ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f ( ) Μονάδες A ίνεται συνάρτηση f ορισµένη στο Πότε η ευθεία y λ + β λέγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 5 A3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη α) Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ορίζουµε z β) Μια συνάρτηση f : A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f ( ) f ( ) γ) Για κάθε { συν } ισχύει: (εφ ) συν δ) ηµ Ισχύει ότι: lim + ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy και Oy Μονάδες ΘΕΜΑ Β Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z και w µε z 3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z 3i + z + 3i και w z 3i+ z 3i B Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z B Να αποδείξετε ότι z + 3i z 3i B3 Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγµατικός αριθµός και ότι w B4 Να αποδείξετε ότι: z w z Μονάδες 7 Μονάδες 4 Μονάδες 8 Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργασία: Kyston
ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f :, δύο φορές παραγωγίσιµη στο, µε f () f (), η οποία ικανοποιεί τη σχέση: (f () + f () ) f () + f () για κάθε Γ Να αποδείξετε ότι: f () ln( ), Μονάδες 8 Γ Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα Μονάδες 3 Γ3 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σηµεία καµπής Μονάδες 7 Γ4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( ) συν έχει ακριβώς µία λύση στο διάστηµα π, Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g :, οι οποίες για κάθε ικανοποιούν τις σχέσεις: i) f () > και g () > t f( ) ii) d t g( + t) t g( ) iii) d t f( + t) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο και ότι f () g () για κάθε Μονάδες 9 Να αποδείξετε ότι: f (), Μονάδες 4 ln f ( ) 3 Να υπολογίσετε το όριο: lim f Μονάδες 5 4 Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( )d F f t t τους άξονες και y y και την ευθεία µε εξίσωση Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Kyston
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία (θεώρηµα Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ ΘΕΜΑ Β B Έχουµε από υπόθεση ότι: z 3i + z + 3i () Όµως z + 3i z + 3i z 3 i () Οπότε από τις () και () προκύπτει ότι: z 3i + z 3i z 3i z 3i (3) Αν z + yi η (3) γράφεται: + ( y 3) i + ( y 3) Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των z είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ (, 3) και ακτίνα ρ Β Από το ερώτηµα Β έχουµε: z 3i Οπότε ( ) z 3i ( z 3 i) ( z 3 i) ( z 3 i) z + 3i z + 3i z 3i Β3 Σύµφωνα µε την προηγούµενη ισότητα ο w γράφεται w z 3 i + 3 3 R( ) 3 z i + z i z + i z + z z R Όµως από τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z έχουµε ότι: Και επειδή R(z) προκύπτει ότι: R(z) Οπότε: R(z) Άρα w B4 Είναι: z w z z + 3i 3i 3i z 3i z z z3i z3i Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 3
ΘΕΜΑ Γ Γ Η δοσµένη σχέση γράφεται: ( ) f ( ) + f ( ) ( ) ( f ( )) ( f ( ) ) ( f ( )) f ( ) f ( ) + c, c R Για προκύπτει: f () f () + c και λόγω των δεδοµένων αρχικών συνθηκών είναι c Η τελευταία σχέση έτσι γράφεται: (*) f ( ) f ( ) f ( )( ) f ( ) f ( ) ln( ) f( ) ln( ) + c Για προκύπτει c Έτσι f ( ) ln( ) (*) Αν θέσουµε h ( ),, είναι: h ( ), ( ) h ( ) h > > > > ( ) h < < < < h h + + Έτσι η h έχει ολικό ελάχιστο στη θέση την τιµή h () ηλαδή h ( ) >, για κάθε Γ Είναι f ( ) ln( ) Λόγω της παρατήρησης (*) του ερωτήµατος Γ οι ρίζες και το πρόσηµο, συνεπώς ο πίνακας µεταβολών της f εξαρτάται µόνον από τις ρίζες και το πρόσηµο του αριθµητού h ( ) Συνεπώς f ( ) f ( ) > > f ( ) < < Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 4
Άρα η f είναι: γνησίως φθίνουσα στο (, ], γνησίως αύξουσα στο [, + ) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση την τιµή f () ln( ) ln Γ3 Είναι: ( ) ( ) ( )( ) ( ) f ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) Θέτουµε ϕ ( ) ( ), Είναι: φ () + ( ) ( ) φ () φ () > < φ () < > Φ + + Φ - Προκύπτει ότι η φ είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, + ) και έχει ολικό µέγιστο φ () > Βρίσκουµε τώρα τα όρια της φ στα, + : limϕ ( ) lim ( ) + + + + ( ) lim ( ) lim lim ( ) lim lim Έτσι ϕ ( ) lim Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 5
Λόγω της συνέχειας και της µονοτονίας της φ είναι (( ]) ( ( ) ( ) ( ] ϕ, lim ϕ, ϕ, ([ + )) ( ( ) ( ) ( ] ϕ, lim ϕ +, ϕ, Παρατηρούµε ότι: ϕ ((,]) άρα υπάρχει (,] ώστε ϕ ( ) Εν τω µεταξύ η φ είναι γνησίως αύξουσα, άρα εκατέρωθεν του αλλάζει πρόσηµο ιότι µε < είναι φ () < φ ( ) φ ( ) < Ενώ µε > > είναι φ () > φ ( ) φ () > Έτσι ισοδύναµα (επειδή ( ) > για κάθε ) η f έχει µία µόνο ρίζα στο (,], εκατέρωθεν της οποίας αλλάζει πρόσηµο Όµοια τώρα ϕ ([, ]) + άρα υπάρχει [, + ), ώστε φ ( ) Εν τω µεταξύ η φ είναι γνησίως φθίνουσα άρα εκατέρωθεν του αλλάζει πρόσηµο ιότι µε < < είναι φ () > φ ( ) φ () > Ενώ µε > είναι φ () < φ ( ) φ () < Έτσι η f έχει επίσης µία µόνο ρίζα στο [, + ), εκατέρωθεν της οποίας αλλάζει πρόσηµο Άρα τελικά, η f έχει ακριβώς δύο σηµεία καµπής στις θέσεις, Γ4 Θέτουµε g( ) ln( ) συν f( ) συν, Ύπαρξη : Η g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών στο, άρα και στο, Είναι g() f() συν() < g π f π συν π f π π π π Όµως f στο [, + ), άρα είναι > f > f() f > Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 6
Έτσι g() g π <, οπότε λόγω του Θ Bolzano η g έχει µία ρίζα στο π διάστηµα, Μοναδικότητα: Θα δείξουµε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε η ρίζα θα είναι µοναδική Έστω,, µε < τότε f ( ) < f( ) διότι f στο [, + ) συν > συν διότι συν στο, Άρα συν < συν Έτσι όµως f ( ) συν < f( ) συν, άρα g ( ) < g ( ) Άρα g γνησίως αύξουσα στο, Παρατήρηση ( ος τρόπος για τη µονοτονία): Η µονοτονία της g στο [, π / ] µπορεί να προκύψει και ως εξής: g () f () + ηµ Όµως f () >, για κάθε (, + ) άρα και για κάθε (, π / ), ενώ επίσης ηµ > για κάθε (, π / ) Άρα g () > για κάθε (, π / ) και εποµένως g γνησίως αύξουσα στο [, π / ] ΘΕΜΑ Έχουµε ότι: t f( ) dt g( + t) Θέτουµε: + t u t u Οπότε: dt du Ακόµη για t έχουµε u και για t έχουµε u Εποµένως: Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 7
u u u f g u g u g u ( ) du du du ( ) ( ) ( ) u u ( ) d ( ) d f u f u gu ( ) gu ( ) Άρα u f( ) + d u () gu ( ) Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι: u g ( ) + d u () f( u) u u Επειδή οι συναρτήσεις και g ( u ) f ( u ) συµπεραίνουµε ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο [, ] µε u u du και du gu ( ) f( u) είναι παραγωγίσιµες στο, εποµένως και οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο f ( ) και g ( ) g( ) f( ) οπότε f ( ) g( ) και g ( ) f( ) άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > f g g f f g g f( ) g f ( ) g( ) g ( ) f( ) f( ) g ( ) g( ) Από την τελευταία προκύπτει ότι: f( ) c g ( ) και επειδή ()&() f() g(), θα είναι c Άρα f ( ) g( ) Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 8
Επειδή είναι: f ( ) (Ερώτηµα ) f( ) 3 Είναι ( ) ( ) f ( ) f( ) f ( ) f( ) f ( ) Σύµφωνα µε γνωστό θεώρηµα (συνέπεια του ΘΜΤ) έχουµε: f ( ) + c Όµως f (), οπότε c Άρα [ ] f ( ) f( ) f( ) Και επειδή f( ) >, προκύπτει ότι f ( ) ln f( ) ln lim lim lim lim lim ( D L' Hospital) (*) f lim lim (*): Θέτουµε y οπότε το lim y lim : + y y 4 Είναι F ( ) f( ) > Άρα η F στο [, ] Άρα για θα είναι F( ) F() και επειδή F (), προκύπτει ότι F( ) [,] Εποµένως [,], θα είναι: [ ] E F( )d F( )d F( ) + F ( )d F() + f( t ) d f( )d d d ( ) d ( ) τµ + Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 9