dx = dt x + 5 x + (A I A- Μιγαδικοί Αριθμοί ( ) Tolaso Network 5 =0 P R i 5 + -1 ( t de I) = ( ) 1 A= y 5 Y 5 5y =5 dy = dt Μαθηματικά - - -1 SI N X x! -1 S CO CO x x 1 S X -1 N TA TA X N x e LN x 10 - SI -1 N SI N +/ -1 N G SI LO 5 SI -1 N SI N -1 N N SI SI SI -1 N SI N MATHEMATICS N SI -1 N SI N Απρίλιος 019 0 0 = No. -1 N SI 1 = y -- e π i 5y x + y =0 i 5i 5 + x =
ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τίτλος Συγγραφέας Ιστοσελίδα ίϰτυο Μιγαδιϰοί Αριϑµοί Tolaso J. Kos tolaso.com.gr Στοιχειοϑεσία: LATEX ( TEXLive 017 + PDF LATEX) Εϰδοση: ε..0 Απρίλιος 9, 019 Σελίδες: 87 Στοιχεία Επιϰοινωνίας Tolaso Network tolaso@tolaso.com.gr Το παρόν τεύχος στοιχειοϑετείται από τη LATEX. Ολα τα σχήµατα έχουν σχεδιαστεί µε το σχεδιαστιϰό παϰέτο TIkZ. Το παρόν τεύχος διέπεται από τη Γενιϰή Αδεια ηµόσιας Χρήσης ( GNU ). Για την αποφυγή λαϑών το τεύχος ανανεώνεται συνεχώς. Ο συγγραφέας δεν έχει ϰαµία ευϑύνη για τυχόν προβλήµατα που ίσως προϰύψουν. This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported license.
3 Περιεχόµενα 1 Πρόλογος 5 Μιγαδιϰοί 7.1 Η έννοια του µιγαδιϰού αριϑµού................ 7. Πράξεις µεταξύ µιγαδιϰών................... 8.3 Ο συζυγής µιγαδιϰός...................... 10.4 Μέτρο µιγαδιϰού........................ 11.5 Ορισµα µιγαδιϰού........................ 1.6 Τριγωνοµετριϰή / Πολιϰή µορφή µιγαδιϰού.......... 14.7 Ρίζες της µονάδος........................ 15.8 Λυµένες Ασϰήσεις........................ 18.9 Προτεινόµενες Ασϰήσεις.................... 54.9.1 Ερωτήσεις Κατανόησης................ 54.9. Ασϰήσεις Εµπέδωσης................. 58 Κατάλογος Σχηµάτων 85 3 Βιβλιογραφία 87
Κεφάλαιο 1 Πρόλογος Το βιβλιαράϰι αυτό τελείωσε το 017 αλλά η συγγραφή του είχε αρχίσει από το 014. Ο τότε στόχος ήταν να παρουσιαστεί µία πλήρης συλλογή ασϰήσεων στους µιγαδιϰούς που να ϰαλύπτει ένα ευρύ φάσµα ϰαϑώς επίσης ϰαι αναλυτιϰή ϑεωρία πάνω στο ενδιαφέρον πεδίο των µιγαδιϰών. υστυχώς, οι εξελίξεις στην Παιδεία ϰαι η αλλαγή της ύλης µας πρόλαβαν. Οι Μιγαδιϰοί βγήϰαν εν τέλει εϰτός ύλης το 016 ϰαι ϰατά συνέπεια η ύπαρξη αυτού του τεύχους δεν είχε πλέον ϰανένα σχολιϰό νόηµα. Ο συγγραφέας αποφάσισε όµως να ϰρατήσει την ήδη υπάρχουσα δουλειά ϰαι να την εµπλουτίσει. Κατά συνέπεια το 017 δηµοσιεύτηϰε η πρώτη εϰδοχή αυτού του τεύχους. ύο χρόνια αργότερα ϰαι φτάνοντας αισίως στο 019 το τεύχος αυτό αναϑεωρήϑηϰε. ιορϑώϑηϰαν αρϰετά λάϑη, ϰυρίως τυπογραφιϰά, προστέϑηϰαν ϰάποιες επιπλέον ασϰήσεις ϰαι έγινε µια µεριϰή αναϰατάταξη. Οι λύσεις των ασϰήσεων σϰόπιµα δεν έχουν µπει. Οπου ϰρίνεται, όµως, απαραίτητο υπάρχει υπόδειξη. Το τεύχος αυτό αρϑρώνεται ως εξής: Βασιϰή Θεωρία - Παρατηρήσεις Λυµένες ασϰήσεις Αλυτες ασϰήσεις για εµπέδωση της ϑεωρίας Οι άλυτες ασϰήσεις περιέχουν ϰαι ϰάποιες γενιϰές ασϰήσεις αυξηµένου επιπέδου δυσϰολίας οι οποίες ίσως ξεφεύγουν από τη τότε σχολιϰή ύλη. Γενιϰά, έχει αποφευχϑεί η εισαγωγή συνδυαστιϰών ασϰήσεων από άλλα ϰεφάλαια, όπως π.χ ολοϰληρώµατα ϰαϑώς ο στόχος είναι η εµπέδωση των µιγαδιϰών. Με την ελπίδα ότι ϑα φανεί σε ϰάποιον χρήσιµο ( φοιτητή, χοµπίστα, ϰτλ) αλλά ϰαι ότι οι µιγαδιϰοί ϑα επιστρέψουν στη ϑέση που τους αρµόζει στα σχολιϰά µαϑηµατιϰά, δίδουµε σε δηµόσια ϰυϰλοφορία τη νέα αυτή έϰδοση. Τέλος σηµειώνουµε ότι επειδή το τεύχος αυτό είναι ανϑρώπινο δηµιούργηµα, ενδέχεται να υπάρχουν λάϑη. Παραϰαλώ όπως επιϰοινωνήσατε µε το συγγραφέα για τη διόρϑωση αυτών. 5 Tolaso Φάρσαλα, Απρίλιος 9, 019
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Συµβολισµοί N N Z Z R R sin x cos x A B A B A \ B το σύνολο των φυσιϰών αριϑµών το σύνολο των φυσιϰών αριϑµών χωρίς το 0 το σύνολο των αϰεραίων αριϑµών το σύνολο των αϰεραίων αριϑµών χωρίς το 0 το σύνολο των πραγµατιϰών αριϑµών το σύνολο των πραγµατιϰών αριϑµών χωρίς το 0 η συνάρτηση ηµίτονο η συνάρτηση συνηµίτονο ένωση συνόλων τοµή συνόλων διαφορά συνόλων
Κεφάλαιο Μιγαδικοί Στο ϰεφάλαιο αυτό ϑα έρϑουµε σε µία πρώτη γνωριµία µε τους µιγαδιϰούς αριϑ- µούς. Οι µιγαδιϰοί αριϑµοί είναι µία επέϰταση των πραγµατιϰών αριϑµών µε την εισαγωγή του στοιχείου i για το οποίο ισχύει i = 1. Κάϑε αριϑµός στο σύνολο αυτό γράφεται στη µορφή α+iβ όπου α, β R. Θα δούµε το µέτρο του µιγαδιϰού, τη πολιϰή µορφή αυτού ϰαϑώς επίσης ϰαι τις νιοστές ρίζες τις µονάδος..1 Η έννοια του µιγαδιϰού αριϑµού Το σύνολο C (complex) είναι ένα υπερσύνολο των πραγµατιϰών αριϑµών όπου σε αυτό µεταφέρονται οι ιδιότητες που ισχύουν στο R πλην της διατάξεως. Για παράδειγµα αν z ένα στοιχείο που ανήϰει στο σύνολο C τότε για αυτό δε µπορεί να ισχύουν οι παραϰάτω σχέσεις z 0 z 1 Αποτελείται από τα εξής σύνολα: (αʹ) Το σύνολο R που είναι το σύνολο των πραγµατιϰών αριϑµών ϰαι, (βʹ) Το σύνολο I που είναι το σύνολο των φανταστιϰών αριϑµών. Οι ιδιότητες που χαραϰτηρίζουν το σύνολο C είναι οι παραϰάτω: (αʹ) Ισχύουν οι ιδιότητες της πρόσϑεσης ϰαι του πολλαπλασιασµού που ισχύουν ϰαι στο σύνολο R των πραγµατιϰών αριϑµών. (βʹ) Υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο της πρόσϑεσης, το 0, για το οποίο ισχύει z + 0 = 0 + z = z. (γʹ) Υπάρχει ένα ουδεύτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού, το 1, για το οποίο ισχύει z 1 = 1 z = z. (δʹ) Υπάρχει ένα στοιχείο, το i,για το οποίο ισχύει i = 1. (εʹ) Για ϰάϑε z C υπάρχουν µοναδιϰά a, β R τέτοια ώστε z = a + iβ. 7
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Τα στοιχεία του C ϰαλούνται µιγαδιϰοί αριϑµοί. Κάϑε µιγαδιϰός αριϑµός αποτελείται από δύο µέρη: το πραγµατιϰό ϰαι το φανταστιϰό. Το a ϰαλείται πραγµατιϰό µέρος του µιγαδιϰού z ϰαι συµβολίζεται ως a = Re(z) ενώ το β ϰαλείται φανταστιϰό µέρος του µιγαδιϰού z ϰαι συµβολίζεται ως β = Im(z). Μπορούµε να παραστήσουµε τους µιγαδιϰούς αριϑµούς στο µιγαδιϰό επίπεδο ( ή επίπεδο Argand ή Gauss ) µέσω της διανυσµατιϰής τους αϰτίνας χωρίς όµως να γίνεται ταύτιση της αϰτίνας µε το µιγαδιϰό. Ετσι για παράδειγµα ο µιγαδιϰός z = 1 + i παρίσταται µε το σηµείο A(1, 1) όπως φαίνεται στο σχήµα. y 1 A(1, 1) O 1 x Απειϰόνιση µιγαδιϰού στο επίπεδο - ιανυσµατιϰή Αϰτίνα Οπως παρατηρούµε από τα παραπάνω σχήµα ο άξονας x x ϰαλείται πραγ- µατιϰός άξονας ενώ ο άξονας y y φανταστιϰός άξονας.. Πράξεις µεταξύ µιγαδιϰών Μεταξύ των µιγαδιϰών µπορούµε να ορίσουµε πράξεις. Ετσι έχουµε: Θεώρηµα.1 Εστω z 1 = a + iβ ϰαι z = γ + iδ. Τότ: (αʹ) z 1 + z = (a + γ) + i(β + δ) (βʹ) z 1 z = (a γ) + i(β δ) (γʹ) z 1 z = (aγ βδ) + i(aδ + βγ) (δʹ) z 1 z = aγ+βδ γ +δ + i βγ aδ γ +δ µε τη προϋπόϑεση ότι z 0. Απόδειξη. Οι πρώτες τρεις ιδιότητες είναι απλές πράξεις που αφήνονται στον αναγνώστη. Για το πηλίϰο δύο µιγαδιϰών έχουµε:
.. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ 9 z 1 = a + iβ z γ + iδ (a + iβ) (γ iδ) = (γ + iδ) (γ iδ) aγ + βδ aδ = γ + iβγ + δ γ + δ Ο µιγαδιϰός γ iδ που πολλαπλασιάσαµε ϰαλείται συζυγής µιγαδιϰός ϰαι συµβολίζεται ως z. Μπορούµε να ερµηνεύσουµε γεωµετριϰά τις παραπάνω πράξεις.για παράδειγ- µα έστω z 1, z δύο µιγαδιϰοί αριϑµοί. Τότε: y z 1 z O z 1 z z z 1 z 1 + z x Πρόσϑεση - Αφαίρεση µιγαδιϰών y z 1 z z 1 z O x Πολλαπλασιασµός Μιγαδιϰών Οπως βλέπουµε από τα σχήµατα παραπάνω η πρόσϑεση µιγαδιϰών γίνεται µε το ϰανόνα του παραλληλογράµµου. Στο πολλαπλασιασµό τα δύο τρίγωνα που προϰύπτουν είναι όµοια. Θεώρηµα. ( υνάµεις του i) Εστω ν N. Τότε: 1 αν υ = 0 i ν i αν υ = 1 = 1 αν υ = i αν υ = 3 όπου υ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν µε το 4. Απόδειξη. Η απόδειξη του ϑεωρήµατος παραλλείπεται. Παρόµοια ορίζονται ϰαι όλες οι δυνάµεις του z ϰαι σε αυτές ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες που ισχύουν στο R.
10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Παρατηρήσεις (αʹ) Στο C όπως ϰαι στο R ισχύουν οι ίδιοι τύποι που δίδουν το άϑροισµα των πρώτων ν όρων αριϑµητιϰής ϰαι γεωµετριϰής προόδου. (βʹ) Αν ϰαι στο R ισχύει η ισοδυναµία a + β = 0 a = β = 0 εντούτοις στο C δεν ισχύει διότι όπως είπαµε σε αυτό δε µεταφέρεται η ιδιότητα της διάταξης. Μπορείτε να δώσετε ένα παράδειγµα ; (γʹ) Ολες οι ταυτότητες που ισχύουν στο R ισχύουν ϰαι στο C..3 Ο συζυγής µιγαδιϰός Ο συζυγής µιγαδιϰός όπως είδαµε είναι πολύ σηµαντιϰός ϰαι συµβολίζεται µε z. Ετσι αν z = a + iβ τότε z = a iβ. Βγαίνει, λοιπόν, το συµπέρασµα πως οι ειϰόνες των συζυγών µιγαδιϰών είναι συµµετριϰές ως προς τον πραγµατιϰό άξονα, δηλ. το άξονα x x όπως φαίνεται ϰαι από το σχήµα. y z O x Απειϰόνιση συζυγή µιγαδιϰού Κάποιες από τις σηµαντιϰότερες ιδιότητες των συζυγών µιγαδιϰών είναι οι εξής: (αʹ) z z = (a + iβ)(a iβ) = a + β (βʹ) z 1 + z = z 1 + z ϰαι γενιϰότερα (γʹ) z 1 z = z 1 z ϰαι γενιϰότερα (δʹ) (z ν ) = ( z) ν για ϰάϑε ν N ν κ=1 ν κ=1 z κ = z z κ = ν κ=1 z κ ν κ=1 z κ.
.4. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ 11 (εʹ) ( z1 z ) = z 1 z, z 0 (ϛʹ) z + z = Re(z) ϰαϑώς ϰαι z z = iim(z) ( η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη ) (ζʹ) Ισχύουν οι εξής ισοδυναµίες: z R z = z z I z = z Είναι προφανές πως δύο µιγαδιϰοί αριϑµοί είναι ίσοι αν ϰαι µόνο αν τα πραγ- µατιϰά ϰαι τα φανταστιϰά µέρη τους είναι ίσα αντίστοιχα. Επίσης, ένας µιγαδιϰός είναι ίσος µε το 0 αν ϰαι µόνο αν τόσο το πραγµατιϰό όσο ϰαι το φανταστιϰό είναι ίσο µε το 0. Παρατήρηση Σηµειώσατε δύο πολύ σηµαντιϰές ταυτότητες: (1 + i) = i, (1 i) = i.4 Μέτρο µιγαδιϰού Εστω z ένας µιγαδιϰός αριϑµός ϰαι M(a, β) η ειϰόνα αυτού. Καλούµε µέτρο του µιγαδιϰού αριϑµού z ϰαι το συµβολίζουµε µε z την απόσταση του M από την αρχή των αξόνων. y β M(a, β) O a x Μέτρο Μιγαδιϰού Ετσι λοιπόν το µέτρο του µιγαδιϰού z δίδεται του τύπου: z = OM = a + β Είναι επίσης φανερό πως z 0 µε την ισότητα να ισχύει όταν z = 0. Μεριϰές από τις ιδιότητες του µέτρου είναι οι αϰόλουϑες: (αʹ) z = z = z
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ (βʹ) z = z z ϰαι z 1 + z = (z 1 + z )( z 1 + z ). ν (γʹ) z 1 z = z 1 z ϰαι γενιϰότερα z κ = ν z κ κ=1 (δʹ) z ν = z ν για ϰάϑε ν Z µε z 0. (εʹ) z 1 z = z 1 z µε z 0. κ=1 Παρατήρηση Να σηµειώσουµε εδώ ότι η ισότητα z = z ισχύει µόνο αν z R. Γενιϰά στο C η ισότητα αυτή δεν ισχύει. Για παράδειγµα είναι i = 1 ενώ i = 1. Αντίστοιχα η ισότητα ισχύει µόνο αν z I. z = z Οπως στους πραγµατιϰούς, έτσι ϰαι στους µιγαδιϰούς ισχύει η τριγωνιϰή ανισότητα. Εφόσον το z w δηλώνει την απόσταση των z, w µπορούµε να αποδείξουµε σχετιϰά εύϰολα την επόµενη πρόταση: Θεώρηµα.3 ( Τριγωνιϰή ανισότητα ) z 1 z z 1 ± z z 1 + z Η παραπάνω ανισότητα εϰφράζει ότι σε ένα τρίγωνο, το µήϰος ϰάϑε πλευράς είναι µιϰρότερο από το άϑροισµα των µηϰών των άλλων δύο πλευρών, ϰαϑώς ϰαι µεγαλύτερο από τη διαφορά τους. Αυτό αϰριβώς διϰαιολογεί ϰαι το όνοµά της..5 Ορισµα µιγαδιϰού Το όρισµα ενός µιγαδιϰού αριϑµού είναι η γωνία θ που σχηµατίζει η διανυσµατιϰή αϰτίνα του z µε τον άξονα x x. Συµβολίζεται ως arg z. Απ όλα τα ορίσµατα του z υπάρχει ένα ( ϰαι είναι µοναδιϰό ) το οποίο βρίσϰεται εντός του διαστήµατος [ π, π). Αυτό ϰαλείται πρωτεύον όρισµα ϰαι συµβολίζεται ως Argz. Κάϑε άλλο όρισµα διαφέρει από το πρωτεύον ϰατά κπ όπου κ Z.
.5. ΟΡΙΣΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ 13 y 1 + i O x Ορισµα Μιγαδιϰού Στο σχήµα πάνω βλέπουµε τη γωνία που σχηµατίζει ο µιγαδιϰός z = 1 + i µε τον άξονα x x. Στη συγϰεϰριµένη περίπτωση το πρωτεύον όρισµα είναι ίσο µε arg(1+i) = π 4. Επίσης εύϰολα µπορούµε να βγάλουµε τα ορίσµατα των µιγαδιϰών z = 1, z = i, z = 1, z = i. i 1 1 i Απειϰόνιση Ορισµάτων Για το όρισµα ισχύουν οι παραϰάτω ιδιότητες: (αʹ) Arg(zw) = Argz + Argw διότι: ϰαι γενιϰότερα ) Arg(zw) = Arg ( z e iθz w e iθw ) = Arg (e iθz e iθw = Arg (e i(θz+θw)) = Argz + Argw Arg(z 1 z z 3 z n ) = Argz 1 + Argz + Argz 3 + + Argz ν (βʹ) Από τη παραπάνω γενίϰευση έχουυµε ότι: (γʹ) Για το όρισµα του z 1 έχουµε: Arg Argz ν = νargz ( ) { 1 π Arg(z) αν Arg(z) 0 = z 0 αν Arg(z) = 0
14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Από την απόδειξη παραπάνω για την ισότητα των δύο ορισµάτων είδαµε πως ο z µπορεί να γραφεί στη µορφή z = z e iθ ή την ισοδύναµη µορφή z = z (cos θ + i sin θ) Η γραφή αυτή είναι πολύ βολιϰή ιδίως όταν ϰάνουµε πολλαπλασιασµό ή διαίρεση. Για παράδειγµα αν ϑεωρήσουµε το µιγαδιϰό z = 1 + i ϰαι τον w = 1 i τότε έχουµε: zw = (1 + i) (1 i) = e iπ/4 e iπ/4 = e i(π/4 π/4) = ενώ για τη διαίρεση βγάζουµε αντίστοιχα z w = i..6 Τριγωνοµετριϰή / Πολιϰή µορφή µιγαδιϰού Είδαµε πάνω πως ϰάϑε µιγαδιϰός z µπορεί να γραφεί στη µορφή : z = z e iθ = z (cos θ + i sin θ) όπου θ ένα όρισµα του µιγαδιϰού αυτού. Η µορφή αυτή ϰαλείται τριγωνοµετριϰή ή πολιϰή ϰαι είναι ιδιαίτερα χρήσιµη. Ετσι για παράδειγµα αν z 1 = z 1 e iθ 1 ϰαι z = z e iθ τότε εύϰολα µπορούµε να βρούµε το γινόµενο αλλά ϰαι το πηλίϰο των δύο αυτών µιγαδιϰών. Για το γινόµενο έχουµε για παράδειγµα: Οµοια αποδειϰνύεται: z 1 z = z 1 e iθ 1 z e iθ = z 1 z e i(θ 1+θ ) = z 1 z [cos (θ 1 + θ ) + i sin (θ 1 + θ )] z 1 z = z 1 z [cos (θ 1 θ ) + i sin (θ 1 θ )] Γενίϰευση: Για το πολλαπλασιασµό ν µιγαδιϰών ισχύει : ν z κ = κ=1 = ν z κ e κ=1 ν θ κ κ=1 [ ( ν ν ) ( ν )] z κ cos θ κ + i sin θ κ κ=1 κ=1 Ετσι για παράδειγµα για να πολλαπλασιάσουµε τους µιγαδιϰούς z 1 = 1 + i ϰαι z = 1 i αρϰεί να τους γράψουµε στη πολιϰή µορφή. κ=1
.7. ΡΙΖΕΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΟΣ 15 Παρατηρήσεις (αʹ) Ο πολλαπλασιασµός του µιγαδιϰού z 1 µε το µιγαδιϰό z σηµαίνει στροφή της διανυσµατιϰής αϰτίνας του z 1 ϰατά γωνία θ ϰαι µετά πολλαπλασιασµό αυτής µε το µέτρο του z. Ειδιϰότερα ο πολλαπλασιασµός του z µε το i σηµαίνει στροφή της διανυσµατιϰής αϰτίνας του z ϰατά 90. ( γιατί ; ) (βʹ) Η διαίρεση του µιγαδιϰού z 1 µε το µιγαδιϰό z σηµαίνει στροφή της διανυσµατιϰής αϰτίνας του z 1 ϰατά γωνία θ ϰαι στη συνέχεια πολλαπλασιασµό αυτής µε 1 z. Θεώρηµα.4 ( De Moivre ) Αν z = z (cos θ + i sin θ) τότε: z ν = z ν (cos νθ + i sin νθ) Απόδειξη. Πράγµατι αν z = z e iθ τότε: z ν = ( z e iθ) ν = z ν e iνθ = z ν (cos νθ + i sin νθ) ϰαι η απόδειξη ολοϰληρώϑηϰε..7 Ρίζες της µονάδος Οπως είναι γνωστό στο σύνολο των πραγµατιϰών αριϑµών R ο αριϑµός 1 έχει µία ν - οστή ρίζα αν ο ν είναι περιττός ϰαι δύο ν - οστές ρίζες αν ο ν είναι άρτιος ( την 1 ϰαι την 1 ). Στο C αυτό δεν ισχύει µιας ϰαι ο αριϑµός 1 έχει στο C αϰριβώς ν ρίζες. Θεώρηµα.5 ( Ρίζες µιγαδιϰού αριϑµού ) Κάϑε µιγαδιϰός αριϑµός z 0 έχει ν διαφορετιϰές µιγαδιϰές ν -οστές ρίζες οι οποίες δίδονται της τριγωνοµετριϰής µορφής ρ κ = ν [ ( θ z cos ν + κπ ) ( θ + i sin ν ν + κπ )] ν όπου κ = 1,,..., ν 1 ϰαι θ η γωνία που σχηµατίζει η διανυσµατιϰή αϰτίνα του z µε τον άξονα.
16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Απόδειξη. Η απόδειξη παραλείπεται. Από το παραπάνω ϑεώρηµα παρατηρούµε ότι όλες οι νιοστές ρίζες ενός µιγαδι- ϰού αριϑµού βρίσϰονται πάνω στον µοναδιαίο ϰύϰλο ϰαι η γωνία που σχηµατίζεται από το 0 µεταξύ διαφορετιϰών ριζών είναι πολλαπλάσιο του π ν. Συνεπώς οι ν - οστές ρίζες βρίσϰονται στις ϰορυφές ενός ϰανονιϰού πολυγώνου. Για παράδειγµα ας υπολογίσουµε τη τέταρτη ρίζα του 1 πάνω από το C. Εύϰολες διαπιστώνουµε ότι οι τέταρτες ρίζες του 1 πάνω από το C ( σύµφωνα µε το προηγούµενο ϑεώρηµα ) είναι οι αριϑµοί 1, i, 1, i ϰαι είναι ϰορυφές τετραγώνου όπως φαίνεται στο σχήµα: i 1 1 i Νιοστές ρίζες της µονάδος Ανάλογο συµπέρασµα µε το παραπάνω προϰύπτει ϰαι τις ρίζες των πολυωνύµων πάνω από το C. Συγϰεϰριµένα ισχύει το επόµενο ϑεώρηµα: Θεώρηµα.6 ( Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αλγεβρας ) Εστω P(z) = α ν z ν + α ν 1 z ν 1 + + α 1 z + α 0 ένα µη σταϑερό βαϑµού ν πολυώνυµο µε µιγαδιϰούς συντελεστές. Οι ρίζες του πολυωνύµου, συµπεριλαµβανοµένου των πολλαπλοτήτων τους, είναι αϰριβώς ν. Απόδειξη. Η απόδειξη παραλείπεται. Για παράδειγµα ας επιλύσουµε την εξίσωση z 3 + i = 0. Παρατηρούµε ότι i = ( i) 3 οπότε: z 3 + i = 0 z 3 + ( i) 3 = 0 z 3 i 3 = 0 (z i) ( z + iz + i ) = 0 (z i) ( z + iz 1 ) = 0 ( ) ( ) 3 + i 3 i (z i) z + z = 0
.7. ΡΙΖΕΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΟΣ 17 Οπως βλέπουµε έχει αϰριβώς 3 ρίζες. Κλείνουµε τη παράγραφο αυτή ϰάνοντας µία σύντοµη αναφορά στην επίλυση δευτεροβάϑµιας εξίσωσης της µορφής αz + βz + γ = 0 όπου α, β, γ R. Θα δείξουµε ότι ο τύπος που δίδει τις ρίζες του τριωνύµου στο R εξαϰολουϑεί να ισχύει ϰαι εδώ µε µία µιϰρή διαφορά. αz + βz + γ = 0 αz + βz = γ ( α z + β ) z + β 4α β 4α = γ ( α z + β ) = β α 4α γ ( α z + β ) = β 4αγ α 4α ( (α) z + β ) = β 4αγ α (αz + β) = β 4αγ Ο αριϑµός στο δεξί µέλος ϰαλείται διαϰρίνουσα του τριωνύµου ϰαι όπως είναι γνωστό συµβολίζεται µε ϰαι αν > 0 τότε το τριώνυµο έχει δύο πραγ- µατιϰές ϰαι άνισες ρίζες ενώ αν = 0 τότε το τριώνυµο έχει µία διπλή ρίζα. Αν < 0 τότε η διαϰρίνουσα µπορεί να γραφεί = i ϰαι άρα στους µιγαδιϰούς το τριώνυµο έχει δύο συζυγείς µιγαδιϰές ρίζες ϰαι δίδονται του τύπου: αz + βz + γ = 0 z 1 = β + i α Για παράδειγµα ας λύσουµε την εξίσωση z z + 1 = 0 ϰαι z = β i α Η διαϰρίνουσα του τριωνύµου είναι = 3. Συνεπώς οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι ( συζυγείς ) µιγαδιϰοί αριϑµοί z 1 = 1+i 3 ϰαι z = 1 i 3.
18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ.8 Λυµένες Ασϰήσεις 1. Να γραφεί ο µιγαδιϰός στη µορφή z = a + iβ. Λύση. ιαδοχιϰά έχουµε: z = cos θ i sin θ cos θ + i sin θ z = cos θ i sin θ cos θ + i sin θ = (cos θ i sin θ) (cos θ + i sin θ) (cos θ i sin θ) = cos θ sin θ i sin θ cos θ cos θ + sin θ cos θ i sin θ = 1 = cos θ i sin θ Σχόλιο: Μπορούµε να φτάσουµε στο αϰριβώς ίδιο συµπέρασµα αν γράψουµε τον αριϑµητή ως z = e iθ ϰαι το παρανοµαστή ως w = e iθ.. Να βρεϑεί η σχέση που ιϰανοποιούν οι z, w C αν ισχύει η σχέση z +w = 0. Λύση. Είναι z + w = 0 z i w = 0 (z iw) (z + iw) = 0 Αρα ϑα είναι z = iw ή z = iw. 3. Αν λ R ϰαι ν N να δειχϑεί ότι: Λύση. Εχουµε διαδοχιϰά: ( ) λ + i 4ν ( ) i λ 4ν + = 1 iλ 1 + iλ ( ) λ + i 4ν ( ) i λ 4ν ( ) (λ + i) (1 + iλ) 4ν ( (i λ) (1 iλ) + = 1 iλ 1 + iλ 1 + λ + 1 + λ ( λ + iλ ) 4ν ( + i λ i + λ λ + iλ = 1 + λ + 1 + λ = (i) 4ν + (i) 4ν = 1 + 1 = ) 4ν ) 4ν
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19 ϰαι το ζητούµενο αποδείχϑει. 4. Εστω η συνάρτηση f(z) = iz z, z C. (αʹ) Να δειχϑεί ότι: Re (f(z)) = Re(z) (Im(z) + 1) (βʹ) Να βρεϑεί ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων z στο µιγαδιϰό επίπεδο για τους οποίους ισχύει f(z) I. Λύση. (αʹ) ιαδοχιϰά έχουµε: Re (f(z)) = 1 ( ) f(z) + f(z) = 1 ( ) iz z iz z = 1 [ ( i z z ) (z + z) ] = 1 [i (z z) (z + z) (z + z)] = 1 (z + z) [i (z z) 1] = Re(z) (Im(z) + 1) ( ) (βʹ) Εστω C ο γεωµετριϰός τόπος. Θέτουµε z = x + iy ϰαι άρα M(x, y) η ειϰόνα του z στο µιγαδιϰό επίπεδο. Τότε: M(x, y) C f(z) I Re (f(z)) = 0 ( ) Re(z) (Im(z) + 1) = 0 Re(z) = 0 ή Im(z) = 1 x = 0 ή y = 1 Οπότε ο γεωµετριϰός τόπος είναι είτε ο άξονας y y είτε η ευϑεία y = 1. 5. Εστω z 1, z C µε z 1 = z = 1. Να δειχϑεί ότι ο µιγαδιϰός είναι πραγµατιϰός. w = z 1 + z 1 + z 1 z
0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Λύση. Αρϰεί να δείξουµε ότι w = w. Πράγµατι: ( ) z1 + z w = 1 + z 1 z = z 1 + z 1 + z 1 z 1 + 1 z = 1 z 1 + 1 1 z 1 = z z + z 1 z 1 z z 1 z + 1 z 1 z = z 1 + z 1 + z 1 z = w ϰαι το ζητούµενο αποδείχϑει. 6. Να βρεϑεί ο γεωµετριϰός τόπος των µιγαδιϰών Λύση. Είναι: z = λ + 1 i(1 λ), λ R x = λ + 1 y = (1 λ) x 1 } λ = x 1 λ = y + 1 } = y + 1 x y 3 = 0 Αρα ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων του z είναι η ευϑεία (ε) : x y 3 = 0. 7. Εστω z C ώστε (αʹ) Να δειχϑεί ότι z = zi. z 3 z + z z (βʹ) Να βρεϑεί ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων z. (γʹ) Να βρεϑεί η ελάχιστη τιµή z 3 i. = 4i (1)
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Λύση. (αʹ) Ρίχνουµε συζυγείς στην (1) ϰαι παίρνουµε: z 3 z + z z z = 4i z + 3z z = 4i z z = 3z z 4i z z ( ) + 3 3z z 4i 8z z = 16i z = zi (βʹ) Ρίχνοντας µέτρα στη προηγούµενη σχέση έχουµε: z = zi z = z z C z = = 4i οπότε οι ειϰόνες του µιγαδιϰού z ϰινούνται σε ϰύϰλο µε ϰέντρο K(0, 0) ϰαι αϰτίνα ρ =. (γʹ) Ζητάµε από την ελάχιστη απόσταση του µιγαδιϰού από το σηµείο A(3, ). y A(3, ) K x Φέροντας την ευϑεία η οποία περνά από το ϰέντρο του ϰύϰλου ϰαι το σηµείο ( όπως φαίνεται στο σχήµα ) βρίσϰουµε d (K, A) = 13. Συνεπώς η ελάχιστη απόσταση είναι ίση µε d min = 13. Σχόλιο: Μπορεί να βρεϑεί ϰαι η µέγιστη τιµή του µέτρου αυτού. Απλά είναι d max = 13 +. 8. Εστω f(z) = ln z + ire(z), z C
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ (αʹ) (i) Να δειχϑεί ότι: f( z) = f(z) (ii) Να δειχϑεί ότι: f(z) = f( z) z I (βʹ) Αν η ειϰόνα του z ϰινείται στο ϰύϰλο C : x + y = 1 να δειχϑεί ότι η ειϰόνα του f(z) ϰινείται σε ευϑύγραµµο τµήµα. Λύση. (αʹ) (i) Εχουµε διαδοχιϰά: f ( z) = ln z + ire( z) = ln z + ire(z) = f(z) (ii) Εχουµε διαδοχιϰά: f(z) = f( z) = f(z) ln z ire(z) = ln z + ire(z) οπότε z I αφού z C. ire(z) = 0 Re(z) = 0 (βʹ) Εφόσον οι ειϰόνες του z ανήϰουν στο µοναδιαίο ϰύϰλο έχουµε ότι z = 1 άρα f(z) = ire(z). Οµως 1 Re(z) 1 οπότε η ειϰόνα της f(z) ϰινείται στο ευϑύγραµµο τµήµα µε άϰρα τα σηµεία A(0, 1), B(0, 1). 9. Να δειχϑεί ότι: για ϰάϑε z, w C. z + w + z w = z + w Λύση. Αναπτύσσοντας τα τετράγωνα έχουµε: z + w + z w = (z + w) ( z + w) + (z w) ( z w) = z z + z w + w z + w w z w w z + w w ϰαι το ζητούµενο αποδείχϑει. = z + w + z + w = z + w Γεωµετριϰή ερµηνεία: Σε ϰάϑε παραλληλόγραµµο το άϑροισµα των τετραγώνων των πλευρών ισούται µε το άϑροισµα των διαγωνίων του.
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 10. Εστω οι µιγαδιϰοί z, w C τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: z (1 i) + z (1 + i) + = 0 (1) (w + w) (w w) = 4i () ϰαι Re(w) > 0. Τότε: (αʹ) Να βρεϑούν οι γεωµετριϰοί τόποι των ειϰόνωντων z, w. (βʹ) Να βρεϑεί η ελάχιστη τιµή του µέτρου z w. Λύση. (αʹ) Από τη σχέση (1) έχουµε διαδοχιϰά: z (1 i) + z (1 + i) + = 0 Re [z (1 i)] = Re [z (1 i)] = 1 Re(z)Re(1 i) Im(z)Im(1 i) = 1 Re(z) + Im(z) + 1 = 0 x + y + 1 = 0 Οπότε ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων z είναι η ευϑεία (ε) : x+y+1 = 0. Από τη σχέση () εύϰολα βλέπουµε ότι (w + w) (w w) = 4i Re(w) Im(w)i = 4i Re(w) Im(w) = 1 Re(w)>0 == Im(w) = 1 Re(z) y = 1 x Οπότε ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων w είναι η υπερβολή y = 1 x, x > 0. (βʹ) Ζητάµε την ελάχιστη τιµή του µέτρου z w, δηλ. την ελάχιστη απόσταση της ευϑείας από την υπερβολή.
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 3 f (δ) 1 A 1 0 1 3 1 (ε) Η ευϑεία (δ) είναι η εφαπτοµένη της υπερβολής σε ϰάποιο σηµείο A ϰαι είναι παράλληλη προς την ευϑεία (ε). Οπότε ο συντελεστής της ευϑείας (δ) ϑα είναι λ = 1. Η υπερβολή είναι παραγωγίσιµη µε παράγωγο y (x) = 1 x. Οπότε ψάχνω x 0 τέτοιο ώστε y (x 0 ) = 1. Εύϰολα βλέπουµε ότι x 0 = 1 ϰαι άρα A(1, 1) ϰαι η ευϑεία (δ) έχει εξίσωση y = x+. Αρα αναζητούµε την ελάχιστη απόσταση των δύο ευϑειών η οποία είναι d min (ε, δ) = 3 11. (αʹ) Να βρεϑεί ο γεωµετριϰός τόπος C των ειϰόνων z στο µιγαδιϰό επίπεδο για τον οποίο ισχύει: 1 z 3i + 1 z + 3i = 10 z + 9 (βʹ) Αν οι ειϰόνες των z 1, z ανήϰουν στον C ϰαι είναι συµµετριϰές ως προς την αρχή των αξόνων O τότε να βρεϑεί η µέγιστη ϰαι η ελάχιστη τιµή του z 1 z. (1) Λύση. (αʹ) Η σχέση (1) γράφεται διαδοχιϰά: 1 z 3i + 1 z + 3i = 10 z + 9 1 z 3i + 1 z + 3i = 10 z + 9 1 z 3i + 1 z + 3i = 10 z 3i z + 3i z 3i z + 3i z 3i + z 3i z + 3i z + 3i = = 10 z 3i z + 3i z 3i z + 3i z + 3i + z 3i = 10
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 Αν E (0, 3) ϰαι E(0, 3) ϰαι M η ειϰόνα του z τότε η παραπάνω σχέση γράφεται ισοδύναµα: (ME ) + (ME) = 10 Είναι (E E) = 6 < 10 οπότε ο γεωµετριϰός τόπος είναι έλλειψη µε εστίες τα σηµεία E ϰαι E ϰαι σταϑερό άϑροισµα a = 10 a = 5. (βʹ) Εστω M 1, M οι ειϰόνες των z 1, z. Το τµήµα M 1 M είναι διάµετρος της έλλειψης. Οπότε είναι z 1 z = (M 1 M ). Η έλλειψη έχει εστίες στον άξονα y y. Ετσι η µέγιστη τιµή είναι το µήϰος του µεγάλου άξονα, δηλ. 10 ϰαι η ελάχιστη τιµή είναι το µήϰος του µιϰρού άξονα δηλ. 8. 1. Αν x, y R, ν N ϰαι x iy = ( 3 + i 7 ) ν τότε να δειχϑεί ότι Λύση. Ισχύει ότι: x + y = 10 ν 13. Να δειχϑεί ότι: ( ) ν ν x iy = 3 + i 7 x iy = 3 + i 7 για ϰάϑε ν N ϰαι a R. Λύση. Εχουµε διαδοχιϰά: x + y = 10 ν ( ) a + i ν ( ) i a ν + = ( 1) ν 1 ai 1 + ai ( ) a + i ν ( ) i a ν + = (a + i)ν (1 + ai) ν + (1 ai) ν (i a) ν 1 ai 1 + ai (1 ai) ν (1 + ai) ν ( = a + ia + i a ) ν ( + i a + a + ia ) ν (1 + a ) ν [( a + 1 ) i ] ν [( + a + 1 ) i ] ν = (1 + a ) ν ( a + 1 ) ν i ν = (1 + a ) ν = ( 1) ν
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 14. Εστω ο µιγαδιϰός z = x + iy, x, y R. ίδεται ο µιγαδιϰός w = i (i + z) i z, z i Να δειχϑεί ότι: (αʹ) w = x x + (y 1) + i 1 x y x + (y 1) (βʹ) Αν w R να βρεϑεί πού ανήϰει η ειϰόνα του z. (γʹ) Αν z R να βρεϑεί πού ανήϰει η ειϰόνα του w. Λύση. (αʹ) Είναι: w = i(i + z) i z z=x+iy i (i + x + iy) === w = i x iy 1 + ix y w = i x iy w = x x + (y 1) + i 1 x y x + (y 1) (βʹ) Εφόσον w R τότε Im(w) = 0 x + y = 1 Οπότε ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων z είναι ο ϰύϰλος C : x + y = 1 χωρίς το σηµείο A(0, 1). (γʹ) Εφόσον z R τότε y = 0. Εύϰολα βλέποουµε ότι ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων του w είναι ο ϰύϰλος C : x + y = 1. 15. Εστω z C ϰαι ν N µε ν 3 ϰαι ισχύει: τότε να δειχϑεί ότι 1 z <. z ν + z ν 1 + + z + 1 = ν + 1 Λύση. Εχουµε από τη τριγωνιϰή ανισότητα ν + 1 = 1 + z + + z ν 1 + z ν 1 + z + z + + z ν 1 + z ν
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 Η συνάρτηση f(x) = 1 + x + x + + x ν, x > 0 είναι γνησίως αύξουσα. Οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: f ( z ) f(1) f z 1 Ανάλογα προϰύπτει ϰαι η άλλη. Η δοϑείσαι γράφεται z ν+1 1 = (ν + 1) z 1 z ν+1 1 (ν + 1) ( z + 1) z ν+1 (ν + 1) z ν 0 Θεωρώντας τη συνάρτηση g(x) = x ν+1 (ν + 1)x ν, x 1 παρατηρούµε ότι g είναι γνησίως αύξουσα. Υποϑέτοντας ότι z προϰύπτει ότι g( z ) g() απ όπου έχουµε: z ν+1 (ν + 1) z ν ν+1 3ν 4 το οποίο είναι άτοπο, αφού επαγωγιϰά µπορούµε να δείξουµε ν+1 3ν 4 > 0 για ϰάϑε ν 3. 16. Εστω ϰανονιϰό ν- γωνο αϰτίνας ρ. Να δειχϑεί ότι το άϑροισµα των τετραγώνων των πλευρών ϰαι των διαγωνίων του είναι (ν ρ). Λύση. Θεωρούµε ν οποιαδήποτε σηµεία A 1, A,..., A ν ϰαι το ϰέντρου βάρους τους G δηλαδή το µοναδιϰό σηµείο του επιπέδου για το οποίο ισχύει ότι: GA 1 + GA + + GA ν = 0 (1) Αν συµβολίσουµε µε S το άϑροισµα των τετραγώνων των αποστάσεων όλων των A 1, A,..., A ν (ν αποστάσεις) ϰαι µε 1 κ ν συµβολίζουµε µε S κ το άϑροισµα των αποστάσεων του A κ από τα A 1, A,..., A ν ( συµπεριλαµβανοµένου ϰαι του A κ ) τότε ισχύει
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ S κ = = = = = ν A κ A i i=1 ν i=1 ν i=1 ( GAi ) GA κ ( GAi + GA κ GA i ) GA κ ν GA i + i=1 ν GA κ GA κ i=1 ν GA i + ν i=1 GA κ ν GA i i=1 Αϑροίζοντας τα S κ βρίσϰουµε ότι από την οποία προϰύπτει ότι: S = ν S = ( ν ν i=1 GA i ) ν GA i () i=1 Τώρα γνωρίζουµε ότι αν A 1, A,..., A ν είναι ϰορυφές ϰανονιϰού πολυγώνου τότε το περίϰεντρο που ιϰανοποιεί την (1) είναι το ϰέντρο βάρους. Ετσι, το µεν (α ) µέλος είναι άϑροισµα των τετραγώνων των πλευρών ϰαι των διαγωνίων ενώ το (β ) µέλος είναι ν ρ. 17. ίδεται το πολυώνυµο f(z) = z 3 (5 + i) z + (11 + 5i) z 1i, z C (αʹ) Να δειχϑεί ότι η εξίσωση f(z) = 0 έχει µία φανταστιϰή ρίζα, έστω z 1. (βʹ) Να βρεϑούν οι υπόλοιπες ρίζες z, z 3. (γʹ) Αν A, B, Γ οι ειϰόνες των ριζών στο επίπεδο τότε να δειχϑεί ότι σχη- µατίζουν ορϑογώνιο ϰαι ισοσϰελές τρίγωνο. Λύση. (αʹ) Εστω z 1 = iy, y R η φανταστιϰή ρίζα. Τότε είναι:
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 f(iy) = 0 iy 3 + (5 + i) y + (11 + 5i) yi 1i = 0 ( 5y 5y ) + i ( y 3 + y + 11y 1 ) = 0 Από το παραπάνω σύστηµα προϰύπτουν y = 0 ϰαι y = 1 αλλά µόνο η τιµή y = 1 επαληϑεύει ϰαι τις δύο εξισώσεις. Συνεπώς z 1 = i. (βʹ) Εστω f(z) = (z i) ( z + az + β ) = z 3 + (a i) z + (β ai) z iβ τότε εξισώνοντας τους συντελεστές έχουµε ότι a = 5 + i ϰαι β = 1. Ο- πότε οι άλλες δύο ρίζες ϑα προϰύψουν από την επίλυση της δευτεροβάϑµιας εξίσωσης z (5 + i) z+1 = 0 από όπου ϑέτοντας z = x+iy, x, y R παίρνουµε τελιϰά ότι z = i ϰαιz 3 = 3 + 3i. (γʹ) Εστω A(0, 1), B(, ) ϰαι Γ(3, 3) οι ειϰόνες των ριζών στο µιγαδιϰό επίπεδο. y Γ A O x B Τα διανύσµατα AB = (, 3), AΓ = (3, ) είναι ϰάϑετα ( αφήνεται ως άσϰηση ) ϰαιε επιπλέον είναι AB = AΓ = 13 Συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσϰελές ϰαι ορϑογώνιο. 18. Να βρεϑούν όλοι οι µιγαδιϰοί αριϑµοί για τους οποίους ισχύει z z + 1 = z + z 1
30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Λύση. Εχουµε διαδοχιϰά: z z + 1 = z + z 1 z z + 1 = z + z 1 (z z + 1 ) ( z z + 1 ) = (z + z 1 ) ( z + z 1 ) z z z z + 1 z z + 1 + z + 1 = z z + z z 1 + z z 1 + z 1 z + 1 z 1 = (z + z) ( z + 1 + z 1 ) (z + z) = (z + z) ( z + 1 + z 1 ) Οπότε παίρνουµε: (z + z) ( z + 1 + z 1 ) = 0 από όπου βγαίνουν δύο περιπτώσεις: z + z = 0 z I z + 1 + z 1 = z [ 1, 1]. Συνεπώς ο z είτε είναι ϰαϑαρός φανταστιϰός αριϑµός είτε z [ 1, 1]. 19. Εστω z, w δύο µιγαδιϰοί αριϑµοί. Να δειχϑεί ότι: ( z (αʹ) Re z + w ( z (βʹ) Re z w ) ( w + Re ) + iim ) = 1 z + w ( ) z = z w ( z ) z w Λύση. (αʹ) Εχουµε ( ) ( ) z w Re + Re = 1 ( z z + w z + w + 1 z + w + z ) z + w ( w z + w + + ) w z + w = 1 + 1 = 1
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31 (βʹ) Εχουµε Re ( ) ( ) z z + iim = 1 ( z z w z w + 1 ( z ( ) z = z w z w + z ) + z w z ) z w z w 0. ίδονται οι µιγαδιϰοί z, w, u για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z 1 = 6 (1) 3zw + w = 6 z 6 () ( u 1 ) ( ū 1 ) = 8w w (3) 4 (αʹ) Να βρεϑεί η µέγιστη ϰαι η ελάχιστη τιµή του z. (βʹ) Αν αϰόµα είναι z + 1 3 = 1 τότε να βρεϑεί (i) το w. (ii) ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων u. Λύση. (αʹ) Η σχέση (1) µας λέει πως οι ειϰόνες του z ϰινούνται σε ϰύϰλο C µε ϰέντρο K(1, 0) ϰαι αϰτίνα ρ = 6. Οπότε η ελάχιστη τιµή του z είναι 5 ϰαι η µέγιστη 7. (βʹ) 1. Να δειχϑεί ότι: (i) Χρησιµοποιώντας τη σχέση () είναι ( 3wz + w = 6 z 6 w z + 1 ) = ( z 1) w = 6 3 1 = 1 (ii) Χρησιµοποιώντας τη σχέση (3) ϰαϑώς ϰαι το προηγούµενο ερώτηµα είναι u 1 4 = 1. για ϰάϑε ν N. 1 + i + 3i 3 + + νi ν 1 = 1 νiν (ν + 1) i ν+1
3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Λύση. Εστω S το ζητούµενο άϑροισµα. Πολλαπλασιάζοντας µε i ϰαι τα δύο µέλη παίρνουµε is = i + i + 3i 3 + + νi ν Αφαιρώντας ϰατά µέλη τις αυτές σχέσεις παίρνουµε S (1 i) = 1 + i + i + + i ν 1 νi ν S(1 i) = iν 1 i 1 νiν S = iν 1 νi ν+1 + νi ν i 1 S = 1 νiν (ν + 1) i ν+1. Να βρεϑεί ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων των µιγαδιϰών αριϑµών z για τους οποίους ο αριϑµός είναι πραγµατιϰός. w = i z + 1 Λύση. Καταρχάς πρέπει z + 1 0 z ±i Εστω z = x+iy. Τότε (x, y) / {(0, 1), (0, 1)}. Για να είναι ο w πραγµατιϰός πρέπει: Αρα w R w = w i z + 1 = i z + 1 ( z + 1 ) = z + 1 ( x y + xyi + 1 ) = x y xyi + 1 x + y xyi + xyi = 0 y x = 1 y x = 1 (1)
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 33 Η (1) παριστάνει ισοσϰελής υπερβολή. Οµως τα σηµεία A(0, 1) ϰαι B(0, 1) την επαληϑεύουν ϰαι ϰατά συνέπεια πρέπει να εξαιρεϑούν. Οπότε ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων z είναι η (1) χωρίς τα σηµεία A, B. 3. ίδεται ο µιγαδιϰός z ο οποίος ιϰανοποιεί τη σχέση 11z 10 + 10iz 9 + 10iz 11 = 0 (1) Να δειχϑεί ότι: (αʹ) Οι ειϰόνες του z ϰινούνται στο µοναδιαίο ϰύϰλο. ( ) z iz i + 1 (βʹ) 0 1 + zi (γʹ) Re(z) = z + 1 (δʹ) z 3z + 1 = 5 z + 1 Λύση. (αʹ) Είναι εύϰολο να δούµε πως ο µιγαδιϰός z ιϰανοποιεί ϰαι τη σχέση: z 9 = 11 10iz 11z + 10i = z 9 = 11 10iz 11z + 10i Αν z = x + iy, x, y R τότε η παραπάνω σχέση γράφεται ως ( x + y ) 9 = 11 + 0y + 100y + 100x 11x + 11y + 0y + 100 Εστω ότι x + y > 1. Η τελευταία σχέση δίδει x + y < 1. Οµοια ϰαι αν x + y < 1. Αρα x + y = 1 ϰαι συνεπώς οι ειϰόνες του z ϰινούνται στο µοναδιαίο ϰύϰλο. (βʹ) Είναι z = 1 z = 1 z z iz i + 1 Ο συζυγής του µιγαδιϰού είναι ο + i + iz + z τον ο- 1 + zi z i z iz i + 1 ποίο αν πολλαπλασιάσουµε «πάνω - ϰάτω» µε το i µας δίδει. 1 + zi Αρα ο εν λόγο αριϑµός είναι φανταστιϰός, οπότε το τετράγωνό του είναι µη ϑετιϰός.
34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ (γʹ) Είναι: z + 1 (δʹ) Οπως έχει δειχϑεί ισχύει: (z + 1) ( z + 1) = = z + z + z +1 = z + z = Re(z) Επίσης είναι z + 1 = z + z + z 3z + 1 = (z 1z ) + 3 Οπότε z 3z + 1 = z + z 3 όπου στο δεύτερο µέλος εµφανίζεται απόλυτη τιµή αφού ο z + z είναι πραγµατιϰός. Μάλιστα είναι Τότε z + z = Re(z) z = z 3z + 1 = 3 z z Από τα παραπάνω προϰύπτει άµεσα το ζητούµενο. 4. Εστω ο µιγαδιϰός αριϑµός w = ϰαϑώς ϰαι z = a + iβ, a, β R. (αʹ) Να βρεϑούν τα Re(w), Im(w). ( ) 3 + i z 5 zi (βʹ) Να βρεϑεί το µέτρου του w. 10 (γʹ) Αν w = να βρεϑεί πού ϰινούνται οι ειϰόνες των µιγαδιϰών z. (δʹ) Να βρεϑεί ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων w ϰαϑώς επίσης ϰαι η ελάχιστη απόσταση από το µιγαδιϰό 3 + i
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 35 Λύση. (αʹ) Είναι w = Οπότε ( ) 3 + i z 5 ( ) z=a+iβ 3 zi == w = + i (a + iβ) 5 (a + iβ) i w = 3 a + 3 βi + ia β 5 ai + 5 β ( 3 w = a + 1 ) ( 3 β + i β 1 ) a (βʹ) Είναι (γʹ) Είναι w = Re(w) = 3 a + 1 β, Im(w) = 3 β 1 a (3 a + 1 β ) ( 3 + β 1 ) 10 (a a = + β ) 10 10 10 w = a + β = a + β = 1 z = 1 Οπότε ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων z είναι ο µοναδιαίος ϰύϰλος. (δʹ) Επειδή a + β = 1 w = 10 συµπεραίνουµε ότι ο w ϰινείται σε ϰύϰλο µε ϰέντρο K(0, 0) ϰαι αϰτίνα ρ = 10. Ο µιγαδιϰός 3 + i έχει ειϰόνα το σηµείο A(3, 1) το οποίο είναι εξωτεριϰό του ϰύϰλου αφού d (K, A) = 10 > ρ y K Λ A x
36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Η ελάχιστη απόσταση είναι η AΛ η οποία ισούται µε d (K, A) ρ = 10 1 Σηµείωση: Μπορεί να βρεϑεί ϰαι η µέγιστη τιµή του µέτρου αυτού. 5. Εστω z µιγαδιϰός αριϑµός µε z ±i ϰαι w = z z + 1 (αʹ) Αν w R τότε να δειχϑεί ότι z R ή z = 1. (βʹ) Να λυϑεί στο σύνολο C η εξίσωση z 3 z + 1 = 3 (γʹ) Αν z 1, z οι παραπάνω ριζες τότε να υπολογιστεί η τιµή της K = (z 1 z ) 3 i 4 + (z 1 + z ) Λύση. (αʹ) Είναι w R w = w z z + 1 = z z + 1 z ( z + 1 ) = z ( z + 1 ) απ όπου ϰαταλήγουµε στο ζητούµενο. (βʹ) Η εξίσωση γράφεται διαδοχιϰά: z z + z = zz + z z z + z = z z + z z ( z z) ( z z) = 0 ( z z) ( z 1) = 0 z 3 z + 1 = 3 z z + 1 = 1 3 z 3z + 1 = 0
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 37 Η διαϰρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης είναι ίση µε = 1. Οπότε η εξίσωση έχει ρίζες τους συζυγείς µιγαδιϰούς z 1 = 3 + i, z = 3 i (γʹ) Από Vieta έχουµε z 1 + z = β a = 3, z 1 z = γ a = 1 οπότε: K = (z 1 z ) 3 i 4 + (z 1 + z ) = 1 i 4 + 3 = 1 7 i 7 6. Εστω z, w C. Αν ισχύει z 1 z + z z 1 = 1 (1) τότε να δειχϑεί ότι: (αʹ) z 1 = z (βʹ) (γʹ) ( z1 z ( z1 z ) 010 + ) 01 + ( z z 1 ( z z 1 ) 010 = ) 01 = 1 Λύση. (αʹ) Εστω w = z 1 z τότε η (1) δίδει Οµως w + 1 w = 1 w w + 1 = 0 w = 1 ± i 3 w = 1 ϰαι το συµπέρασµα έπεται. z 1 z = 1 z 1 = z
38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ (βʹ) Η σχέση (1) γράφεται Εποµένως z 1 z 1 z + z = 0 Αρα (z 1 + z ) ( z 1 z 1 z + z ) = 0 z 3 1 = z 3 ( ) z 3 670 ( ) 1 z 3 670 + = ( 1) 670 + ( 1) 670 = z 3 z 3 1 ϰαι το συµπέρασµα έπεται. (γʹ) Αν w = z 1 z τότε όµοια από το ερώτηµα (β ) έχουµε ότι w 3 = 1. Οµως 01 = 3 670 + άρα: ( ) (w) 01 1 01 + = w (( w 3)) ( ) 670 1 (( )) 1 670 + w w w 3 = w + 1 w ( = w + 1 ) w 1 w w = 1 = 1 7. Εστω z 1, z, z 3 C των οποίων οι ειϰόνες είναι ϰορυφές τριγώνου εγγεγραµµένου στο ϰύϰλο C : x + y = 1. Να δειχϑεί ότι: (αʹ) z 1 z + z z 3 + z 1 z 3 = z 1 + z + z 3 (βʹ) (z 1 + z ) (z 1 + z 3 ) (z + z 3 ) z 1 z z 3 R Λύση. (αʹ) Αφού το τρίγωνο είναι εγγεγραµµένο στο ϰύϰλο C : x + y = 1 είναι z 1 = z = z 3 = 1 z 1 = 1 z 1, z = 1 z, z 3 = 1 z 3 Τότε διαδοχιϰά είναι:
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 39 z 1 + z + z 3 = z 1 + z + z 3 = z 1 + z + z 3 = 1 + 1 + 1 z 1 z z 3 = z 1 z + z z 3 + z 1 z 3 z 1 z z 3 = z 1 z + z z 3 + z 1 z 3 (βʹ) Εστω w ο µιγαδιϰός. Αρϰεί να δειχϑεί ότι w = w. Πράγµατι έχουµε: w = ( z 1 + z ) ( z 1 + z 3 ) ( z + z 3 ) z 1 z z ( ) ( 3 ) ( 1 1 1 ) + 1 + 1 + 1 z 1 z z 1 z 3 z z 3 = 1 1 1 z 1 z z 3 = (z 1 + z ) (z 1 + z 3 ) (z + z 3 ) z 1 z z 3 = w ϰαι το ζητούµενο απεδείχϑη. 8. Εστω z C, sin ϕ 1 ϰαι ϰαι ν ϑετιϰός αϰέραιος. (1 + iz) ν = i sin ϕ 1 i sin ϕ, ϕ ( π, π ) (1) (αʹ) Να δειχϑεί ότι ο z δεν είναι πραγµατιϰός. (βʹ) Να βρεϑεί ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων z. (γʹ) Να βρεϑούν οι µιγαδιϰοί που έχουν το µέγιστο ϰαι ελάχιστο µέτρο. (δʹ) Να δειχϑεί ότι 4 < z 3 + 4i < 7. (εʹ) Εστω z 1, z δύο µιγαδιϰοί που ανήϰουν στο πρηγούµενο γεωµετριϰό τόπο. Να δειχϑεί ότι z 1 z
40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Λύση. (αʹ) Εστω ότι ο z είναι πραγµατιϰός, δηλ. της µορφής z = a R. Τότε η (1) δίδει: (1 + ia) ν = i sin ϕ 1 i sin ϕ 1 + ia ν = Οπότε για a = 0 η (1) δίδει: 1 = i sin ϕ 1 i sin ϕ άτοπο. Αρα ο z δεν είναι πραγµατιϰός. (βʹ) Παίρνοντας µέτρα στην (1) έχουµε: 1 + a = 1 a = 0 = sin ϕ = 1 i sin ϕ 1 i sin ϕ 1 + iz ν = i sin ϕ 1 i sin ϕ 1 + iz = 1 z i = 1 Οπότε οι ειϰόνες του z βρίσϰονται σε ϰύϰλο µε ϰέντρο K(0, 1) ϰαι αϰτίνα ρ = 1. (γʹ) ουλεύουµε στο επόµενο σχήµα: y i K O x Παρατηρούµε ότι ο µιγαδιϰός µε το µέγιστο µέτρο είναι ο z = i ενώ αυτός µε το ελάχιστο είναι z = 0. (δʹ) Εστω A(3, 4). ουλεύοντας στο παραπάνω σχήµα εύϰολα βλέπουµε ότι d (K, A) = 34 Οπότε η µέγιστη τιµή του z 3 + 4i είναι 34 + 1 ενώ η ελάχιστη 34 1. A
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41 (εʹ) Το z 1 z εϰφράζει την απόσταση των ειϰόνων των µιγαδιϰών z 1, z. Οι µιγαδιϰοί z 1, z ανήϰουν στο παραπάνω γεωµετριϰό τόπο, οπότε είναι: Τότε: z 1 i = 1, z i = 1 z 1 z = z 1 i + i z = (z 1 i) (z i)) z 1 i + z i = 1 + 1 = 9. ίδεται η συνάρτηση Να δειχϑεί ότι: f(z) = ( 3 + i ) z z + 10i z 10i (αʹ) το ευρύτερο υποσύνολο του C που ορίζεται η f είναι το D = C \ R. (βʹ) z + 10i z 10i z (γʹ) f(z) 1 (δʹ) Ο γεωµετριϰός τόπος των ειϰόνων των µιγαδιϰών z για τους οποίους ισχύει f(z) = 1 6 z είναι υπερβολή της οποίας να βρεϑεί η εξίσωση. Λύση. (αʹ) Εστω z = x + iy, x, y R ϰαι M(x, y) η ειϰόνα του µιγαδιϰού στο επίπεδο. Τότε για να ορίζεται η συνάρτηση f πρέπει z + 10i z 10i 0 Εξετάζουµε για ποιους µιγαδιϰούς ισχύει η ισότητα. Εχουµε διαδοχιϰά: z + 10i z 10i = 0 z 10i = z + 10i x + (y 10) i = x + (y + 10) i x + (y 10) = x + (y + 10) (y 10) = (y + 10) y = 0
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Αρα το ευρύτερο υποσύνολο D στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση f είναι το C \ R. (βʹ) Από τη τριγωνιϰή ανισότητα παίρνουµε: z + 10i z 10i (z + 10i) + (z 10i) = z ϰαι το ζητούµενο έπεται. (γʹ) Για ϰάϑε z C είναι: z + 10i z 10i z Οπότε είναι 1 z + 10i z 10i 1 z ( ) 3 + i z f(z) = z + 10i z 10i ( 3 + i ) z = z + 10i z 10i z = z + 10i z 10i z z = 1 (δʹ) Εχουµε f(z) = 1 ( ) 3 + i z 6 z z + 10i z 10i = 1 6 z z z + 10i z 10i = 1 6 z 1 z = z + 10i z 10i z z + 10i z 10i = 1 Από τη τελευταία εξίσωση βλέπουµε αµέσως ότι πρόϰειται για υπερβολή µε εστίες τα σηµεία E (0, 10) ϰαι E(0, 10). Αρα γ = 10. Επιπλέον είναι a = 1 a = 6 ϰαι τέλος β = γ a β = 8 Αρα η εξίσωση της υπερβολής είναι H : x 36 y = 1. 64
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 43 30. Εστω a, β R ϰαι z, w C ϰαι για τον οποίον w ισχύει w = az008 + β ( z) 008 + 009 βz 008 + a ( z) 008 + 009 (αʹ) Να δειχϑεί ότι w = 1 w. (βʹ) Να βρεϑεί η γραµµή στην οποία ϰινείται η ειϰόνα του w ϰαϑώς ο z µεταβάλλεται στο C. (γʹ) Αν είναι z (3 + 3i) = 1 να βρεϑεί η µέγιστη ϰαι η ελάχιστη τιµή του z w. Λύση. (αʹ) Είναι διαδοχιϰά: w = az008 + β z 008 + 009 βz 008 + a z 008 + 009 = a z008 + βz 008 + 009 β z 008 + az 008 + 009 = 1 w (βʹ) Από το παραπάνω ερώτηµα έχουµε ότι ο w ϰινείται σε ϰύϰλο µε ϰέντρο K 1 (0, 0) ϰαι αϰτίνα ρ 1 = 1. (γʹ) Ο z ϰινείται σε ϰύϰλο µε ϰέντρο K (3, 3) ϰαι αϰτίνα ρ = 1. y M B K A Λ K 1 x
44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Παρατηρούµε ότι οι ϰύϰλοι δε τέµνονται αφού (K 1 K ) = 18 > ρ 1 + ρ = Επιπλέον παρατηρούµε ότι η µέγιστη απόσταση είναι η ΛM ενώ η ελάχιστη είναι η AB. Κατά συνέπεια: ενώ ΛM = (K 1 K ) + ρ 1 + ρ = 18 + Αρα AB = (K 1 K ) ρ 1 ρ = 18 z w max = 3 +, z w min = 3 31. (αʹ) Αν z µιγαδιϰός µε z = a + iβ, a, β R ϰαι z i τότε να δειχϑούν τα αϰόλουϑα: (i) z i z + i = 1 z R (ii) z i z + i < 1 Im(z) > 0 (βʹ) Αν z 1, z,..., z ν C \ { i} µε z 1 + z + + z ν i ϰαι ισχύει ότι: τότε να δειχϑεί ότι: z 1 i z 1 + i + z i z + i + + z ν i z ν + i < 1 (i) Κανένας από τους z 1, z,..., z ν δεν είναι πραγµατιϰός. (ii) z 1 + z + + z ν i z 1 + z + + z ν + i < 1. Λύση. (αʹ) (i) Είναι z i = z + i άρα ο z ϰινείται στη µεσοϰάϑετο AB όπου A(0, 1) ϰαι B(0, 1) ϰαι ϰατά συνέπεια z R. (ii) Είναι z i < z + i Im(z) > 0
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 45 (βʹ) (i) Αν ϰάποιους από τους z 1, z,..., z ν ήταν πραγµατιϰός ( για παράδειγ- µα ο z κ ) τότε οι µιγαδιϰοί οι z κ i, z κ + i ϑα ταν συζυγείς. Τότε όµως ϑα χαµε: z 1 i z 1 + i + z i 1 z + i + + z κ i z κ + i + + z ν i z ν + i 1 ( άτοπο ) άρα ϰανείς από τους z 1, z,..., z ν δεν είναι πραγµατιϰός. (ii) Συνδυάζοντας το αποτέλεσµα του προηγούµενου ερωτήµατος (β ) έχου- µε ότι: z i i z i + i < 1, i {1,,..., ν} Οπότε από το ερώτηµα (α ) - (ii.) είναι Im(z i ) > 0 για ϰάϑε i = 1,,..., ν. Αρα: Im(z 1 )+Im(z )+ +Im(z ν ) > 0 = Im (z 1 + z + + z ν ) > 0 Συνεπώς από το ερώτηµα (α ) - (ii.) έχουµε τελιϰά ότι z 1 + z + + z ν i z 1 + z + + z ν + i < 1 ϰαι το ζητούµενο δείχϑηϰε. 3. ίδεται η εξίσωση z z = 0 (1) η οποία έχει µιγαδιϰές ρίζες ϰαι είναι η διαϰρίνουσά της. (αʹ) Να βρεϑούν οι ρίζες της (1). (βʹ) Εστω z 1, z οι ρίζες της (1). Τι είδος τρίγωνο σχηµατίζουν οι ειϰόνες των δύο ριζών ϰαι η αρχή των αξόνων ; Λύση. (αʹ) Η διαϰρίνουσα της (1) είναι ίση µε: = + 4 + 3 = 0 = 3 αφού η (1) έχει µιγαδιϰές ρίζες. Τότε οι ρίζες της (1) είναι οι z 1 = 3 + i 3 ϰαι z = 3 i 3
46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ (βʹ) Εύϰολα ο αναγνώστης διαπιστώνει ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 33. Εστω οι µιγαδιϰοί z i, i = 1,, 3 οι οποίοι έχουν µέτρο. Να δειχϑεί ότι Λύση. Είναι w = (z 1 + z ) (z + z 3 ) (z 3 + z 1 ) R ϰαι z 1 = z = z 3 = z 1 = 1 z 1, z = 1 z, z 3 = 1 z 3 w = z 1 + z ) ( z + z 3 ) ( z 3 + z 1 ) ( 4 = + 4 z ) ( 4 + 4 z ) ( 4 + 4 z ) z 1 z 3 z 3 1 = w Το ζητούµενο δείχϑηϰε. 34. ίδονται οι µιγαδιϰοί a, β, γ µε µέτρο 1 ϰαι άϑροισµα διάφορο του µηδενός. Αν ισχύει ότι να δειχϑεί ότι: a + β + γ = 0 (αʹ) a + β = β + γ = γ + a (βʹ) 1 a + 1 β + 1 γ = 0 (γʹ) Οι ειϰόνες των a, β, γ, aβγ, (δʹ) a + β + γ = aβ + βγ + γa a + β + γ είναι οµοϰυϰλιϰά σηµεία. Λύση. (αʹ) Είναι a + β = γ = a + β = γ = 1 β + γ = a = β + γ = a = 1 γ + a = β = γ + a = β = 1 απ όπου έχουµε το ζητούµενο.
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47 (βʹ) Ρίχνοντας συζυγή στη σχέση a + β + γ = 0 ϰαι χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι a = β = γ = 1 παίρνουµε ότι: a + β + γ = 0 a + β + γ = 0 1 a + 1 β + 1 γ = 0 (γʹ) Είναι a = β = γ = 1, aβγ = a β γ = 1 ϰαι aβ + βγ + γa a + β + γ = aβ + βγ + γa a + β + γ = aβ + βγ + γa aβ + βγ + γa aβγ = 1 οπότε το ζητούµενο έπεται. (δʹ) Ισχύει ότι: (a + β + γ) = 0 a + β + γ + aβ + βγ + γa = (aβ + βγ + γa) Παίρνουµε µέτρα ϰαι χρησιµοποιούµε το ερώτηµα (γ ) έχουµε ότι a + β + γ = 35. ίδονται οι µιγαδιϰοί a, β, γ που έχουν µέτρο ϰαι ισχύει ότι a + β + γ = 1 (αʹ) Να δειχϑεί ότι ( a + β ) (β + γ) (γ + ā) R. (βʹ) Να βρεϑεί η τιµή της παράστασης (γʹ) Να δειχϑεί ότι K = 1 a + 1 β + 1 γ a + β + β + γ + γ + a 3 Λύση. (αʹ) Ανοίγοντας το γινόµενο ϰαι εϰτελώντας τις πράξεις έχουµε ότι: ( a + β) (β + γ) (γ + ā) = Re (aβγ)+re (4β)+Re (4γ)+Re (4a) R
48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ (βʹ) Είναι K = 1 a + 1 β + 1 γ = 1 4 ā αφού από τη σχέση + 1 4 β + 1 4 γ = ā + β + γ 4 = 1 4 ρίχνοντας συζυγή βγάζουµε ότι a + β + γ = 1 (γʹ) Είναι ā + β + γ = 1 a + β = 1 γ 1 β + γ = 1 a 1 γ + a = 1 β 1 (+) a + β + β + γ + γ + a 3 36. Εστω ο µη µηδενιϰός αριϑµός z τέτοιος ώστε z 1 = z Να δειχϑεί ότι: (αʹ) z = 1. (βʹ) ο w = z + 1 z R. (γʹ) 4 z + 3 + 4i 6. Λύση. (αʹ) Οι λεπτοµέρειες αφήνονται στον αναγνώστη ως απλές. (βʹ) Είναι w = z + z = Re(z) R (γʹ) z 3 + 4i z + 3 + 4i z + 3 + 4i 4 z + 3 + 4i 6
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 49 37. ίδονται οι µιγαδιϰοί β, γ µε β γ των οποίων οι ειϰόνες βρίσϰονται πάνω στο µοναδιαίο ϰύϰλο. Να δειχϑεί ότι για ϰάϑε µιγαδιϰό w το τετράγωνο του αριϑµού w + βγ w (β + γ) β γ είναι πραγµατιϰός µη ϑετιϰός αριϑµός. Λύση. Αρϰεί να δείξουµε ότι ο ζητούµενος µιγαδιϰός αριϑµός είναι της µορφής ia όπου a R. Εστω u ο ζητούµενος µιγαδιϰός. Επειδή β = γ = 1 = β = 1 β, γ = 1 γ ϑα είναι ū = w + β γw ( β + γ ) β γ = w + βγ w (β + γ) γ β = u ϰαι το ζητούµενο έπεται. 38. Να λυϑεί στο C η εξίσωση z 4 4 z + 3 = 0 όταν z = 1. Λύση. Πολλαπλασιάζουµε ϰατά µέλη τις σχέσεις: οπότε παίρνουµε ότι: z 4 = 4 z 3, z 4 = 4z 3 z 8 = 16 z 1z 1 z + 9 z + z = z + 1 z = z = 1 39. Θεωρούµε τους µιγαδιϰούς z = x + ix, x R. (αʹ) Να δειχϑεί ότι: z 4 + z 8 + z 1 + + z 4ν iz + i 5 z 6 + i 9 z 10 + + i 4ν 3 z 4ν = Im ( { } z ), ν N, x R\ ±
50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ (βʹ) Να βρεϑούν οι µιγαδιϰοί που έχουν τη παραπάνω µορφή ϰαι επαληϑεύουν την εξίσωση z 3 z + z + i = 0 (γʹ) Αν z 1, z οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης τότε να δειχϑεί ότι: (i) z 4 1 = z4 = 1. (ii) z 1 + z 1 z + z + z z =. (iii) z 014 1 + z 014 = i. Λύση. (αʹ) Παρατηρούµε ότι i 4ν 3 = i 4(ν 1)+1 = i ϰαι z = (x + ix) = x i Οπότε, ( z 4 + z 8 + z 1 + + z 4ν z z + z 6 + z 10 + + z 4ν ) iz + i 5 z 6 + i 9 z 10 + + i 4ν 3 = z4ν i (z + z 6 + z 10 + + z 4ν ) = z i = ix i = x = Im ( z ) (βʹ) Παρατηρούµε ότι z 3 = z z = (x + ix) x i = x 3 + x 3 i Οπότε η εξίσωση γίνεται:
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51 z 3 z + z + i = 0 ( x 3 + x 3 i ) x i + (x ix) + i = 0 ( x 3 + x ) + i ( x 3 x x + 1 ) = 0 { x 3 + x = 0 x 3 x x + 1 = 0 { x ( 3 + x = 0 x 3 + x ) + x 1 = 0 { x 3 + x = 0 ( 0 x 3 + x ) + x 1 = 0 x 1 = 0 x = 1 Συνεπώς οι µιγαδιϰοί είναι οι (γʹ) (i) Είναι z 1 = (1 + i), z = (1 + i) z1 4 = ( z1 ) ( 1 = (1 + i) ( ) i = = i = 1 ) ϰαι όµοια z 4 = 1 διότι z 1 = z. (ii) Εχουµε διαδοχιϰά: z 1 + z 1 z + z + z z = z3 1 + z 1 + z3 + z z 1 z = z3 1 + z 1 + ( z 1) 3 + ( z 1 ) z 1 ( z 1 ) = z 1 z 1 =
5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ (iii) Παρατηρούµε ότι ϰαι όµοια z 014 = i. Αρα: z 014 1 = z 4 503+ 1 = ( z 4 1) 503 z 1 = ( 1) 503 z 1 = z 1 = i z 014 1 + z 014 = i 40. Εστω οι µιγαδιϰοί αριϑµοί z, w οι οποίοι ιϰανοποιούν τη σχέση (αʹ) Να δειχϑεί ότι Im( zw) = 1. (βʹ) Να δειχϑεί ότι z w + i = zw z + w + Re ( zw) 3 (γʹ) Αν z + w + Re ( zw) = 3 τότε να δειχϑεί ότι z = w = 3 3 Λύση. (αʹ) Υψώνοντας τη δοσµένη σχέση στο τετράγωνο, έχουµε: z w + i = zw z w + i = zw (z w + i) ( zw i) = z w z w zw iz w + i zw + 4 = z w i ( zw z w) = 4 i i Im ( zw) = 4 Im ( zw) = 1 (βʹ) Από τη σχέση Im( zw) = 1 συνεπάγεται: zw = x + i, x R
.8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 53 Αρα Οπότε, w = x + i z, x R Συνεπώς, w = x + 1 z z + w + Re ( zw) 3 z + x + 1 z + x 3 z 4 + x + 1 + x z 3 z ( z 4 + x ) 3 z + x + 1 0 ( y= z == y + x ) 3 y + x + 1 0 Η τελευταία παράσταση είναι τριώνυµο ως προς y µε διαϰρίνουσα ( ) = 3x + 1 0 Αρα η ανισότητα αληϑεύει για ϰάϑε x, y R. (γʹ) Αν ήταν < 0 τότε από το προηγούµενο ερώτηµα ϑα ήταν z + w + Re ( zw) > 3 το οποίο είναι άτοπο. Αρα, = 0. Οπότε, Είναι ( ) 3 = 0 3x + 1 = 0 x = 3 z + w + Re ( zw) = ( 3 y + x ) 3 y + x + 1 = 0 ϰαι δεδοµένου ότι = 0, προϰύπτει ότι y = x + 3 y = Τέλος, w = x + 1 z = ( 3 3 + 3 3 ) + 1 3 3 y = 3 z = 3 = 3 3.
54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ.9 Προτεινόµενες Ασϰήσεις.9.1 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Να χαραϰτηριστούν οι παραϰάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανϑασµένες. Σε ϰάϑε περίπτωση να διϰαιολογηϑεί η απάντησή σας. Σ Λ (αʹ) (βʹ) Το σύνολο C ϰαλείται υπερσύνολο των αριϑµών. Κάϑε αριϑµός της µορφής z = iκ, κ R είναι φανταστιϰός. (γʹ) Είναι R I =. (δʹ) (εʹ) Αν z = a + iβ τότε Re(z) = a ϰαι Im(z) = iβ. Τα παραστατιϰά σηµεία των συζυγών µιγαδιϰών είναι συµ- µετριϰά ως προς τον άξονα y y.. Να χαραϰτηριστούν οι παραϰάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανϑασµένες. Σε ϰάϑε περίπτωση να διϰαιολογηϑεί η απάντησή σας. Σ Λ (αʹ) Είναι z + z = Re(z) ϰαι z z = Im(z). (βʹ) Είναι z = z. (γʹ) (δʹ) (εʹ) Εστω z ένας µιγαδιϰός αριϑµός ϰαι A η ειϰόνα τού στο µιγαδιϰό επίπεδο. Αν OA η διανυσµατιϰή αϰτίνα του z τότε ο z ταυτίζεται µε τη διανυσµατιϰή του αϰτίνα. Αν z φανταστιϰός αριϑµός τότε ο w = iz είναι πραγµατιϰός. εν υπάρχει µιγαδιϰός αριϑµός z που να είναι συγχρόνως ϰαι φανταστιϰός ϰαι πραγµατιϰός.
.9. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 55 3. Να χαραϰτηριστούν οι παραϰάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανϑασµένες. Σε ϰάϑε περίπτωση να διϰαιολογηϑεί η απάντησή σας. Σ Λ (αʹ) (βʹ) Είναι z + z = Re(z) ϰαι z z = Im(z). Οι ειϰόνες των ριζών της εξίσωσης az + βz + γ, a, β, γ R ϰαι < 0, όπου η διαϰρίνουσα του παραπάνω τριωνύµου, είναι συµµετριϰές ως προς τον άξονες y y. (γʹ) Ισχύει Re (z 1 + z ) = Re (z 1 ) + Re (z ) ϰαι Im (z 1 + z ) = Im (z 1 ) + Im (z ) (δʹ) Αν z + w = 0 όπου z, w µιγαδιϰοί αριϑµοί τότε z = w = 0. (εʹ) Αν z = a + iβ τότε z = a β. 4. Να χαραϰτηριστούν οι παραϰάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανϑασµένες. Σε ϰάϑε περίπτωση να διϰαιολογηϑεί η απάντησή σας. Σ Λ (αʹ) Στο σύνολο C ορίζεται διάταξη. (βʹ) Αν z R τότε Im(z) = 0. (γʹ) (δʹ) Αν z I τότε z = z. Αν για το µιγαδιϰό z C είναι Re(z) Im(z) 0 τότε Re(z ν ) Im(z ν ) 0 για ϰάϑε ν N. (εʹ) Είναι z 1 + z + + z ν = z 1 + z + + z ν.
56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 5. Να χαραϰτηριστούν οι παραϰάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανϑασµένες. Σε ϰάϑε περίπτωση να διϰαιολογηϑεί η απάντησή σας. Σ Λ (αʹ) Ισχύει z ν = z ν. (βʹ) (γʹ) (δʹ) (εʹ) Ισχύει z w z + w z + w Η εξίσωση z z 0 = ρ > 0 όπου z 0 σταϑερός µιγαδιϰός παριστάνει έλλειψη. Ισχύει z = z = z. Αν ισχύει z < 1 τότε οι ειϰόνες του z ϰινούνται σε δαϰτύλιο. 6. Να χαραϰτηριστούν οι παραϰάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανϑασµένες. Σε ϰάϑε περίπτωση να διϰαιολογηϑεί η απάντησή σας. σ λ (αʹ) Αν ισχύει z 1 > z i τότε οι ειϰόνες του z ϰινούται σε ευϑεία. (βʹ) Η συνάρτηση f(z) = iz + 1 z ορίζεται όταν z i. + 1 (γʹ) Η συνάρτηση f(z) = z 4 + z 3 + z + z + 1 έχει τέσσερεις µιγαδιϰές ρίζες. (δʹ) (εʹ) Κάϑε πολυωνυµιϰή συνάρτηση βαϑµού ν στο σύνολο C έχει ν αϰριβώς ρίζες. Η συνάρτηση f(z) = iz παριστάνει στροφή στο µιγαδιϰό επίπεδο.
.9. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 57 7. Να χαραϰτηριστούν οι παραϰάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανϑασµένες. Σε ϰάϑε περίπτωση να διϰαιολογηϑεί η απάντησή σας. Σ Λ (αʹ) Αν για τους µιγαδιϰούς z, w ισχύει z + w = 0 τότε z = w = 0. (βʹ) Αν z 1, z R ϰαι z 1 = z τότε z 1 = z. (γʹ) Ισχύει Re(z) z για ϰάϑε z C. (δʹ) Αν είναι z = z z R. (εʹ) Οι ειϰόνες των µιγαδιϰών z που ιϰανοποιούν την εξίωση z 1 + z + 1 = ϰινούνται πάνω σε µία έλλειψη. 8. Να χαραϰτηριστούν οι παραϰάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανϑασµένες. Σε ϰάϑε περίπτωση να διϰαιολογηϑεί η απάντησή σας. Σ Λ (αʹ) Αν z = 1 τότε z 1 = Re(z). (βʹ) Αν z 1 είναι η µοναδιϰή λύση της εξίσωσης az + βz + γ, a, β, γ R ϰαι a 0 τότε ισχύει ότι a z 1 = γ. (γʹ) Οι ειϰόνες των λύσεων της εξίσωσης ϰινούνται πάνω σε ένα ϰύϰλο. z 4i + z + 4i = (δʹ) (εʹ) Ο ϑετιϰός αϰέραιος ν για τον οποίον ισχύει (1 i) ν = 8 είναι ο ν = 6. Αν η ειϰόνα του µιγαδιϰού z ϰινείται στο µοναδιαίο ϰύϰλο τότε η ειϰόνα w = 3z + 1 ϰινείται στον ίδιο ϰύϰλο ϰαι η z + 3 µέγιστη απόστασή τους είναι.
58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ.9. Ασϰήσεις Εµπέδωσης 1 Εστω z C. Να δειχϑεί ότι z + z = Re(z), z z = iim(z) Να δειχϑεί ότι ο µιγαδιϰός z C είναι πραγµατιϰός αν ϰαι µόνο αν z = z ενώ είναι φανταστιϰός αν ϰαι µόνο αν z = z. 3 Να δειχϑεί ότι για ϰάϑε πολυώνυµο P(z) που έχει πραγµατιϰούς συντελεστές ισχύει P(z) = P( z). 4 Να δειχϑεί ότι αν P(z) είναι ένα πολυώνυµο µε πραγµατιϰούς συντελεστές ϰαι ρ είναι µία ρίζα του P τότε ϰαι ο συζυγής ρ είναι ρίζα του P. 5 Να γραφούν στη µορφή α + iβ οι παραϰάτω µιγαδιϰοί. (i) (1 i) 3 (ii) ( + i) 1 4(1 i) 1 (iii) (iv) 1 (1 + i)( 3i) 1 i + 1 + i 6 Να απειϰονίσετε στο επίπεδο τις ειϰόνες των µιγαδιϰών (αʹ) 1 + i (βʹ) 1 i (γʹ) 3 i (δʹ) 3 + i (εʹ) e iπ/4 (ϛʹ) e iπ 7 Αν z, w C, τότε να δειχϑεί ότι οι παραϰάτω αριϑµοί είναι πραγµατιϰοί: (αʹ) (βʹ) (γʹ) (δʹ) z + w + z + w z z z w + z w z + w 1 zw + z + w 1 z w z i z z iz (εʹ) z w + zw (ϛʹ) z z z + z (ζʹ) z w z w + zw z w (ηʹ) (z i) + ( z + i) 8 Αν z, w C, τότε να δειχϑεί ότι οι παραϰάτω αριϑµοί είναι φανταστιϰοί: (αʹ) (βʹ) z + w 1 zw z + w 1 z w z + i 1 + iz z i 1 i z (γʹ) z w zw ( ) z u (δʹ) z ū ( ) z ū z u
.9. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 59 9 Αν για τους µιγαδιϰούς z, w ισχύει zw = 1 να δειχϑεί ότι ο µιγαδιϰός αριϑµός: είναι πραγµατιϰός. u = i izw z + w 10 Εστω z, w C µε z w ϰαι zw 1. Να δειχϑεί ότι: (αʹ) αν z w R τότε z + w z w R. (βʹ) αν z z = w w = 1 τότε w z 1 zw R (γʹ) αν z z = w w = 1 τότε z + w 1 zw I. 11 ίδονται οι µιγαδιϰοί z 1, z, z 3 τέτοιοι ώστε z 1 + z + z 3 = 0 (1) Να δειχϑεί ότι: z 1 z 1 = z z = z 3 z 3 = 1 () 1 (αʹ) + 1 + 1 = 0 z 1 z z 3 (βʹ) z 1 z + z z 3 + z 3 z 1 = 0 (γʹ) z 1 z 3 + z z 3 = 1 (δʹ) z 1 + z + z 3 = 0 1 Να βρεϑεί η τέταρτη ρίζα του µιγαδιϰού ( z = 81 cos 4π 3 + i sin 4π 3 ) 13 Να λυϑούν οι παραϰάτω εξισώσεις. (αʹ) 3z = 6 + 4i (βʹ) z + z = 0 (γʹ) z (3 + i)z = 4 5i z 1 (δʹ) z i = i 1 (εʹ) z (1 i) 1 = i z (ϛʹ) z + z = (1 + i)3 1 i 14 Να λυϑούν οι παραϰάτω εξισώσεις.
60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ (αʹ) z z + 5 = 0 (βʹ) z + 4 = 0 (γʹ) z + z + = 0 (δʹ) z 3 + 1 = 0 (εʹ) z 3 z + z = 0 (ϛʹ) z 3 + 1 z 3 + z + 1 z + = 0 (ζʹ) z 4 + 3z + = 0 15 Να λυϑεί η εξίσωση (z ) 4 + (z + 1) 4 = 0 16 Να δειχϑεί ότι για ϰάϑε φυσιϰό αριϑµό ν ισχύει: i ν + i ν+1 + i ν+ + i ν+3 = 1 i ν + 1 i ν+1 + 1 i ν+ + 1 i ν+3 17 Αν οι φυσιϰοί αριϑµοί κ, λ, µ, ν διαιρούµενοι µε το 4 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, τότε να δειχϑεί ότι: (αʹ) i κ = i λ = i µ = i ν (βʹ) i κ+λ+µ+ν = 1. 18 Να δειχϑεί ότι δι `α ϰάϑε ν N. (1 + i) ν (1 i) ν = iν 1 19 Να προσδιοριστεί ο ν N ώστε ο µιγαδιϰός να είναι πραγµατιϰός. z = (1 + i)ν (1 i) ν 0 Αν α, β, γ R τότε να δειχϑεί ότι ο µιγαδιϰός αριϑµός w = β + iα β iγ είναι φανταστιϰός αν ϰαι µόνο αν οι αριϑµοί α, β, γ είναι διαδοχιϰοί όροι γεωµετριϰής προόδου.