ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β) ΔΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ Α3 α σωστό, β σωστό, γ λάθος, δ λάθος, ε σωστό ΘΕΜΑ Β Β Είναι z 3i + z + 3i z 3i + z 3i z 3i + z 3i z 3i z 3i Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(,3) ακτίνα ρ Β Είναι z 3i z 3i (z 3i) (z 3i) (z 3i) (z + 3i) z + 3i z 3i ( B ) Β3 Είναι w z 3i + w z 3i + z + 3i w z + z z 3i w R(z) Άρα w ΙR Αν z + yi,, y ΙR τότε w Λόγω (Β) ισχύει: z 3i + (y 3) (y 3) Άρα Άρα w Β4 Αν z + yi,, y ΙR τότε w z w + yi + yi + y z ΘΕΜΑ Γ ) Γ Είναι ( f () + f () ) f () + f ( f () + f () f () + f ( )
( ) ( ) ( ) f () f () ( f () ) ( f ()) f () f () + c για κάθε ΙR Για είναι f () c c c Άρα f () f () ( )f () () Θεωρούμε τη συνάρτηση g(), ΙR Είναι g (), ΙR g () Γ Είναι f (), ΙR f () - + Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] _ + γνησίως αύξουσα στο [,) f() Άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο o το f() Επίσης g () > > > g () < < < Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] γνησίως αύξουσα στο [, + ) Συνεπώς παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο o το g () Άρα g () g() g() > για κάθε ΙR Άρα η () γίνεται: ( ) f () f () f () [ln( )] f () ln( ) + c, ΙR Αλλά f () ln+ c c Άρα f () ln( ), ΙR ( ) ( ) Γ3 Είναι f () ( ) f (), ( ) ΙR Θεωρούμε τη συνάρτηση h(), ΙR Είναι h () ( ), ΙR h () Ισχύει h () > ( ) > > <
3 - + Η h είναι γνησίως αύξουσα στο Δ (,] _ + γνησίως φθίνουσα στο Δ [, + ) h() Επειδή η h είναι συνεχής συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το h(δ) h(δ) h(δ) Είναι h(δ ) ( h(),h() ] h(δ ) ( h(),h()] ( Επίσης + ( + ( ) ), ( ) DLH ( ) + ) + h() ( ) Άρα h() [( ) ] + γιατί ( ) + Συνεπώς h(δ) (, ] h(δ) (, ] Επειδή (, ) (, ) η εξίσωση h (), άρα η f () έχει ρίζες, μία στο (,) μία στο (, + ) Επίσης η h είναι γνησίως αύξουσα στο (,] Άρα για < h() < h() h() < Άρα f () < για < < h() > h() h() > Άρα f () > Συνεπώς ισχύει f () η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του Άρα το είναι θέση σημείου καμπής της c f Όμοια: H h είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ) Άρα για < < h() > h() h() > Άρα f () > για > h() < h() h() < Άρα f () < Συνεπώς f () η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του Άρα το είναι θέση σημείου καμπής της c f Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η f έχει σημεία καμπής π Γ4 Θεωρούμε τη συνάρτηση K() ln( ) συν,, π Η Κ() είναι συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων π / π K () < K ln f > γιατί η φ είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) f > f () Άρα K () K < Σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano η εξίσωση
4 K() ln( ) συν έχει μία τουλάχιστον λύση στο, () Επίσης > K () + ημ > για κάθε, >, ημ > π Άρα η Κ() είναι γνησίως αύξουσα στο,, συνεπώς ένα προς ένα Άρα η εξίσωση Κ() έχει το πολύ μία λύση στο, () Από () () συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση Κ() έχει ακριβώς μία λύση στο, ΘΕΜΑ Δ Δ Θέτουμε + t ω άρα d (( + t) dω dt dω Αν t τότε ω Αν t - τότε ω Συνεπώς η ισότητα (ii) γίνεται: ω f () f () dω dω ω f () + dω Όμοια η ισότητα (iii) γίνεται: Επειδή η συνάρτηση g () είναι συνεχής, άρα η συνάρτηση + ω ω dω f (ω) ω είναι συνεχής καθώς η g, η συνάρτηση ω dω συνεχούς συνάρτησης Συνεπώς η f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR με ω είναι παραγωγίσιμη, ως αρχική
ω f () + dω () g() Όμοια δείχνουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR με ω g () + dω g () () f (ω) f () Η () f ()g() η () g ()f () f () g () f ()g() g ()f () lnf () ln g() f () g() ln f () ln g() + c για κάθε ΙR Για είναι ln f () ln g() + c ln ln+ c c Άρα ln f () ln g() f () g(), ΙR 5 Άρα ( ) ( ) Δ Είναι f () + dω ω f () g() Συνεπώς f () f ()f () f ()f () f () f () f () + c ΙR ( ) ( ), Για είναι f () + c + c c Άρα f () επειδή f() > είναι f (), ΙR Δ3 ln f () ln f Επειδή < είναι + Έτσι ω + (θέτω ω ) ω + / / ( ) Συνεπώς DLH
6 Άρα lnf () f t Δ4 Είναι F() f (t )dt F() dt, ΙR t Επειδή > για κάθε t ΙR, είναι F () > για κάθε ΙR Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR Έτσι για < F() < F() F() < Συνεπώς E(Ω) F()d ( F() ) d () F() d [ F() ] + F ()d F() + d ( ) d Άρα E(Ω) [ ] ( ) E(Ω) ( ) τμ ΚΟΥΡΤΟΓΛΟΥ ΘΕΑΓΕΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΣ SCIENCE PRESS