Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0,, 2, 3, 4, }. Με Q θα συμβολίζουμε το σύνολο των ρητών αριθμών, δηλ. Q = { α : α Z, και β N}. β Θεωρούμε ως γνωστό ότι κάθε ρητός έχει δεκαδική παράσταση που είναι πάντα περιοδική από ένα ψηφίο και μετά. Ισχύει και το αντίστροφο: κάθε δεκαδική παράσταση που από ένα ψηφίο και πέρα είναι περιοδική αντιστοιχεί σε κάποιο ρητό. Το σύνολο των αριθμών με δεκαδική παράσταση αποτελεί το σύνολο των πραγματικών αριθμών που συμβολίζεται R. Αν Χ και Υ είναι σύνολα, τότε συνάρτηση f: X Y λέμε μία σχέση όπου σε κάθε xεx αντιστοιχεί ένα μοναδικό στοιχείο yεy που το συμβολίζουμε f(x). Το Χ λέγεται πεδίο ορισμού της f και το Υ πεδίο τιμών της f. Το σύνολο f(x) = {f(x): x X} Υ λέγεται εικόνα της συνάρτησης f. Δύο συναρτήσεις f : X Y, f 2 : X 2 Y 2, λέγονται ίσες αν X = X 2 = Χ και f (x) = f 2 (x) για κάθε x X, οπότε γράφουμε f = f 2. Αν Α Χ και f: X Y τότε ορίζουμε την συνάρτηση f περιορισμένη στο Α με f A : A Y, όπου f A (x) = f(x) για κάθε x Α. Αν έχουμε δύο συναρτήσεις g: X Y και f: Y Z, τότε ορίζεται η σύνθετη συνάρτηση f g: X Z που ορίζεται με την ιδιότητα f g(x) = f(g(x)) για κάθε x X. Η συνάρτηση f: X Y λέγεται - (ένα προς ένα) όταν έχει την ιδιότητα: αν f(x ) = f(x 2 ) τότε x = x 2.

2 Αν η συνάρτηση f: X Y είναι - τότε υπάρχει μια μοναδική συνάρτηση φ: f(x) X με την ιδιότητα φ(f(x)) = x για κάθε x X (ισοδύναμα: f(φ(y)) = y για κάθε y f(x)). Η αντίστροφη της f, όταν υπάρχει, συμβολίζεται f. Μια συνάρτηση f: X Y λέγεται πραγματική αν Χ R και Υ R. Στη συνέχεια όταν θα λέμε συνάρτηση θα εννοούμε πραγματική συνάρτηση. Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: X R λέμε το σύνολο των σημείων (x, y) του επιπέδου R 2 όπου y = f(x). Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: R R, με f(x) = ax + b, όπου a, b σταθερές, έχει γραφική παράσταση μία ευθεία. Μια συνάρτηση f: X R με Χ R, λέγεται γνησίως αύξουσα όταν: x < x2 f(x) < f(x2), αύξουσα όταν: x < x2 f(x) f(x2), γνησίως φθίνουσα όταν: x < x2 f(x) < f(x2), φθίνουσα όταν: x < x2 f(x) f(x2). Μία συνάρτηση f: X R λέμε ότι έχει τοπικά μέγιστο στο x0 αν υπάρχει διάστημα (α, β) με x0 (α, β) ώστε f(x) f(x0) για κάθε x (α, β) Χ. Μία συνάρτηση f: X R λέμε ότι έχει τοπικά ελάχιστο στο x0 αν υπάρχει διάστημα (α, β) με x0 (α, β) ώστε f(x0) f(x) για κάθε x (α, β) Χ. Τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης f: X R λέγονται τα τοπικά μέγιστα και τα τοπικά ελάχιστα της f. Μία συνάρτηση f: X R λέμε ότι παίρνει μέγιστη τιμή στο x0 αν f(x) f(x0) για κάθε x Χ, οπότε το f(x0) λέγεται μέγιστη τιμή της f. Μία συνάρτηση f: X R λέμε ότι παίρνει ελάχιστη τιμή στο x0 αν f(x0) f(x) για κάθε x Χ, οπότε το f(x0) λέγεται ελάχιστη τιμή της f. Η συνάρτηση f(x) = e x, x R, είναι -, έχει εικόνα το σύνολο των θετικών αριθμών και λέγεται εκθετική συνάρτηση. Η εκθετική συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και έχει την ιδιότητα e x+y = e x e y για κάθε x, y R (οπότε e 0 = ). Η αντίστροφή της εκθετικής συνάρτησης είναι η λογαριθμική συνάρτηση g(x) = lx, x > 0. Η λογαριθμική συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και έχει εικόνα το σύνολο όλων των αριθμών. Έχουμε συνεπώς ότι l(e x ) = x, για κάθε x R, e lx = x, για κάθε x > 0, l(xy) = lx + ly, για κάθε x, y > 0.

3 Η συνάρτηση f(x) = εφx, x R, δεν είναι -, αλλά η f A : A R, όπου Α = (-π/2, π/2) είναι -. Η αντίστροφη της f A συμβολίζεται Τοξεφ. Άρα εφ(τοξεφx) = x για κάθε x Τοξεφ(εφx) = x, για κάθε x (-π/2, π/2). Μία συνάρτηση f: R R λέγεται περιοδική αν υπάρχει Τ > 0 ώστε f(x + T) = f(x) για κάθε x R. Αν το Τ είναι η μικρότερη δυνατή τιμή με προηγούμενη ιδιότητα, τότε το Τ λέγεται περίοδος της f. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f: [2, 5] R, με f(x) = 3x + 2, και να βρείτε την αντίστροφη f εφόσον υπάρχει. 2. Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης f(x) = ημ(5x + 8), x R. 3. Αν η συνάρτηση f: X R έχει αντίστροφη συνάρτηση f, αποδείξτε ότι f(f (y) = y, για κάθε y f(x).

4 ΙΙ. ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Έστω f: X R, X R, με x0 και λ R. Θα λέμε ότι το όριο της f(x) είναι λ όταν το x τείνει στο x0, και το συμβολίζουμε lim x x 0 f(x) = λ, όταν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε αν x Χ και 0 < x x0 <δ τότε f(x) λ < ε. Σημείωση: υποθέτουμε ότι το x0 είναι τέτοιο ώστε {x X: 0 < x x 0 < δ} για κάθε δ>0. Έστω f: X R, X R, με x0 Χ. Θα λέμε ότι η f(x) είναι συνεχής στο x0 όταν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε αν x Χ και x x0 <δ τότε f(x) f(x0) < ε. Σημείωση: Αν η f(x) είναι συνεχής στο x0 τότε lim x x0 f(x) = f(x0). Μία συνάρτηση f: X R λέγεται συνεχής αν είναι συνεχής για κάθε x X. Για μια ποιοτική προσέγγιση της έννοιας του ορίου: Αν x είναι μία μεταβλητή, τότε με συμβολίζουμε την στοιχειώδη ( πολύ μικρή ) μεταβολή του x, δηλ. 0, με 0. Αν f(x) είναι συνάρτηση, τότε με df(x) = f(x + ) f(x) συμβολίζουμε την ( πολύ μικρή ) στοιχειώδη μεταβολή της f(x) στη θέση x. Έτσι, θα έχομε lim x x0 f(x) = λ, με x0 R, λ R, τότε και μόνο όταν f(x 0 + ) λ. H f(x) είναι συνεχής τότε και μόνο όταν f(x + ) f(x ), δηλ. df(x) 0. Αν η f: X R είναι - και συνεχής τότε και η f - είναι συνεχής. ΘΕΩΡΗΜΑ (ενδιάμεσης τιμής) Αν f: [α, β] R είναι συνεχής τότε η εικόνα f([α, β]) της f περιλαμβάνει όλες τις τιμές μεταξύ των f(α) και f(β). Ισχύει κάτι πιο γενικό: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f: [α, β] R είναι συνεχής τότε η εικόνα f([α, β]) της f είναι ένα κλειστό διάστημα [ξ, η]. (ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων) Αν οι συναρτήσεις f(x), g(x) είναι συνεχείς τότε είναι συνεχείς και οι συναρτήσεις f(x) + g(x), (άθροισμα συναρτήσεων) f(x)g(x), (γινόμενο συναρτήσεων) f(x)/g(x), (πηλίκο συναρτήσεων) f(g(x)), (σύνθεση συναρτήσεων) όταν και όπου αυτές ορίζονται.

5 Άσκηση Έστω οι συναρτήσεις g: (α, β) R, f: {g(x): x (α, β)} R. Οπότε ορίζεται η σύνθετη συνάρτηση f(g(x)). Υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις g(x), f(x) είναι συνεχείς. Δείξτε ότι η συνάρτηση f(g(x)) είναι συνεχής. Απόδειξη: d (f(g(x))) = f(g(x + )) f(g(x)) = f(dg(x) + g(x)) f(g(x)). Αλλά η g(x) είναι συνεχής, άρα dg(x) 0. Οπότε f(dg(x) + g(x)) f(g(x)) 0, λόγω συνέχειας της f(x). Δείξαμε ότι d (f(g(x))) 0, άρα η f(g(x)) είναι συνεχής. Οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχείς f(x) = c, x R, c σταθερά f(x) = x, x R, N, f(x) = x m, x 0, m Z f(x) = x α, x > 0, α R f(x) = e x, x R f(x) = lx, x > 0 f(x) = συνx, x R f(x) = ημx, x R f(x) = εφx, x R f(x) = σφx, x R Ισχύουν δύο περιγραφικές παρατηρήσεις: α) Μια συνάρτηση είναι συνεχής αν περιγράφεται με έναν ενιαίο μαθηματικό τύπο. β) Μια συνάρτηση είναι συνεχής αν η γραφική παράστασή της είναι συνεχής γραμμή. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δείξτε ότι η συνάρτηση x, αν x 0 f(x) = {, αν x < 0 Δεν είναι συνεχής στο 0 ενώ είναι συνεχής σε κάθε x 0. 2. Δείξτε ότι η εξίσωση x 5 + x 2 + x + = 0 έχει λύση.

6 ΙΙΙ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Έστω f: X R και x0 X. Θα λέμε ότι η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο x0 όταν f(x) f(x υπάρχει το όριο lim 0 ), οπότε το συμβολίζουμε f (x) και το λέμε x x0 x x 0 παράγωγο της f στο x0. Συνηθίζουμε και τον εξής συμβολισμό: df (x0) αντί f (x0). Μια συνάρτηση f: X R λέγεται παραγωγίσιμη αν υπάρχει η παράγωγός της για κάθε x X. Οπότε ορίζεται η παράγωγος συνάρτηση f ή df. Σύμφωνα με τον συμβολισμό των και df(x), υπάρχει η παράγωγος f (x) R της f(x) τότε και μόνο όταν f (x) df(x) f(x + ) f(x) =. Όταν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη τότε είναι και συνεχής. Απόδειξη: Αν η f(x) είναι παραγωγίσιμη τότε f(x + ) f(x) f (x) 0. Έστω συνάρτηση f: (α, β) R παραγωγίσιμη και x 0 (α, β). Τότε η ευθεία y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ), x R, είναι εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f(x) στο σημείο (x 0, f(x 0 )). Απόδειξη: Ισχύει ότι f(x 0 + ) f(x 0 ) f (x 0 ). Για x = x 0 +, οπότε x x 0, έχουμε f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) f(x) f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). Άρα η ευθεία y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) είναι η πλησιέστερη προς την f(x) όταν x x 0. Άσκηση Δείξτε ότι η συνάρτηση f(x) = x, x R, δεν έχει παράγωγο στο σημείο x = 0. Απόδειξη Αν υπήρχε το f (0) τότε f (0) df(0) f(0 + ) f(0) =. Αν > 0, τότε f (0) =, αν < 0, τότε f (0) =. Άτοπο. Έχουμε την εξής περιγραφή για την παραγωγίσιμη συνάρτηση: Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη αν η γραφική παράστασή της είναι συνεχής καμπύλη και λεία (δηλ. δεν έχει γωνίες ).

7 (Ιδιότητες παραγώγισης) Αν οι συναρτήσεις f(x), g(x) είναι παραγωγίσιμες τότε είναι παραγωγίσιμες και οι συναρτήσεις f(x) + g(x), με (f(x) + g(x) ) = f (x) + g (x), f(x)g(x), με (f(x)g(x) ) = f (x)g(x) +f(x)g (x), f(x)/g(x), με (f(x)/g(x)) = f (x)g(x) f(x)g (x), g 2 (x), όταν g(x) 0, f(g(x)), με (f(g(x))) = f (g(x)) g(x), όταν και όπου αυτές ορίζονται. Άσκηση Έστω οι συναρτήσεις g: (α, β) R, f: {g(x): x (α, β)} R. Οπότε ορίζεται η σύνθετη συνάρτηση f(g(x)). Υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις g(x), f(x) είναι παραγωγίσιμες. Δείξτε ότι η συνάρτηση f(g(x)) είναι παραγωγίσιμη με Απόδειξη: (f(g(x))) = f (g(x)) g (x). d (f(g(x))) f(g(x + )) f(g(x)) = = f(g(x + )) f(g(x)) g(x + ) g(x) = g(x + ) g(x) f(g(x) + dg(x)) f(g(x)) = dg(x) dg(x). Αλλά η g(x) είναι συνεχής, άρα dg(x) = g(x + ) g(x) 0. Οπότε, λόγω ότι οι f(x) και g(x) παραγωγίζονται, d (f(g(x))) f (g(x)) g (x). ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f(x) = x 3. 2. Βρείτε την εφαπτόμενη ευθεία της γραφικής παράστασης της f(x) = x 3, στο σημείο της που αντιστοιχεί στο x = 5. 3. Αν είναι γνωστό ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x) έχει f(5) = 8 και f (5) = 6, να δώσετε μια (πιθανώς) καλή προσέγγιση της τιμής f(5,009). Οι παράγωγοι (ως προς x) των επομένων συναρτήσεων είναι ως εξής: Αν c σταθερά, (c ) = 0, Αν x R, N, (x ) = x -,

8 Αν x 0, m Z, (x m ) = mx m-, Αν x > 0, α R, (x α ) = αx α-, Αν x R, (e x ) = e x, Αν x > 0, (lx) =, x Αν x R, Αν x R, (ημx) = συνx, (συνx) = ημx, Αν x π 2 + kπ, k Z, (εφx ) = συν 2 x, Αν x kπ, k Z, (σφx) = - ημ 2 x, Αν x R, (Τοξεφx ) = +x 2. Η συνάρτηση f: [α, β] R είναι: γνησίως αύξουσα αν f (x) > 0, αύξουσα αν f (x) 0, γνησίως φθίνουσα αν f (x) < 0, φθίνουσα αν f (x) 0. Άσκηση. Δείξτε ότι αν f (x) > 0 για κάθε x [α, β], τότε είναι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α, β]. Απόδειξη. Έστω x 0 [α, β], Έχουμε f (x 0 ) df(x 0 ) με f (x 0 ) > 0. = f(x 0+) f(x 0 ) Οπότε: αν > 0, τότε f(x 0 + ) f(x 0 ) > 0, αν < 0, τότε f(x 0 + ) f(x 0 ) < 0. Συνεπώς, σε μία περιοχή του x 0 η f(x) είναι γνησίως αύξουσα. Άρα είναι γνησίως αύξουσα συνολικά σε όλο το [α, β]. Έστω συνάρτηση f: (α, β) R παραγωγίσιμη. Αν η f έχει τοπικό ακρότατο στο x0 τότε f (x 0 ) = 0.

9 Έστω συνάρτηση f: [α, β] R παραγωγίσιμη. Τότε η παράγωγος συνάρτηση f (x) παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (α) και f (β). Απόδειξη. Έστω f (α) < λ < f (β). Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει x 0 ώστε f (x 0 ) = λ. (Η περίπτωση όπου f (α) > λ > f (β) είναι ανάλογη.) Θέτουμε φ(x) = f(x) λx. Έχουμε ότι η φ(x) είναι συνεχής. Άρα η εικόνα της φ(x) είναι ένα διάστημα [ξ, η]. Έχουμε φ (α) = f (α) λ < 0, άρα σε μία περιοχή του α η συνάρτηση φ(x) είναι φθίνουσα. Άρα φ(α + ) < φ(α), οπότε φ(α) ξ. Έχουμε φ (β) = f (β) λ > 0, άρα σε μία περιοχή του β η συνάρτηση φ(x) είναι αύξουσα. Άρα φ(β ) < φ(β), οπότε φ(β) ξ. Επομένως υπάρχει x 0 (α, β) ώστε φ(x 0 ) = ξ. Προφανώς στο x 0 έχουμε ολικό ελάχιστο για την φ(x), άρα και τοπικό ελάχιστο. Άρα φ (x 0 ) = 0, δηλ. f (x 0 ) = λ. ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β) με f(α) = f(β). Τότε υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0. Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι f (ξ) 0 για κάθε ξ (α, β). Θα δείξουμε άτοπο. Σύμφωνα με την προηγούμενη, αν η f (x) έπαιρνε και θετικές και αρνητικές τιμές, τότε θα έπαιρνε και την τιμή 0. Άρα η f (x) παίρνει πάντα θετικές τιμές ή πάντα αρνητικές τιμές στο διάστημα (α, β). Αλλά τότε είναι γνησίως αύξουσα η γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (α, β). Αυτό οδηγεί σε άτοπο, γιατί f(α) = f(β). ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) = f(β) f(α). β α Έστω συνάρτηση f: [α, β] R με f (x) = 0 για κάθε x. Τότε f(x) = c για κάθε x, όπου c σταθερά. Απόδειξη. Έστω x (α, β]. Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ξ (α, x) ώστε f (ξ) = f(x) f(α) x α. Άρα f(x) f(α) = 0, δηλ. f(x) = f(α). Έστω συνάρτηση f: [α, β] R παραγωγίσιμη και -, με f (x) 0 για κάθε x. Τότε η αντίστροφή της f - είναι παραγωγίσιμη με (f ) (f(x)) =. f (x)

0 Ορισμός Έστω f: [α, β] R παραγωγίσιμη. Άρα υπάρχει η παράγωγος συνάρτηση f : [α, β] R. Αν η f (x) είναι παραγωγίσιμη τότε την παράγωγο της f (x) την συμβολίζουμε f (x) ή d2 f(x). Η f (x) λέγεται δεύτερη παράγωγος της f(x). 2 Σημείωση. Υποθέτοντας ότι υπάρχει η f (x) και ότι είναι συνεχής, 0 και d 2 f(x) = d(df(x)) = d(f(x + ) f(x)) = = f(x + + ) f(x + ) (f(x + ) + f(x)), τότε ισχύει f (x) d2 f(x) 2. Πράγματι: d 2 f(x) 2 = f(x + + ) f(x + ) f(x + ) + f(x) 2 = (λόγω του Θεωρήματος Mέσης Tιμής) = (f (x + + ξ ) f (x + ξ )) 2, όπου ξ μεταξύ του 0 και του. Άρα d2 f(x) 2 = f (x + + ξ ) f (x + ξ ) = (λόγω του Θεωρήματος Mέσης Tιμής) = f (x + ξ 2 + ξ ), όπου ξ 2 μεταξύ του 0 και του. Άρα d2 f(x) f (x), λόγω συνέχειας της f (x) και του ότι ξ 2 2 + ξ 0. Ορισμοί Αν η f: (α, β) R έχει παράγωγο, τότε: αν η f (x) είναι γνησίως αύξουσα (π.χ. αν f (x) > 0) τότε λέμε ότι η f(x) στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή ότι είναι κυρτή. αν η f (x) είναι γνησίως φθίνουσα (π.χ. αν f (x) < 0) τότε λέμε ότι η f(x) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή ότι είναι κοίλη. αν η f (x) έχει τοπικό ακρότατο σε ένα σημείο γ (α, β), τότε λέμε ότι η f(x) έχει σημείο καμπής στο γ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δείξτε βάσει του ορισμού ότι d(x 3 ) = 3x2. 2. Βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x3 3 + x2 2x + 3. 2

ΙV. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Οι συναρτήσεις που θα θεωρούμε στο κεφάλαιο αυτό, υποθέτουμε ότι έχουν πεδίο ορισμού ένα διαστήματα. Έστω συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού ένα διάστημα. Οι συναρτήσεις για τις οποίες η παράγωγός τους ισούται με f(x) τις λέμε (αόριστο) ολοκλήρωμα της f(x) και τις συμβολίζουμε με f (x). Αν έχουμε δύο συνάρτηση F(x), G(x) με F (x) = G (x) = f(x), για κάθε x, τότε G (x) F (x) = 0 για κάθε x. Οπότε G(x) F(x) = c, όπου c σταθερά. Άρα G(x) = F(x) + c. Συνεπώς f (x) = F(x) + c όταν F (x) = f(x), όπου c τυχούσα σταθερά. Ισχύουν τα παρακάτω ολοκληρώματα: α = αx + c, x R, α σταθερά, x = x+ + c, x R, N, + x m = xm+ + c, x 0, m Z, m, m+ = l x + c, αν x > 0 (ή αν x < 0) x x a = xa+ + c, x > 0, a, a+ e x = e x + c, x R, συνx = ημx + c, x R, ημx = συνx + c, x R, = Τοξεφx + c, x R, +x2 = l x + a + c, x a. x+a Για τον ορισμό της συνάρτησης f(x) = Τοξεφx, x R : Η συνάρτηση φ(x) = εφx, x ( π 2, π 2 )

2 παρατηρούμε ότι είναι - και έχει πεδίο τιμών το R. Άρα η φ(x) έχει αντίστροφη συνάρτηση που την συμβολίζουμε Τοξεφx, με x R. Συνεπώς εφ(τοξεφx) = x για κάθε x R. Άσκηση. Δείξτε ότι +x2 = Τοξεφx + c, x R. Απόδειξη. Έχουμε (εφ(τοξεφx)) = (x) =. Άρα (εφ) ( Τοξεφx) (Τοξεφx) =. Οπότε (Τοξεφx) = και (Τοξεφx) = συν 2 (Τοξεφx) συν2 (Τοξεφx). Αλλά επειδή εφ(τοξεφx) = x έχουμε ημ2 (Τοξεφx) = συν 2 (Τοξεφx) x2 και συν2 (Τοξεφx) = x 2. Η τελευταία συν 2 (Τοξεφx) ισότητα δίνει συν 2 (Τοξεφx) = +x2. Άρα (Τοξεφx) = και +x 2 +x2 = Τοξεφx + c. (Ιδιότητα ολοκλήρωσης) Αν οι συναρτήσεις f(x), g(x) είναι συνεχείς με κοινό πεδίο ορισμού και λ, μ σταθερές, τότε λf(x) + μg(x) = λ f(x) + μ g(x). (Κανόνες ολοκλήρωσης) i) Κανόνας της κατά μέρη ολοκλήρωσης ή κατά παράγοντες ολοκλήρωσης: f ( x) g( x) f ( x) g( x) f ( x) g( x). ii) Κανόνας της αντικατάστασης ή αλλαγής μεταβλητής: f ( g( x)) g ( x) f ( y) dy, όπου y = g(x). Άσκηση. Αποδείξτε α) τον Κανόνα της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης και β) τον Κανόνα της αντικατάστασης. Απόδειξη. α) Αρκεί να δείξουμε ότι f(x)g (x) + f (x)g(x) = f(x)g(x) + c. Αλλά από τις ιδιότητες της παραγώγισης (f(x)g(x)) = f(x)g (x) + f (x)g(x).

3 β) Έστω f(y)dy = F(y) + c, δηλ. F (y) = f(y). Άρα πρέπει να δείξουμε ότι f(g(x))g (x) = F(g(x)) + c. Πράγματι. (F(g(x))) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x). i) Αν a, b, s, t σταθερές με s t τότε υπάρχουν σταθερές Α, Β ώστε ax b A B για κάθε x s, t. (x -s)(x - t) x -s x - t ax b A B ii) Αν a, b, s σταθερές τότε υπάρχουν σταθερές Α, Β ώστε για 2 2 (x -s) x -s (x -s) κάθε x s. Παρατήρηση: f(ax + b) = α (ax + b) f(ax + b) = α f(y)dy όπου y = ax + b (υποθέτουμε a 0). ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: xημx, xημx 2, xημ(2x),, x, + 2. x 2 x 2 x (x+) 2 2. Έστω e x2 = F(x) + c. Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτηση φ(x) = F(συνx) στο σημείο x = π/4. Το ορισμένο ολοκλήρωμα Έστω μία συνεχής f: [α, β] R. Το διάστημα το χωρίζουμε σε ίσα τμήματα μήκους και από κάθε ένα παίρνουμε ένα σημείο x k, k =, 2,,, όπου = (b a)/, Θέτουμε S k f ( x k ). Αποδεικνύεται ότι το S προσεγγίζει έναν πραγματικό αριθμό, όσο το προσεγγίζει το 0, που είναι ανεξάρτητος από τον τρόπο επιλογής α των x k, συμβολίζεται με f(x) και λέγεται (ορισμένο) ολοκλήρωμα της f(x) β στο διάστημα [a, b]. α Το f(x) ισούται με β το εμβαδόν του χωρίου {(x, y) R 2 : a x b, 0 y f(x)} μείον το εμβαδόν του χωρίου {(x, y) R 2 : a x b, f(x) y 0}. α Συμβολίζουμε f(x) = β β α f(x).

4 ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού) Έστω f: [α, β] R συνεχής. Θέτουμε για κάθε x [α, β] x F(x) = f(t)dt. Τότε η F(x) έχει παράγωγο με F (x) = f(x) για κάθε x, και Απόδειξη (περιληπτική) F (x) df(x) β F(x + ) F(x) = f(x) a f(x) = F(α) F(β). a = f(x). = x+ a f(t)dt x f(t)dt a = x+ x f(t)dt Έστω f: [α, β] R συνεχής και γ (α, β). Τότε β f(x) a γ = f(x) a β + f(x). Δίνουμε στη συνέχεια τον ορισμό των συναρτήσεων lx και e x καθώς και τις βασικές ιδιότητές τους: Σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού, υπάρχει συνάρτηση F(x) ώστε = F(x) + c x δηλ. F (x) = για x > 0. Μπορούμε να υποθέσουμε F() = 0, οπότε x x = F(x) για x και = F(x) για x. x x x Ορίζουμε ως lx, με x > 0, την τιμή F(x). Παρατηρούμε ότι για α > 0: x = αx (αx) = dy = ly + c, όπου y = αx. y Άρα lx = l(αx) + c Επειδή l = 0, πρέπει c = lα, οπότε l(αx) = la + lx. Επειδή η συνάρτηση lx είναι γνησίως αύξουσα είναι, οπότε υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση και τη συμβολίζουμε e x. Είναι δε το πεδίο τιμών της lx όλο το R. Οπότε γ

5 e lx = x για κάθε x > 0, και l(e x ) = x για κάθε x R. Έστω α, β R. Τότε υπάρχουν ρ, σ θετικοί, ώστε α = lρ, β = lσ. Συνεπώς e α+β = e lρ+lσ = e l (α+β) = α + β. Επειδή (lx) = /x 0, η αντίστροφη συνάρτηση της lx, δηλ. η e x, είναι παραγωγίσιμη. Από το ότι l(e x ) = x έχουμε (l(e x )) =, άρα e x (ex ) =. Συνεπώς (e x ) = e x. Έστω f(x), g(x) συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα [α, β]. Το εμβαδόν που περικλείεται από τις καμπύλες y = f(x), y = g(x) και τις ευθείες x = α, x = β ισούται με το β f(x) g(x). a ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθεί το εμβαδόν του επιπέδου που περικλείεται από τις καμπύλες y = x 4 και y = 2x 2. 2. Χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα να υπολογίσετε το εμβαδόν του κύκλου.

6 V. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ, ΣΕΙΡΕΣ Ακολουθία λέμε μία απεικόνιση α: N R, και συμβολίζουμε α = a(). Θα λέμε ότι η ακολουθία α συγκλίνει στο λ ( ή ότι έχει όριο το λ) και θα γράφουμε lim a, ή lim, ή a. a για λ R: αν για κάθε ε > 0 υπάρχει Ν > 0 ώστε α - λ < ε, για κάθε > N, για λ = + : αν για κάθε ε > 0 υπάρχει Ν > 0 ώστε α > ε, για κάθε > N, για λ = - : αν για κάθε ε > 0 υπάρχει Ν > 0 ώστε α < -ε, για κάθε > N. Περιγραφικά, μπορούμε να λέμε ότι μεγάλο. lim a όταν a λ αν το είναι αρκετά i) lim α = 0 lim α = 0. ii) Αν α β γ για κάθε, και lim α = lim γ = λ, τότε lim β = λ. iii) Αν α β για κάθε, και lim α = +, τότε lim β = +. iv) Αν α β για κάθε, και lim β = -, τότε lim α = -. v) Αν η α είναι μονότονη και φραγμένη τότε συγκλίνει σε ένα λr. Αν lim α = λ και lim β = μ, τότε lim a + β = λ + μ lim a β = λ μ δεχόμενοι το συμβολισμό (+ ) (+ ) = ( ) ( ) = + (+ ) ( ) = ( ) (+ ) = λ (+ ) = (+ ) λ = +, όταν λ > 0 λ ( ) = ( ) λ =, όταν λ > 0 λ (+ ) = (+ ) λ =, όταν λ < 0 λ ( ) = ( ) λ = +, όταν λ < 0 lim, αν ρ >, αν ρ = 0, αν ρ < δεν συγκλινει, αν ρ -.x

7 lim = 0. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν τα x για τα οποία lim ( + x) = 0. 2. Δείξτε ότι + 2 lim 2 + 3 3 = 0 Αν f(x), g(x) παραγωγίσιμες συναρτήσεις με lim f(x) = lim g(x) = 0 ή + ή -, x x ( ) τότε lim f f( x) = lim. g ( ) x g ( x ) (Υποθέτουμε ότι το πεδίο ορισμού των f(x), g(x) περιλαμβάνει το [, + ), g(x)g (x) 0 για κάθε x, και υπάρχει f( x) το lim ). x g ( x ) Έστω ακολουθία α. Θεωρούμε την ακολουθία s των μερικών αθροισμάτων της, δηλ. s = α + α2 + α3 + + α για κάθε N. Την ακολουθία αυτή την λέμε σειρά και την συμβολίζουμε Με. συμβολίζουμε και το όριο της σειράς, όταν υπάρχει., αν ρ i), αν ρ < δεν υπαρχει, αν ρ - ii) iii). ( )

8 Μια σειρά λέμε ότι συγκλίνει αν = λ, με λr. i) Αν η σειρά συγκλίνει τότε lim α = 0. ii) Αν a b d για κάθε, τότε υπάρχουν). a b c (όταν αυτά + Αν συγκλίνει η σειρά a = + τότε συγκλίνει και η a. = Η σειρά + x =0! = + x + x2 2 + x3 2 3 + x 4 2 3 4 + x 5 2 3 4 5 + συγκλίνει για κάθε x R, και ισούται με e x.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αποδείξτε ότι + ρ = 2. Να βρεθεί η τιμή της σειράς = ρ, όταν ρ (, ). ρ + (3x 2) = για κάθε x για την οποία η σειρά συγκλίνει. 3. Εξετάστε αν συγκλίνει η σειρά + 2 4 + 8 6 + 32 = ( ) 2. =

9 VI. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Διαφορική εξίσωση λέμε την εξίσωση που περιέχει μια άγνωστη συνάρτηση με παράγωγό της. Την άγνωστη συνάρτηση θα την συμβολίζουμε y(x) ή απλά y. Το σύνολο όλων των συναρτήσεων που ικανοποιούν μία διαφορική εξίσωση το λέμε (γενική) λύση της διαφορικής εξίσωσης. Μερική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται μια συγκεκριμένη συνάρτηση που την ικανοποιεί. Θα λέμε ότι μια διαφορική εξίσωση έχει τάξη κ όταν η μεγαλύτερη τάξη παραγώγισης που εμφανίζεται στην άγνωστη συνάρτηση είναι κ. Εν γένει η γενική λύση μιας εξίσωσης τάξης κ εκφράζεται με τη βοήθεια κ αυθαίρετων σταθερών. Αρχικές συνθήκες μιας διαφορικής εξίσωσης λέμε τις επιπλέον συνθήκες που πρέπει να πληροί η άγνωστη συνάρτηση της διαφορικής εξίσωσης. Οι αρχικές συνθήκες μαζί με την διαφορική εξίσωση προσδιορίζουν εν γένει μία μοναδική συνάρτηση. Παρατήρηση ( ) Μία διαφορική εξίσωση της μορφής y f ( x) (όπου και f(x) γνωστή συνάρτηση) λύνεται εύκολα με ολοκληρώσεις, όπως: y f ( x) f ( x), y f ( x) y f ( x). Οι διαφορικές εξισώσεις τέτοιας μορφής λέγονται στοιχειώδεις. () y η -στή παράγωγος της y ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις: α) y = x x 2 +. b) y = x 2 ημx. c) y = x +. 2. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y = ημx, με αρχικές συνθήκες y(0) = 3 και y (0) = 0. Θα εξετάζουμε στη συνέχεια κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων που δεν είναι στοιχειώδεις και που έχουν η κάθε μία την δική της μέθοδο λύσης:

20 α) Χωριζομένων μεταβλητών. Μια διαφορική εξίσωση της μορφής f (y)y g(x) όπου f(x), g(x) γνωστές συναρτήσεις και y η άγνωστη συνάρτηση, λέγεται διαφορική εξίσωση χωριζομένων μεταβλητών. Για την λύση της: Ολοκληρώνουμε την εξίσωση και παίρνουμε f (y)y g(x) f (y)dy g(x), έχοντας κάνει αντικατάσταση της συνάρτησης y με την μεταβλητή y. Μετά την ολοκλήρωση μπορούμε να θεωρούμε και πάλι το y ως συνάρτηση, οπότε έχουμε μια μη διαφορική εξίσωση που περιέχει την άγνωστη συνάρτηση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις α) y = x ημx 2, β) y = x ημx, γ) y = e x. 2. Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις α) y y 2 = xημx, β) y x 2 = y +, γ) y x = y. 3. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y = y συνx (εκφράζοντας το y ως το ολοκλήρωμα γνωστής συνάρτησης, ολοκλήρωμα όμως που δεν θα υπολογίσετε). β) Γραμμική ης τάξης. Μια διαφορική εξίσωση της μορφής y f (x)y g(x) όπου f(x), g(x) γνωστές συναρτήσεις, λέγεται γραμμική ης τάξης. Για την λύση της: Αν f (x) F(x) c, τότε πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με F(x) F(x) F(x) e y e f (x)y e g(x), ισοδύναμα: F(x) F(x) F(x) F(x) F(x) F(x) (e y) e g(x) (e y) e g(x) e y e g(x) F(x) F(x) y e e g(x). F(x) e οπότε έχουμε

2 ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις α) y + xy =. β) y + y = x. VII. Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουμε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταγμένων -άδων πραγματικών αριθμών ( x, x2,..., x ). Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσματα ή σημεία. Το x i λέγεται i -συντεταγμένη του ( x, x2,..., x ). Έστω ( x, x2,... x ) R και ( y, y2,... ym) R m, τότε ισχύει η ισοδυναμία m και ( x, x2,... x ) = ( y, y2,... y m) x y, x2 y2,..., x y. Με 0 συμβολίζουμε το μηδενικό διάνυσμα, δηλ. το διάνυσμα που έχει όλες τις συντεταγμένες μηδέν. Στο R ορίζουμε τις πράξεις: την πρόσθεση: ( x, x2,... x ) + ( y, y2,... y ) = ( x y, x2 y2,... x y) και τον αριθμητικό πολλαπλασιασμό: λ ( x, x 2,... x ) = ( x, x2,... x ). Θέτουμε ( x, x2,... x ) - ( y, y2,... y ) = ( x y, x2 y2,..., x y ). Αν α, α2,..., ακ R και λ, λ2,..., λκ R, τότε το λα + λ2α2 +... + λκ ακ λέγεται γραμμικός συνδυασμός των α, α2,..., ακ. Αν θέσουμε Α = { α, α2,..., ακ }, τότε με S(A) συμβολίζουμε το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών των α, α2,..., ακ. Το S(A) λέγεται και παραγόμενο σύνολο από το Α με γραμμικούς συνδυασμούς. Έστω Α R, με Α. Το Α λέγεται υπόχωρος του R αν ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες: i) Αν α και β Α τότε α + β Α, ii) Αν α Α και λ R τότε λα Α. Το S(A) είναι υπόχωρος. Θεώρημα Αν Χ είναι υπόχωρος τότε Χ = S(A), για κάποιο Α = { α, α2,..., ακ }. Αν A, B υπόχωροι και A B τότε λέμε ότι το Α είναι υπόχωρος του Β.

22 Οι υπόχωροι του R 2 είναι: το {0}, το R 2, και οι ευθείες που περνούν από το 0. Οι υπόχωροι του R 3 είναι: το {0}, το R 3, οι ευθείες που περνούν από το 0, και τα επίπεδα που περνούν από το 0. Ασκήσεις ) Εξετάστε πότε ισχύουν οι ισότητες: { x} { y, z}, ( a, d,2, h) ( d, h, e,2), {, } {, }, (, ) (, ). 2) Δείξτε ότι το Α = {(x, x + y): x, yr} είναι υπόχωρος του R 2. 3) Δείξτε ότι το Β = {(x, x 2 ): x R} δεν είναι υπόχωρος του R 2. 4) Βρείτε για ποιες τιμές του ρ το σύνολο Γ = {(x, x + ρ, x): x R} είναι υπόχωρος του R 3. ( x, y, z, w) : x y z w 0 είναι υπόχωρος του R 4. 5) Εξετάστε αν το 6) Εξετάστε αν το ( x, y, z, w) : x y z w 0, x y z w 0 είναι 2 2 2 2 υπόχωρος του R 4, όπου,,,, 2, 2, 2, 2 σταθερές. 7) Ένας υπόχωρος του R 2 είναι ένα από τα ακόλουθα: ή το σύνολο που περιέχει μόνο το σημείο της αρχής των αξόνων, ή το σύνολο των σημείων μιας ευθείας που περνάει από την αρχή των αξόνων, ή όλο το R 3. 8) Ένας υπόχωρος του R 3 είναι ένα από τα ακόλουθα: ή το σύνολο που περιέχει μόνο το σημείο της αρχής των αξόνων, ή το σύνολο των σημείων μιας ευθείας που περνάει από την αρχή των αξόνων, ή το σύνολο των σημείων ενός επιπέδου που περνάει από την αρχή των αξόνων, ή όλο το R 3. 9) Δείξτε ότι S({(,2),(,3)}) R 2. Τα α, α2,..., ακ R λέγονται γραμμικά ανεξάρτητα αν κανένα από τα α, α2,..., ακ δεν είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Ισοδύναμα: η εξίσωση λα + λ2α2 +... + λκ ακ = 0 έχει μόνο την μηδενική λύση, δηλ. λα + λ2α2 +... + λκ ακ = 0 λ = λ2 =... = λκ = 0. Ασκήσεις ) Δείξτε ότι τα (, ), (, 2) είναι γραμμικά ανεξάρτητα. 2) Εξετάστε ποιά από τα (, ), (, 2), (2, ) είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων δύο. 3) Όταν ένα σύνολο διανυσμάτων Α του R περιέχει το μηδενικό διάνυσμα τότε τα διανύσματα του Α δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα. 4) Αν τα α, α2,..., ακ είναι γραμμικά ανεξάρτητα τότε η εξίσωση λα + λ2α2 +... + λκ ακ = μα + μ2α2 +... + μκ ακ ισχύει τότε και μόνο όταν λ = μ, λ2 = μ2,..., λκ = μκ. 5) Έστω Α = {e,e2,, e}όπου ei τα μοναδιαία διανύσματα του R, δηλ. αν i=j ei = (δi, δi2, δi3,..., δi), με ij. 0 αν i j

23 Τότε S(A) = R. Ένα σύνολο Α = { α, α2,..., ακ } R λέγεται βάση ενός υπόχωρου Χ R, όταν: i) S(Α) = X, και ii) τα στοιχεία του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Θεώρημα i) Κάθε υπόχωρος Χ {0} έχει βάση. ii) Αν τα {α, α2,.., ακ}και {β, β2,..., βλ} είναι δύο βάσεις ενός υπόχωρου Χ, τότε κ = λ. iii) Αν {α, α2,..., ακ} είναι βάση του υπόχωρου Χ, {β, β2,..., βλ } είναι βάση του υπόχωρου Υ, και Χ Υ, τότε κ λ. Το κ = λ ισχύει μόνο όταν Χ = Υ. Ορίζουμε ως διάσταση ενός υπόχωρου Χ μία τιμή που την συμβολίζουμε dimx και ισούται: με το πλήθος των στοιχείων μίας βάσης του Χ αν Χ {0}, και μηδέν αν Χ = {0}. Οι υπόχωροι του R 2 είναι οι εξής: Το {0}, το R 2, καθώς και οι ευθείες που περνούν από το 0. Με αντίστοιχες διαστάσεις 0,2,. Οι υπόχωροι του R 3 είναι οι εξής: Το {0}, το R 3, οι ευθείες που περνούν από το 0, καθώς και τα επίπεδα που περνούν από το 0. Με αντίστοιχες διαστάσεις 0,3,, 2. Ασκήσεις ) dim R =. 2) Βρείτε την διάσταση του υπόχωρου X ( x, y, z, w) : x y z w 0 3) Βρείτε την διάσταση του υπόχωρου X ( x, y, z, w) : x y z w 0, x 2y 0.. 4) Περιγράψτε ως σύνολο τον υπόχωρο που έχει βάση τα διανύσματα (, 2, 3), (, -2, ). 5) Τα α, α2,..., ακ είναι βάση του υπόχωρου S({α, α2,..., ακ }) τότε και μόνο όταν είναι γραμμικά ανεξάρτητα. 6) Ο μέγιστος αριθμός από τα α, α2,..., ακ R που είναι γραμμικά ανεξάρτητα αποτελούν βάση του S({α, α2,..., ακ }). Μία εξίσωση της μορφής a x a2x2 a3x3... a x b, όπου a, a,... a, 2 b σταθερές και x, x2,... x άγνωστοι, λέγεται γραμμική. Αν b 0, τότε η προηγούμενη εξίσωση λέγεται ομογενής, και η a x a2x2 a3x3... a x 0 λέμε ότι είναι η αντίστοιχη ομογενής της a x a x a x... a x b 2 2 3 3.

24 α) Το σύνολο των x, x,... x ) R που ικανοποιούν μία ομογενή γραμμική ( 2 εξίσωση a x a2x2 a3x3... a x 0 αποτελούν υπόχωρο. β) Το σύνολο των ( x, x2,... x ) R που ικανοποιούν ένα σύστημα m ομογενών γραμμικών εξισώσεων a x a2x a3x2... a x 0 a 2x a22x a23x2... a2x 0......... a mx am2x am3x2... amx 0 (όπου τα aij σταθερές), αποτελούν υπόχωρο. γ) Αν,,... ) είναι μία λύση ενός συστήματος m γραμμικών εξισώσεων ( 2 a x a2x a3x2... a x b 2 x a22x a23x2... a2x b2 a......... a x m a x a x... a m2 m3 2 m x b (όπου τα aij και bi σταθερές), τότε κάθε άλλη λύση είναι της μορφής ( x, x2,... x ) + (, 2,... ), όπου ( x, x2,... x ) είναι λύση του συστήματος των αντίστοιχων ομογενών γραμμικών εξισώσεων a x a2x a3x2... a x 0 a 2x a22x a23x2... a2x 0......... a x a x a x... a x 0. m m2 m3 2 m m Κάθε υπόχωρος αποτελεί το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος ομογενών γραμμικών εξισώσεων.

25 VIII. Πίνακες Πίνακας m είναι μία διάταξη m στοιχείων a ij, με i =, 2,, m και j =, 2,,, που συνηθίζουμε να τον συμβολίζουμε με [ ] ή με ένα κεφαλαίο γράμμα και να τον παριστάνουμε με έναν ορθογώνιο πλέγμα θέσεων που σχηματίζουν m γραμμές και στήλες που καταλαμβάνουν τα a ως εξής: a ij ij a a.... a a a.... a [ aij ]...... a a.... a 2 2 22 2 m m2 m. Έστω το γραμμικό σύστημα εξισώσεων Σ: a x a2x a3x2... a x b a2 x a22x a23x2... a2x b...... όπου... a x m a ij, b i σταθερές και j a x a x... a m2 x άγνωστος, m3 και ο πίνακας Α: a a2... a b a2 a22... a2 b 2........ am am2... am b m Θα λέμε ότι το σύστημα Σ αντιστοιχεί στον πίνακα Α και αντίστροφα, ο πίνακας Α αντιστοιχεί στο σύστημα Σ. Παρατηρούμε ότι οι ακόλουθες πράξεις σε έναν σύστημα εξισώσεων δίνουν ισοδύναμο σύστημα: ) Η αντιμετάθεση δύο εξισώσεων. 2) Η πρόσθεση σε μία εξίσωση ένα πολλαπλάσιο μίας άλλης. 3) Η αντικατάσταση μίας εξίσωσης με ένα μη μηδενικό πολλαπλάσιο της. 2 m x 2 b m

26 Ορίζουμε ως στοιχειώδεις πράξεις σε έναν πίνακα τις ακόλουθες: ) Την αντιμετάθεση δύο γραμμών. 2) Την πρόσθεση σε μία γραμμή ένα πολλαπλάσιο μίας άλλης 3) Την αντικατάσταση μίας γραμμής με ένα μη μηδενικό πολλαπλάσιό της. Έστω πίνακας Β που προκύπτει από τον πίνακα Α μετά από στοιχειώδεις πράξεις. Τότε το γραμμικό σύστημα εξισώσεων που αντιστοιχεί στον Α είναι ισοδύναμο με αυτόν που αντιστοιχεί στο Β. Ένα πίνακας λέγεται κλιμακωτός αν ο πρώτος μη μηδενικός όρος κάθε γραμμής βρίσκεται σε δεξιότερη θέση από αυτή του πρώτου μη μηδενικού όρου της προηγούμενης γραμμής. Κάθε πίνακας, μετά από κάποιες στοιχειώδεις πράξεις, γίνεται κλιμακωτός. Ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ενός πίνακα Α λέγεται τάξη του πίνακα Α, και συμβολίζεται raka. Αν Β είναι πίνακας που προκύπτει από τον Α μετά από στοιχειώδεις πράξεις, τότε raka = rakb. Η τάξη ενός κλιμακωτού πίνακα ισούται με τον αριθμό των μη μηδενικών γραμμών του. (Παραλείπεται) Έστω Β κλιμακωτός πίνακας που προκύπτει από τον Α μετά από στοιχειώδεις πράξεις. Θέτουμε α, α2,..., αm τα διανύσματα που αντιστοιχούν στις γραμμές του Α, και β, β2,..., βm τα διανύσματα που αντιστοιχούν στις γραμμές του Β. Τότε S({α, α2,..., αm }) = S({β, β2,..., βm }). Στους πίνακες ορίζουμε τις πράξεις: ) Την πρόσθεση. Αν [ aij ], [ b ij ] δύο πίνακες m, τότε ορίζουμε [ aij ] + [ b ij ] = [ c ij ], όπου [ c ij ] πίνακας m με c ij = a ij + b ij, για κάθε i, j. 2) Τον αριθμητικό πολλαπλασιασμό. Αν [ ] πίνακας m και λ αριθμός τότε ορίζουμε λ[ a ] = [ b ij ],όπου [ b ij ] πίνακας m με b ij = λ aij, για κάθε i, j. a ij και [ b jk ] πίνακας l, τότε 3) Το γινόμενο πινάκων. Αν [ ] πίνακας m ορίζουμε [ κάθε i, k. a ij ij ] [ b jk ] = [ c ik ], όπου [ c ik ] πίνακας m l με c ik = a ij j ab ij ik, για

27 (Ιδιότητες των πράξεων πινάκων) Έστω A, B, C πίνακες και R, τότε (εφόσον οι διαστάσεις των πινάκων επιτρέπουν τις πράξεις), έχουμε τις ισότητες: (i) (ii) ( ) (iii) ( A B) C AC BC (iv) A( B C) AB AC (v) ( AB) ( A) B A( B) (vi) ( AB) C A( BC) (Σημειώνουμε ότι εν γένει AB BA.) Απόδειξη της ιδιότητας (vi): Έστω ότι Α = [a ij ], B = [b jk ], C = [c kl ], όπου Α, Β, C είναι m, r, r s πίνακες αντίστοιχα. Τότε (ΑB)C = ([a ij ][b jk ])[c kl ] = [ a ij b jk ] [c kl ]] = [ a ij b jk c kl ] = r j= r k= j= = [ a ij b jk c kl ] = [a ij ][ b jk c kl ] = [a ij ]([b jk ][c kl ]) = j= k= = A(BC). r k= Τους πίνακες [ a ] όπου a = 0, για κάθε i, j, τους λέμε μηδενικούς και τους ij συμβολίζουμε με Ο. Οι πίνακες λέγονται τετραγωνικοί. Τους τετραγωνικούς πίνακες [ a ij ] με aij 0 ταυτοτικούς και τους συμβολίζουμε με Ι. ij i j, για κάθε i, j, τους λέμε i j Αν Ι είναι o ταυτοτικός, Β πίνακας l και C πίνακας l, τότε I B = B, C I = C. Ένας πίνακας Α λέγεται αντιστρέψιμος αν υπάρχει πίνακας Β τέτοιος ώστε ΑΒ = ΒΑ = Ι, όπου Ι ταυτοτικός, οπότε ο Β λέγεται αντίστροφος του Α.

28 i) Αν ο Α έχει αντίστροφο Β τότε οι Α, Β είναι της μορφής. ii) Αν ο Α είναι αντιστρέψιμος τότε έχει μοναδικό αντίστροφο. Ο αντίστροφος του Α, αν υπάρχει, συμβολίζεται Α -. Ασκήσεις ) Δώστε παραδείγματα πινάκων Α, Β για τους οποίους δεν ορίζεται το γινόμενο ΑΒ αλλά ορίζεται το ΒΑ. 2) Δώστε παράδειγμα πινάκων Α, Β για τους οποίους ορίζονται τα γινόμενα ΑΒ, ΒΑ και i) ΑΒ ΒΑ ii) AB = BA. 3) Δείξτε ότι ο Α = είναι αντιστρέψιμος και να βρεθεί ο αντίστροφός του. 2 3 4 4 3 2 4) Βρείτε την τάξη του πίνακα. 3 4 2 Για κάθε πίνακα Α ορίζουμε μία τιμή που λέγεται ορίζουσα και συμβολίζεται deta ή Α. Ο ορισμός γίνεται επαγωγικά για = 2, 3, 4,. και ισχύουν τα εξής: a b Για 22 πίνακα Α = c d, ορίζουμε deta = ad bc. a b c Για 33 πίνακα A = [ a 2 b 2 c 2 ], ορίζουμε a 3 b 3 c 3 deta = a det [ b 2 c 2 b 3 c 3 ] c det [ a 2 c 2 a 3 c 3 ] + c det [ a 2 b 2 a 3 b 3 ]. Για πίνακα Α, με 3, ισχύει ότι ( Παραλείπεται) i j deta = ( ) aij det Aij, για κάθε j, και deta = i i j ( ) aij det Aij, για κάθε i. j Όπου Α ij ο πίνακας που προκύπτει από τον Α αν αφαιρέσουμε την i γραμμη και την j στηλη. Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0. Ασκήσεις

29 ) Βρείτε μια βάση και την διάσταση του υπόχωρου S(A), όπου Α = {(, 2, 2, ), (, 3,, 4), (0,,, ), (3, 9, 8, 2) }. x y 0 7 9 2) Εξετάστε για ποια x, y ο πίνακας xy x y 7 είναι αντιστρέψιμος. 0 Αν Α, Β πίνακες, και Ι ταυτοτικός, τότε det(ab) = det(a)det(b), deti =. a ij Αν [ ] πίνακας m, [ x j ] πίνακας και [ b i ] πίνακας m, τότε η εξίσωση [ a ij ] [ x j ] = [ b i ], δηλ. η x a a2.... a x 2 b a2 a22.... a 2. b 2.....,..... am am2.... a m. b m x είναι ισοδύναμη με το σύστημα εξισώσεων: ax a2x2... a x b a2x a22x2... a2x b 2.... am x am2x2... amx b m Με Μ m θα συμβολίζουμε το σύνολο όλων των m πινάκων. Αν Α Μ m, τότε ο πίνακας Α ορίζει μια απεικόνιση f A : Μ r Μ mr ως εξής: f A (X) = ΑΧ, για κάθε Χ Μ r.

30 Μία απεικόνιση f : R m R λέγεται γραμμική αν έχει τις ιδιότητες: α) f (a + b) = f (a ) + f ( b) β) f (λa) = λ f (a ) για κάθε a, b R m και λ R. Χωρίς βλάβη μπορούμε να ταυτίζουμε τους πίνακες με τα διανύσματα του R (δηλ. Μ = R ), ως εξής: α α 2 α 3 = (α, α 2, α 3,, α ) = a, [ α ] Έστω A πίνακας m, τότε η απεικόνιση f A : R R m με x f A ( x, x2,..., x ) = A x2 Μ m = R m x είναι γραμμική, και αντίστροφα: για κάθε γραμμική φ: R R m υπάρχει πίνακας A ώστε φ = f A. Έστω Α = [aij] Μm, και b Μm, = R m, τότε ορίζουμε τον επαυξημένο πίνακα a a2... a b a2 a22... a2 b 2 [Α b] =......... am am2... am b m Προφανώς, ο πίνακας [Α b] είναι m ( + ). Έστω ότι ο πίνακας [Α b] μετά από στοιχειώδεις πράξεις γίνεται [Α b ], τότε οι εξισώσεις Αx = b και Α x = b είναι ισοδύναμες. Θεώρημα H εξίσωση Αx = b, όπου Α m πίνακας, b R m, έχει λύση ως προς x R τότε και μόνο όταν raka = rak[α b]. Έχει μοναδική λύση τότε και μόνο όταν raka = rak[α b] =.

3 Έχει άπειρες λύσεις αν raka = rak[α: b] <. Αν xμ είναι μία (μερική) λύση της εξίσωσης Αx = b, τότε κάθε λύση της είναι της μορφής x0 + xμ, όπου x0 λύση της (αντίστοιχης ομογενούς) Αx = 0. Το σύνολο των λύσεων x R της εξίσωσης Αx = 0, όπου ΑΜm, και 0 το μηδενικό διάνυσμα του R m, είναι υπόχωρος του R. Έχει μοναδική λύση η εξίσωση Αx = 0 (τη μηδενική) τότε και μόνο όταν raka =. Ένας πίνακας Α έχει αντίστροφο τότε και μόνο όταν raka =. Ασκήσεις ) Εξετάστε για τις διάφορες τιμές του λ τις λύσεις του συστήματος x y z x 2y z 2 x 3y z w x y z w. 2) Ποια είναι η διάσταση του χώρου των λύσεων του συστήματος x 2x2 x3 x4 0 x x2 3x3 x5 0. x x 7x 2x 3x 0 2 3 4 5 3) Δείξτε, χωρίς τη χρήση Θεωρήματος, ότι αν ο πίνακας [Α b] είναι κλιμακωτός τότε για να έχει λύση η εξίσωση Αx = b πρέπει και αρκεί να ισχύει raka = rak[α b].

32 IX. Οι Ευκλείδειοι χώροι R 2 και R 3. Πρώτα δίνουμε δύο ορισμούς που ισχύουν γενικότερα για τους R : Μέτρο του διανύσματος α R λέμε την τιμή όπου α = (, 2,..., ). 2 2 α = 2, 2... Ορίζουμε ως εσωτερικό γινόμενο των α, β R την τιμή α β = αβ + α2β2 + α3β3 +... + αβ, όταν α = (α, α2,..., α), β = (β, β2,..., β). Θεώρημα Έστω α, β R 3 ή R 2 μη μηδενικά, τότε α β = α β συνθ, όπου θ η γωνία που σχηματίζουν τα α, β. Πόρισμα i) α β = 0 ή κάποιο από τα α, β είναι μηδέν ή τα α, β είναι κάθετα. ii) α α = α 2 Μια ευθεία στο R 3 (αντίστοιχα στο R 2 ) είναι το σύνολο των σημείων (x, y, z) της μορφής {ta + b: tr} όπου a, b διανύσματα του R 3 (αντίστοιχα του R 2 ) με a 0. Αυτός ο τρόπος παράστασης της ευθείας λέγετε παραμετρικός. Η ευθεία {ta + b: tr} είναι παράλληλη προς το διάνυσμα a και περνά από το σημείο b. Ένα επίπεδο στο R 3 είναι το σύνολο των σημείων (x, y, z) της μορφής {ta + sb + c: t, sr}, όπου a, b, c διανύσματα του R 3, τα a, b διάφορα του 0 και μη παράλληλα. Αυτός ο τρόπος παράστασης του επιπέδου λέγετε παραμετρικός. Το επίπεδο {ta + sb + c: t, sr} είναι παράλληλο προς τα διανύσματα a, b και περνά από το σημείο c. Μία ευθεία στο R 2 αποτελείται από σημεία (x, y) που ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής ax + by = c, όπου a, b, c R σταθερές με a + b 0. Το διάνυσμα ( a, b) είναι κάθετο στην ευθεία. Ένα επίπεδο αποτελείται από σημεία (x, y, z) που ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής ax + by + cz = d, όπου a, b, c, d R σταθερές με a + b + c 0. Το διάνυσμα a = (a, b, c) είναι κάθετο στο επίπεδo.

33 Εξωτερικό γινόμενο στο R 3 Ορίζουμε ως εξωτερικό γινόμενο των α, β R 3 την τιμή α2 α3 α α3 α α2 αβ = (, -, ), β2 β3 β β3 β β2 e e 2 e 3 όταν α = (α, α2, α3), β = (β, β2, β3). Συμβολικά: αβ = α α 2 α 3 β β 2 β 3 Όπου e = (,0,0), e = (0,,0), e = (0,0,). Θεώρημα Έστω α, β R 3 μη μηδενικά, τότε: i) Το αβ είναι κάθετο στα α, β. ii) αβ = α β ημθ, όπου θ η γωνία που σχηματίζουν τα α, β. Πόρισμα i) Το αβ ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει τα α, β πλευρές. γ γ γ 2 3 ii) Το (αβ) γ = α α α 2 3 β β β 2 3 ισούται με το όγκο του παραλληλεπιπέδου που έχει τα α, β, γ ακμές. iii) i) αβ = 0 ή κάποιο από τα α, β είναι μηδέν ή τα α, β είναι παράλληλα.