ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο ευθειών του ε ι έδου ου τέµνονται και δεν κείνται ε ευθείας..τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αν ω είναι μια οξεία γωνία ορθογωνίου τρίγωνου, τότε ορίζουμε: ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Στοιχεια, Ορισµός 8 α έ ναντι κ ά θετη λε ύ ρα ηµω = υοτε ί νουσα α έ ναντι κ ά θετη λε ύ ρα εφω = ροσκε ί µενη κ ά θετη λε ύ ρα ροσκε ί µενη κ ά θετη λε ύ ρα συνω = υοτε ί νουσα ροσκε ί µενη κ ά θετη λε ύ ρα σφω = α έ ναντι κ ά θετη λε ύ ρα (σφω= συνεφατομένη της γωνίας ω) Π.χ,στο διλανό ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε γ α γ α ηµ Γ =, συν Γ =, εφγ =, σφγ = β β α γ )Τριγωνομετρικοί αριθμοί οοιασδήοτε γωνίας Έστω ω η γωνία (0 ω 60 o ) ου αράγεται αό τον ημιάξονα Οχ όταν αυτός εριστρέφεται κατά την θετική φορά (δηλ αντίθετα με την κίνηση των δεικτών του ρολογιού). Ο θετικός ημιαξονας Οχ λέγεται αρχική λευρά της γωνίας ω, ενώ η τελική του θέση λέγεται τελική λευρά της γωνίας ω. Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ(χ,y) της τελικής λευράς διαφορετικό αό το 0. Αν ρ είναι η αόσταση του Ο αό το Μ, δηλαδή ρ = + > 0, τότε ορίζουμε: χ y y ηµω = ρ χ συνω = ρ y χ εφω = σφω= (ψ 0) (ΙΙ) χ y Αν ο θετικός ημιάξονας Οχ, κινούμενος κατά την θετική φορά, διαγράψει ν λήρεις στροφές ( μια λήρης στροφή είναι 60 ο ) και μετά γωνία θ ο,τότε λέμε ότι έχει διαγράψει γωνία 0 0 ω= ν 60 + θ

Π.χ αν ο Οχ διαγράψει λήρεις στροφές και στη συνεχεία γωνία 40 ο, τότε έχει διαγράψει 0 0 0 γωνία ω= 60 + 40 = 760. Αν ο θετικός ημιάξονας Οχ κινούμενος κατά την αρνητική φορά( με τη φορά της κίνησης των δεικτών του ρολογιού) διαγράψει ν λήρεις στροφές και μετά γωνία θ o, τότε λέμε ότι έχει 0 0 0 0 διαγράψει αρνητική γωνία ν 60 + θ η γωνία ν 60 θ. Π.χ αν ο Οχ, κινούμενος με την αρνητική φορά, διαγράψει μια λήρη στροφή και μετά γωνία 50 ο, τότε έχει διαγράψει γωνία (60 ο +50 ο ) = 40 ο. Για γωνίες μεγαλύτερες των 60 ο ή αρνητικές γωνίες ορίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς άλι με τους τύους (ΙΙ). Σύμφωνα με τα αραάνω, όλες οι γωνίες της μορφής κ.60 ο +ω (κ Ζ και 60 ο < ω < 60 ο ) έχουν την ίδια τελική λευρά και για αυτό έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με την γωνία ω. Δηλαδή έχουμε : ημ(κ.60 ο +ω)=ημω εφ(κ.60 0 +ω)=εφω συν(κ.60 ο +ω)=συνω σφ(κ. 60 0 +ω)=σφω Π.χ ημ740 ο =ημ(.60 ο +0 ο )=ημ0 ο, εφ99 ο =εφ(5. 60 ο +9 0 ) =εφ9 ο συν(-500 ο )=συν(-. 60 ο +0 ο ) ή συν(-60 ο 40 ο )=συν(-40 ο ). Ο τριγωνομετρικός κύκλος Ο κύκλος με κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα ρ=, λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος. Έστω μια γωνία ω της οοίας η τελική λευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(χ,ψ). Αφού ρ=(ομ)=, έχουμε: συνω=χ= τετμημένη του Μ ημω=y= τεταγμένη του Μ Έστω ε η εφατόμενη του τριγωνομετρικού κύκλου στο Α, ου τέμνει την τελική λευρά ΟΜ της γωνίας ω στο Γ.Αό την ομοιότητα των ορθογωνίων τρίγωνων ΟΕΜ και ΟΑΓ έχουμε:

( ΜΕ ) ( ΟΕ ) ( ΑΓ ) = = ( ΑΓ ) ( ΟΑ ) [αφού (ΟΑ)=] Αν.χ η ω είναι οξεία γωνία, τότε (ΜΕ)=y=ημω, (ΟΕ)=χ=συνω και (ΑΓ)=yΓ(τεταγμένη του Γ) και εομένως εφω= y = yγ. χ Η ιδιότητα αυτή γενικεύεται για οοιαδήοτε γωνία ω και γι αυτό η ε λέγεται ευθεία των εφατόμενων. Αν φέρουµε την εφατόµενη του τριγωνοµετρικού κύκλου στο Β και τέµνει την ΟΜ στο,τότε οµοίως βρίσκουµε χ σφω = = χ, (τετµηµένη του ) y Για το λόγο αυτό η εφατόμενη σ λέγεται ευθεία των συνεφατομένων. Σχόλιο: Αό τα αραάνω συμεραίνουμε τα εξής: -Οι αριθμοί ημω και συνω αίρνουν τιμές στο διάστημα [-,], δηλαδή: - ημω και συνω -Οι αριθμοί εφω και σφω αίρνουν τιμές σε όλο το R. 4)Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Αν.χ η τελική λευρά μιας γωνίας ω βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο, τότε οι συντεταγμένες (χ,ψ) οοιουδήοτε σημείου αυτής είναι θετικές και εομένως ημω>0,συνω>0,εφω>0 και σφω>0. Στο ο τεταρτημόριο έχουμε χ<0, ψ>0 όοτε ημω>0,συνω<0, εφω<0, σφω<0.ομοίως βρίσκουμε για το ο και το 4 ο τεταρτημόριο. Συνοψίζουμε στον αρακάτω ίνακα:

Τεταρτηµόρια ο ο ο 4ο ηµω + + - - συνω + - - + εφω + - + - σφω + - + - Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί εφω και σφω είναι ομόσημοι. Πιο αλά το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών, φαίνεται στα αρακάτω σχήματα. 5.Ακτίνιο Λέμε ότι το τόξο κύκλου (Ο, ρ) είναι τόξο ενός ακτινίου (rad), όταν έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ενός κύκλου. Λέμε ότι μια γωνία ω είναι γωνία ενός ακτινίου, όταν γίνει είκεντρη γωνία κύκλου (ο,ρ) και βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου. Ένας κύκλος ακτίνας ρ έχει μήκος ρ και εομένως η γωνία 60 0 έχει rad, ενώ η γωνία 80 ο είναι rad.η γωνία rad είναι 80 μοίρες και γενικά η γωνία α rad είναι α 80 μοίρες.. Συμεραίνουμε λοιόν ότι: Αν μια γωνία είναι μ ο και α rad, τότε α = µ 80 Π.χ μια γωνία 0 ο 0 είναια = 0 = rad,ενώ μια γωνία rad 80 9 5 είναι 80 5 0 0 =. 08 Σημείωση: Στο εξής, όταν γράφουμε ημχ, συνχ κ.λ. θα εννοούμε ημ(χrad), συν(χrad) κ.λ.. 6) Τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0 ο,0 ο,45 ο,60 ο,90 ο

Γωνία ω 0 ο ή 0 rad 0 ο ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 60 ο ή rad 90 ο ή rad ημω 0 συνω εφω 0 σφω δεν ορίζεται 0 δεν ορίζεται 0 Τριγωνομετρικές ταυτότητες Έστω μια γωνία ω της οοίας η τελική λευρά τεμνει τον τριγωνομετρικο κύκλο (0,) στο σημείο Μ(χ,ψ) όοτε έχουμε : ημω= y ρ = y,συνω= χ =χ (αφου ρ=) ρ i) Εειδή x + y = ρ =, έχουμε: ημ ω+συν ω= ii)αφού εφω= y χ και σφω= x y, έχουμε: ηµω εφω= συνω συνω, σφω= ηµω ιιι)παρατηρουμε ότι οι αριθμοι εφω και σφω είναι αντιστροφοι, δηλαδή εφω σφω = ιv)αό την ταυτότητα ημ ω+συν ω= :.αν συνω 0, έχουμε : + = ή ηµ ω συν ω συν ω συν ω συν ω εφ ω + = ή συν ω = συν ω + εφ ω

.αν ημω 0, έχουμε: ηµ ω συν ω + = ή σφ ω + = ή ηµ ω = ηµ ω ηµ ω ηµ ω ηµ ω + σφ ω Είσης είναι ηµ + εφ ω ω = συν ω = =, δηλαδή + εφ ω + εφ ω εφ ω ηµ ω = + εφ ω Αναγωγή στο ρώτο τεταρτηµόριο Ο υολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών μιας οοιασδήοτε γωνίας, ανάγεται στον υολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας του ου τεταρτημορίου..αντίθετες γωνίες Θεωρούμε δυο αντίθετες γωνίες ω και ω (ω = -ω)ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ αντίστοιχα..τα σημεία Μ καιμ είναι συμμετρικά ως ρος άξονα x x και εομένως έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες. Είναι: ηµω = y= ηµω συν ω = χ = συνω y εφω = = εφω χ χ σφω = = σφω y Συμεραίνουμε λοιόν ότι: «Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.» Δηλαδή είναι: συν ( ω) = συνω, ηµ ( ω ) = ηµω, εφ( ω ) = εφω, σφ ( ω ) = σφω

0 0 Π.χ είναι : ηµ ( 0 ) = ηµ 0 =-, συν ( ) = συν ( ) = 4 4.Παραληρωματικές γωνίες Θεωρούμε δυο αραληρωματικές γωνίες ω και ω (ω =80 ο +ω)ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ αντίστοιχα. Τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως ρος τον άξονα ψ ψ και εομένως έχουν αντίθετες τετμημενες και την ίδια τεταγμένη. Είναι: ηµω = y= ηµω συνω = χ = συνω y εφω = = εφω χ χ σφω = = σφω y Έτσι συμεραίνουμε ότι: «Οι αραληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.» Δηλαδή είναι: 0 0 (80 ), (80 ) ηµ ω = ηµω συν ω = συνω 0 0 (80 ), (80 ) εφ ω = εφω σφ ω = σφω.χ ημ50 ο =ημ(80 ο 0 ο )=ημ0 ο =, εφ =εφ( - )=-εφ = - 4 4 4.Γωνιες ου διαφέρουν κατά 80 ο Αν είναι ω -ω=80 ο, τότε έχουμε ω =80 ο +ω=80 ο (-ω), δηλαδή οι γωνιες ω καιω είναι αραληρωματικές. Είναι: ηµ ω = ηµ ( ω ) = ηµω, συνω = συν ( ω ) = συνω εφ ω = εφ ( ω ) = εφω, σφω = σφ ( ω ) = σφω

«οι γωνίες ου διαφέρουν κατά 80 ο (ή rad ) έχουν την ίδια εφατομένη και συνεφατομένη, ενώ έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο.» Δηλαδή είναι: 0 0 ηµ (80 + ω ) = ηµω, συν (80 + ω ) = συνω 0 0 εφ (80 + ω ) = εφω, σφ (80 + ω ) = σφω Π.χ ημ40 ο =ημ(80 ο +60 ο )= - ημ60 ο =- 4.Συμληρωματικές γωνίες Θεωρούμε δυο συμληρωματικές γωνίες ω και ω(ω =90 ο -ω) ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ αντίστοιχα. Οι γωνίες AO M και BOM είναι ίσες και εομένως τα σημεία Μ και Μ είναι συμμετρικά ως ρος τη διχοτόμο της γωνίας xo ψ. Είναι: ηµω = χ = συνω, συνω = y = ηµω χ y εφω = = σφω, σφω = = εφω y χ Έτσι συμεραίνουμε ότι: «Στις συμληρωματικές γωνίες το ημίτονο καθεμίας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφατόμενη καθεμίας ισούται με τη συνεφατομένη της άλλης..» Δηλαδή είναι : 0 0 0 0 ηµ (90 ω) = συνω, συν (90 ω) = ηµω, εφ(90 ω) = σφω, σφ(90 ω) = εφω Π.χ ημ60 ο =συν0 ο =, εφ67 ο =σφ 0,σφ =εφ 6 = Συνοτικά τα αραάνω αοτελέσματα μορούμε να τα αρουσιάσουμε στον αρακάτω ίνακα.

Πίνακας αναγωγής στο ρώτο τεταρτημόριο χ -α -α +α α +α α +α ημχ -ημα ημα -ημα συνα συνα -συνα -συνα συνχ συνα -συνα -συνα ημα -ημα -ημα ημα εφχ -εφα -εφα εφα σφα -σφα σφα -σφα σφχ -σφα -σφα σφα εφα -εφα εφα -εφα Για να θυμόμαστε εύκολα τον αραάνω ίνακα, αρκεί να γνωρίζουμε ότι:. Ο τριγωνομετρικός αριθμός αραμένει ο ίδιος αν η γωνία χ είναι της μορφής ± α και αλλάζει αό ημ σε συν,αό εφ σε σφ και αντίστροφα όταν η γωνία χ είναι της μορφής ± α ή ±α.. Το ρόσημο εξαρτάται αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας χ (θεωρούμε ότι 0<α< ).Είναι «+» αν ο τριγωνομετρικός αριθμός του χ είναι θετικός και «-» αν είναι αρνητικός στο τεταρτημόριο αυτό. Λυμένες Ασκήσεις )Να βρείτε τους αριθμούς i) ημ5 ο ii)συν(-660 ο ) iii)εφ470 ο i) Διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκουμε 5 ο =.60 ο +45 ο και εομένως ημ5 ο = ημ(.60 ο +45 ο ) = ημ45 ο = ii) συν(-660 ο )=συν(-70 ο +60 ο )=συν(-.60 ο +60 ο )=συν60 ο =συν60 ο = iii)εφ470 ο =εφ(4.60 ο +0 ο )=εφ0 ο =. Παρατήρηση: Για να υολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας μ ο >60 ο, εργαζόμαστε ως εξής: Διαιρούμε το μ με το 60.Αν κ είναι το ηλίκο και ω το υόλοιο της διαίρεσης (0 ο ω 60 ο ), τότε έχουμε μ ο =κ.60 ο +ω ο και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας μ ο ταυτίζονται με τους αντιστοίχους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. )Να βρείτε τους αριθμούς : 5 6 i) ημ ii) συν iii)εφ 6 4 4 iv)σφ 6

5 5 5 i)είναι =.Αν διαιρέσουμε το 5 με το, βρίσκουμε 5=.+, δηλαδή = +. 6 Εομένως 5 ( ) 5 = + = + και ηµ = ηµ ( + ) = ηµ = 6 6 6 6 6 ii) Είναι (4 ) 4 = = + = + και συν = συν (4 + ) = συν =. 4 8 8 4 4 4 4 iii)είναι 6 6 (0 ) 0 6 = = + = + καιεφ = εφ(0 + ) = εφ =. 6 8 iv) 4 4 = = (0+ ) = 0 + και 4 σφ = σφ(0 + ) = σφ =. 6 6 6 6 6 )Αν ηµω = και 90 ο ω 80 ο, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της 5 γωνίας ω. 9 6 Είναι συν ω = ηµ ω = ( ) = =. 5 5 5 6 4 Αφού 90 ο ω 80 ο,είναι συνω <0 και εομένως συνω = =. 5 5 ηµω Ακόμη έχουμε 5 συνω 4 εφω = = = και εφω = =. συνω 4 4 ηµω 5 4)Να αοδείξετε ότι : εφ χ = ηµ χ = συν χ + εφ χ ηµ χ συν χ ηµ χ εφ χ συν χ συν χ συν χ ηµ χ συν χ ηµ χ = = = = = + εφ χ ηµ χ συν χ+ ηµ χ συν χ+ ηµ χ + συν χ συν χ συν χ ηµ χ = ηµ χ ηµ χ = ηµ χ και ακόμη συν χ ηµ χ = συν χ ( συν χ) = συν χ. 5)Να αοδείξετε τις ταυτότητες i) συν εφ ω ω = ii) ηµ ω = + εφ ω + εφ ω

i)κάνοντας ράξεις στο δεύτερο μέλος της αοδεικτέας βρίσκουμε: συν ω = = = = συν ω. ς + εφ ω ηµ ω συν ω+ ηµ ω συν ω+ ηµ ω + συν ω συν ω ii)είναι: ηµ ω+ συν ω = ηµ ω = συν ω. Όμως ξέρουμε ότι : συν ω = και εομένως έχουμε: + εφ ω ηµ + εφ ω εφ ω ω = = =. + εφ ω + εφ ω + εφ ω 6)Αν το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας ω είναι ίσοι αριθμοί τότε να βρείτε οιες μορεί να είναι οι τιμές τους. Είναι ηµ ω = συν ω και εομένως η ταυτότητα ηµ ω+ συν ω = δίνει: ηµ ω+ συν ω = ηµ ω = ηµω =± Άρα ηµω =συνω = ή 7)Έστω θ γωνία τέτοια ώστε ηµω =συνω =. ηµθ +συνθ = i) Να υολογίσετε τον αριθμό ηµθ συνθ. + ii) Να βρείτε τις ιθανές τιμές των αριθμών ημθ και συνθ. + i) Είναι ηµθ +συνθ = και εομένως έχουμε: ( Υψώνουμε στο τετράγωνο) + + = + + = + + = + ( ηµθ συνθ ) ( ) ηµ θ συν θ ηµθσυνθ ηµθσυνθ ηµθσυνθ = 4 ii) Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί ημθ και συνθ έχουν άθροισμα ίσο με + και γινόμενο ίσο με Άρα είναι: ημθ = και συνθ = ή συνθ = και ημθ =

8)Αν ηµχ + συνχ = λ, να υολογίσετε (ως συναρτηση του λ) τις αρακάτω αραστάσεις : i)ηµχσυνχ ii) ηµ χ+ συν χ 4 4 6 6 iii) ηµ χ + συν χ iv) ηµ χ + συν χ i) Αφού ηµχ + συνχ = λ, έχουμε: ( ηµχ + συνχ) = λ ηµ χ+ συν χ + ηµχσυνχ = λ + ηµχσυνχ ηµχσυνχ = λ. ii) λ λ ηµ χ+ συν χ = ( ηµχ + συνχ)( ηµ χ ηµχσυνχ + συν χ) = λ ( ) = λ = = λ( λ ). 4 4 iii) ηµ χ + συν χ = ( ηµ χ) + ( συν χ) = ( ηµ χ+ συν χ) ηµ χσυν χ = 4 λ ( λ ) λ + λ 4 = ( ) = = = ( λ + λ ). iv) 6 6 4 4 4 ηµ χ+ συν χ = ( ηµ χ) + ( συν χ) = ( ηµ χ + συν χ)( ηµ χ ηµ χσυν χ + συν χ) = 4 4 4 λ + λ ( λ ) 4 ηµ χ + συν χ ( ηµχσυνχ ) = = (6λ λ + ). 4 4 9)Να εξετασετε αν υαρχουν τιμές του χ για τις οοίες ισχύει: i) ηµχ = και συνχ = ii) ηµχ = α και συνχ = α+ οου α R Αν υάρχει τέτοιο χ, θα ισχύει ηµ χ+ συν χ =. i) Στην ερίτωση αυτή έχουμε: ηµ χ + συν χ = ( ) + ( ) = + = 9 9 9 Άρα δεν υάρχει χ ώστε: ηµχ = και συνχ =. ii) Αντίστοιχα έχουμε: ηµ χ + συν χ = ( α ) + ( α ) = α + 4α + 4+ α 4α + 4= α + 8 7 Διότι αν ήταν α + 8= α = 7 α = ου δε ισχύει γιατί για κάθε α R ισχύει α 0. Συνεώς δεν υάρχει χ ώστε συνχ =α+ και ηµχ =α όου( α R). 0)Να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών:

i) ii)5 o iii) 7 6 i )Είναι: ηµ ( ) = ηµ =, ( συν ) = συν = εφ ( ) = εφ = καισφ ( ) = σφ =. ii)εειδή 80 ο 5 ο =45 ο, είναι: ηµ 5 ο =ηµ 45 0 =, συν5 ο = συν 45 0 = ο 0 ο 0 εφ5 = εφ45 =, σφ5 = σφ 45 =. 7 7 iii) Εειδή =, θα είναι : = + όοτε 6 6 6 6 7 ηµ = ηµ ( + ) = ηµ = 6 6 6 7 συν = συν ( + ) = συν = 6 6 6 7 εφ = εφ = 6 6 7 σφ = σφ =. 6 6 )Να αοδειχθει ότι : ηµ ( θ ) συν (5 + θ ) εφ(7 + θ ) σφ(9 θ ) = ηµ ( θ ) συν (4 θ ) εφ(6 θ ) σφ(8 + θ ) Θα κάνουμε χρήση των τύων αναγωγής. Είναι : ηµ ( θ ) = ηµ ( + θ ) = ηµ ( θ ) = ηµθ συν (5 + θ ) = συν (4 + + θ ) = συν ( + θ ) = συνθ εφ(7 + θ ) = εφ(6 + + θ ) = εφ( + θ ) = εφθ σφ(9 θ ) = σφ(8 + θ ) = σφ( θ ) = σφθ Όμοια για τον αρανομαστή ηµ ( θ ) = ηµ ( θ ) = ηµθ συν (4 θ ) = συν ( θ ) = συνθ εφ(6 θ ) = εφ( θ ) = εφθ

σφ(8 + θ ) = σφθ Έτσι: ηµ ( θ ) συν (5 + θ ) εφ(7 + θ ) σφ(9 θ ) = ηµ ( θ ) συν (4 θ ) εφ(6 θ ) σφ(8 + θ ) ηµθ ( συνθ ) εφθ ( σφθ ) = ηµθ συνθ ( εφθ ) σφθ Ασκήσεις ρος λύση. Αοδείξτε ότι: (ημx + συνx) = + ημx.συνx.. Αλοοιήστε τις αραστάσεις: α) εφx.συνx β) ημx.συν x + ημ x γ) ηµ x + ηµ x. Αλοοιήστε τις κλασματικές αραστάσεις: α) β) 4 συν x - συν x 4 ηµ x - ηµ x ηµ x -ηµ y συν x -συν y 4. Αν ημ5 = α) το συν5 β) την εφ5 ( - ) και ημ75 = ( + ) να βρείτε: 4 4 µ α 5. Χρησιμοοιώντας τον τύο =, να συμληρώσετε τον ίνακα: 80 Μέτρο γωνίας σε μοίρες Μέτρο γωνίας σε ακτίνια 0 0 45 0 50 80 0 / / / 4

6. Με βάση τα στοιχεία ου σημειώνονται στο διλανό τριγωνομετρικό κύκλο και τις ααραίτητες ευθείες ου ρέει να χαράξετε, να βρείτε: α) συν0 β) συν0 συν90 συν0 συν80 συν40 συν70 συν0 Δικαιολογήστε την αάντησή σας στο (β) ερώτημα. 7. Στο διλανό τριγωνομετρικό κύκλο: Να σχεδιάσετε τις γωνίες ου σημειώνονται στους ίνακες Α, Β, Γ και στη συνέχεια να συμλη-ρώσετε τους ίνακες αυτούς.. 8.Συμληρώστε στον αρακάτω ίνακα το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας θ. ημθ > 0 και συνθ < 0 εφθ < 0 και συνθ < 0 σφθ > 0 και συνθ > 0 εφθ < 0 και συνθ > 0 ημθ < 0 και εφθ < 0 σφθ < 0 και ημθ > 0 ημθ > 0 και εφθ > 0 ημθ > 0 και συνθ < 0 τεταρτημό ριο τελικής λευράς 9. Πόσο είναι σε ακτίνια οι γωνίες: α) ενός ισόλευρου τριγώνου; β) ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου

0. Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα. γωνία θ ρόσημο ημθ ρόσημο συνθ ρόσημο εφθ 7-00 95-40 ρόσημο σφθ. Αν ημθ < 0 και εφθ > 0, τότε η τελική λευρά της γωνίας θ βρίσκεται: Α. στο ο τεταρτημόριο Β. στο ο τεταρτημόριο Γ. στο ο τεταρτημόριο Δ. στον ημιάξονα Οx Ε. στο 4 ο ή ο τεταρτημόριο. Εάν ημθ = 0,4 και 0 < θ < 90, υολογίστε το συνθ και την εφθ.. Εάν ημy = και 90 < y < 80, υολογίστε το συνy και την εφy. 4. Εάν εφθ = 5 8 και 80 < θ < 70, υολογίστε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας θ. 5. Εάν εφθ = - 4 και 70 < θ < 60, να υολογίσετε τους άλλους τριγωνο- μετρικούς αριθμούς της γωνίας αυτής. 6. Αν εφθ - = 0 και ημθ < 0, να βρεθεί το συνθ. 7.Αν 6ημ x + ημx - = 0 και < x <, να βρεθεί το συνx. 8. Αοδείξτε ότι για οοιεσδήοτε γωνίες x, α, β ισχύουν: α) (ημx - συνx) = - ημx. συνx β) ημ 4 x - συν 4 x = ημ x - συν x = - συν x = ημ x - γ) ( + ημx + συνx) = ( + συνx) ( + ημx) δ) -εφ +εφ x x = - ημ x ε) - συν x +ηηµ = ημx

στ) ημ α ( + σφ α) + συν α ( + εφ α) = ζ) εφα +σφβ σφα +εφβ εφα = εφβ 9. Αν ηµx + συνx =, τότε η γωνία x αίρνει: Α. καμία τιμή B. μια τιμή Γ. τρεις τιμές Δ. άειρες τιμές Ε. τέσσερις τιμές 0. Αν ηµx + συνx = 0, τότε η τελική λευρά της γωνίας x βρίσκεται: Α. στο ο τεταρτημόριο B. στο ο τεταρτημόριο Γ. στο ο τεταρτημόριο Δ. στο 4 ο τεταρτημόριο Ε. δεν υάρχει γωνία x ου να ικανοοιεί αυτή τη σχέση. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή των αραστάσεων: γ) y = α) y = + συνx β) y = 5 + ημ x -ηµ x. Αν x, x είναι ρίζες της εξίσωσης ( + ημφ) x - ( + ημ φ) x + ( - ημφ) ημφ = 0, ημφ - τότε να δείξετε ότι: x + x + x x=. Αν συνx - ημx = ημx, τότε και συνx + ημx = συνx. 4. Αν ημθ + 5συνθ = 5, τότε να δείξετε ότι: (συνθ - 5ημθ) = 9. 5. Αν το ημx = 5, 90 < x < 80, τότε το συνx ισούται με: Α. - Β. Γ. 8 Δ. - 8 Ε. 5 6. Για οοιαδήοτε γωνία x, με x κ και κ Ζ, η έκφραση (ημx) ισούται με: Α. 4ημx B. ημ x Γ. ημ4x Δ. ημ4x Ε. 4ημx

7. Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις ισότητες: Σωστό Λάθος α) ημ500 = ημ40 β) συν750 = συν0 γ) εφ (-00 ) = εφ (-0 ) 8. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: 780, 0, 7 9. Να δείξετε ότι: εφ (740 + x - y) - εφ (0 + x - y) = 0. 0. Να αλοοιηθεί το κλάσμα:. Υολογίστε: α) ημ (- 6 ) β) εφ (-45 ) ηµ (+α) σϕ (7+α) συνα συν (+α) σϕ (4 + α) ηµα γ) συν (- ) δ) σφ (- 60 ). Εάν x και y είναι δύο οοιεσδήοτε γωνίες, να δείξετε ότι: α) συν (x- y) = συν (y- x) β) ημ (x- y) = - ημ (y- x). Εαληθεύστε τις ισότητες: α) συν (x - ) = συν (x + ) β) ημ (x - ) = ημ ( + x) 4. Να εκφράσετε συναρτήσει του συνx και του ημx την αράσταση: Α = συν (- x) + ημ (- x) + ημ ( + x) + συν ( - x) 5. Δίνεται: συν 8 = +. Υολογίστε: α) ημ 8 9 9 γ) ημ και συν 8 8 7 7 β) ημ και συν 8 8 δ) ημ (- 8 ) και συν (- 8 ) ε) ημ 5 5 και συν 8 8 6. Υολογίστε το ημίτονο και το συνημίτονο των αρακάτω γωνιών: α) 4 7 97,, -,,

5 8 08 β) -,,,, - 4 4 4 4 4 5 7 γ), -,,, 6 6 6 6 6 8 δ) -,, 6 4 Χρησιμοοιήστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών τύους ου συνδέουν τις γωνίες 7. Το ημ (- ω) ισούται με: Α. συνω Β. - ημω Γ. ημω Δ. - συνω Ε. κανένα αό τα ροηγούμενα, και καθώς και τους 4 6 8. Το συν ( + ω) ισούται με: Α. ημ (-ω) Β. συνω Γ. ημω Δ. - συνω Ε. κανένα αό τα ροηγούμενα 9. Η εφ ( + ω) ισούται με: Α. σφω Β. εφω Γ. - εφω Δ. σφ (-ω) Ε. κανένα αό τα ροηγούμενα8. Να δειχθεί ότι ημ (κ60 + x) + συν (κ60 - x) =. 40. Αν ημx = 5, 90 < x < 80, τότε εφx ισούται με: Α. 4 Β. 4 Γ. - 4 Δ. 6 9 Ε. 9 4. Το άθροισμα ημ (-ω) + συν (-ω) + ημ (80 - ω) + συν (80 - ω) ισούται με: Α. Β. - Γ. 0 Δ. Ε. ημω 4. Να δειχθεί ότι οι διαγώνιοι ενός τετραλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται κάθετα αν το άθροισμα των ημιτόνων των τεσσάρων γωνιών ου έχουν κορυφή το σημείο τομής των διαγωνίων είναι 4. 4. Να δειχθεί ότι η εφατομένη κάθε εξωτερικής γωνίας οξυγώνιου τριγώνου είναι αρνητικός αριθμός. 44. Αν x γωνία τριγώνου, να δειχθεί ότι ημ x - 60 = - ημx.

45. Να γράψετε συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας θετικής και μικρότερης αό 45 τις εκφράσεις: α) εφ85, β) ημ65, γ) συν5 46. Η αράσταση ημ x + ημ ( - x) ισούται με: Α. Β. 0 Γ. ημ x Δ. Ε. - ημ x 47. α) Να αοδείξετε ότι: συν (x + 45 ) = ημ (45 - x) β) Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του αθροίσματος: συν (x + 45 ) + συν (x - 45 ) + ημ (45 - y) + ημ (y + 45 ). 48. Να αοδείξετε ότι: - ηµ (70 +θ) ηµ (80 +θ) - =. +συν (90 +θ) συν (80 -θ) 49. Να αλοοιηθεί η κλασματική αράσταση: ηµ ( + x) ηµ ( - x) συν ( x) συν ( + x). 50. Να δείξετε ότι για κάθε κ Ζ είναι: ημx = (-) κ συν [(κ + ) - x]

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός :Μια συνάρτηση F ορισμένη σε ένα σύνολο Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει Τ R (Τ>0, Τ ανεξάρτητο του χ) τέτοιο ώστε για κάθε χ Α. Να ισχύει: χ+τ Α, χ-τ Α και F(χ-Τ)= F(χ+Τ) Ο αριθμός Τ λέγεται ερίοδος της συνάρτησης.. Αν υάρχουν ολλοί τέτοιοι αριθμοί, τότε ερίοδο ονομάζουμε το μικρότερο αό αυτούς... Οι συναρτήσεις ημχ και συνχ έχουν εδίο ορισμού όλο το R και είναι εριοδικές με ερίοδο, ενώ οι συναρτήσεις εφχ και σφχ έχουν ερίοδο το.. Η εφχ έχει εδίο ορισμού το R- κ +, όου κ ακεραιος, ενώ η σφχ το κ οου κ ακεραιος }. R-{, Ορισμός:Μια συνάρτηση με εδίο ορισμού το Α θα είναι άρτια αν: i) Α συμμετρικό ως ρος το 0 και ii)για κάθε χ Α ισχύει f(x)=f(-x) ενώ θα είναι εριττή αν: i) Α συμμετρικό ως ρος το 0 και ii) για κάθε χ Α ισχύει f(x)=f(-x). Το γεγονός ότι μια συνάρτηση είναι εριοδική είναι ολύ σημαντικό γιατί μας ειτρέει να μελετήσουμε την συνάρτηση και να κάνουμε την γραφική αράσταση μόνο σε διάστημα λάτους Τ (γιατί σε κάθε διάστημα λάτους ( η γραφική αράσταση της συνάρτησης θα εαναλαμβάνεται η ίδια ).Δηλαδή, την ημχ και την συνχ μορούμε να την μελετήσουμε λήρως σε ένα διάστημα λάτους, ενώ την εφχ και την σφχ σε διάστημα λάτους. Εκτός του ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι εριοδικές, αν αρατηρήσουμε ροσεκτικά τον ίνακα ανάγωγης στο ο τεταρτημόριο, θα δούμε ότι τελικά οι ημχ, εφχ και σφχ είναι εριττές, ενώ η συνχ είναι άρτια. Αυτό σημαίνει ότι η μελέτη αυτών των συναρτήσεων μορεί να γίνει σε μικρότερο διάστημα αό αυτό ου είαμε ροηγουμένως. Π.χ Έστω η συνάρτηση f(χ)=συνχ.αντί να την μελετήσουμε στο[0,],ειλέγουμε στο διάστημα [-,] ου έχει το ίδιο λάτος εειδή είναι συμμετρικό ως ρος το Ο. Εειδή είναι άρτια η συνάρτηση, θα την μελετήσουμε και θα κάνουμε την γραφική αράσταση της στο [0,].Η γραφική αράσταση στο [-,0] θα είναι συμμετρική της ρώτης ως ρος τον ψ ψ άξονα.. Πίνακας αναγωγής στο ρώτο τεταρτημόριο χ -α -α +α α +α α +α ημχ -ημα ημα -ημα συνα συνα -συνα -συνα συνχ συνα -συνα -συνα ημα -ημα -ημα ημα εφχ -εφα -εφα εφα σφα -σφα σφα -σφα

σφχ -σφα -σφα σφα εφα -εφα εφα -εφα ΜΕΛΕΤΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f(x)=ημχ Πεδίο ορισμού: R Σύνολο τιμων:[-,] Περιοδικη:με εριοδο[0,] Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [0,] Πίνακας τιμών χ 0 Μονοτονια χ 0 ημχ 0 0-0 ηµχ Γραφικη αράσταση στο [0,] Μεγιστη τιμή: Για χ=, το ημ = Ελαχιστη τιμή :Για χ=,το ημ =- Περιττη: Ισχύει F(-χ) =ημ(-χ)=-ημχ=-f(x) Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων Ο(0,0). Γραφικη αράσταση στο R

- 4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ f(x)=συνχ Πεδίο ορισμού: R Σύνολο τιμών: :[-,] Περιοδικη:με εριοδοτ= Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [0,] Πίνακας τιμών χ 0 ημχ 0-0 Μονοτονια χ 0 συνχ Γραφική αράσταση στο [0, ] Μέγιστη τιμή: Για χ=0, το συν0= Ελάχιστη τιμή :Για χ=, το συν= - Άρτια: Ισχύει f (-χ) = συν(-χ) =συνχ = f(x) Κέντρο συμμετρίας : Ο αξονας ψ ψ Γραφική αράσταση στο R ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/

f(x)=εφχ Πεδίο ορισμού: R-{χ=κ+ κ Ζ} Σύνολο τιμων:r Περιοδικη: με εριοδο Τ= Η μελέτη της θα γίνει στο διάστημα [, ] χ εφχ Μονοτονια - 0 Περιττη: Ισχύει f(-χ) = εφ(-χ) =-εφχ = f(x) Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων Ο (0,0) Ασυμτωτες: Οι ευθειες x = και x = Γραφικη αράσταση στο [, ]

Γραφικη αράσταση στο R -{χ=κ + κ Ζ } f(x)=σφχ Πεδίο ορισμού: R-{χ=κ κ Ζ } Σύνολο τιμων: R Περιοδικη: με εριοδο Τ= Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [ 0, ] σφχ χ 0 Μονοτονια Περιττη: Ισχύει f(-χ) = εφ(-χ) =-εφχ = f(x) Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων Ο (0,0) Ασυμτωτες: Οι ευθειες x = 0 και x = Γραφικη αράσταση στο [ 0, ]

Γραφικη αράσταση στο R -{χ=κ κ Ζ } ΠΡΟΣΟΧΗ!!!! Οι συναρτήσεις της μορφής :f(x)=ρημωχ και f(x) =ρσυνωχ οού ρ,ω R : i) έχουν μέγιστη τιμή ίση με ρ και ελάχιστη τιμή ίση με - ρ. ii) Είναι εριοδικές με ερίοδο ίση με Τ= ω Οι συναρτήσεις της μορφής :f(x)=ρεφωχ και f(x) =ρσφωχ οού ρ,ω R : i) δεν έχουν ακροτατα (μέγιστο ή ελάχιστο). ii)είναι εριοδικές με ερίοδο ίση με Τ= ω

Λυμένες ασκήσεις (Τριγωνομετρικές συναρτήσεις ) )Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f(x) =4ημχ και g(x)=ημ χ Η καμύλη ψ=4ημχ έχει ερίοδο, μέγιστη τιμή ίση με 4 και ελάχιστη τιμή ίση με 4. χ Η καμύλη ψ=ημ έχει ερίοδο = 4, μέγιστη τιμή ίση με και ελάχιστη τιμή ίση με. Λαμβάνοντας υοψιν την γενική μορφή της καμύλης ψ=ρημωχ )Να σχεδιάσετε την γραφική αράσταση της συνάρτησης f(x)=ηµχ- Η καμύλη ψ = ημχ- ροκύτει αό την μετατόιση της ψ=ημχ ρος τα κάτω.

Παρατήρηση Αν γνωρίζουμε την καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x) τότε μορούμε άμεσα να σχεδιάσουμε τις καμύλες με εξισώσεις ψ = f ( x) + a και ψ = f ( x+ a). Η καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x) + a ροκύτει αό την καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x) με μετατόιση κατά α ρος τα κάτω αν α<0 ή κατά α ρος τα άνω αν α>0. Η καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x+ a) ροκύτει αό την καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x) με μετατόιση κατά α ρος τα δεξιά αν α<0 ή κατά α ρος τα αριστερά αν α >0. )Στο σχήμα αριστάνεται μια εριοδική συνάρτηση της f. Να βρείτε ένα ιθανό τύο της f. Αό την γενική μορφή της καμύλης συμεραίνουμε ότι ένας ιθανός τύος της συνάρτησης f είναι ο f(x)=ρημωχ. Η μέγιστη τιμή της f είναι ίση με 9, άρα ρ=9 Η ερίοδος της f είναι ίση με 4, άρα = 4 ω = ω Εομένως ένας ιθανός τύος για την f είναι ο χ f(x)= 9ηµ 4)Σε μια εριοχή στο Παλλιριστάν το βάθος της θάλασσας μεταβάλλεται εριοδικά λόγω της αλίρροιας. Σε ένα συγκεκριμένο σημείο το βάθος της θάλασσας (σε μ) δίνεται για μια ημέρα αό την συνάρτηση: t f ( t ) = 5+ 4,5συν ( ) 6 t 0,4 είναι ο χρόνος (σε ώρες) ου έρασε αό τα μεσάνυχτα. όου [ ] i)να σχεδιάσετε την γραφική αράσταση της συνάρτησης f. ii) Με βάση το σχήμα να βρείτε σε οια χρονικά διαστήματα είχαμε λημμυρίδα και σε οια είχαμε άμωτη.

t Η καμύλη ψ = 4, 5 συν ( ) έχει μέγιστη τιμή 4,5 ελάχιστη τιμή 4,5 και ερίοδο 6 =.Για να σχεδιάσουμε την συνάρτηση f αρκεί να μετατοίσουμε την καμύλη 6 t ψ = 4, 5 συν ( ) κατά 5 μονάδες ρος τα άνω. 6 ii)στα διαστήματα τα οοία η f είναι γνησίως αύξουσα( δηλαδή στα [6,],[8,4])έχουμε λημμυρίδα ενώ στα διαστήματα στα οοία η f είναι γνησίως φθίνουσα ( δηλαδή στα [0,6],[,8] έχουμε άμωτη. 5)Να γίνουν οι γραφικές αραστάσεις i) f(x)= ηµ ( χ ) ii) f(x)= εφ ( χ+ ) i)όταν f(x)=g(x-κ), τότε η γραφικη αράσταση της f(x) είναι η αραλληλη μετατοιση της γραφικηςαραστασης της g(x) κατά κ μονάδες [δεξιά αν κ>0 ή αριστερα αν χ<0].άρα η γραφικη αράσταση της f(x) θα είναι η αραλληλη μετατοιση της ημχ ρος τα δεξιά κατά μονάδες. Είσης η f(x) θα έχει εδίο ορισμού ολο το R και εριοδο.

ii) f(x)= εφ ( χ+ ). Η γραφικη αράσταση της f(x) είναι η αραλληλη μετατοιση της g(x)=εφχ κατά ρος τα αριστερα.η f(x) έχει εριοδο όως και η g(x)=εφχ. Εειδη η g(x) έχει εδίο ορισμού R κ +, κ Ζ,η f(x) θα έχει R κ, κ Ζ εδίο ορισμού { } Προσοχή!! ηµχ Εειδη η εφχ =,για να οριζεται ρέει συνχ 0, άρα χ κ +.Εδώ κ + συνχ με κ Z είναι τα σημεια τομης της γραφικης αράστασης της f(x)= εφ ( χ+ ) με τον χ χ. χ 6)Να γίνει η γραφική αράσταση τηs f(x)= ηµ χ Εειδή η g(x) = ηµχ έχει εδίο ορισμού όλο το R και η h(x)= ηµ θα έχει εδίο ορισμού το R [ το ημίτονο ορίζεται για κάθε τόξο].όως είαμε στην θεωρία, η συνάρτηση ημ(ωχ) έχει ερίοδο Τ=.Άρα η ερίοδος της h(x): =4. ω χ χ Εειδή όμως f(-x)= = ηµ ( ) = ηµ = f (x),η f είναι εριττή. Άρα αρκεί να μελετηθεί σε διάστημα λάτους, χ στο[0,].

χ 0 4 5 0 χ 0 ηµ F(x) 0 0 Με την βοήθεια αυτού του ίνακα, φτιάχνουμε την γραφική αράσταση της f(x) αό το 0 έως το. Η αντίστοιχη γραφική αράσταση στο [-,0] φτιάχνεται συμμετρικά ως ρος το Ο(0,0). Η υόλοιη γραφική αράσταση είναι εανάληψη της καμύλης ου ροέκυψε [λάτους [-,]]. Παρατήρηση Γενικά για να βρούμε τη ερίοδο μιας συνάρτησης λύνουμε την εξίσωση f(x+t)=f(x) και υολογίζουμε το Τ, το οοίο ρέει να είναι ανεξάρτητο του χ. Αν υάρχουν ολλά τέτοια ειλέγουμε το μικρότερο θετικό. 7)Να βρεθούν τα σύνολα τιμών των αρακάτω συναρτήσεων: i) f (x) = 4+ 6ηµχ ii) f (x) = 9 ηµχ i) Ξέρουμε ότι: ηµχ 6 6ηµχ 6 6+ 4 4+ 6ηµχ 6+ 4 4+ 6ηµχ 0 f ( x) 0 Άρα f(a)=[-,0].

ii) συνχ ηµχ 9+ 9 συνχ + 9 9 συνχ 7 f ( x) 7 Άρα f(a)=[7,]. 8)Να εξετασετε αν οι συναρτήσεις : 7 ηµ χ+εφ χ i) f (x) = ii) f (x) = συν χ+συνχ+ ηµ χ+ 5 είναι άρτιες ή εριττές. i) Το εδίο ορισμού της f είναι το R. Ξέρουμε ότι, για κάθε, x R, x R(συμμετρικό εδίο ορισμού). 7 7 ηµ ( χ) +εφ ( χ) ηµ χ εφ χ ( x) = = = ηµ ( χ) + 5 ( ηµ x) + 5 f 7 ( ηµ χ+εφ χ) = ( ηµ x) + 5 7 ηµ χ+εφ χ = f (x). ηµ x + 5 Άρα η συνάρτηση είναι εριττή. ii)το εδίο ορισμού της g είναι το R. Ξέρουμε ότι, για κάθε, x R, x R g(-x)= συν ( χ) +συν( χ) + = συν χ+συνχ+ = g(x). 7 ( ηµ χ+εφ χ) ηµ x + 5 = 9)Να βρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή και η ερίοδος των ιο κάτω συναρτήσεων: χ i) f(x)=- ηµ ii)g(x)=-συν(- χ) iii) h(x)=εφ(-χ) i) Η f έχει μέγιστο το =,και ελάχιστο το και ερίοδο T= = 4. ii) Η g έχει μέγιστο το =,και ελάχιστο το και ερίοδο 4 4 T= = = = =. iii) Η h δεν έχει μέγιστο, ούτε ελάχιστο. Έχει ερίοδο Τ= =.

0)Αν είναι α<β, να συγκριθούν οι αριθμοί 4 α β i) ημα και ημβ ii)ημα και ημβ iii)ημ και ημ i)εειδή η συνάρτηση ημχ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] και είναι α<β 4 4 θα είναι ημα <ημβ. ii)έχουμε α<β.άρα είναι α< β και εειδή η συνάρτηση ημχ είναι γνησίως 4 φθίνουσα, θα είναι ημα>ημβ. α β α β iii)έχουμε α<β. Άρα είναι < όοτε: ημ < ημ. 4 8 4 Ασκήσεις ρος λύση. )Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: χ i) f(x)= ηµχ ii) f(x)= ηµ iii) f(x)=ηµ χ iv) f(x)=-ηµ χ. ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: χ i) f(x)= συνχ ii) f(x)= συνχ iii ) f(x)= + συν ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: i) f(x)= εφ χ χ ii) f(x)= εφ iii ) f(x)= εφ ( χ ) 4 4)Να βρείτε τις εριόδους των συναρτήσεων: χ i) f(x)= ηµχ ii) f(x)= ηµ iii) f(x)=ηµ χ iv) f(x)= συνχ v) f(x)= συν χ 5)Βρείτε την ερίοδο, την μέγιστη, και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων. 5 x i) f(x)= 7ηµ ( χ) ii) f(x)= 0ηµ ( ) f(x)= ηµ ( χ) 8

6)Να αοδείξετε ότι οι αρακάτω συναρτήσεις είναι σταθερές. 4 4 i)f(χ)= ηµ χ+συν χ+ ηµ χ συν χ ii) f(x)= εφ χ + ( συν χ+ ) +εφ χ 7) Να ροσδιορίσετε την τριγωνομετρική συνάρτηση με ερίοδο 0 η οοία να είναι εριττή και να έχει μέγιστη τιμή το 6. 8)Να ροσδιορίσετε τριγωνομετρική συνάρτηση με ερίοδο 8 η οοία να είναι άρτια και να έχει ελάχιστη τιμή το. 9)Να βρείτε το σύνολο τιμών των αρακάτω συναρτήσεων: x i) f(x)= συν500 χ+ 4 ii) f(x)= 0 ηµ ( ) + 6 0)Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: i) f(x)= συν χ και f(x)= συν χ + ii) f(x)= ηµ (χ) και f(x)= ηµ ( χ) iii) f(x)= ηµ ( χ) και f(x)= ηµ(χ) )Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 8 συν( αχ) α.να ροσδιορίσετε τον θετικό αριθμό α σε καθεμία αό τις εριτώσεις: i)η f έχει ερίοδο ίση με 0.Ποια είναι τότε η μέγιστη τιμή της f ; ii)h f έχει ελάχιστη τιμή ίση με -6.Ποια είναι η ερίοδος της ; )Να ροσδιορίσετε τους ραγματικούς αριθμούς α, β για τους οοίους η συνάρτηση f(x)=α+βημ8χ έχει ελάχιστη τιμή το 5 και η γραφική της αράσταση διέρχεται αό το σημείο (, ). ) Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = ηµ x συν( + x). α) Να βρεθεί το εδίο ορισμού της f (x) και να αλοοιηθεί ο τύος της. β) Να βρεθούν η ερίοδος και τα ακρότατα της f (x). γ) Να γίνει η γραφική αράσταση της f (x). )Μερικές τιμές της εριοδικής συνάρτησης f εριλαμβάνονται στον αρακάτω ίνακα. Αν είναι γνωστό ότι η μέγιστη τιμή της f είναι το 0 τότε: χ 0 6 9 5 8 f(x) 0 0-0 0 0 0-0 i)ποια μορεί να είναι η ερίοδος της f ; ii) Να βρείτε ένα ιθανό τύο για την f. iii)με βάση τον τύο ου ροσδιορίσατε να βρείτε τις τιμές : και f( 000 ). f( )