Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 7-8 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα ΤΡΙΤΗ, 8 Μαΐου 8, και ώρα 4:
ΑΣΚΗΣΗ (ΜΟΝΑΔΕΣ ) Ένας καλλιεργητής σκέφτεται να ασχοληθεί με την καλλιέργεια σιταριού και καλαμποκιού. Έχει στη διάθεσή του μέχρι 3 στρέμματα γης για να καλλιεργήσει, λόγω όμως σχετικών διατάξεων δεν μπορεί να σπείρει πάνω από 7 στρέμματα καλαμποκιού. Δεδομένου ότι οι τιμές των δυο αυτών αγαθών διαμορφώνονται στις διεθνείς αγορές εμπορευμάτων, με βάση και τις προβλέψεις ενός διεθνούς χρηματοοικονομικού οίκου, ο καλλιεργητής υπολόγισε ότι θα έχει κέρδος ευρώ ανά στρέμμα σιταριού και 3 ευρώ ανά στρέμμα καλαμποκιού. Οι σπόροι σιταριού κοστίζουν 3 ευρώ ανά στρέμμα ενώ οι σπόροι καλαμποκιού κοστίζουν ευρώ ανά στρέμμα. Ο καλλιεργητής μπορεί να διαθέσει μέχρι 4 ευρώ για σπόρους. Για τη σπορά σιταριού απαιτείται χρόνος 4 λεπτών ανά στρέμμα, ενώ αντίστοιχα για τη σπορά καλαμποκιού απαιτείται χρόνος λεπτών ανά στρέμμα. Το προσωπικό που έχει ο καλλιεργητής, μπορεί να διαθέσει για σπορά ώρες. Ερώτημα Διατυπώστε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού η λύση του οποίου θα βοηθήσει τον καλλιεργητή να αποφασίσει πόσα στρέμματα γης πρέπει να καλλιεργήσει με σιτάρι και πόσα με καλαμπόκι, ώστε να μεγιστοποιήσει τα συνολικά του κέρδη. Να εξηγήσετε με σαφήνεια τις μεταβλητές απόφασης που χρησιμοποιείτε, την αντικειμενική συνάρτηση και το φυσικό νόημα των περιορισμών του μοντέλου που θα κατασκευάσετε. ( μονάδες) Ερώτημα Σε σύστημα ορθογωνίων συντεταγμένων να κατασκευάσετε το χώρο των εφικτών λύσεων (εφικτή περιοχή). Να επεξηγήσετε πώς αυτός προκύπτει, να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών του και να τον σκιαγραφήσετε. Χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε από τις γνωστές τεχνικές να βρείτε τη βέλτιστη λύση και την άριστη τιμή του μοντέλου που διαμορφώσατε. Τι πρέπει να κάνει τελικά ο καλλιεργητής; ( μονάδες) Ερώτημα 3 Εισάγετε και επιλύστε το μοντέλο σας στο Excel. Θα πρέπει να ετοιμάσετε στο ίδιο αρχείο τα παρακάτω τρία φύλλα εργασίας: α) τα δεδομένα με την επίλυση, β) την αναφορά απάντησης (answer report) και γ) την αναφορά ευαισθησίας (sensitivity report). Προσέξτε να καταχωρήσετε τις κατάλληλες πληροφορίες στις επιλογές (options) του μοντέλου σας στο Excel ώστε να χρησιμοποιηθεί οπωσδήποτε η μέθοδος Simplex. Τα (β) και (γ) προκύπτουν αυτόματα μετά την επίλυση του μοντέλου σας. Συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με εκείνα της γραφικής επίλυσης του ερωτήματος. Να μεταφέρετε στο κείμενο της εργασίας σας, ως εικόνες, και τα τρία φύλλα εργασίας. ( μονάδες) Χωρίς να επιλύσετε ξανά το μοντέλο, απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήματα με βάση τα αποτελέσματα του Excel στο ερώτημα 3. Ερώτημα 4 Εάν o καλλιεργητής είχε στη διάθεσή του περισσότερα στρέμματα γης, θα αυξάνονταν τα κέρδη του ή όχι και γιατί; (3 μονάδες) Ερώτημα Η αύξηση του διαθέσιμου ποσού για αγορά σπόρων κατά ένα ευρώ, αναμένεται να μεταβάλει τα συνολικά κέρδη και εάν ναι, κατά πόσα ευρώ; (3 μονάδες) Ερώτημα 6 Πόσο μπορεί να μεταβληθεί το κέρδος ανά στρέμμα σιταριού, χωρίς να αλλάξει η βέλτιστη λύση που βρήκατε στο ερώτημα ; (4 μονάδες) ΛΥΣΗ (μονάδες )
Πριν προχωρήσουμε στην ανάπτυξη του μοντέλου συγκεντρώνουμε τα δεδομένα σε ένα πίνακα Καλλιέργειες και απαιτήσεις Πόροι (μέσα και υλικά) που Σιτάρι Καλαμπόκι Διαθέσιμοι πόροι απαιτούνται για την καλλιέργεια Καλλιεργήσιμη Γη 3 Στρέμματα Χρόνος 4 ώρες= λεπτά Κεφάλαια 3 4 Ευρώ Κέρδος 3 Ερώτημα Μεταβλητές απόφασης. x : Στρέμματα γης που θα καλλιεργηθούν με σιτάρι. x : Στρέμματα γης που θα καλλιεργηθούν με καλαμπόκι. Αντικειμενική συνάρτηση (Α.Σ.) Κέρδη που θα αποκομίσει ο καλλιεργητής: Για κάθε ένα στρέμμα σιτάρι κερδίζει ευρώ, άρα από την καλλιέργεια xστρεμμάτων σιταριού θα κερδίσει x ευρώ του και ομοίως 3x ευρώ από την καλλιέργεια του καλαμποκιού. Το συνολικό κέρδος του καλλιεργητή θα είναι ίσο με x 3x Αυτή είναι η αντικειμενική συνάρτηση (Α.Σ.) του προβλήματος την οποία ζητούμε να μεγιστοποιήσουμε. Περιορισμοί:. Γη. Η γη που θα καλλιεργηθεί είναι συνολικά x x και αυτή δεν μπορεί να είναι περισσότερη από τα 3 στρέμματα που διαθέτει ο γεωργός. ;Αρα x x 3. Περιορισμός που επιβάλλεται από την διαθέσιμη γή. Κεφάλαια. Για κάθε ένα στρέμμα σιταριού ο γεωργός θα χρειασθεί να αγορεύει ένα κιλό σπόρου προς 3 ευρώ και άρα για τα x στρέμματα θα χρειασθεί να πληρώσει 3x ευρώ για σπόρους. Ομοίως για το καλαμπόκι θα χρειασθεί να πληρώσει x. Συνολικά θα χρειασθεί 3x x ευρώ και αυτό το ποσό δεν μπορεί να ξεπερνά τις 4 3x x 4 Περιορισμός που επιβάλλεται από τα διαθέσιμα κεφάλαια. 3. Χρόνος-εργατοώρες. Για την καλλιέργεια ενός στρέμματος σιταριού απαιτούνται 4 λεπτά της ώρας. Άρα για τα x στρέμματα απαιτούνται 4x λεπτά. Ομοίως για το καλαμπόκι απαιτούνται x λεπτά. Ο συνολικά διαθέσιμος χρόνος είναι λεπτά, άρα έχουμε τον περιορισμό. 4x x Περιορισμός που επιβάλλεται από τον συνολικά διαθέσιμο χρόνο. 4. Διατάξεις. Ο καλλιεργητής δεν μπορεί να καλλιεργήσει περισσότερα από 7 στρέμματα καλαμποκιού. Άρα: x 7 Περιορισμός που επιβάλλεται από σχετικές διατάξεις
. Φυσικοί περιορισμοί. x, x Με βάση τα παραπάνω το πρόβλημα του Γ. Π. είναι το εξής: Να βρεθούν οι τιμές των x, x που μεγιστοποιούν το συνολικό κέρδος max x 3x με τους ακόλουθους περιορισμούς στα x, x : x x 3 Γη () 3x x 4 Κεφάλαια () 4x x Χρόνος x 7 Διατάξεις x, x Φυσικοί Περ/μοί () Ερώτημα ( μονάδες) Επίλυση με την Γραφική Μέθοδο και με χρήση της ισοσταθμικής Η γραφική μέθοδος επίλυσης απαιτεί να βρεθεί ο χώρος των εφικτών λύσεων S (εφικτή περιοχή) δηλαδή το σύνολο των σημείων του επιπέδου στα οποία συναληθεύουν όλοι οι περιορισμοί. Αυτός προκύπτει αν βρούμε το σύνολο στο οποίο επαληθεύεται ο κάθε περιορισμός και στην συνέχεια πάρουμε την τομή αυτών των συνόλων. Ας πάρουμε για παράδειγμα τον τρίτο περιορισμό 4x x. Σε πρώτη φάση θα πρέπει να σχεδιάσουμε την ευθεία 3 4x x Αν σε αυτή θέσω x παίρνω 4 x x x. Έτσι έχω το σημείο (,). Αν σε αυτή θέσω x παίρνω 4x 4x x 7,4. Έτσι έχω το σημείο (7,4,) Με το ίδιο τρόπο βρίσκω και τα σημεία από τα οποία διέρχονται και οι υπόλοιπες ευθείες των περιορισμών και αυτά είναι. Η ευθεία x x 3 περνάει από τα σημεία (,3) και (3,) Η ευθεία 3x x 4 περνάει από τα σημεία (,) και (9,) Η ευθεία 4x x περνάει από τα σημεία (,) και (7,4,) Η ευθεία x 7 περνάει από το σημεί (,7) και είναι κάθετος στον άξονα ΟΥ Τοποθετούμε τα σημεία σε σύστημα αξόνων, όλα είναι σημεία πάνω στους άξονες, και χαράσσουμε την ευθεία 3 4x x όπως δείχνει το σχήμα. Στην συνέχεια θα βρούμε ποιο από τα δυο ημιεπίπεδα, στα οποία η 3 χωρίζει το επίπεδο ΧΥ είναι το αρνητικό (-), στο οποίο επαληθεύεται ανισότητα 4x x και ποιο το θετικό (+) στο επαληθεύεται η αντίστροφη ανισότητα
4x x. Για να το βρούμε αυτό επιλέγουμε στο επίπεδο ΧΥ ένα οποιοδήποτε σημείο, για το οποίο όμως πρέπει να ξέρουμε σε ποιο από τα δυο ημιεπίπεδα της 3 ανήκει (πέφτει). Με τις συντεταγμένες αυτού του σημείου υπολογίζουμε την τιμή της, ( x, x) 4x x δηλαδή του πρώτου μέρους της ανισότητας 4x x. Το ποιο κατάλληλο σημείο είναι το (,), αν βέβαια η ευθεία που έχουμε δεν περνάει από αυτό το σημείο Σε αυτό έχουμε (, ) 4. Άρα το σημείο (,) ανήκει στο αρνητικό (-) ημιεπίπεδο της 3 και συνεπώς σε αυτό το ημιεπίπεδο (οι συντεταγμένες κάθε σημείου που ανήκουν σε αυτό) επαληθεύεται η ανισότητα 4x x.στο άλλο ημιεπίπεδο επαληθεύεται η ανισότητα 4x x Την ίδια δουλειά κάνουμε και για τους άλλους περιορισμούς. Στην συνέχεια παίρνουμε την τομή αυτών των χώρων (ημιεπιπέδων) όποτε έχουμε τον χώρο S των εφικτών λύσεων. Είναι το σκιαγραφημένο κυρτό πολύγωνο που δείχνει το σχήμα. 8 7 6 4 3 9 8 7 6 4 3 S M Θέση max της Σημείο Μεγίστου 3 4 6 7 8 9 3 4 6 7 Σταθμική στο z = (-) (+) Γραφική επίλυση προβλήματος Τώρα, κατασκευάζουμε μια ισοσταθμική της Α.Σ. για μια επιλεγμένη τιμή του Z. (είναι καλό και φροντίζουμε αυτή να έχει κοινά σημεία με το χώρο S). Εδώ επιλέξαμε την ισοσταθμική στο.. Η ευθεία x 3x.περνά από τα σημεία (8,) και (, 66,66) (τα βρίσκουμε όπως και προηγουμένως) τα τοποθετούμε στο σύστημα και την χαράσσουμε. Δοκιμάζοντας με το σημείο (,) βρίσκουμε ότι (, ) 3.. Άρα το σημείο
(,) είναι στο αρνητικό ημιεπίπεδο,. Το επισημαίνουμε (-) στο σχήμα, το άλλο είναι το θετικό το οποίο επίσης επισημαίνουμε. Επειδή θέλουμε το max της x 3x μετακινούμε την ισοσταθμική παράλληλα προς τον εαυτόν της και προς το θετικό ημιεπίπεδο. Η μετακίνηση αυτή την φέρνει στο σημείο Μ το οποίο μας δίνει και το μέγιστο. Το σημείο αυτό ορίζεται από την τομή των ευθειών και 3 και οι συντεταγμένες του θα βρεθούν από την λύση του συστήματος 3x x 4 4x x Η οποία είναι ( x, x ) (7,4) Η τιμή της Α.Σ. είναι (7, 4) 7 3 4 3. Απάντηση. Θα καλλιεργήσει 7 στρέμματα σιτάρι και 4 καλαμπόκι και θα κερδίσει 3. ευρώ Εναλλακτικά. Επειδή ο χώρος S είναι φραγμένος μπορούμε να βρούμε την λύση αν υπολογίσουμε την τιμή τής Α.Σ στις κορυφές της εφικτής περιοχής Συντεταγμένες κορυφής Τιμή της Α.Σ. σε κάθε κορυφή Μax Ζ = Χ + 3Χ (, ) (,7) x + 3 x 7 =. (7,4, ) x 7,4 + 3 x = 678,7 (33,33, 7) x 33,33 + 3 x 7 = 9.333,33 (7,4) x 7 + 3 x 4 = 3. μέγιστο Ερώτημα 3 ( μονάδες) Η λύση στο Excel δίνεται παρακάτω και τα αποτελέσματα ταυτίζονται με αυτά της γραφικής επίλυσης. Μοντέλο και αποτελέσματα επίλυσης Αναφορά απάντησης Κελί στόχου (Μέγιστη) Κελί Όνομα Αρχική τιμή Τελική τιμή $Q$9 Α.Σ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΚΕΡΔΟΣ. 3 3 Μεταβλητά κελιά Κελί Όνομα Αρχική τιμή Τελική τιμή Ακέραιος
$Q$7 ΣΙΤΑΡΙ: Χ 7 7 Contin $R$7 ΚΑΛΑΜΠΟΚΙ: X 4 4 Contin Περιορισμοί Κελί Όνομα Τιμή κελιού Τύπος Κατάσταση Αδράνεια $O$ Διαθέσιμη Γη $O$<=$Q$ Χωρίς δέσμευση $O$3 Κεφάλαια 4 $O$3<=$Q$3 Με δέσμευση $O$4 Δια/μος Χρόνος $O$4<=$Q$4 Με δέσμευση $O$ Διατάξεις 4 $O$<=$Q$ Χωρίς δέσμευση Αναφορά διαβάθμισης Μεταβλητά κελιά Τελικό Μειωμένο Στόχος Επιτρεπτό Επιτρεπτό Κελί Όνομα Τιμή Κόστος Συντελεστής Αύξηση Μείωση $Q$7 ΣΙΤΑΡΙ: Χ 7 7 7 $R$7 ΚΑΛΑΜΠΟΚΙ: X 4 3 6,6666667,4874 Περιορισμοί Τελικό Σκιά Περιορισμός Επιτρεπτό Επιτρεπτό Δεξιά Κελί Όνομα Τιμή Τιμή πλευρά Αύξηση Μείωση $O$ Διαθέσιμη Γη 3 E+3 $O$3 Κεφάλαια 4 4, 4 74,8743 8,7486 $O$4 Δια/μος Χρόνος,87 3333,333333 $O$ Διατάξεις 4 7 E+3 Αναφορά ορίων Στόχος Κελί Όνομα Τιμή $Q$9 Α.Σ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΚΕΡΔΟΣ. 3 Μεταβλητή Κατώτερο Στόχος Ανώτερο Στόχος Κελί Όνομα Τιμή Όριο Αποτέλεσμα Όριο Αποτέλεσμα $Q$7 ΣΙΤΑΡΙ: Χ 7 3 7 3 $R$7 ΚΑΛΑΜΠΟΚΙ: X 4 87 4 3 Ερώτημα 4 (3 μονάδες) Από την αναφορά απάντησης φαίνεται ότι ο περιορισμός () που αφορά τον διαθέσιμο αριθμό στρεμμάτων είναι μη δεσμευτικός καθώς περισσεύουν στρέμματα γης (τα οποία θα μείνουν ακαλλιέργητα). Η σκιώδης τιμή του πόρου είναι μηδενική, επομένως η αγορά και διάθεση
περισσότερων στρεμμάτων για καλλιέργεια δεν θα βελτιώσει αυξήσει το τρέχον κέρδος. Ερώτημα (3 μονάδες) Όπως φαίνεται στη αναφορά ευαισθησίας, η σκιώδης τιμή του πόρου, διαθέσιμο κεφάλαιο για αγορά σπόρων, περιορισμός (), είναι ίση με 4, ευρώ. Αυτό σημαίνει, ότι η αύξηση (ή μείωση) του διαθέσιμου ποσού για αγορά σπόρων κατά ευρώ, θα έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση (ή μείωση) του μέγιστου κέρδους κατά 4, ευρώ. Η αύξηση (ή μείωση) α πρέπει να είναι μέσα στα επιτρεπτά όρια που δίνει η ανάλυση ευαισθησίας δηλαδή αύξηση κατά 74,9 μέχρι του ποσού 4+74,9=4.9 ή μείωση κατά 8,7, δηλαδή μέχρι του ποσού 4-8,7=34,9 Ερώτημα 6 (4 μονάδες) Για το μοναδιαίο κέρδος από την καλλιέργεια ενός στρέμματος σιταριού, στην ανάλυση ευαισθησίας, δίνεται, επιτρεπτή αύξησή του κέρδους ίση με 7 ευρώ και επιτρεπτή μείωση ίση με 7 ευρώ. Επομένως, το κέρδος από την καλλιέργεια ενός στρέμματος σιταριού μπορεί να φθάσει μέχρι την τιμή +7 =4 και να μειωθεί μέχρι την τιμήν -7=8 ευρώ. Μέσα σε αυτά τα όρια η βέλτιστη λύση παραμένει πάντα ίδια δηλαδή x = 7 και x =4. Όμως η τιμή της Α.Σ. μεταβάλλεται ανάλογα με την μεταβολή δc του κέρδους και η μεταβολή είναι δcxχ ΑΣΚΗΣΗ (ΜΟΝΑΔΕΣ ) Ένα κομμωτήριο προσφέρει γρήγορη και φθηνή περιποίηση μαλλιών στους πελάτες του, χωρίς ραντεβού. Έχει διαπιστωθεί ότι ο ρυθμός άφιξης των πελατών στο κομμωτήριο ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέση τιμή πελάτες την ώρα, ενώ ο μοναδικός υπάλληλος του κομμωτηρίου εξυπηρετεί κάθε πελάτη σε λεπτά κατά μέσο όρο. Επίσης είναι γνωστό ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης κάθε πελάτη ακολουθεί την εκθετική κατανομή. Ερώτημα Να υπολογιστούν οι παρακάτω ποσότητες: α) Η πιθανότητα να υπάρχουν στο κομμωτήριο από μέχρι και 4 πελάτες. (3 μονάδες) β) Ο μέσος αριθμός πελατών που περιμένουν στην ουρά για να εξυπηρετηθούν και ο μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στην ουρά. ( μονάδες) γ) Η πιθανότητα στο κομμωτήριο να υπάρχουν τουλάχιστον δύο πελάτες που περιμένουν στην ουρά για να εξυπηρετηθούν. (4 μονάδες) Ερώτημα Ο ιδιοκτήτης του κομμωτηρίου εξετάζει το ενδεχόμενο να δημιουργήσει και δεύτερη θέση εξυπηρέτησης των πελατών προσλαμβάνοντας έναν δεύτερο υπάλληλο με χαρακτηριστικά εξυπηρέτησης ίδια με εκείνα του πρώτου. Στη περίπτωση αυτή, οι δυο υπάλληλοι θα εξυπηρετούν τους πελάτες οι οποίοι θα προσέρχονται σε μία κοινή ουρά αναμονής. Να υπολογιστούν οι παρακάτω ποσότητες: α) Η πιθανότητα και οι δύο υπάλληλοι να είναι απασχολημένοι. ( μονάδες) β) H πιθανότητα ένας πελάτης που μπαίνει στο κομμωτήριο να εξυπηρετηθεί άμεσα. ( μονάδες) γ) Ο ιδιοκτήτης του κομμωτηρίου θέλει να αγοράσει καρέκλες με κόστος ευρώ ανά καρέκλα ώστε όλοι οι πελάτες που κατά μέσο όρο περιμένουν στην ουρά να είναι καθήμενοι. Πόσες καρέκλες πρέπει αγοράσει ο ιδιοκτήτης του κομμωτηρίου και με τι κόστος; Σε περίπτωση που βρείτε μη ακέραιο αριθμό να στρογγυλοποιήσετε το αποτέλεσμα σας στον επόμενο ακέραιο αριθμό ( μονάδες)
Ερώτημα 3 Γνωρίζουμε ότι για κάθε πελάτη που παραμένει στο σύστημα το κόστος είναι 3 ευρώ/ώρα, ότι κάθε υπάλληλος αμοίβεται με 9 ευρώ/ώρα και ότι ο ιδιοκτήτης του κομμωτηρίου δεν θέλει το ωριαίο κόστος λειτουργίας του κομμωτηρίου να υπερβεί τα ευρώ. Ποια είναι η καλύτερη επιλογή που μπορεί να κάνει ο ιδιοκτήτης του κομμωτηρίου; Να έχει έναν ή δύο υπαλλήλους; ( μονάδες) Ως μονάδα χρόνου να χρησιμοποιηθεί η μία ώρα και σ όλες τις πράξεις να διατηρηθούν τέσσερα δεκαδικά ψηφία. Σημείωση: Αφού πρώτα λύσετε τα παραπάνω ερωτήματα οπωσδήποτε χειρωνακτικά χρησιμοποιώντας το τυπολόγιό σας, ώστε να εξασκηθείτε και αφού φυσικά μεταφέρετε τις λύσεις των ερωτημάτων της εργασίας σας στο word, μπορείτε κατόπιν, αν θέλετε, για την επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων σας να χρησιμοποιήσετε ένα template του excel, το Waiting line calculator v6. που είναι διαθέσιμο στη διεύθυνση http://faculty.otterbein.edu/wharper/queue.xlt. Δεν χρειάζεται να μεταφέρετε τα αποτελέσματα του template στην εργασία σας. Σε κάθε περίπτωση πάντως, πρώτα να λύσετε την άσκηση χειρωνακτικά χρησιμοποιώντας το τυπολόγιό σας και να μεταφέρετε τη λύση σας στην εργασία σας, ώστε η διαδικασία επίλυσης να έχει προστιθέμενη αξία για σας. ΛΥΣΗ Για να απαντήσουμε στα ερωτήματα παρατηρούμε ότι Εδώ έχουμε μια ουρά αναμονής του τύπου Μ/Μ/. Ο ρυθμός άφιξης δίδεται ότι είναι λ= πελάτες/ώρα. Επιλέγουμε ως μονάδας μέτρησης του χρόνου την ώρα, και με βάση αυτή θα βρούμε το μ=ρυθμός εξυπηρέτησης πελατών/ωρα Επειδή ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης είναι λεπτά/πελάτη στην μία ώρα εξυπηρετούνται κατά μέσο όρο μ=6/=6 πελάτες/ώρα 4 Επειδή το σύστημα φθάνει σε ισορροπία και από τους γνωστούς τύπους μπορούμε να 6 υπολογίσουμε τις παραμέτρους που ζητούνται Ερώτημα α) (3 μονάδες) H πιθανότητα να υπάρχουν στο κομμωτήριο, δηλαδή στο σύστημα, από μέχρι και 4 πελάτες είναι ίση P P P P με 3 4 Η πιθανότητά να υπάρχουν n πελάτες στο σύστημα είναι Pn P. Με αντικατάσταση σε αυτούς τους τύπους βρίσκουμε n \ όπου. Με α P P,667,
P,667 =,7 6 3 P3,667 =,964 6 4 P4,667 =,83 6 Οπότε P P P3 P4 =,94 η σε ποσοστό 9,4%.9,4%. β) ( μονάδες) Ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά του κομμωτηρίου είναι: L q 4,666 ( ) 6(6 ) πελάτες κατά μέσο όρο Lq Ο μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στην ουρά του κομμωτηρίου είναιwq,8333 ώρες. γ) (4 μονάδες) Για να υπάρχουν τουλάχιστον δυο πελάτες στην ουρά ναμονής, θα πρέπει να υπάρχουν στο σύστημα (κομμωτήριο) τουλάχιστον τρεις πελάτες, εκ των οποίων ο ένας θα εξυπηρετειται. Άρα ψάχνουμε την πιθανότητα P* P3 P4 P... ( P P P ) =-(,667+,389+,7)=,787 Ερώτημα Τώρα έχουμε σύστημα Μ/Μ/, με λ=, μ=6, s=. Στο οποίο επίσης υπάρχει κατάσταση ισορροπίας αφού (λ/sμ)<. α) ( μονάδες) Η πιθανότητα να είναι και οι δύο υπάλληλοι απασχολημένοι είναι ίση με την πιθανότητα να υπάρχουν στο κομμωτήριο τουλάχιστον πελάτες Pn ( P P ) Όμως τώρα ο τύπος που δίνει την πιθανότητα να μη υπάρχουν πελάτες στο σύστημα είναι P, και ο τύπος που δίνει την πιθανότητα να υπάρχουν n s n s ( / ) ( / ) s n n! s! s πελάτες στο σύστημα P ) P n! n n
Από αυτούς του τύπους με λ=, μ=6, s=, βρίσκουμε P =.48 και P. 48,343! 6 P ( P P) =-(,48+,343)=,4 Άρα n β) ( μονάδες) Για να εξυπηρετηθεί αμέσως ο πελάτης πρέπει στο σύστημα να υπάρχει το πολύ ένα πελάτης. Η πιθανότητα για αυτό είναι P P =,48+,343-,749 γ) ( μονάδες) Ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά δίδεται από τον τύπο Lq s ( / ) ( s )!( s ) P Με αντικατάσταση παίρνουμε L q ( / 6) i6 ( )!( 6 ), 48 =,7 Άρα στην ουρά θα περιμένουν κατά μέσο όρο,7 πελάτης. Με στρογγυλοποίηση καταλήγουμε ότι πρέπει να αγοράσει μια καρέκλα και το κόστος θα είναι ευρώ. Ερώτημα 3 ( μονάδες) Το κόστος παραμονής κάθε πελάτη στο κομμωτήριο (σύστημα) είναι cw 3 ευρώ ανά ώρα παραμονής και το κόστος εξυπηρέτησης (αμοιβή κάθε υπαλλήλου), cs 9 ευρώ ανά ώρα ανά εργαζόμενο To κόστος λειτουργίας του συστήματος Μ/Μ/s είναι TC cw L cw s Στο σύστημα Μ/Μ/ Για το σύστημα Μ/Μ/ είναι. L=Lq+(λ/μ) =4,666+,8333=4,9999= Άρα TC cw L cw s =3x+x9=4 Άρα το κόστος υπερβαίνει τα ευρώ ανά ώρα. Για το σύστημα Μ/Μ/ είναι. L=Lq+(λ/μ)=,7+,8333=,83 Άρα TC cw L cw s =3x,83+x9=,49. Αυτό είναι μικρότερο από το. Έτσι με δυο υπαλλήλους πετυχαίνεταο ο στόχος
ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ ) Δύο κατασκευαστικές εταιρείες έχουν αναλάβει την κατασκευή ενός μεγάλου δημόσιου έργου σε μία χώρα της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Σε πρώτο στάδιο, η κάθε εταιρία έχει κατοχυρώσει ένα ενδεικτικό μέρος του προϋπολογισμού του έργου. Με βάση την τελική πρόταση/προσφορά της κάθε εταιρίας, ένα μέρος του προϋπολογισμού θα αναδιανεμηθεί, με μια από τις εταιρίες να λαμβάνει μεγαλύτερο μέρος του ενώ αντίστοιχα η άλλη μικρότερο. Κατά την σύνταξη των τελικών φακέλων προσφορών οι εταιρείες έχουν να επιλέξουν ανάμεσα στις παρακάτω στρατηγικές: έμφαση στην περιβαλλοντική προστασία (ΠΠ), έμφαση στην οικονομική βιωσιμότητα (ΟΒ), έμφαση στην βελτίωση της τοπικής οικονομίας (ΤΟ) και τέλος έμφαση στην ποιότητα του τελικού παραδοτέου (ΤΠ). Ο παρακάτω πίνακας πληρωμών δείχνει το επιπλέον μέρος του προϋπολογισμού του έργου (σε εκατ ευρώ) που θα λάβει η Α (το οποίο αντίστοιχα θα αφαιρεθεί από τον προϋπολογισμό της Β), ανάλογα με την στρατηγική που οι δύο εταιρείες επιλέγουν. Για παράδειγμα, αν η εταιρεία Α ακολουθεί τη στρατηγική ΠΠ και η εταιρεία Β την ΤΟ, στο αντίστοιχο κελί του πίνακα πληρωμών υπάρχει η τιμή 3, υποδεικνύοντας ότι προστίθενται 3 εκατ. ευρώ στον προϋπολογισμό της εταιρείας Α (τα οποία αντίστοιχα αφαιρούνται από αυτόν της Β). Επίσης αν η εταιρεία Α ακολουθεί τη στρατηγική ΟΒ και η εταιρεία Β την ΤΟ, στο αντίστοιχο κελί του πίνακα πληρωμών υπάρχει η τιμή -6, υποδεικνύοντας ότι η εταιρεία Β λαμβάνει 6 εκατ. ευρώ περισσότερα σε σχέση με τον ενδεικτικό προϋπολογισμό της (τα οποία αφαιρούνται από τον προϋπολογισμό της Α). Εταιρεία Β ΠΠ ΟΒ ΤΟ ΤΠ Εταιρ εία Α ΠΠ 3 - ΟΒ -3 - -6 ΤΟ 3 7 4 ΤΠ -3 - Ερώτημα Χωρίς να διαγράψετε τυχόν υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον παραπάνω πίνακα πληρωμών. Υπάρχει σημείο ισορροπίας αν οι εταιρείες ακολουθούν αποκλειστικά αμιγείς στρατηγικές; ( μονάδες) Ερώτημα Να εντοπιστούν αν υπάρχουν υποδεέστερες στρατηγικές. Εφόσον υπάρχουν, να διαγραφούν και να σχηματιστεί ο νέος πίνακας πληρωμών. ( μονάδες) Ερώτημα 3 Στον πίνακα πληρωμών του προηγούμενου ερωτήματος, να βρείτε τη μεικτή στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσει ο κάθε υποψήφιος και την αναμενόμενη τιμή του παιγνίου στο σημείο ισορροπίας. ( μονάδες) ΛΥΣΗ (μονάδες ) Ερώτημα (μονάδες ) Οι δυο εταιρείες συναγωνίζονται στο ποια από τις δυο θα πάρει μεγαλύτερο μερίδιο από το προς διάθεση υπόλοιπο του προϋπολογισμό του έργου. Αυτό είναι σταθερό, και άρα έχουμε ένα παίγνιο σταθερού αθροίσματος.
Ο πίνακας αμοιβών δίνει τι κερδίζει η Α. Άρα αυτή είναι ο μεγιστοποιών παίκτης και θα ακολουθήσει την στρατηγική max min. H εταιρεία Β προσπαθεί να κρατήσει το σκορ της Α όσο το δυνατόν ποιο χαμηλά οπότε αν η διαφορά θα είναι υπέρ της Β και έτσι ακολουθεί στρατηγική minmax Στον πίνακα αμοιβών, βρίσκουμε το ελάχιστο κάθε γραμμής, Row min, και στην συνέχεια το μέγιστο των ελαχίστων που είναι το maxmin. Σε κάθε στήλη βρίσκουμε το μέγιστο, Column max, και στην συνέχεια το ελάχιστο αυτών που είναι το minmax. Αυτά είναι καταχωρημένα στον πίνακα πληρωμών, Εταιρεία Β ΠΠ ΟΒ ΤΟ ΤΠ Row min Maximin Εταιρεία Α ΠΠ 3 - - ΟΒ -3 - -6-6 ΤΟ 3 7 4 3 ΤΠ -3 - - 3 Column max 7 4 Minimax 4 Maximin 4 Minimax 3 Οι τιμές maximin της Α και minimax της Β δεν είναι ίσες με 3, συνεπώς το παίγνιο δεν έ ισορροπεί με αμιγείς στρατηγικές. Ερώτημα (μονάδες ) Για την εταιρεία A, οι στρατηγικές ΠΠ και ΟΒ είναι υποδεέστερες της ΤΟ (οι τιμές-αποδόσεις της ΤΟ είναι πάντα μεγαλύτερες από αυτές των ΠΠ και ΟΒ ανεξαρτήτως της στρατηγικής που θα επιλέξει η Β),, άρα τις διαγράφουμε από τον πίνακα αμοιβών. Ο νέος πίνακας πληρωμών που προκύπτει είναι ο παρακάτω Εταιρεία Β ΠΠ ΟΒ ΤΟ ΤΠ ΤΟ 3 7 4 ΤΠ -3 - Σε αυτόν παρατηρούμε ότι η στρατηγική ΟΒ της Β είναι υποδεέστερη της στρατηγικής ΠΠ (ανεξαρτήτως της στρατηγικής που θα επιλέξει η Α), άρα μπορεί και αυτή να διαγραφεί. Ο νέος πίνακας πληρωμών που προκύπτει είναι ο παρακάτω
Εταιρεία Β ΠΠ ΤΟ ΤΠ Εταιρεία Α ΤΟ 3 4 ΤΠ -3 - Ερώτημα 3 (μονάδες ) Από το προηγούμενο ερώτημα καταλήγουμε στον παρακάτω x3πίνακα πληρωμών. Εταιρεία Β ΠΠ ΤΟ ΤΠ Εταιρεία Α ΤΟ 3 4 ΤΠ -3 - Με βάση αυτόν θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Με την γραφική μέθοδο θα προσδιορίσουμε ποια από τις στρατηγικές της Β θα διαγραφεί. Στο παρακάτω σχήμα, οι δύο κάθετοι άξονες αντιπροσωπεύουν τις στρατηγικές, ΤΟ και ΤΠ της εταιρείας Α. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ αντιπροσωπεύουν αντίστοιχα τις στρατηγικές ΤΠ, ΤΟ, ΠΠ της Β. Το σημείο Μ είναι το μέγιστο πάνω στην κόκκινη γραμμή που προκύπτει από την maxmin στρατηγική που ακολουθεί η εταιρεία Α. Από τις ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ η ΑΒ, που αντιστοιχεί στην στρατηγικά ΤΟ, δεν συμμετέχει στον προσδιορισμό του σημείου Μ και άρα την διαγράφουμε από τις στρατηγικές του Β. Έτσι καταλήγουεμ στον x πίνακα αμοιβω ν ΤΠ ΤΟ ΠΠ A Ζ 4 Γ 3 Ε Μ Δ -3 B - Στρατ.ΤΟ Στρατ. ΤΠ
Εταιρεία Β ΠΠ: y ΤΟ: -y Εταιρεία Α ΤΟ: x 3 4 V(B, TO)=3y+(4-y) ΤΠ: -x -3 V(B, TΠ)=3y+(4-y) V(A,ΠΠ)= x+(-x) V ( 4x-3(-x) A, Αν x η πιθανότητα με την οποία η εταιρεία Α θα ακολουθήσει την στρατηγική ΤΟ, τότε -x είναι η πιθανότητα με την οποία θα ακολουθήσει την στρατηγική ΤΠ. Αντίστοιχα y και -y είναι οι πιθανότητες με τις οποίες η Β θα ακολουθήσεις τις στρατηγικές ΠΠ και ΤΟ. Τα αναμενόμενα οφέλη της Α είναι V(A,ΠΠ)=3x+(-x) V(A,TO)=4x-3(-x) Για την άριστη μικτή στρατηγική της εταιρείας Α θα πρέπει να ισχύει: V(A, BΠΠ) = V(A, BΤΟ) Από αυτήν έχουμε 3x + (-x) = 4x - 3(-x) 3x + - x = 4x - 3 + 3x -x + = 7x - 3 9x = 8 x = 8/9 Άρα η Α ακολουθεί μικτή στρατηγική με πιθανότητες 8/9 και 8/9 αντίστοιχα για τις ΤΟ και ΤΠ, και τις υπόλοιπες με πιθανότητα μηδέν. Η μικτή στρατηγική της Α είναι η (,,.89,.). Η τιμή του παιγνίου είναι V(A) = 3 x(8/9) + x (/9) = 9/9=3, Για τη βέλτιστη μικτή στρατηγική της Β πρέπει να ισχύει ότι: V(B, AΤΟ) = V(B, AΤΠ) Κατά συνέπεια: 3y + 4(-y) = y - 3(-y) 3y + 4-4y = y - 3 +3y -y + 4 = 8y - 3 9y = 7 y = 7/9 Άρα η εταιρεία Β ακολουθεί μικτή στρατηγική με πιθανότητες (7/9, /9,,)
ΑΣΚΗΣΗ 4 (ΜΟΝΑΔΕΣ ) Το ακόλουθο σχήμα απεικονίζει το οδικό δίκτυο μιας πόλης στην οποία δραστηριοποιείται μια αλυσίδα σουπερμάρκετ διατηρώντας αποθήκη στον κόμβο του δικτύου και υποκαταστήματα στους κόμβους 4, 6, και 9. Κάθε πρωί, τρία φορτηγά αναχωρούν από την αποθήκη, ένα προς κάθε υποκατάστημα. Οι αριθμοί στις ακμές του δικτύου αναπαριστούν τους χρόνους που απαιτούνται για τις αντίστοιχες διαδρομές σε λεπτά, υπό φυσιολογικές κυκλοφοριακές συνθήκες στο δίκτυο. Ζητούμενο για την εταιρεία διαχείρισης της αλυσίδας σουπερμάρκετ είναι η ελαχιστοποίηση του χρόνου που θα χρειαστεί το κάθε φορτηγό για τη μετακίνησή του από την αποθήκη προς το αντίστοιχο υποκατάστημα που θα εξυπηρετήσει. Ερώτημα Σε ποια κατηγορία προβλημάτων ανήκει το πρόβλημα που αντιμετωπίζει η εταιρεία και ποιος αλγόριθμος δικτυωτής ανάλυσης είναι κατάλληλος για την επίλυσή του; ( μονάδες) Ερώτημα Ποιο κριτήριο τερματισμού του αλγορίθμου είναι κατάλληλο για εφαρμογή στο εξεταζόμενο πρόβλημα; Πότε δηλαδή μπορούν να σταματήσουν οι επαναλήψεις των βημάτων του αλγορίθμου; (3 μονάδες) Ερώτημα 3 Εφαρμόστε τον αλγόριθμο και προσδιορίστε τη βέλτιστη διαδρομή που πρέπει να ακολουθήσει κάθε φορτηγό, προκειμένου να φτάνει στον προορισμό του στον ελάχιστο δυνατό χρόνο. Υπόδειξη: Επαναλάβετε τα βήματα του αλγορίθμου μόνο όσες φορές χρειάζεται προκειμένου να ικανοποιηθεί το κριτήριο τερματισμού που ορίσατε στο ερώτημα. ( μονάδες) ΛΥΣΗ (μονάδες ) Ερώτημα ( μονάδες) Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης από πλευράς χρόνου διαδρομής από τον κόμβο,
που βρίσκεται η κεντρική αποθήκη, προς τους κόμβους 4, 6 και 9, που βρίσκονται τα υποκαταστήματα. Ως εκ τούτου, θα εφαρμοσθεί ο αλγόριθμος εντοπισμού της συντομότερης διαδρομής από την αφετηρία κόμβος, προς τους κόμβους 4, 6 και 9 που είναι οι προορισμοί. Ερώτημα (3 μονάδες) Σε κάθε επανάληψη του αλγόριθμου ελαχίστης διαδρομής προστίθεται ένας νέος μόνιμος κόμβος, για τον οποίο βρίσκεται η ελαχίστη απόσταση από τον αρχικό κόμβο καθώς και η αντίστοιχη βέλτιστη διαδρομή της εταιρείας. Επομένως ο αλγόριθμος θα εφαρμοστεί μέχρις ότου γίνουν μόνιμοι οι κόμβοι ο 4, 6 και 9. Ερώτημα 3 ( μονάδες) Επανάληψη Ο κόμβος γίνεται μόνιμος και έτσι έχουμε το σύνολο των μόνιμων ή λυμένων κόμβων Λ ={} Επανάληψη Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με τουλάχιστον ένα από τους κόμβους του Λ ={}. Είναι οι και 7 με αποστάσεις και αντίστοιχα. Πλησιέστερος στον είναι ο 7, με ελάχιστη απόσταση και διαδρομή 7. Αυτός καθίσταται μόνιμος και έτσι το σύνολο των λυμένων κόμβων είναι Λ ={,7} Για κάθε κόμβο που γίνεται μόνιμος σημειώνουμε στο σχήμα και την ελάχιστη απόστασή του από τον αρχικό κόμβο 3 Επανάληψη Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με με τουλάχιστον ένα από τους κόμβους του Λ ={,7}. Είναι οι, 8,6 με αντίστοιχα μήκη ακμών 3,,6 και αντίστοιχες ελάχιστες αποστάσεις 3,3,8 από τον. Πλησιέστερος στον είναι ο, με ελάχιστη απόσταση 3 και διαδρομή. Αυτός καθίσταται μόνιμος και έτσι το σύνολο των λυμένων κόμβων είναι Λ 3={,7,} 4 Επανάληψη Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με με τουλάχιστον ένα από τους κόμβους του Λ 3={,7,}. Οι 8,6 που συνδέονται με τον 7 με μήκη ακμών,6 αντίστοιχες ελάχιστες αποστάσεις 3,8 από τον. Οι 9,,3 που συνδέονται με τον με μήκη ακμών,,7 και ελάχιστες αποστάσεις από τον ίσες με 8=+3, 33+3, =7+3 αντίστοιχα Από τους 8,6,9,,3, πλησιέστερος στον είναι ο 6, με ελάχιστη απόσταση 8 και διαδρομή 6 7. Αυτός καθίσταται μόνιμος και έτσι το σύνολο των λυμένων κόμβων είναι Λ ={,7,,6}. Σε αυτή την επανάληψη του αλγορίθμου έχουμε βρει την απάντηση για τον κόμβο 6.
Επανάληψη Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με τουλάχιστον ένα από τους κόμβους του Λ 4={,7,,6}. Ο 8 συνδέεται με τον 7 με ακμή μήκους, και αντίστοιχη ελάχιστη απόσταση 3=+ από τον. Ο 8 συνδέονται με τον 6 με μήκος ακμής 4, και αντίστοιχη ελάχιστη απόσταση 3=4+8 από τον. Προσωρινή ελάχιστη απόσταση του 8 από τον είναι 3=min(3,3) και είναι μέσω του 7. Οι 9,,3 που συνδέονται με τον με μήκη ακμών,,7 και ελάχιστες αποστάσεις από τον ίσες με 8,33, αντίστοιχα Min( 3, 8,33, )=, που αντιστοιχεί στον κόμβο 3. Από τους 8,9,,3, πλησιέστερος στον είναι ο 3. Αυτός γίνεται μόνιμος με ελάχιστη απόσταση από τον ίση με και διαδρομή 3 Το σύνολο των λυμένων κόμβων είναι Λ ={,7,,6,3} 6 Επανάληψη Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με τουλάχιστον ένα από τους κόμβους του Λ ={,7,,6,3} Ο 8 συνδέεται με τον 7 με ακμή μήκους, και αντίστοιχη ελάχιστη απόσταση 3=+ από τον. Ο 8 συνδέονται με τον 6 με μήκος ακμής 4, και αντίστοιχη ελάχιστη απόσταση 3=4+8 από τον. Προσωρινή ελάχιστη απόσταση του 8 από τον είναι 3=min(3,3) και είναι μέσω του 7. Οι 9, που συνδέονται με τον με μήκη ακμών, και ελάχιστες αποστάσεις από τον ίσες με 8,33 αντίστοιχα. Οι,4 που συνδέονται με τον 3 με μήκη ακμών 8,9 και ελάχιστες αποστάσεις από τον ίσες με 38=8+, 9=9+ αντίστοιχα Min(3, 38,33, 36,9)=8, που αντιστοιχεί στον κόμβο 9.. Αυτός γίνεται μόνιμος με ελάχιστη απόσταση από τον ίση με 8 και διαδρομή 9 Το σύνολο των λυμένων κόμβων είναι Λ 6={,7,,6,3,9} Σε αυτή την επανάληψη του αλγορίθμου έχουμε βρει την απάντηση για τον κόμβο 9. 7 Επανάληψη Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με τουλάχιστον ένα από τους κόμβους του Λ 6={,7,,6,3,9} Ο 8 συνδέεται με τον 7 με ακμή μήκους, και αντίστοιχη ελάχιστη απόσταση 3=+ από τον. Ο 8 συνδέονται με τον 6 με μήκος ακμής 4, και αντίστοιχη ελάχιστη απόσταση 3=4+8 από τον. Ο 8 συνδέονται με τον 9 με μήκος ακμής, και αντίστοιχη ελάχιστη απόσταση 4=+8 από τον.
Προσωρινή ελάχιστη απόσταση του 8 από τον είναι 3=min(3,3,4) και είναι μέσω του 7. Ο που συνδέονται με τον 9 με ακμή μήκους και ελάχιστη απόσταση από τον ίση με 48=+8 Ο που συνδέονται με τον με ακμή μήκους και ελάχιστη απόσταση από τον ίση με 33 Προσωρινή ελάχιστη απόσταση του από τον είναι 33=min(48,33) και είναι μέσω του. Οι,4 που συνδέονται με τον 3 με μήκη ακμών 8,9 και ελάχιστες αποστάσεις από τον ίσες με 38=8+, 9=9+ αντίστοιχα Min(3, 33, 38,9)=9, που αντιστοιχεί στον κόμβο 4.. Αυτός γίνεται μόνιμος με ελάχιστη απόσταση από τον ίση με 9 και διαδρομή 4 3 Το σύνολο των λυμένων κόμβων είναι Λ 6={,7,,6,3,9,4} Σε αυτή την επανάληψη του αλγορίθμου έχουμε βρει την απάντηση για τον κόμβο 4. Οι κόμβοι 6,8,4 έγινα μόνιμοι και ο αλγόριθμος τερματίζεται. Σύνοψη απάντησης Ελάχιστη απόσταση του κόμβου 6 από τον ίση με 8 και διαδρομή 6 7 Ελάχιστη απόσταση του κόμβου 9 από τον ίση με 8 και διαδρομή 9 Ελάχιστη απόσταση του κόμβου 4 από τον ίση με 9 και διαδρομή 4 3 Στο σχήμα για κάθε κόμβο επισημαίνονται οι ελάχιστες αποστάσεις και οι αντιστοιχες διαδρομές 8 3 8
ΑΣΚΗΣΗ (ΜΟΝΑΔΕΣ ) Βιομηχανία ελαιολάδου συλλέγει το πρωτογενές λάδι από παραγωγούς σε κεντρική δεξαμενή (έστω S). Στη συνέχεια το πρωτογενές ελαιόλαδο ρέει μέσω αγωγών μέχρι να φτάσει στον τελικό κόμβο επεξεργασίας F. Οι ακμές του δικτύου αναπαριστούν τους σωλήνες μέσω των οποίων μεταφέρεται το ελαιόλαδο και οι αριθμοί στα άκρα των ακμών αναπαριστούν την δυναμικότητα ροής σε κυβικά μέτρα ανά ώρα από τον κόμβο στον οποίο βρίσκεται πλησιέστερα ο αριθμός προς αυτόν με τον οποίο συνδέεται με την εν λόγω ακμή. Με βάση το δίκτυο που ακολουθεί χρησιμοποιώντας την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης να βρεθεί η μέγιστη ροή ελαιόλαδου (σε κυβικά μέτρα ανά ώρα) απο την κεντρική δεξαμενή προς τον τελικό κόμβο επεξεργασίας F. Να δηλώσετε την κατηγορία προβλημάτων στην οποία ανήκει αυτό το πρόβλημα και για τη λύση του να χρησιμοποιήσετε την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης. ΛΥΣΗ: ( μονάδες) Το πρόβλημα είναι πρόβλημα εύρεσης της μέγιστης ροής σε δίκτυο από τον κόμβο (S) που λέγεται και πηγή, προς τον κόμβο (F), που λέγεται και δέκτης. Οι αριθμοί σε κάθε ακμή δείχνουν την δυναμικότητα της σύνδεσης που προσφέρει η ακμή. Τα νούμερα στα δυο άκρα κάθε ακμής δείχνουν τι μπορεί να διακινηθεί μεταξύ των δυο κόμβων που αυτή συνδέει. Έτσι π.χ. στην ακμή -3 μπορεί να διακινηθούν 8 μονάδες από το κόμβο προς τον 3 και μηδέν μονάδες από τον 3 προς τον ένα. Σε κάθε βήμα του αλγορίθμου προσπαθούμε να επιλέξουμε μονοπάτια με την δυνατή μεγαλύτερη ροή αν και τα μονοπάτια επιλέγονται αυθαίρετα επανάληψη
Επιλέγουμε αυθαίρετα ένα μονοπάτι με την μεγαλύτερη δυνατή δυναμικότητα ροής από την πηγή προς το δέκτη. Το μονοπάτι S---4-F είναι ένα τέτοιο μονοπάτι. Η μέγιστη δυναμικότητα ροής του μονοπατιού είναι.κυβικά μέτρα και αυτό καθορίζεται από τις ακμές S- ή 4-F [που έχουν την μικρότερη δυναμικότητα ροής, που είναι κυβικά. Έτσι, έχουμε. ον Μονοπάτι S---4-F, με ακμές S-, -, -4, 4-F με ροή κ.μ. από την πηγή S προς το δέκτηf. Αναπροσαρμόζουμε κατάλληλα τις ροές των ακμών που προσδιορίζουν το μονοπάτι που επιλέξαμε. Η αναπροσαρμογή γίνεται σε δυο φάσεις. Στην φάση αφαιρούμε από την δυναμικότητα της αρχής κάθε ακμής το. Στην φάση προσθέτουμε στην δυναμικότητα του τέλους κάθε ακμής το. Να το πούμε διαφορετικά, παίρνουμε το μονοπάτι από το τέλος προς την αρχή, δηλαδή αντίστροφα και προσθέτουμε το στην αρχή κάθε ακμής. Το μονοπάτι φαίνεται στο παρακάτω σχήμα με τις μπλέ γραμμές αριστερά. 7 3 Σχήμα : η και η επανάληψη η επανάληψη. Επιλέγουμε το μονοπάτι S--8-7-F που έχει θετική δυναμικότητα ροής. κυβικά μέτρα που καθορίζεται από την ακμή με την μικρότερη δυναμικότητα -8. Έτσι, έχουμε. ον Μονοπάτι S--8-7-F, με ακμές S-, -8, 8-7 με ροή κ.μ. από την πηγή S προς το δέκτη Αναπροσαρμόζουμε, όπως προηγουμένως τις ροές των ακμών που συμμετέχουν στο μονοπάτι. Στο σχήμα απεικονίζεται το δίκτυο μετά τη δεύτερη επανάληψη. Είναι το κόκκινο μονοπάτι 3 η επανάληψη. Επιλέγουμε το μονοπάτι S-6-F που έχει θετική δυναμικότητα ροής. 8 κυβικά μέτρα που καθορίζεται από την ακμή με την μικρότερη δυναμικότητα 6-F. Έτσι, έχουμε. 3 ον Μονοπάτι S-6-F, με ακμές S-6, 6-F με ροή 8 κ.μ. από την πηγή S προς το δέκτη F. Αναπροσαρμόζουμε, τις ροές των ακμών που συμμετέχουν στο μονοπάτι. Στο σχήμα 3 απεικονίζεται το δίκτυο μετά τη τρίτη επανάληψη.
7 4 8 8 3 Σχήμα 3: 3 η επανάληψη 4 η Επανάληψη Επιλέγουμε το μονοπάτι S-6-8-7-F. Η μέγιστη δυναμικότητα ροής του μονοπατιού αυτού είναι 3 κυβικά μέτρα που καθορίζεται από την ακμή 7-F Έτσι έχουμε, 4 ον Μονοπάτι ι S-6-8-7-F με ακμές S-6,6-8,8-7,7-F με ροή 3 κ.μ. από την πηγή S προς το δέκτη F Αναπροσαρμόζουμε, τις ροές των ακμών που συμμετέχουν στο μονοπάτι. Στο σχήμα 4 απεικονίζεται το δίκτυο μετά την τέταρτη επανάληψη.
7 8 3 8 8 Σχήμα 4: 4 η επανάληψη η Επανάληψη Επιλέγουμε το μονοπάτι S-3-F το οποίο έχει θετική δυναμικότητα ροής που καθορίζεται από την ακμή S-3. Έτσι έχουμε ον Μονοπάτι ι S-3-F με ακμές S-3,3-F με ροή κ.μ. από την πηγή S προς το δέκτη F Αναπροσαρμόζουμε, τις ροές των ακμών που συμμετέχουν στο μονοπάτι. Στο σχήμα απεικονίζεται το δίκτυο μετά την πέμπτη επανάληψη.
7 8 3 8 8 Σχήμα : η επανάληψη 6 η Επανάληψη Επιλέγουμε το μονοπάτι S----3-F που έχει θετική δυναμικότητα ροής κυβικά μέτρα που καθορίζεται από την ακμή - με την μικρότερη δυναμικότητα ροής Έτσι έχουμε 6 ον Μονοπάτι S----3-F με ακμές S-, -, -, -3, 3 -F με ροή κ.μ. από την πηγή S προς το δέκτη F. Στο σχήμα 6 απεικονίζεται το δίκτυο μετά την 6 επανάληψη. 7 6 3 8 3 3 8 8
Σχήμα 6: 6 η επανάληψη Δεν υπάρχουν άλλα μονοπάτια και ο αλγόριθμος τερματίζεται. Τα αποτελέσματα συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα Επανάληψη Επιλεγέν Μονοπάτι Δυναμικότητα ροής Μονοπατιού η S---4-F η S--8-7-F 4η S-6-F 8 3η S-6-8-7-F 3 η S-3-F 6η S----3-F Ολική Μέγιστη Ροή από S προς F 9 κυβικά μέτρα