netiesine antros eiles lygtis Ta iau jeigu svyravimai maºi, tai sin α α ²vytuokles maºu svyravimu matematinis modelis yra tiesinis l d2 α + gα = 0 dt2