Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:

Σχετικά έγγραφα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Τετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει , z 2 Μονάδες 2 β. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x 0

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑ ΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ.

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β;

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ολοκληρωτικος λογισμος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 24 / 5 / 08 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 0) και ακτίνα ρ = 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

ΝΕΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ. Λύσεις. Θέμα Α. Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 262. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 169. Α3. α) (1) κάτω, (2) το σημείο επαφής τους

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

( 0) = lim. g x - 1 -

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Θέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Θέμα 3 ο. Θέμα 4 ο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Ένα εξαιρετικό υποψήφιο 3 ο ή 4 ο θέµα. Να µελετηθεί προσεκτικά. µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία του κύκλου. z z z z

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 A ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018

Transcript:

Σάββτο, 7 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Έστω συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Ν ποδείξετε ότι: Αν (>0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ. Αν (<0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ. Μονάδες 0 Α.. Έστω µί συνάρτηση συνεχής σ έν διάστηµ Δ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέµε ότι η στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ; Μονάδες 5 Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Γι κάθε µιγδικό z ισχύει z β. Αν υπάρχει το lim ( > 0, τότε (>0 κοντά στο xo. x x o γ. H εικόν (Δ) ενός διστήµτος Δ µέσω µις συνεχούς κι µη στθερής συνάρτησης είνι διάστηµ. δ. Ισχύει ο τύπος ( x ) =x x-, γι κάθε x R. β β ε. Ισχύει η σχέση gʹ( dx = [ ( g( ] ( ʹ( g( dx, όπου, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, β]. β

Α.. Σχολικό βιβλίο σελ. 5. Α.. Σχολικό βιβλίο σελ.7 Β.. Λ β. Σ γ. Σ δ. Λ ε. Σ ΘΕΜΑ o Θεωρούµε τη συνάρτηση (=(x) µε x.. Ν ποδείξετε ότι η είνι. Μονάδες 6 β. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη συνάρτηση - της κι ν βρείτε τον τύπο της. γ. i) Ν βρείτε τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων κι - µε την ευθεί y=x. Μονάδες 4 ii) Ν υπολογίσετε το εµβδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων κι -. Μονάδες 7 (=(x) µε x.. (=(x)>0, γι κάθε x>, άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο [, ), οπότε η είνι κι, άρ υπάρχει -. β. Έστω y=( (x) =y (x) =y, πρέπει y, άρ x= y (φού x 0, λόγω του ότι x ) έχουµε x= y. Άρ - (y)= y µε y. Τελικά - (= x µε D = [, ) γ. i) Επειδή οι C, C είνι συµµετρικές ως προς την y=x τ σηµεί τοµής των C, C κι y=x βρίσκοντι πό τη λύση δύο εκ των εξισώσεων (= - (, (=x, - (=x. Λύνουµε την (=x (x) =x (x) =x (x) (x)=0 (x)(x)=0 (x)(x)=0.

Εποµένως x= ή x=. Λύνουµε την (= - (, (x) = x (x) = x (x) 4 = ( x ) (x) 4 (x)=0 (x)[(x ) ]=0 (x) = 0 ή (x) = οπότε x= ή x=. Επειδή η (= - ( έχει τις ίδιες λύσεις µε την (=x, η - (=x έχει επίσης τις ίδιες λύσεις,οπότε τ κοινά σηµεί των C, C κι της y=x είνι τ Α(, ())=A(, ), B(, ())=B(, ). ii) Εφόσον τ σηµεί τοµής είνι Α, Β το ζητούµενο εµβδό είνι: Ε(Ω) = ( ( dx = ( x dx (λόγω συµµετρίς των C, C µε την y= = ( x ) x dx = ( x ) ( x ) dx = ( x )( x ) dx Άρ x (x)(x) Ε(Ω) = ( x 5x 6) dx = x x 9 8 5 6x = (9 5 8) ( 0 ) = 6 6 6 = 8 45 6 4 =9 4 =5 =. Άρ Ε(Ω)= τ.µ. ΘΕΜΑ o Δίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί z, z, z µε z. Ν ποδείξετε ότι: i. z. ii. z z 4 κι Re(z z ). = κι zzz=0. Μονάδες 9 β. Ν βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z, z, z στο µιγδικό επίπεδο, κθώς κι το είδος του τριγώνου που σχηµτίζουν υτές.

. i. ος τρόπος: z z = z z z z = z z = z (zz)( z )=(zz)( z ) 4z z z z z z z z =4z z z z z z z z z z =z z z z ληθές. Οµοίως z άρ z. ος πρόπος: z µε z=zz z =, οπότε z = z (zz)( z )=(zz)( z ) z z z z zz z =4z z z z z z z z z z z=z z z z z z z z= z z z=0 () Από zz=z έχουµε z = = άρ z = (zz)( z )= z z z z zz z = z z z= z z z=0, οπότε η () ισχύει. Όµοι δείχνουµε ότι z. ος τρόπος Αν (ΑΒ) τότε (ΑΒ) =(zz)( z )= =z z z z zz z =(z z z)=(z z z). Όπως προηγούµεν πό zz=z προκύπτει z z z= άρ (ΑΒ) =()= άρ (AB)= κι όµοι (ΒΓ)=(ΑΓ)=. ii. ος τρόπος z ( ) z = =4 άρ Έχουµε z 4 (zz)( z ) 4 z z z 4. z z z z z z z z z 4 Re(z z ) 4

Re(z z ) Re(z z ). ος τρόπος z z 4. Επειδή τ A(z), B(z) σηµεί του κύκλου C: z =, ΑΒ χορδή συνεπώς (ΑΒ) ρ (ΑΒ) z z 4. z β. Αν A(z), B(z), Γ(z), επειδή οι µιγδικοί z, z, z επληθεύουν την εξίσωση z =, ο γεωµετρικός τόπος των Α, Β, Γ είνι ο κύκλος C: z = ή C: x y =. Από i) ερώτηµ: z (AB)=(AΓ)=(ΒΓ) συνεπώς το ΘΕΜΑ 4o Δ ΑΒΓ είνι ισόπλευρο. x Δίνετι η συνάρτηση (= lnx. x. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού κι το σύνολο τιµών της συνάρτησης. β. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση (=0 έχει κριβώς ρίζες στο πεδίο ορισµού της. Μονάδες 5 γ. Αν η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g(=lnx στο σηµείο Α(, ln) µε >0 κι η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης h(=e x στο σηµείο Β(β, e β ) µε β R τυτίζοντι, τότε ν δείξετε ότι ο ριθµός είνι ρίζ της εξίσωσης (=0. Μονάδες 9 δ. Ν ιτιολογήσετε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g κι h έχουν κριβώς δύο κοινές εφπτόµενες. Μονάδες x. Είνι (= ln x γι ν ορίζετι η συνάρτηση πρέπει x κι x x>0, άρ το πεδίο ορισµού της Α=(0,) (, ).

Η είνι πργωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της σν πράξεις µετξύ πργωγισίµων µε ( x )ʹ( x ) ( x )( x )ʹ x x (= = = ( x ) x ( x ) ( x ) <0 γι x κάθε x (0, ) κι (, ). x Είνι lim ( = lim( ln = ( ) = x 0 x 0 x x lim ( = lim( ln = lim( ( x ) ln = ( ) 0 =, x x x x x άρ επειδή γνήσι φθίνουσ στο (0, ), ((0,))= (lim (, lim ( ) = (, ) = R x x 0 Ακόµη lim ( = lim( ( x ) ln = ( ) 0 = x x x x κι lim ( = lim ( ln = lim ( ( x ) ln = ( ) =, x x x x x οπότε φού η είνι γνήσι φθίνουσ στο (, ) είνι ((, ))= ( lim (,lim () = (, ) = R x x Εποµένως το σύνολο τιµών της είνι το R. β. Επειδή ((0,))=R κι 0 Ρ κι συνεχής υπάρχει x (0,) ώστε (x)=0 που είνι µονδικό φού είνι γνήσι φθίνουσ. Επίσης επειδή ((, ))=R κι 0 R κι συνεχής υπάρχει x (, ) ώστε (x)=0 που είνι µονδικό φού είνι γνήσι φθίνουσ. Άρ η έχει δύο µόνο ρίζες στο πεδίο ορισµού της. γ. Η εφπτοµένη της g(=lnx στο Α(, ln) µε >0 επειδή g πργωγίσιµη µε g (= x είνι : ψln= ( x ) ή ψ= x ln () Η εφπτοµένη της h(=e x στο Β(β, e β ) µε β R επειδή h πργωγίσιµη µε h (=e x είνι ψe β =e β (xβ) ή ψ=e β xe β βe β () Γι ν τυτίζοντι οι δύο ευθείες πρέπει: β = = = = e β ln ln ln ντικθιστώντς e β = β β ln = e βe ln = β ln έχουµε: ln= ( ln ) ln= ln ln =

ln ( ) = ln = ln ( ) = ln = ln = 0, που σηµίνει ότι είνι ρίζ της εξίσωσης (=0. δ. Επειδή τώρ το σύστηµ των εξισώσεων γι ν τυτίζοντι οι δύο εφπτοµένες β = e έχει δύο µονδικές λύσεις γι το πό (β) β β ln = e βe x (0,) κι x (, ) οπότε υπάρχουν κι δύο τιµές γι το β πό την e β =, κι εποµένως έχουµε δύο κοινές εφπτοµένες. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ) Τ σηµερινά θέµτ, έχουν χρκτηριστικό ότι δεν κλύπτουν µεγάλο κι σηµντικό µέρος της ύλης. Απιτούσν περισσότερο λγεβρική πρά συνθετική ικνότητ µε ποτέλεσµ εύκολ οι υποψήφιοι ν οδηγηθούν σε διέξοδο λόγω πράξεων. β) Οι πρπάνω λύσεις είνι ενδεικτικές.