. Δίνεται θ παραγωγίςιμθ ςτο * α, β + ( 0 < α < β ) ςυνάρτθςθ f για τθν οποία ιςχφουν: f(α) lim (-) a και lim ( f(β)) = Να δείξετε ότι: α. f(α) < α και f(β) > β β. Αν g() = τότε θ C f και C g ζχουν ζνα τουλάχιςτον κοινό ςθμείο ( 0, y 0 ) με 0 (α, β) γ. Υπάρχει ξ (α,β) ώςτε f(ξ) α. f(α) a lim lim lim(f(α) a ) =. (-) (-) Αλλά lim και lim(f(α) a) f(α) a. (-) Άρα πρζπει f(α) a 0 f(α) < α (). Επίςθσ: lim ( f(β)) lim f(β) Αλλά lim και lim f(β) f(β). (β > 0) Άρα f(β) 0 f(β) 0 f(β) > β ()
β. Θεωρώ τθ ςυνάρτθςθ h με h() f() () f() g θ οπoία είναι ςυνεχισ ςτο * α, β+, ωσ άκροιςμα ςυνεχών ςυναρτιςεων αφοφ f παραγωγίςιμθ ςτο * α, β+ ). Επίςθσ h( a) f(α) a 0, από ( ) και h ( ) f(β) 0, από ( ). Δθλαδι h( ). h ( ) 0. Άρα ςυμφώνα με το Θ. Bolzano κα υπάρχει ζνα τουλάχιςτον χ 0 ( α, β ) τζτοιο ώςτε : h( ) 0 f( ) g( ) 0 f( ) g ( ). 0 0 0 0 0 γ. Για τθ ςυνάρτθςθ f εφαρμόηεται το Θ. Μ. Τ. ςτο * α, β +. Άρα υπάρχει ξ ( α, β ) ώςτε f(ξ) f(β) f(α). a Άλλα από το ( α ) ερώτθμα ζχουμε : f(β) και f( ) a f(α) a. Με πρόςκεςθ κατά μζλθ ζχουμε f(β) f(α) και τελικά f(β) f(α) a αφοφ 0. Άρα f(ξ). a, a, a,..., a (0,).. Δίνονται οι πραγματικοί αρικμοί 3 009 Να δείξετε ότι θ εξίςωςθ a a... a 009 009 ζχει μία τουλάχιςτον μθ αρνθτικι ρίηα. Θεωροφμε τθ ςυνάρτθςθ f() a a... a 009, [0,] 009 Για τθν f διαπιςτώνουμε ότι: Θ f ςυνεχισ ςτο * 0, + (γιατί;) f(0) a a... a 009 a a... a 009 009 009 f() a a... a 009 009 a a... a 009 009 ( a a... a ).009 009 009
Δθλαδι ( a a... a 009 009) f(0).f() ( a a... a 009 009) 0 Αν f(0).f() 0 τότε ςφμφωνα με το Θ. Bolzano κα υπάρχει χ 0 ( 0, ) τζτοιο ώςτε f( 0) 0. Αν f(0).f() 0 τότε f(0) 0 ή f() 0 δθλαδι το μθδζν ι το δφο ρίηεσ τθσ f. Άρα από τα παραπάνω προκφπτει ότι θ εξίςωςθ f() 0 ζχει τουλάχιςτον μία ρίηα ςτο * 0, + [ 0, ), προφανώσ μθ αρνθτικι. 3. Ζςτω οι παραγωγίςιμεσ ςυναρτιςεισ f, g στο για τισ οποίεσ για κάκε να ιςχφει g () 0 και ακόμθ:f (). g() f(). g (). Να λυκεί θ ανιςότθτα: f(). g(009) f(009). g (). Για κάκε βρίςκουμε από τθν υπόκεςθ διαδοχικά: f (). g( ) f(). g '( ) f '(). g() f(). g '() 0 f '(). g() f(). g'() f() 0 0 f g ( g()) g() γν. αφξουςα. Όποτε διαδοχικά ζχουμε: f(). g(009) f(009). g() f() f(009) g() g(009) δθλαδι θ f g f () (009) 009 g.
3 4. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f : με f()= 3 α. Να μελετθκεί θ f ωσ προσ τθν μονοτονία και τα ακρότατα. β. Nα λυκεί θ εξίςωςθf() = 0. γ. Aν Η μιγαδικόσ αρικμόσ για τον οποίο ιςχφει: 3 z z.3, να βρεκεί ο γεωμετρικόσ τόποσ των εικόνων του μιγαδικοφ Η. δ. Μία μζλιςςα κινείτε ςτον παραπάνω γεωμετρικό τόπο. Κακώσ 3 περνάει από το ςθμείο Α (, ), θ τεταγμζνθ y ελαττώνεται με ρυκμό 5 μονάδεσ το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυκμό μεταβολισ τθσ τετμθμζνθσ χ τθ χρονικι ςτιγμι ποφ θ μζλιςςα περνάει από το ςθμείο Α. α. Θ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο με f ()=3 3.ln3 0, δθλαδι θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο και επομζνωσ δεν ζχει ακρότατα. β. Παρατθροφμε ότι f ()= 3 3 0 =-=0, δθλαδι το είναι ρίηα τθσ εξίςωςθσ f ()=0 και επειδι θ f είναι γν. αφξουςα ςυμπεραίνουμε ότι θ εξίςωςθ f ()=0 ζχει μοναδικι ρίηα το ςτο. γ. Ζχουμε Άρα z z z z 3 3 z 3 3 z.3 3 z 3 z 3 z 3 z z z z f ( z ) 3 3 3 0 f(), αφοφ θ f είναι γν. αφξουςα κα είναι και - άρα. Δθλαδι οι εικόνεσ του μιγαδικοφ z βρίςκονται ςε κφκλο με κζντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=. δ. Ζςτω ( t ) y=y(t) οι ςυντεταγμζνεσ τθσ μζλιςςασ, τθ χρονικι ςτιγμι t. Τθ χρονικι ςτιγμι t 0 που θ μζλιςςα βρίςκεται ςτθ κζςθ Α, 3 3, ζχουμε t ( 0) και yt ( 0). Επίςθσ ζχουμε: ( t 0) 5 /sc. Επειδι θ μζλιςςα κινείται ςτον κφκλο Διαδοχικά ζχουμε. y, είναι ( ( t)) ( y ( t)) 0 ( t) ( t) y( t) y ( t ) 0. ( t) y ( t ).
Άρα τθ χρονικι ςτιγμι t 0 ζχουμε: ( t0) ( t0) y( t0) y ( t 0) 0 yt ( 0) 5 3 / Επομζνωσ ( t0) y ( t0) 5 3 /sc. t ( ) / 0 5. α. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι - και ζχει ςυνεχι παράγωγο ςτο διάςτθμα *α, β+, να δείξετε ότι: β f(β) f()d+ f ()d=βf(β) f(α). α f(α) β. Αν f()=, με [0, ]. Να βρείτε τθν f γ. Να δείξετε ότι: α. Στο ολοκλιρωμα d+ ln(+)d=. 0 0 f(β) I= f ()d, f(α) () εφόςον ορίηεται. κζτουμε =f(u) () οπότε είναι d=f (u)du. Για =f(α) από την () έχουμε: f(α)=f(u) u, αφοφ θ ςυνάρτθςθ f είναι -. Όμοια για =f(β) έχουμε: () f(β)=f(u) β=u. Άρα είναι f(β) β β I= f ( )d= f (f(u))f (u)du= uf (u)du, αφοφ f(α) α α f (f(u)) u. Επομζνωσ ζχουμε β α β I=[uf(u)] (u) f(u)du βf(β) αf(α) f(u)du α βf(β) αf(α) f()d. β α Συνεπώσ ζχουμε: β f(β) β β f()d+ f ()d= f()d+βf(β) αf(α) f()d=βf(β) αf(α) α f(α) α α β α β. Για f()=, με [0, ] ζχουμε: f ()=.>0 ςτο (0, ) άρα θ f γν. αφξουςα ςτο *0, + και επομζνωσ -.
ln( y ) = ln(y+) y+= y=f() y= y> y> y+>0 0 ln(y+) ln ln(y+) ln = ln(y+) y> y = ln(y+) 0 y Άρα f () ln(+) με [0, -] γ. Ζτςι για α=0 και β= ζχουμε: f(α)=f(0)= 0 -=0 και f(β)=f()=-=0 Άρα από το α) και β) ερώτθμα ζχουμε: ( )d+ ln(+)d=( ) 0=. 0 0 6. Ζςτω ςυνάρτθςθ f : με ςφνολο τιμών f( )=. Αν θ f είναι γνθςίωσ μονότονθ και θ C f διζρχεται από τα ςθμεία Α(,5) και Β(4,) τότε: α. Να αποδείξετε ότι θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα. β. Να λυκεί θ εξίςωςθ: f ( f ( 6+6)) γ. Να λυκεί θ ανίςωςθ: (f()) 6f() 5 α. Είναι f()=5 και f(4)= δθλαδι ζχουμε 4 f()>f(4) και επειδι θ f είναι γνθςίωσ μονότονθ άρα είναι γνθςίωσ φκίνουςα. β. Αφοφ θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα, κα είναι και -, οπότε υπάρχει θ f θ οποία είναι και αυτι γνθςίωσ φκίνουςα και διζρχεται από τα ςυμμετρικά ςθμεία των Α και Β ωσ προσ τθν ευκεία y=. Δθλαδι ιςχφει f()=5 f (5) και f(4)= f () 4. Άρα ζχουμε: f ( f ( 6+6)) f ( f ( 6+6)) f (5)
γ. f ( 6+6)=5 f ( 6+6)=4 f ( 6+6)=f () 6+6= 6+5=0 = ι =5. (f()) 6f() 5, κζτουμε f()=y και ζχουμε y 6y 5 y 6y+5 0 y 5 f(4) f() f() 4 4. (Αφοφ f γνθςίωσ φκίνουςα). Άρα [,4]. 7. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w για τουσ οποίουσ ιςχφουν: z z i και w 3. α. Να βρεκοφν οι γεωμετρικοί τόποι των εικόνων των μιγαδικών z και w. β. Αν Α και Β οι εικόνεσ των μιγαδικών z και w για τισ οποίεσ θ παράςταςθ z w παίρνει τθν ελάχιςτθ τιμι, να βρεκοφν τα Α και Β κακώσ και θ ελάχιςτθ τιμι τθσ παράςταςθσ z w. α. Ζςτω z=+yi τότε: z z i ( ) yi ( y ) i ( ) y ( y ) y y y y. Άρα οι εικόνεσ του μιγαδικοφ z βρίςκονται ςτθν ευκεία ε: y δθλαδι ςτθν διχοτόμο του 0 και 3 0 τεταρτθμορίου. Επειδι w 3 οι εικόνεσ του w βρίςκονται ςε κφκλο με κζντρο Κ(3,0) και ακτίνα (-3) y. ι διαφορετικά ςε κφκλο με εξίςωςθ
β. ε:y= Α Β Κ(3,0) Θ εξίςωςθ τθσ ΑΒ ε είναι: y 0 ( 3) ι y 3. Θ ε και θ ΑΒ ζχουν κοινό ςθμείο το Α με ςυντεταγμζνεσ ποφ προκφπτουν από τθ λφςθ του ςυςτιματοσ: 3 y 3 3 Άπα Α(, ) y 3 3 y Οι ςυντεταγμζνεσ του Β προκφπτουν από τθ λφςθ του ςυςτιματοσ y 3 y 3 y 3 ( 3) y ( 3) ( 3) y 3 y 3 3 ή 3 4 ή όταν 4 τότε y= όταν τότε y Άρα Β(,) και 3 3 min z w ( AB ) 4 4
8. Ζςτω ο μιγαδικόσ z ώςτε z i. 3 3 α. Να δείξετε ότι ο άξονασ y y εφάπτεται ςτον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικοφ z. β. Να υπολογίςετε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w 3z i και V w i. γ. Αν w, w είναι δφο μιγαδικοί αρικμοί από τουσ w του β ερωτιματοσ να υπολογίςετε το w w όταν το w w είναι μζγιςτο. α. Ο γεωμετρικόσ τόποσ του z είναι κφκλοσ με κζντρο Κ(, ) και 3 ακτίνα 3. Άρα 0 επομζνωσ ο κφκλοσ εφάπτεται ςτον y y. β. z i 3z 6i 3z i i 6i 3 3 w 3 4i. Επομζνωσ ο γεωμετρικόσ τόποσ του w είναι κφκλοσ κζντρο Λ(3,-4) ακτίνα ρ =. Ζχουμε w 3 4i w 3 4i w 3 4i w i i 3 4i V 5i. Επομζνωσ ο γεωμετρικόσ τόποσ του V είναι κφκλοσ κζντρο Μ(,5) ακτίνα ρ 3 =. γ. Το w w γίνεται μζγιςτο όταν οι εικόνεσ τουσ είναι ςθμεία αντιδιαμετρικά, ζςτω Α(w ) και Β(w ) τα άκρα μιασ διαμζτρου τότε ζχουμε: w w OA OB O (3 ) ( 4 0) 5 0
y λ Λ χ Ο 3 χ Β -4 Λ Α y Θυμθκείτε w w A B Μ Γ
9. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f θ οποία είναι ςυνεχισ ςτο *0,4+ και ιςχφει f () 5 για κάκε (0,4). Αν f(0) 4, να αποδείξετε ότι: α. 4 f(4) 6 β. Θ γραφικι παράςταςθ τθσ f τζμνει ακριβώσ μια φορά τον άξονα όταν (0,4) γ. Ορίηεται θ αντίςτροφθ τθσ f ςτο *0,4] δ. Να λυκεί θ εξίςωςθ f(-3+f ( 3)) 4ςτο *0,4+ όταν το Μ(3,-) ανικει ςτθ γραφικι παράςταςθ τθσ f. α. Θ f ικανοποιεί τισ ςυνκικεσ του Θ.Μ.Τ ςτο διάςτθμα *0,4+, οπότε f(4) f(0) f(4)+4 υπάρχει ξ (0,4) τζτοιο, ώςτε f(ξ)=. Αλλά, 4 0 4 από υπόκεςθ ζχουμε f () 5 για κάκε (0,4), οπότε f(4)+4 5 8 f(4)+4 0 4 f(4) 6. 4 β. Θ f είναι ςυνεχισ ςτο *0,4+ και f(0) 4 δθλ. f(0) < 0 από το α ερώτθμα προκφπτει ότι f(4) > 0, άρα f(0).f(4) <0 επομζνωσ ςφμφωνα με το κεώρθμα Bolzano κα υπάρχει ζνα τουλάχιςτον 0 (0,4) τζτοιο ώςτε f( 0 ) 0. Επειδι όμωσ f () 5 για κάκε (0,4) θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο *0,4+ άρα το 0 είναι μοναδικό. Δθλαδι θ f τζμνει ακριβώσ μια φορά τον άξονα ςτο (0,4). γ. Επειδι όμωσ f () 5 για κάκε (0,4) θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο *0,4+ άρα και - επομζνωσ ορίηεται θ αντίςτροφι τθσ. δ. Το Μ(3,-) C f άρα ζχουμε f(3) και f ( )=3 επομζνωσ ζχουμε f(-3+f ( 3))= 4 f(-3+f ( 3))=f(0) και επειδι f - ζχουμε: και επειδι -3+f ( 3)=0 f ( 3)=3 f ( 3)=f ( ) f - ζχουμε 3= 3+=0 = η =.
0. Δίνεται ο μιγαδικόσ z για τον οποίο ιςχφει: z z α. Να βρεκεί ο γεωμετρικόσ τόποσ των εικόνων των μιγαδικών αρικμών z κακώσ και θ καρτεςιανι εξίςωςι του. β. Ζνα κουνοφπι κινείτε ςτον παραπάνω γεωμετρικό τόπο. Κακώσ 3 4 περνάει από το ςθμείο Α (, ), θ τεταγμζνθ y ελαττώνεται με 5 5 ρυκμό 6 μονάδεσ το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυκμό μεταβολισ τθσ τετμθμζνθσ χ τθ χρονικι ςτιγμι ποφ το κουνοφπι περνάει από το ςθμείο Α. α. Ζχουμε z z z z z z z z 4zz z z zz z z 4 3zz 3 zz z z Άρα οι εικόνεσ των μιγαδικών z βρίςκονται ςε κφκλο με κζντρο Ο(0,0) και ακτίνα. Συνεπώσ θ καρτεςιανι του εξίςωςθ είναι y. β. Ζςτω ( t ) y=y(t) οι ςυντεταγμζνεσ του κουνουπιοφ, τθ χρονικι ςτιγμι t. Τθ χρονικι ςτιγμι t 0 που το κουνοφπι βρίςκεται ςτθ κζςθ Α 3, 4 5 5, ζχουμε 3 4 t ( 0) και yt ( 0). 5 5 Επίςθσ ζχουμε: ( t 0) 6 /sc. Επειδι το κουνοφπι κινείται ςτον κφκλο y, είναι ( t) y ( t ). Διαδοχικά ζχουμε. ( ( t)) ( y ( t)) 0 ( t) ( t) y( t) y ( t ) 0. Άρα τθ χρονικι ςτιγμι t 0 ζχουμε: ( t0) ( t0) y( t0) y ( t 0) 0 yt ( 0) 6.4/5 Επομζνωσ ( t0) y ( t0) 8 /sc. t ( ) 3/5 0
. Α. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ g()=(+)ln+-, >0. Να μελετιςετε τθν g ωσ προσ τθ μονοτονία και τα ακρότατα Β. Αν f()=ln +ln-, >0 α. να υπολογίςετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τθν γραφικι παράςταςθ τθσ f, τον άξονα και τισ ευκείεσ = και =. β. να δείξετε ότι θ f δεν ζχει οριηόντια ι πλάγια αςφμπτωτθ. γ. να βρείτε τθν κατακόρυφθ αςφμπτωτθ και τθ γωνία που ςχθματίηει θ κατακόρυφθ αςφμπτωτθ τθσ C f με τθν εφαπτομζνθ τθσ ςτο ςθμείο Α(, f () ). Α. g ()= 4 ln 4, g ()= - 4 0 αφοφ -4 +-<0 για κάκε (Δ= -3<0) Άρα θ g είναι γν. φκίνουςα ςτο (0,+ ) προφανισ ρίηα τθσ g () είναι θ = αφοφ g ()=+0+-4=0 για > g ( ) g () g ( ) 0 για < g ( ) g () g ( ) 0 0 g () + - g() Άρα g γν. αφξουςα ςτο (0,+, g γν. φκίνουςα ςτο *,+ ) και θ g παρουςιάηει ςτο = μζγιςτο το g()= - Άρα g() g() g( ) 0 g( ) 0 για κάκε >0 ln ln g( ) Β. α. f ()= ln ln 0 κάκε >0 Άρα f γν. φκίνουςα ςτο (0,+ ) Ε= f ( ) d για > Άρα f() < 0 ςτο *,] Επομζνωσ Ε= f (. ) f ( ) f () f ( ) 0 ( ( )) ( ln ln ) f d d = για
ln d ln d 3 d 3 ln ( ) = ln d ln d [ln ] - 0 ln d... ln ln d ln d... 4 4 3 3 Άρα Ε= τ.μ. 3 4 4 β. Ελζγχουμε μόνο ςτο + (λόγω πεδίου οριςμοφ) f ( ) ln ln ln lim lim lim ln = ln ln lim = + (0 0 ) ln ln ln αφοφ : lim ( DLH ) lim lim ( DLH ) lim 0 ln και lim ( DLH ) lim 0 Άρα θ C f δεν ζχει πλάγια αςφμπτωτθ ςτο + Επίςθσ lim f ( ) lim (ln ln ) lim 0 Επομζνωσ δεν ζχει οριηόντια αςφμπτωτθ ςτο + d ln ln γ. lim f ( ) lim ln ln lim ln ln ln 0 0 0 = + ( 0 0 0 0) άρα θ ευκεία =0 (0 y y) είναι κατακόρυφθ αςφμπτωτθ Θ εφαπτομζνθ ςτο =: y+= - (-) : y Θ ε ςχθματίηει με τον y y γωνία 45 f()= -, f ()= -
. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f: για τθν οποία ιςχφει 009 (f()) f()+ α+β = 0 () για κάκε, όπου α, β με α < 4β. Δίνεται επίςθσ και ο μιγαδικόσ z()=f() + if(-). α. Αν Im[(z(0)) ] =-00 τότε να δειχκεί ότι θ f δεν είναι ςυνεχισ ςτο [0, ]. β. Αν θ f είναι ςυνεχισ ςτο *0, + και f( )=009 να δείξετε ότι θ εξίςωςθ f()=0 ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο (0, ). γ. Αν θ f είναι ςυνεχισ ςτο και ιςχφει R(z()) + Im(z())=-408, τότε να υπολογίςετε το 0 f()d. α. z(0) = f(0) + if() άρα [z(0)] = [f(0)] -[f()] +if(0)f() άρα Im[z(0)] =f(0)f() και επομζνωσ f(0)f() = -005 (). Αν θ f είναι ςυνεχισ ςτο *0, + τότε από τθν (): f(0)f() < 0 και ςυμφώνα με το Θ.Bolzano κα υπάρχει 0 (0, ) ώςτε f( 0 ) = 0. Από τθν () για = 0 ζχουμε: 009 (f( 0)) f( 0)+ 0 α 0+β = 0 0 α 0+β = 0 άτοπο αφοφ θ τελευταία εξίςωςθ είναι αδφνατθ γιατί Δ = α -4β < 0. Άρα θ f δεν είναι ςυνεχισ ςτο *0, +. β. Θ () για =0 γίνεται: 009 008 f(0) f(0)+β=0 f(0)[f(0) ] β β άρα f(0)= < 0 008 f(0) 008 f(0) > 0. γιατί 4β > α 0 δθλ. β >0 και Επομζνωσ θ f είναι ςυνεχισ ςτο *0, ]
f(0) < 0 f( ) 009 0 f(0).f( ) 0 Άρα ςφμφωνα με το Θ.Bolzano κα υπάρχει ζνα τουλάχιςτον ξ (0, ) τζτοιο ώςτε f(ξ)=0. Δθλαδι θ εξίςωςθ f()=0 ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο (0, ). γ. R(z()) + Im(z())=-408 f() + f(-) = -408 f()d + f(-)d= 408 d για το δεφτερο ολοκλιρωμα κζτω 0 0 0 u=- οπότε όταν =0 τότε u= d=-du όταν = τότε u=0 0 f()d - f(u)du = -408 f()d + f(u)du = -408 0 0 0 f()d=-408 f()d=-009. 0 0