ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 09 ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 05/04/09 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία-Ορισμός σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου. Α. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Σωστό ε. Λάθος Α4. α) Ο ισχυρισμός είναι Ψευδής. β) Έστω συναρτήσεις:, 0 ()= και, 0 Η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 0 0, αφού:, 0 g()=., 0 Η συνάρτηση g δεν είναι συνεχής στο 0 0, αφού: lim ( ) lim ( ) 0 0 0 lim g( ) lim g( ) 0 0 0 Ωστόσο, η συνάρτηση g ( ) 0, είναι συνεχής στο 0 0, αφού είναι η ΘΕΜΑ Β σταθερή συνάρτηση 0. Β. Έστω t o χρόνος ου χρειάζεται ο κολυμβητής για να κολυμήσει αό το Κ στο Μ και t o ου χρειάζεται για να ερατήσει αό το Μ στο Σ.Έχουμε: ( KM ) t u 00 και t ( MΣ) 00 u 5 Εομένως, ο συνολικός χρόνος για να διανύσει τη διαδρομή ΚΜΣ είναι: T ( ) 00 00 5
Β. Θεωρούμε τη συνάρτηση: Είναι: T ( ) Η ρίζα της T ( ) 0 είναι το 75. Το ρόσημο της 00 00 5 T ( ), 00 5 0,00 T ( ), η μονοτονία και τα ακρότατα της Τ φαίνονται στον εόμενο ίνακα: 0 75 00 T ( ) ( ) Δηλαδή η συνάρτηση Τ αρουσιάζει ελάχιστο για 75 t Άρα όταν, 75 t τότε ο κολυμβητής χρειάζεται το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο σίτι του. ΘΕΜΑ Γ Γ. Το εδίο ορισμού της συνάρτησης: είναι: ( ) ln( e ) / 0 / 0, D e e Γ. Η είναι συνεχής και δεν έχει ρίζα διότι αν υοθέσουμε ότι υάρχει 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0, ώστε: ln( e ) 0ln( e ) ln( e ) ln e e e 0, ου είναι άτοο. Άρα η διατηρεί σταθερό ρόσημο στο διάστημα 0,. Δίνοντας μια τιμή στο 0,, όως.χ. για έχουμε:, για κάθε 0, Άρα ( ) 0 e e () ln( e ) ln 0 0 e e.. Γ. Η είναι αραγωγίσιμη στο 0, με: e ( ) 0 e e Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0,., για κάθε. 0,
Γ4. Η ως γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι και «-». Άρα η αντιστρέφεται: Για την εύρεση της αντίστροφης έχουμε: ln( ) ln( ) ln e e y e y e e y ln ey e eye e e y e e e e ( ey) e ln y y e e 0. Πρέει: e e 0 Άρα: ( ) ln, 0 e Γ5. Θεωρούμε τη συνάρτηση: Είναι: ( ) ( ) h( ), 0 ( ) ( ) h ( ) ( ) 0, για κάθε 0 Άρα η ( ) είναι γνησίως αύξουσα και το σύνολο τομώς της είναι: διότι: lim Φ( ), lim ( ), 0 0 0 lim ( ) lim ( ) h( ) lim ( ) lim ( ) h( ) 0 ( ) Εομένως υάρχει 0 0 τέτοιο, ώστε: Γ6. Είναι: ΘΕΜΑ Δ ( ) 0 ( ) h( ) 0 ( ) h( ) 0 0 0 0 0 () () () lim () () () lim lim () 0, () 0) Δ. Έχουμε διαδοχικά: ( ) d ( ) ( )d ( ) ( ) d d 0 0 0 0 0 = Εειδή ισχύει: u ( u) du ( u) du u ( u) du () 0 0 0 ( Θέτω u
αό τις σχέσεις () και() έχουμε: Τώρα έχουμε: Άρα: 0 0 0 ( ) d ( u) du u ( u) du () (0) ( ) d d ( u) du 0 0 0 (0) (0) (0) 0 Ακόμα, αό τη σχέση ( ) για 0 έχουμε (0). Δ. Η συνάρτηση g είναι σταθερή γιατί είναι αραγωγίσιμη συνάρτηση με αράγωγο g ( ) 0 για κάθε. Πραγματικά, καθώς ( ) θέτοντας όου το έχουμε: ( ) και, g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Μάλιστα η τιμή της συνάρτησης g είναι: g( ) g(0) g( ) (0) g( ) () Δ. Εφόσον ισχύει g( ) ( ) για κάθε, ολοκληρώνοντας τη σχέση ροκύτει: ( ) ( ) 0 0 0 g d d d Αλλά αό την () έχουμε g( ), και με την αντικατάσταση αίρνουμε: u στο ο ολοκλήρωμα, 4 d ( ) d ( u) du ( ) d ( ) d 0 0 0 0 0 Δ4. Αό τον ορισμό της συνάρτησης g και λόγω της () έχουμε ότι: 4
( ) αό όου ροκύτει ότι για κάθε ισχύει: Όμως στο ερώτημα Δ είδαμε ότι σχέση μας δίνει: ( ) ( ) (4) (σχέση ()), ου σε συνδυασμό με την ροηγούμενη ( ) για κάθε, δηλαδή η συνάρτηση αρουσιάζει ολικό μέγιστο στο σημείο 0. Δ5. Στο Δ αοδείξαμε ότι (0) και (0) 0. Σε συνδυασμό με τον ορισμό της αραγώγου έχουμε: ( ) (0) ( ) (0) lim lim 0 0 0 Λόγω της (4) αίρνουμε ότι ( e) για κάθε. Οότε για 0 έχουμε: ( e ) ( e ) Εφαρμόζοντας το κριτήριο της αρεμβολής, συμεραίνουμε ότι υάρχει το όριο lim 0 ( e ) με ( e ) lim 0. 0 Ειστημονική ευθύνη: Καραγιάννης Ιωάννης, Συντονιστής Εκαιδευτικού Έργου ΠΕ0, ο ΠΕ.Κ.Ε.Σ. Ν. Αιγαίου 5