z 3i w = z +3i + z 3i. z 3i άρα z 3i = z 3i = z 3i=w. Άρα w IR. z 3i =z-3i+ z 3i (z 3i)(z 3i) z 3i z 3i Β4. z w x yi 2x x yi ( x) y x y z

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "z 3i w = z +3i + z 3i. z 3i άρα z 3i = z 3i = z 3i=w. Άρα w IR. z 3i =z-3i+ z 3i (z 3i)(z 3i) z 3i z 3i Β4. z w x yi 2x x yi ( x) y x y z"

Αμάρανθος Πυλαρινός
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΛΙΔΑ 6 Α. ΘΕΩΡΙΑ (ΟΡΙΣΜΟΣ) ΣΕΛΙΔΑ 8 Α3. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Έστω z=+yi άρα z-3i + z +3i = z-3i + = z-3i = z-3i = άρα ο γ.τ. της εικόνας των μιγαδικών z είναι κύκλος με Κ(,3) και ρ=. Β. Από το προηγούμενο ερώτημα z-3i = z-3i = (z-3i)( z +3i)=. B3. Αρκεί Ν.δ.ο. w =w. Είναι z +3i= και z 3i άρα w = z +3i + = = =w. Άρα w IR. Β τρόπος Έχουμε w= =z-3i+ ()() =z-3i + και z-3i = άρα w=z-3i+ z +3i=z+ z =R(z). Και w=r(z)= αλλά η εικόνα του z ανήκει στον κύκλο +(y-3) =, αρα - χ - χ - w. 3 - Β4. z w yi yi ( ) y y z Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα

2 ΘΕΜΑ Γ Η συνάρτηση f είναι φορές παραγωγίσιμη στο IR άρα f και f συνεχείς στο IR. Γ. Έχουμε [f ()+f ()-]=f ()+f () () Άρα f ()+ f ()- =f ()+f () ( f ()) -( ) =(f()). Οι συναρτήσεις f (), f(), είναι συνεχείς (ως γινόμενο συνεχών) και η (ως εκθετική). Άρα f ()- =f()+c, για χ= έχουμε f ()-=c c=-. ( ) Και f ()- =f()- ( -)f ()= - f ()=. (απόδειξη ότι > άρα ). Θεωρούμε συνάρτηση φ(χ)= - με πεδίο ορισμού το IR και φ (χ)= -, φ (χ)= χ= και φ (χ)> χ> χ - + φ (χ) - + φ(χ) ο.ε. φ()= και χ> φ(χ)>φ() φ(χ)>> ενώ χ< φ(χ)>φ()=>. Άρα φ(χ)> για κάθε χ ανήκει στο IR. Επομένως f(χ)=ln( -)+c, για χ= έχουμε f()=c c= Άρα f()=ln( -). Γ. Η παράγωγος της f: f ()= και ->, f ()= -= =. Πρόσημο: χ - + f (χ) - + f(χ) ο.ε. Άρα f γνησίως φθίνουσα στο (-,], γνησίως αύξουσα στο [,+ ) Άρα στο χ= έχω ολικό ελάχιστο το f()=. Γ3. f ()=, θεωρούμε συνάρτηση g()= - - συνεχής και ( ) παραγωγίσιμη στο IR. με g ()= (-). Πρόσημο: χ - + g (χ) + - g(χ) ο.μ. g()=-. Εύρεση συνόλου τιμών. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα

3 Α= lim g() lim( ) DLH Και lim( ) lim lim lim Αρα Α=- Και lim g() lim( )= lim[ ( ) ] Έχουμε: Α =(-,] και g γνησίως αύξουσα άρα g(a )=(-,-]. To ανήκει στο προηγούμενο διάστημα άρα έχουμε μοναδική ρίζα στο Α.Επίσης g για g() g( ) g(), ενώ για g() g( ) g(). Επομένως η f () g() έχει μοναδική ρίζα g και αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν. Άρα η f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής στο (,] Α =[,+ ) και g γνησίως φθίνουσα άρα g(a )=(-,-]. Ομοίως το ανήκει στο προηγούμενο διάστημα άρα έχουμε μοναδική ρίζα g g() g( ) g(), ενώ g() g( ) g() Επομένως g() η f ()= ( ) έχει μοναδική ρίζα και αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν. Άρα η f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής στο [, ). Τελικά η f έχει δυο ακριβώς σημεία καμπής Γ4. Θεωρούμε την συνάρτηση h()=ln( -)-συν=f()-συν, Συνεχής στο [,π/] ως πράξεις συνεχών. Και h()=f()-=-< h(π/)=f(π/)> γιατί f γνησίως αύξουσα στο [,π/] και <π/ f()<f(π/) <f(π/). π Επίσης h() f () ημ διότι f () στο, και ημ στο π,. Άρα π h() γνησίως αύξουσα στο,. Συνεπώς από θ.bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο μοναδική (η h είναι -) ΘΕΜΑ Δ t t f() Δ.Είναι dt f() dt g( t) g( t) g και π, που είναι και και t g() dt f( t) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 3

4 Θέτουμε t u t u, dt du Όρια : t u και t u οπότε: f() dt du du g( t) g(u) g(u) t u u u f() du () και ομοίως g(u) Οι συναρτήσεις συναρτήσεις u g(u) και u du και g(u) u u g() du () είναι συνεχείς στο IR (πηλίκα συνεχών) άρα οι u du είναι παραγωγίσιμες. Επομένως f και g παραγωγίσιμες με παραγώγους αντιστοίχως f () και g() g() f() Έχουμε f ()g() και g()f() οπότε f ()g() f()g () f ()g() f()g () f ()g() f()g () g () f() f() c g() g() Από τις () και () για έχουμε f() g() οπότε c Άρα f() g() για κάθε IR Δ. Από την () και αφού f() g() προκύπτει f () f () f()f () c Για : c c. Άρα f () και επειδή f() είναι τελικά f() Δ3. lnf() ln lim lim lim lim lim f Θέτω u και είναι lim u lim οπότε (3)= Δ4. Είναι και συνεχής lim u f(t ) συνεχής ως σύνθεση συνεχών, επομένως Το ζητούμενο εμβαδόν είναι Πρόσημο της F(): Ε Ω F() d (3), άρα F() γν. αύξουσα με μοναδική ρίζα F () u lim u DLH u f(t )dt u παραγωγίσιμη άρα Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 4

5 Στο [,] είναι F F() F() F() Άρα Ε= F()d F()d F()g F() F ()d d τμ. ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΑΝ ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΚΑΜΑΡΗ ΜΑΓΔΑ ΜΑΤΑΛΩΝ ΙΣΑΑΚ ΝΤΑΚΑΡΗΣ ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ ΝΤΑΝΤΙΝΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΡΑΜΜΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 5

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ευτέρα, 6 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει