Ασυµπτωτικη Θεωρια Χωρων Πεπερασµενης ιαστασης Με Νορµα

Ασυµπτωτικη Θεωρια Χωρων Πεπερασµενης ιαστασης Με Νορµα Μορφω Ιακωβου Πτυχιακή Εργασία Επιβλέπων Αντωνιος Τσολοµυτης Πανεπιστήµιο Αιγαίου Τµήµα Μαθηµατικών Σάµος 00

Αφιερώνεται στους γονείς µου, Αδάµο και Μαρία

Περιεχόµενα Εισαγωγή στους χώρους εφοδιασµένους µε νόρµα.. Νόρµες στον R n............................. Ο χώρος lp n................................ 7.3 Ο δυϊκός χώρος του lp n.......................... 9.4 Η µονοτονία της p ως προς p.....................5 Ο όγκος της B n............................. 3 Ισοµετρικές δράσεις και οµογενείς χώροι. 7 3 Φαινόµενο συγκέντρωσης µέτρου στον S n. 7 4 Πεπερασµένης διάστασης χώροι µε νόρµα. 35 5 Σχεδόν ευκλείδειοι υπόχωροι χώρου µε νόρµα. 4 6 Σχεδόν ευκλείδειες τοµές. 57 6. Ευκλείδειες τοµές του l n........................ 6 6. Ευκλείδειες τοµές του lp n, < p <.................. 6 6.3 Ευκλείδειες τοµές του l n........................ 67 vii

Κατάλογος Σχηµάτων. Συνάρτηση z(t) = t p......................... 8. Αναλλοιώτητα του µέτρου µ....................... 8. ε-δίκτυο N ε (ελαχιστικό)........................ 8.3 Σφαιρική επιφάνεια (cap), B(x 0, r)................... 4 3. Γεωδαιτική απόσταση ρ......................... 8 4. Σώµα K................................. 36 5. Συνάρτηση f(x) = sin x......................... 50 6. Συναρτήσεις Rademacher r, r, r 3................... 6 6. B B nb........................... 68

xi ΠΡΟΛΟΓΟΣ «Πρέπει να έχει ϑάρρος, Θεαίτητε, όποιος µπορεί να προχωρεί έστω και µε µικρά ϐήµατα ολοένα µπροστά. ιότι, αν αποθαρρυνόταν κανείς µπροστά σε αυτά τα [µικρά] εµπόδια, πως ϑα µπορούσε να αντιµετωπίσει άλλα [µεγαλύτερα], (...); Ενας τέτοιος άνθρωπος α- σφαλώς, όπως λέει η παροιµία, δεν ϑα µπορούσε ποτέ να αλώσει την πόλη. Ενώ τώρα,(...) ϑα έχουµε κυριεύσει και το πιο µεγάλο τείχος, έτσι που τα άλλα να ϕαίνονται ήδη ευκολότερα και µικρότερα.» Πλάτωνας, Σοφιστής, 6 c. (47-347) Παντού συναντάµε «τείχη» και σπάνια τα ξεπερνάµε µόνοι µας. Αυτοί που πάντα στάθηκαν στο πλευρό µου και ϑα ήθελα να ευχαριστήσω είναι, καταρχάς ο επιβλέπων της πτυχιακής εργασίας κ. Αντώνης Τσολοµύτης, που «πίστεψε» στις δυνάµεις µου και µε ενθάρρυνε. Που µου έµαθε τη χαρά της γνώσης. Την µάθηση της µαθηµατικής αλήθειας µέσα από διάλογο, υποµονή και επιµονή. Επίσης για τη σηµαντική ϐοήθεια του στο L a TEX. Οι συµβουλές και οι γνώσεις που αποκόµισα, ήταν και ϑα είναι πολύτιµες. Είµαι επίσης υποχρεωµένη προς τα υπόλοιπα µέλη της τριµελούς επιτροπής, τον κ. Μιχάλη Ανούση Καθηγητή και Πρόεδρο του Μαθηµατικού Τµήµατος Πανεπιστηµίου Αιγαίου και τον κ. Κυριάκο Κερεµίδη Καθηγητή του Μαθηµατικού Τµήµατος Πανεπιστηµίου Αιγαίου, για τον πολύτιµο τους χρόνο που µου αφιέρωσαν. Θα ήταν παράληψη µου να µην ευχαριστήσω την κα. Κωνσταντίνα Ζορµπαλά, τον κ. Βασίλειο Μεταφτσή, τον κ. Αριστείδη Κοντογεώργη και τον κ. Χαράλαµπο Κορνάρο για τις πολύτιµες συµβουλές τους όσο αφορά τα µεταπτυχιακά και τον χρόνο που µου αφιέρωσαν. Τους ϕίλους, ϕίλες, συµφοιτητές και συµφοιτήτριες που µε ϐοήθησαν µε το δικό τους τρόπο στη πορεία µου. Τέλος τους γονείς µου, που µου έδωσαν την ευκαιρία να σπουδάσω αλλά και για τη συνεχή στηριξή τους όλα αυτά τα χρόνια, µε κάθε δυνατό τρόπο. Συνέβαλαν εξίσου σηµαντικά ώστε να πραγµατοποιηθεί αυτός ο στόχος.

xiii ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η πτυχιακή αρχίζει µε ένα κεφάλαιο ενιαίας µορφής, στη συνέχεια ο τρόπος γραφής διαφοροποιείται. Παρουσιάζεται σε πλαίσιο το πρωτότυπο κείµενο από το ϐιβλίο Asymptotic Theory of Finite Dimentional Normed Spaces των Vitali D. Milman και Gideon Schechtman, Lecture Notes in Mathematics N o00, των εκδόσεων Springer-Verlag 980, µε αρίθµηση στο περιθώριο. Κάθε αριθµός αντιστοιχεί σε σχόλιο που επεκτείνει και επεξηγεί το συγκεκριµένο χωρίο. Η πορεία αυτή δείχνει την άµεση συσχέτιση της ευκλείδειας γεωµετρίας µε τις πιο σύγχρονες µαθηµατικές µεθόδους. Επίσης παρουσιάζονται όσο το δυνατό πιο απλά ϑεµατικές ενότητες που έχουν άµεση σχέση µε τη γεωµετρική δοµή των χώρων µε νόρµα πεπερασµένης διάστασης n, καθώς το n µεγαλώνει. Ο στόχος της παρούσας πτυχιακής είναι το πρώτο ασυµπτωτικό αποτέλεσµα των χώρων πεπερασµένης διάστασης που είναι εφοδιασµένοι µε νόρµα. Το ϑεώρη- µα του Dvoretzky αποδεικνύει την ύπαρξη σχεδόν ευκλείδειων κεντρικών τόµων των κυρτών, συµµετρικών σωµάτων σε οποιοδήποτε χώρο µε νόρµα πεπερασµένης διάστασης. Η απόδειξη του ϑεωρήµατος έχει τις ϱίζες της στο «ϕαινόµενο της συγκέντρωσης του µέτρου» στην ευκλείδεια σφαίρα S n. Το ϕαινόµενο αυτό παρατηρείται αν στις συνεχείς συναρτήσεις της ευκλείδειας σφαίρας του R n και συνίσταται στο ότι τέτοιες συναρτήσεις είναι «σχεδόν» σταθερές στο «µεγαλύτερο» µέρος της S n. Συνεχίζοντας το ϑεώρηµα του F.John δίνει τη δυνατότητα, να ϕράξουµε (από πάνω) την απόσταση Banach-Mazur της µοναδιαίας µπάλας του χώρου, από τη «γενική» µπάλα του χώρου. Εξίσου σηµαντικό είναι και το ϑεώρηµα των Dvoretzky-Rogers από το οποίο παίρνουµε ένα κάτω ϕράγµα για τη διάµεσο. Τα συµπεράσµατα αυτά είναι αναγκαία για να έχουµε µία καλή προσέγγιση της διαµέσου. Τέλος η διάσταση των υποχώρων, του n-διάστατου χώρου µε νόρµα, που δίνουν σχεδόν ευκλείδειες τοµές µε την µοναδιαία µπάλα του χώρου εκτιµάται να είναι τουλάχιστον c log n. Ιακώβου Μόρφω Καρλόβασι, Σάµος Μάρτιος, 003

Του δε καλου τα σπουδαιοτερα ειδη είναι η τάξη, η συµµετρία και η ακρίβεια, πράγµατα µε τα οποία ασχολούνται ι- διαίτερα οι µαθηµατικές επιστήµες. Αριστοτέλης, Μετά τα ϕυσικά, Μ 3, 078 ϐ.

Κεφάλαιο Εισαγωγή στους χώρους εφοδιασµένους µε νόρµα. Ορισµός.0. Ενα σύνολο X λέγεται διανυσµατικός χώρος όταν είναι εφοδιασµένος µε δύο πράξεις + : X X X και : R X X ώστε. η + είναι αντιµεταθετική, προσεταιρηστική, κάθε στοιχείο έχει αντίθετο, υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο 0 (x + 0 = 0 + x = x, για κάθε x X).. για την κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο, είναι αντιµεταθετική, υπάρχει ουδέτερο στοιχείο (x = x = x για κάθε x X), ισχύει η επιµεριστική λ(x + y) = λx + λy, για κάθε x, y X και η (λ + µ)x = λx + µx για κάθε x X. Ορισµός.0. Μια συνάρτηση : X R από ένα διανυσµατικό χώρο X στο R λέγεται νόρµα όταν. x 0 για κάθε x X.. x = 0 x = 0. 3. λx = λ x για κάθε λ R και x X (ϑετική οµογένεια). 4. x + y x + y για κάθε x X και y X (τριγωνική ανισότητα).. Νόρµες στον R n Ορισµός.. Ενα σύνολο K R n λέµε ότι έχει την ιδιότητα της απορρόφησης αν για κάθε x R n υπάρχει λ R ώστε x λk. Θεώρηµα.. Αν η συνάρτηση είναι νόρµα στον R n τότε το σύνολο K, όπου K = {x R n : x }, είναι συµπαγές, κυρτό, συµµετρικό ως προς την αρχή των αξόνων και µε την ιδιότητα της απορρόφησης.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΕΦΟ ΙΑΣΜΕΝΟΥΣ ΜΕ ΝΟΡΜΑ. Απόδειξη Εστω νόρµα στον R n. Εστω ότι το K δεν είναι ϕραγµένο. Τότε υπάρχει x m K µε x m, όπου x m το ευκλείδειο µήκος του διανύσµατος x m άρα η y m = x m x m ικανοποιεί τη y m x m 0. Οµως y m B n (ευκλείδεια µπάλα ακτίνας ), το οποίο είναι συµπαγές σύνολο. Συνεπώς υπάρχει υπακολουθία y mk l, δηλαδή, y mk l 0. Από την τριγωνική ανισότητα και την ανισότητα Hölder για p = έχουµε, Άρα, y mk l y mk l n y mk,i l i e i ( n y mk l ) ( n ) y mk,i l i e i ( n e i ) 0. l = lim y mk = 0. Από τον ορισµό της νόρµας έχουµε ότι l = 0. Άρα, y mk = y mk l y mk l 0. Αλλά, y mk = x mk x mk =. Άτοπο. Άρα K ϕραγµένο. Εστω x m K ώστε x m x όπου x R n. Από τριγωνική ανισότητα ισχύει, εποµένως, x x x m + x m lim x m lim m + m x. Άρα x K. Η νόρµα είναι συνεχής συνάρτηση, οπότε το K είναι κλειστό. Αφού το K είναι κλειστό και ϕραγµένο στον R n τότε είναι συµπαγές σύνολο. Άν x, y K και t (0, ) τότε, tx + ( t)y t x + ( t) y t + ( t) =.

.. ΝΟΡΜΕΣ ΣΤΟΝ R N 3 Άρα tx + ( t)y K, δηλαδή το K είναι κυρτό. Προφανώς το K είναι συµµετρικό ως προς την αρχή των αξόνων αφού, x = x. Συνεπώς το x K αν και µόνο αν το x K. Το K έχει την ιδιότητα της «απορρόφησης», R n = n N (nk). (i) Προφανώς, R n n N (nk). (ii) Εστω x R n τότε από την Αρχιµήδεια ιδιότητα, υπάρχει n N ώστε x n, δηλαδή x nk. Άρα, R n n N (nk). Θεώρηµα..3 Αν το σύνολο K, όπου K = {x R n : x }, είναι συ- µπαγές, κυρτό, συµµετρικό ως προς την αρχή των αξόνων και µε την ιδιότητα της απορρόφησης τότε η ποσότητα x = inf{λ R + : x λk} είναι νόρµα στον R n. Απόδειξη Εστω K R n συµπαγές, κυρτό, συµµετρικό ως προς την αρχή των αξόνων και µε την ιδιότητα της απορρόφησης ϑα δείξουµε ότι υπάρχει νόρµα ώστε K = {x R : x }. Θέτουµε x = inf{λ R + : x λk}. Το infimum υπάρχει αφού από την ιδιότητα της «απορρόφησης» έχουµε ότι υπάρχει λ 0 R + ώστε x λ 0 K. Άρα, λ 0 {λ R + : x λk}. Άρα το σύνολο {λ R + : x λk} δεν είναι κενό. Προφανώς x 0. Εστω x = 0 ϑα δείξουµε ότι x = 0. Αφού x = 0 τότε υπάρχει (λ k ) k N ώστε λ k 0 και x λ k K. Το K είναι ϕραγµένο άρα υπάρχει M R ώστε x M, x K. Αλλά, x λ k K άρα x λ k K. Συνεπώς, x λ k M x Mλ k 0, δηλαδή x = 0. Άρα, x = 0. Ακόµη, αx = inf{λ R + : αx λk} = α inf{ λ α R+ : sign(α)x λ α K} = α inf{µ R + : sign(α)x µk} = α inf{µ R + : x µk} = α. x. Για την τριγωνική ανισότητα παίρνουµε ακολουθίες α m, β m στο R + ώστε, α m x µε x α m K και β m y µε y β m K.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΕΦΟ ΙΑΣΜΕΝΟΥΣ ΜΕ ΝΟΡΜΑ. Οµως, x + y (α m K) + (β m K) (α m + β m )K. Αφού, x α m K άρα k Kx = α m k y β m K άρα k Ky = β m k. Ισοδύναµα, Άρα, x α m + β m = y α m + β m = x y + = α m + β m α m + β m α m k α m + β m β m k. α m + β m α m β m k + k. α m + β m α m + β m Από τη κυρτότητα του K ισχύει, x + y (α m + β m )K. Οπότε, x + y = inf{λ R + : x + y λk} α m + β m x + y. Τέλος δείχνουµε ότι K = {x R n : x }. Αν x τότε ( m )x = m <. Εποµένως υπάρχει λ < ώστε ( m )x λk K και αφού το K είναι κλειστό παίρνουµε ότι {x R n : x } K. Αντίστροφα, αν x K τότε x. Άρα, K {x R n : x }. Παρατήρηση..4 Λόγω συµπάγειας του K πετυχαίνεται το παραπάνω infimum που ορίζει την. Εποµένως υπάρχει λ 0 R + ώστε x λ 0 K και x / (λ 0 ε)k για κάθε 0 < ε < λ 0. Αυτό το λ 0 είναι ϐέβαια η x. Αρα, x x.k και x / ( x ε)k για κάθε ε (0, x ). Τα K R n µε τις προηγούµενες ιδιότητες λέγονται κυρτά συµµετρικά σώµατα. Άρα κάθε νόρµα ορίζει κυρτό συµµετρικό σώµα και κάθε κυρτό συµµετρικό σώµα ορίζει µια νόρµα. Πρόταση..5 Εστω K, L δύο κυρτά συµµετρικά σώµατα στο R n µε αk βl, α, β > 0. Εστω K και L οι νόρµες τους αντίστοιχα. Τότε, α x K β x L, x R n. Απόδειξη Η Ϲητούµενη είναι ισοδύναµη µε την, αx x K β. Αλλά, αx L x K = α. K

.. ΝΟΡΜΕΣ ΣΤΟΝ R N 5 Για κάθε x 0. Συνεπώς, αx x K αk βl. Άρα, αx x K β. L Πρόταση..6 Εστω K και L οι νόρµες των κυρτών συµµετρικών σωµάτων K, L στο R n αντίστοιχα. Εστω, Τότε, αk βl µε α, β > 0. Απόδειξη Εστω, α x K β x L, x R n. α x K β x L, x R n. Θα δείξουµε ότι, αk βl. Εστω x αk τότε α x K. Εποµένως, β x L. Γι αυτό, x βl. Ορισµός..7 (Απόσταση Banach-Mazur) Εστω κυρτά, συµµετρικά σώµατα K, L στο R n. Η απόσταση του K από το L ορίζεται ως το ελάχιστο δυνατό d > 0 ώστε να υπάρχει γραµµικός τελεστής T : R n R n µε det T 0 που να ικανοποιεί την, ηλαδή, L T K dl. d(k, L) = inf {d > 0 : T : det T 0 : L T K dl}. Πρόταση..8 Εστω K, L δύο κυρτά συµµετρικά σώµατα στο R n. Εστω Τότε d(k, L) αβ. K L βk µε α, β > 0. α Απόδειξη Ισχύει, α K L βk. Άρα, K αl αβk. Για γραµµικό τελεστή T (x) = αx έχουµε K T (L) αβk. Άρα, d(k, L) αβ. Παρατήρηση..9 Αυτή η απόσταση d ικανοποιεί την πολλαπλασιαστική τριγωνική ανισότητα. Εστω L, K, W σώµατα και T, S γραµµικοί τελεστές ώστε, L T K d(l, K)L και K S(W ) d(k, W )K

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΕΦΟ ΙΑΣΜΕΝΟΥΣ ΜΕ ΝΟΡΜΑ. τότε ηλαδή, Αρα, L T K T (SW ) d(k, W )T K d(k, W )d(l, K)L. L (T S)W d(k, W )d(l, K)L d(l, W ) d(l, K)d(K, W ). Ορισµός..0 Εστω κυρτό, συµµετρικό σώµα K στο R n και K η νόρµα του. Ορίζουµε, Λήµµα.. Η x είναι νόρµα. x = sup{ x, y : y K}. Απόδειξη Προφανώς x 0. Αν x = 0 τότε, το x, y = 0 για κάθε y K. Από την ιδιότητα της «απορρόφησης» παίρνουµε ότι υπάρχει n N ώστε, x n K. Ισοδύναµα, n x = n x, x = 0. Άρα, x = 0. Επίσης ισχύει η ϑετική οµογένεια αφού, λx = sup{ λx, y : y K} = λ sup{ x, y : y K} = λ x. Τέλος ισχύει η τριγωνική ιδιότητα αφού, x + y = sup{ x + y, z : z K} sup{ x, y : z K} + sup{ y, z : z K} x + y. Ορισµός.. Η ορίζει ένα κυρτό, συµµετρικό, σώµα το οποίο το λέµε πολικό του K (ή δυϊκό του K) και το συµβολίζουµε µε, K = {x R n : x }. Τη δυϊκή νόρµα,, την γράφουµε και K. Λήµµα..3 Εστω K, L κυρτά, συµµετρικά, σώµατα στον R n. Αν K L τότε K L. Απόδειξη Αν y L τότε, για κάθε x L ισχύει, x, y. Αφού K L παίρνουµε ότι, για κάθε x K ισχύει, x, y. Συνεπώς, y K. Λήµµα..4 Εστω K, L κυρτά, συµµετρικά, σώµατα στον R n. Αν K αl τότε x K α x L. Απόδειξη Αφού K αl τότε K (αl) = α L. Άρα L αk, συνεπώς x L α x K. ηλαδή, x K α x L.

.. Ο ΧΩΡΟΣ L N P. 7. Ο χώρος l n p. Ως l n p καλούµε τον Rn εφοδιασµένο µε τη νόρµα p, δηλαδή, l n p = (R n, p ). Οπου, x p = ( n x i p ) p, για κάθε p [, ) x = max i n x i, για p =. Στη συνέχεια ϑα δείξουµε ότι αυτές οι ποσότητες ορίζουν νόρµες στον R n. Προφανώς ισχύει, x p 0. x p = 0 ανν x = 0. λx p = λ. x p. Μένει να δειχτεί η τριγωνική ιδιότητα, x + y p x p + y p. χώρους lp n είναι γνωστή ως ανισότητα Minkowski. Για τους ( n x i + y i p ) p ( n ) ( p n ) p x i p + y i p (Ανισότητα Minkowski). Απόδειξη Για την απόδειξη ϑα χρειαστούµε την ανισότητα Hölder, η οποία είναι η ακόλουθη : n x i y i ( n ) ( p n ) q x i p y i q, p [, ]. όπου το q είναι τέτοιο ώστε p + q = Επίσης ϑα χρειαστούµε την ανισότητα Young, xy xp p + yq, για κάθε x, y 0. q Απόδειξη ανισότητας Young: Εστω η συνάρτηση z = t p. Τότε ισχύει, S = S = x 0 y t 0 t p dt = xp p y p dt = 0 t q dt = yq q. Προφανώς, S + S xy. Άρα, xy xp p + yq q.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΕΦΟ ΙΑΣΜΕΝΟΥΣ ΜΕ ΝΟΡΜΑ. X t p y ΠΣφραγ ϱεπλαςεµεντς S S x Y Σχήµα.: Συνάρτηση z(t) = t p. Απόδειξη ανισότητας Hölder: Αν x = 0 προφανώς ισχύει. Αν x 0 τότε από τη ϑετική οµογένεια της νόρµας ισχύει, x x p και y p y q. q Τώρα χρησιµοποιώντας την ανισότητα Young έχουµε ότι, x i y i x i p x p y q p x p + y i q p q y q q n x i y i n x i p x p y q p x p + n y i q p q y q q n x i y i n x p y q p x p x i p + p q y q q p + q =. n y i q Εποµένως ισχύει ότι, n x iy i x p y q. Τώρα µπορούµε να συνεχίσουµε στην απόδειξη της ανισότητας Minkowski. n n x i + y i p x i + y i p ( x i + y i ) n x i x i + y i p + n y i x i + y i p ( n ) ( ) p n q x i p ( x i + y i p ) q +

.3. Ο ΥϊΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΤΟΥ L N P. 9 Άρα, + ( n ) ( p n ) q y i p ( x i + y i p ) q ( n ) ( ) q n n ( x i + y i p ) q ( x i p ) p + ( y i p ) p ( n x i + y i p ) q ( x p + y p ). ( n ( x i + y i p ) ( n ( x i + y i p ) ) q ) p x p + y p x p + y p x + y p x p + y p..3 Ο δυϊκός χώρος του l n p. Ορισµός.3. Καλούµε δυϊκό χώρο του lp n τον Rn εφοδιασµένο µε τη δυϊκή νόρ- µα, x. ηλαδή, αν K είναι η µοναδιαία µπάλα του lp n τότε η µοναδιαία µπάλα του δυϊκού του lp n είναι το δυϊκό σώµα K. Επίσης γράφουµε, (R n, ) = (R n, ). Πρόταση.3. Εστω p και p + q =. Τότε ο δυϊκός του ln p είναι ο ln q. Απόδειξη Πριν προχωρήσουµε στην απόδειξη αναφέρουµε ότι συµβολίζουµε µε Bp n τη µοναδιαία µπάλα του ln p. Αν η δυϊκή µπάλα του lp n είναι ίση µε τη µπάλα του ln q τότε και οι χώροι που επάγουν ϑα είναι ίσοι αντίστοιχα. Επίσης από την υπόθεση έχουµε ότι, όταν το p = τότε το q = και όταν το p = τότε το q =. Αρκεί να δείξουµε ότι, (Bp n ) = Bq n. Α περίπτωση : Εστω p =. είχνουµε πρώτα ότι (l n) = l n. Αρκεί να δείξουµε ότι, (Bn ) B n. Εστω y (B n ) τότε από τον ορισµό του πολικού παίρνουµε ότι, x, y για κάθε x B n. Θέτουµε x = e j τότε ισχύει, x = άρα x B n. Επίσης ισχύει, y j = e j, y = x, y, για κάθε j =,..., n.

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΕΦΟ ΙΑΣΜΕΝΟΥΣ ΜΕ ΝΟΡΜΑ. Άρα, max j n y j. Ισοδύναµα, y. Συνεπώς, y B n. Τώρα δείχνουµε ότι B n (B n ). Εστω y B n τότε ισχύει, Επίσης, x, y = n x i y i max y j. 0 j n n x i y i = n x i y i n x i = x. Άρα από τον ορισµό του πολικού παίρνουµε ότι, y (B n ). Τώρα µε όµοιο τρόπο δείχνουµε ότι (l ) n = l n. Αρκεί να δείξουµε ότι, (B ) n = B n. Εστω y (B ) n τότε x, y για κάθε x B n. Θέτουµε x = e j τότε x =. Άρα y j = e j, y = x, y για κάθε y =,..., n. Συνεπώς, y. Ισοδύναµα, y B n. Εστω y B n τότε n y i. Οµως, x, y = n x i y i n x i y i max i n x i. Συνεπώς, y (B n ). Β περίπτωση : Εστω < p <. είχνουµε πρώτα ότι (B n p ) B n q. Εστω y (Bn p ) τότε από τον ορισµό του πολικού παίρνουµε ότι, x, y για κάθε x B n p. Θέλουµε να δείξουµε ότι y Bq n, δηλαδή y q. Αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει x Bp n ώστε y q = x, y. Θέτουµε x = (x,..., x n ) µε, { y i q y i x i = n ( y i q ) p y i, αν y i 0 0, αν y i = 0. Τότε x Bp n διότι, n x i p = n y i (q )p n n y = y i q i q n y i =. q Ισοδύναµα x p =, άρα x Bp n. Επίσης, n y i q x, y = ( y i n y i q ) p y i y i ( n = y i q n ) p ( = y n y i q ) i q p ( n ) q = y i q = y q.

.3. Ο ΥϊΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΤΟΥ L N P. Συνεπώς, y q. Τώρα δείχνουµε ότι Bq n (Bp n ). Εστω y Bq n. Θα δείξουµε ότι, x, y για κάθε x Bp n. Εστω x Bp n τότε, x, y = n n x i y i x i y i ( n ) ( p n ) q x i p y i q x p y q. Παρατήρηση.3.3 Στην απόδειξη, της B περίπτωσης, της πιο πάνω πρότασης χρησιµοποιήσαµε τα συγκεκριµένα x i διότι ϑέλαµε να ϐρούµε τη µέγιστη δυνατή τιµή του x, y πάνω στην επιφάνεια του Bp n. Προέκυψαν µε τον εξής τρόπο, ϑεωρούµε τη συνάρτηση, F (x,..., x n, λ) = όπου λ είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Η F έχει µέγιστο όταν, n n x i y i λ( x p i ), F x i = 0 και F λ = 0. Η F λ = 0 µας εγγυάται ότι το µέγιστο ϑα είναι στην επιφάνεια του Bn p (αφού παίρνουµε ότι n xp F i = ). Οι x ισοδύναµα δίνουν, i y i = λpx p x i = ( yi i λp ) p = ( ) q yi. λp Οµως αντικαθιστώντας το x i στην ( n xp i = παίρνουµε ότι το λ = n ) y q q i p. q Γι αυτό, x i = ( y q i n yq i ) p.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΕΦΟ ΙΑΣΜΕΝΟΥΣ ΜΕ ΝΟΡΜΑ..4 Η µονοτονία της p ως προς p. Πρόταση.4. Η ποσότητα της x p είναι ϕθίνουσα για p [, ]. Απόδειξη Αν p, q [, ] και p q ϑα δείξουµε ότι ισχύει, x q x p. Α περίπτωση : Αν q =. Εστω x B n p. Τότε ισχύει, ( n x i p ) p για κάθε j =,..., n. x j max x j j n n x i p x. Γενικά, για οποιοδήποτε x R n, αν x = 0 προφανώς ισχύει x x p αν x 0 τότε x x p B n p, άρα x x p. Συνεπώς, x x p. Β περίπτωση : Αν p q <. Εστω x Bp n. Τότε έχουµε δει πιο πάνω ότι ισχύει, x. ηλαδή, x i i. Άρα, n x i q = n x i p x i q p n x i p. Εποµένως, x q. Γενικά, για οποιοδήποτε x R n, αν x = 0 προφανώς ισχύει x q = x p αν x 0 τότε x x p B n p, άρα x x p q. Συνεπώς, x q x p. Πόρισµα.4. Για κάθε p, q µε p q ισχύει, B n p B n q. Απόδειξη Εστω x Bp n άρα x p. Αφού p q από τη πρόταση.4. έχουµε x q. Οπότε, x Bq n. Πρόταση.4.3 Αν p q τότε x q x p n p q x q. Απόδειξη Θέτωντας P = q p στην P + Q = παίρνουµε ότι Q = q Τώρα από την ανισότητα Holder παίρνουµε ότι, q p. n x p n x p ( n ( n x p p x p q n q p q x p n p q x q. ( x i p ) P ) P ) p ( q n x i q ( n ) q p q Q ) Q

.5. Ο ΟΓΚΟΣ ΤΗΣ B N. 3.5 Ο όγκος της B n. Ορίζουµε ευκλείδεια νόρµα να είναι, x = ( x i ). Επίσης συµβολίζου- µε τον όγκο της ευκλείδειας µπάλας του R n µε vol(b n ). vol(b n ) = vol{x R n : x }. Ο όγκος υπολογίζεται εύκολα µε τη ϐοήθεια του ολοκληρώµατος. I = e x dx =... e n x i dx dx... dx n R n R R R =... (e x e x... e x n )dx dx... dx n R R R ( ) =... e x dx (e x... e x n )dx... dx n R R R R ( ) = e x dx... e x... e x n dx... dx n R R R ( ) ( ) ( ) = e x dx e x dx e x n dxn R R R ( ) n = e t dt R = ( π) n Σηµείωση.5. Το ολοκλήρωµα R e t dt υπολογίζεται µε τη χρήση ενός µετασχηµατισµού των συντεταγµένων σε πολικών. Αναλυτικότερα, ( e dt) t = R = R R π 0 e (t +s ) dtds 0 e r rdrdθ = π. Ακόµη έχουµε ότι, I = = = = = e x R n R n R n 0 0 0 dx = R n te t dtdx x R n ( e t ) dtdx x {s:s> x }(t)te t dtdx ( {s:s> x }(t)te t) dxdt te t vol{x : x < t}dt

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΕΦΟ ΙΑΣΜΕΝΟΥΣ ΜΕ ΝΟΡΜΑ. = 0 = vol(b n ) = vol(b n ) te t vol(tb n )dt 0 0 te t t n dt t n+ e t dt. Συνεπώς, Θέτουµε, I n+ = vol(b n ( π) n ) = t 0 n+ e t dt. 0 t n+ e t dt = = t n e t 0 + 0 0 t n ( ) e t dt nt n e t dt = n I n. Επαναλαµβάνοντας n -ϕορές την ολοκλήρωση κατά παράγοντες παίρνουµε ότι, Αν n περιττός, I n+ = n I n = n n I n 3 = n n n 4 I n 5 = = n(n )(n 3) 3 I. I n+ = = n(n )(n )(n 3) (n )(n 3) I n! n n ( n ) =! ( n n! ) I! n. Άρα παίρνουµε ότι, vol(b n ) = n ( π) ( ) n n!. (.) n!i Από το τύπο του Stirling (n! πn ( n e ) n) παίρνουµε ότι, vol(b n ) n ( π) n ( π n n e ) n πn ( n e ) n I.

.5. Ο ΟΓΚΟΣ ΤΗΣ B N. 5 Για n = k + ισχύει, Άρα, vol(b n ) k π k+ πk ( k e πk (k) k e k ) k ( π) k+ n n π e n vol(b n n ) e n ( ) n n n e k k k vol(b n ) n πe n (.) Για τη συνέχεια ϑα είναι χρήσιµος ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος, ( n ) I = t i e π n t i dt dt n R n Ακολουθώντας τη διαδικασία της σηµείωσης.5. παίρνουµε ότι, I = re πr r n drdθ S n 0 I = vol n (Sn ) 0 r n e πr dr Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζεται και ο όγκος της B n στον Rn ότι ισούται µε, vol n (Bn ) = r n drdθ 0 Άρα, S n = n vol(sn ). vol n (Sn ) = n vol n (Bn ). (.3) Αν ϑέσουµε, I n = 0 r n e πr dr και ολοκληρώσουµε κατά παράγοντες παίρνουµε ότι, n π I n = = I (n )! (π) n Από τις (.), (.), (.3), (.4) καταλήγουµε ότι, I = n n π n ( ) n! I (n )! ( n!i (π) n n n ) =! Εφαρµόζοντας το τύπο του Stirling καταλήγουµε ότι, π n n n n π n ( n ( n )! )! (.4) I c n. (.5)

Κεφάλαιο Ισοµετρικές δράσεις και οµογενείς χώροι. Σ αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζουµε κάποιο προκαταρκτικό υλικό σε αναλλοίωτα µέτρα που χρειάζονται στα επόµενα κεφάλαια. ( εν δίνονται όλες οι λεπτοµέρειες στις αποδείξεις). Εστω (M, ρ) να είναι ένας συµπαγής µετρικός χώρος και έστω G οµάδα της οποίας τα στοιχεία δρουν ισοµετρικά στον M, δηλαδή για g G, t, s M, ρ(gt, gs) = ρ(t, s). Αρχίζουµε εισάγοντας το µέτρο Haar. Η απόδειξη που δίνουµε οφείλεται στον W.Maak. Θεώρηµα.0. Υπάρχει ένα κανονικό µέτρο µ στα Borel υποσύνολα του M το οποίο είναι αναλλοίωτο υπό τη δράση των στοιχείων της οµάδας G, δηλαδή, µ(a) = µ(ga) για κάθε A M, g G. Εναλλακτικά, f(t)dµ(t) = f(gt)dµ(t) για κάθε g G και f C(M). (C(M) είναι ο γραµµικός χώρος όλων των πραγµατικών συνεχών συναρτήσεων στο M). 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΡΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΧΩΡΟΙ. Σχήµα.: Αναλλοιώτητα του µέτρου µ. ΣΧΟΛΙΟ : µ ε (f) = f(t) n ε f(t) n ε t N ε t N ε = f = f, ε > 0. n ε t N ε Σηµειώνουµε ότι, f = max{ f(t) : t N ε } το οποίο υπάρχει αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο συµπαγή µετρικό χώρο M, έχει µέγιστο και ελάχιστο, δηλαδή, είναι ϕραγµένη. Εποµένως µ ε (f) ϕραγµένο. ΣΧΟΛΙΟ : Το µ(f g)(t) = µ(f) από τη µοναδικότητα του µέτρου. Σχήµα.: ε-δίκτυο N ε (ελαχιστικό)

9 Απόδειξη Για κάθε ε > 0 έστω N ε να είναι ένα ελαχιστικό ε-δίκτυο στο M, δηλαδή, t Nε B(t, ε) = M και n ε = N ε, το πλήθος των στοιχείων του N ε είναι το ελάχιστο µεταξύ όλων των συνόλων µε αυτή την ιδιότητα. (B(t, ε) = {s M : ρ(t, s) ε}). Για f C(M) ορίζουµε, µ ε (f) = n ε t N ε f(t). Αφού {µ ε } ε>0 είναι οµοιόµορφα ϕραγµένο σύνολο των γραµµικών συναρτησοειδών στον C(M), έχουµε ότι, για κάποιες ακολουθίες ε i 0, για i, µ εi (f) i µ(f) για κάθε f C(M) όπου µ( ) είναι ένα γραµµικό συναρτησοειδές στο C(M) µε µ() =. Γι αυτό, το µ δίνεται από ένα κανονικό µέτρο πιθανότητας Borel. Στη συνέχεια ϑέλουµε να δείξουµε ότι το µέτρο µ ορίζεται µοναδικά, δηλαδή, αν µ ε ορίζεται χρησιµοποιώντας ένα διαφορετικό ελαχιστικό ε-δίκτυο, τότε για την ίδια ακολουθία ε i, µ ε i (f) µ(f). Μένει να δείξουµε ότι µ είναι αναλλοίωτο ως προς τη δράση της G. Εστω g G και έστω N ε = (gt) t Nε. Τότε N ε είναι ένα ελαχιστικό ε-δίκτυο και µ(f g) = lim i n εi f(gt) = lim i n εi t N εi s N ε i f(s) = lim µ ε i i (f) = µ(f). Εάν η δράση της G στον M είναι µεταβατική, δηλαδή, για κάθε t, s M υπάρχει g G τέτοιο ώστε gt = s, τότε ο M καλείται ένας οµογενής χώρος ως προς την G. Εστω t M (t σταθερό) και έστω G 0 = {g G : gt = t} τότε G 0 είναι ένα υποσύνολο της G (καλείται ισοτροπικό υποσύνολο) και M = G/G 0 όπου s M είναι ταυτοτικό µε την κλάση ισοδυναµίας gg 0 για g τέτοιο ώστε gt = s. Για να διευκρινίσουµε τον ορισµό δίνουµε ένα απλό παράδειγµα : Εστω το ε- σωτερικό γινόµενο, στον R n, έστω x = x, x / για x R n και έστω G = O n να είναι η ορθογώνια οµάδα στον (R n, {, }). Ταυτίζουµε το O n µε τις πλειάδες n-συντεταγµένων (e,..., e n ) των ορθοκανονικών διανυσµάτων ( Εστω µια ορθοκανονική ϐάση (e 0,..., e 0 n) τότε κάθε ορθογώνιος τελεστής A ορίζει µοναδικά άλλη µία τέτοια πλειάδα n-συντεταγµένων, (Ae 0,..., Ae 0 n)). Εστω M = S n = {x R n : x = } και ϕ : O n S n να ορίζεται από ϕ(e,..., e n ) = e. Τότε προφανώς για κάθε t S n, ϕ (t) µπορεί να ταυτιστεί µε O n. Ετσι, S n = O n /O n.

3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΡΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΧΩΡΟΙ. ΣΧΟΛΙΟ : δ i,j = {, αν i = j 0, αν i j. ηλαδή τα στοιχεία του συνόλου W n,k είναι πλειάδες k ορθοκανονικών διανυσµάτων στον R n. Το W n,n = O n διότι το W n,n αποτελείται από πλειάδες n ορθοκανονικών διανυσµάτων µε n-συντεταγµένες και µε ϑετικά ορισµένο το εσωτερικό γινόµενο. Εποµένως µπορούµε να πούµε ότι το W n,n ϐρίσκεται σε και επί αντιστοιχία µε τις ορθοκανονικές ϐάσεις του R n δηλαδή την O n. Το W n, = S n διότι κάθε σηµείο της σφαίρας S n απεικονίζεται ως πλειάδα ορθοκανονικού διανύσµατος µε n-συντεταγµένες. ηλαδή αυτό το σύνολο σηµείων απεικονίζεται µε και επί αντιστοιχία στο W n,. Το W n,n = SO n. Στο O n υπάρχουν δύο µετασχηµατισµοί T που δίνουν στοιχεία της W n,n. ηλαδή που ικανοποιούν τις T e = f, T e = f,..., T e n = f n όπου (f,..., f n ) πλειάδες του W n,n. Επιλέγεται ο µετασχηµατισµός T που έχει det T = διότι µόνο µε αυτόν επιτυγχάνεται και επί απεικόνιση των πλειάδων n ορθοκανονικών διανυσµάτων στην SO n. Ορίζουµε την απεικόνιση, ϕ : O n W n,k µε ϕ ((f,..., f n )) = (f,..., f k ). Εστω f W n,k τότε f = (f,..., f k ), όπου τα f i, i k είναι ορθοκανονικά διανύσµατα. Συµπληρώνουµε τα διανύσµατα f,..., f k σε ορθοκανονική ϐάση προσθέτοντας n k πλήθος ορθοκανονικών διαστηµάτων. Άρα το (f,..., f k, f k+,..., f n ) O n. Ο πυρήνας της, ker ϕ = { f On : ϕ( f) = 0 }. Άρα, f ker ϕ αν και µόνο αν f = (0,..., 0, f k+,..., f n ). ηλαδή ο ker ϕ = O n k. Συνεπώς η ϕ είναι και επί γραµµική απεικόνιση. Γι αυτο, W n,k = On /O n k.

Θεώρηµα.0.3 Εάν (M, ρ) είναι ένας συµπαγής µετρικός οµογενής χώρος της οµάδας G τότε το µέτρο από το ϑεώρηµα.0. είναι µοναδικό (εκτός από γινόµενο µε σταθερά). Απόδειξη Ορίζουµε µία µετρική στη G µέσω της d(g, h) = sup t M ρ(gt, ht). Προσδιορίζοντας τα στοιχεία που η µεταξύ τους απόσταση είναι µηδέν, παίρνουµε µία οµάδα H η οποία εξακολουθεί να δρα ισοµετρικά στο M όπως επίσης και στον εαυτό της (υπάρχουν δύο τρόποι µε τους οποίους η H δρα στον εαυτό της, επιλέγουµε τον πολλαπλασιασµό από τα αριστερά hh = h h όπου είναι ο πολλαπλασιασµός της οµάδας). Κάποιος µπορεί να ελέγξει ότι H είναι συµπαγής (στην πράξη σε όλες µας τις εφαρµογές G = H ϑα δίνεται ως µία συµπαγής οµάδα). Εστω µ στο M και ν στον H, µέτρα αναλλοίωτα υπό τη δράση της G. Τότε, για κάθε f C(M), ν()µ(f) = f(gt)dµ(t)dν(g) = f(gt)dν(g)dµ(t). G M M G Από τη µεταβατικότητα της G στο M και το αναλλοίωτο του ν, το εσωτερικό ολοκλήρωµα στο δεξιό µέλος εξαρτάται από την f αλλά όχι από την t. Το ονοµάζουµε ν(f). Τότε, ν()µ(f) = ν(f)µ(). Ετσι ώστε αν µ είναι ένα άλλο αναλλοίωτο µέτρο στο M τότε, µ(f)µ () = µ (f)µ(). Παρατήρηση.0.4 Η απόδειξη δείχνει επίσης ότι οποιοδήποτε δεξιά αναλλοίωτο κανονικοποιηµένο µέτρο σε µία συµπαγής αναλλοίωτη οµάδα G είναι ίσο σε οποιοδήποτε αριστερό κανονικοποιηµένο αναλλοίωτο µέτρο. Παρατήρηση.0.5 Εύκολα ελέγχεται ότι το µοναδικό κανονικοποιηµένο αναλλοίωτο µέτρο στην G είναι επίσης αντιστρόφως αναλλοίωτο, δηλαδή, f(t)dµ(t) = f(t )dµ(t). G G Σε ότι ακολουθεί µ ϑα είναι το κανονικοποιηµένο µέτρο Haar στους υπό εξέταση χώρους και έτσι όταν εµφανίζεται παραπάνω από µία ϕορά ενδέχεται να συµβολίζει διαφορετικό µέτρο το µέτρο του κάθε χώρου. Θα περάσουµε τώρα σε µερικά παραδείγµατα των οµογενών χώρων της οµάδας O n όλων των n n πραγµατικών ορθογώνιων πινάκων. Παράδειγµα.0.6 Το σύνολο S n = {(x,..., x n ) R n : n x i = } είτε µε την ευκλείδεια είτε µε την γεωδαιτική µετρική εύκολα ϕαίνεται ότι είναι ισοδύναµο µε O n /O n όπως έχει συζητηθεί πιο πάνω.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΡΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΧΩΡΟΙ. ΣΧΟΛΙΟ : Για την G n,k = O n /(O k O n k ) ορίζουµε την απεικόνιση ϕ : O n G n,k µε, ϕ((e e... e n )) = span(e... e k ). Η πλειάδα (e... e k, e k+... e n ) δίνει το ίδιο αποτέλεσµα µε την (f,..., f k, f k+,..., f n ) αν και µόνο αν άρα και span(e,..., e k ) = span(f,..., f k ) span(e k+,..., e n ) = span(f k+,..., f n ) αλλιώς ϕ(f,..., f n ) = T (span(e,..., e k )) όπου T ο µετασχηµατισµός στο O n µε T e i = f i, i =,..., k. Οπότε ο πυρήνας(kernel) της ϕ είναι τα στοιχεία (f,..., f n ) που δίνουν αποτέλεσµα το ίδιο το span(e,..., e k ). Αυτό συµβαίνει για όλες τις ορθοκανονικές ϐάσεις f,..., f n µε f,..., f k span(e,..., e k ) και f k+,..., f n span(e k+,..., e n )

3 Παράδειγµα.0.7 Πολλαπλότητα Stiefel. Για k n W n,k = {e = (e,..., e k ) : e i R n, e i, e j = δ ij, i, j k} µε τη µετρική ρ(e, f) = ( k d(e i, f i ) ) /, d να είναι είτε η ευκλείδεια είτε η 3 γεωδαιτική µετρική. Σηµειώστε ότι η W n,n = O n, W n, = S n και η W n,n = SO n = {T O n : det T = }. Γενικά η W n,k ταυτίζεται µε το O n /O n k µέσω της απεικόνισης ϕ : O n W n,k, ϕ(e,..., e n ) = (e,..., e k ). Παράδειγµα.0.8 Η Grassman πολλαπλότητα G n,k, k n, περιέχει όλους τους k διάστασης υποχώρους του R n µε µετρική την απόσταση Hausdorff µεταξύ των µοναδιαίων µπαλών των δύο υποχώρων. ρ(ξ, ζ) = sup ρ(x, S n ζ). x S n ζ Η ισότητα G n,k = O n /(O k O n k ) επαληθεύεται εύκολα. 4 Παράδειγµα.0.9 Εάν G είναι οποιαδήποτε οµάδα µε αναλλοίωτη µετρική ρ και G 0 είναι µία υποοµάδα, µπορούµε να ορίσουµε µετρική d στο M = G/G 0 µε, d(t, s) = inf{ρ(g, h) : ϕ(g) = t, ϕ(h) = s} όπου ϕ : G M είναι η απεικόνιση πηλίκο. Με αυτό το τρόπο το M γίνεται ένας οµογενής χώρος της G. Σηµειώστε ότι σε όλα τα προηγούµενα παραδείγµατα η µετρική στον οµογενή χώρο ως προς O n είναι ισοδύναµη (µε σταθερές ανεξάρτητες του n) στη µετρική που περιγράψαµε σε αυτό το παράδειγµα. Η µοναδικότητα του κανονικοποιηµένου µέτρου Haar µας επιτρέπει να συ- µπεράνουµε µερικές ενδιαφέρουσες συνέπειες. Παρατήρηση.0.0 Παρατηρούµε ότι για κάθε A S n και x 0 S n, µ{t O n : T x 0 A} = µ(a). Παρατήρηση.0. Στη συνέχεια δίνουµε δύο ταυτότητες. Εστω k n, για ξ G n,k ορίζουµε S(ξ) = S n ξ τη (κ-)-διάστατη σφαίρα του ξ. Τότε, fdµ = f(t)dµ ξ (t)dµ(ξ) (.) S n S(ξ) G n,k για όλες τις f C(S n ) όπου µ ξ είναι το κανονικοποιηµένο µέτρο Haar στην S(ξ) (από δικιά µας σύµβαση το µ από τα αριστερά είναι το κανονικοποιηµένο µέτρο Haar στην S n και από τα δεξιά στην G n,k ). Ταυτίζουµε τον R n µε τον C n (Εισάγοντας µιγαδική δοµή σ ένα από τους δυνατούς τρόπους). Για κάθε k ορίζουµε τη συλλογή των µιγαδικών k-διάστατων υποχώρων του C n µε CG n,k και τη µοναδιαία σφαίρα οποιουδήποτε ξ CG n,k

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΡΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΧΩΡΟΙ. x 0 B(x 0, r) r E X S n Σχήµα.3: Σφαιρική επιφάνεια (cap), B(x 0, r).

5 µε CS(ξ) (η οποία µπορεί να ταυτίζεται µε τη S k ). Ο CG n,k είναι πάλι ένας οµογενής χώρος και παίρνουµε µία ταυτότητα όµοια µε την προηγούµενη, fdµ = f(t)dµ ξ (t)dµ(ξ). (.) S n CS(ξ) CG n,k Σηµειώστε ότι στη τελευταία ταυτότητα ολοκληρώνουµε σε πολύ µικρότερο χώρο, CG n,k, απ ότι στην πρώτη, η οποία προσαρµοσµένη στη παρούσα διάσταση ϑα είναι, G n,k.

Κεφάλαιο 3 Το ϕαινόµενο της συγκέντρωσης του µέτρου στον S n. Αρχίζουµε µε την αναφορά της κλασσικής ισοπεριµετρικής ανισότητας στη σφαί- ϱα. Μία απόδειξη της δίνεται στο Παράρτηµα Ι του [Vitaly D.Milman και Gideon Schechtman]. Μία απλή απόδειξη µιας εκδοχής του πορίσµατος 3.0.3 (η ο- ποία είναι επαρκής για τις εφαρµογές εδώ) δίνεται στο Παράρτηµα V του [Vitaly D.Milman και Gideon Schechtman]. Για κάποιο σύνολο A στο µετρικό χώρο (M, ρ) και ε > 0 ορίζουµε, A ε = { t M : ρ(t, A) ε}. Σε ότι ακολουθεί χρησιµοποιούµε τη γεωδαιτική µετρική στον S n. Θεώρηµα 3.0. Για κάθε 0 < a < και ε > 0, το min{µ(a ε ) : A S n, µ(a) = a} υπάρχει και επιτυγχάνεται στο A 0, σφαιρική επιφάνεια κατάλληλου µέτρου (δηλαδή, A 0 = B(x 0, r), για οποιοδήποτε x 0 S n και r τέτοιο ώστε µ(b(r)) = a, όπου B(r) = B(x 0, r) = {x : ρ(x, x 0 ) r}). Χρησιµοποιώντας αυτό για τη περίπτωση α = / (στη περίπτωση αυτή A 0 είναι µισή σφαίρα) έχουµε : Σχήµα, σελ.4 Πόρισµα 3.0.3 Εάν A S n µε µ(a) / τότε µ(a ε ) π/8e ε n/. Απόδειξη Από το ϑεώρηµα 3.0. είναι αρκετό να εκτιµήσουµε το µ(b(π/ + ε)). Σηµειώστε ότι το cos n θ είναι ανάλογο στο n-οστό όγκο της S θ, το σύνολο των σηµείων στον S n που έχουν απόσταση θ από τη B(/) (αυτή είναι µία n- διάστατη σφαίρα ακτίνας cos θ). Ακολουθεί εύκολα (σχεδιάστε µία εικόνα) ότι / ε π/ h(ε, n) = µ(b(π/ + ε)) = cos n θdθ cos n θdθ. π/ π/ 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΜΕΤΡΟΥ ΣΤΟΝ S N. E x ρ x 0 S n Σχήµα 3.: Γεωδαιτική απόσταση ρ. ΣΧΟΛΙΟ : Εστω ο γραµµικός υπόχωρος E διάστασης δύο, που καθορίζεται από το κέντρο της ευκλείδειας σφαίρας S n και τα x, x 0 S n. Τότε κάθε τοµή του E µε τη S n είναι µέγιστος κύκλος. Καλούµε γεωδαιτική απόσταση ρ το µήκος του µικρότερου τόξου που ενώνει τα x, x 0 στο µέγιστο κύκλο. ΣΧΟΛΙΟ : Εστω f(t) = cos t, g(t) = e t / τότε ισχύει cos t e t /, όταν 0 t π. Απόδειξη Αρκεί να δείξουµε ότι, cos t e +t / 0. Θέτουµε : q(t) := cos t e +t /. Βρίσκουµε κρίσιµα σηµεία της q(x). q (x) = t e t / cos t sin t e t / = e t / (t cos t sin t) Αφού e t / 0 τότε q (x) = 0. Αυτό συµβαίνει µόνο όταν, t cos t sin t = 0. Άρα, t = sin t cos t = tan t. Παρατηρούµε ότι το γράφηµα της h(t) = t ϐρίσκεται πάντα κάτω από το γρά- ϕηµα της εφαπτοµένης στο [0, π/] εκτός στο t = 0 που ταυτίζονται. Συνεπώς έχουµε µόνο ένα κρίσιµο σηµείο στο t = 0. t π/ 0 π/ + q (t) + 0 q(t) 0 Η συνάρτηση q(t) παρουσιάζει µέγιστο στο [0, π/]. Άρα, q(t) max q(t) = 0. ηλαδή, cos t e +t / 0. Εποµένως, cos t e t /, όταν 0 t π.

9 Εστω I n = π/ cos n θdθ και χρησιµοποιείστε την αλλαγή µεταβλητών θ = 0 τ/ n και την ανισότητα cos t e t /, 0 t π/, για να πάρουµε h(ε, n) = π/ ε = (/ n) (/ n) cos n (θ)dθ/i n (π/) n ε n (π/) n ε n (/ n)e ε n/ (/ n)e ε / cos n (τ n)dτ/i n e τ / dτ/i n (π/ ε) n 0 e t / dt/i n e t / dt/i n = e ε / π/ ni n. 0 Αυτός ο υπολογισµός (για ε = 0) επίσης δίνει ni n π/. Για να υπολο- 3 γίσουµε το I n από κάτω(δηλαδή, ένα κάτω ϕράγµα) παρατηρούµε ότι η ολοκλή- ϱωση κατά παράγοντες δίνει I k = ((k )/k)i k από το οποίο επάγεται ότι 4 kik k I k. Γι αυτό, nin min(i, I ) = min(, π/4) = και h(ε, n) π/8 e ε n/. Παρατήρηση 3.0.4 Στην πραγµατικότητα µπορεί να επαληθευτεί ότι nin n π/. Το επόµενο πόρισµα και ϑεώρηµα είναι κρίσιµα για τις εφαρµογές της ισοµετρικής ανισότητας στους χώρους Banach. Για µία συνεχή συνάρτηση f στον S n ορίζουµε µε ω f (ε) το συντελεστή της συνέχειας, ω f (ε) = sup { f(x) f(y) : ρ(x, y) ε}. Ορίζουµε µε M f τη διάµεσο (επίσης καλείται και µέσος του Levy) της f, δηλαδή, M f είναι ένας αριθµός που ικανοποιεί συγχρόνως τις µ { x S n : f(x) M f } και µ { x S n : f(x) M f }. Πόρισµα 3.0.5 (Λήµµα του Levy) Εστω f C(S n ) και έστω τότε µ(a ε ) π/ e ε n/. A = {x : f(x) = M f } Απόδειξη Παρατηρούµε ότι A ε = (f M f ) ε (f M f ) ε και χρησιµοποιείστε 5 το πόρισµα 3.0.3.

3 4 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΜΕΤΡΟΥ ΣΤΟΝ S N. ΣΧΟΛΙΟ : Θέτουµε : I = = 0 0 π/ 0 0 I = e t / e s / dtds = 0 e r / rdθdr = π e t / dt. π/ 0 0 0 e r / rdrdθ e r / rdr = π e r / 0 = π. Συνεπώς, I = π. ΣΧΟΛΙΟ : Ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες το I n παίρνουµε ότι, 5 ΣΧΟΛΙΟ : Θέτουµε, I n = (n )I n (n )I n ( ) n = I n. n A = {x : f(x) M f } A = {x : f(x) M f }. Μπορούµε να πούµε ότι, A = A A. Συνεπώς, A ε = (A ) ε (A ) ε. Εποµένως, αρκεί να υπολογίσουµε το µ((a ) ε (A ) ε ). Από τον ορισµό της διαµέσου ισχύει µ(a ) και µ(a ). Τότε από το πόρισµα 3.0.3 έχουµε, π π µ((a ) ε ) n/ µ(s n n/ \ (A 8 e ε ) ε ) 8 e ε π µ((a ) ε ) π 8 e ε n/ µ(s n \ (A ) ε ) 8 e ε n/. Από την υποπροσθετικότητα του µέτρου, µ ( (S n \ (A ) ε ) (S n \ (A ) ε ) ) µ ( S n ) ( \ (A ) ε + µ S n ) \ (A ) ε π µ (((A ) ε ) c ((A ) ε ) c ) Τελικά, 8 e ε n/. µ((a ) ε (A ) ε ) = µ (((A ) ε ) c ((A ) ε ) c ) π e ε n/.

3 Σηµειώστε ότι οι τιµές της f στο A ε είναι πολύ κοντά στη M f. Πραγµατικά, εάν ε είναι τέτοιο ώστε ω f (ε) δ τότε f(x) M f δ στο A ε. Συνεπώς το περιεχό- µενο του προηγούµενου πορίσµατος είναι ότι µία συνάρτηση που συµπεριφέρεται καλά είναι «σχεδόν» µια σταθερά σε «σχεδόν» όλο το χώρο. Αυτό το ϕαινόµενο της συγκέντρωσης του µέτρου γύρω από µία τιµή της συνάρτησης ϑα εµφανίζεται επανειληµµένα σ αυτές τις σηµειώσεις. Στο επόµενο ϑεώρηµα ανταλλάσσουµε το σύνολο µε µεγάλο µέτρο στο οποίο η συνάρτηση είναι σχεδόν σταθερά µε ένα σύνολο µε γραµµική δοµή, έναν υπόχωρο µε µεγάλη διάσταση. Συµβολίζουµε [ ] το ακέραιο µέρος της συνάρτησης. [ Θεώρηµα 3.0.6 Για ε, θ > 0 και n ακέραιο, έστω k(ε, θ, n) = ε n log 3/θ ]. Εστω f C(S n ) τότε, για κάθε ε, θ > 0, υπάρχει ένας γραµµικός υπόχωρος E R n, µε dim E = k k(ε, θ, n) και ένα θ-δίκτυο N στο S(E) = S n E τέτοιο ώστε και f(x) M f ω f (ε), για κάθε x N (3.) f(x) M f ω f (ε) + ω f (θ), για κάθε x E S n. (3.) Η (3.) έπεται από την (3.). Η απόδειξη της (3.) συνίσταται από τα ακόλουθα δύο λήµµατα. Οπως στο πόρισµα 3.0.5, ϑέτουµε το A = {x : f(x) = M f }. Λήµµα 3.0.7 Για οποιοδήποτε N S n, µε N < π eε n/ υπάρχει τουλάχιστον ένας µετασχηµατισµός T O n ώστε T (N) A ε. Συνεπώς, για όλα τα x T (N), f(x) M f ω f (ε). Απόδειξη Το λήµµα έπεται αµέσως από την παρατήρηση.0.0. Για κάθε x S 6 n Γι αυτό, µ{t O n : T x A ε } = µ(a ε ) π/ e ε n/. µ{t O n : T x A ε για κάθε x N} N π/ e εn/ > 0. Για αργότερη χρήση διατυπώνουµε το επόµενο λήµµα σε πιο γενικά πλαίσια. Λήµµα 3.0.8 Για κάθε κανονικοποιηµένο χώρο X µε dim X = k υπάρχει ένα θ-δίκτυο N στο S(X) = {x X : x = } µε N ( + /θ) k e k log 3 θ. Απόδειξη Εστω {x i } n να είναι ένα µεγιστικό σύνολο στο S(X) µε την ιδιότητα, x i x j θ, για i j. Τότε {x i } n είναι ένα θ-δίκτυο. Οι ανοικτές µπάλες B(x i, θ/) είναι ανά δύο ξένες µεταξύ τους και περιέχονται όλες στη B(0, +θ/). Συγκρίνοντας τον όγκο της B(0, + θ/) µε αυτόν της n B(x i, θ/) παίρνουµε, 7 n (θ/) k ( + θ/) k

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΜΕΤΡΟΥ ΣΤΟΝ S N. ΣΧΟΛΙΟ : Από την παρατήρηση.0.0 ισχύει, λ{t O n : T x 0 A} = µ(a). 6 Η ποσότητα, M(A) = λ{t O n : T x 0 A}, ορίζει ένα µέτρο πάνω στην S n. Θα δείξουµε ότι αυτό το µέτρο είναι µέτρο πιθανότητας και αναλλοίωτο στη δράση της O n, συνεπώς από τη µοναδικότητα του µέτρου Haar ϑα πρέπει να ισχύει η, Για R O n έχουµε, µ(a) = λ{t O n : T x 0 A} M(S n ) = λ ( {T O n : T x S n } ) = λ (O n ) =. 7 ΣΧΟΛΙΟ : M (R(B)) = λ ({T O n : T x R(B)}) = λ ( {T O n : R T x B} ) x N = λ ({RS O n : Sx B}) = λ ( {S R O n : Sx B} ) = λ ({S O n : Sx B}) = M(B). ( ( vol B x, θ )) ( ) k θ x N ( ) k θ N N ( ( vol B 0, + θ )) ( + θ ) k ( + θ ) k ( + ) k. θ 8 Τελικά εφαρµόζοντας την ιδιότητα των λογαρίθµων f(x) = e log f(x) έχουµε, ( N + ) k e k log(+ θ ) e k log( 3 θ ). θ ΣΧΟΛΙΟ : Θα έχουµε N e k log 3 θ για k = [ ɛ n log 3 θ ] οπότε µ ({T O n : T x A ɛ x N}) e k log 3 θ εδοµένου ότι k [ = ɛ n log 3 θ ] ϑα πάρουµε ότι µ ({T O n : T x A ɛ x N}) π e ɛ n/ π e ɛ n/4

33 ή n ( + /θ) k Παρατήρηση 3.0.9 Μια επιθεώρηση της απόδειξης δείχνει ότι, παίρνοντας λίγο µικρότερο το k στο ϑεώρηµα 3.0.6 κάποιος µπορεί να συµπεράνει για τους περισσότερους υποχώρους διάστασης k: Για k [ ε n/4 log 3/θ ] το µέτρο του συνόλου E k G n,k όλων των k-διάστατων υποχώρων για τους οποίους τα συµπεράσµατα του ϑεωρήµατος 3.0.6 ισχύουν, ικανοποιούν µ(e k ) π/ e ε n/4. 8 Τώρα υποδεικνύουµε εν συντοµία ένα άλλο τρόπο απόδειξης του ϑεωρήµατος 3.0.6. Πρώτα εκτιµούµε το µέτρο µίας σφαιρικής επιφάνειας στο S k από τα ακόλουθα µ(b(θ)) = θ θ 0 sink tdt θ/ sink tdt θ sink θ/. I k I k 4I k Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε τη παρατήρηση.0. για να καταλήξουµε ότι υπάρχει k-διάστατος υπόχωρος E ώστε, Εάν, µ(e A ε ) π/ e ε n/. µ(b(θ)) + µ(e A ε ) θ sink θ/ 4I k + π/ e ε n/ (3.3) τότε οποιαδήποτε µπάλα ακτίνας θ στο E τέµνει το A ε και τότε για κάθε x E, f(x) M f ω(ε + θ). Τώρα χρησιµοποιούµε τη (3.3) για να πάρουµε µία εκτιµήση του k. Παρατήρηση 3.0.0 Σηµειώστε ότι αν ϑέλουµε να αποδείξουµε ένα ϑεώρηµα πα- ϱόµοιο µε το ϑεώρηµα 3.0.6 στο οποίο το συµπέρασµα ισχύει για δύο συναρτήσεις ταυτόχρονα (στον ίδιο υπόχωρο) χάνουµε πολύ λίγο στην εκτίµηση της διάστασης. Στην πραγµατικότητα, από τη σηµείωση 3.0.9, κάποιος µπορεί να ϐρει ένα υπόχωρο E µε dim E = k [ ε n/4 log 3/θ ] για τον οποίο το συµπέρασµα ισχύει για exp( [ ε n/4 log 3 θ ] ) συναρτήσεις ταυτοχρόνως.

Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένης διάστασης χώροι µε νόρµα, προκαταρκτικά. Εστω X, Y να είναι n-διάστατοι κανονικοποιηµένοι χώροι. απόσταση µεταξύ τους ορίζεται ως εξής, d(x, Y ) = inf{ T T ώστε T : X Y ισοµορφισµός}. Η Banach-Mazur Προφανώς d(x, Y ) και d(x, Y ) = αν και µόνο αν οι X και Y είναι ισο- µετρικοί. Εάν d(x, Y ) λ λέµε ότι, X και Y είναι λ-ισοµορφικοί. Επίσης η έννοια της απόστασης έχει και γεωµετρική ερµηνεία. Εάν d(x, Y ) είναι µικρό τότε µε κάποια έννοια οι δύο µοναδιαίες µπάλες B(X) = {x X : x } και B(Y ) = {y Y : y } είναι κοντά η µία στην άλλη. Πιο συγκεκριµένα υπάρχει γραµµικός µετασχηµατισµός ϕ τέτοιος ώστε, B(X) ϕ(b(y )) d(x, Y )B(X). Η Banach-Mazur απόσταση ικανοποιεί τη πολλαπλασιαστική τριγωνική ανι- σότητα, d(x, Z) d(x, Y ) d(y, Z). Επίσης d(x, Y ) = d(x, Y ) για κάθε X και Y όπου * ορίζεται ο δυϊκός χώρος. Στα επόµενα κεφάλαια ϑα ϑεωρούµε το χώρο R n να έχει δύο νόρµες. Η µία είναι η γενική νόρµα, η άλλη ϑα είναι πάντα η ευκλείδεια νόρµα x = x, x / επάγεται από κάποιο εσωτερικό γινόµενο,. Ορίζουµε D = {x R n : x } και για E R n, S(E) = {x E : x = }. Εστω α, b τέτοια ώστε, α x x b x, x R n. (4.) Μπορούµε να ορίσουµε τη δυϊκή νόρµα της συναφή µε το,, ως, { } x, y x = sup : y R n \ 0. (4.) y 35

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΙΑΣΤΑΣΗΣ ΧΩΡΟΙ ΜΕ ΝΟΡΜΑ. ΣΧΟΛΙΟ : Η d(x, Y ) δεν είναι µετρική αλλά πολλαπλασιαστική µετρική. η- λαδή η log d(x, Y ) είναι µετρική. ΣΧΟΛΙΟ : Μελετούµε το σώµα K στον R. Y q = (0, y) r X 0 p = (d, 0) Σχήµα 4.: Σώµα K 3 Εφαρµόζοντας πυθαγόρειο ϑεώρηµα στο 0rp παίρνουµε ότι, p = s +r. Άρα s = d. Επίσης παρατηρούµε ότι το 0rp είναι όµοιο µε το Συνεπώς ισχύει, d d = d. Άρα, y = d d +y d. Γι αυτό, { x K = d + y d/ d 0pq. }. ΣΧΟΛΙΟ : Θεωρούµε K το εξής σύνολο : ( K = x Rn : x n ) d + x i d /(d ) i= (4.3) Εφαρµόζοντας ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουµε, ( n ) ( x d + x i d /(d = x α ) α d + n x i b i= i= ( x n x i α + b i= ( α d + b (d ) d ) ) ( α b d/ d d + b (d ) d ) ) α ( d + d ) b. Συνεπώς για να περιέχεται η έλλειψη E στο K αρκεί να ικανοποιείται η σχέση, α d + ( ) d b.

37 Εύκολα παίρνουµε ότι, b x x α x, x R n (4.4) Πράγµατι, x = x, x x x b x x, η οποία δίνει το αριστερό µέρος της ανισότητας. Από την άλλη για κάθε x, y R n \ {0} { έτσι ώστε, x = sup x,y x, y y x y y α x } y : y 0 α x. Τα ακόλουθα δύο ϑεωρήµατα διαπραγµατεύονται µε την έλλειψη µέγιστου όγκου που εγγράφεται σε µοναδιαία µπάλα ενός χώρου εφοδιασµένου µε νόρµα. Υπενθυµίζουµε ότι έλλειψη συµµετρική ως προς το κέντρο της στον R n είναι το σώµα που παίρνουµε ως την εικόνα της µοναδιαίας µπάλας µετά από γραµµικό µετασχηµατισµό. Ισοδύναµα µία έλλειψη είναι η µοναδιαία µπάλα οποιασδήποτε ευκλείδειας (ορισµένη από ένα εσωτερικό γινόµενο) νόρµας στον R n. Η µοναδικότητα της έλλειψης µε µέγιστο όγκο, ισχύει αλλά όχι τετριµµένα. Εφόσον δεν ϑα τη χρησιµοποιήσουµε, δε ϑα την αποδείξουµε. Θεώρηµα 4.0. (F.John) Εστω X = (R n, ) ένας n-διάστατος κανονικοποιη- µένος χώρος και έστω D το µέγιστο ελλειψοειδές που είναι εγγεγραµµένο στη B(X). Εστω να είναι Ευκλείδεια νόρµα που επάγει το D ( ηλ., D = {x : x }). Τότε, ( n ) x x x. Συνεπώς, d(x, l n ) n (l n είναι ο n-διάστατος κανονικοποιηµένος χώρος Hilbert, δηλαδή, R n µε τη νόρµα x,..., x n = ( n x i )/ ). Απόδειξη Αφού D B(X), έχουµε ότι x x. Θέλουµε να δείξουµε ότι B(X) nd. Εφαρµόζοντας ένα γραµµικό µετασχηµατισµό, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι D = {(x.x,..., x n ) R n : n x i }. Εάν B(X) nd τότε υπάρχει p B(X) µε p > n. Αφού B(X) είναι κυρτό τότε και το K = conv(d (±p) B(X)) είναι κυρτό. Θέλουµε να δείξουµε ότι το K περιέχει έλλειψη µεγαλύτερου όγκου από τον όγκο της D, σε αντίθεση µε την υπόθεση. Χωρίς απώλεια της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι p = (d, 0,..., 0) µε d > n. Η έλλειψη { } E = x R n : x α + x i b έχει όγκο α b n V ol(d) και όσο ισχύει i= α /d + ( /d )b (4.5) περιέχεται στο Κ. Το Ϲεύγος α = d/ n, b = /n/ /d ικανοποιεί 3 την (4.5) και α b n >. 4

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΙΑΣΤΑΣΗΣ ΧΩΡΟΙ ΜΕ ΝΟΡΜΑ. 4 ΣΧΟΛΙΟ : Από τα συγκεκριµένα α, b παίρνουµε ότι, Εστω, α b n > d n f n (x) = x n ( )n n. d ( )n n. x Αν η f n (x) είναι αύξουσα τότε ισχύει, f(d) > f( n) µε d > n. 5 ) n ( f n(x) = xn n x(n ) n(x ) n n(x ) n > x ( n n ) n x (x ) n > 0. ( Αφού, n) n e, για n. ΣΧΟΛΙΟ : Αφού το D είναι το µέγιστο ελλειψοειδές που είναι εγγεγραµµένο στη B(X) ισχύει, V ole V old α i.b n i.v old V old ( ) i ( ) n i. x i ( n). x i (n i) x i (n i) (n ) x i n n i.

39 Θεώρηµα 4.0. (Dvoretzky-Rogers): Εστω X = (R n, ) ένας n-διάστατος κανονικοποιηµένος χώρος και έστω D το µέγιστο ελλειψοειδές που είναι εγγεγραµ- µένο στη B(X). Τότε υπάρχει ορθοκανονική ϐάση (x i ) n σε αναφορά προς το D ώστε x i n n i, i =,..., n. Απόδειξη Επιλέγουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα επαγωγικά ως εξής : x είναι ένα οποιοδήποτε διάνυσµα στη D µε µέγιστη νόρµα (ευκρινώς x = ). Για x,..., x i επιλέγουµε x i+ στο (x,..., x i ) D µε µέγιστη δυνατή νόρµα. Τότε για οποιοδήποτε x span(x i,..., x n ) µε x, x x i. Εστω η έλλειψη, E = n α j x j : j= i n j= α j j=i α + α j b. (4.6) Εάν n j= α jx j E τότε i j= α jx j αd και συνεπώς i j= α jx j α. Επίσης n j=i α jx j bd και συνεπώς n j=i α jx j b xi. Επιλέγοντας α = / και b = /( x i ) παίρνουµε ότι, E B(X). Από την άλλη έχουµε ότι, V ol(e) = (i ) ( x ) (n i) V ol(d). Συνεπώς απαραίτητα, 5 n+ x (n i). Άρα, x i (n )/(n i).

Κεφάλαιο 5 Σχεδόν ευκλείδειοι υπόχωροι χώρου µε νόρµα. Οπως στο κεφάλαιο 3, έστω X = (R n,. ) να είναι ένας n-διάστατος χώρος και έστω. να είναι ευκλείδεια νόρµα στον R n που ικανοποιεί την, α x x b x, x R n. (5.) στη συνέχεια ϑα εφαρµόσουµε τα αποτελέσµατα του λήµµατος 3.0.5 και του ϑεωρήµατος 3.0.6 για τη συνάρτηση r(x) = x, που ορίζεται στη S n = {x R n : x = }. Σηµειώστε η διακύµανση της συνάρτησης r ικανοποιεί ω r (ε) bε. Εξετάζοντας αναλυτικά το ϑεώρηµα 3.0.6, ϕαίνεται ότι εάν ϑέλουµε η r(x) να είναι κοντά στη διάµεσο της M r χρειάζεται να επιλέξουµε και το ε και το θ συναρτήσει του M r /b. Το επόµενο λήµµα δείχνει ότι, εξαιτίας του γεγονότος ότι η r(x) είναι ο περιορισµός µιας κυρτής και οµογενούς συνάρτησης, έχουµε τη δυνατότητα να επιλέγουµε το θ ανεξαρτήτως του M r /b. Αυτό ϑα είναι σηµαντικό σε κάποιες εφαρµογές ειδικά στην απόδειξη του ϑεωρήµατος Dvoretzky. Λήµµα 5.0.3 Εστω r(x) M r bε για κάθε x στο θ-δίκτυο N του E S n για κάποιο υπόχωρο E του R n τότε, θ θ M r bε x = r(x) θ θ M r + bε θ για κάθε x E S n. Απόδειξη Εστω x E S n, κάποιος µπορεί να ϐρει {y i } στο N και {δ i} στο R µε δ i θ i τέτοια ώστε x = y + i= δ iy i. Εχουµε ότι, x y + δ i y i θ i (M r + bε) = θ (M r + bε). i= i=0 4

3 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΧΕ ΟΝ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΧΩΡΟΥ ΜΕ ΝΟΡΜΑ. ΣΧΟΛΙΟ : Από τον ορισµό η διακύµανση, ΣΧΟΛΙΟ : ω r (ε) = sup r(x) r(y), ώστε x y ε = sup x y, ώστε x y ε = sup x y, ώστε x y ε (5.) b x y bε. x = y + δ i y i y + δ i y i i= i= (M r + bε) + θ i (M r + bε) (M r + bε) + i=0 i= θ i (M r + bε) θ i (M r + bε) = θ (M r + bε). ΣΧΟΛΙΟ :Από τις σχέσεις (5.) και (5.3) µπορούµε να συµπεράνουµε ότι τα ε και θ γράφοντε συναρτήσει του δ. ηλαδή, ε = f(δ) και θ = g(δ). Από το ϑεώρηµα 3.0.6 υπάρχει υπόχωρος E R n που ικανοποιεί την ανισότητα, [ ε ] n dim E log 3 θ ( (ε ) ) Mr > log 3 b θ n = c (δ) M r b n. Για κάθε x που ανήκει στον υπόχωρο E από το λήµµα 5.0.3 ϑα ισχύει, θ θ M r bε θ x x θ M r + bε θ

43 Για να έχουµε την χαµηλότερη εκτίµηση, έστω y N να είναι τέτοιο ώστε x y θ. Τότε, από το πρώτο µέλος, x y θ θ (M r + bε) και x y x y M r bε θ θ (M r + bε) = θ θ M r θ bε. Τώρα εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα 3.0.6 και το παραπάνω λήµµα για να πά- ϱουµε µία εκτίµηση της διάστασης των υποχώρων του R n στον οποίο η νόρµα., ικανοποιεί την (5.), είναι σχεδόν πολλαπλάσια της ευκλείδειας νόρµας. Θεώρηµα 5.0.4 Για κάθε δ > 0 υπάρχει c(δ) > 0 τέτοιο ώστε για κάθε n και κάθε νόρµα. στον R n που ικανοποιεί την (5.) υπάρχει υπόχωρος E του R n τέτοιος ώστε k = dim E c(δ) n (M r /b) και ( δ) M r x x ( + δ) M r x για x E. Συγκεκριµένα d(e, l k ) ( + δ)/( δ). Απόδειξη Εστω θ > 0 να είναι τέτοιο ώστε έστω ε > 0 να είναι τέτοιο ώστε θ < + δ θ και θ > δ, (5.) + ε θ < + δ και θ ε θ > δ, (5.3) και έστω ε = ε M r b. Από το ϑεώρηµα 3.0.6, υπάρχει E R n µε [ ] dim E ε n log 3/θ = c(δ) M r n b και ένα θ-δίκτυο N στο E S n τέτοιο ώστε, 3 x M r bε για κάθε x N. Από το λήµµα 5.0.3 έχουµε ότι, για κάθε x E, ( θ ( δ) M r x θ M r bε ) x x θ ( x θ M r + bε ) x ( + δ) M r x θ Παρατήρηση 5.0.5 Είναι εύκολο να δούµε από την απόδειξη ότι η σταθερά c(δ) ικανοποιεί c(δ) cδ / log δ για κάποια απόλυτη σταθερά c. 4 Παρατήρηση 5.0.6 Χρησιµοποιώντας την παρατήρηση 3.0.9 κάποιος µπορεί να δείξει ότι η συλλογή όλων των υποχώρων E G n,k που έχουν την ιδιότητα d(e, l k ) ( + δ)/( δ) έχουν µέτρο exp( c(δ) n M r /b ). Επιστρέφουµε τώρα στο πρόβληµα εύρεσης µεγάλων ευκλείδειων τοµών σε πεπερασµένης διάστασης χώρου. Το ϑεώρηµα 5.0.4 απλοποιεί αυτό το πρόβληµα στο πρόβληµα εύρεσης ευκλείδειων νορµών για τις οποίες το M r /b είναι όσο το δυνατό πιο µεγάλο. Για ένα πεπερασµένης διάστασης κανονικοποιηµένο χώρο X και για ε > 0, ορίζουµε µε k(x, ε) τη διάσταση του µεγαλύτερου χώρου Hilbert η οποία είναι ( + ε)-ισοµορφική σ ένα υπόχωρο του X.

4 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΧΕ ΟΝ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΧΩΡΟΥ ΜΕ ΝΟΡΜΑ. ΣΧΟΛΙΟ :Από την υπόθεση 5. για 0 < δ παίρνουµε ότι, θ < δ + δ. Εστω θ = δ 3. Από την υπόθεση 5.3 για 0 < δ παίρνουµε ότι, + ε < ( + δ)( δ 3 ) ε < δ( δ). 3 Εστω ε = δ( δ) 4. Οµως, c (δ) = ε log ( ) 3 δ θ c log 9 δ δ c log δ cδ log, δ αρκεί 0 < δ 0.

45 Θεώρηµα 5.0.7 Εστω X = (R n,. ) και ισχυριζόµαστε ότι d(x, l n ) d n, τότε k(x, ε) c(ε) n/d n όπου c(ε) c ε/ log ε, c µια απόλυτη σταθερά. Απόδειξη Υπάρχει µία ευκλείδεια νόρµα στον R n τέτοια ώστε α b d n και α x x b x για x R n. Προφανώς M r min{ x : x = } α ώστε M r /b d n. Τώρα εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα 5.0.4. Εάν για µία οικογένεια χώρων {X n } n= έχουµε sup n d(x n, l n ) = M < τότε από το πιο πάνω ϑεώρηµα έχουµε ότι k(x n, ε)/n είναι κάτω ϕραγµένο από µία σταθερά που εξαρτάται µόνο από το ε και το M. Για αυτό το λόγο είναι αρκετό (για το σκοπό εύρεσης ασυµπτωτικών εκτιµήσεων) να ασχοληθούµε µόνο µε το k(x n, ). Θα γράφουµε το k(x n, ) µε k(x). Πριν να συνεχίσουµε µε τη διερεύνηση της ποσότητας M r /b για κάποιες ι- διαίτερες οικογένειες χώρων, ϑα ϑέλαµε να συγκεντρώσουµε κάποια γεγονότα όσο αφορά τη σχέση µεταξύ k(x) και k(x ). Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα 5.0.4 στη δυϊκή νόρµα r (x) = x, από την (4.4) παίρνουµε ότι, αν X = (R n,. ) και α x x b x, x R n. τότε υπάρχει ένας υπόχωρος F R n µε k = dim F c(δ) n (M r /α) και ( δ) M r x x ( + δ) M r x, για x F. Επιπλέον, εάν k c(δ) n min{(m r /b), (M r /α) } τότε η παρατήρηση 5.0.6 επάγει ότι κάποιος µπορεί να ϐρει ένα υπόχωρο E R n µε dim E = k τέτοιο ώστε ταυτόχρονα, και ( δ) M r x x ( + δ) M r x ( δ) M r x x ( + δ) M r x, για κάθε x E. Καθορίζοντας ένα δ στις παραπάνω παρατηρήσεις έχουµε το ακόλουθο ϑεώρη- µα. Θεώρηµα 5.0.8 Υπάρχει µία απόλυτη σταθερά c ώστε για κάθε κανονικοποιηµένο χώρο X = (R n,. ) και ευκλείδεια νόρµα. στον R n ικανοποιώντας, α x x b x, x R n να έχουµε. και k(x) k(x ) c n ( ) Mr M r α b