Κεφάλαιο 2 Σειρές Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε την έννοια της σειράς, δηλαδή του αθροίσματος ενός άπειρου πλήθους πραγματικών αριθμών. Στην Παράγραφο 2. θα ορίσουμε, καταρχάς, τις σειρές, και θα δούμε ορισμένα χαρακτηριστικά παραδείγματα. Στην Παράγραφο 2.2 θα δούμε ορισμένες βασικές τους ιδιότητες. Στην Παράγραφο 2.3 θα επικεντρωθούμε σε μια πολύ σημαντική ειδική περίπτωσή τους, αυτή των σειρών που αποτελούνται αποκλειστικά από μη αρνητικούς όρους. Στην Παράγραφο 2.4 θα μελετήσουμε μια δεύτερη, επίσης σημαντική περίπτωση σειρών, τις εναλλάσσουσες, των οποίων οι όροι λαμβάνουν, αυστηρώς διαδοχικά, μη αρνητικές και μη θετικές τιμές. 2. Ορισμός και Παραδείγματα 2.. Ορισμός Ορισμός 2.. (Σειρές) Ορίζουμε ως σειρά κάθε ακολουθία s : N R πραγματικών αριθμών της μορφής s = a k, όπου a k : N R είναι μια δοσμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών. Οι διαδοχικές τιμές s της σειράς καλούνται μερικά αθροίσματα. Συμβολίζουμε τη σειρά όπως και τις υπόλοιπες ακολουθίες, ως s(), {s } ή s και, επιπλέον ως a k. Συμβολίζουμε το όριο της σειράς s, είτε αυτό είναι πεπερασμένο είτε το ±, όπως και τα υπόλοιπα όρια ακολουθιών, ως lim s, και, επιπλέον, ως a k. Επομένως, εξ ορισμού a k = lim Τέλος, για λόγους συνοπτικότητας, θα συμβολίζουμε με a k. (2.) a + a 2 + a 3 +... τόσο τη σειρά a k, όσο και το όριό της a k. Σε ορισμένες περιπτώσεις θα εξετάζουμε και σειρές οι οποίες προέρχονται από ακολουθίες με πεδίο ορισμού ένα ελαφρώς διαφορετικό σύνολο, για παράδειγμα το N {} ή το N. Οι περιπτώσεις αυτές δεν παρουσιάζουν κάποια ιδιαίτερη δυσκολία όταν έχουμε τέτοια περίπτωση, πάντως, θα αναφέρουμε ρητώς το πεδίο ορισμού της σειράς και της ακολουθίας από την οποία έχει προέλθει. 28
282 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΕΙΡΕΣ Επομένως, για να υπολογίσουμε το όριο μιας σειράς, πρέπει να κάνουμε δύο διαδοχικά βήματα:. Να υπολογίσουμε το άθροισμα εντός του ορίου, και, κατόπιν, 2. να υπολογίσουμε το ίδιο το όριο. Παρατηρήστε ότι η διαδικασία μοιάζει αρκετά με τη διαδικασία υπολογισμού καταχρηστικών ολοκληρωμάτων. Απλώς, στην περίπτωση των καταχρηστικών ολοκληρωμάτων το πρώτο βήμα περιλαμβάνει ολοκλήρωση, αντί για άθροιση. Δυστυχώς, αν και η άθροιση είναι εν γένει πιο απλή διαδικασία, συνήθως είναι πολύ πιο δύσκολο να βρούμε ένα τύπο σε κλειστή μορφή για το άθροισμα που να επιτρέπει τον υπολογισμό του ορίου στο δεύτερο βήμα. Για αυτό το λόγο, η παραπάνω διαδικασία δεν εφαρμόζεται συχνά. Πάντως, είναι πολύ σημαντικό να μην ξεχνάμε ότι το a k είναι το όριο ενός αθροίσματος, δηλαδή ισχύει εξίσωση (2.). Μερικά παραδείγματα σειρών είναι τα ακόλουθα: ( ) k = 2 2 + ( ) k ( 2 ) 2 + ( ) 3 +... 2 = ( ) + + ( ) +... k = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +... ( 2) k = ( 2) + ( 2) 2 + ( 2) 3 +... log k = log 2 + log 3 + log 4 +... k=2 ( ) k = + ( ) 2 ( ) 3 2 2 + + +... 2 2 k=0 Παρατηρήστε ότι σε ορισμένα από τα παραπάνω αθροίσματα δεν αναφέρουμε όρια άθροισης. Σε αυτές τις περιπτώσεις, αυτομάτως εννοείται ότι η άθροιση γίνεται από το k = έως το k =. Στις δύο τελευταίες περιπτώσεις η άθροιση γίνεται με διαφορετικά όρια, επομένως αυτά αναφέρονται ρητώς. Μας ενδιαφέρουν οι σειρές διότι σε πολλά θεωρητικά προβλήματα, αλλά και πρακτικές εφαρμογές, προκύπτουν αποτελέσματα που μπορεί να μοντελοποιηθούν ώστε να έχουν τη μορφή ενός αθροίσματος όρων των οποίων το πλήθος αυξάνει απεριόριστα και, επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τείνει στο άπειρο. Για παράδειγμα:. Έστω διαδοχικοί πελάτες, 2,... ενός ζαχαροπλαστείου, κάθε ένας εκ των οποίων αγοράζει γλυκά αξίας a k ευρώ. Οι συνολικές αγορές μετά και την άφιξη και του -οστού πελάτη είναι a k, ενώ το μέσο ποσό αγοράς είναι a k. Μάλιστα, σύμφωνα με τη Θεωρία Πιθανοτήτων, σε περίπτωση που τα ποσά a i είναι τυχαίοι αριθμοί, υπό πολύ γενικές συνθήκες το παραπάνω άθροισμα θα συγκλίνει, με την έννοια του ορίου ακολουθίας, σε κάποιον αριθμό µ ο οποίος εκφράζει το τυπικό ποσό που ξοδεύει ο κάθε πελάτης. 2. Έστω μια μπάλα που αναπηδά σε μια επιφάνεια, και σε κάθε επαφή της με αυτήν χάνει ένα σταθερό ποσοστό της ενέργειάς της. Η συνολική απόσταση που θα διανύσει η μπάλα, και ο χρόνος που θα χρειαστεί αυτό για να γίνει, είναι σειρές. Δείτε την Άσκηση 2..
2.. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 283 3. Έστω ένας δρομέας A που τρέχει με σταθερή ταχύτητα v και μπροστά του, σε απόσταση L τη χρονική στιγμή t 0 = 0, ένας δρομέας B που τρέχει με ταχύτητα v 2 < v. Ο συνολικός χρόνος που θα χρειαστεί ο A για να φτάσει τον B ισούται με τον χρόνο t που χρειάζεται για να φτάσει ο A το σημείο όπου βρισκόταν ο B τη χρονική στιγμή t 0, συν τον επιπλέον χρόνο που θα χρειαστεί ο A για να φτάσει το σημείο όπου βρισκόταν ο B τη χρονική στιγμή t, κτλ. Επομένως, μπορούμε να γράφουμε τον συνολικό χρόνο που θα χρειαστεί ο A για να φτάσει τον B ως ένα άπειρο άθροισμα διαδοχικών χρονικών διαστημάτων. Ο συγκεκριμένος τρόπος να υπολογίσουμε τον συνολικό χρόνο που θα χρειαστεί μέχρι να φτάσει ο A τον B είναι, ομολογουμένως, περίεργος. Έχει, όμως, ιστορικό ενδιαφέρον: ο τρόπος αυτός χρησιμοποιήθηκε από πολλούς Έλληνες φιλόσοφους (ιδιαιτέρως τον Ζήνωνα) για να δημιουργήσουν διάφορα παράδοξα. Δείτε την Άσκηση 2.2. Ας κάνουμε μερικές βασικές παρατηρήσεις. Πρώτον, δεν πρέπει ποτέ να ξεχνάμε ότι οι σειρές είναι και οι ίδιες ακολουθίες. Άρα, μπορούμε να μιλάμε για το όριό τους, και να εφαρμόζουμε θεωρήματα που ισχύουν για τις ακολουθίες. Μάλιστα, δεν είναι καν ένα συγκεκριμένο είδος ακολουθίας, αφού οποιαδήποτε ακολουθία μπορεί και αυτή να γραφτεί ως σειρά. Πράγματι, αν μας δοθεί η ακολουθία a, μπορούμε να ορίσουμε μια δεύτερη ακολουθία b ως και εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι b = a, b 2 = a 2 a, a 3 a 2, a = b k, Άρα, μια σειρά είναι απλώς μια ακολουθία εκφρασμένη με συγκεκριμένο τρόπο, ως άθροισμα των όρων μιας άλλης ακολουθίας. 2..2 Παραδείγματα Σειρών Παράδειγμα 2.. (Αρμονική σειρά) Η πιο ενδιαφέρουσα σειρά είναι ίσως η ακόλουθη, γνωστή ως αρμονική: + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 +... Με δεδομένο ότι η σειρά αυτή αποτελείται από θετικούς όρους, η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι αύξουσα. Άρα, η αρμονική σειρά είτε θα έχει πεπερασμένο όριο, είτε θα τείνει στο άπειρο (Άσκηση 3.64). Πριν συνεχίσετε να διαβάζετε, αξίζει να αναρωτηθείτε τι από τα δύο συμβαίνει. Οι περισσότεροι, όταν πρωτοβλέπουν την αρμονική σειρά, θεωρούν ότι αυτή θα πρέπει να συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό. Το επιχείρημα είναι ότι δεν είναι δυνατόν να πηγαίνει το άθροισμα όλων των όρων στο άπειρο, με δεδομένο ότι οι όροι τείνουν στο μηδέν! Αν, μάλιστα, χρησιμοποιήσουμε υπολογιστή για να ελέγξουμε αυτή μας την υπόθεση, πιθανόν να αισθανθούμε πιο σίγουροι σε αυτή, καθώς τα μερικά αθροίσματα αλλάζουν πολύ αργά. Για παράδειγμα, έχουμε τα ακόλουθα: 0000 000 0002 0003 0004 s 9.7876 9.7877 9.7878 9.7879 9.7880 Στην πραγματικότητα, η αρμονική σειρά αποκλίνει! Ο λόγος είναι ότι, ναι μεν οι διαδοχικοί της ό- ροι τείνουν, μεμονωμένα, στο 0, το άθροισμα, όμως, αυτών των όρων, τείνει στο άπειρο! Αυτό ακούγεται παράδοξο, κάλλιστα όμως μπορεί να συμβεί.
284 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΕΙΡΕΣ Υπάρχει, μάλιστα, και μια στοιχειώδης απόδειξη ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει. Συγκεκριμένα, μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τους όρους της σειράς ως εξής: k = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +... Παρατηρήστε ότι το άθροισμα των όρων της κάθε γραμμής, με εξαίρεση τη δεύτερη γραμμή, είναι πάντα μεγαλύτερο του 2. Υπάρχουν επιπλέον, άπειρες τέτοιες γραμμές που μπορούμε να δημιουργήσουμε. Επομένως, η αρμονική σειρά δεν είναι φραγμένη. Πράγματι, αν υπήρχε κάποιο φράγμα M, αρκεί να περιλαμβάναμε 2( M + ) γραμμές όπως τις άνω, και θα το ξεπερνάγαμε. Αφού λοιπόν η αρμονική σειρά δεν είναι φραγμένη, θα απειρίζεται (Άσκηση 3.64). Μπορεί, μάλιστα, να αποδειχθεί, ότι η αρμονική σειρά τείνει στο περίπου όπως η συνάρτηση του λογαρίθμου, και συγκεκριμένα ισχύει ότι [ ] lim k log = γ, όπου γ 0.5772 είναι μια σταθερά γνωστή ως η σταθερά του Euler. Παράδειγμα 2.2. (Γεωμετρικές σειρές) Μια πολύ κοινή κατηγορία σειρών, που εμφανίζονται συχνά σε ασκήσεις είναι οι σειρές που έχουν τη μορφή a k = + a + a 2 + a 3 +..., (2.2) k=0 όπου το a είναι μια πραγματική σταθερά. Οι σειρές αυτές καλούνται γεωμετρικές. Η μορφή που έχει το άθροισμα (2.2) είναι τόσο απλή που μπορούμε να υπολογίσουμε ακριβώς υπό ποιες προϋποθέσεις και σε ποια τιμή συγκλίνει η σειρά. Πράγματι, από την Άσκηση.0 έχουμε ότι ( a + ) = ( a)( + a + a 2 + + a ), επομένως τα μερικά αθροίσματα ισούνται, εφόσον a, με s = + a + a 2 + + a = a+ a. (2.3) Εξετάζουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις για την τιμή του a:. Έστω, καταρχάς, ότι a <. Σε αυτή την περίπτωση, με χρήση της Άσκησης 2.3 προκύπτει πως a + 0 και, επομένως, a k = a.
2.2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΕΙΡΩΝ 285 2. Έστω πως a >. Τότε, και πάλι με χρήση της Άσκησης 2.3, προκύπτει πως lim a k =. 3. Όταν a =, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Άσκηση 2.3, διότι δεν μπορούμε να γράψουμε την (2.3), αλλά παρατηρούμε πως lim a k = lim = lim =. 4. Τέλος, αν a, από την Άσκηση 2.3 προκύπτει πως δεν υπάρχει το όριο, ούτε ως πεπερασμένο ούτε ως άπειρο. Μια ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι η περίπτωση a =, οπότε η γεωμετρική σειρά γίνεται η ( ) k = + ( ) + + ( ) + +..., η οποία, σύμφωνα με τα άνω, δεν συγκλίνει κάπου. Πράγματι, τα διαδοχικά μερικά αθροίσματα «ταλαντώνονται» μεταξύ των τιμών και 0. Ασκήσεις 2.. (Αναπηδήσεις) Αφήνουμε μια μεταλλική σφαίρα από ύψος ενός μέτρου να αναπηδήσει σε ένα μεταλλικό δάπεδο. Λόγω τριβών και άλλων λόγων, σε κάθε πρόσκρουση στο δάπεδο η σφαίρα χάνει το 0 της ενέργειας που της έχει απομείνει. (Επομένως, μετά την πρώτη αναπήδηση, η σφαίρα φτάνει μέχρι ύψος 90 εκατοστών.) Να προσδιορίσετε τη συνολική απόσταση που θα διανύσει η σφαίρα μέχρι να ακινητοποιηθεί και τον χρόνο που θα χρειαστεί για να γίνει αυτό. 2.2. (Δρομείς) Έστω δύο δρομείς, ο A και ο B, με ταχύτητες v και v 2 < v αντίστοιχα, κινούμενοι επί του άξονα του x και προς τη θετική κατεύθυνση. Στην αρχή του χρόνου ο βρίσκεται στη θέση x = 0 και ο B στη θέση x = L > 0. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα που θα χρειαστεί μέχρι ο A να φτάσει τον B, και τη χρονική στιγμή που θα γίνει αυτό, με δύο τρόπους: πρώτον χρησιμοποιώντας τη σχετική ταχύτητα του A ως προς τον B, και δεύτερον γράφοντας τις ζητούμενες ποσότητες ως σειρές απείρων όρων. 2.3. (Γεωμετρική πρόοδος r ) Να δείξετε ότι για την ακολουθία a = r ισχύουν τα εξής:. Όταν r <, τότε lim r = 0. 2. Όταν r >, τότε lim r =. 3. Όταν r =, τότε lim r =. 4. Όταν r, τότε το όριο lim r δεν υπάρχει, ούτε ως πεπερασμένο ούτε ως άπειρο. Η ακολουθία a = r είναι γνωστή ως γεωμετρική πρόοδος. 2.2 Βασικές Ιδιότητες Σειρών Παρατηρήστε ότι, όπως και με τις ακολουθίες, για μια δοσμένη σειρά a k μπορεί να συμβαίνουν τα ακόλουθα:
286 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΕΙΡΕΣ. Σύγκλιση σε πραγματικό αριθμό: a k = L. 2. Σύγκλιση στο : a k =. 3. Σύγκλιση στο : a k =. 4. Μη σύγκλιση: Δεν συμβαίνει τίποτα από τα παραπάνω. Πρακτικά, αυτό σημαίνει ότι τα διαδοχικά αθροίσματα θα παρουσιάζουν κάποιο είδος «ταλάντωσης». Για να είμαστε συνοπτικοί στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου, θα αναφερόμαστε στις παραπάνω περιπτώσεις ως είδη σύγκλισης, ακόμα και την τελευταία. Παρατηρήστε ότι σε περίπτωση που η σειρά αποτελείται από μη αρνητικούς όρους, και επομένως είναι αύξουσα, από την Άσκηση 3.64 προκύπτει ότι τα μόνα δυνατά είδη σύγκλισης είναι τα πρώτα δύο, δηλαδή έχουμε σύγκλιση σε πραγματικό αριθμό L, αν η σειρά είναι φραγμένη, ή στο, αν η σειρά δεν είναι φραγμένη. Αν μας δοθεί μια σειρά, ένα εύλογο ερώτημα που μπορούμε να διατυπώσουμε είναι σε ποιο είδος σύγκλισης εμπίπτει, και ειδικά αν εμπίπτει στο πρώτο, ποια είναι η τιμή του L. Δυστυχώς, με τις γνώσεις που διαθέτουμε εδώ, είναι λίγες οι συγκλίνουσες σειρές για τις οποίες μπορούμε να υπολογίσουμε το όριο L. Ένα παράδειγμα είναι οι γεωμετρικές σειρές που είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο. Στη συνέχεια του κεφαλαίου, θα αρκεστούμε στο να μπορούμε να αποφανθούμε σε ποιο είδος σύγκλισης εμπίπτει η σειρά, χωρίς να προσδιορίζεται το L, σε περίπτωση που εμπίπτει στο πρώτο. Θα αναπτύξουμε, για αυτό το σκοπό, μια σειρά από χρήσιμα κριτήρια. Όπως θα δούμε, τα αποτελέσματά μας θα είναι συχνά μη αναμενόμενα. Στη συνέχεια αυτής της παραγράφου θα δούμε μερικές βασικές ιδιότητες των σειρών, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια στην ανάπτυξη της θεωρίας μας. Σε όλες τις περιπτώσεις, οι ιδιότητες προκύπτουν από αντίστοιχες ιδιότητες των ακολουθιών και γι αυτό οι αποδείξεις τους, που είναι όλες απλές, ζητούνται στις ασκήσεις. Πρόταση 2.. (Αποκοπή όρων) Έστω η σειρά a k και η σειρά a k+m που δημιουργείται αν αφαιρέσουμε από το άθροισμα τους πρώτους M όρους της, όπου M N. Η νέα σειρά a k+m παρουσιάζει το ίδιο είδος σύγκλισης με την a k. Επιπλέον, σε περίπτωση που a k = L, με L R, τότε a k+m = L M a k. Το αποτέλεσμα είναι διαισθητικά ξεκάθαρο: το τι συμβαίνει με τη σειρά καθορίζεται από τη συμπεριφορά των άπειρων όρων της καθώς, και όχι από οποιοδήποτε αρχικό πεπερασμένο πλήθος όρων, που πάντοτε αθροίζονται σε μια πεπερασμένη τιμή. Πρόταση 2.2. (Προσθήκη όρων) Έστω η σειρά a k και η σειρά b k με b k = a k M όταν k > M όπου M N, δηλαδή η σειρά b, b 2,..., b M, b M, a, a 2,... που δημιουργείται αν προσθέσουμε M όρους στην αρχή της a k. Η νέα σειρά b k παρουσιάζει το ίδιο είδος σύγκλισης με την a k. Επιπλέον, σε περίπτωση που a k = L, με L R, τότε b k = L + M b k.
2.2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΕΙΡΩΝ 287 Πρόταση 2.3. (Γινόμενο σειράς με αριθμό) Έστω η σειρά a k και έστω αριθμός c R.. Αν a k = L R, τότε ca k = c a k = cl R. 2. Αν a k =, τότε ca k =, αν c > 0, και ca k =, αν c < 0. 3. Αν a k =, τότε ca k =, αν c > 0, και ca k =, αν c < 0. 4. Αν η a k δεν συγκλίνει, τότε δεν συγκλίνει και η ca k. Πρόταση 2.4. (Άθροισμα σειρών) Έστω οι σειρές a k και b k, και έστω η νέα σειρά a k + b k = (a k + b k ). Ισχύουν τα ακόλουθα:. Αν οι a k, b k συγκλίνουν σε πραγματικούς αριθμούς L και M, τότε a k + b k = (a k + b k ). 2. Αν οι a k, b k συγκλίνουν και οι δύο στο, τότε και a k + b k =. 3. Αν οι a k, b k συγκλίνουν και οι δύο στο, τότε και a k + b k =. 4. Αν η μία σειρά συγκλίνει, είτε σε κάποιον πραγματικό αριθμό είτε στο ±, ενώ η άλλη δεν συγκλίνει, τότε το άθροισμα δεν συγκλίνει. Παρατηρήστε ότι οι περιπτώσεις που αναφέρονται στο παραπάνω θεώρημα είναι ορισμένες μόνο από αυτές που υπάρχουν. Στις περιπτώσεις που δεν αναφέρονται, το άθροισμα μπορεί να εμπίπτει σε οποιοδήποτε από τα 4 είδη σύγκλισης (Δείτε την Άσκηση 2.8.) Πρόταση 2.5. Αν η σειρά a k συγκλίνει σε κάποιο πραγματικό αριθμό L, τότε πρέπει lim k a k = 0. Απόδειξη: Εξ υποθέσεως, έχουμε επομένως θα ισχύει και ότι lim a k = L, + lim a k = L.
288 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΕΙΡΕΣ (Δείτε την Άσκηση 3.70.) Στη συνέχεια, έχουμε: + a + = a k + a k lim a + = lim a k lim a k lim a + = L L lim a = 0. Παρατηρήστε ότι στην τελευταία συνεπαγωγή χρησιμοποιήσαμε ακόμα μια φορά την Άσκηση 3.70. Το κριτήριο αυτό είναι από τα πλέον κακομεταχειρισμένα κομμάτια της θεωρίας των σειρών πολλοί νομίζουν ότι το κριτήριο δεν είναι αναγκαίο, αλλά ικανό, δηλαδή αν το όριο των επιμέρους όρων είναι το 0, η σειρά, δηλαδή το άθροισμα όλων των όρων της a, θα πρέπει να είναι πεπερασμένο. Αυτό δεν ισχύει, και ένα αντιπαράδειγμα που έχουμε ήδη δει είναι η αρμονική σειρά! Ασκήσεις 2.4. (Αποκοπή όρων) Αποδείξτε την Πρόταση 2.. 2.5. (Προσθήκη όρων) Αποδείξτε την Πρόταση 2.2. 2.6. (Προσθήκη όρων) Αποδείξτε την Πρόταση 2.3. 2.7. (Προσθήκη όρων) Αποδείξτε την Πρόταση 2.4. 2.8. (Απροσδιοριστίες) Να δείξετε ότι στις περιπτώσεις που δεν αναφέρονται στην Πρόταση 2.3 το άθροισμα μπορεί να εμπίπτει σε οποιοδήποτε από τα 4 είδη σύγκλισης. 2.9. (Μέσος όρος) Να δείξετε ότι αν a L, τότε και i= a i = L. 2.3 Σειρές μη Αρνητικών Όρων Πριν παρουσιάσουμε το επόμενο θεώρημα, θυμίζουμε οτι μια σειρά μη αρνητικών όρων (και άρα με αύξουσα ακολουθία μερικών αθροισμάτων), συγκλίνει αν και μόνο αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της είναι φραγμένη. Θεώρημα 2.. (Κριτήριο σύγκρισης) Έστω δύο ακολουθίες a, b 0. Αν υπάρχουν c R, c > 0, και 0 N, τέτοια ώστε > 0, a cb, (2.4) τότε αν συγκλίνει η b, συγκλίνει και η a. Απόδειξη: Παρατηρήστε ότι αν συγκλίνει η b, θα συγκλίνει και η b +0, άρα θα είναι φραγμένα τα μερικά αθροίσματά της. Όμως, από την (2.4) έχουμε: a 0 +i c i= b 0 +i cm, i= όπου M το φράγμα των μερικών αθροισμάτων της b +0. Άρα, θα είναι φραγμένα και τα μερικά αθροίσματα της a +0, άρα, από την αρχική μας παρατήρηση, θα συγκλίνει και η a +0, άρα θα συγκλίνει και η a.
2.3. ΣΕΙΡΕΣ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΟΡΩΝ 289 Παράδειγμα 2.3. Η! συγκλίνει, γιατί! 2 2 για κάθε > 0 = 4, ενώ η 2 συγκλίνει ως γεωμετρική (r = 2 ). Θεώρημα 2.2. (Κριτήριο σύγκρισης στο όριο) Έστω δύο ακολουθίες a, b > 0 και Τότε: lim a b = c.. Αν c 0,, τότε η a συγκλίνει ανν συγκλίνει και η b. 2. Αν c = 0, τότε αν συγκλίνει η b συγκλίνει και η a, ενώ αν αποκλίνει η a αποκλίνει και η b. 3. Αν c =, τότε αν συγκλίνει η a συγκλίνει και η b, ενώ αν αποκλίνει η b αποκλίνει και η a. Απόδειξη: Καταρχάς παρατηρήστε ότι όλα τα σκέλη είναι διαισθητικά προφανή. Θα αποδείξουμε το πρώτο σκέλος, καθώς τα άλλα προκύπτουν με παρόμοιο τρόπο. Εξ ορισμού του ορίου, για ɛ = c > 0 θα υπάρχει 2 0 N τέτοιο ώστε > 0, c 2 a b 3c 2 c 2 b a 3c 2 b. Το ζητούμενο προκύπτει εφαρμόζοντας το κριτήριο σύγκρισης δύο φορές, μια για την ανισότητα (c/2)b a b (2/c)a και μια φορά για την ανισότητα a (3c/2)b. Παράδειγμα 2.4. Αφού η αποκλίνει, θα αποκλίνει και η (+), αφού lim / ( + ) / ( + ) = lim 2 Επίσης, αφού η ( 2) συγκλίνει (ως γεωμετρική), και θα συγκλίνει και η ( ). log 2 lim log ( 2) ( 2) = lim = lim log = 0, + =.
290 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΕΙΡΕΣ Θεώρημα 2.3. (Κριτήριο λόγου του d Alembert) Έστω ακολουθία a > 0 και a + lim = r. a. Αν r >, η σειρά a αποκλίνει (και για την ακρίβεια τείνει στο ). 2. Αν r <, η σειρά a συγκλίνει. Παρατηρούμε τα ακόλουθα:. Αν r =, δεν μπορούμε να αποφανθούμε. Δηλαδή και τα δύο παραπάνω ενδεχόμενα (σύγκλιση, απόκλιση) είναι δυνατά. 2. Βεβαιωθείτε ότι έχετε καταλάβει το κριτήριο. Στην πρώτη περίπτωση, η σειρά συμπεριφέρεται ως αποκλίνουσα γεωμετρική, ενώ στη δεύτερη περίπτωση συμπεριφέρεται σαν συγκλίνουσα γεωμετρική. (Παρατηρήστε ότι για τη γεωμετρική πρόοδο a = r ισχύει a + a = r πάντα, και όχι μόνο στο όριο.) 3. Το κριτήριο του λόγου είναι εύκολο να εφαρμοστεί όταν η μορφή της a είναι τέτοια ώστε ο λόγος a + a να έχει απλή μορφή. Απόδειξη: Θα εξετάσουμε πρώτα το ενδεχόμενο r <. Παρατηρήστε ότι, από τον ορισμό του ορίου, προκύπτει πως υπάρχουν 0 N και r 0 R με r < r 0 < τέτοια ώστε για κάθε > 0, a + a < r 0 a + r + 0 < a, r0 άρα η a /r 0 είναι φθίνουσα για > 0, και συνεπώς υπάρχει K τέτοιο ώστε > 0, a r0 K a Kr 0, και από το κριτήριο της σύγκρισης, επειδή συγκλίνει η r 0, θα συγκλίνει και η a. Εξετάζουμε τώρα το ενδεχόμενο r >. Παρατηρήστε ότι, από τον ορισμό του ορίου, προκύπτει πως υπάρχουν 0 N και r 0 R με r > r 0 > τέτοια ώστε για κάθε > 0, a + a > r 0 a + > a, οπότε για όλα τα > 0, a > a 0, οπότε δεν έχουμε σύγκλιση της a στο 0, άρα και η σειρά δεν μπορεί να συγκλίνει. Παράδειγμα 2.5. Θα αποφανθούμε για τη σύγκλιση των παρακάτω σειρών χρησιμοποιώντας το κριτήριο του λόγου: (!) 2 (2)!, 2!, 3! Έχουμε, κατά περίπτωση:
2.3. ΣΕΙΡΕΣ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΟΡΩΝ 29. Παρατηρήστε ότι όλοι οι όροι a > 0, άρα μπορώ να χρησιμοποιήσω το κριτήριο του λόγου. Έχουμε: [ a + [( + )!] 2 ] [ ] [!] 2 = a ( + )(2( + ))! (2)! ( + )!( + )!(2)! = ( + )[2( + )]!!! = ( + )( + ) ( + )(2 + )(2 + 2) 4, άρα βάσει του κριτηρίου του λόγου η σειρά συγκλίνει. 2. Όλοι οι όροι είναι θετικοί, άρα a + a = [ 2 + ( + )! ( + ) + ] [ 2 ]! = 2+ ( + )! ( + ) + 2! = 2 ( ) + 2 e <. Επειδή το όριο είναι μικρότερο της μονάδας, η σειρά συγκλίνει. 3. Σε αυτή την περίπτωση, επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία, προκύπτει: a + a = 3 e >, άρα με αυτή τη μικρή αλλαγή στη μορφή των όρων, η σειρά αποκλίνει. Παράδειγμα 2.6. Εφαρμόζοντας το κριτήριο του λόγου για τη σειρά / p, έχουμε: [ ] [ ] a + [ ] [ ] p p = a ( + ) p p = = + +. Άρα βρισκόμαστε στην περίπτωση που δεν μπορούμε να αποφανθούμε. Θεώρημα 2.4. (Κριτήριο της ρίζας του Cauchy) Έστω ακολουθία a > 0 και lim (a ) = r.. Αν r >, η σειρά a αποκλίνει (και για την ακρίβεια τείνει στο ). 2. Αν r <, η σειρά a συγκλίνει. Απόδειξη: Η απόδειξη παραλείπεται, γιατί μοιάζει αρκετά με την απόδειξη του κριτηρίου του λόγου. Παρατηρούμε τα ακόλουθα:. Αν r =, δεν μπορούμε να αποφανθούμε. Δηλαδή και τα δύο παραπάνω ενδεχόμενα είναι δυνατά. 2. Βεβαιωθείτε ότι έχετε καταλάβει το κριτήριο. Στην πρώτη περίπτωση, η σειρά συμπεριφέρεται ως συγκλίνουσα γεωμετρική σειρά, ενώ στη δεύτερη περίπτωση συμπεριφέρεται σαν αποκλίνουσα γεωμετρική σειρά. (Παρατηρήστε ότι για τη γεωμετρική πρόοδο a = r ισχύει (a ) = r ακριβώς, και όχι μόνο στο όριο.)
292 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΕΙΡΕΣ 3. Το κριτήριο της ρίζας είναι εύκολο να εφαρμοστεί όταν η μορφή της a είναι τέτοια ώστε η ρίζα (a ) να έχει απλή μορφή. Παράδειγμα 2.7. Θα βρούμε αν συγκλίνουν οι ακόλουθες σειρές, εφαρμόζοντας το κριτήριο του λόγου: ( ), 2 e 2 Έχουμε, κατά περίπτωση:. Παρατηρήστε πως (a ) = 2. Η f(x) = x x τείνει στο για x, οπότε θα έχουμε ότι η f() = 2 τείνει στο 2 για, και η σειρά συγκλίνει. 2. Λόγω της μορφής των όρων της σειράς, είναι και πάλι προφανές ότι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο της ρίζας. Πράγματι: [ a = e 2] = e 0, και η σειρά συγκλίνει. Παράδειγμα 2.8. Εφαρμόζοντας το κριτήριο της ρίζας για τη σειρά / p, έχουμε: [ ] = p ( ) p, άρα και πάλι δεν μπορούμε να αποφανθούμε. (Χρησιμοποιήσαμε το όριο lim παραδείγματος.) = του προηγούμενου Θεώρημα 2.5. (Κριτήριο του ολοκληρώματος) Έστω f : [, ) R θετική φθίνουσα συνάρτηση. Η σειρά f(k) συγκλίνει αν και μόνο αν το καταχρηστικό ολοκλήρωμα f είναι πεπερασμένο. Το κριτήριο είναι πολύ χρήσιμο, διότι εν γένει είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογίζουμε ολοκληρώματα από το να υπολογίζουμε αθροίσματα. Απόδειξη: Καταρχάς παρατηρήστε ότι, επειδή η f είναι φθίνουσα, ισχύει ότι f(i) i=2 f f(i). (2.5) Αν η ακολουθία f(x) dx συγκλίνει, ως αύξουσα (η f είναι θετική) είναι και φραγμένη, άρα από την πρώτη ανισότητα της (2.5) θα είναι φραγμένη και η ακολουθία k=2 f(k), άρα και η f(k), και ως αύξουσα (η f είναι θετική) θα συγκλίνει. Παρόμοια, αν συγκλίνει η f(k), θα είναι φραγμένη, άρα από τη δεύτερη ανισότητα της (2.5) θα είναι φραγμένη και η f(x) dx, και ως αύξουσα (η f είναι θετική) θα συγκλίνει. Άρα η σειρά συγκλίνει ανν συγκλίνει το καταχρηστικό ολοκλήρωμα, και επομένως η σειρά αποκλίνει ανν το καταχρηστικό ολοκλήρωμα αποκλίνει. i=
2.3. ΣΕΙΡΕΣ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΟΡΩΝ 293 Παράδειγμα 2.9. Θα δείξουμε ότι η σειρά, p R, συγκλίνει ανν p >. Θα εφαρμόσουμε το p κριτήριο του ολοκληρώματος για τη συνάρτηση f(x) = x p. Πρέπει να εξετάσουμε το καταχρηστικό ολοκλήρωμα dx = lim xp { p p dx = lim, p, xp log, p =. Άρα, αν p >, η p τείνει στο 0, άρα το καταχρηστικό ολοκλήρωμα συγκλίνει, και από το κριτήριο συγκλίνει και η σειρά. Αν p =, log, άρα το καταχρηστικό ολοκλήρωμα αποκλίνει, και μαζί του αποκλίνει και η σειρά. Τέλος, αν p <, η p τείνει στο, άρα και πάλι το καταχρηστικό ολοκλήρωμα αποκλίνει, και μαζί του αποκλίνει και η σειρά. Παρατηρούμε τα ακόλουθα:. Συνήθως η χρήση ενός κριτηρίου είναι πολύ απλούστερη από τη χρήση των υπόλοιπων, αν και δεν είναι πάντα προφανές ποιο είναι αυτό. 2. Με τα κριτήρια μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μια σειρά συγκλίνει ή όχι. Δεν μπορούμε όμως να διαπιστώσουμε σε ποιο αριθμό συγκλίνει. Συνήθως αυτό είναι πολύ δυσκολότερο, εκτός ορισμένων εξαιρέσεων (π.χ. τηλεσκοπικών σειρών.) Παράδειγμα 2.0. Θα εξετάσουμε τη σύγκλιση της [( 2) + ( 3) ]. Το πιο απλό είναι να παρατηρήσουμε πως η σειρά είναι το άθροισμα δύο σειρών που συγκλίνουν, ως γεωμετρικές, και επομένως προκύπτει ότι συγκλίνει και η δοσμένη. (Σε ποιο όριο συγκλίνει;) Παράδειγμα 2.. Θα εξετάσουμε τη σύγκλιση της ta (/). Παρατηρούμε πως ( ) lim ta si ( ) [ ( )] si ( ) [ = lim cos = lim lim cos [ ] =. = lim x 0 + si x x lim cos (x) x 0 + ( )] Στην τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι αν lim = L, τότε και lim f(/) = L. Άρα, x 0 +f(x) αφού οι όροι της σειράς δεν συγκλίνουν στο 0, από το αναγκαίο κριτήριο του Cauchy, η σειρά αποκλίνει. Παράδειγμα 2.2. Θα εξετάσουμε τη σύγκλιση της ( + )( + 2)/!. Παρατηρούμε πως: a + a = [ ] [ ( + + + )( + 3) ( + )( + 2) ( + )! = ( + + + )( + 3) ( + )( + )( + 2) [ = ( + / + ] / + / 2 )( + 3/) ( + /)( + /, )( + 2/) που προφανώς τείνει στο 0, οπότε από το κριτήριο του λόγου προκύπτει ότι η σειρά συγκλίνει.! ]
294 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΕΙΡΕΣ Παράδειγμα 2.3. Θα εξετάσουμε τη σύγκλιση της ( ) 3 cos π 2 234. Παρατηρούμε πως όλοι οι όροι της είναι θετικοί, και επίσης πως είναι, όρο προς όρο, μικρότερη από τη γεωμετρική σειρά ( 3) η οποία είναι γνωστό πως συγκλίνει. Άρα, θα συγκλίνει και η ( ) 3 cos π 2 234. Παράδειγμα 2.4. Θα εξετάσουμε τη σύγκλιση της 0000 e. Χρησιμοποιώντας το κριτήριο του λόγου, προκύπτει πως a + a = ( + )0000 e 0000 e = ( ) + 0000 e e, άρα η σειρά συγκλίνει. Παράδειγμα 2.5. Θα εξετάσουμε τη σύγκλιση της! 0000. Χρησιμοποιώντας το κριτήριο του λόγου, προκύπτει πως [ ] a + ( + )! / [ ]! = a 0000 + 0000 = + 0000, άρα η σειρά αποκλίνει. Παράδειγμα 2.6. Θα εξετάσουμε τη σύγκλιση της (log ) /e 2 ++. Λόγω των δυνάμεων του, η προφανής προσέγγιση είναι να εφαρμόσουμε το κριτήριο της ρίζας. Πράγματι, έστω a = (log ) /e 2 ++. Έχουμε: lim a = lim log e ++ = lim / e ++/ ( / 2 ) = 0. Στη δεύτερη ισότητα, εφαρμόσαμε τον κανόνα του L Hôpital. Άρα, από το κριτήριο της ρίζας, προκύπτει πως η σειρά συγκλίνει. Παράδειγμα 2.7. Θα εξετάσουμε τη σύγκλιση της ( + )/(2 3 ). Αν δοκιμάσουμε το κριτήριο του λόγου δεν θα βρούμε τη σύγκλιση, καθώς ο σχετικός λόγος θα συγκλίνει στο. (Δοκιμάστε το!) Το κριτήριο της ρίζας δεν φαίνεται να είναι εύκολο στην εφαρμογή, και επιπλέον η σχετική ρίζα θα συγκλίνει στο. Όμως, αν a = ( + )/(2 3 ) οι όροι της σειράς, παρατηρούμε πως a / 2 = 3 + 2 2 3 = + /2 2 3 2 > 0, άρα, από το κριτήριο της σύγκρισης στο όριο, αφού συγκλίνει η ( / 2) θα συγκλίνει και η δοσμένη. Παράδειγμα 2.8. Θα εξετάσουμε τη σύγκλιση της = 2 /( 3 +4 5). Αν δοκιμάσουμε το κριτήριο του λόγου, όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα δεν θα βρούμε τη σύγκλιση, καθώς ο σχετικός λόγος θα συγκλίνει στο. Επίσης, το κριτήριο της ρίζας δεν φαίνεται να είναι κατάλληλο. Παρατηρούμε όμως ότι οι όροι a της συγκεκριμένης ακολουθίας, για μεγάλα, είναι περίπου ίσοι με. Η αντίστοιχη σειρά είναι η αρμονική, που αποκλίνει. Άρα η σειρά αναμένουμε να αποκλίνει. Για να το δείξουμε αυστηρά,
2.3. ΣΕΙΡΕΣ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΟΡΩΝ 295 χρησιμοποιούμε το κριτήριο σύγκρισης στο όριο. Έστω b =. Τότε a b = 2 3 +4 5 = 3 3 + 4 5, και με δεδομένο ότι αποκλίνει η = b, από το κριτήριο σύγκλισης στο όριο αποκλίνει και η δοσμένη. Παράδειγμα 2.9. Θα εξετάσουμε τη σύγκλιση της ( 3 [2 + si ] )/4. Έστω a = ( 3 [2 + si ] )/4 οι όροι της σειράς. Λόγω της μορφής τους, είναι λογικό να προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε το κριτήριο της ρίζας. Αν το κάνουμε, θα διαπιστώσουμε ότι δεν υπάρχει όριο, λόγω του όρου si. (Μπορείτε να το επιβεβαιώσετε;) Αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί αν ορίσουμε την ακολουθία b = ( 3 [2 + ] )/4 = 3 (3/4). Παρατηρούμε πως 0 a b. Σύμφωνα με το κριτήριο της σύγκρισης, η a θα συγκλίνει αν συγκλίνει και η b. Η b όμως συγκλίνει, γιατί από το κριτήριο της ρίζας έχουμε: ( ) ( ) (b ) 3 3 3 = <. 4 4 Παρατηρήστε πως χρησιμοποιήσαμε το όριο lim =. Παράδειγμα 2.20. Θα εξετάσουμε τη σύγκλιση της ( 0000 e ). Η σειρά αποτελείται από δύο σειρές, εκ των οποίων η πρώτη είναι η αρμονική, και αποκλίνει, ενώ η δεύτερη συγκλίνει, σύμφωνα με το Παράδειγμα 2.4. Συνεπώς, η σειρά πρέπει να αποκλίνει. Πράγματι, έστω πως συνέκλινε. Τότε, αφού συγκλίνει και η 0000 e, από γνωστό θεώρημα θα πρέπει να συγκλίνει και το άθροισμα τους, που είναι η, και έχουμε άτοπο. Παράδειγμα 2.2. Θα εξετάσουμε τη σύγκλιση της σειράς =2 (log ) 2. Είναι εύκολο να δούμε ότι ούτε το κριτήριο της ρίζας, ούτε το κριτήριο του λόγου μπορεί να δώσει κάποια λύση, και θα εφαρμόσουμε το κριτήριο του ολοκληρώματος. Παρατηρήστε ότι οι όροι της σειράς ξεκινούν από το = 2, και επομένως το κριτήριο θα εφαρμοστεί ανάλογα. Πρέπει να δούμε αν συγκλίνει το 2 έχουμε: dx dy x(log x) 2 = Σχετικά με τη σειρά, σύμφωνα με το κριτήριο του ολοκληρώματος, τα (log ) 2, 2 =2 dx x(log x) 2. Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής y = log x dy = dx x y 2 = y + C = log x + C. 2 x(log x) 2 dx συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα. Παρατηρούμε όμως πως ( x(log x) 2 dx = ) dx = 0 + (log 2), log x 2
296 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΕΙΡΕΣ και επομένως προκύπτει πως η σειρά συγκλίνει. Ασκήσεις 2.0. Να προσδιορίσετε αν συγκλίνουν ή όχι οι ακόλουθες σειρές:. 2. 3. 4. 5. 2 log 5 + 3 +. si(/).!. e 2 +cos 2 + log +0 si. log(0 6 ). 2.4 Εναλλάσσουσες Σειρές Ορισμός 2.2. (Εναλλάσσουσες σειρές) Αν η ακολουθία a k > 0, η σειρά ( ) k a k = a a 2 + a 3 a 4 + + ( ) k a k +... καλείται εναλλάσσουσα. Θεώρημα 2.6. (Θεώρημα Leibiz) Αν η a k είναι φθίνουσα με όριο το 0, τότε η εναλλάσσουσα σειρά ( )k a k συγκλίνει, και μάλιστα a i a k+. i=k Η ανισότητα που δίνει το θεώρημα είναι πολύ χρήσιμη διότι φράσσει το σφάλμα που κάνουμε στον υπολογισμό του άπειρου αθροίσματος αν κρατήσουμε μόνο τους k πρώτους όρους. Απόδειξη: Παραλείπεται. Παράδειγμα 2.22. Η εναλλάσσουσα αρμονική σειρά 2 + 3 4 + 5... συγκλίνει (και μάλιστα στο log 2, αλλά αυτό είναι κάτι που δεν μπορούμε να δείξουμε με την υπάρχουσα θεωρία).
2.5. ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΕΛΕΤΗ 297 Ορισμός 2.3. (Απόλυτη και υπό συνθήκη σύγκλιση) Η σειρά a συγκλίνει απόλυτα αν η a συγκλίνει. Αν η a συγκλίνει αλλά η a δεν συγκλίνει, τότε λέμε ότι η a συγκλίνει υπό συνθήκη. Θεώρημα 2.7. (Απόλυτη σύγκλιση σύγκλιση) Αν συγκλίνει η a, τότε συγκλίνει και η a. Απόδειξη: Παραλείπεται. Παράδειγμα 2.23. Η εναλλάσσουσα αρμονική σειρά 2 + 3 4 + 5... συγκλίνει, αλλά η αρμονική σειρά (που προκύπτει παίρνοντας απόλυτα) + 2 + 3 + 4 + 5 +... αποκλίνει, άρα η εναλλάσσουσα αρμονική σειρά συγκλίνει υπό συνθήκη, και το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. 2.5 Περαιτέρω Μελέτη Ένας τρόπος για να σκεφτόμαστε μια ακολουθία και τη σειρά που δημιουργεί ως τα διακριτά ανάλογα μιας συνάρτησης f : [, ) R και του ολοκληρώματός της x f(t) dt. Πράγματι, και στις δύο 0 περιπτώσεις έχουμε μια συνάρτηση και δημιουργούμε μια νέα προσθέτοντας, σε κάθε σημείο τις τιμές που έχει λάβει η αρχική συνάρτηση μέχρι εκείνο το σημείο. Η αναλογία αυτή είναι αρκετά στενή και βοηθά αρκετά την ανάπτυξη της θεωρίας σε περιοχές των εφαρμοσμένων μαθηματικών όμως η επεξεργασία σήματος. Δείτε, για παράδειγμα το βιβλίο των Oppeheim et al. [OPPE]. Στο κεφάλαιο αυτό δώσαμε τα πιο βασικά από τα κριτήρια που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να αποφανθούμε για την σύγκλιση ή όχι μιας σειρά. Στο εξειδικευμένο βιβλίο του Kopp [KNOP] αλλά και τα βιβλία γενικού ενδιαφέροντος των Νεγρεπόντη [ΝΕΓ], [ΝΕΓ2], [ΝΕΓ3] και Παντελίδη [ΠΑΝΤ] μπορείτε να βρείτε αρκετά κριτήρια ακόμα.
298 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΕΙΡΕΣ