3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3. Αιτίες που προκαλούν την ετεροσκεδαστικότητα Η ετεροσκεδαστικότητα οφείλεται σε διάφορες αιτίες. Οι πιο σημαντικές από αυτές είναι: Η ετεροσκεδαστικότητα μπορεί να είναι μια φυσική ιδιότητα των μεταβλητών του υποδείγματος. Έτσι αν κατασκευάσουμε ένα οικονομετρικό υπόδειγμα με ανεξάρτητη μεταβλητή τις ώρες εξάσκησης στη δακτυλογράφηση και με εξαρτημένη μεταβλητή τον αριθμό των τυπογραφικών λαθών τότε αναμένουμε ότι όσο αυξάνουν οι ώρες μειώνεται όχι μόνο ο αριθμός των λαθών αλλά και η μεταβλητότητα αυτών. Επίσης αν κατασκευάσουμε ένα οικονομετρικό υπόδειγμα με ανεξάρτητη μεταβλητή τα ετήσια κέρδη των επιχειρήσεων και εξαρτημένη τα μερίσματα που δίνει η μετοχή των εταιριών και πάλι αναμένουμε ότι όσο αυξάνουν τα κέρδη θα αυξάνει τόσο το μέγεθος του μερίσματος όσο και η μεταβλητότητα αυτού. Στα παραπάνω παραδείγματα η δεσμευμένη διασπορά της εξαρτημένης μεταβλητής, και άρα και του διαταρακτικού όρου, δεν είναι σταθερή κατά μήκος των τιμών της ανεξάρτητης μεταβλητής, δηλαδή τα υποδείγματα παρουσιάζουν δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα. Η ετεροσκεδαστικότητα μπορεί να οφείλεται και σε ακραίες παρατηρήσεις (outlers) των μεταβλητών. Για παράδειγμα οποιοδήποτε οικονομετρικό υπόδειγμα με εξαρτημένη μεταβλητή τη μεταβλητότητα (volatlty) των αποδόσεων του δείκτη S&P 500 συμπεριλάβει στο δείγμα παρατηρήσεις από το φθινόπωρο του 008 θα παρουσιάζει δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα. Τις ημέρες εκείνες η μεταβλητότητα έφθασε στο πρωτοφανές 80% όταν η μέση μεταβλητότητα της προηγούμενης δεκαετίας ήταν 0%. Τέλος η ετεροσκεδαστικότητα μπορεί να οφείλεται και στο ότι το υπόδειγμα είναι λάθος εξειδικευμένο. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να απουσιάζει από αυτό μια σημαντική ανεξάρτητη μεταβλητή ή ότι η συναρτησιακή μορφή των μεταβλητών δεν είναι σωστή. Για παράδειγμα αν το σωστά εξειδικευμένο υπόδειγμα περιλαμβάνει ως ανεξάρτητη μεταβλητή τη x ενώ εμείς χρησιμοποιήσουμε τη x τότε θα παρουσιαστεί ετεροσκεδαστικότητα στα κατάλοιπα της παλινδρόμησης. 3. Εκτιμητές σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων Επανερχόμαστε στο γραμμικό υπόδειγμα του κεφαλαίου με μόνη τροποποίηση στις υποθέσεις ότι πλέον το υπόδειγμα παρουσιάζει δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα, δηλαδή εχ Var VX ( ) 34

v( X) 0 0 0 v ( ) 0 όπου ( ) X VX, αντιστρέψιμος και γνωστός. 0 0 v ( X) Αν εκτιμήσουμε τις παραμέτρους του υποδείγματος με ελάχιστα τετράγωνα, δηλαδή τότε β ( Χ'Χ) Χ' y Ο εκτιμητής είναι αμερόληπτος, αφού η απόδειξη της αμεροληψίας δεν εξαρτάται από την υπόθεση της ετεροσκεδαστικότητας Το Θεώρημα Gauss-Markov δεν ισχύει, δηλαδή ο β δεν είναι ο γραμμικός αμερόληπτος εκτιμητής ελάχιστης διασποράς. Πράγματι τότε μπορούμε να αποδείξουμε ότι Var βχ ( Χ'Χ) ( Χ'V(X)X)( Χ'Χ ) Το t-rato δεν ακολουθεί την t κατανομή όπως επίσης και το F-rato δεν ακολουθεί την F κατανομή. Έτσι λοιπόν όταν το υπόδειγμα παρουσιάζει δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων δεν είναι αποτελεσματικοί και επίσης δεν μπορούμε να διεξάγουμε ελέγχους υποθέσεων βασισμένοι σε αυτούς. Χρειαζόμαστε λοιπόν στη περίπτωση αυτή να εισάγουμε κάποιους νέους εκτιμητές για το υπόδειγμα. Οι εκτιμητές αυτοί ονομάζονται εκτιμητές σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων (weghted least squares) ή εκτιμητές γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων (generalzed least squares). Η βασική ιδέα για τη κατασκευή αυτών των εκτιμητών είναι η μετατροπή του γραμμικού υποδείγματος σε ένα νέο το οποίο δεν παρουσιάζει ετεροσκεδασικότητα και η εκτίμηση του νέου υποδείγματος με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Ο αντίστροφος του πίνακα διακύμανσης-συνδιακύμανσης είναι: / v ( X) 0 0 0 /v ( ) 0 ( ) X VX 0 0 /v ( X) Ορίζω το πίνακα έτσι ώστε / v ( X) 0 0 0 / v ( X) 0 ZX ( ) 0 0 / v ( ) X ( ) ( )' ( ) VX αριστερά με το πίνακα ZX, ( ) και έχουμε, ZX ZX. Πολλαπλασιάζουμε το γραμμικό υπόδειγμα από 35

ZXy ( ) ZXXβ ( ) ZXε ( ) y Χ ε Έτσι δημιουργούμε ένα νέο γραμμικό υπόδειγμα y Xβ ε (3.) το οποίο παρουσιάζει δεσμευμένη ομοσκεδαστικότητα μιας και VarεΧ Var εχ ΖΧ ( )Var εχ ΖΧ ( )' ΖΧVXΖΧ ( ) ( ) ( )' Ι Άρα λοιπόν μπορούμε να εκτιμήσουμε το τροποποιημένο υπόδειγμα (3.) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Για το υπόδειγμα αυτό ικανοποιούνται όλες οι κλασσικές υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος και επίσης αν η εχακολουθεί τη κανονική κατανομή τότε και η εχ ακολουθεί τη κανονική κατανομή (αφού η ε είναι γραμμικός συνδυασμός της ε). Άρα λοιπόν ο εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων του β μέσω του (3.) είναι ο γραμμικός και αμερόληπτος εκτιμητής ελάχιστης διασποράς και επίσης το t-rato και F-rato ακολουθεί αντίστοιχα την t και F κατανομή. Ο εκτιμητής αυτός ο οποίος καλείται εκτιμητής σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων είναι: δηλαδή, β ( XX ' ) Xy ' Z( X) X' Z( X) X Z( X) X' Z( X) y WLS - - X'Z(X)'Z(X)X X'Z(X)'Z(X)y X'V(X) X X'V(X) y - - β X'V(X) X X'V(X) y (3.) WLS Επίσης, - - - - Var βwls X X'V(X) X X'V(X) Var εχv(x) ΧX'V(X) X δηλαδή, - - - - - X'V(X) X X'V(X) V(X)V(X) ΧX'V(X) X X'V(X) X - Var β WLS X X'V(X) X (3.3) Έτσι λοιπόν για ένα γραμμικό υπόδειγμα που παρουσιάζει δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα υπάρχουν δύο αμερόληπτοι εκτιμητές. Ο ένας είναι ο εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων και ο δεύτερος είναι ο εκτιμητής σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων. Δεδομένου ότι η μορφή της ετεροσκεδαστικότητας είναι γνωστή (δηλαδή ο πίνακας V(X) είναι γνωστός) προτιμούμε τον δεύτερο αφού είναι περισσότερο αποτελεσματικός. Οι παραπάνω ιδιότητες του εκτιμητή σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων ισχύουν όταν ο πίνακας V(X) είναι γνωστός. Στις περισσότερες όμως εφαρμογές η εκ των προτέρων γνώση της μορφής της ετεροσκεδαστικότητας δεν είναι δυνατή. Στη περίπτωση αυτή μπορούμε να εκτιμήσουμε τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα από το δείγμα και να κατασκευάσουμε τους εκτιμητές εφικτών γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων (feasble generalzed least squares). Η εκτιμήτρια του V(X) είναι μια 36

τυχαία μεταβλητή της οποίας η κατανομή δειγματοληψίας επηρεάζει τη κατανομή δειγματοληψίας του β WLS. Δεδομένου ότι πολύ λίγα είναι γνωστά για την κατανομή δειγματοληψίας των εκτιμητών εφικτών γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων σε πεπερασμένα δείγματα η επόμενη παράγραφος θα παρουσιάσει τις ασυμπτωτικές ιδιότητες αυτών. 3.3 Εκτιμητές εφικτών γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων Στη παράγραφο αυτή θα υποθέσουμε ότι η σ.δ {y, x } είναι ανεξάρτητη και ισόνομα κατανεμημένη. Αυτό συνεπάγεται ότι ο διαταρακτικός όρος παρουσιάζει οριακή ομοσκεδαστικότητα αλλά είναι πιθανό να παρουσιάζει δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα. Έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους εκτιμητές γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων για να βελτιώσουμε την αποτελεσματικότητα της εκτίμησης. Από τη στιγμή που το δείγμα είναι ανεξάρτητα και ισόνομα E X εξαρτάται μόνο από το x, και η κατανεμημένο η δεύτερη ροπή συναρτησιακή μορφή του E x είναι ίδια για κάθε. Δηλαδή v( X) v( x ) για κάθε, και άρα η γνώση του πίνακα V(X) περιορίζεται στη γνώση μιας συνάρτησης v, Κ μεταβλητών. Θεωρούμε ότι η δεσμευμένη δεύτερη ροπή ακολουθεί το παραμετρικό υπόδειγμα: E x z'α όπου z f( x ). Το παραπάνω υπόδειγμα είναι γραμμικό ως προς τις παραμέτρους α αλλά μπορεί να είναι μη-γραμμικό, μέσω της συνάρτησης f, σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή x του αρχικού υποδείγματος. Η εισαγωγή της συνάρτησης f βοηθάει στο να είναι το υπόδειγμα σωστά εξειδικευμένο διότι εξ ορισμού θα πρέπει E x 0. Έτσι θα μπορούσαμε να θέσουμε για παράδειγμα f(x) x. 3.3. Ασυμπτωτικές ιδιότητες με γνωστή μορφή ετεροσκεδαστικότητας Ας υποθέσουμε ότι οι παράμετροι α είναι γνωστοί. Αυτό αυτόματα σημαίνει ότι ολόκληρος ο πίνακας V(X) είναι γνωστός και έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους εκτιμητές σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων για να εκτιμήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα. Με βάση τις αρχικές υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος (βλ. κεφάλαιο ) από τη προηγούμενη παράγραφο γνωρίζουμε τις ιδιότητες των εκτιμητών αυτών σε πεπερασμένα δείγματα. Με βάση όμως τις ασθενέστερες υποθέσεις του κεφαλαίου ποιες είναι τώρα οι (ασυμπτωτικές) ιδιότητες των εκτιμητών αυτών; Οι εκτιμητές σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων δεν είναι τίποτα άλλο παρά οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων του τροποποιημένου γραμμικού υποδείγματος y x ' β (3.4) 37

με E x. Η υπόθεση ισχύει αφού το υπόδειγμα είναι γραμμικό. Η υπόθεση επίσης ισχύει επειδή η σ.δ {y, x } είναι ανεξάρτητη και ισόνομα κατανεμημένη. Στο σημείο αυτό πρέπει να ενισχύσουμε την υπόθεση 3 υποθέτοντας ότι x αυτή συνεπάγεται ότι E x x x0 z'α z'α Επίσης, επειδή το διάνυσμα x είναι συνάρτηση του πληροφόρηση στο πρώτο σε σχέση με το δεύτερο, δηλαδή, E x E E x x 0 το οποίο και συνεπάγεται ότι E x 0 E 0. Η υπόθεση x δεν υπάρχει παραπάνω, άρα οι υποθέσεις 3 και 5 ισχύουν για το τροποποιημένο γραμμικό υπόδειγμα (3.4). Αν επίσης υποθέσουμε ότι ο πίνακας E xx' Σ είναι αντιστρέψιμος τότε ισχύουν όλες οι υποθέσεις του γραμμικού xx υποδείγματος που μελετήσαμε στο κεφάλαιο. Συνεπώς επειδή το υπόδειγμα (3.4) παρουσιάζει δεσμευμένη ομοσκεδαστικότητα ισχύουν πλήρως τα συμπεράσματα της παραγράφου.6 για. Δηλαδή ο εκτιμητής σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων είναι συνεπής και αποτελεσματικά κανονικός με ασυμπτωτική διασπορά AVar β Σ. Μια συνεπής εκτιμήτρια αυτής είναι WLS xx WLS AVar β X'V(X) X. 3.3. Ασυμπτωτικές ιδιότητες με άγνωστη μορφή ετεροσκεδαστικότητας Η υπόθεση ότι οι παράμετροι α είναι γνωστοί δεν είναι τις περισσότερες φορές, αν όχι όλες, μια ρεαλιστική υπόθεση. Ακόμα και αν υποθέσουμε τη μορφή της ετεροσκεδαστικότητας δεν μπορούμε να γνωρίζουμε τις αριθμητικές τιμές των παραμέτρων που την καθορίζουν. Έτσι λοιπόν και οι παράμετροι αυτοί θα πρέπει να εκτιμηθούν από το δείγμα. Γνωρίζουμε ότι, E x Έτσι λοιπόν αν θέσουμε u E x γραμμικό υπόδειγμα z'α, μπορούμε να ορίσουμε ένα νέο z'α u (3.5) για το οποίο Eu x 0. Άρα λοιπόν, E u z E E u x z 0, το οποίο όπως και πριν (μαζί με την υπόθεση ότι ο πίνακας E zz' είναι αντιστρέψιμος) συνεπάγεται ότι ισχύουν όλες οι υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος του κεφαλαίου. Έτσι ο εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων του α είναι συνεπής και 38

αποτελεσματικά κανονικός. Βέβαια στο υπόδειγμα (3.5) η εξαρτημένη μεταβλητή είναι μη-παρατηρήσιμη, που σημαίνει ότι στη πράξη δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την εκτίμηση του α. Μπορούμε όμως να δείξουμε ότι αν εκτιμήσουμε το αρχικό γραμμικό υπόδειγμα y x'β με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (ακόμα και αν παρουσιάζει δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα) τότε τα κατάλοιπα της παλινδρόμησης e είναι συνεπείς εκτιμητές του διαταρακτικού όρου ε. Έτσι αν εκτιμήσουμε το υπόδειγμα e z'α u τότε επίσης μπορούμε να δείξουμε ότι ο εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων α του υποδείγματος αυτού είναι συνεπής. Έτσι λοιπόν με τον τρόπο αυτό μπορούμε να έχουμε ένα συνεπή εκτιμητή για τις παραμέτρους του υποδείγματος της ετεροσκεδαστικότητας. Χρησιμοποιώντας τις εκτιμήσεις αυτές μπορούμε να καταλήξουμε σε έναν συνεπή εκτιμητή V για το πίνακα διακύμανσης-συνδιακύμανσης. Αντικαθιστώντας τον άγνωστο πίνακα V(X) με τον εκτιμητή αυτού στους εκτιμητές σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων κατασκευάζουμε τους εκτιμητές εφικτών γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων, δηλαδή, - - β X'V X X'V y (3.6) FGLS Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο εκτιμητής αυτός είναι συνεπής και ότι β β β β 0 p FGLS WLS Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια ακολουθία τ.μ {φ Ν } έτσι ώστε, β β β β φ FGLS WLS p και φ 0. Γνωρίζουμε όμως ότι d βwls β 0,AVarβ WLS Άρα λοιπόν από την ιδιότητα 4 (βλ. παράγραφο..3) έχουμε ότι, d βfgls β 0,AVarβ WLS Στη περίπτωση αυτή λέμε ότι οι ακολουθίες τ.μ β β και β είναι ασυμπτωτικά ισοδύναμες. Το παραπάνω αποτέλεσμα σημαίνει ότι AVar β AVar β. FGLS WLS FGLS Μπορούμε επίσης να αποδείξουμε ότι - - plm X'V X plm X'V(X) X Άρα λοιπόν ο πίνακας διασποράς του β FGLS. WLS β - X'V X είναι ένας συνεπής εκτιμητής της ασυμπτωτικής 39

Η εκτίμηση ενός γραμμικού υποδείγματος που παρουσιάζει ετεροσκεδαστικότητα γίνεται μέσω της μεθόδου των εφικτών γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων σε τρία βήματα:. Εκτίμηση του γραμμικού υποδείγματος y x'β με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και υπολογισμός των καταλοίπων αυτού e. Εκτίμηση του υποδείγματος e z'α u μέσω της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων 3. Μετατροπή του αρχικού υποδείγματος διαιρώντας με / z'α και εκτίμηση του νέου υποδείγματος με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα μέχρι τώρα για ένα υπόδειγμα που παρουσιάζει ετεροσκεδαστικότητα έχουμε δύο συνεπείς και ασυμπτωτικά κανονικούς εκτιμητές αυτού. Τους εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων και τους εκτιμητές εφικτών γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων. Γενικά ένας συνεπής και ασυμπτωτικά κανονικός εκτιμητής είναι ασυμπτωτικά πιο αποτελεσματικός από κάποιον άλλον επίσης συνεπή και ασυμπτωτικά κανονικό εκτιμητή αν η ασυμπτωτική διασπορά του δεύτερου είναι μεγαλύτερη ή ίση με αυτή του πρώτου. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι οι εκτιμητές εφικτών γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων είναι ασυμπτωτικά πιο αποτελεσματικοί από τους εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων. Προσοχή όμως το συμπέρασμα αυτό βασίζεται στην υπόθεση ότι το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο και ότι το υπόδειγμα της ετεροσκεδαστικότητας είναι σωστά εξειδικευμένο. Αν ένα από αυτά τα δύο δεν ικανοποιείται είναι πιθανό η ασυμπτωτική διασπορά των εκτιμητών εφικτών γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων να είναι μεγαλύτερη από αυτή των εκτιμητών ελαχίστων τετραγώνων. 3.4 Έλεγχοι δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας Με τη χρησιμοποίηση των robust standard errors ο στατιστικός έλεγχος για ύπαρξη ή μη δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας έχει απολέσει τη σημασία που είχε παλαιότερα. Παρόλα αυτά στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε τους σημαντικότερους ελέγχους που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία. Η παρουσίαση γίνεται από τον γενικότερο στον ειδικότερο το οποίο συνεπάγεται από τον λιγότερο στον περισσότερο ισχυρό. Όλοι οι έλεγχοι ακολουθούν την ακόλουθη κοινή στρατηγική. Τα κατάλοιπα ελαχίστων τετραγώνων είναι συνεπείς εκτιμητές των τιμών του διαταρακτικού όρου ακόμα και όταν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα στο υπόδειγμα. Έτσι οι τιμές των καταλοίπων θα αντικατοπτρίζουν σε κάποιο βαθμό την πιθανή ετεροσκεδαστικότητα του υποδείγματος ή διαφορετικά, δεδομένης της δεσμευμένης ομοσκεδαστικότητας για το πληθυσμό πόσο πιθανό είναι να έχουμε ένα δείγμα με κατάλοιπα αυτά που έχουμε εκτιμήσει; 40

3.4. Ο έλεγχος Whte Ο έλεγχος Whte είναι ο γενικότερος έλεγχος δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας που έχει παρουσιαστεί μέχρι στιγμής στη βιβλιογραφία. Έτσι η μηδενική υπόθεση H : x,. Γνωρίζουμε ότι υπό τη μηδενική υπόθεση του ελέγχου είναι 0 Σ Σ xx δηλαδή, plmsplm S plm S S 0plm e x x' 0. xx xx Έστω το διάνυσμα ψ διαστάσεως m το οποίο περιλαμβάνει τα μοναδικά και μη σταθερά στοιχεία του πίνακα xx'. Τότε η παραπάνω σχέση υποδεικνύει ότι plm e ψ 0 Η ποσότητα e ψ είναι ένας δειγματικός μέσος ο οποίος συγκλίνει c κατά πιθανότητα στο μηδέν. Εφαρμόζοντας το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα μπορούμε d να δείξουμε ότι c 0,AVarc, το οποίο συνεπάγεται ότι d c' AVar( c) c X (m). Για μια συγκεκριμένη επιλογή AVar( c ) η παραπάνω στατιστική του ελέγχου ισούται με R όπου R ο συντελεστής προσδιορισμού της γραμμικής παλινδρόμησης με εξαρτημένη μεταβλητή e και ανεξάρτητες τη σταθερά και το διάνυσμα ψ. Έτσι η μηδενική απορρίπτεται όταν R X(m), με επίπεδο σημαντικότητας α. Αν ο έλεγχος υποδεικνύει την απόρριψη της μηδενικής τότε πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τα robust standard errors για τη στατιστική συμπερασματολογία του γραμμικού υποδείγματος. Σε διαφορετική περίπτωση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα του κεφαλαίου. Ο έλεγχος Whte είναι πολύ γενικός μιας και δεν απαιτείται να κάνουμε κάποια συγκεκριμένη υπόθεση για τη μορφή της ετεροσκεδαστικότητας. Το χαρακτηριστικό αυτό αποτελεί ταυτόχρονα πλεονέκτημα και μειονέκτημα του ελέγχου. Αν ο έλεγχος απορρίψει τη μηδενική υπόθεση αυτό μπορεί πολύ απλά να οφείλεται, όχι στο ότι υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, αλλά στο ότι το υπόδειγμα δεν είναι σωστά εξειδικευμένο (για παράδειγμα η παράλειψη της μεταβλητής x από τη παλινδρόμηση). Η ισχύς του ελέγχου Whte τείνει στη μονάδα όταν το Ν τείνει στο άπειρο, αλλά επειδή το διάνυσμα ψ μπορεί να έχει ένα μεγάλο αριθμό στοιχείων μπορεί να απαιτηθεί ένα αρκετά μεγάλο δείγμα για να επιτευχθεί η σύγκλιση αυτή. Αυτό σημαίνει ότι όταν το υπόδειγμα έχει ένα μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων μεταβλητών και το δείγμα είναι πεπερασμένο η ισχύς του ελέγχου μπορεί να αποκλίνει σημαντικά από τη μονάδα. 4

3.4. Ο έλεγχος Goldfeld-Quandt Στον έλεγχο Goldfeld-Quandt χωρίζουμε τις παρατηρήσεις σε δύο σύνολα με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε υπό τη μηδενική υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας η διασπορά θα είναι ίδια στα δύο σύνολα ενώ υπό την εναλλακτική θα είναι στατιστικά διαφορετική. Έτσι αν είναι η διασπορά του πρώτου υποσυνόλου και η διασπορά του : και η εναλλακτική :. δεύτερου η μηδενική υπόθεση είναι 0 Ο έλεγχος αυτός απαιτεί κάποια υπόθεση για τη μορφή της πιθανής ετεροσκεδαστικότητας έτσι ώστε να μπορέσουμε να κατασκευάσουμε τα δύο υποσύνολα. Θα μπορούσε να είναι της μορφής που εξετάσαμε στη προηγούμενη E x x ή ακόμα απλούστερη δηλαδή παράγραφο, δηλαδή E g g g,,,...,ng x όπου το δείγμα έχει χωριστεί σε G υποσύνολα εκ των οποίων το καθένα περιέχει n g παρατηρήσεις (groupwse heteroskedastcty). Αφού χωρίσουμε το δείγμα σε δύο υποσύνολα με πλήθος στοιχείων Ν και Ν αντίστοιχα εκτιμούμε το γραμμικό υπόδειγμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για καθένα από τα δύο υποσύνολα. Υπολογίζουμε έτσι τη δειγματική διασπορά και. Η στατιστική του ελέγχου είναι: F Αν υποθέσουμε ότι ο διαταρακτικός όρος ακολουθεί κανονική κατανομή τότε υπό τη μηδενική υπόθεση η F F. Έτσι η μηδενική απορρίπτεται αν ( K, K), ( K, K) F F με επίπεδο σημαντικότητας α. Προφανώς αν ο διαταρακτικός όρος δεν ακολουθεί κανονική κατανομή η στατιστική F δεν ακολουθεί πλέον την F κατανομή. Στη περίπτωση αυτή είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί ένας ασυμπτωτικός έλεγχος με γνωστή κατανομή δειγματοληψίας όπως για παράδειγμα ο έλεγχος Whte. 3.4.3 Ο έλεγχος Breusch-Pagan-Godfrey Ο έλεγχος Goldfeld-Quandt απαιτεί το διαχωρισμό του δείγματος σε δύο υποσύνολα για τα οποία μπορούμε να υποθέσουμε ότι έχουν διαφορετική διασπορά. Αυτό όμως δεν είναι πάντα δυνατό σε όλα τα υποδείγματα. Για παράδειγμα θα μπορούσε η E x z'α, δηλαδή να εξαρτάται ετεροσκεδαστικότητα να είναι της μορφής από ένα πλήθος ανεξαρτήτων μεταβλητών. Ο έλεγχος Breusch-Pagan-Godfrey βασίζεται ακριβώς στην παραμετροποίηση της διασποράς μέσω του παραπάνω υποδείγματος. Στη περίπτωση αυτή η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας συνεπάγεται ότι όλοι οι όροι του διανύσματος α πλην του σταθερού είναι στατιστικά ίσοι με το μηδέν. Έτσι αρκεί να εκτιμήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα e z'α u 4

όπου e τα κατάλοιπα ελαχίστων τετραγώνων του γραμμικού υποδείγματος. Η στατιστική του ελέγχου είναι ESS BP ( / ) e'e όπου ESS είναι the explaned sum of squares της προηγούμενης παλινδρόμησης. Αν υποθέσουμε ότι ο διαταρακτικός όρος ακολουθεί κανονική κατανομή τότε η παραπάνω στατιστική συγκλίνει κατά κατανομή στη X(K ). Αν όμως ο διαταρακτικός όρος δεν ακολουθεί κανονική κατανομή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως στατιστική του ελέγχου (όπως και στον έλεγχο Whte) τη ποσότητα R όπου R ο συντελεστής προσδιορισμού της παραπάνω γραμμικής παλινδρόμησης. Υπό τη μηδενική υπόθεση η στατιστική συγκλίνει στη X(K ). Έτσι λοιπόν ουσιαστικά ο έλεγχος Breusch-Pagan-Godfrey είναι μια ειδική περίπτωση του ελέγχου Whte. 3.5 Αιτίες που προκαλούν αυτοσυσχέτιση Οι βασικότερες αιτίες που προκαλούν αυτοσυσχέτιση είναι οι ακόλουθες: Οι περισσότερες οικονομικές χρονολογικές σειρές, όπως για παράδειγμα το ΑΕΠ, η κατανάλωση, η απασχόληση κ.α, παρουσιάζουν αδράνεια. Αυτό σημαίνει ότι κινούνται με βάση οικονομικούς κύκλους. Ξεκινώντας από τα χαμηλά μιας περιόδου ύφεσης οι τιμές αυτών των μεταβλητών μεταβάλλονται θετικά, δηλαδή η τιμή της επόμενης περιόδου είναι μεγαλύτερη από τη τιμή της προηγούμενης. Το φαινόμενο αυτό συνεχίζεται μέχρις ότου ξαναεμφανιστεί ύφεση και η μεταβολή επιβραδυνθεί ή και αναστραφεί. Το φαινόμενο της αυτοσυσχέτισης μπορεί επίσης να οφείλεται στο ότι απουσιάζουν κάποιες ανεξάρτητες μεταβλητές από το υπόδειγμα οι οποίες επηρεάζουν την εξαρτημένη μεταβλητή ή ότι το υπόδειγμα δεν έχει τη σωστή συναρτησιακή μορφή. Η τρέχουσα τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής μπορεί να εξαρτάται, περάν όλων των άλλων, και από τις παρελθούσες τιμές αυτής. Αν λοιπόν οι παρελθούσες τιμές απουσιάζουν από τις ανεξάρτητες μεταβλητές το υπόδειγμα θα παρουσιάσει αυτοσυσχέτιση. 3.6 Εκτιμητές γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων Αν το υπόδειγμα μας παρουσιάζει αυτοσυσχέτιση, αλλά όχι ετεροσκεδαστικότητα, ο πίνακας διακύμανσης συνδιακύμανσης του διαταρακτικού όρου θα μπορούσε να γραφτεί ως: 43

Var όπου j Cov, j εχ V X, το οποίο συνεπάγεται ότι η σ.δ {ε } είναι στάσιμη και ανεξάρτητη από τις ανεξάρτητες μεταβλητές Χ. Αν λοιπόν υποθέταμε μια συγκεκριμένη σ.δ για το διαταρακτικό όρο θα μπορούσαμε να παραμετρικοποιήσουμε την αυτοσυσχέτιση του και συνεπώς και το πίνακα διακύμανσης-συνδιακύμανσης αυτού. Το πιο απλό που θα μπορούσαμε να υποθέσουμε είναι ότι ο διαταρακτικός όρος ακολουθεί ένα AR() υπόδειγμα, δηλαδή, u με, όπου ο διαταρακτικός όρος {u } του νέου υποδείγματος είναι ένας ανεξάρτητος λευκός θόρυβος με διασπορά (βλ. Άσκηση Κεφαλαίου ) ότι u. Στη περίπτωση αυτή γνωρίζουμε ότι j u u E0,Var( ),Cov, j Ας υποθέσουμε καταρχήν ότι οι παράμετροι που επηρεάζουν το πίνακα διακύμανσηςσυνδιακύμανσης, u και ρ, είναι εκ των προτέρων γνωστοί. Στη περίπτωση αυτή μπορούμε να επαναλάβουμε τη μεθοδολογία που ακολουθήσουμε και στους εκτιμητές σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων και να μετατρέψουμε το αρχικό υπόδειγμα σε ένα νέο το οποίο δεν παρουσιάζει αυτοσυσχέτιση. Το αρχικό υπόδειγμα γράφεται ως: y x'β x'β u Όμως, y x -'β yx -'β. Αντικαθιστώντας στη προηγούμενη σχέση έχουμε, y y x x-' β u,,..., y x Παρατηρούμε ότι ο διαταρακτικός όρος του νέου υποδείγματος είναι η σ.δ {u } η οποία εξ ορισμού δεν παρουσιάζει αυτοσυσχέτιση. Παρατηρούμε επίσης ότι ο μετασχηματισμός του υποδείγματος «θυσιάζει» τη πρώτη παρατήρηση. Σε μεγάλα δείγματα αυτό δεν είναι κάτι που μας απασχολεί ιδιαίτερα. Σε μικρά όμως δείγματα η μείωση των παρατηρήσεων δεν είναι κάτι το επιθυμητό. Στη περίπτωση αυτή θα μπορούσαμε να θέσουμε ως μετασχηματισμό για την πρώτη παρατήρηση, y y, x x Στη περίπτωση αυτή ο νέος διαταρακτικός όρος είναι u, ο οποίος έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με τους υπόλοιπους διαταρακτικούς όρους u,u 3,...,u. Έτσι χρησιμοποιώντας τους συμβολισμούς της παραγράφου 3. ο πίνακας Ζ είναι 44

Z Αν υποθέσουμε ότι E εχ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 τότε επαναλαμβάνοντας ότι αναφέραμε στη παράγραφο 3. μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύουν οι υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος του κεφαλαίου και έτσι ο εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων του νέου υποδείγματος, ο οποίος καλείται εκτιμητής γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων, είναι γραμμικός αμερόληπτος εκτιμητής ελάχιστης διασποράς. Ο εκτιμητής αυτός δίνεται από τη σχέση (3.) και η διασπορά αυτού από τη σχέση (3.3). Για να ισχύουν οι ασυμπτωτικές ιδιότητες του εκτιμητή γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων θα πρέπει να ικανοποιούνται οι υποθέσεις του κεφαλαίου για το τροποποιημένο γραμμικό υπόδειγμα. Έτσι θα πρέπει να ισχύει E x u 0, το οποίο γράφεται ως E x x E x E x E x x Άρα για να ικανοποιείται η παραπάνω συνθήκη θα πρέπει όχι μόνο αλλά και E E E x 0, x x 0, δηλαδή ο διαταρακτικός όρος θα πρέπει να είναι ασυσχέτιστος όχι μόνο με τη τρέχουσες ανεξάρτητες μεταβλητές x αλλά και με τις ανεξάρτητες μεταβλητές για τη προηγούμενη και επόμενη παρατήρηση. Λαμβανομένου υπ όψιν ότι η υπόθεση E x u 0 είναι αναγκαία για να αποδείξουμε τη συνέπεια ενός εκτιμητή γίνεται αντιληπτό ότι για να είναι ο εκτιμητής γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων συνεπής θα πρέπει να ενισχύσουμε τις υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος του κεφαλαίου. Πιο συγκεκριμένα αν ο διαταρακτικός όρος ακολουθεί μια AR() διαδικασία θα πρέπει E x E x E x 0 έτσι ώστε ο εκτιμητής γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων να είναι συνεπής. Αν γενικεύσουμε τη μορφή της αυτοσυσχέτισης τότε θα πρέπει ουσιαστικά να υποθέσουμε ότι E εχ 0, δηλαδή να επιστρέψουμε στις υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος του κεφαλαίου για το οποίο ήδη γνωρίζουμε τις ιδιότητες των εκτιμητών. Έτσι από πλευράς υποθέσεων για το υπόδειγμα δεν έχουμε κάποιο «κέρδος» από την εφαρμογή της ασυμπτωτικής θεωρίας. Για το λόγο αυτό τις περισσότερες φορές οι εκτιμητές γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων δεν είναι κατάλληλοι για τη διόρθωση της αυτοσυσχέτισης του υποδείγματος διότι απαιτούνται ισχυρές υποθέσεις για να είναι αμερόληπτοι και συνεπείς. Από την άλλη πλευρά γνωρίζουμε ήδη από το κεφάλαιο ότι αρκεί να υποθέσουμε E x 0, έτσι ώστε να είναι ο εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων συνεπής. ότι Έτσι λοιπόν αν μπορούσαμε να αντικαταστήσουμε την υπόθεση ότι η σ.δ g x 45

είναι m.d.s (το οποίο συνεπάγεται ότι οι διαταρακτικός όρος δεν παρουσιάζει αυτοσυσχέτιση) από κάποια ασθενέστερη για τον οποία υπάρχει κάποιο Κεντρικό Οριακό Θεώρημα θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τη κατανομή δειγματοληψίας των εκτιμητών ελαχίστων τετραγώνων λαμβανομένου υπ όψιν ότι ο διαταρακτικός όρος του υποδείγματος παρουσιάζει αυτοσυσχέτιση. Με τον τρόπο αυτό θα μπορούσαμε να γενικεύσουμε τα robust standard errors που υπολογίσαμε στο κεφάλαιο για να διορθώσουμε όχι μόνο για ετεροσκεδαστικότητα αλλά και για αυτοσυσχέτιση. Ας υποθέσουμε προς στιγμήν ότι οι αναγκαίες υποθέσεις για να είναι ο εκτιμητής γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων συνεπείς ισχύουν και ας υποθέσουμε τώρα ότι οι παράμετροι που καθορίζουν το πίνακα διακύμανσης-συνδιακύμανσης δεν είναι γνωστοί και πρέπει να εκτιμηθούν από το δείγμα. Όπως και στη περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας θα μπορούσαμε σε ένα πρώτο στάδιο να εκτιμήσουμε το αρχικό γραμμικό υπόδειγμα και να συλλέξουμε τα κατάλοιπα αυτού e. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας αυτά τα κατάλοιπα να εκτιμήσουμε το υπόδειγμα e e u χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και να πάρουμε τους εκτιμητές και u. Μέσω των εκτιμητών αυτών μπορούμε να εκτιμήσουμε το πίνακα διακύμανσης-συνδιακύμανσης V, και τελικώς να εκτιμήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα χρησιμοποιώντας τους εκτιμητές εφικτών γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων. Ο εκτιμητής αυτός έχει τις ιδιότητες που παρουσιάσαμε στη παράγραφο 3.3.. 3.7 Ασυμπτωτικές ιδιότητες για σ.δ που παρουσιάζουν αυτοσυσχέτιση Στη παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε τις ασυμπτωτικές ιδιότητες του δειγματικού n μέσου zn z μιας πολυδιάστατης σ.δ {z } η οποία είναι ασθενώς στάσιμη με n μέσο μ και πίνακα αυτοσυσχέτισης j-τάξεως Γ j. Δηλαδή, j Cov, j Γ z z. Θεώρημα: Έστω η σ.δ {z } η οποία είναι ασθενώς στάσιμη με μέσο μ και πίνακα αυτοσυσχέτισης j-τάξεως Γ j. Τότε, p zn μ αν κάθε διαγώνιο στοιχείο του πίνακα Γ j τείνει στο μηδέν όταν το j τείνει στο άπειρο. Στο παραπάνω Θεώρημα η σύγκλιση κατά πιθανότητα ικανοποιείται θέτοντας ασθενέστερες υποθέσεις σε σχέση με το νόμο των μεγάλων αριθμών που παρουσιάσαμε στο κεφάλαιο διότι αρκεί η σ.δ να είναι ασθενώς στάσιμη και η αυτοσυσχέτιση των στοιχείων της να τείνει στο 0. Αντίθετα στο κεφάλαιο υποθέσαμε ότι η σ.δ είναι στάσιμη και εργοδική. 46

Θεώρημα: Έστω η σ.δ {z } η οποία είναι στάσιμη και εργοδική και για την οποία ικανοποιούνται κάποιες επιπρόσθετες συνθήκες (γνωστές στη βιβλιογραφία ως συνθήκες Gordn). Τότε z 0, η ακολουθία j d n zn 0, Γ j j Γ είναι αθροίσιμη και Αποδεικνύεται ότι συνθήκες Gordn ικανοποιούνται όταν η σ.δ είναι m.d.s. Αυτό σημαίνει ότι το παραπάνω Κεντρικό Οριακό Θεώρημα είναι μια γενίκευση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος του κεφαλαίου. 3.8 Ασυμπτωτικές ιδιότητες του εκτιμητή ελαχίστων τετραγώνων με αυτοσυσχέτιση Μπορούμε τώρα να αντικαταστήσουμε την υπόθεση 5 του κεφαλαίου με μια νέα υπόθεση που θα ενσωματώνει τις συνθήκες Gordn για τη σ.δ g x. Επιπρόσθετα, όπως και πριν, υποθέτουμε ότι η ασυμπτωτική διασπορά της g δίνεται από έναν αντιστρέψιμο πίνακα j 0 j j' j j αυτοσυσχέτιση j-τάξεως, δηλαδή Γ j E gg j'. Σ Γ Γ Γ Γ, όπου ο πίνακας Γ j είναι η Αν η σ.δ g είναι m.d.s δηλαδή δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση τότε Σ Γ 0, και επιστρέφουμε στα αποτελέσματα του κεφαλαίου. Αν υποθέσουμε ότι ο διαταρακτικός όρος παρουσιάζει αυτοσυσχέτιση η μόνη διαφορά σε σχέση με τα αποτελέσματα του κεφαλαίου θα είναι στη μορφή του πίνακα Σ και στο συνεπή εκτιμητή αυτού. Έτσι ο εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων είναι συνεπής και αποτελεσματικά κανονικός. Αν S είναι ένας συνεπής εκτιμητής του πίνακα Σ τότε ένας συνεπής εκτιμητής της ασυμπτωτικής διασποράς είναι, όπως και στο κεφάλαιο : AVar( - - β) Sxx SS xx Τα τετραγωνική ρίζα των διαγώνιων στοιχείων του πίνακα AVar( β ) ονομάζονται πλέον heteroskedastcty and autocorrelaton consstent (HAC) standard errors. Οι ασυμπτωτικές κατανομές των στατιστικών των ελέγχων υποθέσεων (t-statstc, Wald statstc) που δείξαμε στο κεφάλαιο παραμένουν οι ίδιες όταν χρησιμοποιήσουμε την νέα εκτίμηση της ασυμπτωτικής διασποράς η οποία λαμβάνει υπ όψιν πιθανή αυτοσυσχέτιση. 3.9 Η εκτίμηση του πίνακα Σ Καταρχήν μπορούμε να δείξουμε ότι ο πίνακας 47

Γ j gg j' j όπου g x e είναι ένας συνεπής εκτιμητής της αυτοσυσχέτισης j-τάξεως. Για την εκτίμηση του πίνακα Σ μπορούμε να θεωρήσουμε δύο περιπτώσεις. Στη πρώτη, η οποία είναι και η πιο απλή, θεωρούμε ότι a pror γνωρίζουμε ότι Γ j 0,jq. Τότε ένας συνεπής εκτιμητής της Σ είναι: q 0 j j j S Γ Γ Γ ' Στη δεύτερη περίπτωση, η οποία είναι και η πιο δύσκολη, δεν γνωρίζουμε αν η αυτοσύσχετιση από μια τάξη και μετά μηδενίζεται. Στη περίπτωση αυτή έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία διάφορες μεθοδολογίες για την εκτίμηση της Σ. Μπορούμε να τις κατατάξουμε σε μη-παραμετρικές και παραμετρικές. Η πιο γνωστή μη-παραμετρική μεθοδολογία είναι οι εκτιμητές ewey-west. Η πιο γνωστή παραμετρική μεθοδολογία είναι οι εκτιμητές VARHAC (Vector Autoregressve HAC). Με τη μέθοδο αυτή παραμετρικοποιούμε τη σ.δ g μέσω ενός διανυσματικού αυτοπάλινδρου υποδείγματος. Μέσω του υποδείγματος αυτού μπορούμε στη συνέχεια να εκτιμήσουμε την αυτοσυσχέτιση της σ.δ και τελικώς τον πίνακα Σ. 3.0 Έλεγχοι αυτοσυσχέτισης Οι έλεγχοι αυτοσυσχέτισης βασίζονται στην ιδέα ότι αν ο διαταρακτικός όρος παρουσιάζει αυτοσυσχέτιση τότε αυτή θα εμφανιστεί και στα κατάλοιπα ελαχίστων τετραγώνων. 3.0. Ο έλεγχος Durbn-Watson Ο έλεγχος Durbn-Watson ήταν ο πρώτος που παρουσιάστηκε για να εξετάσει πιθανή ύπαρξη αυτοσυσχέτισης στο διαταρακτικό όρο. Έστω το γραμμικό υπόδειγμα της μορφής: y Xβε u,u 0, με εχ 0. Δηλαδή το υπόδειγμα ικανοποιεί όλες τις υποθέσεις του κεφαλαίου εκτός από την υπόθεση της αυτοσυσχέτισης. Η μηδενική υπόθεση είναι H 0 : 0 και η στατιστική του ελέγχου είναι: e e e e e d e όπου e τα κατάλοιπα ελαχίστων τετραγώνων του γραμμικού υποδείγματος και ο εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων του υποδείγματος e e u. Αν τώρα το 48

δείγμα είναι αρκετά μεγάλο ο τελευταίος όρος είναι πολύ μικρός και άρα προσεγγιστικά d Άρα λοιπόν όταν 0, τότε d, ενώ όταν ή, έχουμε αντίστοιχα d 0 και d 4. Σε αντίθεση με όλους τους άλλους ελέγχους η κατανομή δειγματοληψίας της στατιστικής Durbn-Watson εξαρτάται από τις ανεξάρτητες μεταβλητές Χ. Αυτό συνεπάγεται ότι και οι κριτικές τιμές του ελέγχου εξαρτώνται από τις ανεξάρτητες μεταβλητές. Όμως οι Durbn και Watson έδειξαν ότι η οι κριτικές τιμές φράσσονται αριστερά και δεξιά από δύο μεγέθη d L(,K),d U(,K)τα οποία εξαρτώνται μόνο από το μέγεθος του δείγματος, τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών και φυσικά το επίπεδο σημαντικότητας α (βλέπε Πίνακα G.6, σελ. 958, Greene, W., Econometrc Analyss, 5 th edton). Έτσι λοιπόν ο έλεγχος H 0 : 0 έναντι H: 0πραγματοποιείται συγκρίνοντας τα μεγέθη d, d L(,K) και d U (,K). Αν d d L(,K) η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται, αν d d U (,K) η μηδενική δεν απορρίπτεται. Αν d L(,K) d d U(,K) τότε ο έλεγχος δεν μπορεί να καταλήξει σε κάποιο συμπέρασμα. Ο έλεγχος H 0 : 0 έναντι H: 0πραγματοποιείται συγκρίνοντας την d με το 4 d L(,K) και το 4 d U (,K). Αν d4 d L(,K) η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται, αν d4 d U (,K) η μηδενική δεν απορρίπτεται. If 4d U(,K) d4 d L(,K) τότε ο έλεγχος δεν μπορεί να καταλήξει σε κάποιο συμπέρασμα. 3.0. Ο έλεγχοι Box-Perce και Ljung-Box Ο έλεγχος Durbn-Watson απαιτεί οι διαταρακτικός όρος να ακολουθεί κανονική κατανομή και μπορεί να ελέγξει μόνο για αυτοσυσχέτιση ης τάξης. Αν θέλουμε να κατασκευάσουμε ελέγχους οι οποίοι θα γενικεύουν αυτά τα χαρακτηριστικά θα πρέπει να στραφούμε στην ασυμπτωτική θεωρία. Έχοντας εκτιμήσει τα κατάλοιπα ελαχίστων τετραγώνων μπορούμε να υπολογίσουμε τη δειγματική αυτοσυσχέτιση τάξεως j ως: j j, j 0,,,... όπου j t j j 0 ee η δειγματική συνδιακύμανση. Παρατηρείστε ότι δεν αφαιρούμε το δειγματικό μέσο και αυτό διότι e 0. 49

Αν εχ 0 τότε υπό τη μηδενική υπόθεση H 0 :... p 0, δηλαδή ελέγξουμε από κοινού για ύπαρξη αυτοσυσχέτισης τάξεως p, έχουμε ότι η στατιστική του ελέγχου Box-Perce είναι p Q X d (p) Έτσι αν Q X(p), η μηδενική απορρίπτεται με επίπεδο σημαντικότητας α. Οι Ljung-Box πρότειναν την ακόλουθη τροποποίηση της παραπάνω στατιστικής, η οποία λειτουργεί καλύτερα σε μεσαία δείγματα p Q' ( ) X d (p) 3.0.3 Ο έλεγχος Breusch-Godfrey Οι έλεγχοι Box-Perce και Ljung-Box υποθέτουν ότι εχ 0, το οποίο σημαίνει για παράδειγμα ότι ο πίνακας Χ δεν περιλαμβάνει παρελθούσες παρατηρήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής. Αν όμως η τελευταία υπόθεση δεν ικανοποιείται από το γραμμικό υπόδειγμα τότε οι στατιστικές μπορεί να μην συγκλίνουν ασυμπτωτικά στην Χ κατανομή. Ο έλεγχος Breusch-Godfrey έρχεται να καλύψει το κενό αυτό των παραπάνω ελέγχων. Ο έλεγχος διεξάγεται μέσω του βοηθητικού γραμμικού υποδείγματος e x'δ e e... pep u το οποίο περιέχει ως ανεξάρτητες μεταβλητές τις μεταβλητές του γραμμικού υποδείγματος και τις παρελθούσες παρατηρήσεις των καταλοίπων ελαχίστων τετραγώνων. Για να εκτιμήσουμε το παραπάνω υπόδειγμα για ένα δείγμα Ν παρατηρήσεων χρειαζόμαστε τις τιμές e 0, e,..., ep. Είναι λογικό να θέσουμε τις τιμές αυτές ίσες με το 0, την αναμενόμενη τιμή αυτών. Θα μπορούσαμε επίσης να εκτιμήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα για p, p,...,. Οι δύο αυτές επιλογές είναι ασυμπτωτικά ισοδύναμες. Η μηδενική υπόθεση του ελέγχου είναι H 0 :... p 0, δηλαδή είναι ένα F-test για τις παραμέτρους των παρελθόντων καταλοίπων. Όπως και στη περίπτωση του ελέγχου αυτοσυσχέτισης η στατιστική του ελέγχου είναι R, όπου R ο συντελεστής προσδιορισμού της d προηγούμενης παλινδρόμησης. Υπό τη μηδενική υπόθεση R X (p). 50