8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ηµιτονοειδής συνάρτηση 9. Γενικά για την ηµιτονοειδή συνάρτηση Η συνάρτηση αυτή χρησιµοοιείται ολύ στην Ηλεκτρολογία αλλά και σε άλλες Τεχνικές Ειστήµες. Οι λόγοι είναι οι ακόλουθοι: α Με την ηµιτονοειδή συνάρτηση εριγράφονται ολλά φυσικά φαινόµενα και τούτο γιατί οι ηµιτονοειδείς συναρτήσεις µαζί µε τις εκθετικές συναρτήσεις, αλλά και συνδυασµοί αυτών των δύο, αοτελούν τις γενικές λύσεις των γραµµικών διαφορικών εξισώσεων µε σταθερούς συντελεστές. Με τις εξισώσεις αυτές εριγράφεται ληθώρα φυσικών φαινοµένων (.χ. οι ταλαντώσεις. β Αό µαθηµατική άοψη είναι µια ολύ «οµαλή» συνάρτηση. Η αράγωγός της είναι είσης µια ηµιτονοειδής συνάρτηση µε κάοια διαφορά φάσεως. γ Με την ηµιτονοειδή συνάρτηση µορούν να εριγραφούν και να µελετηθούν συνθετότερα σήµατα (εριοδικά ή όχι µέσω της ανάλυσης Fourir ( όως θα δούµε στα εόµενα Μια ηµιτονοειδής συνάρτηση f ( A sin ( ω + φ χαρακτηρίζεται λήρως αό 3 µεγέθη: - Το λάτος A ( µε µονάδα ανάλογη του φυσικού µεγέθους ου εριγράφεται - Την κυκλική συχνότητα ω ( rad /sc - Την αρχική φάση φ ( rad ή µοίρες Το µέγεθος ω + φ ( rad, δηλ. το όρισµα, λέγεται φάση της ηµιτονοειδούς συνάρτησης Είσης το µέγεθος T ( sc λέγεται ερίοδος της ηµιτονοειδούς συνάρτησης και το ω αντίστροφο της εριόδου f ( Hz sc - λέγεται συχνότητα. Ο χρόνος µιας λήρους T εριόδου Τ, αντιστοιχεί ροφανώς σε rad ( ακτίνια
9 Παρακάτω δίνεται µια τυική γραφική αράσταση της ηµιτονοειδούς συνάρτησης ( A sin ( ω + φ f f ( A A sinϕ ϕ T 0 T T A Παρατηρείστε ότι για 0 η τιµή είναι f ( 0 A sin φ Το χρονικό διάστηµα αριστερά του µηδενός το οοίο ααιτείται για να µηδενιστεί η f ( είναι ίσο µε ϕ T. ϕ0 Γενικά γωνία φ 0 ( rad αντιστοιχεί σε χρονικό διάστηµα 0 T ( sc Αντί για την ηµιτονοειδή συνάρτηση µορεί να χρησιµοοιηθεί, για την εριγραφή των ίδιων φαινοµένων, και η συνηµιτονοειδής συνάρτηση f ( A cos ( ω + φ Υενθυµίζονται αό την Τριγωνοµετρία οι σχέσεις: άρα: και αντίστοιχα: cos x sin ( x+ και sin x cos ( x f ( A cos ( ω + φ A sin ( ω +ϕ+ f ( A sin ( ω + φ A cos ( ω +ϕ
0 ηλαδή η εριγραφή ενός µεγέθους µε ηµιτονοειδή ή συνηµιτονοειδή συνάρτηση σηµαίνει αλά µια µετατόιση στη φάση κατά + ή - / rad ( ή αντίστοιχα + ή - 90 µοίρες. Στην ράξη είναι ορθότερο, κατά την µελέτη των ροβληµάτων, να χρησιµοοιείται µόνον ή µία αό τις δύο µορφές δηλαδή να εκφράζουµε όλα τα µεγέθη µε ηµιτονοειδείς ή όλα µε συνηµιτονοειδείς συναρτήσεις. Σε ολόκληρο το σύγγραµµα αυτό ειλέγεται η έκφραση µε ηµιτονοειδείς συναρτήσεις. 9. Παράσταση ηµιτονοειδών συναρτήσεων µε χρήση µιγαδικών αριθµών Αοδεικνύεται στα Μαθηµατικά, ότι για κάθε ραγµατικό αριθµό x, ισχύει ταυτότητα ( τύος του Eulr : η αρακάτω j cos x + x j sin x Άρα αν θεωρήσουµε τον µιγαδικό αριθµό ( η ακριβέστερα την µιγαδική συνάρτηση A ( A j ( ω + ϕ Ο µιγαδικός j ( ω + ϕ A ( A έχει σταθερό µέτρο A και όρισµα το οοίο αυξάνει γραµµικά συναρτήσει του χρόνου. Αυτό σηµαίνει ότι ο A ( εκτελεί, στο µιγαδικό είεδο, οµαλή κυκλική κίνηση µε γωνιακή ταχύτητα ω. Με εφαρµογή του τύου του Eulr έχουµε: Παρατηρούµε λοιόν ότι: j ( ω + ϕ A ( A A cos ( ω +ϕ + j A sin ( ω + ϕ { A ( } A cos ( ω + και I{ A ( } A sin ( ω + ϕ R ϕ δηλαδή το ραγµατικό και το φανταστικό µέρος του A ( είναι, αντίστοιχα, µια συνηµιτονοειδής και µια ηµιτονοειδής συνάρτηση. I α ( A A sinϕ ω ϕ A ( 0 0 T T R A
Ειλέγουµε στο σηµείο αυτό την χρήση της ηµιτονοειδούς συνάρτησης (* ( φανταστικό µέρος (* Εξ ίσου θα µορούσαµε να ειλέξουµε την συνηµιτονοειδή συνάρτηση (ραγµατικό µέρος Άρα: { j ( ω ϕ } { j ϕ A sin ( I A I A j ω ω +ϕ + } Στο σηµείο αυτό κάνουµε την ακόλουθη αρατήρηση: Έστω ότι έχουµε να υολογίσουµε ένα άθροισµα ή µία διαφορά δύο ηµιτονοειδών συναρτήσεων µε την ίδια κυκλική συχνότητα ω. Αό την Τριγωνοµετρία είναι γνωστό ότι το αοτέλεσµα είναι είσης µια ηµιτονοειδής συνάρτηση µε την ίδια κυκλική συχνότητα ω. Στην ερίτωση λοιόν ου έχουµε να υολογίσουµε ένα τέτοιο αλγεβρικό άθροισµα µορούµε, για την εριγραφή των ηµιτονοειδών συναρτήσεων, αντί του στρεφοµένου µιγαδικού αριθµού: A ( A να χρησιµοοιήσουµε τον σταθερό µιγαδικό: j ( ω +ϕ A jϕ j ω A A jϕ Αυτό φαίνεται εύκολα µε βάση τον αρακάτω συλλογισµό: έστω: { } { } j ( ω +ϕ j ϕ j ω A I A { } { } j ( ω +ϕ A I A j ϕ j ω α ω +ϕ και α ( A sin ( I ω +ϕ ( A sin ( I τότε j ϕ jω α ( ± α ( { } { } j ϕ j ω I A ± I A j ϕ jω j ϕ jω jω j ϕ j ϕ I{ A A } I{ ( A ± A } jω j ϕ0 ( I{ A } { } j ω + ϕ0 I A 0 j ϕ όου: 0 j ϕ A A A j ϕ ± 0 ± ( άρα: α ( ± α ( { } j ω + ϕ0 I A 0 0 A 0 sin ( ω + φ 0 ηλαδή αρατηρούµε ότι για τον υολογισµό, µε χρήση στρεφοµένων µιγαδικών αριθµών, της αράστασης ο όρος A sin ( ω +ϕ ± A sin ( ω + ϕ A 0 sin ( ω + φ 0 j ω δεν υεισέρχεται στους υολογισµούς του λάτους A 0 και της γωνίας φ 0 και κατά συνέεια µορεί ( ροσωρινά να ααλειφθεί.
Είναι ροφανές ότι αντί για αλγεβρικό άθροισµα µόνον δύο ηµιτονοειδών όρων, µορούµε να έχουµε αλγεβρικό άθροισµα οοιουδήοτε αριθµού ηµιτονοειδών όρων, µε την ροϋόθεση να έχουν όλοι την ίδια κυκλική συχνότητα ω. Συνοψίζουµε εδώ την µεθοδολογία: Η ηµιτονοειδής συνάρτηση: α ( A sin ( ω + φ µορεί να αρασταθεί αό τον στρεφόµενο µιγαδικό αριθµό: A ( ο οοίος αοκαλείται και στροφέας ή phasor A j ( ω + ϕ Πρακτικά όµως χρησιµοοιείται ο σταθερός µιγαδικός αριθµός: A A jϕ Αντίστροφα αν είναι γνωστός ο jϕ A A και η κυκλική συχνότητα ω, τότε η ηµιτονοειδής συνάρτηση α ( ροκύτει αό τη σχέση: j ω j ϕ jω { A } I{ A } A sin ( ω +ϕ α ( I Με την χρήση των µιγαδικών αριθµών οι ράξεις µεταξύ ηµιτονοειδών συναρτήσεων ανάγονται σε ράξεις µιγαδικών αριθµών. Έτσι αοφεύγονται ολύλοκες τριγωνοµετρικές εκφράσεις και αντικαθίστανται αό αλή µιγαδική άλγεβρα. Ας δούµε αρακάτω δύο αλές εφαρµογές:
3 9. 3 Παραδείγµατα Παράδειγµα Η έκφραση f ( α sin ω + α cos ω όου τα α και α ραγµατικοί αριθµοί ( θετικοί ή αρνητικοί µορεί να γραφεί και ως: f ( α sin ( ω + φ τα µεγέθη α και φ υολογίζονται ως εξής: - ο όρος α sin ω αν α > 0 αριστάνεται µε στροφέα A α -ο όρος α cos ω α sin ( ω + αν α > 0 αριστάνεται µε στροφέα A α Προσθέτοντας τους στροφείς A και A θα άρουµε: j j +α F α α + jα α j an α α +α I F jω sin ω + an άρα: f ( { } α α +α α συνεώς α α +α και ϕ an α α Προσοχή όµως χρειάζεται στον σωστό υολογισµό της γωνίας τα ρόσηµα των α και α! α ϕ an ανάλογα µε α ίνουµε αρακάτω δύο αριθµητικά αραδείγµατα της εφαρµογής αυτής
Παράδειγµα 4 Η έκφραση f ( 5 sin (0 + 7 cos ( 0 γράφεται: 5 sin (0 στροφέας A 5 7 cos ( 0 7 sin (0 + / στροφέας A 7 j 7 άρα: F A+ A j 7 j an 5 5+ j 7 5 + 7 8.60 και f ( 8.60 sin ( 0 + 0.95 ή σε µοίρες f ( 8.60 sin ( 0 + 54.46 ο j 0.95 Παράδειγµα 3 Η έκφραση f ( 3 sin (0 - cos ( 0 γράφεται: 3 sin ( 0 στροφέας A 3 - cos ( 0 - sin (0 + / sin (0 + / στροφέας A j άρα: F A+ A j j an 3 j 0.59 3 j 3 + 3.606 και f ( 3.606 sin ( 0-0.59 ή σε µοίρες f ( 3.606 sin ( 0-33.7 ο
5 Παράδειγµα 4 Να υολογιστεί το άθροισµα: f ( 6 sin ( 00 0.3 + 5 sin ( 00 + 0.78 3 sin (00 +.3 + sin (00-0.56 (οι γωνίες σε rad οι αντίστοιχοι στροφείς θα έιναι: 6 sin ( 00 0.3 5 sin ( 00 + 0.78 j 0. 3 α 6 5.84 j.368 j 0. 78 α 5 3.554 + j 3.56 3 sin (00 +.3 3 sin ( 00 +.3 3 sin (00.9 sin (00-0.56 j 0. 56 α 4.694 j.06 j. 9 α 3 3-0.998 j.89 άρα: f α + α + α3 + α4 0.09 - j.743 0.4 j00 συνεώς: f ( { f } I 0.4 sin (00 0.7 ή σε µοίρες f ( 0.4 sin ( 00 9.7 ο j0.7