ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.. Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου Α.. ) Βλέπε τον ορισµό στη σελίδ 5 σχολικού βιβλίου. β) Βλέπε τον ορισµό στη σελίδ 74 σχολικού βιβλίου. Α.. ) Σωστό - (βλέπε σελίδ σχολικού βιβλίου). β) Σωστό - (βλέπε σελίδ 74 σχολικού βιβλίου). γ) Λάθος - (βλέπε σελίδ 75 σχολικού βιβλίου). Το σωστό είνι R { συν } δ) Λάθος - (βλέπε σελίδ 44 σχολικού βιβλίου). Το σωστό είνι ότι µεττοπίζετι προς τ ριστερά. ε) Σωστό - (βλέπε σελίδ 64 σχολικού βιβλίου). ΘΕΜΑ Β Β.. Αφού το + ( ) είνι πράγοντς του P(), πό γνωστό θεώρηµ ισχύει P( ). Έχουµε: ( -) + ( +β)( -) + ( +5β)( - ) ( -) + ( +β) - -5β + P - + - + +β - -5β + - - 4β + + 4β () Αφού το υπόλοιπο της διίρεσης P(): ( ) ισούτι µε 9, πό γνωστό θεώρηµ ισχύει: P() 9. Έχουµε: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 7
8+ 4( +β ) + ( +5β ) + -9 P -9 + +β + + 5β + -9 6 + 4 + 4β + 4 +β + -9 8 +4β -9-6 - (πλοποιούµε µε το ) 4 + 7β -4 () Λύνουµε το σύστηµ των (),(): + 4β - 4β - 4β 4 + 7β -4 4( - 4β ) + 7β -4 4-6β + 7β -4-4β - 4-7 -9β -8 β β Β.. Γι -7 κι β το πολυώνυµο P() γράφετι: P( ) + (-7 + ) + ( -7) + 5 + P( ) -5-4 + ) Είνι P() -5-4 + Σύµφων µε το Θεώρηµ κερίων ριζών οι πιθνές κέριες ρίζες της εξίσωσης, είνι οι διιρέτες του στθερού όρου, δηλδή οι ριθµοί ±,± Από το ερώτηµ (Β ) ισχύει P( ), δηλδή το είνι ρίζ του P(), οπότε εφρµόζοντς το σχήµ Horner γι ρ έχουµε: -5-4 ρ - 7 - -7 Η τυτότητ της διίρεσης είνι: δ π P -ρ π ή Τότε η εξίσωση γίνετι: -5-4 + ( +)( -7 + ) ( +)( -7 + ) + ή - ή -7 + ή ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 7
β) 5 4+ - - + -5-5 - + 5 Η τυτότητ της διίρεσης είνι: 5 4+ ( )( 5 ) + ( ) γ) Από το () ερώτηµ έχουµε P( ) ( )( 7 ) ερώτηµ έχουµε ότι υ() ( + ). υ( ) Γι ν ορίζετι η νίσωση P πρέπει Τότε: 7 + P + 7 + κι υ + P 7 Το πρόσηµο του ( + )( + ) - 7 + < + + κι πό το (β) κι 7+ φίνετι στον κόλουθο πίνκ: + 7 + + + Άρ οι λύσεις της νίσωσης είνι < < ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 7
ΘΕΜΑ Γ Γ.. Απλοποιούµε τους συντελεστές των γνώστων του συστήµτος, µε νγωγή τους στο ο τετρτηµόριο: ηµ π + θ ηµθ συν( θ) συνθ π ηµ θ συνθ ηµ θ π ηµ π θ ηµ π θ ηµθ Τότε το ρχικό σύστηµ γίνετι: ηµθ + συνθy συνθ + ηµθy Υπολογίζουµε τις ορίζουσες του συστήµτος: -ηµθ συνθ D ηµ θ συν θ ( ηµ θ+ συν θ) συνθ ηµθ συνθ D ηµθ συνθ ηµθ ηµθ Dy ηµθ συνθ συνθ Αφού D το σύστηµ έχει µονδική λύση D D y ηµθ συνθ ηµθ συνθ, y, (, y ), D D, y συνθ ηµθ, συνθ + ηµθ Γ.. ) Η f συν 4 είνι της µορφής ρ κι c 4. Η µέγιστη τιµή της f() είνι ρ+ c 4, οπότε: 4 + 4 7 f ρσυν+ c µε ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 7
ΘΕΜΑ 7 4 (δύντη φού > ) 7 ή ή β) Έχουµε: y f θ y 7συνθ 4.. Είνι φού Επίσης Άρ ( συνθ ηµθ)( συνθ + ηµθ) 7συνθ 4 συν θ ηµ θ 7συνθ 4 συν θ συν θ 7συνθ 4 + + συν θ συν θ 7συνθ 4 + συν θ 7συνθ Θέτουµε συνθ ω µε ω, οπότε η εξίσωση γίνετι ω 7ω+. Οι ρίζες της είνι ω (πορρίπτετι) κι ω. Τότε: π θ κπ + π ω συνθ συνθ συν ή κ Z π θ κπ ln e ln ln e ln ln e ln ln ln ր + + + + >, < ln < ln < ln e ր άρ ln( e ) > ln ր < e < e e + e < e + e e < e + e ln ր ln e < ln e + e Γι ν ορίζετι η f() πρέπει: < ln e < ln e+ e ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 7
> > > e ր κι κι κι e e e e ln e e ln e e e e e > > > κι κι κι e e ln e ln( e ) ln e ln( e ) > ln( e ) > κι (,ln( e )) ( ln( e ), + ) ln( e ) Άρ το πεδίο ορισµού της f είνι το σύνολο: ( ) A, ln e ln e, +.. Γι ν ορίζετι η νίσωση πρέπει: y y Τότε y 6 y y y 6 6 y y y ( y ) y y 6y + y 6y + 9 y y y y y y Οι ρίζες των πργόντων του γινοµένου είνι οι y, y κι γι το πρόσηµο των πργόντων έχουµε: y - + (y ) + + + y + + (y ) (y ) + + y Τότε ( y ) ( y ) y > δηλδή y (, + ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 7
.. ) Έχουµε ποδείξει πό το.. ότι ln( e + e ) > ln( e ) άρ το ln( e ), της f. Τότε f( ) + που είνι υποσύνολο του πεδίου ορισµού Α ln( e e ) ln ln + e e ln e e e ln( e e ) ( + ) ln e e ln( e + e e ) ( ln e ) ln e + e e ln e ln e e ln e 9 6 6 ln e β) Αρκεί ν ποδείξουµε ότι γι κάθε f( ) f( ) Είνι Θέτουµε οπότε: ( ) ( ) ln e e f f f 6 6 ln e e (..) y 6 y > y ln e e y, ln e e > e e > e e > e ln ր ln e > ln e > ln( e ) ln( e ) > ln e, που ισχύει. ln e, + είνι Το f( ) δεν είνι ελάχιστο της συνάρτησης γιτί, πό την πρπάνω πόδειξη, η σχέση f( ) f( ) ληθεύει µόνο στο διάστηµ ( ln ( e ) ),+ κι όχι σε όλο το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ 7