ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ ριθμώ στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι ώστε έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο με το μηδέ είι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έ το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού Υπάρχει έ στοιχείο τέτοιο ώστε Κάθε στοιχείο του γράφετι κτά μοδικό τρόπο με τη μορφή όπου Τι οομάζουμε πργμτικό τι φτστικό μέρος εός μιγδικού κι πώς το συμολίζουμε; Η έκφρση είι κριώς ότι λέμε μιγδικό ριθμό Είι η σύθεση δύο ριθμώ του πργμτικού κι του το οποίο οομάζουμε φτστικό ριθμό Ο λέγετι πργμτικό μέρος του κι σημειώετι Re εώ ο λέγετι φτστικό μέρος του κι σημειώετι Im 3 Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί + κι γ+δ είι ίσοι; Δύο μιγδικοί ριθμοί κι γ δ είι ίσοι κι μόο γ κι δ γ δ 4 Πότε ές μιγδικός ισούτι με μηδέ ; Επειδή έχουμε : κι γ κι δ 5 Υπάρχει διάτξη στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Δηλδή ισχύει: Στη επέκτση πό το στο εώ οι πράξεις κι οι ιδιότητες υτώ που ισχύου στο εξκολουθού ισχύου κι στο ε τούτοις η διάτξη κι οι ιδιότητές της δε μετφέροτι 6 Τι οομάζετι εικό εός μιγδικού ριθμού; Kάθε μιγδικό ριθμό μπορούμε το τιστοιχίσουμε στο σημείο M εός κρτεσιού επιπέδου Αλλά κι τιστρόφως κάθε σημείο M του κρτεσιού υτού επιπέδου μπορούμε το τιστοιχίσουμε στο μιγδικό Το σημείο M λέγετι εικό του μιγδικού A θέσουμε τότε το σημείο M μπορούμε το συμολίζουμε κι με M Ές μιγδικός πριστάετι επίσης κι με τη διυσμτική κτί M του σημείου M M ή Μ Ο a 7 Τι οομάζουμε μιγδικό επίπεδο τι πργμτικό κι το φτάστικό άξο; Έ κρτεσιό επίπεδο του οποίου τ σημεί είι εικόες μιγδικώ ριθμώ θ φέρετι ως μιγδικό επίπεδο Ο άξος λέγετι πργμτικός άξος φού ήκου σε υτό τ σημεί M που είι εικόες τω πργμτικώ ριθμώ εώ ο άξος λέγετι φτστικός άξος φού ήκου σε υτό τ σημεί M που είι εικόες τω φτστικώ Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr 8 Πως ορίζοτι οι πράξεις στους μιγδικούς ; Γι τη πρόσθεση τω Γι τη φίρεση τω κι γ δ έχουμε: γ δ γ δ κι γ δ έχουμε: γ δ γ δ Γι το πολλπλσισμό δυο μιγδικώ έχουμε: γ δ γ δ δ γ Γι το πηλίκο γ δ έχουμε: γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ 9 Πως ορίζετι η δύμη μιγδικού ; Ορίζουμε: κι γεικά γι κάθε κέριο με Α ορίζουμε γι κάθε θετικό κέριο Ισχύει : 3 Γεικά : 4 ρυ 4 ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ - υ υ υ υ 3 Πως ερμηεύοτι γεωμετρικά η πρόσθεση κι η φίρεση μιγδικώ ; Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ διυσμτικώ κτίω τους Η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ διυσμτικώ κτίω τους Τι οομάζουμε συζυγή εός μιγδικού κι πώς το συμολίζουμε; κι γ δ είι το άθροισμ τω κι γ δ είι η διφορά τω Ο ριθμός λέγετι συζυγής του κι συμολίζετι με Δηλδή Επειδή είι κι οι λέγοτι συζυγείς μιγδικοί Ποιές είι οι ιδιότητες τω συζυγώ ; Γι δύο συζυγείς μιγδικούς ριθμούς κι ισχύου: 3 Α κι γ δ είι δυο μιγδικοί ριθμοί τότε: 4 5 6 7 8 Στο μιγδικό επίπεδο οι εικόες M κι M δύο συζυγώ μιγδικώ κι είι σημεί συμμετρικά ως προς το πργμτικό άξο 3 Ποιές είι οι ρίζες κάθε εξίσωσης δεύτερου θμού με πργμτικούς συτελεστές Δ< ; Ποιές σχέσεις τις συδέου ; Ο M M Οι λύσεις είι : Δ κι ισχύει : γ κι 4 Πως ορίζετι το μέτρο μιγδικού ; Έστω M η εικό του μιγδικού =+ στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του τη πόστση του Μ πό τη ρχή δηλδή M Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 http://ddethr 5 Ποιες είι οι ιδιότητες του μέτρου ; = = - = - = 3 = 4 Γεικά ποδεικύετι ότι: κι ειδικότερ: 5 - + + τριγωική ισότητ 6 Τι εκφράζει γεωμετρικά ο ριθμός - μιγδικώ ριθμώ; Α είι μιγδικοί ριθμοί κι Μ Μ οι εικόες τους τότε: = δηλδή το μέτρο της διφοράς δύο Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους Δηλδή: M M = - 7 Τι πριστάου γεωμετρικά οι εξισώσεις: - =ρ ρ> κι - - ; Η εξίσωση ρ ρ πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο K κι κτί ρ εώ η εξίσωση τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ A κι B ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Τι οομάζετι συάρτηση ; Έστω Α έ υποσύολο του R Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με 9 Τι οομάζετι σύολο τιμώ μις συάρτησης ; Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ A λέγετι σύολο τιμώ της κι συμολίζετι με A Είι δηλδή: A { γι κάποιο A} ΠΡΟΣΟΧΗ Οτ θ λέμε ότι Η συάρτηση είι ορισμέη σ έ σύολο Β θ εοούμε ότι το Β είι υποσύολο του πεδίου ορισμού της Στη περίπτωση υτή με B θ συμολίζουμε το σύολο τω τιμώ της σε κάθε B Είι δηλδή: B { γι κάποιο B} Τι είι η συτομογρφί μις συάρτησης; Γι οριστεί μι συάρτηση ρκεί δοθού δύο στοιχεί: το πεδίο ορισμού της κι η τιμή της γι κάθε του πεδίου ορισμού της Συήθως όμως φερόμστε σε μι συάρτηση δίοτς μόο το τύπο με το οποίο εκφράζετι το Σε μι τέτοι περίπτωση θ θ ε ω ρ ο ύ μ ε σ υμ τ ι κ ά ότι το πεδίο ορισμού της είι το σύολο όλω τω πργμτικώ ριθμώ γι τους οποίους το έχει όημ Τι οομάζετι γρφική πράστση συάρτησης; Έστω συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M του επιπέδου γι τ οποί ισχύει δηλδή το σύολο τω σημείω M A λέγετι γρφική πράστση της κι συμολίζετι με C Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 http://ddethr Πως ρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α το σύολο τιμώ A κι τη τιμή της στο A ότ δίετι η γρφική πράστση C μις συάρτησης Το πεδίο ορισμού της είι το σύολο Α τω τετμημέω τω σημείω της C Το σύολο τιμώ της είι το σύολο A τω τετγμέω τω σημείω της C γ Η τιμή της στο A είι η τετγμέη του σημείου τομής της ευθείς κι της C C Α C = C A Α γ 3 Πως ρίσκουμε τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω - κι ότ δίετι η γρφική πράστση C μις συάρτησης Η γρφική πράστσης της συάρτησης είι συμμετρική ως προς το άξο της γρφικής πράστσης της γιτί ποτελείτι πό τ σημεί M που είι συμμετρικά τω M ως προς το άξο Μ Μ = = Η γρφική πράστση της ποτελείτι πό τ τμήμτ της C που ρίσκοτι πάω πό το άξο κι πό τ συμμετρικά ως προς το άξο τω τμημάτω της ρίσκοτι κάτω πό το άξο υτό C που = = 4 Πότε δυο συρτήσεις λέγοτι ίσες; Δύο συρτήσεις κι λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει Έστω δύο συρτήσεις με πεδί ορισμού Α Β τιστοίχως κι Γ έ υποσύολο τω Α κι Β Α γι κάθε Γ ισχύει τότε λέμε ότι οι συρτήσεις κι είι ίσες στο σύολο Γ Ο Γ B A 5 Πως ορίζοτι οι πράξεις μετξύ συρτήσεω ; Ορίζουμε ως άθροισμ διφορά γιόμεο κι πηλίκο τίστοιχ δύο συρτήσεω τις συρτήσεις με τύπους: Το πεδίο ορισμού τω κι είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι τιστοίχως εώ το πεδίο ορισμού της B με } είι το σύολο Δ= { A κι Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 http://ddethr 6 Τι οομάζετι σύθεση συρτήσεω ; Α είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α Β τιστοίχως τότε οομάζουμε σύθεση της με τη κι τη συμολίζουμε με o τη συάρτηση με τύπο: o Το πεδίο ορισμού της o ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της Δηλδή είι το σύολο A { A B} A A A B B Είι φερό ότι η o ορίζετι A δηλδή A B 7 Πότε μι συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ κι πότε γησίως φθίουσ σε έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συάρτηση λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει: γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει: Α μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ ή γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της τότε λέμε ότι η είι γησίως μοότοη στο Δ 8 Πότε μι συάρτηση λέγετι ύξουσ κι πότε φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συάρτηση λέγετι πλώς ύξουσ σ έ διάστημ Δ ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει φθίουσ σ έ διάστημ Δ ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει Α μι συάρτηση είι ύξουσ ή φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της τότε λέμε ότι η είι μοότοη στο Δ 9 Πότε μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο κι πότε ελάχιστο ; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο το ότ γι κάθε A Προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο το ότ γι κάθε A Το ολικό μέγιστο κι το ολικό ελάχιστο μις συάρτησης λέγοτι ολικά κρόττ της 3 Πότε μι συάρτηση λέγετι -; Μι συάρτηση : A R λέγετι συάρτηση ότ γι οποιδήποτε A ισχύει η συεπγωγή: τότε Ισοδύμος ορισμός: Μι συάρτηση : A R είι συάρτηση κι μόο γι οποιδήποτε A ισχύει : τότε Από το πρπάω ορισμό προκύπτει ότι μι συάρτηση είι κι μόο : Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση έχει κριώς μι λύση ως προς Δε υπάρχου σημεί της γρφικής της πράστσης με τη ίδι τετγμέη Αυτό σημίει ότι Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 http://ddethr κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έ σημείο Σχ A B = γ συάρτηση - συάρτηση όχι - Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη τότε προφώς είι συάρτηση " " Έτσι οι 3 συρτήσεις 3 κι 4 lo είι συρτήσεις Υπάρχου όμως συρτήσεις που είι λλά δε είι γησίως μοότοες όπως γι πράδειγμ η συάρτηση Σχγ 3 Τι οομάζετι τίστροφη συάρτηση; Έστω μι συάρτηση : A R Tότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ A της υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει Επομέως ορίζετι μι συάρτηση : A R με τη οποί κάθε A τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει H λέγετι τίστροφη συάρτηση της κι συμολίζετι με Επομέως έχουμε A οπότε: κι A 3 Τι γωρίζετε γι τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω κι - ; Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι είι συμμετρικές ως προς τη 33 Γιτί οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι - είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί = που διχοτομεί τις γωίες κι Ας πάρουμε μι - συάρτηση κι ς θεωρήσουμε τις γρφικές πρστάσεις C κι C τω κι της στο ίδιο σύστημ ξόω Επειδή έ σημείο M ήκει στη γρφική πράστση C της τότε το σημείο θ ήκει στη γρφική πράστση της κι τιστρόφως Τ σημεί όμως υτά είι συμμετρικά ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι Επομέως: Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι C C = M C M Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 7 http://ddethr 34 Ποιες είι οι άμεσες συέπειες του ορισμού του ορίου ; h h 35 Πως συδέετι το όριο με τ πλευρικά όρι ; Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής τότε ισχύει η ισοδυμί: ΣΧΟΛΙΟ Γι ζητήσουμε το όριο της στο πρέπει η ορίζετι όσο θέλουμε κοτά στο δηλδή η είι ορισμέη σ έ σύολο της μορφής: ή ή Το μπορεί ήκει στο πεδίο ορισμού της συάρτησης ή μη ήκει σ υτό Η τιμή της στο ότ υπάρχει μπορεί είι ίση με το όριό της στο ή διφορετική πό υτό Αποδεικύετι ότι το είι εξάρτητο τω άκρω τω διστημάτω κι στ οποί θεωρούμε ότι είι ορισμέη η Έτσι γι πράδειγμ θέλουμε ρούμε το όριο της συάρτησης στο περιοριζόμστε στο υποσύολο = του πεδίου ορισμού της στο οποίο υτή πίρει τη μορφή: Επομέως όπως φίετι κι πό το διπλό σχήμ το ζητούμεο όριο είι ΣΥΜΒΑΣΗ Ότ λέμε ότι μι συάρτηση έχει κοτά στο μι ιδιότητ Ρ θ εοούμε ότι ισχύει μι πό τις πρκάτω τρεις συθήκες: Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής κι στο σύολο υτό έχει τη ιδιότητ Ρ Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής γ Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής Γι πράδειγμ η συάρτηση π π κι είι θετική σε υτό = ημ είι θετική κοτά στο φού ορίζετι στο σύολο 36 Ποιες ισότητες ισχύου στ όρι ; όριο κι διάτξη Α τότε εώ τότε κοτά στο Α οι συρτήσεις έχου όριο στο κι ισχύει κοτά στο τότε 37 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω το τείει στο ; Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι στο τότε: κ κ γι κάθε κ R Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 http://ddethr 3 4 εφόσο 5 6 k k ότ κοτά στο 7 [ ] N * 38 Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συρτήσεις h Α h κοτά στο κι h τότε Πράδειγμ γι έχουμε: ημ κι επειδή σύμφω με το πρπάω κριτήριο έχουμε: ημ 39 Ποι είι τ σικά τριγωομετρικά όρι ; C C C h ημ συ Σημείωση : ημ γι κάθε η ισότητ ισχύει μόο ότ 4 Πως υπολογίζουμε το όριο σύθετης συάρτησης ; Γι υπολογίσουμε το εργζόμστε ως εξής: της σύθετης συάρτησης στο σημείο τότε Θέτουμε u κι υπολογίζουμε το u κι το u υπάρχου Αποδεικύετι ότι u κοτά στο τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με δηλδή ισχύει: uu u uu 4 Ποιες είι οι ιδιότητες τω μη πεπερσμέω ορίω στο R; Α τότε εώ τότε κοτά στο Α τότε εώ τότε Α ή τότε Α κι κοτά στο τότε τότε εώ κοτά στο Α ή τότε κι τότε k Βσικά όρι: Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9 http://ddethr * κι γεικά κι γεικά εώ δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της * κι * Οριο θροίσμτος κι γιομέου το όριο της είι: R R - - κι το όριο της είι: - - - τότε το όριο της το όριο της είι: κι το όριο της είι: τότε το όριο της είι: είι: - - ; ; > < > < + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + Στους πίκες τω πρπάω θεωρημάτω όπου υπάρχει ερωτημτικό σημίει ότι το όριο υπάρχει εξρτάτι κάθε φορά πό τις συρτήσεις που πίρουμε Στις περιπτώσεις υτές λέμε ότι έχουμε προσδιόριστη μορφή Δηλδή προσδιόριστες μορφές γι τ όρι θροίσμτος κι γιομέου συρτήσεω είι οι: κι κι προσδιόριστες μορφές γι τ όρι της διφοράς κι του πηλίκου συρτήσεω είι οι: κι 4 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω συάρτησης στο άπειρο; Γι τ όρι στο ισχύου οι γωστές ιδιότητες τω ορίω στο με τη προϋπόθεση ότι: οι συρτήσεις είι ορισμέες σε κτάλληλ σύολ της μορφής ή κι δε κτλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή Γι το υπολογισμό του ορίου στο ή εός μεγάλου ριθμού συρτήσεω χρειζόμστε τ πρκάτω σικά όρι: * άρτιος κι * κι - περιττός 43 Ποιο είι το όριο πολυωυμικής κι ρητής συάρτησης το τείει στο ; Γι τη πολυωυμική συάρτηση P με ισχύει: P κι P Γι τη ρητή συάρτηση κ κ κ κι κ κ κ κ ισχύει: κ κ 44 Ποιο είι το όριο εκθετικής κι λογριθμικής συάρτησης το τείει στο ; Α τότε: lo lo Α τότε: lo lo Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr 45 Τι οομάζετι κολουθί; Ακολουθί οομάζετι κάθε πργμτική συάρτηση * : 46 Ν διτυπώσετε το ορισμό του πεπερσμέου όριου κολουθίς Θ λέμε ότι η κολουθί έχει όριο το κι θ γράφουμε ότ γι κάθε ε υπάρχει * τέτοιο ώστε γι κάθε ισχύει: ε 47 Πότε η λέγετι συεχής στο του πεδίου ορισμού της; Εστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο ότ: 48 Πότε μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ: Δε υπάρχει το όριό της στο ή Υπάρχει το όριό της στο λλά είι διφορετικό πό τη τιμή της στο σημείο 49 Πότε η συάρτηση λέγετι συεχής στο πεδίο ορισμού της; Θ λέμε ότι η είι συεχής στο πεδίο ορισμού της ότ η είι συεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της Α δηλδή ότ ισχύει: γι κάθε Α 5 Ποιες συρτήσεις είι συεχείς; Κάθε πολυωυμική συάρτηση Ρ είι συεχής φού γι κάθε ισχύει: P P P P P Κάθε ρητή συάρτηση είι συεχής φού ισχύει: Q Q Q γι κάθε του πεδίου ορισμού της Οι συρτήσεις ημ κι συ είι συεχείς φού γι κάθε ισχύει: Οι συρτήσεις ημ ημ κι lo κι συ συ είι συεχείς 5 Τι γωρίζετε γι τις πράξεις μετξύ συεχώ συρτήσεω; Α οι συρτήσεις κι είι συεχείς στο τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: c όπου c R κι με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση είι συεχής στο σύθεσή τους o είι συεχής στο 5 Πότε η λέγετι συεχής σε έ οικτό διάστημ ; τότε η Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του 53 Πότε η λέγετι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [] ; Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [ ] ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του κι επιπλέο : κι Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr 54 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Bolano Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [ ] Α η είι συεχής στο [ ] κι επιπλέο ισχύει τότε υπάρχει έ τουλάχιστο τέτοιο ώστε 55 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Bolano Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συεχούς συάρτησης στο [ ] Επειδή τ σημεί A κι B ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημ του Bolano προκύπτει ότι: Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Δ ή είι ρητική γι κάθε Δ δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ Σχ > a a Α B a a < Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της γ ρ + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 56 Πως μπορούμε προσδιορίσουμε το πρόσημο μις συεχούς συάρτησης ; Ο προσδιορισμός του προσήμου συεχούς συάρτησης γίετι ως εξής: Βρίσκουμε τις ρίζες της Σε κθέ πό τ υποδιστήμτ που ορίζου οι διδοχικές ρίζες επιλέγουμε τυχί έ σημείο κι ρίσκουμε το πρόσημο της τιμής Το πρόσημο υτό είι κι το πρόσημο της στο τίστοιχο διάστημ Α μι συάρτηση δε είι συεχής στο διάστημ [ ] τότε όπως φίετι κι στο διπλό σχήμ δε πίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές Με τη οήθει του θεωρήμτος εδιμέσω τιμώ ποδεικύετι ότι: Η εικό Δ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ η a a =η Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr 57 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέγιστης - ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [ ] τότε η πίρει στο [ ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή υπάρχου [ ] τέτοι ώστε m κι M ισχύει : m M γι κάθε [ ] ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημ Μέγιστης - ελάχιστης τιμής κι το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [ ] είι το κλειστό διάστημ [ m M ] όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της Δηλδή: [] = [ m M ] 58 Ποιο είι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης ορισμέης σε διάστημ ; A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α Β όπου: Α κι B Α όμως η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B A Αάλογ συμπεράσμτ έχουμε κι ότ μι συάρτηση είι συεχής κι γησίως μοότοη σε διστήμτ της μορφής [ ] [ κι ] ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 59 Πως ορίζετι η εφπτομέη στο σημείο A της C ; Έστω μι συάρτηση κι A έ σημείο της C Α υπάρχει το κι είι ο πργμτικός ριθμός τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της C στο σημείο της Α τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ= Επομέως η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A είι : ' 6 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο κι τι οομάζουμε πράγωγο της στο ; Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της υπάρχει το κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμολίζετι με Δηλδή: 6 Ποιος είι ο συμολισμός του Lebn κι ποιος του Larane γι τη πράγωγο της στο Ο Lebn συμολίσε τη πράγωγο στο με μετγεέστερος κι οφείλετι στο Larane d d ή Ο συμολισμός είι d d Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 http://ddethr 6 Τι οδήγησε το Lebn συμολίσει τη πράγωγο στο με Α στη ισότητ θέσουμε h τότε έχουμε: d d ή d d h h h Πολλές φορές το h συμολίζετι με Δ εώ το h Δ Δ συμολίζετι με Δ οπότε ο πρπάω τύπος γράφετι: Δ Δ d Η τελευτί ισότητ οδήγησε το Lebn συμολίσει τη πράγωγο στο με d ή d d 63 Τι λέγετι στιγμιί τχύτητ εός κιητού τη χροική στιγμή t ; Η στιγμιί τχύτητ εός κιητού τη χροική στιγμή t είι η πράγωγος της συάρτησης θέσης St τη χροική στιγμή t Δηλδή είι: υ t S t 64 Ποι είι η γεωμετρική ερμηεί του πράγωγου ριθμού σε έ σημείο ο ο της γρφικής πράστσης C μι συάρτησης; Ο συτελεστής διεύθυσης της εφπτομέης ε της γρφικής πράστσης C μις πργωγίσιμης συάρτησης στο σημείο A είι η πράγωγος της στο 65 Τι οομάζετι κλίση της γρφικής πράστσης μις πργωγίσιμης συάρτησης σε έ σημείο της Α ο ο ; Τη κλίση της εφπτομέης ε στο A θ τη λέμε κι κλίση της γρφικής πράστσης C στο Α ή κλίση της στο 66 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή πλά πργωγίσιμη ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A 67 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ του πεδίου ορισμού της; Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ του πεδίου ορισμού της ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο 68 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [] του πεδίου ορισμού της; Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [ ] του πεδίου ορισμού της ότ είι πργωγίσιμη στο κι επιπλέο ισχύει: + 69 Τι οομάζετι πρώτη πράγωγος συάρτησης ; - R κι - - = - R - Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο ορίζουμε τη συάρτηση : A R ώστε : η οποί οομάζετι πρώτη πράγωγος της ή πλά πράγωγος + h - της Ο τύπος της συάρτησης είι: = A h h d H πρώτη πράγωγος της συμολίζετι κι με d Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 http://ddethr 7 Τι οομάζετι δεύτερη πράγωγος κι τι ιοστή πράγωγος συάρτησης ; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη κι η πρώτη πράγωγος της Α υποθέσουμε ότι το Α είι διάστημ ή έωση διστημάτω τότε η πράγωγος της υπάρχει λέγετι δεύτερη πράγωγος της κι συμολίζετι με Επγωγικά ορίζετι η ιοστή πράγωγος της με 3 κι συμολίζετι με Δηλδή: [ ] 3 7 Πως πργωγίζετι μι σύθετη συάρτηση ; Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει 7 Τι είι ο κός της λυσίδς; Α μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ διάστημ Δ κι η είι πργωγίσιμη στο Δ τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει: Δηλδή u τότε: u u u Με το συμολισμό του Lebn u κι u έχουμε το τύπο που είι γωστός ως κός της λυσίδς ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ d d d du du d d Το σύμολο δε είι πηλίκο Στο κό της λυσίδς πλά συμπεριφέρετι ως πηλίκο d πράγμ που ευκολύει τη πομημόευση του κό 73 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ =c Συάρτηση c = Πράγωγος = = = - = = κ κ κ- κ - =κ = - - = =ln ln = =lo a lo = ln = ln ln = Διάστημ που πργωγίζετι η [ με > με < Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 http://ddethr = = =e e = e = > = ln =ημ ημ = συ =συ συ =-ημ =εφ εφ = =+εφ συ Α={ / κπ+ π κ } =σφ σφ = - =-+ σφ ημ Α={ / κπ κ } 74 Τι οομάζετι ρυθμός μετολής του ως προς το στο σημείο ότ = κι είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο ; Α δύο μετλητά μεγέθη συδέοτι με τη σχέση ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο 75 Τι λέγετι επιτάχυση του κιητού τη χροική στιγμή t ; Ο ρυθμός μετολής της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγμή t είι η πράγωγος υ t της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγμή t Η πράγωγος υ t λέγετι επιτάχυση του κιητού τη χροική στιγμή t κι συμολίζετι με t Είι δηλδή: υ t S t t 76 Τι λέγετι ορικό κόστος στο ορική είσπρξη στο κι ορικό κέρδος στο Στη οικοομί το κόστος πργωγής Κ η είσπρξη Ε κι το κέρδος Ρ εκφράζοτι συρτήσει της ποσότητς του πργόμεου προϊότος Έτσι η πράγωγος Κ πριστάει το ρυθμό μετολής του κόστους Κ ως προς τη ποσότητ ότ κι λέγετι ορικό κόστος στο Αάλογ ορίζοτι κι οι έοιες ορική είσπρξη στο κι ορικό κέρδος στο 77 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Rolle Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [ ] πργωγίσιμη στο οικτό κι ισχύει τότε υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο Μξξ Α Β ώστε: ξ ξ ξ 78 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Rolle Το Θεώρημ Rolle γεωμετρικά σημίει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ ξ είι πράλληλη στο άξο τω Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 http://ddethr 79 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΤ Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [ ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ Β Mξξ τότε υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε: ξ A 8 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού Ο a ξ ξ Γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής σημίει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο M ξ ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ όπου Α κι Β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ως άμεσες συέπειες του ΘΜΤ προκύπτου: Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι = γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Έστω δυο συρτήσεις ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι είι συεχείς στο Δ κι = γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε єδ ισχύει: =+c 3 Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο διάστημ Δ τότε ισχύει η ισοδυμί: = = c e cєr 4 Έστω μι συάρτηση η οποί είι συεχής σε έ διάστημ Δ Α > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι γ ύξουσ σε όλο το Δ Α < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι γ φθίουσ σε όλο το Δ 8 Τι οομάζετι τοπικό μέγιστο κι τι τοπικό ελάχιστο της ; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο ότ υπάρχει δ τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου εώ το τοπικό μέγιστο της Μί συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο ότ υπάρχει δ τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου εώ το τοπικό ελάχιστο της Έ τοπικό μέγιστο μπορεί είι μικρότερο πό έ τοπικό ελάχιστο Σχ 3 4 a ma mn a 3 4 Α μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο τότε υτό θ είι το μεγλύτερο πό τ τοπικά μέγιστ εώ προυσιάζει ελάχιστο τότε υτό θ είι το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 7 http://ddethr Το μεγλύτερο όμως πό τ τοπικά μέγιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε μέγιστο υτής Επίσης το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε ελάχιστο της συάρτησης 8 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό τότε: 83 Ποιες είι οι πιθές θέσεις τω τοπικώ κροτάτω μις συάρτησης ; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της 84 Ποι είι τ κρίσιμ σημεί μις συάρτησης ορισμέης σε έ διάστημ Δ; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 85 Πως σχετίζετι η με τ τοπικά κρόττ; κριτήριο ης πργώγου Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ με εξίρεση ίσως έ σημείο του στο οποίο όμως η είι συεχής Α στο κι στο τότε το είι τοπ μέγιστο της Α στο κι στο τότε το είι τοπ ελάχιστο της A η διτηρεί πρόσημο στο τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο 86 Πότε μι συάρτηση οομάζετι κυρτή ή κοίλη σ έ διάστημ Δ; Έστω μί συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ η είι γησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ η είι γησίως φθίουσ στο εσωτερικό του Δ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Α μι συάρτηση είι κυρτή κοίλη σε έ διάστημ Δ τότε η γρφική της πράστση ρίσκετι πάω κάτω πό τη εφπτομέη σε κάθε σημείο єδ με εξίρεση το σημείο επφής 87 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά τη έοι κυρτή ή κοίλη συάρτηση σε διάστημ Δ Εποπτικά μί συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σε έ διάστημ Δ ότ έ κιητό που κιείτι πάω στη C γι διγράψει το τόξο που τιστοιχεί στο διάστημ Δ πρέπει στρφεί κτά τη θετική τιστοίχως ρητική φορά + + C 88 Πως σχετίζετι η δεύτερη πράγωγος με τη κυρτότητ ; Εστω μι συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι κυρτή στο Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι κοίλη στο Δ Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 http://ddethr 89 Τι οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ; Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο κι κοίλη στο ή τιστρόφως κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A τότε το σημείο A οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της 9 Πως σχετίζετι η με το σημείο κμπής ; Α το A είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη τότε Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ κι πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της τότε το A είι σημείο κμπής C στο A Α η λλάζει 9 Τι οομάζετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; Α έ τουλάχιστο πό τ όρι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της είι ή τότε η ευθεί λέγετι 9 Τι οομάζετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; Α τιστοίχως τότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο 93 Τι οομάζετι σύμπτωτη πλάγι της γρφικής πράστσης της ; Η ευθεί λ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο [ λ ] κι στο [ λ ] 94 Πως υπολογίζουμε τ λ κι ώστε η ευθεί =λ+ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο Η ευθεί λ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο κι μόο : κι [ ] τιστοίχως κι [ ] Αποδεικύετι ότι: Οι πολυωυμικές συρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του δε έχου σύμπτωτες Οι ρητές συρτήσεις P Q με θμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστο κτά δύο του θμού του προομστή δε έχου πλάγιες σύμπτωτες Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε είι συεχής Στο εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής τιστοίχως Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9 http://ddethr 95 Ποιοι είι οι κόες De l Hosptal ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α R { } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο τότε: ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α R { } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο τότε: Το θεώρημ ισχύει κι γι τις μορφές Τ πρπάω θεωρήμτ ισχύου κι γι πλευρικά όρι κι μπορούμε χρειάζετι τ εφρμόσουμε περισσότερες φορές ρκεί πληρούτι οι προϋποθέσεις τους ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 96 Τι οομάζετι Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ ; Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει: F γι κάθε Δ 97 ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΥΡΙΟΤΕΡΩΝ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ συάρτηση πράγουσ F σύθετη συάρτηση πράγουσ c +c +c +c + + +c + + +c +c +c ημ -συ+c ημ -συ+c συ ημ+c συ ημ+c συ εφ+c συ εφ+c ημ -σφ+c ημ -σφ+c Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr e e +c e e +c ln +c ln +c ln +c ln +c 98 Τι οομάζετι εμδό του επίπεδου χωρίου Ω Έστω μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [ ] = με γι κάθε [ ] κι Ω το χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της το άξο τω κι τις ευθείες ξ Γι ορίσουμε το εμδό του χωρίου Ω εργζόμστε Ω ξ k ως εξής: ξ ξ Χωρίζουμε το διάστημ [ ] σε ισομήκη = ξ ξ k - ξ k k - ξ = υποδιστήμτ μήκους Δ με τ σημεί a Δ v Σε κάθε υποδιάστημ [ κ κ ] επιλέγουμε υθίρετ έ σημείο ξ κ κι σχημτίζουμε τ ορθογώι που έχου άση Δ κι ύψη τ ξ κ Το άθροισμ τω εμδώ τω ορθογωίω υτώ είι: S ξ Δ ξ Δ ξ Δ [ ξ ξ ] Δ Yπολογίζουμε το S Αποδεικύετι ότι το S υπάρχει στο κι είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω σημείω ξ κ Το όριο υτό οομάζετι εμδό του επιπέδου χωρίου Ω κι συμολίζετι με Ε Ω Είι φερό ότι Ε Ω 99 Τι οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης πό το στο Έστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς στο [ ] Με τ σημεί χωρίζουμε το διάστημ [ ] σε ισομήκη υποδιστήμτ μήκους Δ Στη συέχει ξ k επιλέγουμε υθίρετ έ ξ κ [ κ κ ] γι a= ξ ξ v- ξ v v= κάθε κ { } κι σχημτίζουμε το άθροισμ: S ξ Δ ξ Δ ξ Δ ξ Δ το οποίο συμολίζετι σύτομ ως εξής: S κ κ ξ κ Δ Το άθροισμ υτό οομάζετι έ άθροισμ RIEMANN Aποδεικύετι ότι Το όριο του θροίσμτος S δηλδή το ξ κ Δ υπάρχει στο κι κ είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω εδιάμεσω σημείω ξ κ Το πρπάω όριο οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης πό το στο συμολίζετι με d κι διάζετι ολοκλήρωμ της πό το στο Δηλδή d ξ Δ κ κ Οι ριθμοί κι οομάζοτι όρι της ολοκλήρωσης = Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ