ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ () ΘΕΜΑ Α A. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 7 A. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση : που είναι - είναι και γνησίως μονότονη.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες ) Μονάδες A. Να διατυπώσετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Μονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η συνάρτηση () με έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου. β) Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ, η οποία είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει () για κάθε Δ. γ) Ισχύει lim. δ) Αν η είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, τότε οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και συμμετρικές ως προς την ευθεία y. αντίστοιχα είναι ε) Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση (), {}. B. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. Μονάδες 8 B. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες B. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Μονάδες 6 B. Με βάση τις απαντήσεις σας στα παραπάνω ερωτήματα, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό με μελάνι που δε σβήνει.) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Έχουμε ένα σύρμα μήκους 8 m, το οποίο κόβουμε σε δύο τμήματα. Με το ένα από αυτά, μήκους m, κατασκευάζουμε τετράγωνο και με το άλλο κύκλο. Γ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων σε τετραγωνικά μέτρα, συναρτήσει του, είναι π 6 56 E(), (,8). 6π Μονάδες 5 Γ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται, όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρ ο του κύκλου. Μονάδες Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας μόνο τρόπος με τον οποίο μπορεί να κοπεί το σύρμα μήκους 8 m, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων να ισούται με 5 m. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ -α () e, με α. Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του α συνάρτησης έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής. η γραφική παράσταση της Μονάδες Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά, με, τέτοια ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο. Δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () () Δ. Αν α να αποδείξετε ότι : Μονάδες 7 είναι αδύνατη στο (α, ). Μονάδες 6 () d. 5 Μονάδες 9 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω -πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιό σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδι ο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κ.λπ.. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηρ ιωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη Σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. α) Ψευδής β) Η συνάρτηση, g ( ), είναι - όμως δεν είναι γνησίως μονότονη (σχήμα από σχολικό βιβλίο) σελ. 5 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. ( ), R H είναι παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα Α =,,, με 8 ) 8 8 8, (, ( ) 8 8
- - - + +8 - + + () + - + () H είναι γνησίως αύξουσα στο (-, -], γνησίως φθίνουσα στο [-,) και γνησίως αύξουσα στο (, + ). Η στο =- έχει τοπικό μέγιστο το (-)=- B. H είναι παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα Α =,) 5 5 8 ( και, ( ) για κάθε 6 6 6 κοίλη στο, και στο,και δεν έχει σημεία καμπής. Β. Κατακόρυφες: lim lim αφού lim άρα η =, δηλαδή ο άξονας y y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της lim lim Αφού lim Οριζόντιες πλάγιες στο Για να είναι η και στο. y ασύμπτωτη της C στο (αντιστοίχως στο ) πρέπει τα ( ) όρια lim και lim ( ( ) ) να είναι πραγματικοί αριθμοί. lim lim lim lim. Οπότε λ= Άρα: lim lim lim, οπότε β= Άρα η y= πλάγια ασύμπτωτη στο
lim lim lim lim lim lim άρα η y= πλάγια ασύμπτωτη στο B., - () - - - () + - + () ( ) Πλάγια ασύμπτωτη η y= κατακόρυφη ασύμπτωτη η = ΘΕΜΑ Γ Γ. Επειδή το παριστάνει μήκος πρέπει να είναι αλλά και 8 που είναι το μήκος συνολικά του σύρματος. Άρα < 8.
Αν είναι η περίμετρος του τετραγώνου, 8 θα είναι το μήκος του κύκλου. 8 L κύκλου = πρ οπότε πρ=8- ρ= 8 8 Ε κύκλου =πρ = Π τετραγώνου =α άρα α= a Eτ =α = 6 Το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι 8 8 66 6 6 6 Ε()= 6 56 6 6 56 6 με (,8) Γ. ( ) 6 56, (,8) 6 Η Ε είναι παραγωγίσιμη στο (,8) με ( ) ( ) 6 [ ] 6 6 8 8 8 E () - + Ε() Ο.Ε Ε γνησίως φθίνουσα στο (, ] (, ] και Ε συνεχής στο (, ] γιατί Ε ()< στο
Ε γνησίως αύξουσα στο [,8) και Ε συνεχής στο (,8] γιατί Ε ()> στο (,8] Η Ε στο παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο 8 8 και 8 Άρα 8 ισχύει. που Γ. Ζητούμε μοναδικό,8 ώστε 5 Βρίσκουμε σύνολο τιμών για την Ε. E. Η Ε συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, άρα,, lim E 6 6, με 6 E και lim E 56 6 6 Η Ε συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, 8 άρα,8 lim, lim E, 8 6 6 6 Επειδή 5, και Ε γνησίως φθίνουσα στο,, άρα υπάρχει μοναδικό, ώστε E ( ) 5. Επειδή 6 5, άρα δεν υπάρχει, 8 ώστε E ( ) 5 οπότε η ρίζα είναι μοναδική
ΘΕΜΑ Δ Δ. Η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με ' '' e a a a e e Για κάθε R '( ) e a e a e a e a a Είναι e a e a e a e e a a α - + '' στο,a άρα η κοίλη στο, a '' στο a, άρα η κυρτή στο a, Αφού '' a Και η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του σημείου μηδενισμού, τότε έχουμε σημείο καμπής το a, ( a) δηλ. το ( a, a ) αφού επιπλέον ορίζεται η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο a, ( a) Δ. Για <α είναι '' Και ' συνεχής στο,a, επομένως είναι ' γν. φθίνουσα στο,a. ' a e a a a lim a lime Άρα σύνολο τιμών της στο A,aείναι το A ' a, lim ' a,. '
Το ανήκει στο (Α ) και αφού η είναι γν. φθίνουσα, θα έχει μοναδική ρίζα,a. Για >α είναι '' και ' συνεχής στο a, Επομένως είναι ' γν. αύξουσα στο a, Άρα με A,, A ' a, lim ' a ' Όπου ' a a a Και lim ' lim e lim lim Αφού e lim a e e lim e DLH Άρα ' A a, a e e Το ανήκει στο ' A, επομένως η μοναδική, αφού η ' είναι γν. αύξουσα στο A. Για a ' γνησίως φθίνουσα άρα ( ) '( ) οπότε ' ( ) e e a ' έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο η οποία είναι ' Για a ' γνησίως φθίνουσα άρα ( ) '( ) οπότε ' ( ) Για a ' ' γνησίως αύξουσα άρα ( ) '( ) οπότε ' ( ) Για ' ' γνησίως αύξουσα άρα ( ) '( ) οπότε ' ( ) ' Είναι ' στο και συνεχής στο, Άρα η είναι γν. αύξουσα στο, () Αντίστοιχα, Είναι ' στο και συνεχής στο, Άρα η είναι γν. φθίνουσα στο, (),,
Είναι ' στο και συνεχής στο, άρα η είναι γν. αύξουσα στο, () Επομένως, Από (), (), για η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο Από (), () για η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο Έτσι δημιουργείται ο παρακάτω πίνακας α () - - + + () + - - + () T.M T.E. Δ. Είναι ()=e -α -< και γνωρίζουμε ότι για < ()> άρα, Δηλαδή είναι <<a< και η γνησίως φθίνουσα στο [, ] επομένως είναι και - Άρα με <α< Η ()=() έχει μοναδική λύση το = Άρα στο (α, ) η ()=() είναι αδύνατη. Δ. e Αν α=, Εξίσωση εφαπτομένης της, R C στο e e ' e e επομένως M, y ' '
y y y Η εφαπτόμενη της C βρίσκεται πάνω από την εξίσωση εφαπτομένης, με εξαίρεση το σημείο επαφής, αφού η είναι κυρτή για >. Άρα Επειδή προκύπτει Έχουμε συνεχείς συναρτήσεις Άρα d d Με, d d d d και και για = ω= = ω= Άρα d d d 5 d d 5 5 5 5 5 Επομένως d d 5