Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σουδών Ημερομηνία: 9 Ιουνίου 217 Ααντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α1. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο το θεώρημα της σελ. 135 (αράγραφος 2.6 ) Α2. α) Ψευδής β) Αό τη θεωρία του σχολικού βιβλίου (αράγραφος 2.1) γνωρίζουμε ως αν μια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη σε σημείο o του εδίου ορισμού της τότε είναι και συνεχής στο o., Αντιαράδειγμα: f() = {, < η οοία είναι συνεχής στο o = αλλά δεν είναι αραγωγίσιμη στο o =. Α3. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο ορισμός στη σελ. 73 (αράγραφος 1.8) Α4. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ)σωστό ε) Σωστό Θέμα Β B1. Για να ορίζεται η συνάρτηση (f g)() = f(g()) ρέει: D g 1 1 1 { { { { < < 1 g() D f g() > 1 > (1 ) > Εομένως ορίζεται η f g και είναι: (f g)() = f(g()) = ln ( ) για κάθε (,1) 1 B2. H h είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα (,1) ως σύνθεση αραγωγίσιμων συναρτήσεων με : h () = 1 1 ( 1 ) = 1 1 + (1 ) 2
h () = 1 1 1 = 1 >, για κάθε (,1). (1 ) H h είναι γνησίως αύξουσα στο (,1) εομένως έχει την ιδιότητα "1 1" άρα η h είναι αντιστρέψιμη. H h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α = (,1). Εομένως το σύνολο τιμών της είναι: h(a) = ( + h() = ln ( + + h(), h()) = (, + ) διότι: 1 = ln u = u + 1 ) h() = ln ( 1 1 1 ) ln u = + u + 1 = u + u + 1 = u 1 u + Εομένως, η συνάρτηση h 1 έχει εδίο ορισμού το (, + ). Για να βρούμε την αντίστροφη της h θέτουμε: y = h() και λύνουμε ως ρος Έχουμε: y = h() y = ln ( 1 ) e y = 1 e y e y = e y = e y + e y = (e y + 1) και e y + 1 >, για κάθε y R ey = e y + 1 Άρα ο τύος της αντίστροφης είναι: h 1 (y) = ey e y +1, y R. Θέτω όου y το οότε: h 1 () = e e +1, R
B3. H φ είναι αραγωγίσιμη στο (, + ) ως ηλίκο αραγωγίσιμων συναρτήσεων με φ () = e (e + 1) e e e (e + 1) 2 = (e > για κάθε R + 1) 2 Εομένως η φ είναι γνησίως αύξουσα στο R και δεν αρουσιάζει ακρότατα στο R. Η συνάρτηση φ είναι αραγωγίσιμη ως ηλίκο αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο R με φ () = e (e + 1) 2 2(e + 1) e e (e + 1) 4 = = e (e + 1) 2e 2 (e + 1) 3 = e e 2 (e + 1) 3, R Λύνουμε: φ () = e (1 e ) (e +1) 3 = e (1 e ) = e >, R 1 e = = φ () > e (1 e ) (e +1) 3 > 1 e >, διότι e > και (e + 1) 3 > 1 > e e < φ () < e (1 e ) (e +1) 3 < 1 e < 1 < e e > Εομένως ροκύτει ο αρακάτω ίνακας + φ () + φ()
H φ μηδενίζεται στο σημείο = και εκατέρωθεν αλλάζει ρόσημο. Ακόμη ορίζεται η εφατομένη της C φ στο σημείο Α(, φ()). Οότε το σημείο Α (, 1 ) είναι σημείο καμής της 2 C φ. B4. Έχουμε: φ() = e e + 1 = αφού e = Άρα η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύμτωτη της C φ στο. Είσης, έχουμε: φ() = + + e e + 1 + = D. l. H. + (e ) (e + 1) = Άρα η ευθεία y = 1 είναι οριζόντια ασύμτωτη της C φ. + e e = 1 Ειλέον αφού ισχύει φ = h 1, η φ έχει σύνολο τιμών το εδίο ορισμού της h δηλαδή το διάστημα (,1). Σχηματίζουμε τον ίνακα μεταβολών της φ και χαράσουμε τη γραφική της αράσταση. + φ () + + φ () + φ() Γραφική αράσταση: ΣΚ Α (, 1 2 )
Θέμα Γ Γ1. Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο [, ] με f () = συν. Έστω M(, f( )) το σημείο εαφής της εφατομένης (ε) της C f ου διέρχεται αό το A (, ). Η εξίσωση εφατομένης στο σημείο Μ είναι: 2 2 y f( ) = f ( )( ) y + ημ = συν ( ). Όμως: Α (ε) 2 + ημ = συν ( 2 ) ημ + ( 2 ) συν 2 = Θεωρούμε τη συνάρτηση: g() = ημ + ( ) συν, [, ]. 2 2 Η συνάρτηση g είναι αραγωγίσιμη στο [, ] ως ράξεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων με g () = ( 2 ) ημ α τρόος: Παρατηρούμε ότι: g() = g() = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο [, ]. Η συνάρτηση g είναι αραγωγίσιμη με: g () = ( ) ημ, [, ] 2 Ισχύει: g () = ( ) ημ = = ή = ή =. 2 2 Είσης: g () > ( ) ημ > < < 2 2 Σχηματίζουμε τον ίνακα μονοτονίας ακροτάτων: /2 g () + g Η g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ 1 = [, 2 ] και Δ 1, οότε η g() = έχει μοναδική ρίζα στο Δ 1 την 1 =. Η g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ 2 = [ 2, ] και Δ 2, οότε η g() = έχει μοναδική ρίζα στο Δ 2 την 2 =. Άρα η εξίσωση g() = έχει δύο ακριβώς ρίζες στο [, ] και συνεώς ροκύτουν δύο ακριβώς σημεία εαφής Μ, δηλαδή δύο ακριβώς εφατομένες (ε 1 ), (ε 2 ) της C f ου διέρχονται αό το σημείο Α. β τρόος: Παρατηρούμε ότι: g() = g() =, άρα η εξίσωση g() = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο [, ]. Έστω ότι υάρχει (, ) τρίτη ρίζα της εξίσωσης g() =. Έχουμε ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής στα διαστήματα [, ] και [, ] και αραγωγίσιμη στα διαστήματα (, ) και (, ) αντίστοιχα με g() = g( )
και g( ) = g(). Συνεώς, με το θεώρημα Rolle υάρχουν ξ 1 (, ), ξ 2 (, ) τέτοια ώστε g (ξ 1 ) = g (ξ 2 ) =. Όμως g () = ( ) ημ = = ή = ή =. 2 2 Αλλά: ξ 1, ξ 2 (, ) οότε καταλήγουμε σε άτοο, αφού η εξίσωση g() = έχει μοναδική ρίζα (, ) την = 2. Άρα η εξίσωση g() = έχει δύο ακριβώς ρίζες στο [, ] και συνεώς ροκύτουν δύο ακριβώς σημεία εαφής Μ, δηλαδή δύο ακριβώς εφατομένες (ε 1 ), (ε 2 ) της C f ου διέρχονται αό το σημείο Α, οι οοίες είναι: (ε 1 ): f() = f () ( ) y = (ε 2 ): f() = f () ( ) = Γ2. Για να βρούμε τα σημεία τομής της C f με τον λύνουμε στο [, ] την εξίσωση: f() = ημ = = ή = γιατί [, ]. Για κάθε [, ] ισχύει ημ ημ f() Εομένως, Ε 2 = f() d = f() d = ημ d Το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ είναι Ε ΟΑΒ = (ΟΒ)(ΑΓ) 2 Συνεώς Ε 1 = Ε ΟΑΒ Ε 2 και τελικά Ε 1 Ε 2 = Ε ΟΑΒ Ε 2 Ε 2 = = [ συν] =1+1=2 τ.μ. = 1 2 2 = 2 2 4 2 = 2 1. 2 8 4 Ο Γ ( 2, ) Β(, ) Α ( 2, 2 )
Γ3. Έχουμε: f() + f() + D f = [, ] = ημ + ημ + (1) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = ημ +, [, ]. Η h είναι συνεχής στο [, ] και αραγωγίσιμη στο (, ) ως ράξεις μεταξύ αραγωγίσιμων συναρτήσεων με h () = συν 1 < για κάθε (, ). Εειδή η h είναι συνεχής στο =, η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ]. Άρα για κάθε < h h() > h() h() >. Οότε αό τη σχέση (1) το όριο γίνεται: ημ + ημ + = [( ημ + ) 1 ] = (+ ) = + ημ + αφού ( ημ + ) = και ημ + = h() >, για κάθε (, ). β τρόος: Η f είναι συνεχής στο [, ] και δύο φορές αραγωγίσιμη στο (, ) με f () = ημ > για κάθε (, ). Εομένως, η f είναι κυρτή στο [, ] και η εφατομένη (ε 2 ) της C f βρίσκεται κάτω αό την C f με εξαίρεση το σημείο εαφής Β(, ). Δηλαδή f() > ημ + > για κάθε [, ). γ τρόος: Θέτοντας στην (1) u = έχουμε ότι u + καθώς και το όριο γίνεται: [( u ημ( u)) 1 ] = [( u ημu) 1 ] = (+ ) = +, u + u ημ( u) u + u ημu αφού (u ημu) = και u ημu >, για κάθε u (, ). u + Γ4. Η f είναι αραγωγίσιμη στο [, ] με f () = ημ για κάθε [, ] με την ισότητα να ισχύει μόνο για = και =. Εομένως, η f είναι κυρτή στο [, ] και η εφατομένη (ε 2 ) της C f βρίσκεται κάτω αό την C f με εξαίρεση το σημείο εαφής Β(, ). Δηλαδή f() > > Άρα f() d > 1 e f() > 1 e (1 ) d = 1 για κάθε (1, e). [ ln ] 1 e = e 1 + = e 1
Θέμα Δ Δ.1. Για την συνέχεια της f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ 1,) ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Η f είναι συνεχής στο (, ] ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων 3 f() = 4 = f() = + +(e ημ) =, άρα f() = = f() και η f συνεχής στο. Τελικά η f είναι συνεχής στο [ 1, ]. Τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος όου η f δεν είναι αραγωγίσιμη ή ισχύει f () =. H f είναι αραγωγίσιμη στο ( 1,) με f 3 () = ( 4 4 ) = ( 3) = (( ) 4 3) = 4 3 ( )1 3( ) = 4 3 3 < H f είναι αραγωγίσιμη στο (, ) με f () = (e ημ) = e ημ + e συν = e (ημ + συν) και f () = e (ημ + συν) = ημ + συν = ημ = συν εφ = 1 = 3 4 3 f() = 4 = 4 ( ) 3 ( ( ) ) = ( ( )1 3) = f() + = e ημ ημ = + + e + = 1 1 = 1 Άρα η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο. Τελικά τα κρίσιμα της f στο [ 1, ] είναι τα 1 = και 2 = 3 4. ( 3 ) =
Δ2. Οι ρίζες και το ρόσημο της αραγώγου φαίνονται στον αρακάτω ίνακα: 1 3 4 f () + + f() Τοικό Μέγιστο Ελάχιστο Μέγιστο Ελάχιστο Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα [ 1,], [ 3 4, ] και γνησίως αύξουσα στο [, 3 4 ]. Έχει τοικό μέγιστο για = 1, το f( 1) = 1 και για = 3 έχει ολικό μέγιστο το 4 f ( 3 ) = 2 4 2 e3 4 = M και ολικό ελάχιστο για =, το f() = = m και για =, το f() = = m. Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής (ΘΜΕΤ), η f έχει σύνολο τιμών το 2 [m, M] = [, 2 e3 4 ], όου m το ελάχιστο και Μ το μέγιστο της f. Δ3. Ε = f() e 5 d = e ημ e 5 Ισχύει: e ημ e 5 = e (ημ e 4 ) Για κάθε [, ] είναι: d (1) 4 e 4 1 ημ και άρα ημ e 4. Η (1) γίνεται: 2 4 1 2 e3 Ε = (e 5 e ημ) d e 5 d e ημ d = = Ι 1 Ι 2 Για το ολοκλήρωμα Ι 1 έχουμε Ι 1 = e 5 d = [ 1 5 e5 ] = 1 5 e5 1 5
Για το ολοκλήρωμα Ι 2 έχουμε Ι 2 = e ημ d = = e συν d = ( e 1) I 2 2 I 2 = e + 1 I 2 = e + 1 2 (e ) ημ d = [e ημ] Άρα Ε = Ι 1 Ι 2 = 1 5 e5 1 5 e + 1 2 Δ4. Είναι: = (e ) συν d = [e συν] e συν d e ημ d 16 e 3 4 f() e 3 4 (4 3) 2 = 8 2, [ 1, ] 16 f() (4 3) 2 = 8 2 e 3 4 (4 3)2 f() 16 f() ( 3 4 ) 2 = 2 2 e3 4 = 2 2 e3 4 ( 3 4 ) 2 = f() M Άρα ( 3 2 4 ) = 3 4 = = 3 4