ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3.1 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: i) (* 3 +ημτ+συνχ)<& = χ 3 ίώ^ \$xdx+ j συνχάχ χ 4 = -συνχ + ημχ+c ii) j* * + x + ^dx = jxrfx+jidx + j"-?- & x = + x + ln x\+c hi r iii) ^3x-jxdx = 'i^x 1 dx='i^ + c = x +c +1 iv) j^-^~-dx= jx dx + jxdx+j4dx x3 = +x 3 +4x+c v) [ f e x + <τυνχ jdx = fe'dx -3j + ^mnxdx - ί : x dx~ 3j j(ημχ)'ί& = e* -31η χ + -ίημχ +Γ.
3,1 "I συν * συν * -j-w- dx J συν χ vi) = εφ*+σφχ+c. f χ + 3 Γ x + + l Γιj Γ νιι) ι dx = dx = life + J x + j x x + J J = x+ln x + + c. J ημ nix χ dx dx x +. Επειδή J f\x)dx = f(x)+c, έχουμε διαδοχικά \ j=dx = f(x)+c J y/x 1 _l Jx 1 dx = f(x) + c = f (x) + c, f(x) = -Jx - c. Επειδή /(9) = 1, έχουμε -j9-c = l, οπότε c- 5. Επομένως /(*) = l Jx-5. 3. Επειδή J f"(x)dx = f'(x) + c, έχουμε διαδοχικά: J* 3c/xr = /'(x) + c, f\x) = 3x-c. Επειδή /'(1) = 6 έχουμε 3-c = 6, οπότε c = -3. Επομένως /'(*) = 3*+3. Επειδή J f\x)dx = /(x)+c, έχουμε διαδοχικά: j" (3JC + 3)c6c = f (x) + c 3 /(x) ~~^χ1 +3x-c. 3 Επειδή /(0) = 4 έχουμε -0 + 3-0-c, = 4, οπότε c, = Επομένως /'(*) = +3x + 4. 84
3 j 4. Έχουμε διαδοχικά: jf"(x)dx = f'(x)+c J( Ix + )dx = f\x)+c Επειδή 4x 3 + X = /'(X) + C, /'(x) = 4x 3 +x-c. /'(1) = 3, έχουμε 4 + -c = 3, οπότε c = 3. Επομένως Επίσης έχουμε διαδοχικά /'(χ) = 4x 3 + x-3. J/'(x)<fr = /(x) + c, J(4x 3 +x-3)<& = /(x) + c, Χ 4 +x -3Χ = /(x) + c,, /(χ) = χ 4 +χ -3x-c,. Επειδή το Λ(1,1) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της/, έ- χουμε: /(1) = 1 <=> 1 + 1-3-c, =1<=>C, =-. Επομένως /(χ) = χ 4 +x -3χ+. 1 5. Επειδή N'(t) = ~ e 0» έχουμε διαδοχικά jn'(t)dt = N(t)+c f e" 0 dt J 0 = N(t) + c e" 0 = N(t)+c N(t) = e" 0 -c Επομένως, η αύξηση του πληθυσμού στα πρώτα 60 λεπτά, είναι ίση με: ν(60)~ ν(0) = (e 60 ' 0 -c)-(e -c) = e 3 1 = 19 εκατομ. 85
6. Αν Κ(χ) το κόστος, σε ευρώ, της εβδομαδιαίας παραγωγής χ, τότε Κ'(χ) = χ +5χ, οπότε έχουμε jk'(x)dx = K(x)+c ή οπότε J(x +5 x)dx = K(x)+c, Κ(χ) χ = * 3 Η χ 5 c. 3 Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ΑΓ(0) = 100, οπότε -c = 100 και άρα c = -100. Επομένως, η συνάρτηση κόστους της ε- βδομαδιαίας παραγωγής είναι: χ 3 5χ Κ(χ) = + +100. w 3 7. Έχουμε διαδοχικά: jr'(t)dt = R(t)+c ^0+10/- i j j^ = i?(0 + c, Λ(/) = 0/+5ί ^/ 3 -c., 1 λ Προφανώς Λ(0) = 0, οπότε c- 0 και άρα R(t) = 0t+5t - t. 4 Επομένως τα βαρέλια που θα αντληθούν στους πρώτους 8 μήνες είναι: Λ(8) = 0-8 + 5-8 --8 3 =160+5-8 --8 = 35χιλιάδες. 4 3.1 β' ομαδασ 1. Επειδή T'(t) = -kae' h, έχουμε διαδοχικά: J T\t)dt = T(t)+c j-kae~ h aj(e t 'Ydt dt =T(t)+c = T(t)+c, 86
T(t) = ae b -c. Επειδή Γ(0)+α και Τ(0) = αε~^-c = a-c, έχουμε Επομένως T 0 +a = a -coc = -T Q. T(t) = ae~ k> +Τ 0.. Έχουμε διαδοχικά jp'(x)dx = P(x) + c χ J 58e ~ dx = P(x) + c χ 5,8 (-000) j(e )'dx = P(x) + c P(x) = -11.600e 000 -c. To συνολικό κέρδος που οφείλεται στην αύξηση της επένδυσης από 4.000.000 σε 6.000.000 είναι: 6000 4000 Ρ(6000)-/"(4000) = -11600^ -c + 11600e _ +c e-l N = 11600(e e ) = 11600 \ e / = 11600 0,086 = 997,6 χιλιάδες ευρώ = 997.600 ευρώ 3. Έστω P(t) το κέρδος της εταιρείας στις πρώτες ί ημέρες. Τότε Ρ(ί) = Ε(ί)-Κ(ί), οπότε P'(t) = '(/) - Κ'(/) = 1000 + 0,31-800 + 0,6t = 00 + 0,91. Έτσι έχουμε διαδοχικά: \p'(t)dt =P(t) + c J(00 + 0,9t)dt=P{t) + c P(t) = 00/ + 0,9 + c.. 1 To συνολικό κέρδος της εταιρείας από την 3 η έως την 6 η ημέρα είναι: 87
P(6) - P() = 00 6+0,9 ~+ c, - 00-0,9 y - c, = 116,-401,8 = 814,4 ευρώ. 4. i) Από την ισότητα /"(x) = g"(x) έχουμε διαδοχικά /'(*) = g'w+c, /(x) = g(x)+c,x+c. (1) Για x = 0 είναι /(0) = g(0)+0+c, οπότε c = 0, αφού /(0) = g(0). Επομένως /(*) = g(*)+c,* () Για x = l, από την (), έχουμε /(1) = ^(1)+^, οπότε c, =1, αφού /(1) = ^(1) + 1. Έτσι από τη () προκύπτει /(*) = (*)+* ii)h /(χ) είναι συνεχής στο [α, και ισχύει /(α) = #(α)+α = 0+α = α<0 ί(β)=ε(β) + β = 0 + β = β>0. Άρα, /(α)/(/?)<0, οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α, β). 3. Α' ΟΜΑΑΑΣ 1. Έχουμε i) Jx e~*c/x=-jx (e *)'</χ = -x e~" + j xe~" dx =-χ e-jx(e~*)'<&: = -x e~*-xe~ x + f e~"dx = -x e' x -xe~ x -e~ x +c = e x (x + x + ) + c. ii) J(3x -x + l)e 'ii«: = -i-j(3x -x + l)(e x )'(fe 88
= I (3x - x + l)e ' - - J (6x - )e jt < c = (3x - x + \)e x - i J (6* - )(e ji )'Λ = - (3x - x + l)e * --(6x-)<? * + - f6e *< t 4 4 J = -e *(6x - 4 x + - 6 x + ) + -<? jt +c 4 4 = i-e *(6x -10x + 7) + c i iii) Jx 3 lnxi c = fixate χ 4 f χ 4 = l n x - J (lnx)'i c = ix 4 lnx - f x*dx = x 4 lnx- +c 4 4 J 4 16 iv) [χ ημχ & = Jx (owx)'dx: = -χ συνχ+j xai)vxiir = -χ συνχ +J χ(ημχ)'ύί»τ = -χ συνχ + χημχ - J ημχί τ = -χ συνχ+χημχ+j συνχ+c = ^-χ +^συνχ + χημχ + ί. ν) 4χσυνχ<& = χ (ημχ)'6ίτ = χημχ - J ημχί& = χημχ + συνχ+ε 89
.. /, -- - ----- ***** vi) J In xdx = J" (x)' In xdx = χ In x - J \dx = χ In χ - x+c,") ί^λ= "ί(ί) ω - +c viii) I = Je*ouvx<fc = e x ouvx+j β"ι\μxdx Άρα = ε χ συνχ+β*ι\μχ-4^ e'amlxdx. I = e z (συνχ+ημχ) - 41 51 = e* (συνχ+ημχ) I =^e* (ouvx+ημχ)+c.. ϊ)θέτουμε u = 3x, οπότε du = 3dx και άρα dx=~du. Επομένως, J x\y&xdx = J x\\mdu = i ouvu+c = - <jw3x+ c Η)θέτουμε «= 4χ -16χ+7, οπότε du = (8x-16)<& = 8(χ-)ώ:. Ε- πομένως * J(4x -16x+7) 3 (x-)<fc = jv<fo=i^-+c = (4x -16x+7) 4 +c. 3 ϊϊϊ)θέτουμε u = x + 6x, οπότε du = (x+6)(fr = (x+3)a!r. Επομένως, f * +3 dx = ±{^-=±{ u *d«=*-^+c J (x +6x) 4 J m 4 J -3 1 1-1 = -+C = r r+c. 6 u 6(x +6x) iv) θέτουμε κ = +χ, οπότε du = 3x dx. Επομένως, 90
Γ I χ -dr, = If Ι du = 1 f 4 I u j du = χ u +c = ( 3 + r x +c ). lyfcs 3J^ 3 J 3 3 ν) Θέτουμε a = x+l, οπότε du = dx και x = u-1. Επομένως, J x-jx+ldx = J (u-\)-judu = Ji/ du-ju du = a \ \ a +c 5 3 :j# [ji/-i + c - = (x+l) (3x-) + c. 3. i) Θέτουμε a = e x, οπότε du = e'dx. Επομένως, β*ημ * & = J x\\utdu = -συν«+c = -σονex+c ii) θέτουμε a = e x +1, οπότε du = e'dx. Επομένως, J -d!r = J = ln a +c = ln(e* +l)+c. iii) θέτουμε u = In χ, οπότε du= dx. Επομένως, χ f * j wlnx f * ' va» j = -Ja+c = ->/lnx + c. ι +c ίν) θέτουμε a = ln(e* +1), οπότε du = dx. Επομένως, e' +1 f dx = f = ln a + c J (<?*+1)1η(έ!*+1) J u = ln ln(e* +1) + c = 1η(1η(? χ +l))+c 91
αφού ln(e x +1)>1η1 = 0. ν) Θέτουμε u-, οπότε du = \-dx. Επομένως, χ χ J j i '. -~dx- - j T\\mdu = συν«+ c = συν ι-c 3. Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Θέτουμε κ = 1 + συν χ, οπότε du = -ημχσυνχ & ή du = -ημχί&. Επομένως, J 1 + συν χ J u ii) Θέτουμε u = Ιη(συνχ), οπότε du = - dx = -εφχάχ. Επομένως, συνχ εφχ 1η(συνχ)ώ = - J udu = - +c = - [1η(συνχ)] + c iii) Θέτουμε u =ημχ, οπότε du - crovxdx. Επομένως, t J awxe^dx = e"du =e" +c = β ημι +c., x 3 +1,, 3x -x 3-3X (X 3 +1), -3. ι) Θετού με u=, οπότε du = -dx = dx. X 3 X 6 X 4 Επομένως, il x3 +] 1 dx : : = -^jyfudu =~ ju du x 3 x 4 3J 3 i + i, 1 u 1 u x 3 +1 3 1+i + c ~ 3 +c ~ * x 3 + c. μενως, x +1, οπότε du = Jr= dr Επο- Vx +1 Vx +1 9
Χ ί, J ^!s7ϊ dx- ί du = u+c = -Jx +1 +c. J iii) Θέτουμε u = x +1, οπότε du = xdx, οπότε έχουμε j" * ln(x + l)ifc = -j In udu = -ί j" (u) 'In udu = u lnu- f du J = -^u In«- ί«+c =i(x + l)ln(x + l)-i(x +l) + c. 3. i) Έχουμε:!- Inx dx= I I lnx ife,3 «Inje 1 - f Vu')'<fr 3 1 3 x> 1 = x 31 lnx \ f j x 3 lnx χ dx = χ-+c, 3 3 J 3 9 *V., = T lnx "I +c ii) Έχουμε J(In/) dt = j(/)'(ln/) dt = /(In/) - J/ \nt(\nt)'dt = /(In/) -jintdt = /(In/) -j(/)"1η/λ = /(ln/) -iln/+j/-rf/ = /(ln/) -/ln/ + / + c iii) Θέτουμε u = e x, οπότε du = e'dx. Επομένως e x <m\e x dx = J e x avve x e x dx = J umvudu = J u{y\ym)'du = ιn\\iu - J T\\wdu 93
= «ημ«+ συν«+c = e'mae* +mve* +c. 4. i) Έχουμε ημχ r (συν*)' f εφχί/χ = f dx = - f J rfr J J συνχ mivr συνχ = In i συνχ I + c και x J -γ-dx = χ(εφχ)'ί τ = χεφχ-j εφχόχ συν'χ = χεφχ + ln συνχ j +c,. ii) Θέτουμε u = ημχ, οπότε du = συνχώτ. Επομένως, Επίσης έχουμε ίίί)έχουμε Γ συνχ Γ du 1 1 τ-άχ = = +c = + c. i ημ χ J w u ημχ Γ1 + συνχ r 1, Γ συνχ, ί/χ= dx + dx J J ημ χ ημ χ J ημ χ 1 = -σφχ 1- c. ημχ ημ 3 χκ/χ = J ημ χημ«/χ = J (1- συν χ)ημχ</χ. Θέτουμε u = συνχ, οπότε du = -\]^ixdx. Επομένως, ημ, χί/χ = - (1-Μ )βί«= ju du-jldu Επίσης έχουμε συν χ = u+c = συνχ + c. 3 3 u 3 J συν 3 xdx = J συν xcruvxc/x = J (1 - η μ x)ouvx<fr. Θέτουμε u =ημχ, οπότε du = συνχώτ. Επομένως, j συν'χί/χ = J(l-!/ )f/«= u- + c =ημχ-^ * +c 94
5. Έχουμε i) ^χ\μ χάχ= J- 1 1 -, = χ ημχ + 6 4 ί, fl + <n>vx 1 1 συν xdx = dx = x + ημζλτ + c J 4 iii) ^τ\μ χσυν χάχ = ~ [ημ χ<& 4 ί fl -συν4χ -dx =Ix-I ί«συν4χί& 8 8 J 1 1 χ ημ4χ >. + ο. 8 3 6. Έχουμε i) j ημχσυ\'χώ = ^ [ημ(-χ) + ημ3χ]ίλτ = j" ημχί/χ + γ j" \\\iixdx 1 1 = συνχ συν3χ + c 6 ϋ) ί σΐ)ν3χσυν5χώτ = γ J (συνχ + συν8χ)ί/χ = ί συνχί/χ + ί συν8χί/χ J J 1 = ημχ -, + 1 ημδχ ο + c 4 16 iii) j" ημχημ4χί τ = -ί " (συνχ-συν6x)dx 1, 1, = ηιιχ ημόχ + c. 4 1 95
7. i) Έχουμε: f x-3, Γ(χ -3χ+)',,, ; ~ d x = j <fc = ln x -3x+\+c. 1 J χ -3x+ J χ -3x + ii) Έχουμε: 3x + 3x + 5 =, xsr-fl, }. x x -3x+ (x-l)(x-) ' Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Λ, Β έτσι ώστε: 3χ + Α Β -+ -, για κάθε xer-{l,}. (x-l)(x-) x-l χ- Με απαλοιφή παρανομαστών έχουμε τελικά: (Α + Β)χ-(Α + Β) = 3χ +, για κάθε xer-{l,} (1) Η (1) ισχύει για κάθε χ e IR -{1,}, αν και μόνο αν Επομένως Α + Β = 3, Α = 5 και Β = 8. ra-b = J χ -3χ + J x-l J χ- = 5 In I x-l + 81n x- + c. iii) Από τη διαίρεση (x 3 -x):(x +3χ+) βρίσκουμε: οποτε χ 3 -χ = (χ + 3x + )(x-3) + 5x+6 Εξάλλου έχουμε: χ 3 -χ 5χ+6 χ +3χ+ = *~ 3 +,.,. Χ +3Χ + (ό 5x + 6 5χ + 6 χ -3χ+ (x + l)(x + ) Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Λ, Β έτσι, ώστε 5χ + 6 Α Β - = -+ για κάθε xelr-{-l,-}. (x + l)(x + ) χ + 1 χ+ Με απαλοιφή παρανομαστών, έχουμε τελικά 96
(Α + Β)Χ+Α + Β = 5Χ+6. () Η () ισχύει για κάθε xer-{-l,-}, αν και μόνο αν Α + Β = 5 ο Α = 1 και Β = 4. Α + Β = 6 Επομένως λόγω και της (1) έχουμε: \j?-z^dx=\{x-3)dx+\ +\-^ dx J χ 1 + 3x+ J J * + 1 J x + χ 1 = -3x+ln x+l + 41n x+ +c. iv) Έχουμε - = για κάθε xer-{l,-l}. χ 1 x-l x+1 Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε (α + β)χ+α-β =. (1) Η (1) ισχύει για κάθε x e R - {L, -1}, αν και μόνο αν [Α+Β = 0 <=>/1 = 1 και Β = -1. Α-Β = Επομένως, έχουμε f dx= \-^ dx- f -dx = ln x-l -ln x + l + < J x J -l x-l J x + 1 3.3 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dx = -Axdx. y ί ^ - - 4 ί " λ 97
y = -χ +c, ι y = ~ i, cer. χ +c ii) Η εξίσωση γράφεται dy y = χ dx ydy = xdx. J ydy = J xdx y 1 = +c. x 1 y = x + c. y j - χ =c, y = Vc+x, αφού y>0 (cer). iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: = xy dx = xctc. y i 7 M xdx ln y =x +c, y Ι I = e \y\=e«e* y = ±e c ' e x * y = ce*, όπου c = ±e* 98
iv) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dy = e ^συνχ dx e"dy = συνχάχ j e y dy = j avvxdx e" = ημχτ+c ^ = 1η(ημχ + ο), cer. i) Μία παράγουσα της a(x) = είναι η Α(χ) = χ. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με e x και έχουμε διαδοχικά: y'e x + e x y = 3e x (ye x )' = 3e x j(ye x )'dx=j3e x dx ye x =-e x +c 3 y = + ce' x, cer. ίί)μία παράγουσα της «(x) = είναι η A(x) = x. Πολλαπλασιάζουμε με e * οπότε έχουμε διαδοχικά y'e x + ye x =e x (ye x )' = e x j(ye x )'dx = j e x dx ye x =e x +c y = e~ x +ce~ x, cer. iii)mia παράγουσα της a(x) = l είναι η A(x) = x. Πολλαπλασιάζουμε με e*, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e x +ye x =e x χ (ye x )' = e'x 99
'Κ ί : χ : χ j(ye')'dx = je' -xdx ye* +c, =xe* -Je'dx ye' = xe" -e x +c y = x-+ce~', cer. iv) Μία παράγουσα της a(x) = x είναι η A(x) = χ. Πολλαπλασιάζουμε e'', οπότε έχουμε διαδοχικά y'e' + xe' y = xe xi (ye' )' = xe' ye' f +c, = I xe' dx 3. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: x 1 1 * ye = e +c ^ = *v dx %= x dx y jy~ dy = ijx I dx y = +ce, celr. 1 3 = x +c. y 3 1 _ x 3 + 3c, y 3-3 -3 Επειδή y(0) = -3, έχουμε = -3, οπότε c = 1. Άρα c 300
y = -3 x 3 +1 4. Η εξίσωση γράφεται y' + 3y~. Μια παράγουσα της α(χ) = 3 είναι η Α(χ) = 3χ, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e 3 ' +3 ye 3 ' = e 3 ' y'e 3 ' +y(e 3 ')' = e 3 ' (ye 3 ')' = e 3x J (ye 3x )'dx = je 3 "dx ye 3x = e 3 ' +c 7 3 c y=- + t,τ- 1 + v 3 c Επειδή y(0) = έχουμε = + -, οπότε c = 0. Άρα y =. 3 3 3 e 3 5. i) Μια παράγουσα της a(x) = i-r είναι η Α(χ) = εφχ. Πολλασυνχ πλασιάζουμε με c*, οπότε έχουμε διαδοχικά: y'e^+e^ l-y= συν χ 1 συν χ (ye^y^e^ συν χ ye"* +c, = fe"" ί dx i συν x ye"* + c, =je" fx (εφχ)'<& ye- =e" x +c y = X+ce'"^. Επειδή y(0) = -3, έχουμε -3 = 1+c, οπότε c = -4. Άρα,=1-4r. 301
ii) Επειδή x>0, είναι x+l >0, οπότε η εξίσωση γράφεται, 1 1. y+ ν = lnx. χ+1 χ+1 Μία παράγουσα της α(χ) = ί είναι η Α(χ) = ln(x +1). Πολλαχλαχ+1 σιάζουμε με β** χ * η =χ+1, οπότε έχουμε διαδοχικά y-(x+l)+y = lnx CKx+1))' = lnx y(x+l)+c l = Jin xdx y(x+l) = xlnx-x+c y= xlnx-x+c x+1-1 + c Επειδή _K1) = 10, έχουμε - = 10, οπότε c = 1. Επομένως xlnx-x+1 x+1 3.3 Β' ΟΜΑΔΑΣ Ι. Μία παράγουσα της a(t) = 1 είναι η A(t) = t. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης με e' και έχουμε διαδοχικά: l\i)e' +I(t)e' = ε'ημί (/(/)*')' = *'ημί 7(/)e' +c, = J ε'ημίίλ (1) Εξάλλου έχουμε J β'ημ/ώ = «'ημ/ - J e'amvtdt = «'ημ/ [ϊ'συνί+j «'ημ/<//], οποτε Jβ'τ\μίάί = e' (ημ/ - συν/) +c,. 30
Άρα J ε'ι\μίάί = -ί e' (ημ/ - συν/)+c, οπότε από την (1) προκύπτει ότι I(t)e' =-^ν(ημ/-συν/)+ :. Για / = 0 έχουμε /(0)e = e (ημο - συνθ) + c 0 = -+c Έτσι, τελικά είναι 1 c =. I(t)et = ~ e ' (ημ* - συν/)+ 7(/) = ^(ημ/-<η>ν/)+^<γ'. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: ye y ν 4y = e ΐχ dx Άρα ye"* dy = e 1 *dx. jye" dy = ^e x dx e 1 y, = e 1, +c. 1 =e 7 ' +c, = e * +c, cer. Επειδή y() =, έχουμε e 4 =e 4 +c, οπότε c = 0. Επομένως e^ =e x, οπότε y =x και άρα y = -Jx, αφού περνάει από το σημείο Α(,). 303
3. Μία παράγουσα «(*) = είναι η Λ(*) = -1ηχ. Πολλαπλασιάζουμε χ - Μ, ι"- 1,,.. με e =«*=. οποτε εχουμε όιαόοχικα χ, 1 1 1 y γ.ν = χ- x x χ 4 - ' 1 y = x+c χ y- χ +cx, cer. 4. Ισχύει y' = xy, y > 0, οπότε έχουμε διαδοχικά:, lnv = + c,. v>0 y = et'l i v = c-e, c = e c ' >0. Εξάλλου ισχύει y(0) = 1, οπότε c = 1. Αρα y = e. 5, ι) Μία παράγουσα της a(t) = a είναι η A(t) = at, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e" +ae"y = fle'"-e' (a i)l (ye" Υ = fie 304
. : ye a, +c l = J fie^'dt ye" =JL e <'-»'+c α-λ Άρα β -b c y = e +. α-λ e" y(t) = β 1 c η, cer. a-ke h e 1 c ii) Επειδή a > Ο, λ > Ο ισχύει lim = Ο και lim = Ο, οπότε /->+<» g " /->+ ^ lim y(t) = 0. 6. Επειδή θ-τ>0 η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: άθ Θ-Τ = -xdt r <1Θ = -tct+c,, 3 Θ-Τ Ιη(θ-Τ) Θ-Τ = -Kt+c l = e'"* Cl Εξάλλου Άρα θ(ί) = Τ+ce~", c = e CI. θ(0) = θ 0 οθ 0 = Τ +c-e <*c = 0 o -T. θ(() = Τ + (θ 0 -Τ)β κ '. 7. i) Έστω Ρ,(ί) ο πληθυσμός της χώρας, αν δεν υπήρχε η μετανάστευση και P (t) ο πληθυσμός που έχει μεταναστεύσει μέχρι τη χρονική στιγμή ί. Τότε ο πληθυσμός της χώρας είναι οπότε P(t) = P i (t)-p (t) p\f)=p;(t)-p[(t). (ί) 305
Είναι όμως P\(l) -k-p(t) k>ο > 9 αφού έχουμε ρυθμό αύξησης του Ρ, (Ι) ανάλογο του P(t). Επίσης είναι P[(t) = m, οπότε η (1) γράφεται ή ισοδύναμα P'(t) = kp(t)~m, P'-kP = -m Μία παράγουσα της α(/) = -k είναι η A(t) = -kt. Πολλαπλασιάζουμε με e~ b τα μέλη της εξίσωσης, οπότε έχουμε διαδοχικά: P'e b -ke~ b Ρ = -me' b (Pe b y = -me b Pe~ b +c, = -mj e b dt % Pe b = e b +c P(t) = +ce b. k Επειδή P(0) = P a, έχουμε P 0 = +c, οπότε c = P 0 -. k k P(t) = j + R}" \P 0 ~\e", k>0 Άρα iii) Είναι P'(t) = (kpj -m)e b αν m <kp 0 τότε P'(t) > 0, οπότε ο πληθυσμός αυξάνεται. αν m > kp 0 τότε P'(t) < 0, οπότε ο πληθυσμός μειώνεται. αν m = kp 0 τότε P'(t) > 0, οπότε ο πληθυσμός είναι σταθερός. 8. ϊ) Ο όγκος του νερού της δεξαμενής τη χρονική στιγμή t είναι V(t)=xr y(t) = xy(t), όπου r = 1 m η ακτίνα του κυλίνδρου, οπότε 306
Εξάλλου έχουμε V\t) = ny\t). -a^gy = 7Γ - 0.1 ^/0 ν = -0,0π ^5γ. Έτσι ο νόμος του Torricelli γράφεται ή ισοδύναμα πν' = -0,0nyf5y, 50 ν " (1) ii) Προφανώς το y = 0 αποτελεί λύση της (1). Για _y>0 η εξίσωση γράφεται fy so οπότε έχουμε διαδοχικά: ί ν 1 dy = ^-/+c J 50 v"*=z^, + c 50 m = z a t + l 100 y= λ/5 c /+ 100 Όμως ισχύει v(0) = 36 din, οπότε 36 =, συνεπώς c = 1. Άρα v(0 A 100 /+6 iii)h δεξαμενή αδειάζει τελείως, όταν y(l) = 0 Έτσι έχουμε: 3,(,) = 0 «- ^ ΐ / + 6 = 0 «/ = ^ = ^ ^ = 1 0 ^ sec. 100 Λ/5 5 9. Η Ε = 0 αποτελεί μία προφανή λύση της διαφορικής εξίσωσης. 307
Για Ε > Ο η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: de 1 RC -dt ln t+c, RC 1 E(t) = - e +c1 RC E(t) = k-e RC, k = e. Εξάλλου»i il E(t 1 ) = E 0 o 0 = *e «<*k = E 0 e KC. Αρα h-t E(t) = E 0 e* c. 10. ϊ)α)αν αντικαταστήσουμε τις τιμές των R, L και Ε, κανόνας του Kirchhoff γράφεται ή ισοδύναμα 4/'+1/ = 60, /'+37 = 15. (1) Μία παράγουσα της α(/) = 3 είναι η A(t) = 31. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη (1) με e 3 ', οπότε έχουμε διαδοχικά: I'e 3 ' + 3e 3 '/ = 15e 3 ' (7c 3 ')' = 15e 3 ' 7e 3 '+c, = 5 J 3e*'dt Ie 3 ' =5e 3 ' +c. β)είναι lim 7(/) = lim /->+<«/->+OO( /(0 = 5 +-. e 5+^ = 5. 308
Από την ισότητα lim 7(ί) = 5 συμπεραίνουμε ότι για «μεγάλες» τιμές /->+ΟΟ του t η ένταση γίνεται σταθερή και η γραφική παράσταση της y = I(t) έχει ασύμπτωτη την ευθεία ^ = 5. ii) Αν Ε = 60ημ3ί ο κανόνας του Kirchhoff γράφεται διαδοχικά: /' + 37 =15Εημ3ί I'e 3 ' + 3e 3 '/ = 15 3 'ημ3/ (Ie 3 ')' = 15β 3/ ημ3ί Ie 3 ' +c, = 5j 3β 3 'ημ3/λ. () Θέτουμε J = J3β 3 'ημ3/α, οπότε J = (β 3 ')'ημ3/λ = β 3 'ημ3ί -3J «3, συν3 tdt = ε 3 'ημ3ί - J(e 3 ' )'συν3 /Λ = ε 3 'ημ3ί -[ε 3 'συν3/+3 β 3 'ημ3/ί//] = e 3 ' (ημ3ί - συν3ί) - 3 J. Άρα Λόγω της () έχουμε J = β 3 '(ημ3ί-συν3ί)+ίι, 4 c,elr. Άρα Ie 3 ' - «3 '(ημ3/-σον30+ε 4 /(0 = 4 (ημ3/ - συν30 + 4 e 3.4 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε ί) J 4 f(x)dx = - f(x)dx = -11 309
mmgm^^mxrn «) f(x)dx = /(x)dx +f f(x)dx = - /(X)i c+jj 8 f(x)dx =-9 + 13 = 4 iii) /(*)<& = f(x)dx+ /(x)«ic = 9 - /(*)<& = 9-11 = - iv) f(x)dx = f{x)dx+^f(x)dx + f(x)dx = 11 - C'f(x)dx +13 = 4-9 = 15.. Έχουμε r' 1. r 1 I In - f dt = \ (In 1 - In t)dt = -j' In /df = ^ In tdt. i * x* 4 η 5 ^ dx- j^ ~dx-3 γράφεται διαδοχικά: γ4ζ! λ + ]*_5_ α β 3 J' x +1 Ji χ +1 γ* - 4 + 5^= 3 Ji χ +1 j\dx = 3 (*-l) = 3 = 4. 4. Έχουμε i) [/(x) - 6g(x)]dx = 3 f(x)dx - G^g{x)dx = 5-6 (-) = ") jj/(x) - (*)]<& = /(x)< c - j^g(x)dx = -1 /(*)<&+ g(*)<fr = --5- = -1. 310
3.5 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε r i) f (3x -x + l)<i*: = [x 3 -χ + x]q =[ 3 - +] [Ο 3 -Ο +0] = 6 Jo jl -j7 jl xji λ x λ = [lnx][ + -1 = Ine-lnll^xj, = 1 - Je 1. = 3- Χ Ν iii) (συνχ - ημχ)ί& = (ημχ+συνχ)ά = [ημχ+συνχ], = ημ +συν -ημθ-συν0 = 1- = -1 ' iv) ί(* + χ) <&e f(*,+ p- + } fc = f*,<fr+ f*",<fc+ f«fc "χ 3 " ν λ + 3 1-1 + (-1) = 1 [ τ Ι - Η «9 6. Έχουμε ι;! _±^ λ + '_^_ α = ί ί_±ζϊ χ +7χ, α. ι ί χ " χ +5 ^χ +5 Λ χ +5 Λ χ +5 -<& = Γ χ ^ +5 τ Ή " xdx = 1-1- 3. Έχουμε: 311
ftlffpfillf f / W W * = f(x)f(x)dx = [(/(x)) ]'dx =[(/(*)) ]f = (/(/?)) -(/(«)) 4. Επειδή η γραφική παράσταση της / διέρχεται από τα σημεία (0,0) και (1,1) έχουμε /(0) = 0 και /(1) = 1. Επομένως σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα είναι: j/'(x)dx = [/(*)]{, = /(1) - /(0) = 1-0 = 1. 5. i) Θέτουμε u = συνχ, οπότε, έχουμε: η*.(γ Έχουμε = V 1-συν χ (συνχ)' = Vl-συν χ-(-ημχ) = -ημχ ημχ. Γσυνι9 θ 6. i) Έχουμε: 1+- r v. - a z t h - t f Y τγχ mw-jx 1 _ -cnwx λ/χ -Jx x x Vx +1+χ /,( x)= (x+vx +!)' _ λ/χ +1 _ λ/χ^+ϊ χ + λ/χ +1 χ + λ/χ +1 x + Jx 1 +1 vx +1 ii) Αν χρησιμοποιήσουμε το ερώτημα i) έχουμε: ί'-7= = fv'(*)rfr = [/(x)]^ = /(1) -/(0) 0 v1 + x = ln(l + λ/ ) - ln(0 + λ/γ) = lna+λ/ ). 31
3.5 Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε διαδοχικά: d_ dx ί>«λ ) = "έ (χ4+χ6) xg(x) = 4x 3 +6x 5. Επομένως, για χ = 1 έχουμε l-g(l) = 4 1 3 +6 1 5, οπότε #(1) = 10.. Η /(χ) γράφεται: /(χ) = e m 'a + J* + ' e m "dt = - J* -^ +J"' e^'dt, οπότε έχουμε: ^συν*χ ^cn)vjr(.r+l) _^συν«χ ^ συν(πχ+*) ^Σΐ)ΝΧΪ _J_^<N»V*X Q Αυτό σημαίνει ότι η/είναι σταθερή. 3. Έχουμε: και τον πίνακα /'(*) = χ- _χ- χ -οο /'(*) - 0 + /(*) \. / min Η / είναι γνησίως φθίνουσα στο (-<»,], γνησίως αύξουσα στο [, + οο) και παρουσιάζει ελάχιστο στο χ 0 =, το /() = 0. 4. Είναι +0 F'(x) = I x j7(wj = j/(,)<ft+x/(x) 5. Έχουμε: 313
1 γ F\x) = -,-+- * l + x 1 1 + - 1 1 - = 0. 1+χ χ +1 Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση F είναι σταθερή. F(x) = e, xe (0, + αο). Είναι όμως, F(l) = Γ dt + Γ ί dt = 0. Επομένως Jil+r -Λ 1+r F(x) = 0, xe(0, + oo). 6. Έχουμε: lim f ^5+t dt = lim *-»o h «*->o +t dt (μορφή ) [ h^dt = lima-0 (/,)' (κανόνας De L' Hospital) = limj5 + (+A) λ-+0 * = V9 =3. 7. i) Θέτουμε m=x -4, οπότε du = xdx. Τα νέα όρια ολοκληρώσεως είναι Η] = 4-4 = 1 και u =6-4 = 3. Επομένως, γ * a - i r * ι " ^/x -4 ji = Λ/3->/Ϊ =4λ/-λ/3 ϊϊ)έχουμε: f * 1 1ημ(συνχ + χ)ημχ:-ημ(συνχ+χ)] &= 1 ημ(συνχ + χ)[ημχ - l]i c. Jo Jo 314
I I Θέτουμε u = συνχ+χ, οπότε du = -(ημχ - \)dx. Τα νέα όρια είναι u, =συν() + 0 = 1 και w, = συν + =. Επομένως, 1 π Ρ ημ(συνχ + χ)[ημχ- \\cix = J χ t[\iudu η = [ouvw], = συν συν1 = -συν1. 8. ϊ) Έχουμε: (χ -1 χ -11 )ί& = (x + χ - *)<& + (χ - χ + l)dx Γ χ 3 χ 3 : + ~Χ ί 3 χ 3 χ -1 +χ ο L τ ~ί 1 1, 7 3, 5 = -+ 1+ + 1 = 3 3 3 ii) Η /είναι συνεχής στο [-π,π] οπότε έχουμε J f(x)dx= j" xrfr+ημτώτ = x τ [συν]* 71 7γ = - (συν7γ- συνο) = +. iii) Το τριώνυμο χ -3χ+ έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και και το πρόσημο του φαίνεται στον πίνακα: χ <χ> 1 +αο χ -3χ+ Επομένως έχουμε: + ο x -3x + e6r= o (x ~'ix + )dx+j^ (-χ +3x-)dx + f (x -3x + )dx ο + ~)1 3 χ +χ +! - - + -χ' -χ 3 * 3, χ +χ 3 1 3-1 1 3 + τ! + Γ 8 + 6-4+ *, 13~ + J'L7 3. + 7 1 % +6 +6-4 3 3 11 6 315
9. i) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε; Γ* ίη Λ= Γ" & = Γ' ( >/*)'; In xnx Jl -Jx J 1 -Jx J' = lufx lnx]f -f -Jx dx Ji χ = elne -1n/ dx -Jx = 4e-4[Vx]' = 4e-4(e-l) = 4. ii) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε: ^xe 'dx = -jx( e ~ x )'dx = ~\ xe '\o + f 0 e %(ix e \e J e e ίϊί)θέτουμε u=9 + x, οπότε du = xdx, «, =9 και m =10. Επομένως: / 1-1 /*10 1 p10 xln(9+x )<& = In udu = j(u)'\nudu u\nu I01nlO_91n9_I j " 9 1 = 51nl0 In 9. iv) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε. * 1 - I = p ε Χ συνχα!χ: = 0 e" (ημχ)'βίχ = [e^x] 0 J - 0 ημx-e'dx 1 - = 0+jj e x (awx)'dx β*συνχ 4 - j - Ρ e"<m\xdx 4 Jo 316
1 i ιο η 1, = β συνπ e συνο 7, οποτε 10. Έχουμε: 5 1-1 1 - -7 = --<? --<=>/ = --(e +1). 4 4 4 5 κ κ * I+J = ρ χημ χ &+J* xcmv xdx = χ(ημ χ + συν χ)ώτ = f xdx = Jo π 1 Επίσης κ 1 -J = p χ(ημ χ- συν χ)άχ = xmsvlxdx κ = ft x(i\\ix)'dx = ~ [χημχ] 0 x\\ixdx 71 -ημπ-ο α = -[συνχ] 4 = - (συν7γ-συνο) = -(-1-1) = -. 4 4 Αν λύσουμε το σύστημα r τ π I+J = 8 7-7 = 1 βρίσκουμε 11. Επειδή /" συνεχής έχουμε: π I π \ I- + και J. 16 4 16 4 /(χ)η μχλχ+j'/ "(χ)η μχώ =. (1) Όμως είναι: /J /"(χ)ημχ<& = [/'(χ)ημχ]ο "]Γ/'(*)(ημ*)'<& 317
= - /'(χ)συνκώ = -[/(χ)συνχ]* + /(χ)(συνχ )'ώτ = /00 + /(0) - / (x)wxdx = 1+/(0)- /(χ)ημχώ: Έτσι, ί σχέση (1) γράφεται /(χ)ημχ<& +1 + /(0) - / (χ)ημχλ =, οπότε /(0) = 1. 1. Επειδή οι /" και g" είναι συνεχείς έχουμε 7 " Γ (/wg"w-/"w^w)^ -Γ /(*) "(*)<&- ' f"(x)g(x)dx =[f(x)g'(x)ya -[f(x)g\x)dx-\j'(x)g(x)y a +j'f(x)g'(x)dx = Afig'ifl) - f(a)g\a)-[f{fi)g(fi) - f'(a)g(a)] = /(/0g'lfl)-f'(fl)gifi), (αφού /(a) = g(a) = 0) = Afi)g'(fi) ~ g'ifi)g(fi), (αφού /'(/?) = g'(fi)i* = g ' o w w - g m 3.6 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: 0 = Jo (/(x) ~ l)dx= i f(x)dx ~i ldx = /(*)*-: 1 ' οπότε J o '/(x)rfr = 1» = 1» / = 1. Έχουμε: 318
οποτε ο = (/(*)- *)<& = f /(*)<& - = - «), j'/(*)<** = ηβ-α)» /(*)<** = *<=>/ = * 3. Έστω η συνάρτηση f(x)-x, χefa,/?]. Τότε η μέση τιμή χ του χ στο [α,/?] είναι: 1 "χ " 1 γ β λ 1 α 1 /?-α χ β~ α 1 β -α α+β β-α 3.6 Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: f=^\"x dx=-l_zlz l = l±«^i ^-α >«β-α 3 3 ^ =_^γ'_!_ λ = _1_γζΐί = _^ίΐ_ΐ1 /?-«x β-αυχ\ α β-α{α β) I β-α 1 οποτε β-α αβ αβ' 7 α +αβ + β 1 α +αβ + β /g=- 3 αβ 3 αβ Έτσι, έχουμε να δείξουμε ότι: α +αβ + β 3αβ >1<=>α +αβ + β >3αβ <=>α -αβ + β >0<=>(α-/ϊ) >0, που ισχύει. Επομένως είναι f g > 1.. α) Έχουμε: 319
1 Γ* 1 f* ρ,, ρ γ" >, ο = f v(r)dr = I (R -r )dr = (R -r )dr R Jo Λ Jo 4ni 4Rni Jo 4Rn R (R-0)- 3 Ρ 4 Rnt r R i - < 3 J f \ 4 Rnl 3 6 nt β) Εξάλλου έχουμε: ρ -Pr v\r) = (-r) = < Ο, για κάθε r e (0,R). 4w n^ Όμως η v-v(r) είναι συνεχής στο [Ο,Λ], οπότε θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [Ο,Λ]. Επομένως η μέγιστη ταχύτητα είναι: Προφανώς ισχύει > υ. =υ(0) = PR 4 nt 3. Έχουμε J/(x)dx = f ( 1). (1) Επιπλέον, σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ e (0,1) τέτοιο, ώστε //(*)<& = /( ). () Από (1) και () προκύπτει ότι /( ) = /(1), οπότε στο διάστημα [,1] ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 e (, 1) τέτοιο, ώστε /'(x 0 ) = 0. Επομένως η c f έχει τουλάχιστον μία οριζόντια εφαπτομένη. 3.7 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Το τριώνυμο f(x) = χ -χ+3 έχει διακρίνουσα Δ = -8<0, οπότε ισχύει f(x)>0 είναι: για κάθε xer. Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε 30
3.7 Ε = f (χ Jo - χ + 3)dx χ +3χ 3 8 14 = --4. + α6 = - τετρ. μον.. i) Πα κάθε χε[0, + αο) ισχύει /(χ) = \[χ > 0. Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: 7 -r^dx= Jo 71 j ii) Για κάθε xe 0, ισχύει /(*) = > 0. Επομένως το εμβα-. 3 J συν χ δόν που ζητάμε είναι χ Ε = f 3 ί ί/χ = [εφχ ] 0 ' = εφ -efo = S Jo συν χ 3 κ 3. Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f και του άξονα χ'χ είναι οι τ.μ. ρίζες της εξίσωσης χ -3χ = 0, δηλαδή οι αριθμοί 0 και 3. Επειδή /(χ) < 0 για κάθε χ e [0,3], έχουμε: Ε = [ 3 /(Χ) I dx = - ff(x)dx JO JO = - f (x - 3x)dx = - Jo 3 x ^ x i ι X~ x 3,, 7 9 = 9 = τ.μ. 3 4. Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων C f και C, είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται: Ax) = g(x) χ 3 = r-x - ' " rx-) = 0 «ΐ>χ = 0 ή χ=1 ή χ--. 31
ι Το πρόσημο της διαφοράς /(*) - g( x ) = χ3 + χ1 ~ χ = χ(χ - 1)(χ+) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: χ -οο 0 1 +χ> ο + ο ο + I ο + ο I I Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: E = f j / ( x ) ~ g ( x ) \ d x = f_ (/(x) - g(x))dx + (#(*) - f(x))dx = (* 3 +x -x)dx+j(x-x -x 3 )dx χ 4 χ 3 + χ χ χ4 _ ~3 4~. 8 1 1 10 1 37 = -4 Η (-4 + 1 = τ. μ. 3 3 4 3 4 1 5. Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) = 4-χ και g(x) = x- είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται f(x) = g(x)*> 4-χ - χ- <=> χ 1 +χ-6 = 0 <=> JC = 3 ή χ =. Το πρόσημο της διαφοράς f(x)~g(x) = -χ 1 -χ + 6 φαίνεται στον παρακάτω πίνακα χ -οο -3 +» /"(*)-«(*) Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: 3
e=l 3 \m- g {x)\dx = j" (-χ - χ + 6)dx = 3 x x + 6x 8 4 "7 5 1 5 9 1-1 18 3 = 0 + = τ.μ. 3 6 6 3.7 Β ' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. i) Επειδή /'(χ) = 6χ έχουμε /'(1) = 6, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο Λ(1,3) είναι: e.y- 3 = 6(x-l) ο y = 6x-3 ii) Η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο 1 y ZiQ-,oj Επομένως, το εμβαδόν που ζητάμε είναι: Ε = ε, +ε = 3χ ί/χ+γ (3χ -6χ+3)dx \ 3 = [χ 3 ]q +[χ 3-3χ + 3χ]\ 3 1,, (1 3 ϊ 1 = + 1-3 + 3- ι = τ.μ. 8 Ιδ 4 J 4 ν=3* \ \ G] Μ*~-~ -Βι Ο 7 \ χ -. Επειδή lim f(x)= lim /(χ) = /(1), jr»1 χ»1 + η συνάρτηση/είναι συνεχής και στο σημείο 1, οπότε αυτή είναι συνεχής σε όλο το R. Είναι φανερό, επιπλέον, ότι /(χ)>0 για κάθε xe[-l,], Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: ι - -! i 111111 33
Ε = \ \ f(x)dx = (-χ + 3)dx + l4xdx - + 3x + ~ Η Η ^ - λ g = 4+-^ τ.μ. 3. Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f και του άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης /(χ) = 0, δηλαδή οι αριθμοί 1 και 5 Στο 1,- η / είναι και συνεχής και ισχύει /(χ)>0. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ο 5 Ε = p / (x)dx 5 = (-χ +4x-3)dx + j* (~x + 5)dx 3 Ί ί -^- + x -3x +[-χ +5.ν]ΐ = - 8 + χ 6 3 4. Οι τετμημένες των σημείων τομής των Cy και C g είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται 1 + - 311 ( 4 HI) τ.μ. 34
' f(x) = g(x) <=> λ/^-ϊ x + 1 ο x-l (x + l)»x -7x + 10 = 0» χ = ή χ = 5. Εξάλλου, για χ>1 έχουμε: /(x)>g(x)»x-l> x + l»x -7x+10<0 <=> <x<5. Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ε = ^λ/χ-1 - = j ' ^ x~ ulx ~ i j/* + w* Στο 1 ολοκλήρωμα θέτουμε u -x-1, οπότε du = dx, Μ, =1, «=4 και έτσι έχουμε: f4 ί 1 ε= γu du Ji 3 - + x ι* 5... +5-- 5. ϊ) Έχουμε f(e) = l = g(e). Άρα το σημείο A(e,l) είναι κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων C f και C g των συναρτήσεων / και g. Επειδή η / είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ η g γνησίως αύξουσα, οι C f και C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το Α. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν Ε(λ) ισούται με 35
Είναι όμως Ε(λ)=[ Inxdx + f dx. Ji Je χ I 1ηχί/χ = (χ)ίηχί/χ = [xln x]' -j'dx Άρα = elne-(e-l) =1. Ε(λ)= f Inxc/x+f </x = l + e[lnx]^ Jl Je χ = l + elna-elne = l + e(lna-l). ii) Επομένως, lim Ε(λ)= lim[l + f(lna-l)] A-»+<o A >+«o = (1 - e) + e lim (In λ) = +00. λ ->+«3 6. Η τετμημένη του Α είναι η λύση της εξίσωσης 3* =3, που είναι ο αριθμός 1. Η τετμημένη του β είναι η λύση ν-3 ν = χ του συστήματος <, που ει- Ι.ν = 3 ναι ο αριθμός 3. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με: V" 1 χ ^(3* - x)dx +1 (3 - x)dx = * dx - + 3x 0 In 3 Γ 1 9, + 9 3 + 1 9 3 Γ,,1 ^ = [3-1J + 6 = + τ.μ. In 3 In 3 36
7. Η τετμημέλ'η του σημείου Α είναι ρίζα της εξίσωσης χ -χ + = χ -1, που είναι ο αριθμός χ =. Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με: = -jv -!)<& +p (χ -l)i/r + J 3 (x -x + )dx -χ χ ^ χ + χ 3 - - 1 7 = 4 τ μ ' + ι ^ \ 1 f 3^ 7-1-1+1 3 8. ί) Οι εξισώσεις των εφαπτομένων ε, και ε της C { στα σημεία Ο και Λ αντιστοίχως είναι: y \$/ «ι -y~/(0) = /'(0)(x-0) και ε :y-f(n) = f'(k)(x-n) Επειδή /'(x) = συνχ έχουμε: /! 0 π/ π " > \ 1 χ οπότε /'(0) = 1 και /'(jt) = 1, e, :_V = x και e :y = -x+n. ii) Η τετμημένη του σημείου τομής Β των ε, και είναι η ρίζα της εξίσωσης χ = -χ + π, δηλαδή ο αριθμός χ ~~~ Επομένως το ζητού- 37
μενο εμβαδόν είναι: * ^ e = [>(x-r\vx)dx+\a-x + *-rwx)dx χ χ κ + συνχ + + πχ + συνχ κ 0 Ί _ ^ _ 7Γ 7 1-7 1 71 71 = + συν συνο + ττ + συνπ + 8 8 π συν 9. α) Έχουμε = -^. 4 /'(*) = -*/x xe(0, + oo), οπότε /'(1) = και η εξίσωση της εφαπτομένης ε είναι:, 1 1 1 ν 1 =, (χ-1)<=> ν = χ + y 1 ι =r ι ψ ι Γ ι I ^ y - v* ο 1 χ Η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο με τετμημένη -1. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: = Γ, ( γ + Ϊ ) λ + 0 ' + Ϊ -, / * ) λ χ 1 1 1 χ 4 3 χ Χ χ + 4 3 1 1 1 1 1 = 1 1 + = τ.μ. 4 4 3 3 β) Εξετάζουμε αρχικά αν υπάρχει ευθεία χ = α με αε[-1,0] η ο- ποία χωρίζει το χωρίο (Α) του (α) ερωτήματος σε δύο ισοεμβασικά χωρία. Δηλαδή αν υπάρχει τιμή του ae[-l,0j τέτοια, ώστε να ισχύει:, ε χ χ Γ (-*+-) αχ = <=> 1 μ ) 4 38
3.7 α α 1 1 1,, <=> 1 ί 3α + 6α + 1 Ο. 4 4 6 Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς α, = -3+V6 και -3-λ/6. Από αυτούς μόνο ο α, ανήκει στο διάστημα [-1,0]. Επομένως η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση: -3+^6 Λ* =. 3 Αν εργαστούμε ανάλογα για α ε [0,1], βρίσκουμε ότι δεν υπάρχει άλλη ευθεία χ = α που να χωρίζει το χωρίο Α σε δύο ισοεμβασικά χωρία. Αυτό. άλλωστε, ήταν αναμενόμενο. 10. Έχουμε g(x) = In 1 - In x = - In x. που σημαίνει ότι η C g είναι συμμετρική της c f ως προς τον άξονα x'x. Η τετμημένη του Α είναι ρίζα της εξίσωσης In = Ιχι. που χ \ v = lnjr \ Ο 1/ Β y = ln είναι ο αριθμός χ ~~ Η τε ~ ν = Ιιιτμημένη του Β είναι ρίζα της εξίσωσης lnx = ln, που είναι ο αριθμός χ =. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 4 /'- = I. ι I ( In-In λ f c/x-t Γ'" In x)dx ( π f γ = 1 ii j + j! In χώτ +In (-1)-J Inxdx \ ln+[xlnx] 1 1 J, k/x + ln-[xlnx]f +1Xdx 1 1 1 : In + 1 In 1 In ) + In - In + 1 In 1 + -1 39
= 1ΐη+1ΐη-1-1η + 1 ι ~ ' 11. i) Έχουμε /(0) = και /'(x) = x-3. Από τον τύπο J f'(x)dx = f(x)+c έχουμε διαδοχικά J(x-3 )dx = f(x) + c x -3x = f (x) + c /(x) = x -3x-c. Είναι όμως, /(0) = <=> -c = <=> c = -. Επομένως, y, /(x) = χ -3X+. ii)oi τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης Χ -3Χ + = 0 δηλαδή χ,=1 και χ =. Επειδή χ - 3χ + < 0, ό- ταν Λ: e (1,), το ζητούμενο εμβαδόν είναι: = - (χ -3x + )dx = - χ3 χ 3 + χ 3 Η Η -» Μ Η - Ή - - 1. ί) Η C f τέμνει τον άξονα των x στα σημεία Λ(1,0) και (3,0) Επειδή /'(χ) = (χ -4χ + 3)'= χ-4, έχουμε /'(1) = - και /'(3) =. Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο,4(1,0) είναι: Λ'-Ζα) = /'(1)(*-1) <=> ^ = -JC+ ενώ η εξίσωση της εφαπτομένης στο 5(3,0) είναι: 330
3.7 ν - /(3) = /'(3)(Λ--3)ον = χ-6 ii) Η τετμημένη του σημείου τομής /' των εφαπτο μένων είναι λύση της εξίσωσης -χ + = χ-6 δηλαδή ο αριθμός.ν=. Επομένως το σημείο τομής τους είναι το /'(,-). Λόγω της συμμετρίας του σχήματος έχουμε: e, (χ -4x + 3)dx = - 3 x 3 -χ + 3χ η, -) και ( 8 = -,3 ε =^ (χ -4x + 3 + x-)dx=^ (χ -x+l)dx = 3 8,, ι,,1 _ χ +x = --4+- - + 1-1 3 1 3 3 ~ 3 χ 1 Άρα = =. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ 1. ί) Θέτουμε u = n-x, οπότε du--dx, «, =π, ιι = 0. Έτσι έχουμε: ρττ / 0 / = χ/"(η[ΐν)ί/τ = - (π - w)/(ημ(7γ -u))du JO j/r = -J nf(x\\ui)du +1uf(x\\w)du = π\f (i\\w)du -1. JO Επομένως 1 = f (\\\w)du. οπότε I = J/(ημχ)ί/.ν. 331
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ ii)σύμφωνα με το ερώτημα (ί) έχουμε: j r j w l. a = r w d x =ir w Jo -?4-nn v 7 Jo ^Ϊ4-Ιΐιι ν 7 Jo 3+ημ χ J 3 + ημ'χ Jo 4-συν χ Θέτουμε u = συνχ, οπότε du = -ημχ<&. Επομένως: τ 1 π f ' f ' ~ Ji 4-u ~ J. u 3-4 π Αναζητούμε α,/?εκ τέτοια, ώστε να ισχύει: - = α η u -4 u- u + ή, ισοδύναμα, (α +/?)w + (a-β) = 1, για κάθε»er-{-,}. Η τελευταία ισχύει για κάθε wer -{-,}, αν και μόνο αν Επομένως α+β=0 1 ι <=> α = και β =. (α-/?) =! 4 4 1 _ι γ, - σ γ ' - ϊ - α + ΐ γ ϋ * Ji «- Ji u+ = -L -[1η «- ]Γ' --[ln «+ ]r l 8,J ' 8 (In3-lnl)- (lnl-ln 3) 8 8 = ln3+ ln3 = ln3. 8 8 4. i) Αναζητούμε α,β τέτοια ώστε ^ = + ή, ισοδύναμα, χ~ -1 χ 1 χ + i 1 =(α+β)χ+(α-β), για κάθε ier-{-1,1}. Η τελευταία ισχύει για κάθε ies - { 1,1}, αν και μόνο αν Έτσι τελικά έχουμε: \α. + β = 0 1 1 α>α = και β =. \α-β = \ ί -^- = - ί -- Π = [In λγ-1 ]= --[ln jc + l ] 0 J, jc -1 1 χ-1 J> χ +1 33
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ' ΟΜΑΔΑΣ [in 1η ί] - ί 1η - In 1 i j l ii) Έχουμε: if, 1 In 1 In = 1. In-4- =-Inι, ' { ) 3 3 = i n = -inv 3. Λ/3 1 i./, Γ η Γ "" Λ Ι- ημχ J ημ χ Χ 1-συν x Θέτουμε u = συνχ, οπότε ί/w = -ημχί&, κ^συν = και ζ^, = συν-^ = 0. Επομένως / 1 { du ι ' ί/w r Γ; (& = -Γ ~ = = lnv3 (από ι)). ' ημν ; 1 - u~ u' - 1 3. Για u Φ -1,- αναζητούμε α,ββ R τέτοιους, ώστε: ή, ισοδύναμα, 1 α β - + - (ιι +1)(«+ ) u +1 u+ 1 = α(«+) + /?(«+ 1). για κάθε «*-1,- (α + /?)«+α + β-1 = 0, για κάθε «*-1,- Η τελευταία ισχύει για κάθε κ e R -{-1,-}, αν και μόνο αν Επομένως α + /ί=θ] ί α = 1 «+ /? = lj [y? = -l' ί! Λ =Ι*--Ι-±. J (u +1)(«+) J / + 1 J u + = ln w+l -ln w + + c 333
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ i) Θέτουμε «= ημχ, οπότε du = <jvvxdx. Επομένως γ συνχ, f- f du J 1 (ημχ + 1)(ηιιχ+) 1)(ημχ+) J(w + l)(w + ) = ln M + r -ln w + +c = In I ημχ + l J In ημχ + + c ii) Θέτουμε u = e x, οπότε du = e'dx. Έτσι έχουμε ί dx= f = ln e jr +l -ln e j: + +c J (e + 1)(e +) J (H + 1)(«+ ) 4. i) Έχουμε: I jv+] = in^' +1) ln( * + )+c. ^v+3 κ + k+\ = Jo J - jdt 4- f - γώ l + / Jo l + r Jo 1+/ I, / Jo v+ v + 1 ^ + f 1 1, 1 f 1 (' +1), ") i 0 = ( ~ r d t = ~ f ; dt 1 + / Jo (/-+1) = I[ln(/ +l)]i=i(ln-ln1) = Iln. Εξάλλου από το ερώτημα i) έχουμε Ι 0 +/, = * = -ί, οπότε I = =- In = (1 In ). 1 0 Επίσης είναι /, +/, =?, οπότε ' -1+, ι ι ι, ^ ι. ι Ι = /, = 1 ln = In. * 4 ' 4 4 5. Θέτουμε g(x) το 1 μέλος και h(x) το μέλος και έχουμε. 334
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ' ΟΜΑΔΑΣ g\x) = ^χ ο f(u)du-juf(u)du και = ί f(u)du+xf(x)~xf{x)= Γ/(u)du JO Jo h\ X ) = [ f W. Δηλαδή ισχύει g'(x) = h'(x) για κάθε xer. Επομένως, υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε g(x) = h(x) + c ή, ισοδύναμα. j Q /(")(*-u)du = \Jj(t)dt\du + c, για κάθε xe IR. Για x = 0 έχουμε: J o /(»)(0-u)du= ^f(t)dt^jdu + c<=>0 = 0 + coc = 0 οπότε έχουμε: [f(u)(x-u)du = \'(\j(t)dt\du. 6. i) Η συνάρτηση g(u) = -1 έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (-οο, 1] u [1,+ ο). Άρα, για να ορίζεται η / πρέπει τα άκρα 1, ί να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του Α. Άρα πρέπει t e [1,-κ»), οπότε το πεδίο ορισμού της/ είναι το [1,+οο). Για να ορίζεται, τώρα, η F πρέπει τα άκρα 1, * να α- νήκουν στο διάστημα [1,+μ) που είναι το πεδίο ορισμού της/ Άρα πρέπει χ e [1,-κ»), οπότε το πεδίο ορισμού της F είναι το [1,-κ»). ii) Έχουμε οπότε F'(x) = f(x) = I* V«-Idu F"(x)=f'(x)=y[T^l. Επειδή F (x)>0 στο (1,+<») και F"( 1) = 0, η F' είναι γνησίως αύξουσα στο [1, + οο), οπότε: 335
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ η /'"είναι κυρτή στο (1, + οο) και F'(x) > F'(l) = 0 για κάθε xe(l, + oo). Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+αο). 7. i) F(x) + G(x) = ί β'(συν*ί+χ\μ ί)λ = β*-1, (1) Jo και F(x)-G(x)=f β'(συν ί-ημ ί)<λ Jo Όμως, είναι = f β'συνtdt = K(x). Jo ΑΓ(λ-) = [ίί'συνί] ( Λ, -f- f ^'ημtdt Jo = β'συνχ-1 + [β'ημ/]ο -4 e'<mvtdt οποτε Άρα = e x Gxn\x-\ + e x i\\ix-4k(x) 5Α^(χ) = β ί (συνχ + ημχ)-1. Κ (χ) = F(x)-G(x) =-^-(συνλ + ημχ)-j. () Με πρόσθεση των (1) και () κατά μέλη προκύπτει ότι: e" 6 F(x) = (συνχ + ημχ) + e" - Από τις (1) και (3) έχουμε F(x) = (συνχ + ημχ) + -. (3) 10 10 e* e" 6 G{x) = e x -1 (συνχ + ημχ) + 10 10 e x e" 4 = - (συνχ + ημχ) - 10 10 ii) Επειδή F'(t) = e'<n>v r, έχουμε 336
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ π 1 = [F( χ)] * = (συναπ + ημ4;τ) + 10 e ln e " e " e' 10 10 : 5'*,'""ι, Επειδή G'(/) = ^'ημ /, έχουμε 6 e',, -, χ e* (συν7τ + ημ;τ) Η 10 10 e " e * β* e" J = [G(x)]/ = (συν4ττ + ημ4/τ) η (συνττ + ημπ) 10 10 * * * * = - + = - e'(e'-l). 10 10 5 8. Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ +1 = 5, δηλαδή οι αριθμοί Α χ, = - και χ =. Οι τετμημένες των Γ και Δ είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ +1 = α +1, δηλαδή οι αριθμοί χ, = -α και χ = α. Το εμβαδόν Ε του χωρίου Ω που περικλείεται από την ευθεία ν = 5 και τη γραφική παράσταση της ν = χ +1 είναι: = ^(5-χ -\)dx- χ. + 4χ 3 = ^ + 8-«+8 = ^. 3 3 3 Το εμβαδόν ε του χωρίου που περικλείεται από την ευθεία ν = α +1 και τη γραφική παράσταση της ν = χ +1 είναι: ε=ί (α +1-χ -1)ί/χ= f (α - χ )dx = α (α + η) - j-a j a. ί ι β (χ = α - + = α 3 - «3 = α _ 4 _ 3 3 3 337
338 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ Το Ω χωρίζεται από την y = a +1 σε δύο ισοεμβαδικά χωρία, αν και μόνο αν Ε ε = <=> 4 α 3 = 3 1 <=> 4α 3 =16<=i>«3/τ = v4. 3 3 9. ί) Αν 0 < Α < 1, τότε γ' v -1 Αν Α>1, τότε, ίΐ =Ι-ι. λ ι y 1 i 1 jv = j" ^ / ι * I f c * 0 a 1 a Αν Α>1, τότε Ε(λ) - Jxx W Ji χ dx = -1 Ε(λ)= ί -^ dx= ί χ dx = ji χ ji α = 1 1 ' ii)av 0<Α<1, τότε Αν Α >1, τότε: ίίί)έχουμε: 1 1 1 (A) = - oi-l = i «A = -. Α 3 Ε(λ) = <=>1- =»Α = Α lim "(Λ) = lim 1 = lim 11 = +00 και J lim Ε (λ) = lim 1 = 1. λ >+οο λ >+ ol ^ j 10. i) Ισχύει f(x)-g(x)> 0, για κάθε χε[α,β], οπότε έχουμε διαδοχικά: ί (f(x)~g(x))dx> 0 ja ί y(jc)c6c- f ^(λγ)οεχ- :0 Ja Ja I f(x)dx>j g(x)dx.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ π)για κάθε χ&[α,β] κα: iii) Είναι: η ισχύει m < f(x) < Μ, οπότε έχουμε διαδυ J 'β [β (β ηκίχ<, Ι J(x)dx < I Mdx a J a Ja ρβ /»(/?-«)< f (x)dx < Μ {β - a) ja f\ x ) = χσυν -'ΐμ* = x ~ ( p x < ο X X συν χ x / rx!t αφου χ-εφχ<0 και >0 για xe 0, συνχ V Επομένως η/είναι γνησίως φθίνουσα στο ί 0,. π π π π, (π α) Για xe ισχύει <x<, οποτε f\ Λ 6'τ 6 3 U αφού η/είναι γνησίως φθίνουσα. Έτσι. 3 ημχ 3Λ/3,. 3Λ/3 ημχ 3 > > ή ισοδύναμα, < -ϋ- < π χ π π χ π β) Σύμφωνα με το ερώτημα ϊ) θα ισχύει >/<*>*/if ρ ^ 4 7 π J 6 6 6 χ J- π η μ ν π π γί d x ^ ( π {3 6) χ π^3 λ ίν) Είναι 4 J - γ ι /'(x) = -xe ' <0, για xe(0,+oo) επειδή η /είναι και συνεχής σιο [«>,+*>). η / θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+οο). α) Από την ανισότητα e x >l + x, αν θέσουμε όπου χ το -χ, προκύπτει e'" 1 > 1-χ. (1) 339
Ε ΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ Εξάλλου, επειδή η/είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+οο), για xe[0,l] Οα ισχύει Από (1) και () προκύπτει ότι l-x /(*) < /(0) <=> ε~ χ1 < 1. () <e~' <1, για xe[0,l]. β) Από την τελευταία ανισότητα προκύπτει (1 -x )dx<, je~* dx<^\dx I 1 x -<\e dx< 1. 3 J o Με απόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου και του Λυκείου τυπώνονται από τον Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο προς απόδειξη της γνησιότητάς τους. Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δε φέρει βιβλιόσημο θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του Νόμου 119 της 15/1 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946, 108, Α ). Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου. ΕΚΔΟΣΗ ΙΑ' 009 ΑΝΤΙΤΥΠΑ ΑΡ. ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΕΚΤΥΠΟΣΗ: ΤΖΙΑΦΑΛΙΑ ΕΥΘΥΜΙΑ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ: ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ Α. 8 ΣΙΑΙΤΕΤ 340