H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ»

H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ» Δημ. Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών (Δημοσιεύτηκε στο τεύχος 6, 2009, του περιοδικού «φ») Στο τελευταίο τεύχος (5 ο, 2008) του περιοδικού «φ», σελ. 8, ο συνάδελφος κ. Ν. Φραγκάκης έθεσε ένα ενδιαφέρον πρόβλημα. Με αφορμή το πρόβλημα αυτό, στο οποίο δίνουμε μερικές λύσεις, καθώς και γενικεύσεις του, θα κάνουμε μια μικρή αναφορά στα διαστήματα του R και την ισοδυναμία τους, πιστεύοντας ότι είναι χρήσιμη κυρίως στους συναδέλφους που διδάσκουν στην Γ Λυκείου. Γενικά για τα διαστήματα μπορούμε να πούμε ότι, παρόλο που τα χρησιμοποιούμε πολύ, κυρίως στη Γ Λυκείου, σχεδόν μόνο ο ορισμός τους υπήρχε ανέκαθεν στα σχολικά βιβλία, ενώ αποτελούν μια καλή συνιστώσα της υποδομής για την διδασκαλία των Συναρτήσεων και της Ανάλυσης. Τέλος θα δούμε μια χαρακτηριστική ιδιότητα των διαστημάτων με την οποία αποδεικνύουμε ένα γνωστό και σημαντικό θεώρημα στη συνέχεια των συναρτήσεων.. Πρόβλημα Να οριστεί συνάρτηση f: R R* η οποία να είναι -. Έτσι όπως τίθεται το πρόβλημα, δεν ζητείται να έχει σύνολο τιμών το R* (δηλ. να είναι «επί» του R*) και στη περίπτωση αυτή σχετικά εύκολα βρίσκουμε τέτοιες συναρτήσεις: π.χ. f(x) = e x, g(x) = e -x, xr, αλλά και αλγεβρικές, π.χ. Σ(χ) = χ + 2 χ, χr, φ(x) = x με χ 0 και φ(x) = x + με x > 0. Όπως όμως με πληροφόρησε ο συνάδελφος, το παραπάνω πρόβλημα το είχε διατυπώσει αλλιώς: Nα βρεθεί συνάρτηση - με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το R*, οπότε το πρόβλημα παρουσιάζει περισσότερο ενδιαφέρον. Κατ αρχή μια τέτοια συνάρτηση, αν υπάρχει, ακόμη και αν δεν είναι -, δεν μπορεί να είναι συνεχής: αφού τότε το σύνολο τιμών της θα ήταν διάστημα (δεν μπορεί να είναι σταθερή, ως -). Πρέπει λοιπόν να αναζητήσουμε μια ασυνεχή συνάρτηση στο R. Αν ορίσουμε μια συνάρτηση H από το διάστημα (-, 0) στο (-, 0) η οποία να είναι - και επί («επί»), καθώς και μια συνάρτηση Τ από το διάστημα [0, + ) στο (0, + ), - και επί, τότε θα ναι εύκολο να ορίσουμε μια συνάρτηση - του R επί του R*= (-, 0)(0, + ).

2 Μια τέτοια συνάρτηση H είναι εύκολο να οριστεί : π.χ. η (γν. αύξουσα και συνεχής) H(χ) = χ, χ < 0 με σύνολο τιμών το (-, 0). Τώρα το «δύσκολο» είναι να οριστεί μια συνάρτηση - του [0, + ) επί του (0, + ) η οποία βέβαια δεν μπορεί να είναι συνεχής (ως γνωστό συνεχής και - σε διάστημα σημαίνει γνησίως. μονότονη κλπ). Ξεκινούμε από τη συνάρτηση φ(χ) = χ, χ > 0, η οποία έχει σύνολο τιμών το (0, + ), και τις αφαιρούμε τις ακέραιες τιμές του χ, δηλαδή χ, 2, 3, Στη συνέχεια «γεμίζουμε» τις τιμές, 2, 3, 4, που αφαιρέσαμε, αντιστοιχώντας στο 0 το, στο το 2, στο 2 το 3 κ.ο.κ. (γραφικά φαίνεται καλύτερα αυτή η αντιστοίχιση), δηλαδή θεωρούμε τη συνάρτηση Τ (χ) = χ, χ χ, 0 και χ χ 0,,,2,... H οποία εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι - του διαστήματος [0, + ) επί του (0, + ) (αλλά μη συνεχής στα σημεία του Ν). Έτσι μια ζητούμενη συνάρτηση είναι η Δ(χ) = χ, χ R N χ, χ N Με αντίστροφη την συνάρτηση Δ - (ψ) = ψ, ψr N ψ, ψ N* η οποία είναι - του R* επί του R. Γενικά, με ν περιττό φυσικό αριθμό, οι συναρτήσεις Δ ν (χ) = χ χ ν ν, χ R N, χ N είναι μερικές λύσεις του προβλήματος. 2,. Ενιαία έκφραση των συναρτήσεων Τ και Ρ Μπορούν να εκφραστούν οι παραπάνω συναρτήσεις με ενιαίο τύπο; Η προσπάθεια να εκφραστεί η συνάρτηση Τ (χ) με ενιαίο τύπο, με χρήση της συνάρτησης του ακεραίου μέρους [χ], απέδωσε σχετικά εύκολα τον τύπο Τ (χ) = χ + χ χ, χ [0, + ) ([χ]: ακέραιο μέρος του χ) Όσο αφορά την συνάρτηση Δ(χ), το πρόβλημα ήταν πιο δύσκολο. Tελικά το πρόβλημα επικεντρώθηκε στο να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένας πραγματικός αριθμός να είναι φυσικός Η συνθήκη αυτή είναι

3 χ - [χ] + χ - χ = 0 ή χ = [χ] ( υπόψη ότι [χ] χ χ ). Έτσι έγινε δυνατή η ενιαία έκφραση και της συνάρτησης Δ(χ) καθώς και των συναρτήσεων Δ ν (χ) με τον τύπο Δ ν (χ) = χ ν, χr, ν =, 3, 5, χ χ Μια άλλη συνάρτηση : Ξεκινούμε από τη συνάρτηση φ(λ) = λ, λ > 0 που έχει σύνολο τιμών το (0, + ) και τις αφαιρούμε τις ακέραιες τιμές του λ, δηλαδή λ, 2, 3,. Στη συνέχεια «γεμίζουμε» τις τιμές που αφαιρέσαμε, ½,/3,/4, αντιστοιχώντας το 0 το, στο το ½, στο 2 το /3 κλπ., δηλαδή θεωρούμε τη συνάρτηση Τ 2 (λ) =, λ λ, λ 0 και λ λ 0,,,2,... Η συνάρτηση αυτή εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι - του διαστήματος [0, + ) επί του (0, + ) (αλλά όχι συνεχής στα σημεία του Ν). Ως συνάρτηση Η μπορούμε να πάρουμε την Η(λ) = τιμών το (-, 0). Έτσι προκύπτει και η συνάρτηση 2,. λ, λ < 0 με σύνολο Ι(λ) = / λ, λ R N /(λ ), λ N Η οποία είναι - του R επί του R* (αλλά μη συνεχής). Με ενιαίο τύπο γράφεται Ι(λ) = λ λ λ, λr. Μια ακόμη συνάρτηση προκύπτει αν θεωρήσουμε ως Η την Η(χ) = χ, χ < 0, και ως Τ την Τ 3 (χ) = e χ, e χ χ, 0 και χ ln 2, ln3,... χ 0, ln 2, ln3,... η οποία εύκολα επαληθεύουμε ότι είναι - του διαστήματος [0, + ) επί του ( 0, + ) (αλλά όχι συνεχής στα σημεία 0, ln2, ln3, ). Έτσι προκύπτει και η συνάρτηση

4 Μ(χ) = χ χ e, χ χ e,, 0 και χ χ 0 ln 2, ln3... χ 0, ln 2, ln3,... η οποία, όπως εύκολα επαληθεύουμε, ότι είναι - του R επί του R*. Όλες οι παραπάνω συναρτήσεις-λύσεις του προβλήματος, αλλά και άλλες που ασφαλώς υπάρχουν, δεν είναι συνεχείς, άλλωστε όπως αναφέραμε στη αρχή, δεν μπορεί να υπάρχει τέτοια συνάρτηση και συνεχής. Γενίκευση Ι του Προβλήματος Έστω αr. Nα βρεθεί συνάρτηση - με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το R- {α}. Εργαζόμενοι παρόμοια με την εύρεση της πρώτης συνάρτησης Δ, προκύπτει η συνάρτηση f(χ) = χ, χ R {α, α, χ, α 2,...} χ α, α, α 2,... η οποία είναι - του R επί του R-{α}. Γενίκευση ΙΙ του Προβλήματος Nα βρεθεί συνάρτηση - με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το R- {0, }. Η πορεία που ακολουθήσαμε στην εύρεση της πρώτης συνάρτησης Δ μας δείχνει και εδώ το δρόμο για να βρούμε μια τέτοια συνάρτηση Ρ(χ) = χ, χ R N χ 2, χ N η οποία είναι - του R επί του R-{0, }. Γενίκευση ΙΙΙ του Προβλήματος Nα οριστεί συνάρτηση - με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το R- N. Για την κατασκευή μιας τέτοιας συνάρτησης, αρκεί να οριστεί μια συνάρτηση - του διαστήματος [0, + ), επί του συνόλου [0, + ) - Ν= (0, )(, 2).

5 Θα ορίσουμε πρώτα μια συνάρτηση - του διαστήματος [0, ), επί του διαστήματος (0, ) την οποία μετά θα γενικεύσουμε. Από την ταυτοτική συνάρτηση στο διάστημα [0, ), εξαιρούμε τα σημεία με τετμημένες 0, /2, /3, και σε αυτά αντιστοιχούμε, αντίστοιχα, τους αριθμούς ½, /3, /4. Δηλαδή θεωρούμε την συνάρτηση Σ 0 (χ) = / 2, χ 0 /(ν ), χ / ν, ν 2,3,... χ, χ (0, ), χ / ν, ν 2,3,... η οποία είναι - του διαστήματος [0, ) επί του (0, ) (αλλά όχι συνεχής). Την συνάρτηση αυτή μπορούμε να γενικεύσουμε ώστε να πάρουμε μια συνάρτηση - του διαστήματος [κ, κ+) επί του (κ, κ+), κ = 0,, 2, : Σ κ (χ) = κ, χ κ 2 κ, χ κ, ν 2, 3,... ν ν χ, χ (κ, κ ), χ κ, ν 2,3,... ν Τελικά θεωρώντας όλες μαζί τις Σ κ (χ), κ = 0,, 2, παίρνουμε τη συνάρτηση Σ(χ) = κ, χ κ, κ N 2 κ, χ κ, κ N, ν 2, 3,... ν ν χ, χ (κ, κ ), χ κ, κ N, ν 2,3,... ν η οποία είναι - του διαστήματος [0, + ), επί του συνόλου [0, + ) - Ν. Αν στο δεύτερο κλάδο αντικαταστήσουμε τον προσθετέο /(ν+) με ν/(ν+) παίρνουμε μια άλλη τέτοια συνάρτηση. Μπορούμε τώρα να επεκτείνουμε την Σ και στους αρνητικούς, π.χ. με Σ(χ) = χ για χ < 0, ώστε να πάρουμε μια συνάρτηση - του R επί του R- N. Μπορούμε όμως να επεκτείνουμε την παραπάνω συνάρτηση Σ στους αρνητικούς ώστε να πάρουμε και μια συνάρτηση - του R επί του R- Ζ. Πως; (Άσκηση). 2. Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R Οι παραπάνω «περίεργες» συναρτήσεις Τ,Τ 2,Τ 3 στο αρχικό πρόβλημα, ήταν - του διαστήματος [0, + ) επί του (0, + ), γεγονός που δείχνει ότι τα δυο διαστήματα - σύνολα έχουν το ίδιο «πλήθος» στοιχείων, είναι δηλαδή όπως λέμε «ισοδύναμα». Βέβαια όπως είδαμε και με την συνάρτηση Σ, το διάστημα [0, + ) έχει το ίδιο «πλήθος» στοιχείων και με το σύνολο (0, )(, 2).

6 Μυστήρια πράγματα θα έλεγε κάποιος, και πράγματι είναι, αλλά μερικά τέτοια μυστήρια οι Μαθηματικοί μπορούν να τα ξεδιαλύνουν Θα επεκτείνουμε λίγο το θέμα και θα αποδείξουμε ότι όλα τα διαστήματα του R είναι μεταξύ τους ισοδύναμα, αλλά και ισοδύναμα με το R (το οποίο βέβαια ως γνωστό μπορεί να θεωρηθεί και αυτό ως διάστημα, το (-, + )). Δίνουμε όμως πρώτα τον σχετικό ορισμό. Ορισμός Θα λέμε ότι ένα σύνολο Κ (μη κενό) είναι ισοδύναμο με ένα σύνολο Λ (μη κενό), αν υπάρχει μια συνάρτηση - (αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση) του Κ «επί» του διαστήματος Λ («επί» ως γνωστόν σημαίνει, ότι έχει σύνολο τιμών το Λ). Συμβολικά Κ Λ. Eύκολα διαπιστώνουμε ότι η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο των μη κενών υποσυνόλων του R, δηλαδή έχει τις ιδιότητες, α) Αυτοπαθή: για κάθε σύνολο Κ ισχύει Κ Κ (μέσω της ταυτοτικής). β) Συμμετρική : αν Κ Λ τότε και Λ Κ (μέσω της αντίστροφης). Λόγω αυτής της ιδιότητας αν Κ ισοδύναμο του Λ, τότε και Λ ισοδύναμο του Κ, οπότε μπορούμε να λέμε απλά ότι τα Κ, Λ είναι ισοδύναμα. γ) Μεταβατική : Κ Λ και ΛΜ, τότε Κ Μ. Πράγματι, αν φ συνάρτηση - του Κ επί του Λ και τ συνάρτηση - του Λ επί του Μ. Τότε η σύνθεση τοφ είναι συνάρτηση - του Κ επί του Μ. Άρα Κ Μ. Η μεταβατική ιδιότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμα στα επόμενα. ΘΕΩΡΗΜΑ Όλα τα διαστήματα του R, οποιασδήποτε μορφής, είναι ισοδύναμα με το R και μεταξύ τους. Η απόδειξη συνίσταται στην απόδειξη των προτάσεων:. Κάθε διάστημα της μορφής [α, + ), (-, β], (α, + ), (-, β), α, β R, (μη φραγμένο διάστημα) είναι ισοδύναμο με το R = (-, + ). 2. Κάθε διάστημα της μορφής [α, β], [α, β), (α, β], (α, β), α, β R, (φραγμένο διάστημα) είναι ισοδύναμo με το R (εννοείται πάντα α < β). Πρόταση Κάθε διάστημα της μορφής [α, + ), (-, β], (α, + ), (-, β), α, β R, είναι ισοδύναμο με το R. Απόδειξη Θα δείξουμε κατ αρχή ότι τα μεν διαστήματα [α, + ), (-, β] είναι ισοδύναμα με το [0, + ), ενώ τα (α, + ), (-, β), α, β R, με το (0, + ). Τέλος ότι τα διαστήματα [0, + ), (0, + ) είναι ισοδύναμα μεταξύ τους και με το R.

7 Α. Πράγματι, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση φ(χ) = χ - α, χ [α, + ) τότε αυτή είναι - του [α, + ) επί του [0, + ). Άρα [α, + ) [0, + ). Επίσης αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση τ(χ) = β - χ, τότε αυτή είναι - του (-, β] επί του [0, + ). Άρα (-, β] [0, + ) και μάλιστα μέσω συνεχών συναρτήσεων. Β. Στην συνέχεια θα δείξουμε ότι τα διαστήματα της μορφής (α, + ), (-, β), α, β R είναι ισοδύναμα με το (0, + ). Προφανώς, αν α = - ή β = +, τότε τα διαστήματα αυτά ταυτίζονται με το R, άρα είναι ισοδύναμα με αυτό. Πράγματι, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση φ(χ) = χ - α, χ (α, + ) τότε αυτή είναι - του (α, + ) επί του (0, + ) (και συνεχής). Άρα (α, + ) (0, + ). Επίσης αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση τ(χ) = β - χ, χ (-, β) τότε αυτή είναι - του (-, β) επί του (0, + ). Άρα (-, β) (0, + ) και μάλιστα μέσω συνεχούς συνάρτησης. Γ. Είδαμε στο αρχικό πρόβλημα ότι τα διαστήματα [0, + ), (0, + ) είναι ισοδύναμα (μέσω των μη συνεχών- συναρτήσεων Τ). Άρα για να δειχθεί η πρόταση, αρκεί να δειχθεί ότι (0, + ) R ή R(0, + ). Μια κατάλληλη συνάρτηση είναι η (αλγεβρική) φ(χ) = χ + όπως και η τ(χ) =-χ + απλούστερη, η Σ(χ) = 2 χ 2 χ, χ R,, χr, με σύνολο τιμών το (0, + ). Eπίσης μια, 0 χ χ χ, χ Η οποία είναι - του (0, + ). επί του R. Ακόμη και η υπερβατική Υ(χ) = lnχ, όλες συνεχείς. Έτσι με τη βοήθεια και της μεταβατικής ιδιότητας, η πρόταση αποδείχθηκε. Πρόταση 2 Κάθε διάστημα της μορφής [α, β], [α, β), (α, β], (α, β), α, β R, είναι ισοδύναμo με το R. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι [α, β] [0, ], [α, β) [0, ), (α, β] (0, ], (α, β) (0, ) και στη συνέχεια ότι τα [0, ], [0, ), (0, ], (0, ) είναι ισοδύναμα μεταξύ τους και με το R. Α. [0, ] [α, β]. Αναζητώντας συνάρτηση της μορφής φ(λ) = γλ +δ με φ(0) = α, φ() = β, βρίσκουμε φ(λ) = α + λ(β - α), λ [0, ], η οποία πράγματι είναι - και επί του [α, β] (και συνεχής) με αντίστροφη την συνάρτηση Β. [0, ) [α, β). φ - (ψ) = ψ α, ψ[α, β] β α

8 Χρησιμοποιούμε ένα περιορισμό της προηγούμενης συνάρτησης φ(λ) = α + λ(β - α), λ[0, ). Γ. (0, ] (α, β]. Χρησιμοποιούμε πάλι την προηγούμενη συνάρτηση φ(λ) = α + λ(β - α), λ(0, ]. Δ. (0, ) (α, β). Χρησιμοποιούμε και πάλι την προηγούμενη συνάρτηση φ(λ) = α + λ(β - α), λ (0, ). Ε. (0, ] [0, ). Η συνάρτηση φ(λ) = - λ, λ (0, ] είναι - του διαστήματος (0, ] επί του [0, ) (και συνεχής). ΣΤ. (0, ] (0, ). Αυτή είναι και η πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση. Από την ταυτοτική συνάρτηση στο διάστημα (0, ], εξαιρούμε τα σημεία με τετμημένες, /2, /3, και σε αυτά αντιστοιχούμε, αντίστοιχα, τους αριθμούς ½,/3, /4. Δηλαδή στον λ = ν Έτσι θεωρούμε το σύνολο Γ = F(λ) = λ, λ, λ (0, ] αντιστοιχούμε τον λ Γ ν λ Γ και λ (0, ], ν, 2,... λ ν λ (0, ). και την συνάρτηση η οποία είναι - του διαστήματος (0, ] επί του (0, ) (αλλά όχι συνεχής στα σημεία του Γ). H προσπάθεια να εκφραστεί και η F(λ) με ενιαίο τύπο δεν ήταν απλή, αλλά απέδωσε F(λ) = λ λ λ λ, λ (0, ]. Ζ. [0, ] [0, ). Επεκτείνουμε την προηγούμενη συνάρτηση F στο [0, ] με F (0) = 0, οπότε η F είναι - του [0, ] επί του [0, ), αλλά μη συνεχής (στα σημεία του Γ). Η. Μένει να δειχθεί ότι το διάστημα (0, ) είναι ισοδύναμο του R. Πράγματι, η συνάρτηση Σ(x) = 2x 2x, x (0, ) είναι - του (0, ) επί του R (και συνεχής). Υπάρχει και η (υπερβατική) συνάρτηση

9 Ρ(y) = ln y y, y (0, ). Πάντως με δεδομένα δυο διαστήματα, μπορεί κανείς να βρει και απ ευθείας συναρτήσεις που να απεικονίζουν το ένα στο άλλο - και επί. Μερικές τέτοιες συναρτήσεις δίνουμε στο τέλος ως ασκήσεις. Συνέπεια των προτάσεων, 2 είναι το θεώρημα που αναφέραμε στην αρχή. Σημειώσεις. Επιδιώξαμε στις παραπάνω προτάσεις οι ισοδυναμίες να γίνουν μόνο μέσω συναρτήσεων της μορφής αχ β γχ δ (ομογραφική), αλλά μπορεί να γίνουν και μέσω άλλων συναρτήσεων. 2. Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι όλα τα διαστήματα του R ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυνάμων συνόλων του R με «πλήθος» στοιχείων όσο και το R, δηλαδή άπειρο (υπεραριθμήσιμο ή συνεχές). Από το αρχικό πρόβλημα επίσης παρατηρούμε ότι το R μπορεί να είναι ισοδύναμο και με μια ένωση δυο τουλάχιστον (ξένων μεταξύ τους) διαστημάτων -γνησίων υποσυνόλων- του R. 3. Δεδομένου ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι ένα υπεραριθμήσιμο σύνολο ( : δηλαδή ένα άπειροσύνολο του οποίου τα στοιχεία δεν μπορούν να έλθουν σε - και επί αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς), από το παραπάνω θεώρημα προκύπτει ότι και κάθε διάστημα του R είναι επίσης υπεραριθμήσιμο σύνολο. Έτσι ανεξαρτήτως του μήκους ενός διαστήματος, περιέχει το ίδιο «πλήθος» αριθμών με το R, έχει όπως λέμε τη δομή του συνεχούς άπειρου, ενώ τα αριθμήσιμα σύνολα ( Ν, Ζ, Q κλπ) λέμε ότι έχουν τη δομή του διακριτού άπειρου. Το φαινόμενο της ύπαρξης γνήσιων υποσυνόλων ενός συνόλου, που να έχουν το ίδιο «πλήθος» στοιχείων με αυτό, είναι χαρακτηριστικό των απειροσυνόλων (αριθμήσιμων ή μη) και δείχνει τη δύναμη του απείρου, του αιώνιου, του θεϊκού άπειρου, έννοια που μόνο όσοι ασχολούνται με τα Μαθηματικά έχουν την τύχη, στη πεπερασμένη και σύντομη ζωή μας, κάπως να νιώθουν, να διαχειρίζονται και να θαυμάζουν!. 3. Ισοδυναμία Διαστημάτων και Συνέχεια Είναι γνωστό ότι η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι ένα διάστημα (βλ. παρακάτω απόδειξη). Επίσης είναι γνωστό ότι για μια μη σταθερή συνάρτηση ισχύουν: i) Αν είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα ii*) Αν είναι συνεχής και - σε διάστημα είναι γνησίως μονότονη. iii) Αν είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε ένα ανοικτό διάστημα, έχει σύνολο τιμών ανοικτό διάστημα.

0 iv*) Αν μια συνάρτηση είναι γν. μονότονη και συνεχής σε ένα διάστημα, τότε η αντίστροφή της είναι επίσης συνεχής και του ίδιου είδους μονοτονίας. Οι προτάσεις (ii), ( iv) ισχύουν μόνο σε διάστημα και δεν υπάρχουν στο τωρινό βιβλίο της Γ Λυκείου. Έτσι τα διαστήματα [0, + ), (0, + ), που όπως είδαμε στο αρχικό Πρόβλημα είναι ισοδύναμα μέσω μιας ασυνεχούς συνάρτησης, δεν μπορεί να είναι ισοδύναμα με καμία συνεχή συνάρτηση: αν υπήρχε τέτοια συνάρτηση του [0, + ), επί του (0, + ), θα ήταν γν. μονότονη, οπότε θα είχε μέγιστο στο 0, αν ήταν γν. φθίνουσα, ή ελάχιστο στο 0 αν ήταν γν. αύξουσα, άτοπο, αφού έχει σύνολο τιμών το (0, + ). Όμοια προκύπτει ότι ούτε τα διαστήματα (0, ], (0, ) μπορεί να είναι ισοδύναμα μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης. Θα δούμε τώρα σε ποιες περιπτώσεις η ισοδυναμία των διαστημάτων μπορεί να γίνει μέσω συνεχών ή μη συναρτήσεων. Πρόταση 3 Η ισοδυναμία δυο διαστημάτων ίδιας μορφής μπορεί να γίνει με συνεχή συνάρτηση. Απόδειξη Aρκεί φυσικά να υπάρχει μια συνεχή και - συνάρτηση μεταξύ δυο τέτοιων διαστημάτων. Η απόδειξη προκύπτει από τις συναρτήσεις που χρησιμοποιήσαμε στις αποδείξεις των προτάσεων, 2 στις οποίες είδαμε σε ποιες περιπτώσεις έχουμε ασυνέχεια. Έτσι, αν έχουμε π.χ. τα διαστήματα (-, β), (-, δ), τότε, όπως είδαμε στην Πρόταση (Β) τα διαστήματα αυτά είναι ισοδύναμα με το (0, + ) μέσω συνεχών συναρτήσεων, άρα και μεταξύ τους. Μια απ απ ευθείας τέτοια συνάρτηση είναι και η φ(χ) = χ + δ β, χ(-, β), με φ((-, β)) = (-, δ), Επίσης αν είναι φραγμένα, π.χ. της μορφής [α, β), [γ, δ), β, δ R, τότε εφ όσον είναι ισοδύναμα με το [0, ) μέσω συνεχών συναρτήσεων (Πρόταση 2 (Β)) είναι και μεταξύ τους μέσω συνεχούς συνάρτησης. Μια απ απ ευθείας τέτοια συνάρτηση είναι και η Σ(χ) = (δ γ)χ βγ αδ β α, χ[α, β), Όμοια και στις άλλες περιπτώσεις. Παρατηρούμε ότι στη περίπτωση αυτή η συνάρτηση που εκφράζει την ισοδυναμία είναι (πάντα) και γν. μονότονη (βλ. παραπάνω πρόταση 3(ii)). Σημειώσεις. Δυο διαστήματα ίδιας μορφής μπορεί να είναι ισοδύναμα και μέσω μη συνεχούς συνάρτησης. Πχ. η συνάρτηση Σ(λ) = λ αν λ[0, ] - { 2, } και Σ( 2 ) =, Σ() = 2, είναι - του [0, ] επί του [0, ], ασυνεχής, αλλά και όχι γν. μονότονη.

2. Το ερώτημα που μπορεί να τεθεί τώρα, ως συνέχεια του προηγούμενου παραδείγματος είναι, υπάρχει συνάρτηση ασυνεχής, γνησίως μονότονη (άρα και -) και επί, μεταξύ δυο διαστημάτων ίδιας μορφής; Όσο και να ψάξει κανείς δεν θα βρει: αποδεικνύεται στην Ανάλυση ότι: Αν μια συνάρτηση του διαστήματος Δ= [α, β] επί του διαστήματος Μ = [γ, δ] είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνεχής. Το θεώρημα ισχύει γενικά για δυο διαστήματα Δ, Μ, ίδιας μορφής ή της μορφής [α, β), (γ, δ] (βλ. και ασκ. 7 στο τέλος) Η απόδειξη στηρίζεται στο εξής σημαντικό θεώρημα των μονότονων συναρτήσεων που καλό είναι να έχουμε υπόψη: Αν f γνησίως μονότονη (ή απλά μονότονη) συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β], τότε για κάθε ξ[α, β ], τα πλευρικά όρια της f στο ξ (υπάρχουν και ) είναι πραγματικοί αριθμοί (στο α και β εννοείται μόνο δεξιό, αντίστοιχα μόνο αριστερό πλευρικό όριο). Το θεώρημα ισχύει και για διάστημα (α, β), και στη περίπτωση αυτή ισχύει επί πλέον ότι το δεξιό (πλευρικό) όριο στο α και το αριστερό όριο στο β υπάρχει (: πραγματικός αριθμός ή άπειρο). Πρόταση 4 Η ισοδυναμία δυο διαστημάτων διαφορετικής μορφής γίνεται πάντοτε με μη συνεχή συνάρτηση, εκτός της περίπτωσης που τα διαστήματα έχουν την μορφή [α, β), (γ, δ] που μπορεί να γίνει με συνεχή συνάρτηση. Απόδειξη Ι. Ας δούμε πρώτα τα διαστήματα [α, β), (γ, δ]. Α. Έστω β, γr. Αναζητώντας κατ αρχή απλή συνάρτηση-ευθεία της μορφής φ(χ) = κχ + λ με φ(α) = δ, φ(β) = γ (γν. φθίνουσα), βρίσκουμε (γ δ)χ βδ αγ φ(χ) =, χ [α, β), β α που είναι πράγματι -, του [α, β) επί του (γ, δ] (γν. φθίνουσα και συνεχής). Β. Έστω β = +, γ R. Η συνάρτηση Σ(χ) = χ γ δ γ, χ(γ, δ], απεικονίζει το διάστημα (γ, δ], - και επί του (0, ]. Το διάστημα (0, ] είναι ισοδύναμο του [0, + ), μέσω της συνάρτησης χ Φ(χ) =, χ (0, ].Τέλος το [0, + ) είναι ισοδύναμο του [α, + ) μέσω της χ Ρ(χ) = χ + α. Άρα η σύνθεση των παραπάνω συναρτήσεων Η = ΡοΦοΣ δίνει την ζητούμενη συνάρτηση: δ χ Η(χ) = α, - του (γ, δ] επί του [α, + ) χ γ Γ. Έστω γ = -, β R.

2 Εργαζόμενοι παρόμοια με την περίπτωση (Β) βρίσκουμε την συνάρτηση Η(χ) = χ α δ χ β, - του [α, β) επί του (-, δ]. Δ. Έστω τώρα ότι β = +, γ = -, δηλαδή τα διαστήματα [α, + ), (-, δ]. Τότε η συνάρτηση φ(χ) = -χ + α + δ, χ [α, + ) είναι συνεχής και -, επί του (-, δ]. ΙΙ. Άλλα διαστήματα διαφορετικής μορφής: Ας πάρουμε π.χ. την περίπτωση των διαστημάτων [α, β), (γ, δ), με β, γ, δ πεπερασμένοι ή άπειροι. Αν υπήρχε συνάρτηση συνεχής και - του [α, β) επί του (γ, δ), τότε θα ήταν γν. μονότονη (πρότ.3. ii). Έτσι θα είχε ελάχιστο, αν ήταν γν. αύξουσα, ή μέγιστο αν ήταν γν. φθίνουσα. Αυτό όμως είναι αδύνατο αφού έχει σύνολο τιμών το ανοικτό διάστημα (γ, δ). Όμοια εργαζόμαστε και στις άλλες περιπτώσεις (διαφορετικής μορφής διαστημάτων): ( [α, β], (γ, δ) ), ([α, β], [γ, δ)), ([α, β], (γ, δ]), ((α, β], (γ, δ)). Σημείωση Η ισοδυναμία δυο διαστημάτων της μορφής [α, β), (γ, δ] μπορεί να γίνει και με μη συνεχή συνάρτηση: η συνάρτηση φ(χ) = χ αν 0 < χ < και φ(0) = είναι - του [0, ) επί του (0, ] αλλά μη συνεχής (και όχι μονότονη). Όσο αφορά το ερώτημα, αν υπάρχει γνησίως μονότονη (κατ ανάγκη φθίνουσα) επί και ασυνεχής συνάρτηση μεταξύ δυο τέτοιων διαστημάτων, η απάντηση είναι όχι (βλ. προηγούμενη σημείωση 2). 4. Εικόνα Διαστήματος μέσω Συνεχούς Συνάρτησης Στο σχ. βιβλίο της Γ Λυκείου στη σελίδα 94 αναφέρεται ότι, με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών (Θ.Ε.Τ.) αποδεικνύεται ότι: Η εικόνα ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα. Η αναφορά αυτή προκάλεσε τον προβληματισμό ενός συναδέλφου: πως αποδεικνύεται πράγματι το θεώρημα αυτό με τη βοήθεια του Θ. Ε. Τ. ; Επειδή η απάντηση συνδέεται άμεσα με τη δομή των διαστημάτων του R, θα αναφέρουμε με την ευκαιρία αυτή μια σχετική πρόταση- Λήμμα, με βάση την οποία αποδεικνύεται εύκολα πλέον το θεώρημα αυτό. Λήμμα (Χαρακτηριστική ιδιότητα διαστημάτων) Έστω Δ ένα μη κενό υποσύνολο του R. Τότε το Δ είναι ένα διάστημα, αν και μόνο αν, για κάθε α, βδ με α < β ισχύει [α, β] Δ. Απόδειξη Κατ αρχή, αν Δ διάστημα (οποιασδήποτε μορφής), τότε προφανώς ισχύει η ιδιότητα.

3 Έστω ότι για κάθε α, β Δ με α < β ισχύει [α, β] Δ. Θα δείξουμε ότι το Δ είναι ένα διάστημα, κάποιας μορφής. Αν το σύνολο Δ είναι φραγμένο (άνω και κάτω), τότε από το γνωστό αξίωμα πληρότητας των πραγματικών αριθμών, υπάρχει το infimmum (μέγιστο των κάτω φραγμάτων) και το supremum (ελάχιστο των άνω φραγμάτων) του Δ, στο R, έστω κ = infδ, λ= supδ, κ, λr. Αν το Δ δεν είναι κάτω φραγμένο, τότε infδ = -, ενώ αν δεν είναι άνω φραγμένο τότε supδ = + (από τον ορισμό του -, + ). Γενικά λοιπόν κr{- }, λr{+ }. Επίσης, για κάθε χδ ισχύει κ χ λ, άρα κ λ. Αν κ = λ τότε Δ = {κ} = [κ, κ] (μπορεί να θεωρηθεί τετριμένως διάστημα). Υποθέτουμε λοιπόν ότι κ < λ. A. Έστω κ, λδ. Θα δείξουμε ότι Δ = (κ, λ ). Επειδή κ, λδ, για κάθε χδ έχουμε κ < χ < λ, άρα Δ (κ, λ). Έστω ξ(κ, λ), δηλ. κ < ξ < λ. Από τον ορισμό του infδ = κ, επειδή κ < ξ υπάρχει ρδ με ρ < ξ, οπότε κ < ρ < ξ. Όμοια, επειδή ξ < λ= supδ, από τον ορισμό του supδ υπάρχει ω Δ με ξ < ω < λ. Άρα έχουμε κ < ρ < ξ < ω < λ, με ρ, ω Δ. Λόγω όμως της υπόθεσης έχουμε [ρ, ω] Δ, οπότε ξ Δ, δηλ. (κ, λ) Δ. Άρα τελικά (κ, λ) = Δ. Β. Έστω κδ, λδ. Τότε το κ είναι το ελάχιστο στοιχείο του Δ και θα δείξουμε ότι Δ = [κ, λ). Για κάθε χδ έχουμε κ χ < λ, άρα Δ [κ, λ). Έστω ξ [κ, λ), δηλ. κ ξ < λ. Επειδή ξ < λ= supδ, υπάρχει ωδ με ξ < ω, οπότε κ ξ < ω < λ. Από υπόθεση όμως, λόγω κ, ωδ, θα είναι [κ, ω] Δ, άρα ξδ. Επομένως [κ, λ) Δ, οπότε Δ = [κ, λ). Όμοια εργαζόμαστε αν κ Δ, λ Δ και θα προκύψει Δ = (κ, λ]. Τέλος, αν κ, λδ, (οπότε το κ είναι το ελάχιστο και λ το μέγιστο στοιχείο του Δ) θα προκύψει [κ, λ] = Δ. Παρατηρούμε ότι το Δ μπορεί να έχει, όπως πρέπει, όλες τις δυνατές μορφές διαστημάτων. Με βάση τώρα το παραπάνω Λήμμα και το Θ. Ε. Τ. εύκολα αποδεικνύεται ότι η η εικόνα φ(δ), ενός διαστήματος Δ, μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης φ, είναι διάστημα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω αr. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση Τ(χ) = χ, χ α και χ α, α 2,... χ, χ α, α, α 2,. είναι - του διαστήματος [α, + ) επί του (α, + ). 2.Α. Να οριστεί μια συνάρτηση - του R επί του R - {0,, 2}. Β. Να οριστεί μια συνάρτηση - του R επί του R - {0,,, 2009}.

4 3. Έστω α, βr με β + α 2 0. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση αx β f (x) x α είναι - του R-{α} επί του R-{α} και ότι συμπίπτει με την αντίστροφή της. Με ποια επί πλέον συνθήκη η εικόνα του διαστήματος (α, + ), μέσω της f, είναι το διάστημα (α, + ) και με ποια το (-, α); 4. Η συνάρτηση Ρ(χ) = χ α χ α, χ(α, + ), αr, είναι - (και γν. αύξουσα) του (α, + ) επί του (0, ). Να βρεθεί η αντίστροφή της. β λ 5. Η συνάρτηση Η(λ) =, λ(-, β), βr, είναι - (και γν. β λ φθίνουσα) του (-, β) επί του (0, ). 6. Η συνάρτηση x(t) = [0, + ) επί του (0, ]. t, t[0, + ) είναι - (και γν. φθίνουσα) του 7. Η συνάρτηση (-, ) επί του R. t y(t) t 2, t(-, ), είναι - (και γν. αύξουσα) του 8. Οι συναρτήσεις φ(χ) = - χ, Β(χ) = [0, ) και επί του (0, ]. χ χ είναι - (και γν. φθίνουσες) του 9. Έστω α, β, γ, δr, α < β, γ < δ. Τότε η συνάρτηση (δ γ)χ βγ αδ Σ(χ) =, είναι - (και γν. αύξουσα) του διαστήματος: β α i) [α, β] επί του [γ, δ], ii) [α, β) επί του [γ, δ). iii) (α, β] επί του (γ, δ], iv) (α, β) επί του (γ, δ). 0. Η συνάρτηση Η(χ) = 2χ α β β α 2χ α β, χ(α, β) είναι - (και γν. αύξουσα) του διαστήματος (α, β) επί του R.. H συνάρτηση Κ(χ) = χ - (-, 0). α 2 χ, χr είναι - ( γν. αύξουσα) του R επί e 2. Η συνάρτηση Ρ(α) =, αr είναι - (και γν. αύξουσα) του R και επί α e του (0, ) με αντίστροφη την Ρ - y (y) = ln, y(0, ). y

5 3. Η συνάρτηση Σ(y) = e / y (-, 0 ), (0, + ) και απεικονίζει -: α) το διάστημα (-, 0) επί του (/2, ). β) το διάστημα (0, + ) επί του (0, /2). 4. Η συνάρτηση Ε(ω) = εφω, ω π π, 2 2 και επί του R είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα π π, 2 2 είναι - (και γν. αύξουσα) του επί του R, ενώ η Σ(θ) = σφθ, είναι - (και γν. φθίνουσα) του (0, π) 5. Η συνάρτηση Σ(λ) = Σ(0) = 2 λ 2λ με λγ={, /2, /3, }, Σ(λ) = λ με λγ και, είναι - του [0, ] επί του (0, ), αλλά όχι συνεχής. 6. Η συνάρτηση Τ(x) με Τ(x) = x 2e x e 2e Τ(x) = για x < 0 και x - ln(2ν - ), ν =, 2, x e είναι - του διαστήματος (-, 0] επί του (0, + ). x για x = - ln(2ν - ), ν =, 2, και 7*. Έστω Σ γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα (α, β) με σύνολο τιμών το διάστημα (γ, δ) (α, β, γ, δ αριθμοί ή άπειρο). Τότε ισχύουν α) γ = lim Σ(ψ), δ =, ψα lim Σ(χ) χβ β) η Σ είναι συνεχής. (Υπόδ. Παρ. 3. Σημ. 2) Μερικές Ιδιότητες των Διαστημάτων (για υπενθύμιση) 8. α) Αν Δ = (α, β), όπου α, β αριθμοί ή άπειρο, τότε α = infδ, β = supδ. β) Αν Δ = [α, β] τότε α = infδ = minδ, β = sup Δ = maxδ, γ) Τα άκρα του διαστήματος [α, β], όπως και κάθε εσωτερικό του σημείο, είναι σημεία συσσώρευσης του (α, β) (: δηλ. αν ξ[α, β], τότε σε κάθε περιοχή του ξ, π(ξ, ε) = (ξ - ε, ξ + ε), ε > 0, υπάρχουν σημεία του (α, β) διάφορα του ξ). 9. Για κάθε σημείο ξ ενός ανοικτού διαστήματος (α, β) υπάρχει περιοχή του ξ, π(ξ, ε) = (ξ - ε, ξ + ε), ε > 0, με (ξ - ε, ξ + ε) (α, β) (αυτό ουσιαστικά σημαίνει ότι κάθε σημείο του (α, β) είναι εσωτερικό του σημείο και έτσι το (α, β) είναι ένα ανοικτό σύνολο). 20. Για κάθε χ, ψr, χ ψ, υπάρχει περιοχή του χ, π(χ, ε) και περιοχή του ψ, π(ψ, ε), ε > 0, που δεν έχουν κοινά σημεία. Η ιδιότητα επεκτείνεται και στο Μιγαδικό επίπεδο: αν ζ, ω μιγαδικοί, ζ ω, τότε υπάρχουν κυκλικοί δίσκοι (κύκλοι με το εσωτερικό τους) με κέντρα ζ, ω που δεν έχουν κοινά σημεία.

6 2. Αν δυο ανοικτά διαστήματα (α, β), (γ, δ), ( α, β, γ, δ πραγματικοί ή άπειρο) έχουν κοινό σημείο, τότε η τομή και η ένωσή τους είναι ανοικτά διαστήματα και ισχύουν (α, β) (γ, δ) = (μ, ρ), όπου μ = max{ α, γ}, ρ = min{β, δ}, (α, β) (γ, δ) = (κ, τ), όπου κ = min{α, γ}, τ = max {β, δ}. * * *