Ε_3Μλ2Θ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 ίνονται τα διανύσµατα a= ( x1, y1) και β = ( x2 y2) µε συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ 2 αντίστοιχα είξτε ότι a / /β λ1 = λ2 (15 µονάδες) Α2 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασµένη α) Η εξίσωση Α x + Β y + = 0 µε Α 0 ή Β 0 παριστάνει πάντοτε ευθεία µε Β συντελεστή διεύθυνσης λ = Α β) Αν aβ+ a β= 0 τότε a β γ) Ισχύει a β = a προβ a β, β 0 δ) Αν η γωνία της ευθείας ε µε τον άξονα xx είναι 90 ο τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι 0 ε) ια τα µη µηδενικά διανύσµατα a και β, που σχηµατίζουν γωνία θ ισχύει a β συνθ = aβ ΘΕΜΑ Β ίνονται τα σηµεία Α(1,2), Κ(-1,4) και το διάνυσµα Α = (4,3) (10 µονάδες) Β1 Βρείτε το συµµετρικό Β, του σηµείου Α ως προς το Κ Β2 Βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου και του Β, που είναι η προβ Β ΒΑ Β3 Υπολογίστε το µέτρο ΑΚ 2Κ (7-10-8 µονάδες) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 1 ΑΠΟ 2
Ε_3Μλ2Θ(ε) ΘΕΜΑ ίνεται τρίγωνο ΑΒ µε (5, 4) Η πλευρά ΑΒ έχει εξίσωση 2x y+ 4= 0, ενώ το ύψος Β έχει εξίσωση y= 11 5 x 1 Βρείτε τις συντεταγµένες της κορυφής Β 2 Βρείτε την εξίσωση της πλευράς Α 3 Αν Β(1, 6) τότε βρείτε την εξίσωση της µεσοκαθέτου της πλευράς Β και το σηµείο τοµής Z, της µεσοκαθέτου µε το ύψος Β (7,8,10 µονάδες) ΘΕΜΑ 1 ίνονται τα σηµεία Α(κ, 5) και Β(4, κ+4), κ R Βρείτε το γεωµετρικό τόπο του µέσου Μ του ΑΒ 2 Αν η ευθεία (ε), που διέρχεται από τα Α(κ,5) και Β(4, κ+4) είναι παράλληλη στην ευθεία ε 1 : y 2x+ 5= 0, τότε να βρείτε τον κ R και να δείξετε ότι η ευθεία (ε) έχει εξίσωση: 2x y 1= 0 3 Έστω τα διανύσµατα u= 2a+ 3 β και v= a 2β 2π a = 2, β = 1 και a, β = 3 α) Βρείτε το γινόµενο u v και το µέτρο v, όπου aβ, διανύσµατα µε β) Βρείτε το σηµείο της ευθείας (ε) του ερωτήµατος 2 και τον µ R ώστε: 2 uv Β + v 2 ΑΒ = (4, µ + 1) ( ) ( ) (6,7,6,6 µονάδες) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 2 ΑΠΟ 2
Ε_3Μλ2Θ(α) ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΘΕΜΑ Α Α1 Σχολικό βιβλίο σελ 38 Α2 A α) Λάθος (γιατί λ= ) B β) Σωστό γ) Λάθος ( a β = β προβ a β ) δ) Λάθος (γιατί δεν ορίζεται ο λ) ε) Σωστό ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β1 α τρόπος Έστω Β(x,y) τότε θα είναι: 2 = x + 1 x = 3 ΑΚ = ΚΒ ( 1 1, 4 2) = ( x + 1, y 4) 2 = y 4 y = 6 Β(-3,6) δηλαδή β τρόπος xα + xβ 1+ xβ xκ = 1 = xβ = 2 1 = 3 ya + yb 2 + yb και yκ = 4 = yb = 8 2 = 6 δηλαδή Β(-3,6) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 1 ΑΠΟ 4
Ε_3Μλ2Θ(α) x 1 = 4 x = 5 Α = (4, 3) 1, y-2 = (4,3) y - 2 = 3 y = 5 ηλαδή (5,5) οπότε Β = (5 + 3, 5-6) = (8,-1) Η προβολή του Β πάνω στο ΒΑ είναι το Β και αφού Β / / ΒΑ Β = λ ΒΑ = λ(1 + 3,2 6) = λ(4, 4) = (4 λ, 4 λ) Β2 ( x ) Θα είναι Β ΒΑ = ΒΑ Β (8, 1)(4, 4) = (4, 4)(4 λ, 4 λ) 36 9 32 + 4 = 16λ + 16λ 36 = 32λ λ = = 32 8 9 9 οπότε Β =, Β3 ΑΚ 2 Κ = ( 1 1,4 2) 2(5 + 1,5 4) = ( 2,2) + ( 12, 2) = ( 14,0) Οπότε ΑΚ 2 Κ = ( 14) + 0 = 196 = 14 ΘΕΜΑ 1 Το Β είναι το σηµείο τοµής των ΑΒ και Β Λύνω το (Σ) των εξισώσεων τους 2x y + 4 = 0 2x 11+ 5x + 4 = 0 7x = 7 x = 1 y = 11 5x y = 11 5x y = 11 5x y = 6 δηλαδή Β(1,6) 2 Η πλευρά Α είναι κάθετη στο ύψος Β, οπότε 1 λα λβ = 1 λα ( 5) = 1 λα = 5 1 Άρα Α : y 4 = ( x 5) 5y 20 = x 5 x 5y + 15 = 0 5 1+ 5 4 + 6 3 Το µέσο Μ της Β είναι Μ, = (3,5) 4 6 2 1 Ο συντελεστής της Β είναι λ Β = = = 5 1 4 2 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 2 ΑΠΟ 4
Ε_3Μλ2Θ(α) Αφού η µεσοκάθετη ε Β θα έχει λ ε =2 και η εξίσωσή της θα είναι: y 5 = 2( x 3) y 5 = 2x 6 2x y 1 = 0 Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων των Β και (ε): 60 17 y = 11 = Β : y = 11 5x y = 11 5x y = 11 5x 7 7 ε : 2x y 1 = 0 2x 11+ 5x 1 = 0 7x = 12 12 x = 7 12 17 δηλαδή τέµνονται στο Z, 7 7 ΘΕΜΑ xa+ xb κ+ 4 1 Είναι xm= = ya+ yb 5+ κ+ 4 κ+ 9 και ym= = = 2 Άρα κ = 2xM 4 και κ = 2y M -9 οπότε 2xM 4 = 2yM - 9 2xM 2yM + 5 = 0 δηλαδή το Μ κινείται στην ευθεία 2x 2y+ 5= 0 2 Είναι AB = (4 κκ, + 4 5) = (4 κκ, 1) και ε1 / / δ 1= (1,2) 4 κ κ -1 Αν ΑΒ / / ε1 ΑΒ / / δ1 = 0 8 2κ κ + 1= 0 1 2 9 = 3κ κ = 3 οπότε Α(3, 5) και Β(4, 7) Άρα ε : y 5 = 2( x 3) y 5 = 2x 6 2x y 1 = 0 = + = + = 3 α) u v ( 2a 3β)( a 2 β ) 2a 4aβ 3aβ 6β 2 2 2 2π 2 = 2a aβ 6 β = 2 2 a β συν 61 = 3 1 = 2 4 2 1 6 = 8 + 1 6 = 3 2 2 2 2 2 και v = v = a 2β = a 4aβ+ 4β = ( ) 2 2 2π 2 1 a 4 a β συν + 4 β = 4 4 2 1 + 4 1 = 12 v = 12 = 2 3 3 2 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 4
Ε_3Μλ2Θ(α) β) Αφού ( ε ) : y = 2x 1 θα είναι (x, 2x -1) Έχουµε: u v Β + v 2 ΑΒ = (4, µ + 1) 3 Β + (12 2) ΑΒ = (4, µ + 1) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 x 4, 2x 1 7 + 10(4 3,7 5) = (4, µ + 1) 3x 12, 6x 24 + (10, 20) = (4, µ + 1) 3x 12, 6x 24 = (4, µ + 1) (10, 20) = ( 6, µ 19) 12 6 3x 12 = 6 χ χ 2 = = 3 Άρα (2,3) 6x 24 = µ 19 µ = 7 µ = 6x 24 + 19 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 4