Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx
Παράγωγος ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Ο στιγμιαίος «ρυθμός» μεταβολής ενός μεγέθους σε σχέση με κάποιο άλλο (όχι απαραίτητα το χρόνο). Ταχύτητα Συμβολισμοί: υ = dx dt Θερμοχωρητικότητα dx dt Επιτάχυνση d x dt C V = 3 d x dt 3 du dt a = dυ dt
Διαφορικό Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή x. Έστω Δх μια μεταβολή της x. Αν Δх 0 χρησιμοποιούμε το συμβολισμό dx και ονομάζουμε το dx διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής x. ΕΡΩΤΗΜΑ Εάν έχω συνάρτηση y=f(x) και η ανεξάρτητη μεταβλητή x μεταβληθεί κατά dx, πόσο θα μεταβληθεί η y; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Βλέπουμε ότι αν το x μεταβληθεί κατά Δx, τότε θα έχουμε: y = tanϕ x Και για Δх 0 y dy = tanϕ dx = dy dx dx y y=f( x) x 1 φ x y x 1+ x x
Διαφορικό ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ Έστω συνάρτηση y=f(x) Τότε y =f(x+δx) Με τι ισούται η διαφορά Δy=y y=f(x+δx) f(x); Αποδεικνύεται ότι Δy=ΑΔx+ο(Δx) όπου Α=Α(x) (δεν εξαρτάται από το x) και ο(δx) συνάρτηση του Δx δύναμης μεγαλύτερης της 1 ης Για Δx 0 A=(dy/dx) και ο(δx) 0 dy dy = dx dx 3 y = x y = ( x + x) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ y = x + x x = 3 3 3 ( ) ; ( ) 3 3 3 3 x + x x = x + x x 3 3 + 3 x( x) + ( x) x = = + 3 3 x x+ [3 x( x) ( x) ] Για Δx 0 dy = 3x dx = dy dy = dx dx
Διαφορικό ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ο γενικός τύπος dy dx μας επιτρέπει να θεωρούμε την παράγωγο dx ως λόγο. = dy Έστω κύκλος ακτίνας r. Πόσο θα αυξηθεί το εμβαδόν του, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ; Συμβατική απάντηση: S = π r ds r dr r = π ( + ) π = = π rdr + ( dr) 0 Διαφορικό: ds ds = dr = π rdr dr dr r
Μερική παράγωγος Μέχρι τώρα αναφερθήκαμε σε συνάρτηση μιας μεταβλητής. Τι γίνεται αν έχουμε συνάρτηση πολλών μεταβλητών; Π.χ. υ= s Και θέλουμε να δούμε πως μεταβάλλεται το υ όταν t μεταβληθεί είτε το s είτε το t. Για συνάρτηση f(x, y, z, ) χρησιμοποιούμε την έννοια της μερικής παραγώγου. f Παραγωγίζουμε ως προς x, υ 1 θεωρώντας τις άλλες = x μεταβλητές σταθερές. s t Παραγωγίζουμε ως προς y, f υ s θεωρώντας τις άλλες = y μεταβλητές σταθερές. t t
Μερική παράγωγος Για τη δεύτερη παράγωγο, έχουμε: f f x y f x y f y x υ υ s υ 1 υ 1 = 0 = = = 3 s t t s t t t s t Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών f(x, y, z). f f f df = dx + dy + dz
Παράγωγος διανύσματος Έστω διάνυσμα a( t) = a ( t) xˆ + a ( t) yˆ + a ( t) zˆ x y z Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t + t) = a ( t + t) xˆ + a ( t + t) yˆ + a ( t + t) zˆ Εξετάζουμε την παράσταση x y z a( t + t) a( t) a ax ( t + t) ax ( t) lim = lim = lim[ x ˆ + t 0 t t 0 t t 0 t a ( t + t) a ( t) ( + ) ( ) + y y a t t a t yˆ + z z zˆ] = t t da da x y daz = xˆ + yˆ + zˆ dt dt dt Η παράγωγος διανύσματος είναι διάνυσμα, οι συνιστώσες του οποίου είναι οι παράγωγοι των συνιστωσών του αρχικού διανύσματος
Παράγωγος διανύσματος ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ a da 0 dt = d( ma) da d( a + b) da db = m = + dt dt dt dt dt d( ab) da db d( a b) da db = b + a = b + a dt dt dt dt dt dt Εάν σταθερό (κατά μέτρο και διεύθυνση)
Ολοκλήρωμα ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης Δηλαδή αν ισχύει Θα έχουμε df f ( x ) dx = f ( x ) d x = F ( x ) + C Όπου C σταθερά. Στη Φυσική η σταθερά C υπολογίζεται από κάποιες συνθήκες (αρχικές ή ενδιάμεσες) του προβλήματος. Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα χρησιμοποιούμε κάποια μέθοδο ολοκλήρωσης ΑΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Ολοκλήρωμα ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω συνάρτηση y=f(x) με πεδίο ορισμού a x b. Χωρίζουμε το πεδίο ορισμού σε πολλά μικρά τμήματα Δx i το κέντρο των οποίων είναι το x i. Εάν από το x i και με βάση το Δx i φέρουμε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με ύψος το f(x i ) θα έχουμε: y a f(x i ) x i y=f(x) Όπου Ν το πλήθος των Δx i στα οποία χωρίσαμε το διάστημα ab και S εμβαδόν που διαφέρει λίγο από το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f(x) και του άξονα x. S N = i= 1 Δx i f ( x ) x i b i x
Ολοκλήρωμα ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ y Εάν τώρα Ν είτε (πράγμα που είναι το ίδιο) Δx i 0 είναι προφανές ότι το εμβαδόν θα είναι ακριβώς ίσο με το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f(x) και του άξονα x. Τότε γράφουμε: a f(x i ) x i y=f(x) Δx i b x N S = lim f ( xi ) xi f ( x) dx xi 0 i = 1 b a Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμός Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι εμβαδό μόνον αν f(x)>=0
Ολοκλήρωμα ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ας υποθέσουμε ότι δύναμη μετακινεί σώμα στο επίπεδο κατά μήκος της καμπύλης L. F( x, y) ds F L Τότε μπορούμε να μιλάμε για στοιχειώδες έργο που θα είναι dw = Fds Στη γενική περίπτωση, το ολικό έργο εξαρτάται από την τροχιά που ακολουθεί το σώμα (π.χ. τριβή), δηλαδή από την L. Για να το υπολογίσουμε πρέπει να αθροίσουμε όλα τα στοιχειώδη έργα (δηλαδή να ολοκληρώσουμε) ακολουθώντας την τροχιά L. Αυτό ακριβώς το ολοκλήρωμα λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
Ολοκλήρωμα ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ξέρουμε ήδη ότι: ds = dr Επομένως για το έργο θα έχουμε: W = Fdr L Ας υποθέσουμε τώρα ότι: F = P( x, y) xˆ + Q( x, y) yˆ Ξέρουμε επίσης ότι: r = xx ˆ + yy ˆ Επομένως: dr = dxx ˆ + dyy ˆ Άρα: W = [ P( x, y) dx + Q( x, y) dy] L = P( x, y) dx + Q( x, y) dy L Δηλαδή το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε άθροισμα απλών, στα οποία το L χρησιμοποιείται για να εκφράσουμε το x συναρτήσει του y ή αντίστροφα. L
Βαθμίδα Το έργο δύναμης για στοιχειώδη μετατόπιση είναι: dw = Fdr Στην περίπτωση που η δύναμη είναι συντηρητική υπάρχει δυναμική ενέργεια για την οποία ξέρουμε ότι: dep = dw Επομένως, σ αυτή την περίπτωση: de = Fdr Η εξίσωση αυτή μας επιτρέπει, αν ξέρουμε τη δύναμη, να υπολογίσου- με τη δυναμική ενέργεια. Πώς όμως μπορούμε να τη λύσουμε, έτσι ώστε, αν ξέρουμε τη δυναμική ενέργεια, να υπολογίσουμε τη δύναμη; Ας εξετάσουμε το πρόβλημα στη γενική περίπτωση. Έστω ότι, από τη σχέση: df = Adr Θέλουμε να υπολογίσουμε το A. P
Βαθμίδα Ξέρουμε ότι: dr = dxxˆ + dyyˆ + dzzˆ A = A xˆ + A yˆ + A zˆ x y z Ξέρουμε επίσης, ότι για τη συνάρτηση f(x,y,z) ισχύει: f f f df = dx + dy + dz Τότε η σχέση df = Adr γράφεται: f f f df = dx + dy + dz = Axdx + Aydy + Azdz Επειδή η σχέση αυτή ισχύει για όλα τα ανεξάρτητα dx, dy, dz, εύκολα προκύπτει ότι: Επομένως: f f f f f f Ax = Ay = A x z = A = xˆ + yˆ + zˆ y z
Βαθμίδα Επομένως, από τη σχέση: df = Adr f f f Καταλήξαμε στη: A = xˆ + yˆ + zˆ Αυτό μπορούμε να το συμβολίσουμε ως εξής: f f f A = f = gradf xˆ + yˆ + zˆ x y z ΒΑΘΜΙΔΑ της συνάρτησης f. Όπου το ονομάζεται ΑΝΑΔΕΛΤΑ ή NABLA και θεωρείται τελεστής: xˆ + yˆ + zˆ Τελεστής είναι ένα σύμβολο που μας δίνει την εντολή να εκτελέσουμε μια πράξη (ενέργεια).
Βαθμίδα Από το αρχικό μας πρόβλημα: dep = Fdr καταλήγουμε στο συμπέρασμα: ( E = ˆ + ˆ + P EP EP F EP gradep x y zˆ ) Εάν Ε P =σταθ. θα έχουμε και για κάθε dr Fdr = 0 θα ισχύει F dr επομένως θα υπάρχει μια επιφάνεια, που ονομάζεται ισοδυναμική. Συνεπώς η βαθμίδα μας δείχνει πόσο «κοντά» ή πόσο «μακριά» είναι οι ισοδυναμικές επιφάνειες, δηλ. πόσο «γρήγορα» μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια. Με άλλα λόγια είναι η παράγωγος σε τρεις διαστάσεις.
Απόκλιση Στα προηγούμενα είδαμε, ότι ο τελεστής επιδρά σε ένα βαθμωτό μέγεθος και το μετατρέπει σε διάνυσμα : Τι γίνεται αν ο τελεστής αυτός επιδράσει σε διάνυσμα; A = ( xˆ + yˆ + zˆ ) ( A ˆ + ˆ xx Ay y + Az zˆ ) = A A x y A z = ( + + ) diva Αυτή είναι η ΑΠΟΚΛΙΣΗ του διανύσματος A Η ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΜΑΣ ΔΙΝΕΙ ΤΗΝ ΙΣΧΥ ΤΗΣ ΠΗΓΗΣ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ A
Στροβιλισμός Ο τελεστής έχει τη μορφή διανύσματος, επομένως μπορεί να επιδράσει σε ένα διάνυσμα και εξωτερικά. A = ( xˆ + yˆ + zˆ ) ( A ˆ + ˆ xx Ay y + Az zˆ ) = xˆ yˆ zˆ = rota curla A A A x y z ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥA Ο ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΜΑΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΑΝ ΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΕΙΝΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟ Η ΟΧΙ (Αν όχι είναι δυναμικό) A