Κεφάλαιο o : Εξισώσεις - Ανισώσεις ΜΑΘΗΜΑ Υποενότητα.: Ανισώσεις ου Βαθµού Θεµατικές Ενότητες:. Ανισότητες - Κανόνες Ανισοτήτων.. Η έννοια της ανίσωσης.. Τρόπος επίλυσης ανισώσεων ου βαθµού. Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Με τον όρο ανισότητα εννοούµε µια σχέση που περιέχει παραστάσεις οι οποίες συνδέονται µε ένα από τα σύµβολα >, <,, (συµβολα ΙΑΤΑΞΗΣ) και η οποία αληθεύει για οποιαδήποτε τιµή του γράµµατος που περιέχει. π.χ η ανισότητα α αληθεύει για οποιαδήποτε τιµή του α. Αν α β, τότε θα είναι: ή α < β ή α > β. Αν α = β ή α < β, τότε θα γράφουµε: α βκαι θα λέµε ότι ο α είναι µικρότερος ή ίσος του β. Αν α = β ή α > β, τότε θα γράφουµε: α β και θα λέµε ότι ο α είναι µεγαλύτερος ή ίσος του β. Αν α < β < γ, τότε β > α και β < γ. Ισχύει η µεταβατική Ιδιότητα δηλαδή : αν α>β και β>γ, τότε α>γ. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -9-
Μπορούµε να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε µια ανισότητα µε τον ίδιο αριθµό, δηλαδή: α>β α±γ>β±γ Μπορούµε να πολλαπλασιάσουµε µια ανισότητα µε έναν αριθµό µε την εξής ουσιώδη διαφορά : Αν γ > τότε α>β α γ>β γ Ενώ Αν γ < τότε α>β α γ<β γ δηλαδή αλλάζει φορά της ανισότητας Μπορούµε να διαιρέσουµε µια ανισότητα µε έναν µη µηδενικό αριθµό µε την διαφορά ότι : Αν γ > τότε α β α>β > γ γ Ενώ Αν γ < τότε ανισότητας!!! α β α>β < γ γ δηλαδή αλλάζει φορά της Μπορούµε να προσθέσουµε κατά µέλη δύο ανισότητες της ίδιας φοράς, δηλαδή : α>β Αν α>β και γ>δ τότε µπορούµε να (+) γ>δ όπου προκύπτει α+γ>β+δ ανισότητα ίδιας φοράς!!!!! ΠΡΟΣΟΧΗ: εν ισχύει το ίδιο για την αφαίρεση ανισοτήτων!!!! π.χ < και 6 < αλλά 6? - Μπορούµε να πολλαπλασιάσουµε κατά µέλη δύο ανισότητες της ίδιας φοράς, αρκεί όλοι οι όροι των ανισοτήτων να είναι θετικοί δηλαδή αρκεί α,β,γ,δ θετικοί. α>β Αναλυτικά : Αν α>β και γ>δ τότε (x) ανισότητα ίδιας φοράς. γ>δ α γ>β δ όπου προκύπτει Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -6-
ΠΡΟΣΟΧΗ: εν ισχύει το ίδιο για τη διαίρεση ανισοτήτων!!!! 6 π.χ < 6 και < αλλά? (*) Οι δύο παραπάνω ιδιότητες ισχύουν και για περισσότερες ανισότητες!!! ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν x και y, να βρεθεί µεταξύ ποιών αριθµών περιέχεται οι τιµές των παραστάσεων i) A= x+ y ii) B= iii) Γ= x 7y +. Λύση. i) Από την ανίσωση x πολλαπλασιάζοντας µε - έχουµε: x ( ) ( ) ( ) ( ) x 4 x 6 (Πρόσεξε την αλλαγή φοράς Γιατι???) και στην τελευταία προσθέτουµε και έχουµε: 4 x 6 4+ x+ 6+ 9 A A 9 ii) Από την ανίσωση y πολλαπλασιάζοντας µε έχουµε: y y y Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -6-
και στην τελευταία αφαιρούµε και έχουµε: y y B iii) Από τη πρώτη ανίσωση πολλαπλασιάζοντας µε το έχουµε : ( ) x x () Από τη δεύτερη ανίσωση πολλαπλασιάζοντας µε το -7 έχουµε : 7 7y 7 4 7y 7 () ( ) ( ) Προσθέτοντας τις (), () κατά µέλη έχουµε : 4 x 7y 7 και προσθέτοντας σε όλα τα µέλη της ανισότητας το θα έχω : 4 + x 7y+ 7+ Γ. Αν x< και y <, να αποδείξετε ότι x+ y<. Λύση. Αφού x< τότε είναι και x< () (Πολλαπλασιάσαµε και τα δύο µέλη µε το ). Αφού y< τότε είναι και y< () (Πολλαπλασιάσαµε και τα δύο µέλη µε το ). Προσθέτοντας τώρα τις σχέσεις (), () έχουµε: x< y< x+ y< Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -6-
Β. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΙΣΩΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μια ανισότητα η οποία εκτός από τα γράµµατα ή τους αριθµούς που περιέχει, περιέχει και µεταβλητή τότε καλείται ανίσωση. π.χ x+ 6 (*) Έτσι µια πρώτη διαφορά µεταξύ εξισώσεων και ανισώσεων είναι ότι οι µεν εξισώσεις έχουν το σύµβολο της ισότητας (=) ενώ οι δε ανισώσεις το σύµβολο της διατάξεως ( >, <,, ). Ανίσωση µε έναν άγνωστο καλούµε την ανισότητα που περιέχει µία µεταβλητή και αληθεύει για ορισµένες τιµές της µεταβλητής. Λύση µιας ανίσωσης λέγεται κάθε τιµή της µεταβλητής (του αγνώστου) η οποία την επαληθεύει, δηλαδή προκύπτει αληθείς ανισότητα. π.χ Η τιµή χ = 4 είναι λύση της ανίσωσης x+ > αφού αντικαθιστώντας το χ µε 7 έχουµε: 4+ > 6> που είναι κάτι που ισχύει. (*) Παρατηρήστε ότι και οι τιµές,6,7,8,9,.είναι και αυτές λύσεις τις ανίσωσης αφού την επαληθεύουν..!!! (**)Έτσι µια δεύτερη διαφορά µε τις εξισώσεις είναι ότι στις µεν εξισώσεις έχουµε µια λύση ενώ στις ανισώσεις έχουµε πληθώρα λύσεων. (***)Υπάρχει και τρίτη διαφορά που θα τη δούµε παρακάτω. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -6-
Γ. ΤΡΟΠΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για να επιλύσουµε µια ανίσωση εργαζόµαστε µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και στις εξισώσεις (Βλέπε Μάθηµα ) µε τις εξής διαφορές : i) Αντί για το σύµβολο της ισότητας (=) χρησιµοποιούµε τα σύµβολα (<, >,, ) ii) Αντί για µοναδική λύση που παίρνουµε στις εξισώσεις, στις ανισώσεις έχουµε πλήθος λύσεων.!!!! (π.χ Αντί x= έχουµε το x > δηλαδή όλες οι τιµές από το και µετά είναι λύσεις της ανίσωσης). iii) Στο τελευταίο βήµα όπου διαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώστου θα πρέπει να προσέξουµε εάν ο αριθµός που διαιρούµε είναι θετικός ή αρνητικός. Πιο αναλυτικά αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι: Aρνητικός αριθµός, τότε διαιρώντας µε αυτών θα πρέπει ταυτόχρονα να αλλάξουµε τη φορά της ανίσωσης. 4 π.χ x 4 x x π.χ x x x 7 Θετικός αριθµός τότε δεν έχουµε κανένα πρόβληµα!!! ιαιρούµε κανονικά χωρίς να αλλάξουµε φορά. x 4 π.χ x 4 x (*) Όπως αναφέραµε και παραπάνω στις ανισώσεις έχουµε πλήθος λύσεων το οποίο µπορεί να παρασταθεί και σαν διάστηµα. (**)Παρατηρούµε ότι: αν β τοτε ειναι x>β αν β< τοτε ειναι Α ΥΝΑΤΗ ΑΟΡΙΣΤΗ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -64-
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθούν ξεχωριστά οι παρακάτω ανισώσεις και έπειτα να βρεθούν οι κοινές τους λύσεις. x+ x+ x 4 x+ x > και ( ) Λύση. Λύνουµε τις δύο ανισώσεις ξεχωριστά και έχουµε : x+ x+ > x 4 x+ x+ 4 > 4x 4 4 x+ > 4x x+ ( ) ( ) x+ > 4x x x+ x 4x> x> η οποία αληθεύει για κάθε x. και ( ) x+ x x+ 6 x x x 6 x 4 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ (ΚΟΙΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ) Για να βρούµε τις κοινές λύσεις δύο ή περισσοτέρων ανισώσεων, ακολουθούµε την εξής διαδικασία: Λύνουµε κάθε ανίσωση χωριστά και παριστάνουµε γραφικά τις λύσεις καθεµίας στην ευθεία των αριθµών. Σε µια άλλη ευθεία αριθµών παριστάνουµε γραφικά τις λύσεις όλων των ανισώσεων. Από το σχήµα που προκύπτει βρίσκουµε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων (αν φυσικά υπάρχουν ) Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -6-
Έτσι σύµφωνα µε την παραπάνω µεθοδολογία έχουµε την ακόλουθη ευθεία αριθµών µε τις λύσεις των δύο ανισώσεων. -4 + Οπότε µε βάση το παρακάτω σχήµα οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι : x 4 x 4, + ή [ ). Να λυθούν οι ανισώσεις: i) < x ii) x< x < iii) x+ x x+. Λύση. i) Αναλυτικά έχουµε: < x + < x + + (Προσθετουµε σε ολα τα µελη το...) 4< x 6 4 x 6 < ( ιαιρουµε ολα τα µελη µε το...) < x ii) Στη συγκεκριµένη περίπτωση επειδή ο άγνωστος χ βρίσκεται σε διαφορετικά µέλη της ανίσωσης δεν µπορούµε να δουλέψουµε όπως παραπάνω. Αυτό που θα κάνουµε είναι να σπάσουµε την διπλή ανίσωση σε δύο µονές τις οποίες θα δουλέψουµε ξεχωριστά (Ελπίζω να καταλάβατε...) x< x < x< x και x <. Οπότε ξεχωριστά έχουµε: x< x x x< x< και x < x< + x< 7 Η συναλήθευση των δύο παραπάνω ανισώσεων είναι η x< όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήµα. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -66-
- 7 iii) Όµοια η x+ x x+ σπάει στις παρακάτω δύο ανισώσεις. x+ x x x x x x και x x+ x x + x 4 x 4 x Άρα x, οπότε χ = η µοναδική λύση. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ).. Η ανίσωση x< β µε β > αληθεύει για κάθε χ Σ Λ. Η ανίσωση x> β µε β < είναι αδύνατη Σ Λ. Αν α <, τότε α+ < Σ Λ 4. Αν α >, τότε α - < Σ Λ. Αν α <, τότε α > - Σ Λ 6. Αν -χ >, τότε χ > - Σ Λ 7. Αν α, τότε ισχύει η ισοδυναµία x <β x<αβ α Σ Λ 8. Αν x και x, τότε είναι x = Σ Λ 9. Αν ένας αριθµός x παίρνει τιµή τουλάχιστον, τότε γράφουµε x. Αν είναι x > και x < -4, τότε γράφουµε < x < -4 Σ Λ Σ Λ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -67-
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση.. Η ανίσωση x + x> είναι ισοδύναµη µε την ανίσωση : Α. x 6x< Β. x+ 6x< Γ. x 6x<. x 6x> Ε. x+ 6x>. Η τιµή του x η οποία αληθεύει την ανίσωση x> x είναι : Α. x= Β. x= Γ. x=. x= Ε. x=. Οι ανισώσεις < x< 8 και < x< συναληθεύουν για : Α. < x< Β. < x< 8 Γ. 8< x<. < x< 8 Ε. < x< 4. Η ανίσωση ( x) < αληθεύει όταν : Α. x> Β. x< Γ. x>. x< 6 Ε. x> 6. Η ανίσωση ( x )( x+ ) < αληθεύει για : Α. x< Β. < x< Γ. x< και x -. < x< Ε. x> ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά µε τα σύµβολα (<, >,,, =), ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις.. Αν α β, τότε ή α β ή α β. Αν α β, τότε ή α β ή α β. Αν α β, τότε α+γ β+γ 4. Αν α > β, τότε α-γ β-γ. Αν α < β και γ <, τότε α γ... β γ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -68-
α β 6. Αν α > β και γ >, τότε... γ γ β 7. Αν α x< β και α >, τότε x... α 8. Η ανίσωση x< β είναι αδύνατη, όταν β 9. Η ανίσωση x> β αληθεύει για κάθε αριθµό χ, όταν β. Αν α x α, τότε χ α. Αν α < β, τότε -α -β. Αν α >, τότε α α. Αν α <, τότε α+ 4. Αν α, τότε α- α. Αν α <, τότε... 6. Αν α <, τότε α... ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της στήλης (Α) µε τα στοιχεία της στήλης (Β). ΣΤΗΛΗ (Α) ΣΤΗΛΗ (Β). x. x< Α. είναι αδύνατη. x< 4. x Β. αληθεύει για κάθε αριθµό. x 6. x Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -69-
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν < x<, να βρεθεί µεταξύ ποιών αριθµών περιέχεται οι τιµές των παραστάσεων A= x, B= x+ και Γ= x+ 6.. Αν x< και y <, να αποδείξετε ότι x+ 7y<.. Αν < y<, να βρεθεί µεταξύ ποιών αριθµών περιέχεται οι τιµές των y y παραστάσεων A= + και B=. 6 4. Να λύσετε όπου χρειάζεται και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθµών τις λύσεις κάθε ανίσωσης από τις παρακάτω. i)x> ii)x iii)x> 6 iv)x v) x vi) x< vii) 6x viii) 4x< 4 ix)x< x)x. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων. i)x> και x ii)x και x> iii)x 4 και x> iv)x< και x< v)x> και x< vi)x και x vii)x< και x< viii)x και x ix)x και x< x)x > και x xi)x> και x> και x> xii)x< και x και x< xiii)x και x και x< Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -7-
6. Να λυθούν οι ανισώσεις και να παρασταθούν οι λύσεις τους σε άξονα. ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) i)x+ x < x ii) x x 4 x iii) ω ω+ ω > z z iv) > x+ v) y ( 4y ) vi) > y y ( y ) y ( y ) vii) x x x viii) > 6 ω ω ix) ω 4 x x+ x x) x 7. Να λυθούν οι ανισώσεις και να παρασταθούν οι λύσεις τους σε άξονα. i)(x+ 4) (x+ 6) < x x x+ x+ ii) + 4 x+ x+ iii) > x 4 x+ x iv) > x x 6 x+ 8 x+ v) < + 6 vi)(x ) 4(x+ ) < (x+ ) ( ) vii)x + x x x + x x+ 7 x+ viii) > 4 4 4+ x + x ix) x) > x+ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -7-
8. Να λυθούν οι ανισώσεις: x x i) < x ii) x 9. Να λύσετε και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθµών τις λύσεις των παρακάτω ανισώσεων. i) x < ii) < x+ iii) x< x iv) < < x v) < x vi)x vii) < k < viii)x+ x 4x+. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων και να παρασταθούν σε άξονα. ( ) > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x+ > x i) ii) x x 9x+ x x x 8x y+ 7> x < + x iii) y ( y) > ( y+ ) iv) x x y y ( y+ ) > > 4 ( ) ( ) x x x x < x > v) vi) x ( x ) x x > ( x ) > Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -7-
. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων και να παρασταθούν σε άξονα. (x ) + x< x+ (x ) + (x+ ) < x i) ii) (x+ ) x (x+ ) (x+ ) < x x (x+ ) x+ ( x) x+ 6 + > x> + 6 iii) iv) x x+ x + x< + 4 x x 7 > + 4 4 6 9 8 x < x x x+ 9 v) vi) < x+ x ( x+ ) >. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθµούς που το άθροισµά τους είναι µικρότερο του 6 και µεγαλύτερο του.. Να βρείτε τον ακέραιο του οποίου το διπλάσιο ελαττωµένο κατά βρίσκεται µεταξύ των αριθµών και. 4. Να βρείτε τον µεγαλύτερο ακέραιο που το µισό του αυξηµένο κατά βρίσκεται µεταξύ των αριθµών και 4.. Η Αθηνά στα Μαθηµατικά σε δύο διαγωνίσµατα βαθµολογήθηκε µε και 7. Τι βαθµό πρέπει να επιτύχει στο επόµενο διαγώνισµα για να έχει µέσο όρο πάνω από 7; 6. Ο Νίκος έχει διπλάσια χρήµατα από την Χριστίνα άλλα ξόδεψε και τώρα έχει λιγότερα από την Χριστίνα. Να αποδείξετε ότι η Χριστίνα έχει λιγότερα από. 7. Να βρείτε τις τιµές του χ, ώστε το εµβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου στο παρακάτω σχήµα να µην ξεπερνάει το εµβαδόν του ορθογωνίου. 7 χ+ χ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -7-