Τάξη: Β Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση Α. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ Πολλά φαινόμενα της πραγματικότητας συνδέονται με την έννοια της εκθετικής μεταβολής. Θα αναφέρουμε λίγα τέτοια προβλήματα για κατανόηση και εμπέδωση της έννοιας αυτής. Η συνάρτηση που περιγράφει αυτή c τη μεταβολή έχει τη μορφή: Q Q e, όπου Q ποσότητα σε χρόνο, Q η αρχική ποσότητα, c σταθερά και ο χρόνος. Πρόβλημα Ο αριθμός των βακτηρίων σε μια καλλιέργεια που ακολουθεί την εκθετική μεταβολή και διπλασιάζεται κάθε ώρες. Στην αρχή της παρατήρησης έχουμε βακτήρια. Α) Δείξτε ότι η εξέλιξη της καλλιέργειας δίνεται από τον τύπο: Q, όπου Q ο αριθμός των βακτηρίων και οι ώρες μετά την έναρξη. B) Πόσα βακτήρια έχουμε ώρες μετά; Γ) Πόσα βακτήρια είχαμε ώρες πριν; Δ) Κάτω από ιδιαίτερα ευμενείς συνθήκες τα βακτήρια διπλασιάζονται κάθε λεπτά. Σχηματίστε μια εξίσωση που θα περιγράφει την εξέλιξη της καλλιέργειας και υπολογίστε τον αριθμό των βακτηρίων ώρες μετά. Α) Σύμφωνα με την εκθετική μεταβολή θα c ισχύει: Q e (). Όμως στο τέλος της ης ώρας θα είναι: Q. Άρα: c c c e e e. Άρα ο τύπος () γίνεται: c Q e Q. B) Q.97 Γ) Έστω Q τα βακτήρια που είχαμε ώρες πριν. Τότε Q. Οπότε: Q Q 5 Κώστα Βακαλόπουλου, Χάρη Τσουλουχά Δ) Αφού διπλασιάζονται κάθε λεπτά θα c ισχύει: Q. Άρα: e c Q. c e e. Άρα: Οπότε: Q, βακτήρια. Πρόβλημα Ο χρόνος ημιζωής των ραδιενεργών ισοτόπων αζώτου με μαζικό αριθμό ανέρχεται σε λεπτά. Στην αρχή της παρατήρησης έχουμε αδιάσπαστους πυρήνες. Α) Να δείξετε ότι η καταστροφή των πυρήνων περιγράφεται από τον τύπο: N,5, όπου σε ώρες. Β) Τι ποσοστό πυρήνων δεν έχουν διασπαστεί μισή ώρα μετά την έναρξη; Γ) Τι ποσοστό πυρήνων έχει διασπαστεί μέσα σε μια ώρα από την έναρξη; Α) Από την υπόθεση έχουμε:. Άρα:. c e e c e c,5 Άρα: c N e N,5 N,5 N N,5 N B) Έτσι: 7 7,5 Άρα: Το ποσοστό που δεν έχει διασπαστεί μισή ώρα μετά την έναρξη είναι: 7,5%. N. Έτσι: N,5 N Γ),55. Άρα το ζητούμενο ποσοστό είναι,55%. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β τ./
Β. ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές εξισώσεις και συστήματα επιλύονται εφαρμόζοντας την ιδιότητα της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης σύμφωνα με την οποία ισχύει: Για κάθε,,, () Για κάθε,, log log, () Άσκηση Να λυθούν οι εξισώσεις:.. 5. 5. 5.. 7. 7 7 7 5 ln ln 7 ln ln9. 9. ln ln log log 5. Τα σύνολα ορισμού των εξισώσεων - είναι το. Οπότε για κάθε έχουμε: ) () ) 5 9 () 5 ) 5 () 5 5 7 7 ) y 7 7 y y 7 y 7 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β τ./ y () y 7 y ήy 5) () ) 9 9 () 9 7 5 ln ln 7 5 7) ln ln 7 ln5 ln ln5 ln7 ln ln 7 ln,95 ln ln5 ln ln 7 ln ln9 ) ln ln ln9 ln 7 () 9 9 7 7 ln ln 7 9) Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το, έχουμε:,. Οπότε για κάθε ln ln y y y y y y y ή y ln ln ln ln ln ln ή () ln ή ln e ή
) Για να ανήκει ο αριθμός στο σύνολο ορισμού της εξίσωσης πρέπει και αρκεί: 5 log 5. Όμως: και 5 ισχύει για κάθε ενώ log 5 5 5 5 που ισχύει για κάθε. Άρα το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το. Οπότε για κάθε έχουμε: log log 5 () log log 5 log log 5 log 5 log () 5 5 ή Άσκηση Να λυθεί η εξίσωση: 7 Για να ανήκει ένας πραγματικός αριθμός στο σύνολο ορισμού της εξίσωσης πρέπει και αρκεί: ή ( 7 ) ή ( 7 : ακέραιος). και και η περίπτωση: Αν τότε διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις: η υποπερίπτωση: Αν δηλαδή δηλαδή ή, τότε οι αριθμοί αυτοί είναι λύσεις της εξίσωσης. η υποπερίπτωση: Αν δηλαδή και τότε: 7 () 7 7 ή 7. Η τιμή απορρίπτεται αφού για,. η περίπτωση: Αν τότε 7 οπότε η εξίσωση δεν επαληθεύεται. η περίπτωση: Αν τότε διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις: η υποπερίπτωση: Αν δηλαδή δηλαδή τότε οι αριθμοί αυτοί θα είναι λύσεις της εξίσωσης αν ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β τ./ 7 είναι άρτιος αριθμός, που δεν ισχύει. Άρα οι αριθμοί δεν είναι λύσεις της εξίσωσης. η υποπερίπτωση: Αν δηλαδή και τότε η εξίσωση θα έχει λύσεις αν 7 δηλαδή ή 7. Η τιμή 7 απορρίπτεται αφού για 7, 7 7 Άρα το σύνολο λύσεων της εξίσωσης L,,, 7 είναι: Άσκηση Δίνεται το πολυώνυμο: P() Α) Να λυθεί η εξίσωση: P() Β) Να λυθεί η εξίσωση: ln ln ln () ln A) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner 5 το πολυώνυμο P() γράφεται: P() 5. Οπότε : P() 5 5 ή 5 ή ή. B) Για να ανήκει ο αριθμός στο σύνολο ορισμού της εξίσωσης πρέπει και αρκεί: και ln δηλαδή και. Άρα το σύνολο,,. ορισμού της εξίσωσης είναι το: Οπότε για κάθε,, έχουμε: ln ln ln ln ln ln ln P ln 5 ln ή ln ή ln 5 5 e ή e e e e ή e e Άσκηση Να βρεθούν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί α, β, γ αν είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής
ln ln ln ln () προόδου και ισχύει: 7 () Αφού οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα ισχύει: (). Από τη σχέση () έχουμε: ln ln ln ln ln (). Από τις ισότητες () και () έχουμε: ln ln ln ln ln () Επίσης: Από ισότητες: (), () και () έχουμε: και 7 5. Άρα οι αριθμοί α και γ θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 5 δηλαδή και ή και. Άσκηση 5 Να λυθούν τα συστήματα: ln ln y ln lny ln y e Α), B) e ln y y e Α) Για να ανήκει ένα ζεύγος πραγματικών, y στο σύνολο ορισμού του αριθμών συστήματος αυτού πρέπει και αρκεί να είναι: και y. Έτσι έχουμε: ln ln y ln ln y ln y e y e e e y y y ή y y y ( y)y ( y)y ή y y y y y y ή y y y y ή, y, ή, Σημείωση Στη λύση του παραπάνω συστήματος προσέξτε ότι: ln y ln y αφού δεν γνωρίζουμε αν y. Β) Για να ανήκει ένα ζεύγος πραγματικών, y στο σύνολο ορισμού του αριθμών συστήματος αυτού πρέπει και αρκεί να είναι: ln y ln και y. Επίσης ισχύει: y για κάθε,y. Πράγματι για κάθε,y ισχύει: ln y ln ln yln ln ln y ln ln y ln y y ln. Έτσι έχουμε: ln y ln y e y e ln y ln y ln y ln ln y ln y e e ln ln y ln e ln y ln ln y ln ln y ln y ln. Οι αριθμοί: ln και ln y ln ln y είναι οι ρίζες της εξίσωσης: δηλαδή ή. Άρα: ln και ln y ή ln και ln y δηλαδή:, y e,e ή e,e. Άσκηση Αν log, 5 και log να υπολογιστεί η τιμή του ώστε οι αριθμοί: α, β, να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Για να είναι οι αριθμοί α, β και γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου πρέπει και αρκεί: 5 log log log () Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης αυτής είναι το, έχουμε:,. Οπότε για κάθε () 5 log log 5 log log log log 5 log log log 5 log log log 5 log log log y log y 5 y y y 7y 9 log y log ή log y ήy 9 ή ή Άσκηση 7 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ˆ 9 και ΑΔ το ύψος του. Αν, log, log. Να βρεθεί το μήκος του ΒΓ. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β τ./
Από την Ευκλείδεια Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι: log log log log log log log log log log. Άρα: log log log log log log Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση: f() log log log, Α) Δείξτε ότι: f log 5 f() log log Β) i) Δείξτε ότι ii) Να λυθεί η εξίσωση: f() f log 5 Α) log log log log 5 log 5 5 log 5 log Β) i) f () log log log log log log log log log log log log log log log ii) f () log log log log log log log ή log ή Γ. ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές ανισώσεις επιλύονται εφαρμόζοντας την ιδιότητα της μονοτονίας της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης σύμφωνα με την οποία ισχύει: Για κάθε,, Αν τότε: () Αν τότε: () Για κάθε,, Αν τότε: log log () Αν τότε: log log () Άσκηση Να λυθούν οι ανισώσεις:. 5 5.. 5,, στο,. ln ln 5. ln ln log. ) 5 5 5 5 () 5 5 () 5 ),, 5 5 Παραγοντοποιώντας το πολυώνυμο του ου μέλους της ανίσωσης με τη βοήθεια του σχήματος Horner έχουμε: 5 5 Έτσι: Οπότε η ανίσωση γίνεται: + + + + Γινόμενο + + Άρα: ή ) (), 5 ) Για να ανήκει ένας πραγματικός αριθμός στο σύνολο ορισμού της ανίσωσης πρέπει και αρκεί: και δηλαδή. Άρα o σύνολο ορισμού της ανίσωσης είναι το:,. Έτσι έχουμε: ln ln () ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β τ./5
. Άρα:, 5) To σύνολο ορισμού της ανίσωσης είναι το: ln ln,. Έτσι έχουμε: ln y ln y ln yy y e e () ln e ln ln e ln e ln ln e ) Το σύνολο ορισμού της ανίσωσης είναι το:,. Έτσι έχουμε: log log log log log log log log y log log y log y log ή log y ή y log log ή log log log log ή log log () ή,,.άρα: Άσκηση Δίνεται το τριώνυμο: P() A) Να λυθεί η ανίσωση: P() B) Να λυθεί η ανίσωση: ln ln Α) P() B) Το σύνολο ορισμού της ανίσωσης είναι το, έχουμε:,. Οπότε για κάθε ln ln Pln ln ln ln lne e e e Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση: f() ln e e Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f B) Nα λυθεί η εξίσωση: f() ln5 ln Γ) Να λυθεί η ανίσωση: f() Α) Για να ανήκει ένας πραγματικός αριθμός στο πεδίο ορισμού της f πρέπει και αρκεί e e. Όμως, e e e y e e y y y e y y e ln. y ή y Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι: ln, Β) Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το ln,. Έτσι έχουμε: f () ln5 ln e 5 e 5 ln ln ln e ln ln e e e 5 e e 5 ln e ln e e e e 5e e e e y e y y y y e y 5 ήy e 5 ln 5 e e Γ) f () ln ln e e e e e e e e y e e y y y e y y e ln y ή y Δ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η εκθετική συνάρτηση: f (), και η λογαριθμική συνάρτηση: g() log είναι γνησίως αύξουσα αν και γνησίως φθίνουσα αν. Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση: f(),, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β τ./
Α) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η συνάρτηση f να είναι: i) γνησίως αύξουσα, ii) γνησίως φθίνουσα Β) Αν να συγκριθούν οι αριθμοί: f και f 9 5 Γ) Αν να λυθεί η ανίσωση: f f Α) Κατ αρχήν η συνάρτηση για να ορίζεται πρέπει και αρκεί που ισχύει αφού,. i) Για να είναι γνησίως αύξουσα πρέπει και αρκεί:. Όμως:, ii) Για να είναι γνησίως φθίνουσα πρέπει και αρκεί:. Όμως:,, Β) Για η συνάρτηση γίνεται: f () που είναι () γνησίως αύξουσα. Άρα: f f 9 9 5 Γ) Για η συνάρτηση f είναι γνησίως 5 φθίνουσα αφού. Άρα: () () f f Άσκηση Δίνονται οι συναρτήσεις: f(), g() f( ), h() f() Α) Αν η ευθεία y τέμνει την γραφική παράσταση της f στο Α και την γραφική παράσταση της g στο Β και η ευθεία την γραφική παράσταση της h στο Γ, να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β τ./7 Β) Να παρασταθούν στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων Oy οι συναρτήσεις f, g και h. Γ) Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς: g,g,g,g,g f,f, Δ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές και να αποδειχθεί ότι:. Α) f (), άρα,, g() f ( ) άρα,. Για, άρα:,. B) f (), g() f h() f (),, h() f (). Οι γραφικές παραστάσεις των f και g είναι σχήματα συμμετρικά ως προς τον,y C τότε το άξονα y y αφού αν g, y Cf. Οι γραφικές παραστάσεις των h και f είναι σχήματα συμμετρικά ως προς τον άξονα αφού είναι αντίθετες. Έτσι έχουμε: Γ) Η συνάρτηση φθίνουσα, οπότε ισχύει: g() είναι γνησίως g g g g() g. Η συνάρτηση f () είναι γνησίως αύξουσα, οπότε ισχύει: f f. Όμως: g f και g f. Άρα: f g g g g() g f. Δ) Το σημείο, είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ αφού,,, και
και. Όμως οι ευθείες y και είναι κάθετες. Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆ 9. Επομένως η διάμεσος του ΑΟ ισούται με το ήμισυ της υποτείνουσάς του. Άρα: οπότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές. Από τη Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα. Άρα. Οπότε:. Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f() ln Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Β) Να δείξετε ότι είναι περιττή Γ) Αν Α και Β τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τις ευθείες 5 και 5 να δείξετε ότι τα σημεία Α, Ο και Β είναι συνευθειακά. Δ) Να λυθεί η εξίσωση: f 7 f() f 7 () Α) Για κάθε ισχύει: επίσης: καθώς. Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το. Β) Για κάθε και και f ( ) f () ln ( ) ( ) l n ln ln Β) Δίνεται η συνάρτηση ln ln ln ln. Άρα: f ( ) f () Άρα η συνάρτηση f είναι περιττή.. Γ) Θα είναι 5,f (5), 5,f ( 5) f (5). Άρα τα σημεία έχουν αντίθετες τετμημένες και τεταγμένες. Άρα είναι σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων. Δ) Θα αποδείξουμε κατ αρχήν ότι η εξίσωση () ισοδυναμεί με την εξίσωση: f (). Πράγματι, για κάθε ισχύει: f 7 f () f 7 f 7 f () ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β τ./ f 7 f () f () (). Έστω λύση της εξίσωσης (). Τότε: () ln e () Αν ο αριθμός επαληθεύει την εξίσωση () τότε θα ισχύει: f ( ) f ( ) ln e (). Αφαιρώντας από την () την () έχουμε: e e e e e e. Πράγματι ο αριθμός e e είναι λύση της εξίσωσης () αφού: e e e e e e f ln e e e e ln ln e e e e e e e e ln e e e e e ln ln ln e Άσκηση Α) Δίνεται η συνάρτηση f(). Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της A και να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο. g() βρείτε το πεδίο ορισμού της B και να δείξετε ότι παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο.. Να Γ) Δίνεται η συνάρτηση h(). Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της Γ και να δείξετε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο και στο - και ολικό μέγιστο στο. Α) Για να ανήκει ένας πραγματικός αριθμός στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f πρέπει και αρκεί,. δηλαδή Αρκεί για κάθε,. Άρα f () f (), αρκεί, αρκεί (αφού η συνάρτηση f () είναι γνησίως αύξουσα), αρκεί
, αρκεί που ισχύει. Άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο. Β) Για να ανήκει ένας πραγματικός αριθμός στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης g πρέπει και αρκεί δηλαδή. Άρα,, g() g(),. Αρκεί για κάθε αρκεί, αρκεί που ισχύει., αρκεί Γ) Για να ανήκει ένας πραγματικός αριθμός στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης h πρέπει και αρκεί δηλαδή. Άρα,,. Αρκεί για κάθε h( ) h() h() h(), αρκεί, αρκεί (αφού η συνάρτηση f () είναι γνησίως αύξουσα), αρκεί, αρκεί, αρκεί που ισχύει. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β τ./9