O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα για μια συνάρτηση, το γενικευμένο ολοκλήρωμα,, ορίζεται ως lim, (2) εφόσον το ανωτέρω όριο υπάρχει. Αν υπάρχει ως αριθμός, λέμε ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει σε αυτόν τον αριθμό, ενώ αν υπάρχει ως άπειρο ( ή, λέμε ότι το ολοκλήρωμα αποκλίνει στο αντίστοιχο άπειρο. Αν δεν υπάρχει το όριο, τότε δεν ορίζεται το ολοκλήρωμα. Για τη συνέχεια, θα πρέπει να περιοριστούμε σε εκείνα τα σήματα, και σε εκείνες τις τιμές της συχνότητας για τις οποίες η (1) δίνει πραγματική τιμή. Σημειώστε ότι εναλλακτικοί συμβολισμοί για τη μετασχηματισμένη Laplace του σήματος είναι οι,. Πριν από τη διατύπωση του κριτηρίου σύγκλισης, θα χρειαστούμε τον ακόλουθο ορισμό: Ορισμός Λέμε ότι η συνάρτηση είναι τμηματικά συνεχής στο διάστημα,, αν υπάρχουν σημεία,,, στο, με, τέτοια ώστε η να είναι συνεχής σε κάθε ανοικτό διάστημα,, 1,,, τα δε πλευρικά όρια lim, lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. Η έννοια μιας τμηματικά συνεχούς συνάρτησης είναι γενικότερη της έννοιας της συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό διάστημα,. Μια συνεχής συνάρτηση στο, είναι προφανώς και τμηματικά συνεχής, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει. Στην περίπτωση ενός τμηματικά συνεχούς σήματος, το ολοκλήρωμα ορίζεται ως εξής:, (3)
με τις συναρτήσεις, 1,, να είναι ταυτόσημες με την στα αντίστοιχα διαστήματα,, 1,,, με αποκατεστημένη τη συνέχεια στα άκρα. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε 1,,, έχουμε lim,,,,, lim,. Έτσι, οι συναρτήσεις, 1,, είναι συνεχείς στα αντίστοιχα διαστήματα [, και τα ολοκληρώματα στο δεξιό μέλος της (3) είναι καλά ορισμένα. Κριτήριο σύγκλισης Έστω σήμα τμηματικά συνεχές σε κάθε διάστημα 0,, 0. Αν υπάρχουν αριθμοί, 0, 0, τέτοιoι ώστε να ισχύει τότε ορίζεται η, για., για, Aκολουθεί ένας πίνακας βασικών σημάτων και των μετασχηματισμένων Laplace αυτών, για κατάλληλα διαστήματα μεταβολής της συχνότητας. Σήμα (σταθερό σήμα) Μετασχηματισμένη Laplace Συχνότητα 0 1 sin cos 0 0 0, 1, 2,! 0
sin cos, 0,1,! sinh cosh (Υπενθυμίζεται ότι sinh και cosh είναι το υπερβολικό ημίτονο και το υπερβολικό συνημίτονο αντίστοιχα.) Mία από τις βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace που τη μοιράζεται και με κάθε άλλο ολοκληρωτικό μετασχηματισμό είναι η ιδιότητα της γραμμικότητας: Αν τα σήματα, 1,,, μετασχηματίζονται κατά Laplace, τότε κάθε γραμμικός συνδυασμός αυτών,, 1,,, μετασχηματίζεται κατά Laplace και ισχύει. (4) Η επόμενη Πρόταση είναι ιδιαιτέρως σημαντική και επιτρέπει μεταξύ άλλων την επίλυση γραμμικών προβλημάτων αρχικών τιμών με χρήση του μετασχηματισμού Laplace. Πρόταση Αν οι,,, είναι συνεχείς και η είναι τμηματικά συνεχής σε κάθε διάστημα 0,, 0, υπάρχουν αριθμοί, 0, 0, τέτοιoι ώστε να ισχύει,,,, για, τότε ορίζεται η, για, και ισχύει
0 0 0 0. (5) Η απόδειξη στηρίζεται σε επαγωγικό επιχείρημα. Σημειώστε ότι στην περίπτωση 1, η (5) δίνει 0, (6) δηλαδή, η παράγωγος ενός χρονικού σήματος μετασχηματίζεται σε γινόμενο της μετασχηματισμένης του αρχικού σήματος επί τη συχνότητα με προσέγγιση σταθερής ποσότητας. Eφόσον το σήμα από το οποίο προήλθε η μετασχηματισμένη Laplace είναι τμηματικά συνεχές, η αντιστροφή της διαδικασίας είναι καλά ορισμένη, υπό την έννοια ότι το είναι το μοναδικό σήμα για το οποίο. Στην περίπτωση αυτή μιλάμε για αντιστροφή του μετασχηματισμού που μας φέρνει πίσω στο πεδίο του χρόνου, γράφουμε μάλιστα:. (7) Η ιδιότητα της γραμμικότητας αφορά και τον τελεστή αντιστροφής. Έτσι:,, 1,,. (8) Όταν η μετασχηματισμένη Laplace έχει τη μορφή, με τα, να είναι πολυώνυμα με τον βαθμό του μικρότερο από τον βαθμό του και με την έκφραση να μην επιδέχεται περαιτέρω απλοποίηση (τα, λέμε τότε ότι είναι πρώτα μεταξύ τους), για την αντιστροφή της, προχωρούμε σε ανάλυση της ρητής συνάρτησης σε στοιχειώδη κλάσματα, βασιζόμενοι στη μέθοδο Heaviside, γνωστή και από τη φερώνυμη τεχνική που εφαρμόζεται κατά την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Aς θυμηθούμε σε τι συνίσταται αυτή η μέθοδος. Αρχικά αναλύουμε τον παρονομαστή σε γινόμενο δυνάμεων πρωτοβάθμιων και
δευτεροβάθμιων πολυωνύμων. Σε κάθε παράγοντα της μορφής, 1, 2,, αντιστοιχίζουμε το ακόλουθο άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων:, (9) ενώ σε κάθε παράγοντα της μορφής, 1, 2,, με 4 0, αντιστοιχίζουμε το εξής άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων:. (10) Aφού εξισώσουμε την με το άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων που θα προκύψει με εφαρμογή της ανωτέρω ανάλυσης, εφαρμόζοντας απαλοιφή παρονομαστών, οδηγούμαστε σε ένα σύστημα εξισώσεων που μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τα διάφορα,,. Στις συνηθέστερες περιπτώσεις, τα αθροίσματα στοιχειωδών κλασμάτων δεν είναι παρά γραμμικοί συνδυασμοί των μετασχηματισμένων Laplace του πίνακα που δόθηκε πιο πάνω. Αυτό, σε συνδυασμό με τη γραμμικότητα του τελεστή, μας επιτρέπει να βρούμε το αρχικό σήμα. Παράδειγμα 1 Να αντιστραφεί η μετασχηματισμένη Laplace. Λύση Η ανάλυση σε στοιχειώδη κλάσματα, δίνει, και με απαλοιφή παρονομαστών παίρνουμε 6 4 1. Είτε με εξίσωση συντελεστών των μονωνύμων ίδιου βαθμού είτε δίνοντας τιμές στο, παίρνουμε σύστημα τεσσάρων εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων, η επίλυση του οποίου μας δίνει τις εξής τιμές:
0, 5 3,0,2 3. Δηλαδή, η μετασχηματισμένη Laplace είναι, άρα 5 1 3 1 1 2 3 4 5 3 sin 1 3 sin2. Παράδειγμα 2 Να αντιστραφεί η μετασχηματισμένη Laplace 2 1 22. Λύση Καθώς ο παρονομαστής έχει αρνητική διακρίνουσα, προχωρούμε σε συμπλήρωμα τετραγώνου. Έτσι έχουμε: 2 1 22 2 1 1 12 2 1 21 21 1 1 1 1 Άρα, 1 2 1 1 3 1 1 1. 2 1 1 1 22 2 1 1 3 1 1 2 cos 3 sin. Ας δούμε στη συνέχεια, πώς μπορούμε να επιλύσουμε γραμμικά προβλήματα αρχικών τιμών με σταθερούς συντελεστές, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Laplace. Yπενθυμίζουμε ότι ένα γραμμικό πρόβλημα αρχικών τιμών τάξεως, 1, 2,, με σταθερούς συντελεστές, μπορεί να γραφεί ως εξής:, (11) με γνωστές τις αρχικές συνθήκες 0, 0, 0,, 0. (12)
Aυτό που κάνουμε για την επίλυση της (11), λαμβανομένων υπ όψιν των αρχικών τιμών (12), είναι να εφαρμόσουμε τον τελεστή στα δύο μέλη της (11) και, εκμεταλλευόμενοι τη γραμμικότητα του σε συνδυασμό με την (5), να καταλήξουμε σε μία αλγεβρική εξίσωση ως προς. Eπιλύοντας αυτήν την εξίσωση, έχουμε τη μετασχηματισμένη, οπότε η λύση του προβλήματος ανάγεται στην αντιστροφή αυτής της μετασχηματισμένης, δηλαδή:. (13) Παράδειγμα 3 Να επιλυθεί η 0, με αρχικές συνθήκες 0 0, 0 1, 0 0, 0 0. Λύση Εφαρμόζουμε τον στα δύο μέλη της εξίσωσης, οπότε η (5) δίνει: άρα, επομένως, 0 0 0 0 0, 1 0, 1 1 H ανάλυση σε στοιχειώδη κλάσματα δίνει : 11 1 1 11 1. 1 1, από όπου, απαλοίφοντας παρονομαστές και γράφοντας τα δύο πολυώνυμα κατά φθίνοντα βαθμό, παίρνουμε. Επιλύοντας το σύστημα που προκύπτει από την εξίσωση των συντελεστών των ομοβάθμιων μονωνύμων στα δύο μέλη της προηγούμενης σχέσης, προκύπτουν οι τιμές 1 4, 1 4, 0,1 2. Άρα,
Επομένως, 1 4 1 2 1 1 1 4 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1. 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 sinh 1 2 sin 1 2 sinh sin. Παράδειγμα 4 Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών: 2 4,0 2, 0 1. Λύση Η εφαρμογή του τελεστή στα δύο μέλη της εξίσωσης και η (5), σε συνδυασμό με τις αρχικές συνθήκες, δίνουν ή ή ή 212 4 4 4 1 21 4 1 232 57 1 1 2 57 1 2 57 1. Αναλύοντας το κλάσμα σε στοιχειώδη κλάσματα, παίρνουμε 2 57 1 1 1 1,
από όπου, με το γνωστό τρόπο, προκύπτει ότι Άρα, Επομένως, 2, 1, 4. 2 1 1 1 1 4 1 1. 2 1 1! 2! 1 1 2 1 2 2 2. Παραθέτουμε στη συνέχεια ορισμένες χαρακτηριστικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, οι οποίες καταγράφουν στο πεδίο των συχνοτήτων το αποτέλεσμα ορισμένου τύπου παρεμβάσεων στο αρχικό χρονικό σήμα : Ιδιότητα 1 Αν υπάρχει η, για, τότε υπάρχει η,, και ισχύει, για. Iδιότητα 2 Αν υπάρχει η, για, τότε υπάρχει η, 0, και ισχύει 1,. Ιδιότητα 3 ( 1, 0, 1, 2,
Iδιότητα 4, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει το αριστερό μέλος για κατάλληλες τιμές του. Ιδιότητα 5 Για περιοδικό σήμα με περίοδο 0, έχουμε 1. Oι τρεις τελευταίες ιδιότητες προϋποθέτουν φυσικά την ύπαρξη της. Η Ιδιότητα 4 μας λέει ότι ο μετασχηματισμός του ολοκληρώματος του χρονικού σήματος οδηγεί στο πηλίκο της μετασχηματισμένης του προς τη συχνότητα. Δηλαδή, η ολοκλήρωση στο χρονικό πεδίο οδηγεί στην πολύ απλούστερη πράξη της διαίρεσης στο πεδίο των συχνοτήτων. Ιδιότητα 6 Αν υπάρχει η, για, ί έ ή 0, 0,,. Tότε υπάρχει η, για και ισχύει, για. Ακολουθούν δύο παραδείγματα που αφορούν εφαρμογές της Ιδιότητας 6. Παράδειγμα 5 Να βρεθεί η μετασχηματισμένη Laplace του σήματος sin, 0 4, sin cos 4, 4. Λύση Παρατηρούμε ότι το δοθέν σήμα γράφεται ως άθροισμα των σημάτων sin και του μετατοπισμένου συνημιτόνου στη θέση. Άρα,
sin cos 1 1 1 1 1. Παράδειγμα 6 Να αντιστραφεί η 1. Λύση Η αντιστρέφεται στο σήμα, με εφαρμογή του Πίνακα με τις μετασχηματισμένες Laplace που δόθηκε πιο πάνω. Από την Ιδιότητα 6, η αντιστρέφεται στο μετατοπισμένο σήμα που είναι Επομένως, 0, 0 2, 2, 2., 0 2, 2, 2. Για εξάσκηση: Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών όπου 5 4, 1, 0, 0,, και με αρχικές συνθήκες 0 0 0. Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι 1, όπου 0, 0, 1,.
Εφαρμόστε στη συνέχεια τον μετασχηματισμό Laplace στα δύο μέλη της εξίσωσης, ακολουθώντας τη σχετική διαδικασία.